複素対称相対論(complex symmetric relativity...

複素対称相対論 (Complex Symmetric Relativity Theory)

稲本直太 (Naota Inamoto)

ドラフト 2017年 4月 14日版

概要複素対称計量テンソルから、電磁気学のローレンツ力の導出に成功した。この過程で相

対論について、2点、修正点のある事が示された。1点目は、特殊相対性理論のローレンツ変換に関してで、2点目は、一般相対性理論のアインシュタインの重力方程式の重力定数 κについてである。特殊相対性理論のローレンツ変換は、進行方向に垂直な座標に複素数の虚数成分のズレが生じるのではないかと予想される。アインシュタインの重力定数は、実は、4分の 1ではないかと予想される。本論文の中で、一般相対性理論と統一された電磁気学は、非線形電磁気であり、その非線形電磁気学の様々な応用が期待される。

目次

概要 1

1 はじめに 3

2 一般相対性論と電磁気学 4

2.1 複素対称計量（仮説）からの電磁場のローレンツ力の導出 . . . . . . . . . . . 4

2.2 特殊相対性理論のローレンツ変換に虚数項を入れる修正（仮説） . . . . . . . . 5

2.3 アインシュタイン方程式の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 アインシュタイン方程式の線形近似の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 シュワルツシルド時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 時空間は最低１０次元（仮説、フェルミオン） . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7 アインシュタインの重力定数は４分の１に修正（仮説） . . . . . . . . . . . . . 12

2.7.1 非線形電磁気学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 電磁場のエネルギー運動量テンソルは 2次近似部分 . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8.1 エネルギー運動量擬テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8.2 2次近似部分が電磁場のエネルギー運動量テンソル . . . . . . . . . . . 14

2.9 一般相対性理論の実験的検証への影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9.1 水星の軌道の近日点移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9.2 太陽周辺での光線の屈折 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.9.3 スペクトルの赤方偏移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.10 平面波 (sin/cosではなく,楕円関数の sn/cn/dnを使うべき) . . . . . . . . . . . 16

1

3 宇宙論への影響 16

3.1 フリードマン方程式への影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 皇極経世書 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 計量の満たす方程式 18

4.1 変分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 計量の満たす方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 議論 19

5.1 測地線の不確定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 ディラック方程式とラムシフト (Lamb shift) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3 物質の根源は点でも弦でもなく穴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.4 ミクロを記述する一般相対性理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.5 Connection Hole と Bind Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.5.1 ボソンの次元は２６次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.5.2 不確定性の起因 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.6 ハドロンのクォークが３個であることに関して . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.7 第５の力と反重力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 終わりに 24

謝辞 24

参考文献 24

付録 24

A Mathematicaによる計算の検算 25

A.1 計算の為の準備ファイル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.1.1 計算の為の準備ファイル「christof.txt」 . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.1.2 計算の為の準備ファイル「einstein-eq.txt」 . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.1.3 計算の為の準備ファイル「approxi-christof.txt」 . . . . . . . . . . . . . 25

A.1.4 計算の為の準備ファイル「approxi-einstein-eq.txt」 . . . . . . . . . . . 26

A.1.5 ２項を１項にする為の準備ファイル「two item-to-one item.txt」 . . . 26

A.2 ローレンツ力導出のMathematicaによる検算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

A.2.1 第 (A.2.1)式の左辺第１項の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

A.2.2 第 (A.2.1)式の左辺第２項の符号を変えたものの計算 . . . . . . . . . . 28

A.3 修正ローレンツ変換のMathematicaによる検算 . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

A.4 アインシュタイン方程式のMathematicaによる計算 . . . . . . . . . . . . . . . 31

A.4.1 一般的な１次元の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A.4.2 一般的な２次元の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A.4.3 一般的な３次元の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

A.5 シュワルツシルド時空のMathematicaによる検証 . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

A.5.1 最も簡略化された極座標系の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

A.5.2 等方空間での極座標系の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

A.5.3 ユークリッド座標系の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A.6 アインシュタイン方程式のMathematicaによる線形近似 . . . . . . . . . . . . 35

A.6.1 時空が４次元の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A.7 点電荷のMathematicaによる検算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A.7.1 時空が４次元の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A.7.2 時空が５次元で５番目の指標がプラスの場合 . . . . . . . . . . . . . . . 38

A.7.3 時空が５次元で５番目の指標がマイナスの場合 . . . . . . . . . . . . . 39

A.8 アインシュタイン方程式からダランベール演算子の導出へ向けて . . . . . . . . 40

A.8.1 時空が５次元で５番目の指標がプラスの場合 . . . . . . . . . . . . . . . 40

A.8.2 時空が５次元で５番目の指標がマイナスの場合 . . . . . . . . . . . . . 43

B 計量テンソルの満たす方程式の計算の準備 46

B.1 変分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

B.2 計量の満たす方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

C ゲージ変換との関係 50

C.1 電磁場の自由度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1 はじめにアインシュタインの一般相対性理論に出て来る計量テンソルは、2× 2の行列であるが、この計量テンソルの複素数の虚数成分に電磁気学のベクトルポテンシャル・スカラーポテンシャルを加えた計量テンソルから、電磁気学のローレンツ力による荷電粒子の運動方程式の導出に成功した。普通、複素数の 2× 2の行列といえば、エルミート行列を指す事が多いが、ここで扱う計量テンソルの複素数の 2× 2の行列は、エルミート行列ではなく、単なる対称行列である。次に、特殊相対性理論のローレンツ変換について、xyz座標系の対称性を考えると、修正が必要である事が示された。これによると、ローレンツ変換で、進行方向に対して垂直な座標成分について、複素数の虚数成分のズレが生じる事が示された。次に、リッチテンソル・アインシュタイン方程式とその線形近似の復習を行なっている。アインシュタイン方程式は、符号や定数の取り方の流儀が色々あるので、本論文中での定義をここで与えている。次に、点電荷が原点に静止している場合の厳密解はシュワルツシルド時空であるが、この座標系に対して等速直線運動している座標系からは、点電荷は等速直線運動している様に見えるはずである。元の座標系から等速直線運動している座標系の計量は元の座標系の計量をローレンツ変換したものになるはずである。これを求めてみると、修正点が 2つ示された。1つ目は、時空間は最低 5次元（複素数の実部と虚部を分けると最低 10次元）と修正される事であり、2

つ目は、重力定数 κが 4分の 1に修正される事である。次に、一般相対性理論の検証実験に与える、この 2点の修正の影響について述べる。結果から言うと、水星軌道の近日点移動にも、太陽周辺での光線の屈折にも、スペクトルの赤方偏移

3

にも、まったくと言っていい程、影響を与えない。しかしながら、宇宙の変遷に関わるフリードマン方程式は、方程式に重力定数 κを含んでいるので、大きな影響を受けると予想される。通常の電磁気学は、重ね合わせの出来る線形な電磁気学であるが、ここで一般相対性理論と統一された電磁気学は、アインシュタイン方程式の非線形性をそのまま受け継いだ「非線形電磁気学」である。通常の量子力学は、重ね合わせの出来る線形な方程式であるが、量子力学を非線形にすることで、ラムシフトが説明できたりする事から、電磁気学を非線形にすることで、今まで説明の付かなかった現象の説明が出来るかも知れないと期待を抱いている。「議論」の節では、物資の根源は、ミクロな時空間の歪みによって出来る異次元時空間を結ぶ穴で、このミクロな時空間の歪みを記述するのも、一般相対性理論ではないか、等を議論している。「終わりに」では、今後の展望に触れながらこの論文を締めくくる。アインシュタイン方程式の各成分はとてつもなく長い式となり、また曲率テンソルの成分の個数は次元の４乗で増えるので、手計算だと時間が掛かるし計算間違いもしてしまう。ここでは数式処理コンピュータ・ソフトウェアのMathematicaを用いて計算の検算を行っていて、その検算を付録Aに載せている。重力波の方程式でダランベール演算子が出てくるが、付録Aの計算では、ダランベール演算子の導出がうまく行っていない。この解決は今後の課題である。

2 一般相対性論と電磁気学

2.1 複素対称計量（仮説）からの電磁場のローレンツ力の導出

仮説：「時空間の計量はエルミートでない複素対称行列であり、エネルギー運動量テンソルの成分の実数部は質量と運動量に対応し、虚数部は電荷と電流密度に対応する。」物質密度をρ、質量密度を ρm、電荷密度を ρqとするとき、これらの間に次式の関係がある。

ρ = ρm + iιρq (2.1.1)

この関係式に現れる定数 ιを質量電荷比と呼ぶことにする。重力ポテンシャルをΦ、電磁場のスカラーポテンシャルを ϕ、電磁場のベクトルポテンシャルを Aとするとき、速度が光速度に比べ遅く、重力場と電磁場が弱い世界では、空間の計量 gijは次式で近似される。

gij ≒

−1− 2Φ

c2+ i 2ϕ

c2ι−iAx

cι−iAy

cι−iAz

cι

−iAx

cι1 + ∗ ∗ ∗

−iAy

cι∗ 1 + ∗ ∗

−iAz

cι∗ ∗ 1 + ∗

(2.1.2)

速度が光速度に比べて遅い場合、次の測地線の方程式が古典的な運動方程式になる。

d2xk

ds2+ Γk

ij

dxi

ds

dxj

ds= 0 (2.1.3)

速度が光速度に比べて遅い場合、次式が成り立つ。

4

cdt

ds≒ 1

dx

ds≒ vx

c≪ 1

dy

ds≒ vy

c≪ 1

dz

ds≒ vz

c≪ 1 (2.1.4)

式 (2.1.3)の測地線の方程式に式 (2.1.1)の物質密度を掛けて実部を取り、座標は実数と仮定して計量の添え字に０があるものだけ残して１次近似すると次式を得る。

ρmd2x

dt2≒− 1

2c2ρm(−

∂g00∂x

)

− i1

2ιc2ρq(2×

∂g10c∂t

− ∂g00∂x

)

− iιcρq(∂g10∂y

− ∂g20∂x

)dy

dt

− iιcρq(∂g10∂z

− ∂g30∂x

)dz

dt

(2.1.5)

式 (2.1.5)に式 (2.1.2)の重力場・電磁場のポテンシャルを入れて整理すると、見事に、「重力場の万有引力 4)p.106」と「電磁場によるローレンツ力 8)p.1」からなる荷電粒子の運動方程式になる。

ρmd2x

dt2≒ −ρm

∂Φ

∂x+ ρqEx + (v × B)x (2.1.6)

2.2 特殊相対性理論のローレンツ変換に虚数項を入れる修正（仮説）

特殊相対性理論のローレンツ変換は、次式 5)p.xxx4)p.22で表されるとされている。

ct′

x′

y′

z′

=

1√1−β2

− 1√1−β2

vc

0 0

− 1√1−β2

vc

1√1−β2

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ct

x

y

z

β2 =v2

c2(2.2.1)

しかし、上式は x軸 y軸 z軸に関して対称な形をしていない、速度 (vx, vy, vz)で等速直線運動している慣性座標系の x軸 y軸 z軸に関して対称なローレンツ変換を求めると次式となる。

ct′

x′

y′

z′

= L(vx, vy, vx)

ct

x

y

z

L(vx, vy, vx) =1√

1− β2

1 −vx

c−vy

c−vz

c

−vxc

1 ∓ivzc

±ivyc

−vyc

±ivzc

1 ∓ivxc

−vzc

∓ivyc

±ivxc

1

β2 =v2x + v2y + v2z

c2

(2.2.2)

5

式 (2.2.2)で、 (vx, vy, vz) = (v, 0, 0)とすると、次式となる。

ct′

x′

y′

z′

=1√

1− β2

1 −v

c0 0

−vc

1 0 0

0 0 1 ∓ivc

0 0 ±ivc

1

ct

x

y

z

β2 =v2

c2(2.2.3)

式 (2.2.3)は、x軸 y軸 z軸について対称な式から求められた式であり、ローレンツ変換は、式 (2.2.1)の代わりに式 (2.2.3)を用いるべきでと予想される。ここでは一般的な式 (2.2.2)を用いる。通説ではローレンツ短縮は、進行方向のみに対して発生し進行方向に垂直な成分は変化しないことになっているが、式 (2.2.2)は、進行方向に垂直な座標についてその虚数成分にズレを生じることを表している。式 (2.2.2)の±は、量子力学の運動量演算子を−iℏ ∂

∂qに取るか

iℏ ∂∂qに取るかによって決まると私は予想している。ちなみに式 (2.2.2)の変換行列はエルミー

ト行列になっている。

2.3 アインシュタイン方程式の復習

一般相対性理論のアインシュタイン方程式は次式 4)p.112で表される。

Rij −1

2Rgij + Λgij = κTij (2.3.1)

κはアインシュタインの重力定数と呼ばれ、通説では次の値を取るとされている。

κ =8πG

c4(2.3.2)

