遷移金属化合物磁性のスピンゆらぎ理論 高橋慶紀 · 2016. 2. 9. · 1975...
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Outline
1. 序論素励起と物性、個別励起と集団励起、相転移現象など
2. 絶縁体磁性と遍歴電子磁性
3. モード間結合理論の成功と問題点
4. 磁化曲線とスピンのゼロ点ゆらぎの効果
5. スピンゆらぎ理論の実験による検証
6. 理論の最近の発展磁気比熱、磁気体積効果
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Today’s Lecture: Introduction
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Purpose of this Lecture
講義の目的
遍歴電子 (金属)磁性の理解の現状についての紹介
� 遍歴電子磁性理論の進展� Self-Consistent Renormalization (SCR) spin fluctuation theory
– 光と影 –
� SCR理論の困難の克服する試み� 現状
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Theoretical Development1938 Stoner1951 Wohlfarth
—1972 Murata-Doniach1973 Moriya-Kawabata (SCR)1975 磁気比熱の理論∼ 輸送現象など
1978 Unified Theory1979 Takahashi-Moriya(FeSi の理論)1980 Moriya-Usami (磁気体積効果)1985 Lonzarich-Taillefer
“Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism” (Springer)1986 T -induced Ferro (Moriya) 1986 Takahashi (ゼロ点ゆらぎ)1991 Yamada (metamagnetism) 1990 Takahashi (磁気体積効果)
1998 FeSi (磁化過程)2001 Takahashi (秩序状態, 磁化曲線)2003 Takahashi (磁気比熱)2006 Takahashi, Nakano (磁気体積効果)
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Magnetism in Metals
金属磁性特有の問題: 2つの側面 (金属性と相転移現象)
� 絶縁体磁性: 相転移現象として統計力学の対象数学的モデル (ハイゼンベルグモデル)の存在
� 金属磁性: 金属電子論の応用としての出発
遍歴 (金属)磁性理論に求められることは ?
� 相転移現象としての側面を取り入れる� 絶縁体磁性との相違を明らかにする� 実験との比較が可能な一般的な性質を明らかにする
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Part I
Basic Background Knowledge
Fundamentals on Material PhysisBrief Review on Statistical ThermodynamicsFermi Liquid TheoryCritical PhenomenaSummary
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Brief Review on Statistical Thermodynamics
熱力学・統計力学の原理平衡状態で、系の状態 α を見出す確率はボルツマン因子に比例する
pα ∝ exp(−Eα/kBT ) = exp(−βEα)
簡単な例 (理想気体のエネルギー等分配則): 〈12mv2
x 〉 =1
2kBT
� 高温極限: すべての状態は同じ確率で見出される� 巨視的状態と微視的状態: 1 対 多の対応より大きなエントロピーの巨視的状態が実現する
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Free Energy of Ideal Gas
グランドカノニカルアンサンブルによる古典的な取扱い
� 分配関数: ある点 (r, p) の近傍
z(p, r) =
∞∑
n=0
e−nβ(p2/2m−µ)
= 1 + e−β(p2/2m−µ) + · · ·
� 自由エネルギー
ZG = ΠrΠpz(p, r) = ΠrΠp exp[log z(p, r)]
= exp
[
1
h3
∫
dr
∫
dp log z(p, r)
]
-
6
r
p
·
Phase Space
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Classical Limit
古典極限: eβµ ≪ 1
log z(p, r) ≃ eβµ
e−βp2/2m
ZG = exp
[
1
h3
∫
dr
∫
dp log z(p, r)
]
= exp
[
V eβµ
h3
(
2πm
β
)3/2]
量子効果の発現: eβµ ∼ 1
eβµ =
N
V
(
βh2
2πm
)3/2
=
(
3
2π
)3/2 (
λT
d
)3
≃ 1
V = Nd3,1
2mp2 =
h2
2mλ2T
=3
2kT
粒子間距離 (d) ∼ 熱ド・ブロイ波長 (λT ) ⇐⇒ 低温、高密度10 / 262
Quantum Particles
量子力学的な粒子の性質
� フェルミ粒子 (半整数スピン): n = 0, 1
log z(p) = log[1 + e−β(p2/2m−µ)] ∼ e
−β(p2/2m−µ)
ex. 電子、陽子、中性子、3He
� ボーズ粒子 (整数スピン): n = 0, 1, · · ·∞
log z(p) = log[1 + e−β(p2/2m−µ) + e
−2β(p2/2m−µ) + · · · ]= − log[1 − e
−β(p2/2m−µ)] ∼ e−β(p2/2m−µ)
ex. 光子、格子振動 (フォノン)、スピン波 (マグノン)、4He
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Distribution Functions
あるエネルギー ε の状態に粒子を見出す確率 n(ε)
� Fermionsβ(ε− µ) ≪ 0 0 ≪ β(ε− µ)
1 > n(ε) =1
eβ(ε−µ) + 1> 0
� Bosonsβ(ε− µ) → +0 1 ≪ β(ε− µ)
∞ > n(ε) =1
eβ(ε−µ)− 1
> 0
ただし、ε0 > µが成り立つ (ε0: エネルギーの下限)。
粒子数が保存しない場合は常に µ = 0。つまり、0 ≤ ε . kT の範囲の粒子が励起される。
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Electron Theory of Metals
金属電子論の成功
� 自由電子ガスモデル (Sommerfeld 1928)金属中の電子: フェルミ–ディラック統計に従う理想気体
多くの金属特有の性質をうまく説明することに成功した。
このような簡単なモデルが、なぜうまくいくのか ?
