國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文

指導教授左台益 博士

十字交乘法之遊戲式學習活動設計與教學成效評估

研 究 生邱 振 源

中 華 民 國 一 百 零 七 年 七 月

i

目錄

第一章 緒論 1

研究背景與動機 1 第一節

研究目的與問題 5 第二節

研究限制 6 第三節

第二章 文獻探討 7

十字交乘法與中學數學課程架構 7 第一節

APOS 學習理論 11 第二節

遊戲式學習 16 第三節

觸控裝置與體現認知 19 第四節

第三章 研究方法 21

研究設計 21 第一節

研究對象 23 第二節

研究流程 24 第三節

研究工具 25 第四節

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動 28

學習活動 28 第一節

遊戲活動 37 第二節

結合操縱變因 44 第三節

第五章 研究結果 47

各組間學習表現之差異 47 第一節

各組間認知負荷與感受之差異 53 第二節

學習效率與投入 56 第三節

第六章 結論與建議 60

結論 60 第一節

建議 61 第二節

參考文獻 63

附錄 68

附錄一 多項式與因式分解測驗（前測） 68

附錄二 感受量表 69

附錄三 利用十字交乘法因式分解（後測） 72

ii

圖目錄

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係 3

圖 2- 1 十字交乘法範例 8

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答 9

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程 10

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept) 11

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程 12

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996) 14

圖 3- 1 研究流程圖 24

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面 29

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面 30

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面 30

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面 31

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁 32

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面 32

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算 33

圖 4- 8 環境首頁 37

圖 4- 9 介面操作介紹 37

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明 38

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界 38

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解 38

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數 39

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解 39

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數 40

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷 40

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢 41

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式 41

iii

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化 42

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數

項係數漸漸變大 42

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡 43

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元 43

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算 44

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法 45

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異 45

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁 46

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式 46

圖 5- 1 仿操作介面問題 48

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用 50

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域 56

圖 5- 4 學習效率 57

圖 5- 5 投入程度 58

圖 5- 6 學習效率與投入 59

iv

表目錄

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構 8

表 2- 2 十字交乘法的過程概念 13

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗

設計 21

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計 22

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數 23

表 3- 4 前測命題架構 25

表 3- 5 感受量表架構 26

表 3- 6 後測命題架構 27

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係 28

表 4- 2 整體活動規劃 35

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃 36

表 4- 4 本研究五個版本間的關係 44

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較 47

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率 48

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較 49

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異 51

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較 52

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料 53

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料 54

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料 55

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料 55

v

摘要

本研究之目的在設計觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲情

境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理解

十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算本研

究使用Flash 與 ActionScript 30 設計十字交乘法之遊戲式學習活動透過APOS

理論安排十字交乘法的作業依據遊戲式學習的相關理論建構遊戲情境並將十

字交乘法的學習內容與遊戲情境中過關所需的遊戲技巧進行內在整合形成十字

交乘法遊戲式學習活動

本研究針對 122 名國中八年級學生進行實驗教學採用 2times2 實驗設計在遊

戲式學習活動中以有無教學指引觸控介面或滑鼠介面兩項變因為核心形成四

組實驗組再以一組觸控介面上無遊戲情境有教學指引作為對照組共分為五組

經由分析其前後測以及認知負荷與感受量表再透過組間比較而探討有無教學指

引有無遊戲情境觸控介面或滑鼠介面三項因素對學生在本學習活動中學習成

效與認知負荷感受上的差異

主要研究結果顯示五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達顯著

水準有無教學指引與觸碰滑鼠介面之雙因子間有交互作用在觸控介面下無教

學指引組前後測進步分數顯著優於有教學指引組在滑鼠介面下有教學指引組前

後測進步分數優於無教學指引組但未達顯著差異在觸控介面下無遊戲情境組

十字交乘法基本題前後測進步分數與有遊戲情境組並無顯著差異但在後測的遷

移問題上無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

以學習成就與投入努力為軸分析五個組別的效率與投入情形投入程度無教

學優於有教學有遊戲優於無遊戲另外在觸控介面有遊戲情境無教學指

引位於高效率且高投入的區域

本研究結合APOS理論與遊戲式學習理論發展出的十字交乘法的學習活動

使五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達高度顯著水準可做為未來

開發中學代數學習活動設計的參考

關鍵字十字交乘法APOS 理論遊戲式學習教學指引觸控

Factoring Quadratic TrinomialsAPOS TheoryGame-Based

LearningTeaching guidelinesTouchscreen

1

第一章 緒論

研究背景與動機 第一節

近年來隨著科技發展電腦被普遍的使用在數學教學與學習上除了使用電

腦上各種有關數學的工具或軟體進行教學活動設計之外（例如動態幾何軟體

Geogebra電腦代數軟體 Maple）還有利用各種多媒體的工具來設計教學活動

例如FlashPowerpoint影片等美國全國數學教師會（National Council of

Teachers of Mathematics）(2000)的《學校數學的原則與標準》（Principles and

Standards for School Mathematics）中將科技列為學校數學教育六大主要原則之一

並強調科技在數學的教學與學習中是不可或缺的科技可影響學生所學並增進學

生學習且可支持有效率的教學NCTM(2008)更進一步闡述對科技的立場其中

指出在 21 世紀科技是數學學習不可或缺的工具而且所有學校都須確保學生

能夠使用科技有效的教師透過有策略地使用科技發揮科技最大的潛能來發展

學生理解激發興趣及增進熟練數學並可提供所有學生接觸數學另一方面

教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要也提到「教師應引導學生正面有效

地使用電腦與電算器來完成五大主題的學習」由此可見國內外都隨著科技

進步也逐漸發展出科技工具上的教學活動

伴隨科技的發展開始有大量關於運用科技進行數學教學的研究其中有許

多研究顯示科技在教學有正面的幫助另外 Kieran 和 Drijvers(2006)使用 CAS

電腦代數系統進行教學實驗研究結果顯示透過科技不但能增進學生運算程序的

技能也能使學生掌握代數運算的概念但並不是使用科技進行數學教學就一定

有好的成效數位教學活動必須針對教學內容並發揮科技的特色進行良好的設計

才有可能達到良好的學習成效

而科技的發展使科技工具的功能越來越豐富使用者與介面間的互動模式也

逐漸多元如早期研究的以按鍵進行互動的計算機圖形計算機以滑鼠與鍵盤

互動的電腦環境也因此研究的介面也隨著改變然而近年來智慧型行動裝置和

2

平板電腦等觸控裝置出現因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠互動模式直

接便利且可使用手勢進行更多樣的互動加上攜帶便利等特點觸控裝置在現

在的社會中逐漸普及在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人因此有了「低

頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者由此可見觸控裝置對社會帶來的

影響而在教育方面也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作未來每位學生

可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包但目前的觸控裝置上的數學學習軟

體多以發展於兒童的學習如認識數字正整數的加減法符合中學生使用於觸

控裝置上的數學學習軟體並不多因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫

切的工作

在數學學習上許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran

1992)而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept）說明代數運算中符號所

扮演的角色學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運

算的操作過程（process）因此要掌握代數的概念必須透過重複練習運算程序

的過程來理解代數概念但重複練習的過程容易使學生感到無趣較不易讓學生

投入心力進行練習教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到

學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練而這種熟練則需要教師能給予

學生有啟發性的練習讓學生從各種練習中沈澱自己新學的概念並能夠與原

先的數學知識相連結由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序並在練習運

算程序的過程中理解代數概念但是在反覆練習的過程中學生往往因為練習過

程中單調乏味練習時只注重計算出答案而僅記憶運算程序缺少反思導致無

法掌握代數運算的概念

而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題Prensky 指出

(2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注投入蔡福興游光昭蕭顯勝(2010)