第 2.1節の仮説が正しい場合、式 (2.3.2)の値が実は、1/4と修正される事を第 2.7節で示す。ここではリッチテンソルの定義として以下を用いる。

Rij =∂Γl

ij

∂xl−

∂Γllj

∂xi+ Γl

lγΓγij − Γl

iγΓγlj (2.3.3a)

Γkij = gklΓl,ij =

1

2gkl(

∂glj∂xi

+∂gil∂xj

− ∂gij∂xl

) (2.3.3b)

リッチテンソルとスカラー曲率は次式で表される。

Rij =1

2gλγ(

∂2giγ∂xλ∂xj

− ∂2gij∂xλ∂xγ

− ∂2gλγ∂xi∂xj

+∂2gλj∂xi∂xγ

)

+ gλγgστ (Γσ,iγΓτ,λj − Γσ,λγΓτ,ij)

(2.3.4)

R =1

2gαβgλγ(

∂2gαγ∂xλ∂xβ

− ∂2gαβ∂xλ∂xγ

− ∂2gλγ∂xα∂xβ

+∂2gλβ∂xα∂xγ

)

+ gαβgλγgστ (Γσ,αγΓτ,λβ − Γσ,λγΓτ,αβ)

(2.3.5)

6

Lijとを次のように定義する。

Lij = gαβ∂

∂xj(∂giβ∂xα

− 1

2

∂gαβ∂xi

)

=1

2gαβ

∂2giβ∂xα∂xj

+1

2gαβ

∂2gαj∂xβ∂xi

− 1

2gαβ

∂2gαβ

∂xi∂xj

(2.3.6)

= gαβ∂2

∂xα∂xβ(2.3.7)

リッチテンソルとスカラー曲率は、Lijとを用いて次のように書ける。

Rij = −1

2gij +

1

2(Lij + Lji) + gλγgστ (Γσ,iγΓτ,λj − Γσ,λγΓτ,ij) (2.3.8)

R = −1

2gαβgαβ + gαβLαβ + gαβgλγgστ (Γσ,αγΓτ,λβ − Γσ,λγΓτ,αβ) (2.3.9)

アインシュタインテンソルは、Lijとを用いて次のように書ける。

Rij −1

2Rgij = −1

2(gij −

1

2gαβ(gαβ)gij) +

1

2(Lij + Lji − gαβLαβgij)

+ gλγgστ (Γσ,iγΓτ,λj − Γσ,λγΓτ,ij −1

2gαβ(Γσ,αγΓτ,λβ − Γσ,λγΓτ,αβ)gij)

(2.3.10)

2.4 アインシュタイン方程式の線形近似の復習

微小量 hijをミンコフスキー計量からのズレとして計量を次式で表す。

gij = gij + hij =

−1 + h00 h01 h02 h03

h10 1 + h11 h12 h13

h20 h21 1 + h22 h23

h30 h31 h32 1 + h33

(2.4.1)

式 (2.3.10)は、hijを用いて次のように書ける。

Rij −1

2Rgij = −1

2(hij −

1

2hgij)

+1

2(Lij + Lji − gαβLαβgij) +O(h2)

(2.4.2)

近似した方程式が線形になるためには、すべてのLijがゼロでなければならない。重力波の方程式を求めるとき、適当な座標変換でLijがゼロにできることになっているが 6)p.1764)p.161、これは妥当でないと思われる。Lijと hijは同じオーダーであり、O(h)でLij = 0であるためには次式を満たす必要がある。

7

−∂h00

∂x0+

∂h01

∂x1+

∂h02

∂x2+

∂h03

∂x3− 1

2

∂h

∂x0= 0 (2.4.3a)

−∂h10

∂x0+

∂h11

∂x1+

∂h12

∂x2+

∂h13

∂x3− 1

2

∂h

∂x1= 0 (2.4.3b)

−∂h20

∂x0+

∂h21

∂x1+

∂h22

∂x2+

∂h23

∂x3− 1

2

∂h

∂x2= 0 (2.4.3c)

−∂h30

∂x0+

∂h31

∂x1+

∂h32

∂x2+

∂h33

∂x3− 1

2

∂h

∂x3= 0 (2.4.3d)

式 (2.4.3a)～(2.4.3d)を満たすようにする座標変換は、hijと同じオーダーであり無限小ではなく、物質が存在する時空間が式 (2.4.3a)～(2.4.3d)を満たすようになっていると私は予想している。

2.5 シュワルツシルド時空

等方空間でのシュワルツシルド時空の計量は、次式 4)p.120で表される。

gij =

− (1− α

4r)2

(1+ α4r

)20 0 0

0 1(1+ α

4r)4

0 0

0 0 1(1+ α

4r)4

0

0 0 0 1(1+ α

4r)4

(2.5.1)

等方空間でのシュワルツシルド時空の計量は、次式で近似される。

gij ≒

−1− α

r0 0 0

0 1− αr

0 0

0 0 1− αr

0

0 0 0 1− αr

(2.5.2)

この座標系に対して速度 (−vx,−vy,−vz)で等速直線運動している慣性座標系での計量は、式(2.2.2)と式 (2.5.2)を用いて次式となる。

L(−vx,−vy,−vz)tgijL(−vx,−vy,−vz) ≒

−1− αr

2αvxrc

2αvyrc

2αvzrc

2αvxrc

1− αr

−αr

2vxvyc2

−αr2vxvzc2

2αvyrc

−αr

2vyvxc2

1− αr

−αr

2vyvzc2

2αvzrc

−αr2vzvxc2

−αr

2vzvyc2

1− αr

r =

√(x− vxt)2 + (y − vyt)2 + (z − vzt)2

(2.5.3)

8

元の静止系の原点に点電荷がある場合、式 (2.1.2)より、

−α

r= i

2ϕ

c2ι= i

2q

4πε0rc2ι(2.5.4)

式 (2.5.4)を式 (2.5.3)に代入すると、次式になり、これは点電荷が等速直線運動している時空間の計量となるはずである。

gij ≒ gij +

i 2q4πε0rc2ι

i4µ0qvx4πrcι

i4µ0qvy4πrcι

i4µ0qvz4πrcι

i4µ0qvx4πrcι

i 2q4πε0rc2ι

0 0

i4µ0qvy4πrcι

0 i 2q4πε0rc2ι

0

i4µ0qvz4πrcι

0 0 i 2q4πε0rc2ι

≒

−1 + i 2ϕ

c2ι−i4Ax

cι−i4Ay

cι−i4Az

cι

−i4Ax

cι1 + i 2ϕ

c2ι∗ ∗

−i4Ay

cι∗ 1 + i 2ϕ

c2ι∗

−i4Az

cι∗ ∗ 1 + i 2ϕ

c2ι

(2.5.5)

ところが、式 (2.5.5)は第 2.1節での仮説の式 (2.1.2)と比べ、ベクトルポテンシャルが４倍の異なる形をしていて、この計量からは、第 2.1節で導いた式 (2.1.6)の電磁場によるローレンツ力による運動方程式が導けない。第 2.1節の仮説が正しいとするならば、このことは、シュワルツシルド時空の座標系が、物質が存在する直感的な座標系にはなっていないことを意味する。第 2.1節の仮説が正しいとするならば、質点が１個ある場合の物質が存在する直感的な座標系での計量は、計量の形が、式 (2.1.2)の形になるはずである。次節でその計量を求める。

2.6 時空間は最低１０次元（仮説、フェルミオン）

計量の形が式 (2.1.2)の形になっている、質点が１個ある場合の座標系の計量を求める。質電荷が静止している場合、時空間が４次元なら計量は次の形をしているに違いない。

gij ≒

−1− α

r0 0 0

0 1 + Bαr

0 0

0 0 1 + Bαr

0

0 0 0 1 + Bαr

(2.6.1)

物質が存在する直感的な座標系では、式 (2.4.3a)～(2.4.3d)が成立しているはずである。点電荷が静止している場合は時間を含まないので式 (2.4.3a)は満たされる。式 (2.4.3b)～(2.4.3d)

を満たすためには、次式を満たせばいい。

h11 = h22 = h33 =1

2h (2.6.2)

9

式 (2.6.2)から、B = −1と求まるが、これだと、式 (2.5.2)と同じなので、計量が式 (2.1.2)の形をしているためには、次元を５次元以上にするぐらいしかない。時空間を５次元とすると、計量は次の形をしているに違いない。

gij ≒

−1− α

r0 0 0 0

0 1 + Bαr

0 0 0

0 0 1 + Bαr

0 0

0 0 0 1 + Bαr

0

0 0 0 0 ±1∓ Cαr

(2.6.3)

静止している場合、やはりは時間を含まないので式 (2.4.3a)は満たされる。式 (2.4.3b)～(2.4.3d)を満たすためには、式 (2.6.2)を満たせばよく、式 (2.6.2)より、以下の関係が求まる。

B + C = −1 (2.6.4)

この座標系に対して速度 (−vx,−vy,−vz)で等速直線運動している慣性座標系での計量は、式(2.5.3)と同様にして求めると次式となる。

L(−vx,−vy,−vz)tgijL(−vx,−vy,−vz) ≒

−1− αr

(1−B)αvxrc

(1−B)αvyrc

(1−B)αvzrc

0(1−B)αvx

rc1− Bα

r−α

r

(1−B)vxvyc2

−αr(1−B)vxvz

c20

(1−B)αvyrc

−αr

(1−B)vyvxc2

1− Bαr

−αr

(1−B)vyvzc2

0(1−B)αvz

rc−α

r(1−B)vzvx

c2−α

r

(1−B)vzvyc2

1− Bαr

0

0 0 0 0 ±1∓ Cαr

r =

√(x− vxt)2 + (y − vyt)2 + (z − vzt)2

(2.6.5)

式 (2.6.5)が式 (2.1.2)の形になるようにBを決める。B = 12であれば、式 (2.6.5)が式 (2.1.2)

の形になる。B = 12とすると、式 (2.6.4)より C = −3

2。これらを代入すると、式 (2.6.3)、式

(2.6.5)は次のようになる。

gij ≒

−1− α

r0 0 0 0

0 1 + α2r

0 0 0

0 0 1 + α2r

0 0

0 0 0 1 + α2r

0

0 0 0 0 ±1∓ 3α2r

(2.6.6)

gij ≒

−1− α

rαvx2rc

αvy2rc

αvz2rc

0αvx2rc

1− α2r

−αr

vxvy2c2

−αrvxvz2c2

0αvy2rc

−αr

vyvx2c2

1− α2r

−αr

vyvz2c2

0αvz2rc

−αrvzvx2c2

−αr

vzvy2c2

1− α2r

0

0 0 0 0 1− 3α2r

(2.6.7)

10

通常の座標変換では、計量のトレースは保存されると予想されるので、式 (2.5.2)を５次元化すると、次の形をしていると予想される。

gij ≒

−1− α

r0 0 0 0

0 1− αr

0 0 0

0 0 1− αr

0 0

0 0 0 1− αr

0

0 0 0 0 1 + 3αr

(2.6.8)

式 (2.6.8)の物質が存在する直感的な座標系ではないシュワルツシルド時空の計量を、式 (2.6.6)

の物質が存在する直感的な座標系の計量に変換する座標変換は、次式で近似される。

ct′

x′

y′

z′

w′

≒

1 0 0 0 0

0

√1+ α

2r√1−α

r

0 0 0

0 0

√1+ α

2r√1−α

r

0 0

0 0 0

√1+ α

2r√1−α

r

0

0 0 0 0

√1+ 3α

2r√1− 3α

r

ct

x

y

z

w

≒

1 0 0 0 0

0 1 + 3α4r

0 0 0

0 0 1 + 3α4r

0 0

0 0 0 1 + 3α4r

0

0 0 0 0 1− 9α4r

ct

x

y

z

w

(2.6.9)

式 (2.6.7)の計量が、式 (2.4.3a)～(2.4.3d)を満たしているか念のため確認する。

− ∂h00

∂x0+

∂h01

∂x1+

∂h02

∂x2+

∂h03

∂x3− 1

2

∂h

∂x0

=1

2

∂

c∂t

α

r+

∂

∂x

α

2r

vxc+

∂

∂y

α

2r

vyc+

∂

∂z

α

2r

vzc

= 0(2.6.10a)

− ∂h10

∂x0+

∂h11

∂x1+

∂h12

∂x2+

∂h13

∂x3− 1

2

∂h

∂x1

=− ∂

c∂t

α

2r

vxc− ∂

∂x

α

2r

vx2

c2− ∂

∂y

α

2r

vxvyc2

− ∂

∂z

α

2r

vxvzc2

= 0(2.6.10b)

となり、式 (2.4.3a)～(2.4.3d)が満たされている。５番目の座標は、通常の４次元時空間は、通常の４次元ミンコフスキー時空間と位相同形でなく、５次元時空間に４次元以下の穴が開いていて、この穴の存在の為に必要な座標と私は考えている。ここで言う 5次元とは複素数で 5次元なので、複素数の実部と虚部を分けて考えると、10次元の時空間となる。超弦理論 2)p.126-p.130では、フェルミオンの存在する時空間は 10次元という仮説が立てられているが、超弦理論の結果とここで言っている複素 5次元とは良く合っている。