この疑問に対する答えを求めて、
� 周期的なポテンシャル (結晶格子)の影響電子と格子点上のイオン殻との衝突 =⇒ バンド理論の発展
� 電子間の相互作用の影響 (多体効果)=⇒ Landau のフェルミ流体理論 (1956)
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Landau Fermi Liquid Theory
自由フェルミ粒子系⇐⇒ 相互作用のある正常 (normal)フェルミ粒子系
bc bcb bε(p) ε∗(p)
Ideal Gas Interacting Fermi Gas
� 自由粒子 ε(p) ⇐⇒ ε∗(p) 凖粒子パラメータの繰り込み効果 (有効質量, m∗など)寿命 (life time)の存在 τ ∝ 1/(ε − εF )2
� 相互作用のない系と同等な取扱いが可能
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Dominance of Single Particle Excitations
内部エネルギー E の温度依存性
� フェルミ粒子系フェルミ準位近傍の |ε(p) − εF | . kBT の準粒子が励起される。
E ∼ ρ(εF )
∫ kT
−kT
δεdδε ∝ T 2, δε = ε − εF
� 集団励起モード : ~ωp ∝ pα (格子振動の場合 α = 1)
E =V
(2π)34π
∫
~ωq.kT
p2~ω(p)dp ∝ Tα+3
低温極限で集団励起モードの影響は無視できる15 / 262
Properties at Low Temperatures
� 低温極限の物性: フェルミ粒子的な励起に支配される集団励起 (例: 格子振動)の影響は無視できる
� 種々の物性に T 2 に比例する温度依存性が現れる
金属磁性への適用可能性 (Stoner-Wohlfarth 理論)
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Collective Excitations with Life Times
比熱の温度係数 γ に対するスピンゆらぎの影響 (T 2依存性)
自由エネルギーの温度依存性� 固有振動モード
fe(q) =1
2~ωq + kT ln(1 − e
−~ωqs/kT )
� 減衰振動: 減衰定数 γq = 1/τq
fd(q,T ) =
∫
dνρq(ν)
[
1
2~ν + kT ln(1 − e
−~ν/kT )
]
fd(q,T ) − f 0d (q, 0) ∝ T 2, ρq(ν) =
1
π
γq
ν2 + γ2q
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Landau Theory of Phase Transition
低温相の秩序パラメータ
-
0 Tc T (K)
φ > 0 φ = 0
-1
0
1
2
3
4
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
a > 0
a < 0
自由エネルギー (臨界点近傍)
F (φ,T ) = F (0,T ) + a2(T )φ2 + a4(T )φ4 + · · ·a2(T ) = α(T − Tc), a4(T ) ≃ a4(Tc ) > 0
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Fluctuations of Order Parameter
秩序パラメータの空間変化
φ(r) =∑
k
φkeik·r
φ = φ0 は秩序、φk (k 6= 0) は秩序のまわりのゆらぎ
高温相の自由エネルギー
F ({φk},T ) = F (0,T ) +∑
k
[a2(T ) + Ak2]φkφ−k
+ a4(T )
∫
d3r φ4(r) + · · ·
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Spacial Correlation of Order Parameter
ゆらぎの 2乗振幅の平均値 (分散) – 古典的取扱い (高温近似)
� 波数空間
〈|φk |2〉 =1
Z
∫
Πk′dφk′ exp[−F ({φk′},T )/kBT ]|φk |2
∝ kBT
a2(T ) + Ak2=
kBT
A[κ2(T ) + k2]
� 実空間 (フーリエ変換)
〈φ(r1)φ(r2)〉 ∼ exp[|r1 − r2|/λ(T )]
相関距離 λ(T ) の発散
λ2(T ) = 1/κ2(T ) = A/a2(T ) → +∞, (T → Tc)
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Critical Opalescence
液相、気相の臨界点近傍で液体が白濁しているように見える現象
原因:臨界点近傍における密度のゆらぎの増大の及ぼす光散乱への影響
粒子密度のゆらぎ: 平均密度 n̄ からの密度の変動（むら）
δn(r) = n(r) − n̄
密度ゆらぎの空間的な相関
〈δn(ri )δn(rj )〉 = 〈n(ri)n(rj )〉 − n̄(〈n(ri )〉 + 〈n(rj)〉) + n̄2
