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考点 15 等腰三角形与直角三角形

一、等腰三角形1．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°．

2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形 两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

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2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边 a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有 1 条或 3 条对称轴．2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

4．等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则b2 <a．

5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=

180 °−∠ A2 ．

典例 1 （2020·四川省武胜县万善初级中学初二月考）等腰三角形的一个内角为 40°，则其余两个内角的度数分别为A．40°，100° B．70°，70°

C．60°，80° D．40°，100°或 70°，70°

【答案】D

【解析】①若等腰三角形的顶角为 40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°；② 若等腰三角形的底角为 40°时，它的另外一个底角为 40°，顶角为 180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或 70°、70°．故选 D．

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3

【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为 180o，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例 2 （2019·延安市实验中学初二期末）如图，在 中，AB=AC，D是 BC的中点，下列结论不正确的是

A．AD BC B．∠B=∠C

C．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C

【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是 BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故 A选项正确；B．∠B=∠C，故 B选项正确；C．无法得到 AB=2BD，故 C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选 C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.

1．（2020·自贡市田家炳中学初二期中）等腰三角形的周长为 13cm，其中一边长为 4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.

考向二 等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为

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边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的 2 倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．

典例 3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于 D，E是 AB上的一点，EF∥AD交 CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．

【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．

2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且 AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．

考向三 等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．

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典例 4 （2019·山东初二期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为 AB边的中点，DE⊥BC于 E，若 BE=1，则 AC的长为__________．

【答案】4

【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，∴∠BDE=30°，∴BD=2BE=2，∵点D为 AB边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得 AB=2BD是解题的关键.

3．（2020·山东初二期中）如图， 是等边三角形，点 在 上，以 为一边作等边

，连接 ．

（1）说明 的理由；

（2）若 ，求 的度数．

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考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是 60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．

典例 5 下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B

【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形 60°，故正确；D，根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选 B．

4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．

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考向五 直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．

典例 6 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交 BC于点 D，若∠B=30°，BD=6，则 CD

的长为__________．

【答案】3

【解析】∵在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又 AD平分∠BAC，∴∠BAD=

∠CAD=30°，

∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD= AD=3，故答案为：3．

5．已知直角三角形的两条边分别是 5 和 12，则斜边上的中线的长度为__________．

考向六 勾股定理

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1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆 a2+b2=c2 时，斜边只能是 c．若 b为斜边，则关系式是 a2+c2=b2；若 a为斜边，则关系式是 b2+c2=a2．

2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．

典例 7 （2020·云南初二月考）直角三角形的两条直角边长分别为 cm 和 cm，则这个直角三角形的周长为__________.

【答案】 cm

【解析】∵直角边长为: cm 和 cm，∴斜边= （cm），

∴周长= （cm）.

故答案为: cm

【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键

6．如图所示，在 中， ， ， ， 为 边上的中点.

（1）求 、 的长度；

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（2）将 折叠，使 与 重合，得折痕 ；求 、 的长度.

1．（2020·浙江初二月考）直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则此直角三角形斜边上的中线长是

A．3 B．4 C．7 D．5

2．（2020·山东初二期中）如图， 是等边三角形， ，则 的度数为

A．50° B．55° C．60° D．65°

3．（2019·吉林初二期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁 AB=AC，顶角∠BAC=120°，跨度BC=10m，AD为支柱（即底边 BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于

A．10m B．5m

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C．2.5m D．9.5m

4．（2019·河南初二期中）如图， 是边长为 1 的等边三角形， 为顶角

的等腰三角形，点 、 分别在 、 上，且 ，则 的周长为

A．2 B．3 C．1.5 D．2.5

5．（2020·北京北理工附中初二期中）如图，△ABC中，D、E两点分别在 AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=

A．24° B．25°

C．30° D．35°

6．已知等腰三角形的一边长等于 4，一边长等于 9，则它的周长为A．22 B．17

C．17 或 22 D．26

7．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在 BC上，且 AD平分∠BAC，则 AD的长为

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A．6 B．5

C．4 D．3

8．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点 C共有

A．8 个 B．9 个 C．10 个 D．11 个9．如图，Rt△ABC中，∠B=90 〬，AB=9，BC=6，，将△ABC折叠，使 A点与 BC的中点D重合，折痕为MN，则线段 AN的长等于

A．5 B．6 C．4 D．3

10．将一个有 45°角的三角尺的直角顶点 C放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点 A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边 AC与纸带的一边所在的直线成 30°角，如图，则三角尺的最长边的长为

A．6 B．3 C．4 D．6

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11．（2019·四川初二期中）三角形的三边 a，b，c满足 +（b﹣c）2=0；则三角形是_____三角形.