11

2.7 アインシュタインの重力定数は４分の１に修正（仮説）

アインシュタイン方程式の線形近似で擬ポテンシャルは次式 4)p.160で表される。

ϕij = hij −1

2hgij (2.7.1)

第 2.1節で仮定した式 (2.1.1)の物質密度と式 (2.1.2)の計量を、式 (2.4.2)のアインシュタイン方程式の線形近似に入れた場合の擬ポテンシャルと近似した線形方程式は、次のようになる。

gij ≒

−1− 2Φ

c2+ i 2ϕ

c2ι−iAx

cι−iAy

cι−iAz

cι∗

−iAx

cι1 + Φ

c2− i ϕ

c2ι∗ ∗ ∗

−iAy

cι∗ 1 + Φ

c2− i ϕ

c2ι∗ ∗

−iAz

cι∗ ∗ 1 + Φ

c2− i ϕ

c2ι∗

∗ ∗ ∗ ∗ 1− 3Φc2

+ i 3ϕc2ι

(2.7.2a)

ϕij ≒

− Φ

c2+ i ϕ

c2ι−iAx

cι−iAy

cι−iAz

cι∗

−iAx

cι0 ∗ ∗ ∗

−iAy

cι∗ 0 ∗ ∗

−iAz

cι∗ ∗ 0 ∗

∗ ∗ ∗ ∗ −4Φc2

+ i 4ϕc2ι

(2.7.2b)

− 1

2ϕij ≒ κTij ≒ κ(ρm + iιρq)

c2 cvx cvy cvz ∗vxc vx

2 vxvy vxvz ∗vyc vyvx vy

2 vyvz ∗vzc vzvz vzvy vz

2 ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(2.7.2c)

添え字に時間があるものについて、実部、虚部ともに書き下すと次式となる。

1

2Φ

c2≒ κρmc

2 Φ ≒ 2κρmc4 (2.7.3a)

−1

2 ϕ

c2ι≒ κιρqc

2 ϕ ≒ −2κc4ι2ρq (2.7.3b)

−1

2 A

cι≒ κιρqvc A ≒ −2κc2ι2J (2.7.3c)

ポアソン・ラプラス方程式、およびダランベールの方程式は次式で表される。

Φ = 4πGρm (2.7.4a)

ϕ = −ρqε0

(2.7.4b)

A = −µ0J (2.7.4c)

12

式 (2.7.3a)と式 (2.7.4a)を比較すると重力定数 κは次式となる。

κ =2πG

c4(2.7.5)

式 (2.7.5)を使い、式 (2.7.3b)、(2.7.3c)と式 (2.7.4b)、(2.7.4c)を比較すると「質量電荷比」は次式となる。

ι =

√1

4πGε0=

√µ0c2

4πG= c

√1

107G(2.7.6)

式 (2.7.5)の重力定数は、式 (2.3.2)の通説の値の４分の１となっている。この４分の１という数字は、第 2.1節で仮定した式 (2.1.2)の計量の (0,1),(0,2),(0,3)成分の電磁場のベクトルポテンシャルの値に比べ、式 (2.5.2)、(2.5.3)の通説の計量では値がその４倍になっていることに起因する。第 2.1節で測地線の方程式からローレンツ力を導く途中の式 (2.1.5)の右辺第２項に式(2.7.7a)が現れる。計量が第 2.1節で仮定した式 (2.1.2)であれば、この式 (2.7.7a)は式 (2.7.7b)

になる。計量が通説の式 (2.5.2)、(2.5.3)であれば、この式 (2.7.7a)は式 (2.7.7c)になる。

− i1

2ιc22× ∂g10

c∂t− ∂g00

∂x (2.7.7a)

− ∂Ax

∂t− ∂ϕ

∂x(2.7.7b)

− 4× ∂Ax

∂t− ∂ϕ

∂x(2.7.7c)

式 (2.7.7b)は電場を表し物理的意味を持つが、式 (2.7.7c)は物理的意味を持たず、測地線の方程式をどう近似してもローレンツ力は導出できない。この観点から、計量は第 2.1節で仮定した形になっていて、アインシュタインの重力定数の値は通説の４分の１ではないかと予想される。

2.7.1 非線形電磁気学

第 2.1節で仮定した式 (2.1.2)の計量が正しいなら、この電磁気学と統一されたアインシュタイン方程式から導かれるところの電磁気学は、もはや線形の電磁気学ではなく、アインシュタイン方程式の非線形性をそのまま引き継いだ「非線形電磁気学」となっている。従来のマックスウェルの方程式、ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルにダランベール演算子を施した方程式、電磁力と弱い力を統一したワインバーグ・サラム理論 ?)p.xxxも、皆、電磁気学については、線形電磁気学ではないかと思われる。線形は、方程式の１次近似なので、方程式を非線形にして、２次近似以降の近似を行う事が出来る様になれば、理論の研究をよりいっそう深く正確なものにできるのではないかと期待している。

13

2.8 電磁場のエネルギー運動量テンソルは2次近似部分

2.8.1 エネルギー運動量擬テンソル

次式を恒等的に満たす擬テンソル tikは、

∂

∂xk(−g)(T ik + tik) = 0 (2.8.1)

長い計算の末、次式 7)p.315で表されるらしい。

tik =1

2κ(2Γn

lmΓpnp − Γn

lpΓpmn − Γn

lnΓpmp)(g

ilgkm − gikglm)

+ gilgmn(ΓklpΓ

pmn + Γk

mnΓplp − Γk

npΓplm − Γk

lmΓpnp)

+ gklgmn(ΓilpΓ

pmn + Γi

mnΓplp − Γi

npΓplm − Γi

lmΓpnp)

+ glmgnp(ΓilnΓ

kmp − Γi

lmΓknp)

(2.8.2)

2.8.2 2次近似部分が電磁場のエネルギー運動量テンソル

接続係数について、電磁場が現れるもを書き下すと、次式を得る。

Γ001 ≒

−i

2c2ι

∂ϕ

∂xΓ002 ≒

−i

2c2ι

∂ϕ

∂yΓ003 ≒

−i

2c2ι

∂ϕ

∂z

Γ100 ≒

i

c2ιEx Γ2

00 ≒i

c2ιEy Γ3

00 ≒i

c2ιEz

Γ012 ≒

−i

2cι(∂Ay

∂x+

∂Ax

∂y) Γ0

23 ≒−i

2cι(∂Az

∂y+

∂Ay

∂z) Γ0

13 ≒−i

2cι(∂Ax

∂z+

∂Az

∂x)

Γ103 ≒

−i

2cιBy Γ2

01 ≒−i

2cιBz Γ3

02 ≒−i

2cιBx

Γ102 ≒

i

2cιBz Γ2

03 ≒i

2cιBx Γ3

01 ≒i

2cιBy

(2.8.3)

アインシュタイン方程式の１階微分の２次近似部分にこれらを代入すると、次式を得る。

R00の２次近似部分 ≒ ΓllγΓ

γ00 − Γl

0γΓγl0

≒ − 1

2c4ι2(∂ϕ

∂xEx +

∂ϕ

∂yEy +

∂ϕ

∂zEz)−

1

4c2ι2(B2

x +B2y +B2

z )

≒ − 1

2c4ι2(E2

x + E2y + E2

z )−1

4c2ι2(B2

x +B2y +B2

z )

(2.8.4)


γ01 − Γl

0γΓγl1

≒ − 1

4c3ι2(∂ϕ

∂yBz +

∂ϕ

∂zBy)−

1

2c3ι2(∂Ay

∂x+

∂Ax

∂y)Ey −

1

2c3ι2(∂Ax

∂z+

∂Az

∂x)Ez

(2.8.5)

14


γ11 − Γl

1γΓγl1

≒ 1

4c4ι2(∂ϕ

∂x)2 − 1

2c2ι2(B2

y +B2z )

(2.8.6)


γ12 − Γl

1γΓγl2

≒ 1

c4ι2∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂y+

1

4c2ι2(∂Ax

∂z+

∂Az

∂x)Bx + (

∂Az

∂y+

∂Ay

∂z)By

(2.8.7)

−1

2Rの２次近似部分 ≒ −1

2gαβ(Γl

lγΓγαβ − Γl

αγΓγlβ) (2.8.8)

これに擬テンソル tikを考慮すると、次式が得られると予想している。

R00 −1

2Rg00の２次近似部分 ≒エネルギー密度 (2.8.9)

R01 −1

2Rg01の２次近似部分 ≒ x座標の Poynitngベクトル (2.8.10)

R11 −1

2Rg11の２次近似部分 ≒ Maxwellテンソルの対角成分 (2.8.11)

R12 −1

2Rg12の２次近似部分 ≒ Maxwellテンソルの非対角成分 (2.8.12)

2.9 一般相対性理論の実験的検証への影響

2.9.1 水星の軌道の近日点移動

シュワルツシルド時空における質点の運動方程式は、h = r2 drds、u = 1

rとおいて、次式 4)p.122

で表される。

d2u

dφ+ u =

GM

h2+ 3

GM

c2u2 (2.9.1)

式 (2.9.1)の右辺第１項はニュートンの万有引力による項、右辺第２項が一般相対性理論に特有の項であり、第２項が「水星の軌道の近日点移動」が発生する実験的論拠となっている。上式は重力定数 κを含まないので、重力定数 κを１／４にしても実験的検証に影響しない。第 2.1節の仮説が正しいならば、第 2.5節、第 2.6節で論じたように、式 (2.5.2)のシュワルツシルド時空の計量は物質が存在する直感的な座標系ではなく、シュワルツシルド時空の座標系を式 (2.6.6)の物質が存在する直感的な時空の計量に変換する必要がある。この座標変換は、式(2.6.9)で近似される。この (x, y, z)の座標のオーダーをO(1)とするとき、式 (2.6.9)の座標変換を施した座標系では、(x, y, z)の座標がオーダーO(GM

c2r)のズレを生じるだけなので、式 (2.6.9)

の座標変換を施しても、「水星の軌道の近日点移動」の「厳密な実験的結果」との照合に大きな影響は与えない。

15

2.9.2 太陽周辺での光線の屈折

シュワルツシルド時空において、光線も測地線を描くが、中心からRまで近づく光線は、以下の式 4)p.124だけ方向を変える。

δ =2α

R=

4GM

c2R(2.9.2)

式 (2.9.2)は重力定数 κを含まないので、重力定数 κを１／４にしても「太陽周辺での光線の屈折」の実験的検証に影響しない。「厳密な実験的結果」への影響については「水星の軌道の近日点移動」と同様である。

2.9.3 スペクトルの赤方偏移

シュワルツシルド時空において、中心からRまで近づく光線は、その波長が、次式 4)p.132

だけ赤方にずれる。

z =∆λ

λ=

α

2R(2.9.3)

式 (2.9.3)は重力定数 κを含まないので、重力定数 κを１／４にしても「スペクトルの赤方偏移」の実験的検証に影響しない。「厳密な実験的結果」への影響については「水星の軌道の近日点移動」と同様である。

2.10 平面波 (sin/cosではなく,楕円関数の sn/cn/dnを使うべき)

量子力学の平面波は通常では sin(kx), cos(kx), eikxの三角関数か指数関数で表されるが、これらの関数は複素平面上で虚数軸に沿って進むとどちらかは必ず恒常的に発散するので、座標が複素数になった場合は、使用するのは妥当でないと思われる。代わりに非線形ではあるが複素平面上で２重周期性を持つ楕円関数 sn(u), cs(u), dn(u)を使用するのが妥当だと思われる。

3 宇宙論への影響

3.1 フリードマン方程式への影響

アインシュタイン方程式の 0− 0成分は次式となる。

3η

R2+

3R2

R2− Λ ≒ κρc2　 (3.1.1)

アインシュタイン方程式の 1− 1成分、2− 2成分、3− 3成分は次式となる。

16

− η

R2− R2

R2− 2R

R+ Λ ≒ κp (3.1.2)

R = constで η = 0の解 Λ ≒ 0, ρ ≒ 0, p ≒ 0をNewton宇宙と言いう。R = constで η = +1

の解 Λ ≒ κ(ρc2+3p)2

, R ≒√

2κ(ρc2+p)

を Einstien宇宙と言う。R = constで η = −1の解は存在し

ない。R = constの場合、式 (3.1.1)を x0で微分して (3.1.1) + (3.1.2) × 3RRを加えると次式

となるが、

d

dt(R3ρc2) + p

d

dt(R3) ≒ 0 (3.1.3)

実際の宇宙では ρc2 ≫ pなので第２項を無視でき、

2π2R3ρc2 = U (3.1.4)

と置くとき U が定数となり式 (3.1.1)は、

R2 ≒ κU

6π2R− η +

ΛR2

3(3.1.5)