= 〈n(ri)n(rj )〉 − n̄2 = n̄2[g(|ri − rj |) − 1]
〈δn(ri )δn(rj )〉 =
{
0, 相関なし、独立なゆらぎ
正または負, 相関をもったゆらぎ21 / 262
Critical Fluctuations
密度の相関関数: 〈δn(ri )δn(rj )〉 のフーリェ変換
〈|nk |2〉 =kBT
V (a + bk2), g(r) − 1 ∝ e
−κr
r, κ2 = a/b
κ は相関距離の逆数で、臨界温度で κ → 0 (相関距離の発散)。
入射光の散乱強度
I (θ)
I0= 1 + n̄
∫
[g(r) − 1]eis·rdr , s = (4π/λ) sin(θ/2)
∝ kBT
κ2(T ) + s2
臨界温度近傍での散乱の増大 =⇒ 溶液の白濁
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Critical Fermi Liquids
フェルミ流体に相転移が発生するとき
� 2つの特徴的な温度依存性を示す領域: 低温極限と臨界領域臨界領域で発現する特徴的な温度依存性: (T − Tc)
ν
� 臨界ゆらぎはボース粒子的 (T → 0でゆらぎは消滅)
� Tc → 0 の状況 (相関長 λ → ∞)で何が起るか ?
0T ∗c
0 T (K)Tc
critical region
fermi liquid
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Summary
� 金属磁性には 2つの側面: 金属性と臨界現象� 2つの側面が現象にどのように反映されるか ?� 臨界現象としての磁性
� 秩序パラメータ: 発生する自発磁化� スピンゆらぎ: 秩序パラメータの空間変化、時間変化ボース粒子的集団運動
� フェルミ流体理論低温極限で集団励起の寄与が無視できないこともある。つまり、比熱の温度係数への寄与が存在する。
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Part II
Magnetism and Phase Transition
Magnetism and Phase TransitionClassical Magnetism and ElectricityQuantum MagnetismModel of Insulator MagnetsMolecular Field ApproximationEffect of FluctuationsSpin Waves
Magnetic Phase TransitionBose CondensationPhase Transition in Spin SystemsSummaryAppendix
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Maxwell-Equations
電気と磁気
� Coulomb’s law (1785) 「電気と磁気についての研究」� Oersted (1820) 「電流の磁気作用」
Ampere
� Faraday’s law (1831) 「電磁誘導の発見」
Maxwell’s equations (1865)
∇ · D = ρe , ∇ · B = 0
∇× E = −∂B
∂t, ∇× H = J +
∂D
∂t
磁気双極子 = 棒磁石
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Interaction between magnetic dipoles
古典電磁気学による磁性
� 磁気モーメントと軌道角運動量
µ = µBℓ, µB =e~
2mc
角運動量を ~ の単位で表したため、プランク定数が現れる
� 磁気モーメント間の相互作用
E12 =1
4πµ0r3
[
µ1 · µ2 −3
r3(µ1 · r)(µ2 · r)
]
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Research on Magnetism
� 量子力学以前
� Pierre Curie (1895): キュリー点（温度）の発見、磁化率のキュリー則ある温度で「完全に」磁力を失うことを発見
� P. Langevin (1905): 磁化率の温度依存性の理論� P. Weiss (1907): 強磁性の分子場理論
� 量子力学以降
� S. A. Goudsmit and G. E. Uhlenbeck (1925): 電子スピンの導入� W. Heisenberg (1926), P. A. M. Dirac: 強磁性の理論� F. Bloch (1930): スピン波の理論� F. Bloch (1929), E. C. Stoner (1930): 自由電子の強磁性
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Electron Spin
磁性の理解に必要な量子力学の基礎� 電子のスピン: 内部自由度
ψ −→
„
ψ1
ψ2
«
状態の記述に 2 成分の波動関数
磁気モーメント : 空間的に流れる電流なし
µ = −gµBs, (g = 2)
g : 磁気回転比 (軌道運動の場合は g = 1)