指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning DGBL)之所以受到重視主

要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機以解決傳統數位學習較無法吸

引學習者投入的缺點Long amp Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使

用者感到愉悅並進行更多的練習Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊

戲式學習文獻指出遊戲式學習可產生較好的學習表現並且發現遊戲是促進學

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

i

目錄

第一章 緒論 1

研究背景與動機 1 第一節

研究目的與問題 5 第二節

研究限制 6 第三節

第二章 文獻探討 7

十字交乘法與中學數學課程架構 7 第一節

APOS 學習理論 11 第二節

遊戲式學習 16 第三節

觸控裝置與體現認知 19 第四節

第三章 研究方法 21

研究設計 21 第一節

研究對象 23 第二節

研究流程 24 第三節

研究工具 25 第四節

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動 28

學習活動 28 第一節

遊戲活動 37 第二節

結合操縱變因 44 第三節

第五章 研究結果 47

各組間學習表現之差異 47 第一節

各組間認知負荷與感受之差異 53 第二節

學習效率與投入 56 第三節

第六章 結論與建議 60

結論 60 第一節

建議 61 第二節

參考文獻 63

附錄 68

附錄一 多項式與因式分解測驗（前測） 68

附錄二 感受量表 69

附錄三 利用十字交乘法因式分解（後測） 72

ii

圖目錄

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係 3

圖 2- 1 十字交乘法範例 8

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答 9

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程 10

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept) 11

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程 12

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996) 14

圖 3- 1 研究流程圖 24

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面 29

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面 30

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面 30

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面 31

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁 32

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面 32

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算 33

圖 4- 8 環境首頁 37

圖 4- 9 介面操作介紹 37

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明 38

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界 38

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解 38

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數 39

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解 39

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數 40

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷 40

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢 41

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式 41

iii

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化 42

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數

項係數漸漸變大 42

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡 43

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元 43

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算 44

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法 45

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異 45

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁 46

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式 46

圖 5- 1 仿操作介面問題 48

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用 50

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域 56

圖 5- 4 學習效率 57

圖 5- 5 投入程度 58

圖 5- 6 學習效率與投入 59

iv

表目錄

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構 8

表 2- 2 十字交乘法的過程概念 13

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗

設計 21

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計 22

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數 23

表 3- 4 前測命題架構 25

表 3- 5 感受量表架構 26

表 3- 6 後測命題架構 27

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係 28

表 4- 2 整體活動規劃 35

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃 36

表 4- 4 本研究五個版本間的關係 44

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較 47

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率 48

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較 49

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異 51

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較 52

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料 53

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料 54

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料 55

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料 55

v

摘要

本研究之目的在設計觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲情

境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理解

十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算本研

究使用Flash 與 ActionScript 30 設計十字交乘法之遊戲式學習活動透過APOS

理論安排十字交乘法的作業依據遊戲式學習的相關理論建構遊戲情境並將十

字交乘法的學習內容與遊戲情境中過關所需的遊戲技巧進行內在整合形成十字

交乘法遊戲式學習活動

本研究針對 122 名國中八年級學生進行實驗教學採用 2times2 實驗設計在遊

戲式學習活動中以有無教學指引觸控介面或滑鼠介面兩項變因為核心形成四

組實驗組再以一組觸控介面上無遊戲情境有教學指引作為對照組共分為五組

經由分析其前後測以及認知負荷與感受量表再透過組間比較而探討有無教學指

引有無遊戲情境觸控介面或滑鼠介面三項因素對學生在本學習活動中學習成

效與認知負荷感受上的差異

主要研究結果顯示五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達顯著

水準有無教學指引與觸碰滑鼠介面之雙因子間有交互作用在觸控介面下無教

學指引組前後測進步分數顯著優於有教學指引組在滑鼠介面下有教學指引組前

後測進步分數優於無教學指引組但未達顯著差異在觸控介面下無遊戲情境組

十字交乘法基本題前後測進步分數與有遊戲情境組並無顯著差異但在後測的遷

移問題上無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

以學習成就與投入努力為軸分析五個組別的效率與投入情形投入程度無教

學優於有教學有遊戲優於無遊戲另外在觸控介面有遊戲情境無教學指

引位於高效率且高投入的區域

本研究結合APOS理論與遊戲式學習理論發展出的十字交乘法的學習活動

使五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達高度顯著水準可做為未來

開發中學代數學習活動設計的參考

關鍵字十字交乘法APOS 理論遊戲式學習教學指引觸控

Factoring Quadratic TrinomialsAPOS TheoryGame-Based

LearningTeaching guidelinesTouchscreen

1

第一章 緒論

研究背景與動機 第一節

近年來隨著科技發展電腦被普遍的使用在數學教學與學習上除了使用電

腦上各種有關數學的工具或軟體進行教學活動設計之外（例如動態幾何軟體

Geogebra電腦代數軟體 Maple）還有利用各種多媒體的工具來設計教學活動

例如FlashPowerpoint影片等美國全國數學教師會（National Council of

Teachers of Mathematics）(2000)的《學校數學的原則與標準》（Principles and

Standards for School Mathematics）中將科技列為學校數學教育六大主要原則之一

並強調科技在數學的教學與學習中是不可或缺的科技可影響學生所學並增進學

生學習且可支持有效率的教學NCTM(2008)更進一步闡述對科技的立場其中

指出在 21 世紀科技是數學學習不可或缺的工具而且所有學校都須確保學生

能夠使用科技有效的教師透過有策略地使用科技發揮科技最大的潛能來發展

學生理解激發興趣及增進熟練數學並可提供所有學生接觸數學另一方面

教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要也提到「教師應引導學生正面有效

地使用電腦與電算器來完成五大主題的學習」由此可見國內外都隨著科技

進步也逐漸發展出科技工具上的教學活動

伴隨科技的發展開始有大量關於運用科技進行數學教學的研究其中有許

多研究顯示科技在教學有正面的幫助另外 Kieran 和 Drijvers(2006)使用 CAS

電腦代數系統進行教學實驗研究結果顯示透過科技不但能增進學生運算程序的

技能也能使學生掌握代數運算的概念但並不是使用科技進行數學教學就一定

有好的成效數位教學活動必須針對教學內容並發揮科技的特色進行良好的設計

才有可能達到良好的學習成效

而科技的發展使科技工具的功能越來越豐富使用者與介面間的互動模式也

逐漸多元如早期研究的以按鍵進行互動的計算機圖形計算機以滑鼠與鍵盤

互動的電腦環境也因此研究的介面也隨著改變然而近年來智慧型行動裝置和

2

平板電腦等觸控裝置出現因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠互動模式直

接便利且可使用手勢進行更多樣的互動加上攜帶便利等特點觸控裝置在現

在的社會中逐漸普及在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人因此有了「低

頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者由此可見觸控裝置對社會帶來的

影響而在教育方面也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作未來每位學生

可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包但目前的觸控裝置上的數學學習軟

體多以發展於兒童的學習如認識數字正整數的加減法符合中學生使用於觸

控裝置上的數學學習軟體並不多因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫

切的工作

在數學學習上許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran

1992)而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept）說明代數運算中符號所

扮演的角色學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運

算的操作過程（process）因此要掌握代數的概念必須透過重複練習運算程序

的過程來理解代數概念但重複練習的過程容易使學生感到無趣較不易讓學生

投入心力進行練習教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到

學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練而這種熟練則需要教師能給予

學生有啟發性的練習讓學生從各種練習中沈澱自己新學的概念並能夠與原

先的數學知識相連結由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序並在練習運

算程序的過程中理解代數概念但是在反覆練習的過程中學生往往因為練習過

程中單調乏味練習時只注重計算出答案而僅記憶運算程序缺少反思導致無

法掌握代數運算的概念

而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題Prensky 指出

(2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注投入蔡福興游光昭蕭顯勝(2010)

指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning DGBL)之所以受到重視主

要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機以解決傳統數位學習較無法吸

引學習者投入的缺點Long amp Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使

用者感到愉悅並進行更多的練習Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊

戲式學習文獻指出遊戲式學習可產生較好的學習表現並且發現遊戲是促進學

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

ii

圖目錄

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係 3

圖 2- 1 十字交乘法範例 8

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答 9

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程 10

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept) 11

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程 12

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996) 14

圖 3- 1 研究流程圖 24

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面 29

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面 30

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面 30

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面 31

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁 32

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面 32

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算 33

圖 4- 8 環境首頁 37

圖 4- 9 介面操作介紹 37

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明 38

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界 38

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解 38

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數 39

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解 39

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數 40

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷 40

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢 41

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式 41

iii

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化 42

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數

項係數漸漸變大 42

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡 43

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元 43

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算 44

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法 45

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異 45

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁 46

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式 46

圖 5- 1 仿操作介面問題 48

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用 50

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域 56

圖 5- 4 學習效率 57

圖 5- 5 投入程度 58

圖 5- 6 學習效率與投入 59

iv

表目錄

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構 8

表 2- 2 十字交乘法的過程概念 13

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗

設計 21

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計 22

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數 23

表 3- 4 前測命題架構 25

表 3- 5 感受量表架構 26

表 3- 6 後測命題架構 27

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係 28

表 4- 2 整體活動規劃 35

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃 36

表 4- 4 本研究五個版本間的關係 44

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較 47

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率 48

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較 49

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異 51

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較 52

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料 53

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料 54

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料 55

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料 55

v

摘要

本研究之目的在設計觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲情

境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理解

十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算本研

究使用Flash 與 ActionScript 30 設計十字交乘法之遊戲式學習活動透過APOS

理論安排十字交乘法的作業依據遊戲式學習的相關理論建構遊戲情境並將十

字交乘法的學習內容與遊戲情境中過關所需的遊戲技巧進行內在整合形成十字

交乘法遊戲式學習活動

本研究針對 122 名國中八年級學生進行實驗教學採用 2times2 實驗設計在遊

戲式學習活動中以有無教學指引觸控介面或滑鼠介面兩項變因為核心形成四

組實驗組再以一組觸控介面上無遊戲情境有教學指引作為對照組共分為五組

經由分析其前後測以及認知負荷與感受量表再透過組間比較而探討有無教學指

引有無遊戲情境觸控介面或滑鼠介面三項因素對學生在本學習活動中學習成

效與認知負荷感受上的差異

主要研究結果顯示五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達顯著

水準有無教學指引與觸碰滑鼠介面之雙因子間有交互作用在觸控介面下無教

學指引組前後測進步分數顯著優於有教學指引組在滑鼠介面下有教學指引組前

後測進步分數優於無教學指引組但未達顯著差異在觸控介面下無遊戲情境組

十字交乘法基本題前後測進步分數與有遊戲情境組並無顯著差異但在後測的遷

移問題上無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

以學習成就與投入努力為軸分析五個組別的效率與投入情形投入程度無教

學優於有教學有遊戲優於無遊戲另外在觸控介面有遊戲情境無教學指

引位於高效率且高投入的區域

本研究結合APOS理論與遊戲式學習理論發展出的十字交乘法的學習活動

使五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達高度顯著水準可做為未來

開發中學代數學習活動設計的參考

關鍵字十字交乘法APOS 理論遊戲式學習教學指引觸控

Factoring Quadratic TrinomialsAPOS TheoryGame-Based

LearningTeaching guidelinesTouchscreen

1

第一章 緒論

研究背景與動機 第一節

近年來隨著科技發展電腦被普遍的使用在數學教學與學習上除了使用電

腦上各種有關數學的工具或軟體進行教學活動設計之外（例如動態幾何軟體

Geogebra電腦代數軟體 Maple）還有利用各種多媒體的工具來設計教學活動

例如FlashPowerpoint影片等美國全國數學教師會（National Council of

Teachers of Mathematics）(2000)的《學校數學的原則與標準》（Principles and

Standards for School Mathematics）中將科技列為學校數學教育六大主要原則之一

並強調科技在數學的教學與學習中是不可或缺的科技可影響學生所學並增進學

生學習且可支持有效率的教學NCTM(2008)更進一步闡述對科技的立場其中

指出在 21 世紀科技是數學學習不可或缺的工具而且所有學校都須確保學生

能夠使用科技有效的教師透過有策略地使用科技發揮科技最大的潛能來發展

學生理解激發興趣及增進熟練數學並可提供所有學生接觸數學另一方面

教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要也提到「教師應引導學生正面有效

地使用電腦與電算器來完成五大主題的學習」由此可見國內外都隨著科技

進步也逐漸發展出科技工具上的教學活動

伴隨科技的發展開始有大量關於運用科技進行數學教學的研究其中有許

多研究顯示科技在教學有正面的幫助另外 Kieran 和 Drijvers(2006)使用 CAS

電腦代數系統進行教學實驗研究結果顯示透過科技不但能增進學生運算程序的

技能也能使學生掌握代數運算的概念但並不是使用科技進行數學教學就一定

有好的成效數位教學活動必須針對教學內容並發揮科技的特色進行良好的設計

才有可能達到良好的學習成效

而科技的發展使科技工具的功能越來越豐富使用者與介面間的互動模式也

逐漸多元如早期研究的以按鍵進行互動的計算機圖形計算機以滑鼠與鍵盤

互動的電腦環境也因此研究的介面也隨著改變然而近年來智慧型行動裝置和

2

平板電腦等觸控裝置出現因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠互動模式直

接便利且可使用手勢進行更多樣的互動加上攜帶便利等特點觸控裝置在現

在的社會中逐漸普及在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人因此有了「低

頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者由此可見觸控裝置對社會帶來的

影響而在教育方面也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作未來每位學生

可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包但目前的觸控裝置上的數學學習軟

體多以發展於兒童的學習如認識數字正整數的加減法符合中學生使用於觸

控裝置上的數學學習軟體並不多因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫

切的工作

在數學學習上許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran

1992)而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept）說明代數運算中符號所

扮演的角色學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運

算的操作過程（process）因此要掌握代數的概念必須透過重複練習運算程序

的過程來理解代數概念但重複練習的過程容易使學生感到無趣較不易讓學生

投入心力進行練習教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到

學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練而這種熟練則需要教師能給予

學生有啟發性的練習讓學生從各種練習中沈澱自己新學的概念並能夠與原

先的數學知識相連結由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序並在練習運

算程序的過程中理解代數概念但是在反覆練習的過程中學生往往因為練習過

程中單調乏味練習時只注重計算出答案而僅記憶運算程序缺少反思導致無

法掌握代數運算的概念

而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題Prensky 指出

(2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注投入蔡福興游光昭蕭顯勝(2010)