となる。これをフリードマン方程式という。フリードマン方程式 (3.1.5)は、アインシュタインの重力定数 κを含んでいる。この為、私の予想である「アインシュタインの重力定数 κは 1/4」が成立しているとすると、フリードマン方程式を基にして研究された宇宙論、特に宇宙論の計算物理学の分野には、相当の影響や修正があると予想している。

3.2 皇極経世書

ある古文書に皇極経世書 (Kougyoku Keiseisho)9)p.72, p.113-p.127というものがある。これは易経 (Ekikyou)?)?)をベースにしたもので壮大な宇宙論を含んでいる。皇極経世書では、時間単位として、元（Gen）、会（Kai）、運（Un）、世（Ze）を用いる。１元は１２会、１会は３０運、１運は１２世、１世は３０年、１元の年数は１２９６００年でこれを一元消長数とし、この宇宙論は、これらの単位と易の６４卦の変化で導き出される。皇極経世書における宇宙論では、易経に書かれている６４卦の順番で以下のような宇宙の変遷が説かれている。

17

期値令卦統元年数備考現在から何年前か1 乾 60000 77,7600,0000 天地開闢約８３億９４８７年前2 坤 3600 4,6656,0000 地始形成約６億１８８７万年前3 屯 1000 1,2960,0000 水陸始分約１億５２３１万年前4 蒙 124 1607,0400 草木萌芽約２２７１万年前5 需 36 466,5600 物種始生約６６４万年前6 訟 10 129,6000 洪水氾濫約１９７万年前7 師 5 64,8000 人類始生約６７万年前

8～57 比～巽 1 12,9600× 50 天下文明約３万年前58 兌 5 64,8000 人類退化59 渙 10 129,6000 洪水復作60 節 36 466,5600 物種減少61 中孚 124 1607,0400 草木不生62 小過 1000 1,2960,0000 大陸平沈63 既済 3600 4,6656,0000 地球毀滅64 未済 60000 77,7600,0000 虚空粉砕計 129600 167,9616,0000

この暦で現在は、期８比の７会の２の１９２運らしい。１２９６００（（１２×３０）↑２）年の一元消長数が「地球のサイクルの波」で、これを２乗した値（（１２×３０）↑４）を「地球の寿命」を表す宇宙一元消長数としている。そして宇宙一元消長数を２乗した値（（１２×３０）↑８）を「銀河系の一元消長数」としている。さらに、「宇宙開闢」にあたる天地終始一元数がなんと [（１２×３０）↑１６ ] ↑６４＝（３６０↑１０２４）年であってこれを１サイクルとして大宇宙は循環を繰り返し尽きることがなく終わることがないと説いている。中国の星相学家たちは、この宇宙論が科学的に証明されるだろうと考えているらしい。地球の歴史は約４６億年と言われているが、今から溯ると「地球の寿命」の「天地開闢」と

「地始形成」の間に約４６億年前があって見事に一致している。宇宙の歴史は約１３７億年と言われているが、今から溯ると「銀河系の一元消長数」と「地球の寿命」の間に約１３７億年前があって見事に一致している。

4 計量の満たす方程式

4.1 変分原理

積分して保存されるのは式 (2.8.1)で表される擬テンソルである。時空間に存在する物質は、変分原理を使ってこれを最小にするようになっていると私は予想している。次節でこの方程式を導く事を試みる。

18

4.2 計量の満たす方程式

gij の変分は、

δgij = −gikgjlδgkl (4.2.1)

√−g の変分は、

δ√−g = −1

2

√−ggklδg

kl (4.2.2)

δΓkij はテンソルと同じ座標変換するので、Rij の変分は、

δRij = lδΓlij −iδΓ

llj (4.2.3)

R の変分は、

δR = (δgαβ)Rαβ + gαβ(lδΓlαβ −αδΓ

llβ) (4.2.4)

エネルギー運動量テンソル Tij は、

Tij =1

κ(Rij −

1

2Rgij + Λgij) (4.2.5)

エネルギー運動量テンソルの変分 δTij は、

δTij =1

κ(lδΓ

lij −iδΓ

llj)

− 1

2((δgαβ)Rαβgij + gαβ(lδΓ

lαβ −αδΓ

llβ)gij −Rgikgjlδg

kl))

− Λgikgjlδgkl

(4.2.6)

計量の満たす方程式は、擬テンソルの変分 δtij を計算して上式と合わせ導かれると私は予想している。付録Bでは、計量の満たす方程式の導出を試みているが、いまだ途中であり、十中八九計算間違いをしている。

5 議論

5.1 測地線の不確定性

計量と接続が複素数になるなら座標も複素数であると考えるのが妥当である。座標、計量、接続係数を次のように実数成分と虚数成分に分けて書くと、

xi = xiR + ixi

I (5.1.1a)

gij = gijR + igijI (5.1.1b)

Γkij = Γk

ijR + iΓkijI (5.1.1c)

19

測地線の方程式は、次式となる。

(d2xk

R

ds2

d2xkI

ds2

)=

(−Γk

ijR ΓkijI

−ΓkijI −Γk

ijR

)(dxi

R

ds

dxjR

ds− dxi

I

ds

dxjI

dsdxi

R

ds

dxjI

ds+

dxiI

ds

dxjR

ds

)(5.1.2)

次の変換を行うと、

dxiR

ds= ri cos θi (5.1.3a)

dxiI

ds= ri sin θi (5.1.3b)

−ΓkijR =

1

Rkij

cosϕkij (5.1.3c)

−ΓkijI =

1

Rkij

sinϕkij (5.1.3d)

式 (5.1.2)は次式となる。

drk

ds=∑i,j

rirj

Rkij

cos(ϕkij + θi + θj − θk) (5.1.4a)

rkdθk

ds=∑i,j

rirj

Rkij

sin(ϕkij + θi + θj − θk) (5.1.4b)

弱い重力場と弱い電磁場の元では、式 (5.1.2)は次式となる。

20

c2d2xR

d2s≒(−∂Φ

∂x)(cdtRds

cdtRds

− cdtIds

cdtIds

)

+1

ι(−∂Ax

∂t− ∂ϕ

∂x)(cdtRds

cdtRds

+cdtRds

cdtIds

)

− 1

ι(∂Ax

∂y− ∂Ay

∂x)(dyRds

cdtIds

+dyIds

cdtRds

)

− 1

ι(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x)(dzRds

cdtIds

+dzIds

cdtRds

)

(5.1.5a)

c2d2xI

d2s≒∂Φ

∂x(cdtRds

cdtIds

+cdtIds

cdtRds

)

− 1

ι(−∂Ax

∂t− ∂ϕ

∂x)(cdtRds

cdtRds

− cdtIds

cdtIds

)

+1

ι(∂Ax

∂y− ∂Ay

∂x)(dyRds

cdtRds

− dyIds

cdtIds

)

+1

ι(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x)(dzRds

cdtRds

− dzIds

cdtIds

)

(5.1.5b)

c2d2tRds2

≒− ∂Φ

∂t(cdtRds

cdtRds

− cdtIds

cdtIds

) +1

ι

∂ϕ

∂t(cdtRds

cdtIds

+cdtIds

cdtRds

)

− 2∂Φ

∂x(cdxR

ds

cdtRds

− cdxI

ds

cdtIds

) +2

ι

∂ϕ

∂x(cdxR

ds

cdtIds

+cdxI

ds

cdtRds

)

− 2∂Φ

∂y(cdyRds

cdtRds

− cdyIds

cdtIds

) +2

ι

∂ϕ

∂y(cdyRds

cdtIds

+cdyIds

cdtRds

)

− 2∂Φ

∂z(cdzRds

cdtRds

− cdzIds

cdtIds

) +2

ι

∂ϕ

∂z(cdzRds

cdtIds

+cdzIds

cdtRds

)

(5.1.5c)

c2d2tIds2

≒∂Φ

∂t(cdtRds

cdtIds

+cdtIds

cdtRds

)− 1

ι

∂ϕ

∂t(cdtRds

cdtRds

− cdtIds

cdtIds

)

+ 2∂Φ

∂x(cdxR

ds

cdtIds

+cdxI

ds

cdtRds

)− 2

ι

∂ϕ

∂x(cdxR

ds

cdtRds

− cdxI

ds

cdtIds

)

+ 2∂Φ

∂y(cdyRds

cdtIds

+cdyIds

cdtRds

)− 2

ι

∂ϕ

∂y(cdyRds

cdtRds

− cdyIds

cdtIds

)

+ 2∂Φ

∂z(cdzRds

cdtIds

+cdzIds

cdtRds

)− 2

ι

∂ϕ

∂z(cdzRds

cdtRds

− cdzIds

cdtIds

)

(5.1.5d)

物質が波であろうか粒子であろうかにかかわらず、物質が伝わる方向は測地線に沿っていると予想される。座標が実数のみの場合は、実数で始点の位置座標と方向ベクトルを与えれば測地線が一意に決まった。しかし座標を複素数にすると、始点の位置座標の虚数部と方向ベクトルの虚数部を与えなければ、測地線は全く決まらず不定のままになる。シュワルツシルド半径よりも遠い所では、xI , yI , zI , tI が無視出来たが、シュワルツシルド半径に近い所では、xI , yI , zI , tI が無視が出来なくて、ここに測地線の不確定性が生まれるのかも知れない。

21

5.2 ディラック方程式とラムシフト (Lamb shift)

ディラックは、相対論的量子力学のディラック方程式で電子にはスピン 12と−1

2の２種類が

ある事を示し、電子の反粒子である陽電子を予言したが 3)p.xxx、ディラック方程式には「ラムシフト」は現れない。これはディラック方程式が「線形」であるからと思われる。メンデル・サックスは、量子論の方程式を「非線形」にする事で、見事に「ラムシフト」を計算で導き出している 1)。

5.3 物質の根源は点でも弦でもなく穴

点は無であって、点が動くと線が生まれる。動くという時点で、時間の概念が発生する。線の両端の 2点に関し、その 2点は、一方は陰（マイナス）でもう一方は陽（プラス）と思われる。その 2点が衝突して結合すると面が生まれる。その面の境界は閉曲線のループ（loop）となっている。物質の根源は、そのループを行き来する、穴ではないかと予想している。異なる異次元時空間が２つあり、そこを結ぶ穴があると、その穴を通して、色々な物質が行き来し、その往来が多ければ、より穴の存在意義が大きくなって行く様な気がしている。その穴は、ミクロな時空間の歪みで生まれるものと予想している。

5.4 ミクロを記述する一般相対性理論

「一般相対性理論」は一般的には、物質（質量）の存在がマクロな宇宙規模で時空間に歪みを発生させる事と解釈されているが、私は、ミクロな時空間の歪みそのものが物質であり、この物質のミクロな歪みを記述するのも「一般相対性理論」であると予想している。物質が点だと、距離を rとするとポテンシャルが 1

rに比例するので、自己エネルギーが如何

しても発散してしまう。物質が穴だと、Lを非負正定数とする時、ポテンシャルは次式で近似出来て、自己エネルギーは発散しない。だから物質は穴だと思われる。

1

r + L(5.4.1)

Lを「素粒子定数」と呼ぶ事にする。フェルミオンは１０次元以上と思われるので、穴のこちら側（物質）とあちら側（反物質）を合わせると、時空間は２０次元以上と思われる。「ホモトピー的に考えて可縮でない閉じた曲線」があり得る所がフェルミオンと思われ、その所こそがまさに穴ではないかと思われる。

5.5 Connection Hole と Bind Hole

フェルミオン同士が相互作用する (間に力が働く)為には、何かが行き来していると考えるのが普通である。何かが行き来する為には、通路が必要である。この通路を「Connection Hole」と呼ぶ事にする。「Connection Hole」の中を何かが行き来しているが、これがボソンと考えられる。道路に例えると分かりやすいが「Connection Hole」の中に、行きの通路と帰りの通路の

22

２つ以上の通路がないと「Connection Hole」自体が消滅してしまうと思われる。「Connection

Hole」の中にある２個以上の行き/帰りの通路を「Bind Hole」と呼ぶ事にする。行きの通路を「Send Bind Hole」、帰りの通路を「Receive Bind Hole」と呼ぶ事にする。「Bind Hole」は一般的に「Connection Hole」の中に沢山あることが考えられる。

5.5.1 ボソンの次元は２６次元

フェルミオンの時空間は、前節で述べた通り２０次元以上と思われる。これに加えて、ボソンが存在する為の次元を追加する必要があると思われる。通路があってその中にまた通路がある事を考えると、追加する次元は幾何学的曲面を考えて最低３次元と思われる。実数で３次元だから、複素数にして実部と虚部を分けて考えると、６次元という事になると思われる。フェルミオンの２０次元にこの６次元を加えると、２６次元になる。超弦理論では、ボソンの次元を２６次元と予言しているが、それと見事に一致している 2)p.xxx。