12．（2019·山西初三期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，△ABC的面积=____

____．

13．（2020·北京北理工附中初二期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________.

14．若一个等腰三角形的周长为 26，一边长为 6，则它的腰长为__________．15 ． 如 图 ， 在 中 ， ， D、 E 分 别 是 BC、 AC 上 一 点 ， 且 ，

，则 __________．

16．如图，已知△ABC是等边三角形，点 B，C，D，E在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．

17．如图，在矩形 ABCD中，AB=5，BC=7，点 E是 AD上的一个动点，把△BAE沿 BE向矩形内部

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折叠，当点 A的对应点 A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1 的长为__________．

18．（2019·湖北初二期末）如图，在 Rt△ABC中，点 E在 AB上，把△ABC沿 CE折叠后，点 B恰好与斜边 AC的中点D重合.

（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若 AB=6，求 AE的长.

19．如图，一架 2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足 B距底端O为 0.7 m．（1）求OA的长度；（2）如果梯子顶端下滑 0.4米，则梯子将滑出多少米？

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20．（2019·辽宁初二月考） 与 有公共顶点 （顶点均按逆时针排列）， ，

， ， ，点 是 的中点，连接 并延长交直

线 于点 ，连接 .

（1）如图，当 时，

求证：① ；② 是等腰直角三角形.

（2）当 时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出 是何种特殊三角形.

21．已知：如图，有人在岸上点 C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长 CB=10米，CA⊥AB，

且 CA=6米，拉动绳子将船从点 B沿 BA方向行驶到点D后，绳长 CD=6 米．（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；

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（2）求船体移动距离 BD的长度．

1．（2019•滨州）如图，在 和 中，

，连接 交于点 ，连接 ．

下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为

A．4 B．3 C．2 D．1

2．（2019•兰州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=__________．3．（2019•成都）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边 BC上，∠BAD=∠CAE，若

BD=9，则 CE的长为__________．

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4．（2019•威海）如图，在四边形 中， ，连接 ， ．若 ，

， ，则 __________ ．

5．（2019•通辽）腰长为 5，高为 4 的等腰三角形的底边长为__________．6．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为 ，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．（2019•南通）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为 AB延长线上一点，点 E在 BC上，

且 AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

8．（2019•苏州）如图， 中，点 在 边上， ，将线段 绕点 旋转到

的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点 ．

（1）求证： ；

（2）若 ， ，求 的度数．

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9．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；（2）若点 E在边 AB上，EF∥AC交 AD的延长线于点 F．求证：AE=FE．

10．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在 AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O．求证：（1） ；

（2） ．

11．（2019•重庆A卷）如图，在△ABC中，AB=AC，D是 BC边上的中点，连结 AD，BE平分∠ABC交 AC于点 E，过点 E作 EF∥BC交 AB于点 F．（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数．（2）若点 E在边 AB上，EF∥AC叫 AD的延长线于点 F．求证：FB=FE．

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12．（2019•枣庄）在 中， ， ， 于点 ．

（1）如图 1，点 ， 分别在 ， 上，且 ，当 ，时，求线段 AM的长；（2）如图 2，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证： ；

（3）如图 3，点 在 的延长线上，点 在 上，且 ，求证：

．

1．【答案】4cm 或 5cm

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变式拓展

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【解析】当长是 4cm 的边是底边时，腰长是 （13–4）=4.5，

三边长为 4cm，4.5cm，4.5cm，等腰三角形成立；当长是 4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm，等腰三角形成立．故底边长是：4cm 或 5cm．故答案是：4cm 或 5cm

【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB<5+2，即：3<AB<7，

∵AB为奇数，∴AB=5，∴△ABC的周长为 5+5+2=12．（2）∵AB=AC=5，

∴△ABC是等腰三角形．3．【答案】（1）见解析；（2）20°.

【解析】（1）由 ，得 ，由 ，

得 （SAS）；

（2）由 ，得 ，

所以 ，

所以 .