指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning DGBL)之所以受到重視主

要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機以解決傳統數位學習較無法吸

引學習者投入的缺點Long amp Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使

用者感到愉悅並進行更多的練習Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊

戲式學習文獻指出遊戲式學習可產生較好的學習表現並且發現遊戲是促進學

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

iii

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化 42

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數

項係數漸漸變大 42

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡 43

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元 43

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算 44

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法 45

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異 45

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁 46

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式 46

圖 5- 1 仿操作介面問題 48

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用 50

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域 56

圖 5- 4 學習效率 57

圖 5- 5 投入程度 58

圖 5- 6 學習效率與投入 59

iv

表目錄

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構 8

表 2- 2 十字交乘法的過程概念 13

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗

設計 21

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計 22

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數 23

表 3- 4 前測命題架構 25

表 3- 5 感受量表架構 26

表 3- 6 後測命題架構 27

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係 28

表 4- 2 整體活動規劃 35

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃 36

表 4- 4 本研究五個版本間的關係 44

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較 47

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率 48

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較 49

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異 51

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較 52

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料 53

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料 54

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料 55

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料 55

v

摘要

本研究之目的在設計觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲情

境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理解

十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算本研

究使用Flash 與 ActionScript 30 設計十字交乘法之遊戲式學習活動透過APOS

理論安排十字交乘法的作業依據遊戲式學習的相關理論建構遊戲情境並將十

字交乘法的學習內容與遊戲情境中過關所需的遊戲技巧進行內在整合形成十字

交乘法遊戲式學習活動

本研究針對 122 名國中八年級學生進行實驗教學採用 2times2 實驗設計在遊

戲式學習活動中以有無教學指引觸控介面或滑鼠介面兩項變因為核心形成四

組實驗組再以一組觸控介面上無遊戲情境有教學指引作為對照組共分為五組

經由分析其前後測以及認知負荷與感受量表再透過組間比較而探討有無教學指

引有無遊戲情境觸控介面或滑鼠介面三項因素對學生在本學習活動中學習成

效與認知負荷感受上的差異

主要研究結果顯示五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達顯著

水準有無教學指引與觸碰滑鼠介面之雙因子間有交互作用在觸控介面下無教

學指引組前後測進步分數顯著優於有教學指引組在滑鼠介面下有教學指引組前

後測進步分數優於無教學指引組但未達顯著差異在觸控介面下無遊戲情境組

十字交乘法基本題前後測進步分數與有遊戲情境組並無顯著差異但在後測的遷

移問題上無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

以學習成就與投入努力為軸分析五個組別的效率與投入情形投入程度無教

學優於有教學有遊戲優於無遊戲另外在觸控介面有遊戲情境無教學指

引位於高效率且高投入的區域

本研究結合APOS理論與遊戲式學習理論發展出的十字交乘法的學習活動

使五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達高度顯著水準可做為未來

開發中學代數學習活動設計的參考

關鍵字十字交乘法APOS 理論遊戲式學習教學指引觸控

Factoring Quadratic TrinomialsAPOS TheoryGame-Based

LearningTeaching guidelinesTouchscreen

1

第一章 緒論

研究背景與動機 第一節

近年來隨著科技發展電腦被普遍的使用在數學教學與學習上除了使用電

腦上各種有關數學的工具或軟體進行教學活動設計之外（例如動態幾何軟體

Geogebra電腦代數軟體 Maple）還有利用各種多媒體的工具來設計教學活動

例如FlashPowerpoint影片等美國全國數學教師會（National Council of

Teachers of Mathematics）(2000)的《學校數學的原則與標準》（Principles and

Standards for School Mathematics）中將科技列為學校數學教育六大主要原則之一

並強調科技在數學的教學與學習中是不可或缺的科技可影響學生所學並增進學

生學習且可支持有效率的教學NCTM(2008)更進一步闡述對科技的立場其中

指出在 21 世紀科技是數學學習不可或缺的工具而且所有學校都須確保學生

能夠使用科技有效的教師透過有策略地使用科技發揮科技最大的潛能來發展

學生理解激發興趣及增進熟練數學並可提供所有學生接觸數學另一方面

教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要也提到「教師應引導學生正面有效

地使用電腦與電算器來完成五大主題的學習」由此可見國內外都隨著科技

進步也逐漸發展出科技工具上的教學活動

伴隨科技的發展開始有大量關於運用科技進行數學教學的研究其中有許

多研究顯示科技在教學有正面的幫助另外 Kieran 和 Drijvers(2006)使用 CAS

電腦代數系統進行教學實驗研究結果顯示透過科技不但能增進學生運算程序的

技能也能使學生掌握代數運算的概念但並不是使用科技進行數學教學就一定

有好的成效數位教學活動必須針對教學內容並發揮科技的特色進行良好的設計

才有可能達到良好的學習成效

而科技的發展使科技工具的功能越來越豐富使用者與介面間的互動模式也

逐漸多元如早期研究的以按鍵進行互動的計算機圖形計算機以滑鼠與鍵盤

互動的電腦環境也因此研究的介面也隨著改變然而近年來智慧型行動裝置和

2

平板電腦等觸控裝置出現因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠互動模式直

接便利且可使用手勢進行更多樣的互動加上攜帶便利等特點觸控裝置在現

在的社會中逐漸普及在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人因此有了「低

頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者由此可見觸控裝置對社會帶來的

影響而在教育方面也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作未來每位學生

可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包但目前的觸控裝置上的數學學習軟

體多以發展於兒童的學習如認識數字正整數的加減法符合中學生使用於觸

控裝置上的數學學習軟體並不多因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫

切的工作

在數學學習上許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran

1992)而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept）說明代數運算中符號所

扮演的角色學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運

算的操作過程（process）因此要掌握代數的概念必須透過重複練習運算程序

的過程來理解代數概念但重複練習的過程容易使學生感到無趣較不易讓學生

投入心力進行練習教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到

學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練而這種熟練則需要教師能給予

學生有啟發性的練習讓學生從各種練習中沈澱自己新學的概念並能夠與原

先的數學知識相連結由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序並在練習運

算程序的過程中理解代數概念但是在反覆練習的過程中學生往往因為練習過

程中單調乏味練習時只注重計算出答案而僅記憶運算程序缺少反思導致無

法掌握代數運算的概念

而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題Prensky 指出

(2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注投入蔡福興游光昭蕭顯勝(2010)

指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning DGBL)之所以受到重視主

要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機以解決傳統數位學習較無法吸

引學習者投入的缺點Long amp Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使

用者感到愉悅並進行更多的練習Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊

戲式學習文獻指出遊戲式學習可產生較好的學習表現並且發現遊戲是促進學

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

iv

表目錄

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構 8

表 2- 2 十字交乘法的過程概念 13

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗

設計 21

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計 22

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數 23

表 3- 4 前測命題架構 25

表 3- 5 感受量表架構 26

表 3- 6 後測命題架構 27

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係 28

表 4- 2 整體活動規劃 35

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃 36

表 4- 4 本研究五個版本間的關係 44

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較 47

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率 48

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較 49

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異 51

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較 52

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料 53

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料 54

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料 55

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料 55

v

摘要

本研究之目的在設計觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲情

境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理解

十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算本研

究使用Flash 與 ActionScript 30 設計十字交乘法之遊戲式學習活動透過APOS

理論安排十字交乘法的作業依據遊戲式學習的相關理論建構遊戲情境並將十

字交乘法的學習內容與遊戲情境中過關所需的遊戲技巧進行內在整合形成十字

交乘法遊戲式學習活動

本研究針對 122 名國中八年級學生進行實驗教學採用 2times2 實驗設計在遊

戲式學習活動中以有無教學指引觸控介面或滑鼠介面兩項變因為核心形成四

組實驗組再以一組觸控介面上無遊戲情境有教學指引作為對照組共分為五組

經由分析其前後測以及認知負荷與感受量表再透過組間比較而探討有無教學指

引有無遊戲情境觸控介面或滑鼠介面三項因素對學生在本學習活動中學習成

效與認知負荷感受上的差異

主要研究結果顯示五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達顯著

水準有無教學指引與觸碰滑鼠介面之雙因子間有交互作用在觸控介面下無教

學指引組前後測進步分數顯著優於有教學指引組在滑鼠介面下有教學指引組前

後測進步分數優於無教學指引組但未達顯著差異在觸控介面下無遊戲情境組

十字交乘法基本題前後測進步分數與有遊戲情境組並無顯著差異但在後測的遷

移問題上無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

以學習成就與投入努力為軸分析五個組別的效率與投入情形投入程度無教

學優於有教學有遊戲優於無遊戲另外在觸控介面有遊戲情境無教學指

引位於高效率且高投入的區域

本研究結合APOS理論與遊戲式學習理論發展出的十字交乘法的學習活動

使五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達高度顯著水準可做為未來

開發中學代數學習活動設計的參考

關鍵字十字交乘法APOS 理論遊戲式學習教學指引觸控

Factoring Quadratic TrinomialsAPOS TheoryGame-Based

LearningTeaching guidelinesTouchscreen

1

第一章 緒論

研究背景與動機 第一節

近年來隨著科技發展電腦被普遍的使用在數學教學與學習上除了使用電

腦上各種有關數學的工具或軟體進行教學活動設計之外（例如動態幾何軟體

Geogebra電腦代數軟體 Maple）還有利用各種多媒體的工具來設計教學活動

例如FlashPowerpoint影片等美國全國數學教師會（National Council of

Teachers of Mathematics）(2000)的《學校數學的原則與標準》（Principles and

Standards for School Mathematics）中將科技列為學校數學教育六大主要原則之一

並強調科技在數學的教學與學習中是不可或缺的科技可影響學生所學並增進學

生學習且可支持有效率的教學NCTM(2008)更進一步闡述對科技的立場其中

指出在 21 世紀科技是數學學習不可或缺的工具而且所有學校都須確保學生

能夠使用科技有效的教師透過有策略地使用科技發揮科技最大的潛能來發展

學生理解激發興趣及增進熟練數學並可提供所有學生接觸數學另一方面

教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要也提到「教師應引導學生正面有效

地使用電腦與電算器來完成五大主題的學習」由此可見國內外都隨著科技

進步也逐漸發展出科技工具上的教學活動

伴隨科技的發展開始有大量關於運用科技進行數學教學的研究其中有許

多研究顯示科技在教學有正面的幫助另外 Kieran 和 Drijvers(2006)使用 CAS

電腦代數系統進行教學實驗研究結果顯示透過科技不但能增進學生運算程序的

技能也能使學生掌握代數運算的概念但並不是使用科技進行數學教學就一定

有好的成效數位教學活動必須針對教學內容並發揮科技的特色進行良好的設計

才有可能達到良好的學習成效

而科技的發展使科技工具的功能越來越豐富使用者與介面間的互動模式也

逐漸多元如早期研究的以按鍵進行互動的計算機圖形計算機以滑鼠與鍵盤

互動的電腦環境也因此研究的介面也隨著改變然而近年來智慧型行動裝置和

2

平板電腦等觸控裝置出現因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠互動模式直

接便利且可使用手勢進行更多樣的互動加上攜帶便利等特點觸控裝置在現

在的社會中逐漸普及在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人因此有了「低

頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者由此可見觸控裝置對社會帶來的

影響而在教育方面也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作未來每位學生

可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包但目前的觸控裝置上的數學學習軟

體多以發展於兒童的學習如認識數字正整數的加減法符合中學生使用於觸

控裝置上的數學學習軟體並不多因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫

切的工作

在數學學習上許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran

1992)而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept）說明代數運算中符號所

扮演的角色學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運

算的操作過程（process）因此要掌握代數的概念必須透過重複練習運算程序

的過程來理解代數概念但重複練習的過程容易使學生感到無趣較不易讓學生

投入心力進行練習教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到

學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練而這種熟練則需要教師能給予

學生有啟發性的練習讓學生從各種練習中沈澱自己新學的概念並能夠與原

先的數學知識相連結由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序並在練習運

算程序的過程中理解代數概念但是在反覆練習的過程中學生往往因為練習過

程中單調乏味練習時只注重計算出答案而僅記憶運算程序缺少反思導致無

法掌握代數運算的概念

而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題Prensky 指出

(2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注投入蔡福興游光昭蕭顯勝(2010)

指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning DGBL)之所以受到重視主

要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機以解決傳統數位學習較無法吸

引學習者投入的缺點Long amp Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使

用者感到愉悅並進行更多的練習Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊

戲式學習文獻指出遊戲式學習可產生較好的學習表現並且發現遊戲是促進學

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

v

摘要

本研究之目的在設計觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲情

境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理解

十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算本研

究使用Flash 與 ActionScript 30 設計十字交乘法之遊戲式學習活動透過APOS

理論安排十字交乘法的作業依據遊戲式學習的相關理論建構遊戲情境並將十

字交乘法的學習內容與遊戲情境中過關所需的遊戲技巧進行內在整合形成十字

交乘法遊戲式學習活動

本研究針對 122 名國中八年級學生進行實驗教學採用 2times2 實驗設計在遊

戲式學習活動中以有無教學指引觸控介面或滑鼠介面兩項變因為核心形成四

組實驗組再以一組觸控介面上無遊戲情境有教學指引作為對照組共分為五組

經由分析其前後測以及認知負荷與感受量表再透過組間比較而探討有無教學指

引有無遊戲情境觸控介面或滑鼠介面三項因素對學生在本學習活動中學習成

效與認知負荷感受上的差異

主要研究結果顯示五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達顯著

水準有無教學指引與觸碰滑鼠介面之雙因子間有交互作用在觸控介面下無教

學指引組前後測進步分數顯著優於有教學指引組在滑鼠介面下有教學指引組前

後測進步分數優於無教學指引組但未達顯著差異在觸控介面下無遊戲情境組

十字交乘法基本題前後測進步分數與有遊戲情境組並無顯著差異但在後測的遷

移問題上無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

以學習成就與投入努力為軸分析五個組別的效率與投入情形投入程度無教

學優於有教學有遊戲優於無遊戲另外在觸控介面有遊戲情境無教學指

引位於高效率且高投入的區域

本研究結合APOS理論與遊戲式學習理論發展出的十字交乘法的學習活動

使五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達高度顯著水準可做為未來

開發中學代數學習活動設計的參考

關鍵字十字交乘法APOS 理論遊戲式學習教學指引觸控

Factoring Quadratic TrinomialsAPOS TheoryGame-Based

LearningTeaching guidelinesTouchscreen

1

第一章 緒論

研究背景與動機 第一節

近年來隨著科技發展電腦被普遍的使用在數學教學與學習上除了使用電

腦上各種有關數學的工具或軟體進行教學活動設計之外（例如動態幾何軟體

Geogebra電腦代數軟體 Maple）還有利用各種多媒體的工具來設計教學活動

例如FlashPowerpoint影片等美國全國數學教師會（National Council of

Teachers of Mathematics）(2000)的《學校數學的原則與標準》（Principles and

Standards for School Mathematics）中將科技列為學校數學教育六大主要原則之一

並強調科技在數學的教學與學習中是不可或缺的科技可影響學生所學並增進學

生學習且可支持有效率的教學NCTM(2008)更進一步闡述對科技的立場其中

指出在 21 世紀科技是數學學習不可或缺的工具而且所有學校都須確保學生

能夠使用科技有效的教師透過有策略地使用科技發揮科技最大的潛能來發展

學生理解激發興趣及增進熟練數學並可提供所有學生接觸數學另一方面

教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要也提到「教師應引導學生正面有效

地使用電腦與電算器來完成五大主題的學習」由此可見國內外都隨著科技

進步也逐漸發展出科技工具上的教學活動

伴隨科技的發展開始有大量關於運用科技進行數學教學的研究其中有許

多研究顯示科技在教學有正面的幫助另外 Kieran 和 Drijvers(2006)使用 CAS

電腦代數系統進行教學實驗研究結果顯示透過科技不但能增進學生運算程序的

技能也能使學生掌握代數運算的概念但並不是使用科技進行數學教學就一定

有好的成效數位教學活動必須針對教學內容並發揮科技的特色進行良好的設計

才有可能達到良好的學習成效

而科技的發展使科技工具的功能越來越豐富使用者與介面間的互動模式也

逐漸多元如早期研究的以按鍵進行互動的計算機圖形計算機以滑鼠與鍵盤

互動的電腦環境也因此研究的介面也隨著改變然而近年來智慧型行動裝置和

2

平板電腦等觸控裝置出現因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠互動模式直

接便利且可使用手勢進行更多樣的互動加上攜帶便利等特點觸控裝置在現

在的社會中逐漸普及在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人因此有了「低

頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者由此可見觸控裝置對社會帶來的

影響而在教育方面也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作未來每位學生

可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包但目前的觸控裝置上的數學學習軟

體多以發展於兒童的學習如認識數字正整數的加減法符合中學生使用於觸

控裝置上的數學學習軟體並不多因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫

切的工作

在數學學習上許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran

1992)而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept）說明代數運算中符號所

扮演的角色學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運

算的操作過程（process）因此要掌握代數的概念必須透過重複練習運算程序

的過程來理解代數概念但重複練習的過程容易使學生感到無趣較不易讓學生

投入心力進行練習教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到

學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練而這種熟練則需要教師能給予

學生有啟發性的練習讓學生從各種練習中沈澱自己新學的概念並能夠與原

先的數學知識相連結由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序並在練習運

算程序的過程中理解代數概念但是在反覆練習的過程中學生往往因為練習過

程中單調乏味練習時只注重計算出答案而僅記憶運算程序缺少反思導致無

法掌握代數運算的概念

而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題Prensky 指出

(2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注投入蔡福興游光昭蕭顯勝(2010)