5.5.2 不確定性の起因

「Connection Hole」の中の２個の「Send Bind Hole」と「Receive Bind Hole」をボソンが行き来する時、行きのボソンと帰りのボソンは同時に行き来すると考えられる。この時、ボソンの流れが既にあれば、その流れに従うと思うが、流れが淀んだ揺らぎの状態にある時、コインを投げて表が出るか裏が出るか分からないのと同様に、片方のフェルミオンから出るボソンが、何方の「Bind Hole」を通るか全く分からず、此処に起因して不確定性が発生すると思われる。

5.6 ハドロンのクォークが３個であることに関して

クォークを点とし、クォーク間に線分を引くとき、クォークが１個なら点のまま、クォークが２個なら線分、クォークが３個なら三角形の面になる。クォークが３個になって初めて、穴の基となる閉ループができる。物質の根源が穴だと仮定した場合、クォーク３個で穴の基となる閉ループが出来るので、ハドロンは、クォーク３個からなっていると思われる。

5.7 第５の力と反重力

4つの力（重力、電磁力、強い力、弱い力）に加えて第 5の力があるのでは？と私は思っている。電磁力は実は、ミクロに働くクーロン力と、マクロに働く磁力に分類され、合計 5つの力があるのではないかと思っている。電磁力が２つあるから力は合計５種類あると思っている。ミクロなハドロンやレプトンに働く力がクーロン力で、マクロな宇宙の様々な星の間に働く力が磁力と思っている。重力は引力だけだが、磁力は引力と斥力の両方がある。宇宙を加速膨張させる反重力とは、実は、磁力の斥力では？と私は予想している。

23

6 終わりに相対性理論と素粒子の弦理論が統一されれば、アインシュタインの夢（超大統一理論）が 100

年を超えて完成すると思われる。その為には、相対性理論からのアプローチと、素粒子の弦理論からのアプローチを結ぶ必要があると思われる。素粒子の弦理論からの研究は流行しているが、相対性理論からの研究はあまりなされていないように思える。本論文は、超大統一理論へ向けて、相対性理論からの研究の一助を示した積りである。本論文が、関係各位に研究のヒントを与えることが出来れば、これにまさる喜びはない。　謝辞中堤直さんとの度重なる議論を繰り返す中で色々と気付きがあり、この論文の助けになった。中堤直さんに大変感謝している。

参考文献(1) Mendel Sachs. Quantum Mechanics from General Relativity: — An Approximation for a

Theory of Inertia (Fundamental Theories of Physics)-US –. D Reidel Pub Co Published,

Dordrecht, 1986.

(2) 加来道雄. 超弦理論. シュプリングラー・フェアラーク東京, 第 2版, 1990.

(3) 朝永振一郎他. 量子力学（Dirac）. 岩波書店, ４, 1979.

(4) 平川浩正. 相対論. 共立出版, 第 7版, 1981.

(5) 湯川秀樹. アインシュタイン選集１ー特殊相対性理論・量子論・ブラウン運動ー. 共立出版, 第 1版, 1971.

(6) 湯川秀樹. アインシュタイン選集２ー般相対性理論および統一場理論ー. 共立出版, 第 1

版, 1971.

(7) ランダウ, リフシッツ. 場の古典論. 東京図書株式会社, 第 4版, 1980.

(8) 和田八三久. 電磁気学. 朝倉書店, 第 5版, 1977.

(9) 鮑黎明. 推背図. 東京サンデー社, 1984.

　付録

24

A Mathematicaによる計算の検算

A.1 計算の為の準備ファイル

A.1.1 計算の為の準備ファイル「christof.txt」

Chr1raw =

Table[

(D[g[[l,j]], u[[i]]] + D[g[[i,l]], u[[j]]] - D[g[[i,j]], u[[l]]])/2,

l,M, i,M, j,M

]

Chr1 = Simplify[Chr1raw]

Chr2raw =

Table[

Sum[ gi[[k,l]]*Chr1[[l,i,j]], l,M ],

k,M, i,M, j,M

]


A.1.2 計算の為の準備ファイル「einstein-eq.txt」

Rcrvraw =

Table[

D[Chr2[[l,j,k]], u[[i]]] - D[Chr2[[l,i,k]],u[[j]]]

+ Sum[ Chr2[[l,i,h]]*Chr2[[h,j,k]], h,M ]

- Sum[ Chr2[[l,j,h]]*Chr2[[h,i,k]], h,M

],

i,M, j,M, k,M, l,M

]

Ricciraw =

Table[

Sum[ Rcrvraw[[h,i,j,h]], h,M ],

i,M, j,M

]

Ricci = Simplify[Ricciraw]

Rraw =

Sum[

gi[[j,i]]*Ricciraw[[i,j]],

i,M, j,M

]

R = Simplify[Rraw]

kTraw = Ricci - 1/2 * R * g + Lambda * g

kT = Simplify[ kTraw ]

A.1.3 計算の為の準備ファイル「approxi-christof.txt」

Chr1raw =

Table[

(D[g[[l,j]], u[[i]]] + D[g[[i,l]], u[[j]]] - D[g[[i,j]], u[[l]]])/2,

l,M, i,M, j,M

]


Chr20raw =

Table[

Sum[ gi[[k,l]]*Chr1[[l,i,j]], l,M ],

k,M, i,M, j,M

]


Chr2 =

Normal[

Series[

Chr20 /. Thread[ svrs -> t2 * svrs ],

t2, 0, AprxOrder

]

25

] /. t2 -> 1

A.1.4 計算の為の準備ファイル「approxi-einstein-eq.txt」

Rcrvraw =

Table[

D[Chr2[[l,j,k]], u[[i]]] - D[Chr2[[l,i,k]],u[[j]]]

+ Sum[ Chr2[[l,i,h]]*Chr2[[h,j,k]], h,M ]

- Sum[ Chr2[[l,j,h]]*Chr2[[h,i,k]], h,M

],

i,M, j,M, k,M, l,M

]

Rcrv =

Normal[

Series[

Rcrvraw /. Thread[ svrs -> t2 * svrs ],

t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

Ricciraw =

Table[

Sum[ Rcrv[[h,i,j,h]], h,M ],

i,M, j,M

]

Ricci = Simplify[Ricciraw]

Rraw =

Sum[

gi[[j,i]]*Ricci[[i,j]],

i,M, j,M

]

R =

Normal[

Series[

Rraw /. Thread[ svrs -> t2 * svrs ],

t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

kTraw = Ricci - 1/2 * R * g + Lambda * g

kT =

Normal[

Series[

kTraw /. Thread[ svrs -> t2 * svrs ],

t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

A.1.5 ２項を１項にする為の準備ファイル「two item-to-one item.txt」

LenPlus[expr_] := If[ Head[expr]==Plus, Length[expr], 1, 1]

Rep[expr_, A_, B_, C_] := expr /; LenPlus[expr] == 1 ;

Rep[expr_, A_, B_, C_] :=

Rep2[Part[expr,1], Delete[expr,1], A,B,C] /; (Head[expr] == Plus && Length[expr] >= 2) ;

Rep[expr_, A_, B_, C_] = expr;

Rep2[h_, t_, A_, B_, C_] := h/A*C /; LenPlus[t]==1 && Simplify[h/A]==Simplify[t/B];

Rep2[h_, t_, A_, B_, C_] := h/B*C /; LenPlus[t]==1 && Simplify[h/B]==Simplify[t/A];

Rep2[h_, t_, A_, B_, C_] :=

Module[

x=Rep2[h, Part[t, 1], A,B,C],

If[Length[x + Delete[t, 1]] < Length[h+t],

Rep[x + Delete[t, 1], A,B,C],

Module[

y=Rep2[h, Delete[t, 1], A,B,C],

If[

Length[Part[t, 1] + y] < Length[h+t],

Rep[Part[t, 1] + y, A,B,C],

Module[

26

z=Rep2[ Part[t, 1], Delete[t, 1], A,B,C ],

If[

LenPlus[z] < LenPlus[t],

h + z,

h + Part[t,1] + Rep[ Delete[t, 1], A,B,C]

]

]

]

]

]

] /; LenPlus[t] >= 2;

Rep2[h_, t_, A_, B_, C_] := h + t;

A.2 ローレンツ力導出のMathematicaによる検算

d2xk

ds2+ Γk

ij

dxi

ds

dxj

ds= 0 (A.2.1)

A.2.1 第 (A.2.1)式の左辺第１項の計算

Mathematicaへの入力

(* -------- input -------- *)

AprxOrder = 1

M = 4

u = ct[s], x[s], y[s], z[s]

rule =

D[ct[s],s] -> 1, D[x[s],s] -> vx[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/c^2,

D[y[s],s] -> vy[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/c^2, D[z[s],s] -> vz[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/c^2

Diff1 = D[u[[2]],s]

Diff2 = Diff1 /. rule

Diff3 = D[Diff2,s]

Diff4 = Diff3 /. rule

svrs2 =

vx[ct[s],x[s],y[s],z[s]],

vy[ct[s],x[s],y[s],z[s]],vz[ct[s],x[s],y[s],z[s]],

D[vx[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]],D[vx[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

D[vx[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],D[vx[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

D[vy[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]],D[vy[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

D[vy[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],D[vy[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

D[vz[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]],D[vz[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

D[vz[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],D[vz[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]]

Diff5 =

Normal[

Series[

Diff4 /. Thread[ svrs2 -> t2 * svrs2 ],

t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

(* -------- output -------- *)

Diff5

Mathematicaからの出力

Diff5Diff5Diff5

vx(1,0,0,0)[ct[s], x[s], y[s], z[s]]

c2

(A.2.2)

27

A.2.2 第 (A.2.1)式の左辺第２項の符号を変えたものの計算


(* -------- input -------- *)

AprxOrder = 1

M = 4

u = ct[s], x[s], y[s], z[s]

g =

-1-2*U[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/c^2+I*2*p[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/it/c^2,

-I*Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/it/c, -I*Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/it/c,

-I*Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/it/c ,

-I*Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/it/c, 1, 0, 0 ,

-I*Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/it/c, 0, 1, 0 ,

-I*Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]]/it/c, 0, 0, 1

gi0raw = Inverse[g]

gi0 = Simplify[ gi0raw ]

svrs1 =

U[ct[s],x[s],y[s],z[s]], p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],

Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]], Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]], Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]]

gi =

Normal[

Series[

gi0 /. Thread[ svrs1 -> t2 * svrs1 ],

t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

svrs =

U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],

p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],

Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],

D[U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]],D[U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

D[U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],D[U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

D[p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]],D[p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

D[p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],D[p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]],D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]],D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]],D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]]

Get[ "approxi-christof.txt" ]

D2uByDs2v1 = -

Table[

Sum[

Chr2[[k]][[i]][[j]] * D[u[[i]],s] * D[u[[j]],s],

i,M,j,M

],

k,M

]

rule1 =

D[ct[s],s] -> 1, D[x[s],s] -> vx/c,

D[y[s],s] -> vy/c, D[z[s],s] -> vz/c,

D[U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]] -> Ut,

D[U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]] -> Ux,

D[U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]] -> Uy,

D[U[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]] -> Uz

D2uByDs2v2 = D2uByDs2v1 /. rule1

svrs2 = vx, vy, vz

D2uByDs2v3 =

Normal[

Series[

D2uByDs2v2 /. Thread[ svrs2 -> t2 * svrs2],

t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

28

D2uByDs2v4 = Expand[ D2uByDs2v3 ]

Get[ "two_item-to-one_item.txt" ]

RepE[expr_] :=

Rep[

Rep[

Rep[expr, D[p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

c*D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]], -Ex

], D[p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],

c*D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]], -Ey

], D[p[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

c*D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],ct[s]], -Ez

]

RepB[expr_] :=

Rep[

Rep[

Rep[

Rep[

Rep[

Rep[expr, D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],

-D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]], Bx

], D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

-D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]], By

], D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

-D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]], Bz

], D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]],

-D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]], -Bx

], D[Az[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]],

-D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],z[s]], -By

], D[Ax[ct[s],x[s],y[s],z[s]],y[s]],

-D[Ay[ct[s],x[s],y[s],z[s]],x[s]], -Bz

]

D2uByDs2v4[[1]] = RepB[ RepE[ D2uByDs2v4[[1]] ] ]




(* -------- output -------- *)

D2uByDs2v4[[1]]

D2uByDs2v4[[2]]

D2uByDs2v4[[3]]

D2uByDs2v4[[4]]


D2uByDs2v4[[1]]D2uByDs2v4[[1]]D2uByDs2v4[[1]]

− Ut

c2− 2Ux vx

c3− 2Uy vy

c3− 2Uz vz

c3

+2ivz p(0,0,0,1)[ct[s], x[s], y[s], z[s]]

c3it

+2ivy p(0,0,1,0)[ct[s], x[s], y[s], z[s]]

c3it

+2ivx p(0,1,0,0)[ct[s], x[s], y[s], z[s]]

c3it

+ip(1,0,0,0)[ct[s], x[s], y[s], z[s]]

c2it

(A.2.3a)