【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口．

4．【答案】5

【解析】已知∠AON=60°，当 OP=OA=5 时，根据有一个角为 60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP为等边三角形．故答案为：5．

5．【答案】6 或 6.5

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【解析】分两种情况：① 5 和 12 是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为 13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为 6.5；② 5 是直角边，12 为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为 6，故答案为：6 或 6.5．

6．【答案】（1）BD=2， ；（2） ，

【解析】（1）∵在 中， ， ， ，

∴在 中， ，

∴ ，

又∵ 为 边上的中点，

∴ ，

∴在 中， ，

∴ ．

（2） 折叠后如图所示， 为折痕，连接 ，

设 ，则 ， ，

在 中， ，即 ，

解得： ，

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21

∴ ，

∴ ．

【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.

1．【答案】D

【解析】∵两直角边分别为 6 和 8，∴斜边= ，

∴斜边上的中线= ×10=5，故选 D．

【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．

2．【答案】A

【解析】 是等边三角形， ，

又 ， ，

，

， ，

故选 A．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

考点冲关

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【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键.

3．【答案】B

【解析】∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为 E，F，

∴DE= BD，DF= DC，

∴DE+DF= BD+ DC= （BD+DC）= BC．

∴DE+DF= BC= ×10=5m．故选 B．

【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键.

4．【答案】A

【解析】如图所示，延长 AC到 E，使 CE=BM，连接DE，

∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中， ，

∴△BMD≌△CED（SAS），∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，

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23

∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，

在△MDN和△EDN中， ，

∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.

故选 A.

【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.

5．【答案】C

【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，

∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC= ，

∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为 3x，∠DBC为 4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为 C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．

6．【答案】A

【解析】分两种情况：①当腰为 4 时，4+4<9，所以不能构成三角形；② 当腰为 9 时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选 A．

7．【答案】C

【 解 析 】 ∵ AB=AC=5 ， AD 平 分 ∠ BAC ， BC=6 ， ∴ BD=CD=3 ， ∠ ADB=90° ， ∴ AD=

=4．故选 C．8．【答案】B

【解析】如图，

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① 点 C以点 A为标准，AB为底边，符合点 C的有 5 个；②点 C以点 B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点 C的有 4 个．所以符合条件的点 C共有 9 个．故选 B．

9．【答案】A

【解析】设 AN=x，由翻折的性质可知 DN=AN=x，则 BN=9-x．∵D 是 BC 的中点，∴BD=

． 在 Rt△BDN 中 ， 由 勾 股 定 理 得 :ND2=NB2+BD2 ， 即 x2= （ 9-x ） 2+32 ， 解 得

x=5，AN=5，故选 A．10．【答案】D

【解析】如图，作 AH⊥CH，

在 Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，∴AC=2AH=6，在 Rt△ABC中，AB= ．故选 D．

11．【答案】等边【解析】 三角形的三边 a，b，c满足 ，

由算术平方根的非负性、平方数的非负性可得： ，

，解得： ，即 ，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.

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【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义.

12．【答案】60cm2．【解析】过点 A作 AD⊥BC交 BC于点D，∵AB=AC=13cm，BC=10cm，∴BD=CD=5cm，AD⊥BC，由勾股定理得：AD= =12（cm），

∴△ABC的面积= ×BC×AD= ×10×12=60（cm2）．

【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键.

13．【答案】55°或 125°

【解析】如图，分两种情况进行讨论：

如图 1，当高在三角形内部时，则∠ABD=35°，∴∠BAD=90°–35°=55°；如图 2，当高在三角形外部时，则∠ABD=35°，∴∠BAD=90°–35°=55°；∴∠CAB=180°–55°=125°，故答案为 55°或 125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键.

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14．【答案】10

【解析】①当 6 为腰长时，则腰长为 6，底边=26-6-6=14，因为 14>6+6，所以不能构成三角形；② 当 6 为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为 6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10．

15．【答案】

【解析】∵ 是三角形 ABD的外角， 是三角形DEC的一个外角， ，

∴ ， ，

， ，

∵ ，D、E分别在 BC、AC上， ， ，

∴ ， ，∴ ，∵

，∴ ，故答案为： ．16．【答案】15

【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．

17．【答案】 或【解析】如图，过点 A1 作 A1M⊥BC于点M．

∵点 A的对应点 A1恰落在∠BCD的平分线上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，

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∴设 CM=A1M=x，则 BM=7-x．又由折叠的性质知 AB=A1B=5，∴在直角△A1MB中，由勾股定理得 A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得 x1=3，x2=4，∵在等腰 Rt△A1CM中，

CA1= A1M，

∴CA1=3 或 4 ．故答案为： 或 ．18．【答案】（1）见解析；（2）4.