指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning DGBL)之所以受到重視主

要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機以解決傳統數位學習較無法吸

引學習者投入的缺點Long amp Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使

用者感到愉悅並進行更多的練習Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊

戲式學習文獻指出遊戲式學習可產生較好的學習表現並且發現遊戲是促進學

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

1

第一章 緒論

研究背景與動機 第一節

近年來隨著科技發展電腦被普遍的使用在數學教學與學習上除了使用電

腦上各種有關數學的工具或軟體進行教學活動設計之外（例如動態幾何軟體

Geogebra電腦代數軟體 Maple）還有利用各種多媒體的工具來設計教學活動

例如FlashPowerpoint影片等美國全國數學教師會（National Council of

Teachers of Mathematics）(2000)的《學校數學的原則與標準》（Principles and

Standards for School Mathematics）中將科技列為學校數學教育六大主要原則之一

並強調科技在數學的教學與學習中是不可或缺的科技可影響學生所學並增進學

生學習且可支持有效率的教學NCTM(2008)更進一步闡述對科技的立場其中

指出在 21 世紀科技是數學學習不可或缺的工具而且所有學校都須確保學生

能夠使用科技有效的教師透過有策略地使用科技發揮科技最大的潛能來發展

學生理解激發興趣及增進熟練數學並可提供所有學生接觸數學另一方面

教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要也提到「教師應引導學生正面有效

地使用電腦與電算器來完成五大主題的學習」由此可見國內外都隨著科技

進步也逐漸發展出科技工具上的教學活動

伴隨科技的發展開始有大量關於運用科技進行數學教學的研究其中有許

多研究顯示科技在教學有正面的幫助另外 Kieran 和 Drijvers(2006)使用 CAS

電腦代數系統進行教學實驗研究結果顯示透過科技不但能增進學生運算程序的

技能也能使學生掌握代數運算的概念但並不是使用科技進行數學教學就一定

有好的成效數位教學活動必須針對教學內容並發揮科技的特色進行良好的設計

才有可能達到良好的學習成效

而科技的發展使科技工具的功能越來越豐富使用者與介面間的互動模式也

逐漸多元如早期研究的以按鍵進行互動的計算機圖形計算機以滑鼠與鍵盤

互動的電腦環境也因此研究的介面也隨著改變然而近年來智慧型行動裝置和

2

平板電腦等觸控裝置出現因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠互動模式直

接便利且可使用手勢進行更多樣的互動加上攜帶便利等特點觸控裝置在現

在的社會中逐漸普及在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人因此有了「低

頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者由此可見觸控裝置對社會帶來的

影響而在教育方面也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作未來每位學生

可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包但目前的觸控裝置上的數學學習軟

體多以發展於兒童的學習如認識數字正整數的加減法符合中學生使用於觸

控裝置上的數學學習軟體並不多因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫

切的工作

在數學學習上許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran

1992)而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept）說明代數運算中符號所

扮演的角色學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運

算的操作過程（process）因此要掌握代數的概念必須透過重複練習運算程序

的過程來理解代數概念但重複練習的過程容易使學生感到無趣較不易讓學生

投入心力進行練習教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到

學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練而這種熟練則需要教師能給予

學生有啟發性的練習讓學生從各種練習中沈澱自己新學的概念並能夠與原

先的數學知識相連結由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序並在練習運

算程序的過程中理解代數概念但是在反覆練習的過程中學生往往因為練習過

程中單調乏味練習時只注重計算出答案而僅記憶運算程序缺少反思導致無

法掌握代數運算的概念

而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題Prensky 指出

(2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注投入蔡福興游光昭蕭顯勝(2010)

指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning DGBL)之所以受到重視主

要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機以解決傳統數位學習較無法吸

引學習者投入的缺點Long amp Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使

用者感到愉悅並進行更多的練習Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊

戲式學習文獻指出遊戲式學習可產生較好的學習表現並且發現遊戲是促進學

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

2

平板電腦等觸控裝置出現因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠互動模式直

接便利且可使用手勢進行更多樣的互動加上攜帶便利等特點觸控裝置在現

在的社會中逐漸普及在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人因此有了「低

頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者由此可見觸控裝置對社會帶來的

影響而在教育方面也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作未來每位學生

可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包但目前的觸控裝置上的數學學習軟

體多以發展於兒童的學習如認識數字正整數的加減法符合中學生使用於觸

控裝置上的數學學習軟體並不多因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫

切的工作

在數學學習上許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran

1992)而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept）說明代數運算中符號所

扮演的角色學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運

算的操作過程（process）因此要掌握代數的概念必須透過重複練習運算程序

的過程來理解代數概念但重複練習的過程容易使學生感到無趣較不易讓學生

投入心力進行練習教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到

學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練而這種熟練則需要教師能給予

學生有啟發性的練習讓學生從各種練習中沈澱自己新學的概念並能夠與原

先的數學知識相連結由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序並在練習運

算程序的過程中理解代數概念但是在反覆練習的過程中學生往往因為練習過

程中單調乏味練習時只注重計算出答案而僅記憶運算程序缺少反思導致無

法掌握代數運算的概念

而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題Prensky 指出

(2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注投入蔡福興游光昭蕭顯勝(2010)

指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning DGBL)之所以受到重視主

要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機以解決傳統數位學習較無法吸

引學習者投入的缺點Long amp Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使

用者感到愉悅並進行更多的練習Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊

戲式學習文獻指出遊戲式學習可產生較好的學習表現並且發現遊戲是促進學

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

3

生投入而達到幫助學習表現的效果Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸

引學習者的要素包含挑戰好奇控制幻境期望透過遊戲式學習的幻境使

學生願意進行練習並樂於挑戰遊戲而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學

問題藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習讓學生可以專注投入重複練

習以達到提升學習成效並能從中反思進而掌握代數運算的概念因此本研究將

探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境

心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出心流指當人全神

貫注於自己喜愛的活動時沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形如「心流」

字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺而

Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)而產生心流最主要

的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係Csikszentmihalyi 將其分為三個

管道(channel)當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時容易感受到無聊而

遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配

合才能使人全心投入進入心流狀態技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如

圖 1- 1

圖 1- 1 技能與挑戰間的關係

心流狀態是無法受到外力逼迫而產生唯有全心全意為了內在動機投入活動

才能進入心流狀態而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條

件除了技能與挑戰的平衡之外明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生

明確的目標可使參與者知道要做什麼如何採取適當的方法立即回饋可以讓參

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

4

與者知道每個步驟進行的是否正確並判斷是否需要改善而有助於心流產生

(Csikszentmihalyi 1997)

已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究已發展出遊戲式學習的特點與

設計時的注意事項可遵循這些研究的建議進行設計而其中 Magnussen 和

Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中

面對教學時會有不認真的學習錯誤嘗試逃避學習等情形因此本研究將探討

在設計本遊戲式教學環境時若加入教學指引是否能如預期一樣使用者透過閱

讀教學指引而獲取知識抑或是反而會對使用者造成干擾造成學習者逃避學習

無法達到設計時所期望的教學目標因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指

引將是本研究所要探討的變因之一

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

5

研究目的與問題 第二節

本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動透過遊戲

情境激發學生的內在動機使學生樂於練習並主動發展解題策略以幫助學生理

解十字交乘法的概念並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算探

討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異然而在

電腦上操作使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互

動但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件

進行互動因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介

面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響

根據此研究目的本研究將提出下列四個研究問題

一如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動

二在數位遊戲式學習活動中有無教學指引對學生在十字交乘法的學習

成效認知負荷與感受上的差異為何

三在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動對學生

在十字交乘法的學習成效認知負荷與感受上的差異為何

四在數位科技學習活動下有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與

認知負荷與感受為何

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

6

研究限制 第三節

因本研究前測實驗後測於兩日內分三個時段進行其中有些學生因學校

公差或其他事由請假缺少部分階段而成為無效樣本以致本研究之樣本數較少

使本研究結果無法具有良好的代表性

另外受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦因此本研究中 iPad 的 3

組選取臺北市某高中附屬國中部而滑鼠的 2 組選取新北市某國中樣本的背景

與先備能力間可能有所差距可能也是影響組間差異的因素之一

研究中有教學指引和沒有教學指引之差異造成組間立足點不同也是研究

上的限制

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

7

第二章 文獻探討

為了設計十字交乘法遊戲式學習活動本研究將針對數學內容的本質結構

學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論

背景第一節為十字交乘法與中學數學課程架構第二節為代數學習理論第三

節為遊戲式學習第四節為觸控裝置與體現認知

十字交乘法與中學數學課程架構 第一節

國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代

數思維代數思維的內涵目前雖無一致性的看法然而 Kieran and Chalouh(1993)

提出了代數思維的基本觀點意即透過符號與代數運算來建立概念意義並由

此發展出使用代數形式做數學推理Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維

不僅是使用符號做代數運算而更包含了一些思維方式的發展由此可以了解中

學代數思維相對於小學著重數量計算之外更需要學習運用符號操弄進行推理思

考例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時除了需要操弄文字符

號進行運算之外需要理解乘法展開與因式分解的意義進而推理出係數間的關

係才得以順利進行因式分解因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維

的發展是歷來教育研究探索的重點之一

國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算所列成的式

子的實例來說明多項式因式分解是求方程式解的重要方法之一當兩個不為 0

的多項式 AB若 A 可以被 B 整除時則 B 是 A 的因式而一元二次多項式

的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積在國中階段因式分

解的主要方法有提公因式法利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式而其中

十字交乘法是指將形如 ax2

+ bx + c 的二次三項式分解的方法如下圖 2- 1 中欲

分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相乘而中間的一次項

是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解因此在因式分解首

項係數為 1 的二次式時就是在將常數項分解為兩數之積一次項係數分解為兩

數之和

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

8

圖 2- 1 十字交乘法範例

教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標指出學生在

各階段學習後所應習得的基本能力其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能

利用乘法公式與十字交乘法做因式分解而由十字交乘法的運算過程可看出解決

十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算因數分解還要了解文數字的應

用以及多項式的運算需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算由此

可見學生在學習十字交乘法時需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數

單元並緊接著應用在解一元二次方程式上成為未來學生二次函數與高次多項

式時的基礎

表 2- 1 十字交乘法相關課程架構

數與量 代數

國中七年級

整數四則運算

因數與倍數

以符號代表數

一元一次方程式

國中八年級

乘法公式

多項式的四則運算

因式與倍式

利用提公因式法作因式分解

利用乘法公式作因式分解

利用十字交乘法作因式分解

一元二次方程式

國中九年級 二次函數

高中一年級 多項式函數與圖形

6

x + 2

x + 3

x2

2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

9

多項式運算與應用

多項式方程式

多項式函數與多項式不等式

高中二年級 二次曲線

簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數

項或一次項的係數另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答林美娟（2010）

指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易在常數項與一次相係數的正負號

發生錯誤林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時容易

在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤

圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型沿斜線作答

郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低

高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正數據較小的因

式分解問題較能提升學生作答意願且答對率較高許嘉展和詹勳國（2012）指

出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題符合過去學習經驗將正數分解為

正數乘以正數有較好的學習成效但常數項係數為正而一次項係數為負時須

將正數分解為負數乘以負數答對率大幅下降

Bernard Ramirez Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中

MN = ac 與 M + N = b可找出因式分解問題的解例如20x2 + 104x ndash 33 中

M+N=104MN =－660找出 M = 110 與 N =－6 後20x2 + 104x ndash 33 =

20x2 + (110x ndash 6 x )ndash 33 = 10x (2x + 11) ndash 3(2x + 11) = (10x ndash 3) (2x + 11)由此可知

二次三項式的因式分解問題可以轉換為分解係數中的兩數之和兩數之積問題

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

10

本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境

學生在學習十字交乘法時要知道二次式是由兩個一次式相乘展開因此二

次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘二次式的一次項係數是由

兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加二次式的平方項係數是由

兩個一次式的一次項係數相乘在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多

項式之外沒有其他的線索只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則例如要

利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x minus 10首先須分析首項係數 6可分解為1 times 6

2 times 3(minus1) times (minus6)(minus2) times (minus3)四種組合常數數minus10 可分解為(minus1) times 10

(minus2) times 51 times (minus10)2 times (minus5)四種組合將這些情形進行交叉相乘使一次項係

數為 11首先選取 6x2= 2119909 ∙ 3119909與minus10 = 2 times (minus5)進行嘗試若分解為

(2x + 2)( 3x minus 5)這種情形中可提出公因數 2但原式中各項係數並無公因數 2

因此進行修正嘗試以(2x minus 5)(3x + 2)分解並進行檢驗得到一次項係數為minus11

與原式 11 異號因此再次進行修正將分解後的常數項變號改為(2x +5)(3x minus2)