− iEx

c2it− Ux

c2− iBz vy

c2it+

iBy vz

c2it

(A.2.3b)

29


− iEy

c2it− Uy

c2+

iBz vx

c2it− iBx vz

c2it

(A.2.3c)


− iEz

c2it− Uz

c2− iBy vx

c2it+

iBx vy

c2it

(A.2.3d)

A.3 修正ローレンツ変換のMathematicaによる検算Mathematicaへの入力

(* -------- input -------- *)

G =

-1, 0, 0, 0 ,

0, 1, 0, 0 ,

0, 0, 1, 0 ,

0, 0, 0, 1

b = (vx^2+vy^2+vz^2)/c^2

L = 1/Sqrt[1-b] *

1, -vx/c, -vy/c, -vz/c ,

-vx/c, 1, I*vz/c, -I*vy/c ,

-vy/c, -I*vz/c, 1, I*vx/c ,

-vz/c, I*vy/c, -I*vx/c, 1

Lt = Transpose[L]

G2raw = Lt . G . L

G3raw = L . G . Lt

G2 = Simplify[ G2raw ]

G3 = Simplify[ G3raw ]

(* -------- output -------- *)

L

G2

G3


LLL

1√1− vx2+vy2+vz2

c2

,− vx

c√1− vx2+vy2+vz2

c2

,− vy


c2

,− vz


c2

,

− vx

c√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,1√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,ivz


c2

,− ivy

c√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,

− vy

c√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,− ivz

c√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,1√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,ivx

c√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,

− vz

c√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,ivy

c√

1− vx2+vy2+vz2

c2

,− ivx


c2

,1√

1− vx2+vy2+vz2

c2

(A.3.1a)

30

G2G2G2

−1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1(A.3.1b)

G3G3G3

−1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1(A.3.1c)

A.4 アインシュタイン方程式のMathematicaによる計算

A.4.1 一般的な１次元の場合

Mathematicaへの入力(* -------- input -------- *)

M = 1

u = u0

g = g00[ u0 ]

giraw = Inverse[ g ]

gi = Simplify[ giraw ]

Get[ "christof.txt" ]

Get[ "einstein-eq.txt" ]

(* -------- output -------- *)

Ricci

R

kT


RicciRicciRicci

0(A.4.1a)

RRR

0(A.4.1b)

kTkTkT

Lambda g00[u0](A.4.1c)

A.4.2 一般的な２次元の場合


M = 2

u = u0, u1

g =

g00[ u0,u1 ], g01[ u0,u1 ] ,

g01[ u0,u1 ], g11[ u0,u1 ]





(* -------- output -------- *)

Ricci

R

kT

31


RicciRicciRicci,RRR

Omitted because the equations are too long to describe.(A.4.2a)

kTkTkT

Lambda g00[u0, u1],Lambda g01[u0, u1],Lambda g01[u0, u1],Lambda g11[u0, u1]

(A.4.2b)

A.4.3 一般的な３次元の場合


M = 3

u = u0, u1, u2

g =

g00[ u0,u1,u2 ], g01[ u0,u1,u2 ], g02[ u0,u1,u2 ] ,

g01[ u0,u1,u2 ], g11[ u0,u1,u2 ], g12[ u0,u1,u2 ] ,

g02[ u0,u1,u2 ], g12[ u0,u1,u2 ], g22[ u0,u1,u2 ]





(* -------- output -------- *)

Ricci

R

kT


RicciRicciRicci,RRR,kTkTkT

Omitted because the equations are too long to describe.(A.4.3a)

A.5 シュワルツシルド時空のMathematicaによる検証

A.5.1 最も簡略化された極座標系の場合


M = 4

u = t, r, theta, phi

g =

-1+A/r, 0, 0, 0 ,

0, 1/(1-A/r), 0, 0 ,

0, 0, r^2, 0 ,

0, 0, 0, r^2*Sin[theta]^2

giraw = Inverse[g]

gi = Simplify[giraw]



(* -------- output -------- *)

Ricci

R

kT

32


RicciRicciRicci

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0(A.5.1a)

RRR

0(A.5.1b)

kTkTkT

Lambda (−1 +A

r), 0, 0, 0,

0,−Lambda r

A− r, 0, 0,

0, 0,Lambda r2, 0,0, 0, 0,Lambda r2Sin[theta]2

(A.5.1c)

A.5.2 等方空間での極座標系の場合


(* -------- input -------- *)

M = 4

u = t, r, theta, phi

g =

-((1-A/(4*r))^2)/(1+A/(4*r))^2, 0, 0, 0 ,

0, (1+A/(4*r))^4, 0, 0 ,

0, 0, r^2*(1+A/(4*r))^4, 0 ,

0, 0, 0, r^2*Sin[theta]^2*(1+A/(4*r))^4

giraw = Inverse[g]




(* -------- output -------- *)

Ricci

R

kT


RicciRicciRicci

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0(A.5.2a)

RRR

0(A.5.2b)

33

kTkTkT

− Lambda (A− 4r)2

(A+ 4r)2, 0, 0, 0,

0,Lambda (1 +A

4r)4, 0, 0,

0, 0, Lambda (A+ 4r)4

256r2, 0,

0, 0, 0, Lambda (A+ 4r)4Sin[theta]2

256r2

(A.5.2c)

A.5.3 ユークリッド座標系の場合


(* -------- input -------- *)

M = 4

u = t, x, y, z

r = Sqrt[x^2 + y^2 + z^2]

g =

-((1-A/(4*r))^2)/(1+A/(4*r))^2, 0, 0, 0 ,

0, (1+A/(4*r))^4, 0, 0 ,

0, 0, (1+A/(4*r))^4, 0 ,

0, 0, 0, (1+A/(4*r))^4

giraw = Inverse[g]




(* -------- output -------- *)

Ricci

R

kT


RicciRicciRicci

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0(A.5.3a)

RRR

0(A.5.3b)

34

kTkTkT

−Lambda (A− 4

√x2 + y2 + z2)2

(A+ 4√x2 + y2 + z2)2

, 0, 0, 0,

0,Lambda (1 +A

4√

x2 + y2 + z2)4, 0, 0,

0, 0,Lambda (1 +A

4√x2 + y2 + z2

)4, 0,

0, 0, 0,Lambda (1 +A

4√

x2 + y2 + z2)4

(A.5.3c)

A.6 アインシュタイン方程式のMathematicaによる線形近似

A.6.1 時空が４次元の場合


(* -------- input -------- *)

AprxOrder = 1

M = 4

u = u0, u1, u2, u3

g =

-1+h00[u0,u1,u2,u3],

h01[u0,u1,u2,u3],

h02[u0,u1,u2,u3],

h03[u0,u1,u2,u3] ,

h01[u0,u1,u2,u3],

1+h11[u0,u1,u2,u3],

h12[u0,u1,u2,u3],

h13[u0,u1,u2,u3] ,

h02[u0,u1,u2,u3],

h12[u0,u1,u2,u3],

1+h22[u0,u1,u2,u3],

h23[u0,u1,u2,u3] ,

h03[u0,u1,u2,u3],

h13[u0,u1,u2,u3],

h23[u0,u1,u2,u3],

1+h33[u0,u1,u2,u3]

gi0raw = Inverse[ g ]


svrs1 =

h00[u0,u1,u2,u3],

h01[u0,u1,u2,u3],

・・・

h23[u0,u1,u2,u3],

h33[u0,u1,u2,u3]

gi =

Normal[

Series[


t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

35

svrs =

h00[u0,u1,u2,u3],

h01[u0,u1,u2,u3],

・・・

h23[u0,u1,u2,u3],

h33[u0,u1,u2,u3],

D[h00[u0,u1,u2,u3],u0],

D[h00[u0,u1,u2,u3],u1],

D[h00[u0,u1,u2,u3],u2],

D[h00[u0,u1,u2,u3],u3],

・・・

D[h33[u0,u1,u2,u3],u0],

D[h33[u0,u1,u2,u3],u1],

D[h33[u0,u1,u2,u3],u2],

D[h33[u0,u1,u2,u3],u3],

D[D[h00[u0,u1,u2,u3],u0],u0],

D[D[h00[u0,u1,u2,u3],u0],u1],

D[D[h00[u0,u1,u2,u3],u0],u2],

D[D[h00[u0,u1,u2,u3],u0],u3],

・・・

D[D[h33[u0,u1,u2,u3],u3],u0],

D[D[h33[u0,u1,u2,u3],u3],u1],

D[D[h33[u0,u1,u2,u3],u3],u2],

D[D[h33[u0,u1,u2,u3],u3],u3]


Get[ "approxi-einstein-eq.txt" ]

(* -------- output -------- *)

kT[[1,1]]

kT[[1,2]]

kT[[2,2]]

kT[[2,3]]


偏微分のある項は、同じ変数の２階微分だけ残すと、以下となる。

kT[[1, 1]]kT[[1, 1]]kT[[1, 1]]

− Lambda +1

2(2Lambda h00[u0, u1, u2, u3]− h11(0,0,0,2)[u0,u1, u2, u3]

− h22(0,0,0,2)[u0, u1, u2, u3] + 2h23(0,0,1,1)[u0, u1, u2,u3]− h11(0,0,2,0)[u0, u1,u2, u3]

− h33(0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3] + 2h13(0,1,0,1)[u0, u1, u2,u3] + 2h12(0,1,1,0)[u0, u1, u2, u3]

− h22(0,2,0,0)[u0, u1, u2, u3]− h33(0,2,0,0)[u0,u1, u2, u3])

(A.6.1a)

kT[[1, 2]]kT[[1, 2]]kT[[1, 2]]

1

2(2Lambda h01[u0,u1, u2, u3]− h01(0,0,0,2)[u0, u1,u2, u3]− h01(0,0,2,0)[u0,u1, u2, u3]

+ h03(0,1,0,1)[u0, u1, u2, u3] + h02(0,1,1,0)[u0,u1, u2, u3] + h13(1,0,0,1)[u0, u1, u2, u3]

+ h12(1,0,1,0)[u0, u1, u2, u3]− h22(1,1,0,0)[u0,u1, u2, u3]− h33(1,1,0,0)[u0, u1, u2, u3])

(A.6.1b)

36

kT[[2, 2]]kT[[2, 2]]kT[[2, 2]]

Lambda +1

2(2Lambda h11[u0, u1, u2, u3]− h00(0,0,0,2)[u0, u1, u2,u3]

+ h22(0,0,0,2)[u0, u1, u2, u3]− 2h23(0,0,1,1)[u0, u1, u2,u3]− h00(0,0,2,0)[u0, u1,u2, u3]

+ h33(0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3] + 2h03(1,0,0,1)[u0, u1, u2,u3] + 2h02(1,0,1,0)[u0, u1, u2, u3]

− h22(2,0,0,0)[u0, u1, u2, u3]− h33(2,0,0,0)[u0,u1, u2, u3])

(A.6.1c)

kT[[2, 3]]kT[[2, 3]]kT[[2, 3]]

1

2(2Lambda h12[u0,u1, u2, u3]− h12(0,0,0,2)[u0, u1,u2, u3] + h13(0,0,1,1)[u0,u1, u2, u3]

+ h23(0,1,0,1)[u0, u1, u2, u3] + h00(0,1,1,0)[u0,u1, u2, u3]− h33(0,1,1,0)[u0, u1, u2, u3]

− h01(1,0,1,0)[u0, u1, u2, u3]− h02(1,1,0,0)[u0,u1, u2, u3] + h12(2,0,0,0)[u0, u1, u2, u3])

(A.6.1d)

A.7 点電荷のMathematicaによる検算

A.7.1 時空が４次元の場合


(* -------- input -------- *)

g0 =

-1-A/r, 0, 0, 0 ,

0, 1+B*A/r, 0, 0 ,

0, 0, 1+B*A/r, 0 ,

0, 0, 0, 1+B*A/r

b = (vx^2 + vy^2 + vz^2)/(c^2)

L = 1/Sqrt[1-b] *

1, -vx/c, -vy/c, -vz/c ,

-vx/c, 1, -I*vz/c, I*vy/c ,

-vy/c, I*vz/c, 1, -I*vx/c ,

-vz/c, -I*vy/c, I*vx/c, 1

Lt = Transpose[L]

graw = Lt . g0 . L

g = Simplify[ graw ]

svrs2 = vx, vy, vz

g2 =

Normal[

Series[

g /. Thread[ svrs2 -> t2 * svrs2 ],

t2, 0, 1

]

] /. t2 -> 1

(* -------- output -------- *)

g2


37

g2g2g2

−1− A

r,−A(−1 +B)vx

cr,−A(−1 +B)vy

cr,−A(−1 +B)vz

cr,

−A(−1 +B)vx

cr, 1 +

AB

r, 0, 0,

−A(−1 +B)vy

cr, 0, 1 +

AB

r, 0,

−A(−1 +B)vz

cr, 0, 0, 1 +

AB

r

(A.7.1)