【解析】（1）∵把△ABC沿 CE折叠后，点 B恰好与斜边 AC的中点D重合，∴CD=CB，∠CDE=∠B=90°，AD=CD，

在△ADE和△CDE中， ，

∴△ADE≌△CDE（SAS），∴EA=EC，∴△ACE为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：∠BEC=∠DEC，∵△ADE≌△CDE，∴∠AED=∠DEC，∴∠AED=∠DEC=∠BEC=60°，

∴∠BCE=30°，∴ ，

又∵EA=EC，∴ ，

∴AE=4.

【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和 30°角原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

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的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键.

19．【解析】在直角△ABO中，已知 AB=2.5 m，BO=0.7 m，则 AO= =2.4 m，∵AO=AA′+OA′，∴OA′=2 m，∵在直角△A′B′O中，AB=A′B′，且 A′B′为斜边，∴OB′=1.5 m，∴BB′=OB′-OB=1.5 m-0.7 m=0.8 m．答：梯足向外移动了 0.8 m．

20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵ ，∴ .

又 ，

∴ ，∴ .

又 ，∴ ；

②当 时， ，

∵ ，∴ .

∵ ，∴ ，

∴ ；

又 ，∴ ，

∴ ，

∴

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即 ，∴ 是等腰直角三角形.

（2）所画图形如图 1 或图②，此时 是等边三角形.

图 1 图 2

与（1）同理，可证 ，

∴AF=AD， ，∴△AFD是等边三角形.

【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.

21．【解析】（1）由题意可得：AC=6 m，DC=6 m，∠CAD=90°，

可得 AD= =6（m），故△ACD是等腰直角三角形．（2）∵AC=6 m，BC=10 m，∠CAD=90°，∴AB= =8（m），则 BD=AB-AD=8-6=2（m）．答：船体移动距离 BD的长度为 2 m．

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直通中考

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1．【答案】B

【解析】∵ ，∴ ，即

，

在 和 中， ，∴ ，∴

，①正确；

∴ ，由三角形的外角性质得： ，

∴ °，②正确；

作 于 ， 于 ，如图所示：

则 °，

在 和 中， ，∴ ，∴ ，∴

平分 ，④正确，正确的个数有 3 个，故选 B．2．【答案】70°

【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，

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∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B= （180°-40°）=70°．故答案为：70°．

3．【答案】9

【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD和△CAE中， ，∴

△BAD≌△CAE，∴BD=CE=9，故答案为：9．

4．【答案】105

【解析】作 于 ， 于 ，如图所示，

则 ，∵ ， ， ，∴ ，

∵ ，∴ ， ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，故答案为： ．

5．【答案】6 或 或【解析】①如图 1，

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当 ， ，则 ，∴底边长为 6；② 如图 2，

当 ， 时，则 ，

∴ ，∴ ，∴此时底边长为 ；③ 如图 3，

当 ， 时，则 ，∴ ，∴ ，

∴此时底边长为 ．故答案为：6 或 或 ．【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．

6．【答案】36°

【解析】∵等腰三角形的一个底角为 ，∴等腰三角形的顶角 ，

故答案为： ．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

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7．【答案】70

【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，

在 Rt△ABE和 Rt△CBF中， ，∴Rt△ABE Rt≌ △CBF，

∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

8．【解析】（1）∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

（2）∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键．

9．【解析】（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，

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∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，又∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°．（2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD=∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F=∠CAD，∴∠BAD=∠F，∴AE=FE．

10．【解析】（1）∵AB=AC，∴∠ECB=∠DBC，

在 与 中， ，

∴ ≌ ．

（2）由（1） ≌ ，∴∠DCB=∠EBC，∴OB=OC．

11．【解析】（1）∵ ，∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵D为 BC的中点，∴ ，

∴ ．

（2）∵BE平分 ，∴ ，

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又∵ ，∴ ，

∴ ，

∴ ．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

12．【解析】（1）∵ ， ， ，

∴ ， ， ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

由勾股定理得， ，即 ，解得 ，

∴ ．

（2）∵ ， ，∴ ，

在 和 中， ，

∴ ，

∴ ．

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（3）如图，过点 作 交 的延长线于 ，

∴ ，

则 ， ，∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

在 和 中， ，

∴ ，∴ ，

∴ ．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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