分解進行檢驗後符合原式即是正確的因式分解由上述範例可見進行十字

交乘法因式分解時需要透過分解數分解式嘗試錯誤整合等步驟逐漸形成

系統性的原則

a產生與原式不符的公因數 b一次項係數與原式異號

c正確的因式分解

圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程

另一方面一元二次多項式的問題有別於學生過去所學習過的一元一次多

項式能透過許多生活中的例子理解並知道一元一次方程式可以用來解決生活

2x minus 2

3x + 5

minus10 6x

2

15x minus 4x = 11x

6x2 + 11x minus10

= (2x + 5) (3x minus 2)

minus15x + 4x = minus11x

2x + 5

3x minus 2

minus10

2x minus 5

3x + 2

6x2

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

11

上常見的應用問題但因式分解的目的是為了解一元二次方程式而在因式分解

這個單元較難透過生活中的例子來理解而學習因式分解時學生還尚未學習解一

元二次方程式因此也較難知道其用途對學生而言一元二次多項式相較於一

元一次多項式更為抽象但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數

進入式的關鍵階段適合用來培養學生抽象思考以利於將來學習二次函數高

次多項式

APOS 學習理論 第二節

為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧將透過相關

代數學習理論分析十字交乘法並依據學習理論來建立適當的學習活動Gray amp

Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory）描述在代數學上符號同時包含

了運算程序與概念符號是我們運算的過程同時符號也是進行思考的概念也

就是說當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念而

了解其概念才算精熟這項代數運算例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算

過程而這個符號同時也包含了和的概念

圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)

而在本研究主題十字交乘法中十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串

的分解運算程序而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念

因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念才能達

到精熟學習

國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為

兩個一次式相乘的方法學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算還

符號 symbol

過程

process

概念

concept

過程概念

procept

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

12

要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算嘗試分解完後需要將其展開檢驗是

否分解正確例如欲分解 x2 + 5x + 6x

2 分解為兩個 x 相乘6 分解為 2 和 3 相

乘而中間的一次項是 2x + 3x = 5x與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解

在分解首項係數為 1 的二次三項式時可將操作程序分為對常數項係數分解成兩

數相乘如上例子中 6 分解為 2 乘 3本研究中將此步驟稱為乘法分解一次項

係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3本研究中將此步驟稱為加法分

解因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧

圖 2- 5 十字交乘法解題歷程

利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)代表了因式分解

的過程其中包含常數項係數乘法分解一次項係數加法分解整合驗證等一

連串的程序同時也表示因式分解的概念與代數結構

加法分解 乘法分解

寫答

正確

錯誤

系統性修改

代數知識

一次項 係數 常數項 係數

整合

檢驗

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

13

表 2- 2 十字交乘法的過程概念

利用十字交乘法進行因式分解

符號 數學概念 運算程序

x2 + 5x + 6

= (x + 2) (x + 3)

正負數的加法 加法分解

因數分解 乘法分解

多項式四則運算 分配律乘法展開

因式與倍式 分解後的數字對應到因式的係數

Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構

APOS 理論在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)以「基模」

的觀點將複雜的數學概念分割成小部份並描述基模之間可能的關聯透過這

個分割後再分析使我們掌握到學生如何學習一個概念並如何透過該概念發展

學 習到的部分建立後續所欲發展的基模而他將數學概念的學習分為行動

(Actions)過程(Processes)物件(Objects)基模(Schemas)

個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)

在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後個體將這些步驟合併並内化形

成過程(processes)若在行動階段缺乏反思個體將被限制在執行一連串程序的

行動階段如同代公式般的操作在過程階段已經將行動合併並內化個體可將

過程視為獨立且完整的不是將其視為一連串行動需要接收到起始動作的刺激

才能進行行動因此能將這個過程與其他過程結合進行逆運算逐漸透過反思

將概念抽象化

形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動過程整合後並將其

是為一個可操作的物件(objects)最後將行動過程物件與其他基模連結

整合形成新的基模(Asiala et al 1996 Breidenbach Dubinsky Hawks amp Nichols

1992 Dubinsky amp McDonald 2002)

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

14

本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解以因式分解 x2 + 5x +

6 為例學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時需

要對常數項係數分解為兩個因數的乘積再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係

數若結果不相等則須重新進行乘法分解再重複進行乘法分解直到解出正解

為止再經過反覆練習後將這些過程內化形成 Processes在此過程中可發

現在十字交乘法過程中對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技

巧依據起源分解學習理論若能在進入因式分解前強化乘法分解與加法分解

的核心技巧應該可以讓學生有更好的學習成效

圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et al 1996)

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

15

以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程

一加法分解對指定數字進行加法分解的行動(Action)

例如給定 5學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可

二乘法分解對指定數字進行乘法分解的行動(Action)

例如給定 4學生可分解為 1times4 或 2times2 皆可

三整合加法與乘法分解需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的

加法分解的行動(Action)

例如加法分解 5乘法分解 4透過不斷嘗試並整合找到 1 和 4使得

1+4 = 5 且 1times4 = 4才是正確的

四數字複雜提升難度改變數字的正負號數字的因數變多數字變大helliphellip等

複雜因素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案

漸漸將加法與乘法分解的過程內化形成過程(Process)

五數字複雜提升難度讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律漸漸找到

分解的通則使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)

六分解二次三項式對多項是進行「因式分解」的動作(Action)讓學生找到

對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解

七方程式係數複雜化改變係數的正負號因數變多數字變大helliphellip等複雜因

素讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案漸漸將因

是分解的過程內化形成過程(Process)

八方程式係數複雜化讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢

驗因式分解是否正確進而理解因式分解為乘法展開的逆運算使學生能將

因式分解形成一個物件(Object)

如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解透過起源分解建立的教學流程

先針對數進行行動過程形成物件基模(APOS)再對二次式進行行動過程

形成物件基模(APOS)本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動使學

生反思練習期望能達到良好的學習成效

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

16

遊戲式學習 第三節

Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)Michael and Chen(2005)對嚴肅的

遊戲給了較簡單的解釋嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈

現）為主要目標的遊戲Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑

戰(challenge)好奇(curiosity)控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作

(Cooperation)競爭(Competition)認同(Recognition)因此在遊戲式學習環境中

可以讓使用者更加投入

Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻其中 143 份文獻具

良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現並進一步分析發現遊戲是促進學

生投入而達到幫助學習的效果Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低

使用者學習數學時的焦慮與壓力但對學習困難的學生而言即使在遊戲式學習

環境中仍然會有灰心的感受因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題在漸

漸朝學科主題前進

Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式

學習環境中可顯著提升代數思維與學習態度但 Long amp Aleven (2014) 研究指

出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅並進行更多的練習但

是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境缺乏明確的連結到標準的代數符號

與轉換規則因此設計遊戲時遊戲應要內含數學本質並逐漸連結到標準的代

數符號形式才能達到有效的學習

Annetta Minogue Holmes amp Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊

戲來進行學習之前必須先學習如何進行遊戲而在遊戲進行的過程中除了學習

主題之外還要學習進行遊戲所需要的技巧另外由於學習的過程中是透過遊

戲學習而如何評量使用者在過程中學習到的技能以及將這些技能連結至學科

主題都是影響學習成效的重要因素因此遊戲本身具有的複雜性和評量方式的

調整是我們在研究設計上不可忽視的因素

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

17

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟

1 找出數學概念的多樣性使數學概念可以有趣的學習

2 對每個數學概念設計遊戲要素與環境

3 結合生活經驗與畫面美觀增加遊戲性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 課程的心理組成找出真實生活與數學概念的連結

5 整合遊戲環境的功能讓使用者在需要時能互動參與

6 整合遊戲的獎勵或積分機制

本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計

1 十字交乘法的概念為一次式乘法展開的逆運算也可用矩形面積拼接

重組表示而本研究使用係數拆解為兩數之和兩數之積的方法使學習較有趣

2 第一部分分解數字將數字拆解為兩數之和兩數之積的數學概念轉

換為密碼解鎖的遊戲情境第二部分代數式的因式分解需理解十字交乘法為一

次式乘法展開的逆運算將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境

3 結合密碼解鎖的生活經驗美化門密碼按鈕與動畫呈現增加遊戲

性讓使用者操作過程中感到愉悅

4 找出真實生活與數學概念的連結本研究中十字交乘法為解方程式所必

需的技巧因此真實生活較多與一元二次方程式的連結較難與十字交乘法連結

本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗

5 本研究設計中透過密碼解鎖的過程選取轉盤輸入數字讓使用者進

行操作與互動

6 結合時間限制提示限制若能在指定時間內沒有使用提示就答對即

可獲得星星若未能獲得星星可再重新挑戰首頁可看到 30個關卡共30個星星

建立累積星星的積分機制

Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習

而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機而在學習

的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識可使學習者具有較高的動機持續完

成作業因此在本研究中將控制數字的因數個數數字大小正負號等變化逐

漸提升作業的困難度並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

18

度因此學習者在面對較困難的問題時仍然可用到原先學習的技能來解決問題

使學習者具有較高的動機持續完成作業讓使用者在遊戲的過程中持續成長

Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法

外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)外在整合常見的

形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進而內在整合則是將學科主題

與遊戲想法整合在一起Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否

含有 23510 等因數為主題進一步比較內在整合與外在整合的研究其研

究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到

好的學習成效因此本研究將以十字交乘法之核心技能將一數字分解為兩數之

積兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合

Hainey Connolly Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻

並提到這些文獻中的缺點缺乏經驗證據遊戲中的暴力元素可能使學習者產生

有攻擊性破壞性的行為與態度準備上需要進行許多後製作業軟體的製作

安裝軟硬體間的相容性helliphellip等需要花費許多的人力與時間

Shaffer Halverson Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少

了相關的學習理論Porter (1995)認為在許多遊戲中依據遊戲中的規則規劃獲

勝策略當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過而在使用者會錯

意並趕到興奮時遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因因此本研究將加入即

時回饋系統與適當的提示功能期許避免讓使用者有會錯意或不知道該如何操

作的情形

Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中遊戲的挑戰必須隨著使用者的能

力而提升難度如此能提升使用者的投入程度而投入程度能有效提升學習成效

因此本研究將利用內在整合將學科本質與遊戲結合設計遊戲式學習環境期

許能透過遊戲提升使用者的投入程度並達到良好的學習成效與學習感受

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

19

觸控裝置與體現認知 第四節

近年來隨著科技發展智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及因其容易攜

帶與觸控的直覺式操作等便利性也逐漸運用與教育上Kilgore and Capraro(2010)

使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學Segal (2011) 研究指出直接觸控

相較與透過滑鼠操作對學習效果較好反應時間較快也較準確且會促進使用者

產生進階的策略若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent

Gestures)則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)例如

想要將物件旋轉在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉兩指旋轉的這個手

勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同即為 Congruent Gestures另一方面

若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉而點擊一下與我們現實生活中旋轉物

件的意義不同則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures

Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質在個體與環境

互動的過程中理解世界的方式因此在觸控式操作介面中個體與裝置的互動更

為密切在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知應能提供使用者有效的

學習Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中

若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符可達到較好的學習成效並進

一步提出體現設計可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動引導學習者發

現的較抽象的數學或科學概念而本研究中十字交乘法的「十字」是本學習活

動的核心概念且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開本研究中使用拖

曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures期許

可達到較好的學習成效

Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異描述認知觀點的三個基本

想法

1 概念化(Conceptualization)個體透過身體的性質來決定限制或建構概念

2 置換性(Replacement)個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求

因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態

3 組成(Constitution)在認知的組成中除了大腦之外身體與世界絕對不是毫

不重要的角色

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

20

例如孩童學習 3+5 的加法時會對著具體物件利用手指進行點數而點數

的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念且過程中是透過身體與外部

世界物件的互動來認知而非透過數字演算或符號表徵來學習而本研究中利

用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算因此結

合乘法展開的拖曳手勢希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字

交乘法的數學概念

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

21

第三章 研究方法

本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並期

望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效學習活動設計將在第四

章進行論述以下就研究設計研究對象研究流程研究工具與研究限制分五

節論述

研究設計 第一節

本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動並探討教

學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效認知負荷與感受上的差異

本研究分為實驗一與實驗二兩部分實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接

操弄」兩項變因進行探討共找四個班級並分為四組分別為觸碰界面上有教學

指引（簡記為 iPad-1）觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2）電腦界面上有

教學指引（簡記為 Mouse-1）電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）四組

皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學研究設計模式如表

3- 1 所示

表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計

引導

環境

無教學指引 有教學指引

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗二針對有無遊戲情境進行研究為了解遊戲情境是否能提升學生的參與

意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷進而造成學習成效上的影響

因此分為「有遊戲情境」（簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」（簡記為 iPad-3）兩

組採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程但去

除與遊戲情境而建立 iPad-3兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行整體

實驗設計如表 3- 2 所示

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

22

表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計

實驗二

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

實驗一

本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感

受因此進行以下實驗設計

1 為了解學生是否具有所需的先備知識進行 20 分鐘的前測

2 進行 40 分鐘教學實驗分 5 組進行操作本研究開發之學習環境

3 教學實驗後立刻填寫感受量表(約 5 分鐘)