A.7.2 時空が５次元で５番目の指標がプラスの場合


(* -------- input -------- *)

g0 =

-1-A/r, 0, 0, 0, 0 ,

0, 1+B*A/r, 0, 0, 0 ,

0, 0, 1+B*A/r, 0, 0 ,

0, 0, 0, 1+B*A/r, 0 ,

0, 0, 0, 0, 1+C*A/r

b = (vx^2 + vy^2 + vz^2)/(c^2)

L = 1/Sqrt[1-b] *

1, -vx/c, -vy/c, -vz/c, 0 ,

-vx/c, 1, -I*vz/c, I*vy/c, 0 ,

-vy/c, I*vz/c, 1, -I*vx/c, 0 ,

-vz/c, -I*vy/c, I*vx/c, 1, 0 ,

0, 0, 0, 0, 1

Lt = Transpose[L]

graw = Lt . g0 . L


svrs2 = vx, vy, vz

g2 =

Normal[

Series[


t2, 0, 1

]

] /. t2 -> 1

(* -------- output -------- *)

g2



38

g2g2g2

−1− A

r,−A(−1 +B)vx

cr,−A(−1 +B)vy

cr,−A(−1 +B)vz

cr, 0,

−A(−1 +B)vx

cr, 1 +

AB

r, 0, 0, 0,

−A(−1 +B)vy

cr, 0, 1 +

AB

r, 0, 0,

−A(−1 +B)vz

cr, 0, 0, 1 +

AB

r, 0,

0, 0, 0, 0, 1 + AC

r

(A.7.2)

A.7.3 時空が５次元で５番目の指標がマイナスの場合


(* -------- input -------- *)

g0 =

-1-A/r, 0, 0, 0, 0 ,

0, 1+B*A/r, 0, 0, 0 ,

0, 0, 1+B*A/r, 0, 0 ,

0, 0, 0, 1+B*A/r, 0 ,

0, 0, 0, 0, -1+C*A/r

b = (vx^2 + vy^2 + vz^2)/(c^2)

L = 1/Sqrt[1-b] *

1, -vx/c, -vy/c, -vz/c, 0 ,

-vx/c, 1, -I*vz/c, I*vy/c, 0 ,

-vy/c, I*vz/c, 1, -I*vx/c, 0 ,

-vz/c, -I*vy/c, I*vx/c, 1, 0 ,

0, 0, 0, 0, 1

Lt = Transpose[L]

graw = Lt . g0 . L


svrs2 = vx, vy, vz

g2 =

Normal[

Series[


t2, 0, 1

]

] /. t2 -> 1

(* -------- output -------- *)

g2


39

g2g2g2

−1− A

r,−A(−1 +B)vx

cr,−A(−1 +B)vy

cr,−A(−1 +B)vz

cr, 0,

−A(−1 +B)vx

cr, 1 +

AB

r, 0, 0, 0,

−A(−1 +B)vy

cr, 0, 1 +

AB

r, 0, 0,

−A(−1 +B)vz

cr, 0, 0, 1 +

AB

r, 0,

0, 0, 0, 0,−1 +AC

r

(A.7.3)

A.8 アインシュタイン方程式からダランベール演算子の導出へ向けて

g′ij ≒

−1− α

rαvx2rc

αvy2rc

αvz2rc

0αvx2rc

1 + α2r

0 0 0αvy2rc

0 1 + α2r

0 0αvz2rc

0 0 1 + α2r

0

0 0 0 0 ±1 +∓3α2r

≒

−1− 2Φ

c2+ i 2ϕ

ιc2iAx

ιciAy

ιciAz

ιc0

iAx

ιc1 + Φ

c2− i ϕ

ιc20 0 0

iAy

ιc0 1 + Φ

c2− i ϕ

ιc20 0

iAz

ιc0 0 1 + Φ

c2− i ϕ

ιc20

0 0 0 0 ±1 +∓(− 3Φ2c2

+ i 3ϕ2ιc2

)

(A.8.1)

４次元の時空間を５次元（複素数だから実部／虚部を分けて考えると１０次元）にして、擬テンソル hijの各 hij成分が、第 (A.8.1)式に従うと仮定し、５次元で線形近似を行ってみる。

A.8.1 時空が５次元で５番目の指標がプラスの場合


(* -------- input -------- *)

AprxOrder = 1

M = 5

u = u0, u1, u2, u3, u4

g =

-1-2*Phi[u0,u1,u2,u3,u4]/c^2+I*2*p[u0,u1,u2,u3,u4]/it/c^2,

I*Ax[u0,u1,u2,u3,u4]/it/c,

I*Ay[u0,u1,u2,u3,u4]/it/c,

I*Az[u0,u1,u2,u3,u4]/it/c,

40

0 ,


1+Phi[u0,u1,u2,u3,u4]/c^2-I*p[u0,u1,u2,u3,u4]/it/c^2,

0,

0,

0 ,


0,


0,

0 ,


0,

0,


0 ,

0,

0,

0,

0,

1+3*Phi[u0,u1,u2,u3,u4]/2/c^2-I*3*p[u0,u1,u2,u3,u4]/2/it/c^2



svrs1 =

Phi[u0,u1,u2,u3,u4],

p[u0,u1,u2,u3,u4],

Ax[u0,u1,u2,u3,u4],

Ay[u0,u1,u2,u3,u4],

Az[u0,u1,u2,u3,u4]

gi =

Normal[

Series[


t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

svrs =


p[u0,u1,u2,u3,u4],

Ax[u0,u1,u2,u3,u4],

Ay[u0,u1,u2,u3,u4],

Az[u0,u1,u2,u3,u4],

D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u0],

D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u1],

D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u2],

・・・

D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u2],

D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u3],

D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u4],

D[D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u0],u0],

D[D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u0],u1],

D[D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u0],u2],

・・・

D[D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u4],u2],

D[D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u4],u3],

D[D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u4],u4]



kT = Expand[ kT ]

(* -------- output -------- *)

41

kT[[1,1]]

kT[[1,2]]

kT[[2,2]]

kT[[2,3]]

kT[[1,5]]

kT[[2,5]]

kT[[5,5]]



kT[[1, 1]]kT[[1, 1]]kT[[1, 1]]

− Lambda +2iLambda p[u0, u1,u2, u3, u4]

c2it− 2Lambda Phi[u0, u1,u2, u3, u4]

c2

+3ip(0,0,0,0,2)[u0, u1, u2,u3, u4]

2c2it− 3Phi(0,0,0,0,2)[u0, u1,u2, u3, u4]

2c2+

7ip(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

4c2it

− 7Phi(0,0,0,2,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

4c2+

7ip(0,0,2,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

4c2it− 7Phi(0,0,2,0,0)[u0,u1, u2, u3,u4]

4c2

+7ip(0,2,0,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

4c2it− 7Phi(0,2,0,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

4c2

(A.8.2a)

kT[[1, 2]]kT[[1, 2]]kT[[1, 2]]

iLambda Ax[u0, u1, u2,u3, u4]

cit− iAx(0,0,0,0,2)[u0, u1, u2, u3, u4]

2cit− iAx(0,0,0,2,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

2cit

− iAx(0,0,2,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

2cit+

iAz(0,1,0,1,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

2cit+

iAy(0,1,1,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

2cit

+7ip(1,1,0,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

4c2it− 7Phi(1,1,0,0,0)[u0, u1, u2, u3,u4]

4c2

(A.8.2b)

kT[[2, 2]]kT[[2, 2]]kT[[2, 2]]

Lambda− iLambda p[u0, u1, u2,u3, u4]

c2it+

Lambda Phi[u0,u1, u2, u3, u4]

c2

− 2ip(0,0,0,0,2)[u0, u1,u2, u3, u4]

c2it+

2Phi(0,0,0,0,2)[u0,u1, u2, u3,u4]

c2− 9ip(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

4c2it

+9Phi(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

4c2− 9ip(0,0,2,0,0)[u0,u1, u2, u3,u4]

4c2it+

9Phi(0,0,2,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

4c2

+iAz(1,0,0,1,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

cit+

iAy(1,0,1,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

cit+

7ip(2,0,0,0,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

4c2it

− 7Phi(2,0,0,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

4c2

(A.8.2c)

kT[[2, 3]]kT[[2, 3]]kT[[2, 3]]

9ip(0,1,1,0,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

4c2it− 9Phi(0,1,1,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

4c2− iAx(1,0,1,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

2cit

− iAy(1,1,0,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

2cit

(A.8.2d)

kT[[1, 5]]kT[[1, 5]]kT[[1, 5]]

iAz(0,0,0,1,1)[u0, u1, u2, u3,u4]

2cit+

iAy(0,0,1,0,1)[u0,u1, u2, u3, u4]

2cit+

iAx(0,1,0,0,1)[u0, u1, u2,u3, u4]

2cit

+3ip(1,0,0,0,1)[u0, u1, u2, u3,u4]

2c2it− 3Phi(1,0,0,0,1)[u0, u1, u2,u3, u4]

2c2

(A.8.2e)

42

kT[[2, 5]]kT[[2, 5]]kT[[2, 5]]

2ip(0,1,0,0,1)[u0, u1,u2, u3, u4]

c2it− 2Phi(0,1,0,0,1)[u0,u1, u2, u3, u4]

c2− iAx(1,0,0,0,1)[u0, u1, u2,u3, u4]

2cit

(A.8.2f)

kT[[5, 5]]kT[[5, 5]]kT[[5, 5]]

Lambda− 3iLambda p[u0, u1, u2,u3, u4]

2c2it+

3Lambda Phi[u0, u1, u2,u3, u4]

2c2

− 2ip(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

c2it+

2Phi(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3,u4]

c2− 2ip(0,0,2,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

c2it

+2Phi(0,0,2,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

c2− 2ip(0,2,0,0,0)[u0, u1, u2, u3,u4]

c2it+

2Phi(0,2,0,0,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

c2

+iAz(1,0,0,1,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

cit+

iAy(1,0,1,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

cit+

iAx(1,1,0,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

cit

+3ip(2,0,0,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

2c2it− 3Phi(2,0,0,0,0)[u0, u1, u2, u3,u4]

2c2

(A.8.2g)

A.8.2 時空が５次元で５番目の指標がマイナスの場合


(* -------- input -------- *)

AprxOrder = 1

M = 5

u = u0, u1, u2, u3, u4

g =

-1-2*Phi[u0,u1,u2,u3,u4]/c^2+I*2*p[u0,u1,u2,u3,u4]/it/c^2,




0 ,



0,

0,

0 ,


0,


0,

0 ,


0,

0,


0 ,

0,

0,

0,

0,

-1-3*Phi[u0,u1,u2,u3,u4]/2/c^2+I*3*p[u0,u1,u2,u3,u4]/2/it/c^2



svrs1 =


p[u0,u1,u2,u3,u4],

Ax[u0,u1,u2,u3,u4],

Ay[u0,u1,u2,u3,u4],

Az[u0,u1,u2,u3,u4]

gi =

43

Normal[

Series[


t2, 0, AprxOrder

]

] /. t2 -> 1

svrs =


p[u0,u1,u2,u3,u4],

Ax[u0,u1,u2,u3,u4],

Ay[u0,u1,u2,u3,u4],

Az[u0,u1,u2,u3,u4],

D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u0],

D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u1],

D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u2],

・・・

D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u2],

D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u3],

D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u4],

D[D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u0],u0],

D[D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u0],u1],

D[D[Phi[u0,u1,u2,u3,u4],u0],u2],

・・・

D[D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u4],u2],

D[D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u4],u3],

D[D[Az[u0,u1,u2,u3,u4],u4],u4]



kT = Expand[ kT ]

(* -------- output -------- *)

kT[[1,1]]

kT[[1,2]]

kT[[2,2]]

kT[[2,3]]

kT[[1,5]]

kT[[2,5]]

kT[[5,5]]



kT[[1, 1]]kT[[1, 1]]kT[[1, 1]]

− Lambda +2iLambda p[u0, u1,u2, u3, u4]

c2it− 2Lambda Phi[u0, u1,u2, u3, u4]

c2

− 3ip(0,0,0,0,2)[u0, u1, u2,u3, u4]

2c2it+

3Phi(0,0,0,0,2)[u0, u1,u2, u3, u4]

2c2+

7ip(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

4c2it

− 7Phi(0,0,0,2,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

4c2+

7ip(0,0,2,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

4c2it− 7Phi(0,0,2,0,0)[u0,u1, u2, u3,u4]

4c2

+7ip(0,2,0,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

4c2it− 7Phi(0,2,0,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

4c2

(A.8.3a)

44

kT[[1, 2]]kT[[1, 2]]kT[[1, 2]]

iLambda Ax[u0, u1, u2,u3, u4]

cit+

iAx(0,0,0,0,2)[u0, u1, u2, u3, u4]