4 實驗後為了解學生的學習成效進行 40 分鐘的後測

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

23

研究對象 第二節

因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解而預計讓已經學習過因

式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生透過本學習活動來學習利用十字交乘法

進行因式分解因此本研究以國中八年級學生為研究對象並且學習過以提公因

式因式分解與乘法公式因式分解

本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生分別在 iPad-1iPad-2

iPad-3 環境下進行檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合

宜

本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北

市 C 國中八年級 2 個班級均為男女合班常態編班五組共計施測人數為 157

人扣除缺少前測後測等無效樣本後本實驗各組之有效樣本數如下iPad-1

為 26 人iPad-2 為 29 人iPad-3 為 25 人Mouse-1 為 23 人Mouse-2 為 19 人

共 122 人因受限於 iPad 組需使用平板電腦因此將臺北市 B 高中附屬國中部

八年級隨機分配b1班為 iPad-1b2班為 iPad-2b3班為 iPad-3新北市 C 國中

八年級隨機分配c1班為 Mouse-1c2班為 Mouse-2

表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

施測人數 30 32 33 30 32

有效樣本 26 29 25 23 19

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

24

研究流程 第三節

本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗流程如

圖 3- 1 所示

設計階段 設計數位學習環境前測感受量表與後測

darr

前導性研究 3 位學生進行前測實驗感受量表後測

與半結構式訪談並依訪談結果進行修正

darr

前測 5 組學生進行 20 分鐘前測

darr

正式實驗 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗

與 5 分鐘填寫感受量表

darr

後測 5 組學生進行 40 分鐘後測

darr

資料分析 分析研究數據並撰寫報告

圖 3- 1 研究流程圖

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

25

研究工具 第四節

本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹而本節將介紹本研究為了解

學生透過本數位學習環境之學習成效與感受所使用前測感受量表後測等研

究工具

多項式與因式分解測驗（前測）

本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識其中包含因數

分解多項式乘法展開與同類項合併因式分解等概念本研究將依據上述先備

知識自編因式分解測驗並經過多次與數學教育專家數學教育碩博士學生共同

討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos Alpha 值為 0934整

體命題架構如表 3- 4 所示完整前測試卷如附錄

表 3- 4 前測命題架構

主要概念 題數 範例

先

備

知

識

因數分解 2 將 72 化成兩數的乘積

一正一負共 2 題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

多項式同類項合併 2 －8x + 3x =

一正一負共 2 題

多項式展開 4 (x+2) (x+5) =

括號內正負號變化共 4 題

提公因式因式分解 1 因式分解 1199092 + 7119909

利用乘法公式因式分解 1 因式分解 1199092 + 4119909 + 4

十字交乘

基本題 利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

26

感受量表

本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機認知負

荷量表改編自呂鳳琳 (2010)分別量測意願困難度花費心力信心指數和

投入努力 5 個維度而本研究所使用的動機量表改編自 Ryan 和 Deci(2010)

的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI) 2010)分別是挑戰性和樂在

其中共 2 題另外本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)包含流暢

性便利性等面向共 6 個維度以上問題皆採用 1 至 9 點的量表評量學生各

方面的感受完整感受量表詳見附錄

表 3- 5 感受量表架構

引用文獻 題數 維度

認知負荷 呂鳳琳 (2010) 5 意願困難度花費心力

信心指數投入努力

內在動機 Ryan and Deci (2010) 2 挑戰性和樂在其中

軟體感受 王偉斌 (2013) 6 流暢性想用介紹

方便易理解易學

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

27

十字交乘法因式分解測驗（後測）

本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效以及在數位

學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題是否能理解

因式分解是乘法展開的逆運算等概念因此本測驗將針對保留學習環境的問題

首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題三部分來編製評量工具

本研究採自編因式分解測驗並在編製過程中經過多次與數學教育專家數學教

育碩博士學生共同討論後編定而成並執行內部一致性分析得到 Cronbachrsquos

Alpha 值為 0964整體命題架構如表 3- 6 所示完整後測試卷如附錄

表 3- 6 後測命題架構

主要概念 題數 範例

保留情境

的問題

第一階段 2 加法分解乘法分解各 1 題

第二三階段 4 正負號變化共 4 題

十字交乘

基本題

數值表徵之十字交乘法問題 2 a+b=8 且 atimesb=7求 a b

一正一負共 2 題

填空式因式分解問題 2 1199092 + 8119909 + 7

= (119909 +)(119909 +)

填空式因式分解問題

含十字交乘法過程 2 需填入十字交乘法過程

利用十字交乘法因式分解 4

因式分解 1199092 + 6119909 + 5

一次項係數常數項係數

正負變化共 4 題

遷移問題

反向填空 2 需理解因式分解為展開的逆

運算的概念問題

需提公因數 1 因式分解 31199092 + 12119909 + 9

需變數變換 2 將 x 改為 y將 x 改為(x－5)

首項係數非一之

十字交乘法問題 2

常數項為 1 的 1 題

常數項不為 1 的 1 題

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

28

第四章 十字交乘法遊戲式學習活動

本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動第

一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習

活動第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能將完整呈現

無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果第三節將說明如何結合本研

究中三個操作變因形成五個版本的學習環境

表 4- 1 操作變因與五個版本的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

學習活動 第一節

本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交

乘法而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法它包含需要代數運算的演算技

能以及代數結構的過程概念(procept)例如要分解1199092 + 119887119909 + 119888 = (119909 + 119901)(119909 + 119902)

演算程序上需要知道將 c 分解為 p q 相乘且 b 分解為 p q 相加並對應到方程

式係數的過程概念

因此本遊戲學習環境分為兩部分第一部分在強化演算技能第二部分在強

調過程概念第一部分強化演算技能即將一次項係數分解為兩數相加常數項

係數分解為兩數相乘這個核心技巧抽取出來讓學習者練習並在練習的過程中

掌握計算上的技巧進而產生成就感透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧本部分

又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行第一階段分別獨

立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘是將問題分段切割降低演算的認知負

荷並熟悉環境的規則第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

29

兩數相加如圖 4- 1 所示要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 times 3）7 分解為兩

數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程第三階段延續第二階段的學習遊戲但

引進負數讓學生學習正負數混合的演算技巧

如圖 4- 1 所示第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘

法分解的數字畫面上方會有目前的關卡名稱計時器和目標時間第一部分的

環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示右方兩個轉輪可左右滑動選取數值

（皆為整數）選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案若遇到困難無法解出答案

可按下上方的提示或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習

圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面

需乘法分解的數字

需加法分解的數字

目前的關卡 計時已經經過多久 若在目標時間內完成可獲得獎勵

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

30

圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面

在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示正確分解會

有通電的動畫並向左移動開門但分解錯誤則沒有通電的動畫也不會移動

透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤並修正答案當學生無法解決

問題時可觀看提示來發展解題策略若仍然無法解決再超過一定時間後可觀

看參考答案得知自己在思考時的漏洞在哪每個任務都會計時若在時間內完

成可獲得星星使學生感受到挑戰性並迫使他們必須發展出適當的解題策略來

加快答題速度隨時可回首頁選取較不熟悉的部分反復練習其練習題的問題

將會依複雜度隨機出題

圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面

4回首頁 3給予提示

2送出答案

1可左右滑動選取數字

錯誤不通電

正確有通電

錯誤不動

正確移動後再返回原位

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

31

若回答的是正確答案則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示開門動畫後會檢驗

是否在時間內完成是否有使用提示若都符合的話就可以獲得獎勵星星可

繼續挑戰下一關若未能取得星星可以再試一次或回首頁選取其他關卡

圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面

獎勵

檢驗是否在時間內完成

檢驗是否有使用提示

若未得到獎勵可再試一次

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

32

本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲學生需要在限定時間內完成任務

登上 101 的高峰如圖 4- 5 為本環境首頁左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北

101 大樓的示意圖共分成六個區塊分別代表六個階段每階段遊戲都有 5 題的

挑戰問題共 30 題使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題並

發展出有效率的解題策略學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋

當無法解決問題時可透過提示來發展解題策略若在限定時間無法解決問題時

系統會給學生正確的參考答案

圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁

第二部分延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號使學習

者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號環境畫面如圖 4- 6 所示

本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段第一階段中數字與係數全為正的

讓學習者熟悉程序操作並透過視覺符號與「代數技巧」聯結第二階段加入性

質符號的變化強化過程概念第三階段整合所有的技巧與概念

圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

33

結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上以激發學生的學習意

願發揮觸碰介面特色透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化結合體現認

知幫助學生掌握代數運算的技巧如圖 4- 7 所示將遊戲過關所需要的技巧與十

字交乘法所要學習的內容進行內在整合使學生在解密碼的同時學習並進而引

發內在動機隨著學習的進行學生的能力逐漸成長而作業的難度也逐進增加

使學生感到作業是具有挑戰性的

圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算

本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的將根據 APOS 理論

設計「內在整合」的學習環境依據 APOS 理論設計的學習環境幫助學習者掌

握分解二次三項式的學習內容

根據 APOS 理論 十字交乘法的學習將分成兩個階段第一階段針對數值運

算學習者對數值進行加法分解乘法分解的 Action再透過數值正負號的變化

並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分而使這個加法分解乘法

分解的動作變成物件第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物

件進行因式分解 Action接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形形

成 Process最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)

第一階段 先降低認知負荷在熟悉的數值上執行運算行動

第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程

第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件)

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

34

第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動

第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程

第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件

依據上述六個步驟轉化為六個階段每個階段各 5 題建立本學習環境的

學習活動整體規劃如表 4- 2 所示而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3

所示

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

35

表 4- 2 整體活動規劃

階段 題號 主題 舉例說明

0 介紹介面與操作說明

第

一

階

段

1 加法分解 a + b = 6

2 加法分解加入負數 a + b = －14

3 乘法分解 a b = 5

4 乘法分解數字變大 a b = 40

5 乘法分解加入負數 a b = －12

第

二

階

段

6 整合加法與乘法分解 a + b = 4 a b =3

7 整合加法與乘法分解

數字變大因數變多

a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 加入負數將正數分解為兩負數相乘 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11 將正數分解為一正一負相乘 a + b = 6 a b =－7

12 數字變大因數變多

a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 和為負數要推論出負數較大 a + b = －6 a b =－7

15 數字變大因數變多 a + b = －3 a b =－40

教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算）

第

四

階

段

16 介紹手勢與新介面操作 1199092 + 4119909 + 3

17 孰悉介面操作

並運用上述所學技能

漸漸數字變大因數變多

1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21 移除加號乘法輔助

將正數分解為兩負數相乘

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 數字變大因數變多

1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26 將常數項分解為一正一負相乘 1199092 + 2119909 minus 3

27 數字變大因數變多

1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 一次項為負數要推論出負數較大 1199092 minus 2119909 minus 35

30 數字變大因數變多 1199092 minus 6119909 minus 16

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

36

表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃

階

段

題

號

APOS階段

動作

對象 說明 舉例說明

第

一

階

段

1

A 數值

對數值做「加法分解」的動作 a + b = 6

2 a + b = －14

3

對數值做「乘法分解」的動作

a b = 5

4 a b = 40

5 a b = －12

第

二

階

段

6

P 數值

整合加法與乘法分解

隨著數字變大因數變多等因

素讓加法與乘法分解的動作

透過嘗試錯誤漸漸內化為過

程 Process

a + b = 4 a b =3

7 a + b = 12 a b =35

8 a + b = 11 a b =30

9 a + b = 14 a b =45

10 a + b = －4 a b =3

第

三

階

段

11

O 數值

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「加法與乘法分解」建構為

物件並再反覆解構修正

a + b = 6 a b =－7

12 a + b = 2 a b =－8

13 a + b = 3 a b =－54

14 a + b = －6 a b =－7

15 a + b = －3 a b =－40

第

四

階

段

16

A 多項

式

將「加法與乘法分解」應用於

多項式對多項式進行「因式

分解」的動作

1199092 + 4119909 + 3

17 1199092 + 8119909 + 7

18 1199092 + 10119909 + 21

19 1199092 + 7119909 + 12

20 1199092 + 12119909 + 32

第

五

階

段

21

P 多項

式

隨著數字變大因數變多等因

素透過反覆練習將「因式分

解」的動作內化為過程

Process

1199092 minus 4119909 + 3

22 1199092 minus 7119909 + 6

23 1199092 minus 9119909 + 14

24 1199092 minus 9119909 + 20

25 1199092 minus 13119909 + 36

第

六

階

段

26

O 多項

式

引入負數需察覺過程

Process 中的錯誤進行修正

將「因式分解」建構為物件並

再反覆解構修正

1199092 + 2119909 minus 3

27 1199092 + 4119909 minus 21

28 1199092 + 5119909 minus 24

29 1199092 minus 2119909 minus 35

30 1199092 minus 6119909 minus 16

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

37

遊戲活動 第二節

本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)遊戲式學習活動之設計結果

一首頁與情境在輸入使用者的班級座號之後會進入首頁結合挑戰

101 大樓的情境如圖 4- 8 所示

圖 4- 8 環境首頁

二介面操作介紹在第一階段畫面中有兩個轉輪式輸入數字的裝置選

取完成後可按下紅色按鈕輸入在進入任務 1 之前會先進行操作教學如何使

用轉輪出入數字如何送出答案如圖 4- 9 所示

圖 4- 9 介面操作介紹

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

38

三基礎規則操作說明在任務一中透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面

的操作如圖 4- 10 所示背景的加號表示要進行加法分解並解釋加法分解

圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明

四介紹介面操作在任務二中將負數引入並讓使用者察覺現階段最大

的範圍為-9 ~ 9如圖 4- 11 所示

圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界

五介紹介面操作從任務三中介紹乘法分解如圖 4- 12 所示

圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

39

六任務四五中乘法分解的數值變大引述負數讓使用者察覺答案可

以填入負數且數值範圍以擴大到-20~20如圖 4- 13 所示

圖 4- 13 任務 45 數值變大引入負數

七任務六開始必須同時進行乘法分解與加法分解任務七至九的數值漸

漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化如圖

4- 14 所示

圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

40

八任務十開始引入負數讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘如

圖 4- 15 所示

圖 4- 15 任務 10~15 引入負數

九任務 11~15相乘為負數讓使用者察覺要分解為一正一負相乘並透

過相加為正則正數的絕對值較大相加為負則負數的絕對值較大如圖 4- 16

所示

圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數需透過相加的正負來判斷

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

41

十任務 16 開始進入標準代數式階段先介紹介面中增加的十字交乘手勢

以及將二次式係數連結到之前的乘法分解加法分解如圖 4- 17 所示

圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢

十一按下送出後逐一檢驗乘法展開過程是否正確讓使用者可以容易察

覺哪個係數的分解過程有誤如圖 4- 18 所示

圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

42

十二任務 17~20係數漸漸變大讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘

法的過程內化如圖 4- 19 所示

圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大逐漸將十字交乘法的過程內化

十三任務 21~25本階段係數背後的加法乘法符號消失使用者必須自

己記住常數項要進行乘法分解一次項進行加法分解本階段一次項係數為負

常數項為正且漸漸變大讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘如圖 4- 20

所示

圖 4- 20 任務 21~25 加號乘號輔助符號消失一次項係數為負常數項係數漸

漸變大

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

43

十四任務 26~30本階段常數項為負使用者必須判斷一次項係數為正

則正數的絕對值較大一次項係數為負則負數的絕對值較大如圖 4- 21 所示

圖 4- 21 任務 26~30常數項係數為負要能判斷負號要放在哪裡

十五任務 30 完成後可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示取得

所有的星星如圖 4- 22 所示

圖 4- 22 完成後可回首頁取得尚未取得的星星練習不熟的單元

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

44

結合操縱變因 第三節

本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異

表 4- 4 本研究五個版本間的關係

引導

環境 無教學指引 有教學指引

有教學指引

無遊戲情境

iPad 直接操弄 iPad-1 iPad-2 iPad-3

Mouse 非直接操弄 Mouse-1 Mouse-2

一iPad-2 為有教學指引整體設計與 iPad-1 相同唯一的差別在於完成

任務 15 後即將進入標準代數式階段時安排了一段教學說明十字交乘法是

乘法展開的逆運算整段教學指引如圖 4- 23圖 4- 24 所示接著再進入任務

16 的操作教學

圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

45

圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法

二Mouse-1Mouse-2 為滑鼠介面操作整體環境分別與 iPad-1iPad-2

相同唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕改為點擊滑鼠左鍵如圖 4- 25

圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異

觸碰介面請輕觸螢幕

滑鼠介面請按滑鼠左鍵

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

46

三iPad-3 為無遊戲情境版本首頁改為單元一~單元六如圖 4- 26

圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁

第一階段問題皆改為填充題模式使用小鍵盤輸入數字無挑戰 101 與密碼

解鎖之情境如圖 4- 27 所示點選要輸入的格子後可輸入數字輸入時上下

方的格子會同步改變輸入完畢可按下紅色按鈕送出正確的回饋方式是在等號

旁出現打勾錯誤則出現打叉

圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

47

第五章 研究結果

本章將分析各版本的前測與後測之比較第二節將分析認知負荷與學習感受

第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度

各組間學習表現之差異 第一節

為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效將探討在數位學習環境中

學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題以及是否能理解因式分

解是乘法展開的逆運算之概念因此將從遊戲情境問題代數基本問題與延伸遷

移問題三個面向分析

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率

由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要

的加法分解與乘法分解技能並在無教師介入教學下學生能整合加法分解與乘

法分解並發展解題策略

表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較

介面 版本 仿操作介面問題之分數

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 8862 1588

2 29 8764 20

3 25 9467 981

Mouse 1 23 7953 2694

2 19 8509 296

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

48

圖 5- 1 仿操作介面問題

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步由此可知本研究

之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘

法因式分解問題結合 APOS 理論所佈置的學習環境可使學生有效學習首項係

數為 1 的二次式因式分解問題能有效連結到標準的十字交乘法問題

表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率

介面 版本 前測 後測 顯著性

人數 平均值 標準差 平均值 標準差 p

iPad

1 26 2596 4092 8474 2092 lt001

2 29 4828 4861 8190 2397 lt001

3 25 5900 4781 9350 1347 001

Mouse 1 23 4457 4261 7568 3040 001

2 19 3816 4439 8092 3114 001

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

49

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優

於觸碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

進一步比較各版本後測基本題減前測基本題的進步分數進行組間比較如表

5- 3 所示在同樣無教學情況下iPad 介面表現顯著優於滑鼠介面使用平板進

行直接操弄與透過滑鼠的間接操弄在十字交乘法的學習上但在有教學情況下

雖未達顯著卻是滑鼠介面表現優於 iPad 介面另外iPad 無教學版本顯著優

於 iPad 有教學的另外兩版本但是在滑鼠介面下反而是有教學版本較優於無

教學版本好雖然並未達到顯著水準由上述結果可知在觸碰介面中無教學指

引較好在滑鼠介面中有教學指引較好可能是在觸碰介面下投入程度較高使

用者遇到教學指引畫面可能流暢地跳過並未仔細閱讀教學指引但在滑鼠介面

下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可能較容易透過滑鼠游標輔

助閱讀而發揮本段教學指引的功效

表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較

介面 版本 進步分數

iPad-1 gt iPad-2

iPad-1 gt iPad-3

iPad-1 gt Mouse-1

人數 平均值 標準差

iPad

1 26 5877 3792

2 29 3362 4119

3 25 3450 4391

Mouse 1 23 3111 3977

2 19 4276 4692

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

50

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

分析有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有無交互作用比較四組

（iPad-1 iPad-2 Mouse-1 Mouse -2）後測基本題減前測基本題的進步分數進行

雙因子變異數分析後介面與版本兩因子間有交互作用且顯著性達 0032四

組進步分數差異如圖 5- 2 所示

圖 5- 2 二乘二因子分析在進步分數上兩因子間有交互作用

iPad-1

5877

iPad-2

3362 Mouse-1

3111

Mouse-2

4276

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

51

進一步分析產生此差異的主要因子為何發現有無教學指引與觸碰滑鼠介

面皆未達顯著差異如表 5-4 所示在觸碰介面下學生面對教學時會有不認真

的學習逃避學習等情形與相關研究結果相符(Magnussen 和 Misfeldt 2004

蔡福興游光昭與蕭顯勝 2010）因此這段教學指引未達到預期的成效反而

成為學習過程中的干擾

在滑鼠介面下使用者須透過滑鼠的仲介來點擊教學指引此時可透過滑鼠

游標輔助閱讀可能因此發揮教學指引的功效但仍須未來持續研究探討

表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異

進步分數 顯著性

平均值 標準差

無教學指引 4579 4084 427

有教學指引 3724 4329

觸碰介面 4551 4230 277

滑鼠介面 3638 4300

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

52

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

進一步探討在本數位學習環境的輔助下學生是否能能理解因式分解是乘法

展開的逆運算而掌握十字交乘法的概念來解決延伸的遷移問題在延伸的遷移

問題中如表 5- 5 所示去遊戲(iPad-3)在遷移問題上的表現較好可能是在遊

戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易達到遷移要達到有效的遷移問題教

學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊戲的元素透過數學問題引發的內在

動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的成效

蔡福興游光昭與蕭顯勝（2010）研究發現學生的知識獲取程度學習能力

及學習動機是影響新觀點遠遷移成效的關鍵因素在本研究中去遊戲組(iPad-3)

的前測成績較好也可能是造成 iPad-3 的學生較容易引發學習遷移的因素之一

表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較

介面 版本 後測遷移問題分數

iPad-3 gt iPad-2

(p=0002)

N M SD

iPad

1 26 5618 3683

2 29 5653 4064

3 25 8229 2836

Mouse 1 23 4674 3833

2 19 6297 4434

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

53

各組間認知負荷與感受之差異 第二節

21 各組間認知負荷比較

為了理解使用者在進行本研究設計的數位學習環境之認知負荷感受內在動

機與操作感受將探討各變因對不同維度的感受差異為何認知負荷感受量表如

表 5- 6 所示iPad 去遊戲版本在對問題的把握(信心)顯著優於 iPad 其他版本而

iPad 3 的後測成績也的確比較高其餘數據各組間皆未達顯著差異但可看出各

組皆有稍高的意願(565~688)困難度偏易(約 4)可知本研究設計經過本活動

的分段切割後使學生感到十字交乘法問題是簡單的且讓學生有意願參與

表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

1意願 565(226) 575(252) 688(219) 583(261) 589(221)

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

3心力 435(196) 441(235) 356(187) 522(232) 447(198)

4把握 550(179) 566(250) 716(165) 504(255) 579(193)

5努力 562(188) 514(236) 456(258) 474(283) 468(229)

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

54

22 各組間使用感受比較

如表 5- 7 所示iPad-2 在流暢性易懂確信可學會 3 個維度中皆與 iPad-1

達顯著差異iPad-2 認為較易懂確信可以學會但其後測表現卻較 iPad-1 差

由此可知加上解說指引可能讓學生感覺比較有學習的感覺對學習感受比較好

但學習表現並沒有比較好

表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

6流暢 546(202) 669(233) 588(256) 587(270) 589(242)

7想用 562(243) 672(245) 640(260) 604(292) 558(229)

8介紹 488(180) 514(228) 528(251) 578(283) 453(227)

9方便 565(208) 510(244) 488(251) 513(293) 511(242)

10容易懂 500(206) 668(185) 648(240) 587(270) 489(205)

11學會 573(199) 724(196) 664(236) 591(286) 542(263)

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

55

23 各組間內在動機比較

表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

12樂在其中 550(214) 641(218) 648(252) 604(290) 532(221)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

內在動機量表如表 5-8 所示滑鼠無教學版本相較於有教學版本在作業有

挑戰性達顯著差異另外在觸碰介面下雖未達顯著差異但也是無教學版本相較

於有教學版本較有挑戰性

將挑戰性困難度並列於表 5- 9 中可以看出在沒有教學指引下會讓學生感受

到較困難但困難度仍在中稍偏低的程度依據心流理論在挑戰性與學生所學

會的技能程度相近的話較容易進入心流狀態使學生更投入作業之中並由解

決問題的成就感獲得繼續進行的動力也與相關研究結果相符若作業不具挑戰

性將無法激勵學生學習而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完

成作業的動機 (Vollmeyer 和 Rheinberg 2000)

表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料

iPad-1 iPad-2 iPad-3 Mouse-1 Mouse-2

2困難 431(209) 397(215) 288(196) 557(264) 432(167)

13挑戰性 577(199) 510(244) 452(258) 678(252) 500(247)

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

56

學習效率與投入 第三節

將全體樣本學生進行花費心力與後測基本問題成績標準化後以花費心力作

為 x 軸後測成績作為 y 軸將各組的花費心力後測成績平均繪製於坐標平面

上如圖所示

x = y (花費心力 = 學習表現) 將平面切為兩半左半平面 x lt y (花費心力

lt 學習表現)為學習效率較佳的一半且距離直線 x = y 越遠效率越佳反之

右下方距離直線 x = y 越遠效率越差如圖 5- 3 左圖所示

另外x + y = 0 將平面切為兩半右半平面 x + y gt 0為學生願意投入心力

且學習成就較佳投入程度較高的一半且距離直線 x + y = 0 越遠投入程度

越高反之左下方距離直線 x + y = 0 越遠投入程度越低如圖 5- 3 右圖所

示

圖 5- 3 高低效率與高低投入區域

高效率

低效率

高投入

低投入

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

57

31 各組間學習效率比較

在學習效率方面iPad1 整體效率最高而 mouse1 為整體效率最低顯示

iPad1 與 mouse1 均在無教學指引的環境下但在觸碰介面下操作過程可由身

體直接操控不須透過滑鼠仲介可達到較好的學習效率但在有教學指引的環

境下卻是 mouse2 稍優於 iPad2可知在有教學指引的環境中滑鼠的仲介可能

可以提供良好的閱讀輔助因此在學習效率上優於觸碰介面

圖 5- 4 學習效率

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

58

32 各組間投入程度比較無教學gt有教學gt無遊戲

由圖 5- 5 可知iPad1 與 mouse1 的投入程度較高無教學版本雖然會提升

難度但在這樣的難度下會使學生感到具有挑戰性能與學生的技能相符較

容易進入心流狀態提升學生投入本活動也符應前節所述適當的困難度可幫

助學生進入心流狀態也與相關文獻結論相符具挑戰性的作業可激勵學習者具

有較高的動機持續完成作業(Vollmeyer 和 Rheinberg 2000 Hamari 2016)