2cit− iAx(0,0,0,2,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

2cit

− iAx(0,0,2,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

2cit+

iAz(0,1,0,1,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

2cit+

iAy(0,1,1,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

2cit

+7ip(1,1,0,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

4c2it− 7Phi(1,1,0,0,0)[u0, u1, u2, u3,u4]

4c2

(A.8.3b)

kT[[2, 2]]kT[[2, 2]]kT[[2, 2]]

Lambda− iLambda p[u0, u1, u2,u3, u4]

c2it+

Lambda Phi[u0,u1, u2, u3, u4]

c2

+2ip(0,0,0,0,2)[u0, u1,u2, u3, u4]

c2it− 2Phi(0,0,0,0,2)[u0,u1, u2, u3,u4]

c2− 9ip(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

4c2it

+9Phi(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

4c2− 9ip(0,0,2,0,0)[u0,u1, u2, u3,u4]

4c2it+

9Phi(0,0,2,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

4c2

+iAz(1,0,0,1,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

cit+

iAy(1,0,1,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

cit+

7ip(2,0,0,0,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

4c2it

− 7Phi(2,0,0,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

4c2

(A.8.3c)

kT[[2, 3]]kT[[2, 3]]kT[[2, 3]]

9ip(0,1,1,0,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

4c2it− 9Phi(0,1,1,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

4c2− iAx(1,0,1,0,0)[u0, u1,u2, u3, u4]

2cit

− iAy(1,1,0,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

2cit

(A.8.3d)

kT[[1, 5]]kT[[1, 5]]kT[[1, 5]]

iAz(0,0,0,1,1)[u0, u1, u2, u3,u4]

2cit+

iAy(0,0,1,0,1)[u0,u1, u2, u3, u4]

2cit+

iAx(0,1,0,0,1)[u0, u1, u2,u3, u4]

2cit

+3ip(1,0,0,0,1)[u0, u1, u2, u3,u4]

2c2it− 3Phi(1,0,0,0,1)[u0, u1, u2,u3, u4]

2c2

(A.8.3e)

kT[[2, 5]]kT[[2, 5]]kT[[2, 5]]

2ip(0,1,0,0,1)[u0, u1,u2, u3, u4]

c2it− 2Phi(0,1,0,0,1)[u0,u1, u2, u3, u4]

c2− iAx(1,0,0,0,1)[u0, u1, u2,u3, u4]

2cit

(A.8.3f)

kT[[5, 5]]kT[[5, 5]]kT[[5, 5]]

− Lambda +3iLambda p[u0, u1, u2, u3,u4]

2c2it− 3Lambda Phi[u0, u1, u2, u3,u4]

2c2

+2ip(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

c2it− 2Phi(0,0,0,2,0)[u0, u1, u2, u3,u4]

c2+

2ip(0,0,2,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

c2it

− 2Phi(0,0,2,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

c2+

2ip(0,2,0,0,0)[u0, u1, u2, u3,u4]

c2it− 2Phi(0,2,0,0,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

c2

− iAz(1,0,0,1,0)[u0,u1, u2, u3, u4]

cit− iAy(1,0,1,0,0)[u0, u1, u2,u3, u4]

cit− iAx(1,1,0,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

cit

− 3ip(2,0,0,0,0)[u0, u1, u2, u3, u4]

2c2it+

3Phi(2,0,0,0,0)[u0, u1, u2, u3,u4]

2c2

(A.8.3g)

45

B 計量テンソルの満たす方程式の計算の準備

B.1 変分原理

積分して保存されるのは、

∂

∂xk(−g)(T ik + tik) = 0 (B.1.1)

中の (−g)(T ik + tik)で表される擬テンソルである。時空間に存在する物質は、変分原理を使ってこれを最小にするようになっていると私は予想している。次節でこの方程式を導く準備をする。（注：次節で示す計算は十中八九、計算間違いをしている。）

B.2 計量の満たす方程式

gij の変分は、

δgij = −gikgjlδgkl (B.2.1)

√−g の変分は、

δ√−g = −1

2

√−ggklδg

kl (B.2.2)

δΓkij はテンソルと同じ座標変換するので、Rij の変分は、

δRij = lδΓlij −iδΓ

llj (B.2.3)

R の変分は、

δR = (δgαβ)Rαβ + gαβ(lδΓlαβ −αδΓ

llβ) (B.2.4)

エネルギー運動量テンソル Tij は、

Tij =1

κ(Rij −

1

2Rgij + Λgij) (B.2.5)

エネルギー運動量テンソルの変分 δTij は、

δTij =1

κ(lδΓ

lij −iδΓ

llj)

− 1

2((δgαβ)Rαβgij + gαβ(lδΓ

lαβ −αδΓ

llβ)gij −Rgikgjlδg

kl))

− Λgikgjlδgkl

(B.2.6)

46

エネルギー運動量テンソルの積分の変分は、

δ2

∫Ω

Tij

√−gdΩ =

1

κ

∫Ω

2(lδΓlij −iδΓ

llj) + gαβ(lδΓ

lαβ −αδΓ

llβ)gij

+ (−Rklgij −Rijgkl + (1

2R− Λ)(2gikgjl + gijgkl))δg

kl√−gdΩ

=1

κ

∫Ω

−2i δΓllj


2R− Λ)(2gikgjl + gijgkl))δg

kl√−gdΩ

(B.2.7)

iδΓllj =

∂δΓllj

∂xi− Γm

li δΓlmj − Γm

ij δΓllm + Γl

imδΓmlj

iδΓllj =

∂δΓllj

∂xi− Γm

ij δΓllm

f i δΓλλj =(

∂

∂xλ

∂f

∂xigλγ)δgγj + (

∂

∂xj

∂f

∂xigλγ)δgλγ − (

∂

∂xγ

∂f

∂xigλγ)δgλj

+1

2Γmij

∂fgλn

∂xλδgnm +

∂fgλn

∂xmδgλn −

∂fgλn

∂xnδgλm + fΓn,λmδg

λn

−2f i δΓλλj =2( ∂

∂xλ

∂f

∂xigλγ)gγkgjl + 2(

∂

∂xj

∂f

∂xigλγ)gλkgγl − 2(

∂

∂xγ

∂f

∂xigλγ)gλkgjl

+ Γmij

∂fgλn

∂xλgnkgml +

∂fgλn

∂xmgλkgnl −

∂fgλn

∂xngλkgml + fΓl,kmδgkl

(B.2.8)

2(∂

∂xλ

∂√−g

∂xigλγ)gγkgjl + 2(

∂

∂xj

∂√−g

∂xigλγ)gλkgγl − 2(

∂

∂xγ

∂√−g

∂xigλγ)gλkgjl

+ Γmij

∂√−ggλn

∂xλgnkgml +

∂√−ggλn

∂xmgλkgnl −

∂√−ggλn

∂xngλkgml +

√−gΓl,km


2R− Λ)(2gikgjl + gijgkl))

√−g = 0

(B.2.9)

√−g

∂xλ= Γγ

γλ (B.2.10a)

∂gkl

∂xλ= −gikgjl

∂gij∂xλ

= −gikgjl(Γj,λi + Γi,λj) = −gikΓlλi − gjlΓk

λj (B.2.10b)

∂√−ggkl

∂xλ= Γγ

γλgkl − (gikΓl

λi + gjlΓkλj)

√−g (B.2.10c)

∂

∂xγ

√−g

∂xλgkl =

∂

∂xγΓττλg

kl =∂Γτ

τλ

∂xγgkl − Γτ

τλ(gikΓl

γi + gjlΓkγj) (B.2.10d)

47

2∂Γτ

τi

∂xλgλγgγkgjl + 2

∂Γττi

∂xjgλγgλkgγl − 2

∂Γττi

∂xγgλγgλkgjl

− 2Γττi(g

αλΓγλα + gβγΓλ

λβ)gγkgjl − 2Γττi(g

αλΓγjα + gβγΓλ

jβ)gλkgγl + 2Γττi(g

αλΓγγα + gβγΓλ

γβ)gλkgjl

+ ΓmijΓ

γγλg

λngnkgml + Γγγmg

λngλkgnl − Γγγng

λngλkgml− Γm

ij(gαλΓnλα + gβnΓλ

λβ)gnkgml + (gαλΓnmα + gβnΓλ

mβ)gλkgnl − (gαλΓnnα + gβnΓλ

nβ)gλkgml√−g

+ ΓmijΓl,km

√−g



√−g = 0

(B.2.11)

2∂Γτ

τi

∂xjgkl

− 2Γττi(2Γ

γλαg

αλgγkgjl + 2Γλλkgjl − Γγ

jkgγl − Γλjlgλk)

+ ΓmijΓ

γγmgkl

− ΓmijΓn

mkgnl + Γλmlgλk

√−g

+ ΓmijΓl,km

√−g



√−g = 0

(B.2.12)

2∂Γτ

τi

∂xjgkl

− 2Γττi(2Γk,λαg

αλgjl + 2Γλλkgjl − Γl,jk − Γk,jl)

+ ΓmijΓ

γγmgkl

− ΓmijΓl,mk + Γk,ml − Γl,km

√−g



√−g = 0

(B.2.13)

計量の満たす方程式

(2∂Γτ

τi

∂xj+ Γm

ijΓγγm)gkl



+ −Γmij (Γl,mk + Γk,ml − Γl,km)

−Rklgij −Rijgkl + (1


√−g = 0

(B.2.14)

計量の満たす方程式

48

(2∂Γτ

τi

∂xj+ Γm

ijΓγγm)gkl



+ −Γmij (Γl,mk + Γk,ml − Γl,km)

−Rklgij −Rijgkl + (1


√−g = 0

(B.2.15)

gklで縮約すると

N(2∂Γτ

τi

∂xj+ Γm

ijΓγγm)− 4Γτ

τiΓj,λαgαλ

+ −ΓmijΓ

λλm −NRij + (

1

2R− 3Λ)gij

√−g = 0

(B.2.16)

gijで縮約すると

N(∂Γτ

τi

∂xj+ Γm

ijΓγγm)g

ij − 4ΓττγΓ

γλαg

αλ

+ −ΓmijΓ

λλmg

ij −N(1

2R + 3Λ)

√−g = 0

(B.2.17)

k,lを入れ換えて引く。

− 4Γττi(Γk,λαg

αλgjl + Γλλkgjl − Γl,λαg

αλgjk − Γλλlgjk)

+ Γmij (Γl,km − Γk,lm) + (R− 2Λ)(gikgjl − gilgjk))

√−g = 0

(B.2.18)

gijで縮約すると

4(−ΓττlΓk,λαg

αλ − ΓττlΓ

λλk + Γτ

τkΓl,λαgαλ + Γτ

τkΓλλl)

+ Γmij g

ij(Γl,km − Γk,lm)√−g = 0

(B.2.19)

i,jを入れ換えて引く。

(2∂Γτ

τi

∂xj− 2

∂Γττj

∂xi)gkl



+ 2Γττj(2Γk,λαg

αλgil + 2Γλλkgil − Γl,ik − Γk,il)

+ (R− 2Λ)(gikgjl − gjkgil))√−g = 0

(B.2.20)

gklで縮約し 2で割ると

N(∂Γτ

τi

∂xj−

∂Γττj

∂xi)− 2Γτ

τiΓj,λαgαλ + 2Γτ

τjΓi,λαgαλ = 0 (B.2.21)

49

C ゲージ変換との関係

C.1 電磁場の自由度

電磁場のスカラーポテンシャル ϕとベクトルポテンシャル Aは、次式で表される変換を行っても電場 Eと磁 B場が不変に保たれる。この変換をゲージ変換といって、ゲージ変換で不変に保たれる物理量を基にしてクーロン力と弱い力の統一が成されている。

ϕ → ϕ+∂χ

∂t(C.1.1a)

A → A+ gradχ (C.1.1b)

電磁場のスカラーポテンシャルϕとベクトルポテンシャル Aは次式で表される計量で決まる。

gij ≒

i 2ϕc2ι

−iAx

cι−iAy

cι−iAz

cι∗

−iAx

cι1 0 0 ∗

−iAy

cι0 1 0 ∗

−iAz

cι0 0 1 ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(C.1.2)

この計量に電磁場のゲージ変換を行う座標変換行列Gは次の式で表される。

G ≒

1− i

c2ι∂χ∂t

icι

∂χ∂x

icι

∂χ∂y

icι

∂χ∂z

∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(C.1.3)

g′ij ≒ GtgijG

≒

−1 + 2i

c2ι(ϕ+ ∂χ

∂t) − i

cι(Ax +

∂χ∂x) − i

cι(Ay +

∂χ∂y) − i

cι(Az +

∂χ∂z) ∗

− icι(Ax +

∂χ∂x) 1 0 0 ∗

− icι(Ay +

∂χ∂y) 0 1 0 ∗

− icι(Az +

∂χ∂z) 0 0 1 ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(C.1.4)

ちなみに変換行列Gはエルミート行列ではなく単なる対称行列となっている。

50

複素対称相対論(complex symmetric relativity...

Documents