整體投入最低的是去遊戲組(iPad3) 可知在本研究設計中遊戲可有效提高

學生得投入程度也與相關文獻結論相符遊戲可促進學生投入(Boyle 2016

Hamari 2016)

圖 5- 5 投入程度

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

59

33 綜合比較觸碰無教學組位於高投入高學習效率區

由圖 5- 6 可知iPad1 在本研究設計中位於高效率且高投入區域

圖 5- 6 學習效率與投入

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

60

第六章 結論與建議

結論 第一節

一在學習成效上有以下結論

11 五組皆在數位學習環境中有效學習

12 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異

13 基本問題前後測進步分數五組組間比較觸碰有教學顯著優於觸

碰無教學觸碰有教學顯著優於滑鼠有教學

14 有無教學指引與觸碰滑鼠介面之二乘二因子間有交互作用

15 遷移問題組間比較無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組

在本研究結合 APOS 理論遊戲式學習理論設計十字交乘法的數位學習環境

各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80左右的答對率由此可知大多數學生

在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要的加法分解與乘法分

解技能且能整合加法分解與乘法分解並發展解題策略各版本在經過教學實

驗之後代數形式的十字交乘法問題均達到顯著進步由此可知本研究之環境設計

能有效將數位學習環境中學習到的技能有效連結到標準的十字交乘法因式分解

問題使學生有效學習首項係數為 1 的二次式因式分解問題在遷移問題上去遊

戲(iPad-3)的表現較好可能是在遊戲式的學習環境中易理解基礎問題但不易

達到遷移要達到有效的遷移問題教學可能要在理解基礎問題後漸漸移除遊

戲的元素透過數學問題引發的內在動機來進行遷移問題的學習可能會有較好的

成效

在本研究中沒有教學指引下會讓學生感受到較困難但也使學生感到具挑

戰性激發學生學習動機使學生更投入作業之中在滑鼠介面與觸碰介面下

都具有高投入程度在觸碰介面下無教學指引在滑鼠介面下有教學指引這兩

組會有較好的學習成就與學習效率綜合整體而言在觸碰介面下無教學指引會

有較佳的學習效率與較高的投入程度

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

61

建議 第二節

一 系統修正

依據心流理論使用者在進行挑戰時若挑戰過簡單會感到無聊若挑戰過

難會感到焦慮唯有進行與自己能力相符合的挑戰時才能進入心流狀態因此應

該透過系統監控作答錯誤次數與作答時間立即判斷使用者的程度進行適性化

教學應能讓各種程度的使用者都更加投入

本研究中大多數的使用者(85)能在 40分鐘內完成本研究佈置的 30個問題

因此針對部分進度較快的學生若能在持續規劃首項係數非 1 的十字交乘法或

許能使這些使用者持續進入心流狀態達到更有效的教學

答錯時系統給予的回饋只有密碼後方有沒有通電畫面稍縱即逝無法讓使

用者知道錯誤發生在哪裡建議加上圖像表徵以及最近幾次的作答紀錄讓使用

者可直接看到圖像明確的讓使用者看到目前的數字是太大還是太小或是正負號

錯誤可透過視覺直接傳達錯誤的地方讓使用者知道並且可以透過觀察過去作

答再讓使用者再次修正作答答案從作答錯誤的過程中察覺規律發展解題策略

二 未來研究方向

本研究雖建立在激發學生學習動機進而增進學習成效而引進遊戲式學習但

未進行數學動機與態度量表由於本實驗結果中顯示學生學習成效較好的組別

在感受上卻反而覺得沒有學習到因此除了學習成效之外可以進一步比較各組

間的態度與動機比較在實驗前後數學動機與態度的改變

McLaren Adams Mayer amp Forlizzi (2017) 研究指出對於先備知識能力較低

的學生在遊戲式環境中獲益更大但本研究之樣本數較少若能增加樣本數

將樣本數的先備知識能力學習態度做分組或許可觀察到遊戲情境教學指引

觸碰操弄等因素可能對不同先備知識能力學習態度的學生會有不同的影響

Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟中建議找出

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

62

真實生活與數學概念的連結而本研究設計中僅以解密碼鎖和 101 的情境方式與

生活結合並未展現十字交乘法的概念與真實生活結合若未來能有效與生活結

合展現十字交乘法的實用性可能會更加提升學生的學習意願與態度

Pearce 等(2005)提出心流體驗量表建議可透過心流量表分析各組是否進入

心流狀態並進一步探討數位教學環境產生心流的元素為何

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

63

參考文獻

中文部分

教育部（2008）97 年國民中小學九年一貫課程綱要台北市教育部

王偉斌 (2013)動態視覺化觸控式學習環境之實作以國中多項式的乘法為例(碩

士論文)國立臺灣師範大學臺北市

呂鳳琳 (2010)幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解影響之

研究(未出版之碩士論文)國立臺灣師範大學臺北市

林宛蓁（2012）八年級學生因式分解單元錯誤類型之分析研究(碩士論文)

林美娟（2010）高雄市國二學生解一元二次方程式錯誤類型之分析研究未出

版碩士高雄師範大學數學系台北市

郭文智（2017）國中二年級學生在數學科「因式分解」概念的學習成效之探討-

以臺南市麻豆區麻豆國中為例(碩士論文)

張基成林冠佑（2016）從傳統數位學習到遊戲式數位學習－學習成效心流

體驗與認知負荷科學教育學刊24(3)221-248

doi106173CJSE2016240301

蔡福興游光昭蕭顯勝（2010）影響數位遊戲式學習行為與學習遷移成效之

因素探討教育科學研究期刊55(2)167-206

劉家均（2014）國小等量公理數位遊戲學習行為動機與心流類型之個案研究

（碩士論文）

英文部分

Abt C C (1970) Serious games University Press of America

Annetta L A Minogue J Holmes S Y amp Cheng M-T (2009) Investigating the

impact of video games on high school studentsrsquo engagement and learning about

genetics Computers amp Education 53(1) 74-85

Abrahamson D amp Lindgren R (2014) Embodiment and embodied design In R K

Sawyer (Ed) The Cambridge handbook of the learning sciences (2nd Edition)

Cambridge MA Cambridge University Press

Asiala M Brown A DeVries D Dubinsky E Mathews D amp Thomas K（1996）

A framework for research and curriculum development in undergraduate

mathematics educationResearch in collegiate mathematics education2（3）

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

64

1-32

Bernard J Ramirez O amp Villalobos C (2017) Using Technology to Determine

Factorability or Non-factorability of Quadratic Algebraic Trinomials In P Resta

amp S Smith (Eds) Proceedings of Society for Information Technology amp Teacher

Education International Conference (pp 1901-1906) Austin TX United States

Association for the Advancement of Computing in Education (AACE)

Boyle E A Hainey T Connolly T M Gray G Earp J Ott M Lim T Ninaus

M Ribeiro C Pereira J An update to the systematic literature review of

empirical evidence of the impacts and outcomes of computer games and serious

games Computers amp Education (94) 178-192 2016

Breidenbach D Dubinsky E Hawks J amp Nichols D (1992) Development of the

process conception of function Educational Studies in Mathematics 23(3)

247-285

Csikszentmihalyi M（1975）Beyond boredom and anxietyJoseyndashBass San

Francisco

Csikszentmihalyi M (1997) Finding flow The psychology of engagement with

everyday life Basic Books

Dubinsky E amp McDonald M (2002) Apos A constructivist theory of learning in

undergraduate mathematics education research In D Holton M Artigue U

Kirchgraumlber J Hillel M Nissamp A Schoenfeld (Ed) The teaching and learning

of mathematics at university level vol 7 pp 275-282 Springer Netherlands

Faghihi U Aguilar D Chatman D Gautier N Gholson J Gholson J hellip

Maldonado-Bouchard S (2017) How to apply gamification techniques to

design a gaming environment for algebra concepts In G Vincenti A Bucciero

M Helfert amp M Glowatz (Eds) E-learning e-education and online training

Lecture notes of the Institute for Computer Sciences social informatics and

telecommunications engineering (Vol 180 pp 62ndash70) Cham Switzerland

Springer International Publishing

Gray E M amp Tall D O（1994）Duality ambiguity and flexibility A proceptual

view of simple arithmeticJournal for research in Mathematics Education

116-140

Habgood M J amp Ainsworth S E (2011) Motivating children to learn effectively

Exploring the value of intrinsic integration in educational games The Journal of

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

65

the Learning Sciences 20(2) 169-206

Hainey T Connolly T Stansfield M amp Boyle L (2011) The use of computer

games in education A review of the literature (Ed) Handbook of research on

improving learning and motivation through educational games Hershey

Multidisciplinary approaches idea-group publishing isbn vol 1609604954

Hamari J Shernoff DJ Rowe E Coller B Asbell-Clarke J y Edwards T

(2016) ldquoChallenging games help students learn An empirical study on

engagement flow and immersion in game-based learningrdquo Computers in Human

Behavior 54 pp 170-179

Kafai Y B (1996) Learning design by making games (Ed) Constructionism in

practice Designing thinking and learning in a digital world pp 71-96

Kieran C (1992) The learning and teaching (Ed) Handbook of research on

mathematics teaching and learning pp 390

Kieran C (2004) The core of algebra Reflections on its main activities (Ed) The

future of the teaching and learning of algebra the 12 th icmi study pp 21-33

Springer

Kieran C amp Chalouh L（1993）Prealgebra The transition from arithmetic to

algebraResearch Ideas for the Classroom Middle Grades Mathematics

179-198

Kieran C amp Drijvers P（2006）The co-emergence of machine techniques

paper-and-pencil techniques and theoretical reflection A study of cas use in

secondary school algebraInternational Journal of Computers for

Mathematical Learning11（2）205-263

Kilgore K E amp Capraro M M（2010）A technological approach to teaching

factorizationJournal of Mathematics Education3（2）115-125

Lepper M R amp Malone T W (1987) Intrinsic motivation and instructional

effectiveness in computer-based education In R E Snowamp M J Farr (Ed)

Conative and affective process analysis vol 3 pp 255-286 Hillsdale NJ L

Erlbaum

Long Y amp Aleven V (2014) Gamification of joint studentsystem control over

problem selection in a linear equation tutor In S Trausan-Matu K E Boyer M

Crosby amp K Panourgia (Eds) Proceedings of the 12th International Conference

on Intelligent Tutoring Systems ITS 2014 (pp 378ndash387) New York Springer

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

66

Magnussen R amp Misfeldt M (2004) Player transformation of educational

multiplayer games Other Players

McLaren B M Adams D M Mayer R E amp Forlizzi J (2017) A

Computer-based Game that Promotes Mathematics Learning More than a

Conventional Approach International Journal of Game-Based Learning (IJGBL)

7(1) 36-56

Michael D R amp Chen S L (2005) Serious games Games that educate train and

inform Muska amp LipmanPremier-Trade

National Council of Teachers of Mathematics (2000) Principles and standards for

school mathematics (1) Natl Council of Teachers of

National Council of Teachers of Mathematics (2008) The role of technology in the

teaching and learning of mathematics from

httpwwwnctmorgaboutcontentaspxid=14233

Pearce J M Ainley M amp Howard S (2005) The ebb and flow of online learning

Computers in Human Behavior 21(5) 745-771

Porter D B (1995) Computer games Paradigms of opportunity Behavior Research

Methods Instruments amp Computers 27(2) 229-234

Prensky M (2001) Fun play and games What makes games engaging In M

Prensky (Ed) Digital game-based learning (pp 16-47) New York NY

McGraw-Hill

Prensky M (2007) Digital game-based learning New York NY McGraw-Hill

Ryan R M amp Deci E L (2010) Intrinsic motivation inventory from

httpwwwpsychrochestereduSDTmeasureswordIMIfulldoc

Siew N M Geofrey J amp Lee B N (2016) Studentsrsquo algebraic thinking and

attitudes towards algebra the effects of game-based learning using Dragonbox

12+ app The Electronic Journal of Mathematics amp Technology 10(2)

Shaffer D W Halverson R Squire K R amp Gee J P (2005) Video games and the

future of learning Wcer working paper no 2005-4 Wisconsin Center for

Education Research

Shapiro L (2011) Embodied Cognition New York Routledge Press

Vollmeyer R amp Rheinberg F (2000) Does motivation affect performance via

persistence Learning and Instruction 10(4) 293-309

67

68

附錄

附錄一 多項式與因式分解測驗（前測）

69

附錄二 感受量表

70

71

72

附錄三 利用十字交乘法因式分解（後測）

73

68

附錄

附錄一 多項式與因式分解測驗（前測）

69

附錄二 感受量表

70

71

72

附錄三 利用十字交乘法因式分解（後測）

73

69

附錄二 感受量表

70

71

72

附錄三 利用十字交乘法因式分解（後測）

73

70

71

72

附錄三 利用十字交乘法因式分解（後測）

73

71

72

附錄三 利用十字交乘法因式分解（後測）

73

72

附錄三 利用十字交乘法因式分解（後測）

73

73