� ハイゼンベルグの強磁性理論
H = −2Js1 · s2, [sx , sy ] = isz
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Heisenberg Model
局在した磁気モーメント間の相互作用� ハイゼンベルグモデル
H = −X
<i,j>
JijSi · Sj
Heisenberg (1926) が Fe の強磁性を説明するために導入した� 空間的に局在した磁気モーメント間の相互作用� 回転の自由度の空間で見たときの有効ハミルトニアン� 状況により、スピン Si の代わりに、全角運動量 Ji が用いられる� このモデルを数学的に解くことから、磁気的性質が導かれる
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Origin of Exchange Interaction
金属電子論によれば
奇数個の価電子 → 金属↓
�
�
�
�電子間相互作用による破綻
↓Mott 絶縁体
� 磁気モーメントが発生� モーメント間の相互作用は
JS1 · S2, J ∝ t2
U
超交換相互作用 (Anderson, 1959)
εa
εa + U
t
∆E ∝ −t2
U
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Thermodynamics of Free Spin
磁場中の孤立スピンの熱力学� 自由エネルギー
F = −kT{ log sinh[gµBH(2S + 1)/2kBT ]
− log sinh[gµBH/2kBT ]}
� 磁気モーメント
M = −∂F (H,T )
∂H= gµBSBS(x),
= gµBS
„
S + 1
3Sx − · · ·
«
∼(gµB)2S(S + 1)
3kBTH, x =
gµBSH
kBT
H
S
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Brillouin Function
Brillouin 関数 BJ(x) の定義
BJ(x) =2J + 1
2Jcoth
„
2J + 1
2Jx
«
−1
2Jcoth
„
1
2Jx
«
coth(x) =cosh(x)
sinh(x)=
ex + e
−x
ex + e
−x
=1
x+
x
3−
x3
45+ · · ·
BJ(x) =J + 1
3Jx −
[(J + 1)2 + J2](J + 1)
90J3x
3 + · · ·
(高温極限) 0 ⇐= x =gµBSH
kBT=⇒ ∞(低温極限)
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Molecular Field Theory
� 分子場の導入 (Weiss)H =⇒ H + λM
� 磁化の温度、磁場依存性
M = gµBSBS(y)
=(gµB)2S(S + 1)
3kBT(H + λM) − · · ·
y = gµBS(H + λM)/kT
� 磁化率
M = χ(T )H,
χ(T ) =(gµB)2S(S + 1)
3kB(T − Tc)
Tc = λ(gµB)2S(S + 1)
3kB
S = 1 の場合の数値計算の結果
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T/TC
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
S(T
)/S(
0)
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Limitation of MF Approximation
� 分子場理論の適用範囲高温領域: 個々のスピンが他のスピンと独立に運動する
� 分子場近似が破綻する状況 (温度領域)
� 低温領域: T/Tc ≪ 1� 臨界温度近傍: T/Tc ∼ 1
多数のスピンが連携し、集団として運動するような状況
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Fluctuations of Order Parameter
温度領域による秩序パラメータのゆらぎの違い
� ゆらぎとは平均値 〈Mi 〉 からの「はずれ」: δMi = Mi − 〈Mi 〉
� 空間変化と時間変化� 温度領域による性質の違い
� 高温領域 (r ≫ 1): 空間的に独立なゆらぎ� 低温領域 (r ≪ 1): 振幅の小さな長波長のゆらぎ� 臨界温度近傍 (r ∼ 1): 大きな振幅の長距離相関をもつゆらぎ
� 温度領域は、比の値, r =熱エネルギー相互作用
, の大小で決まる
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Collective Modes of Vibrations
低温領域での格子振動について (集団運動の影響の例)
� アインシュタインモデル個々の原子が同じ周波数 ω0 で独立に振動すると考える
� デバイモデル原子間の相互作用のために、連成振動（集団運動）が生じ、振動は波（音波）として固体中を伝播する: 周波数の連続分布ω(q) = vq
低温比熱 – 2 つのモデルの温度依存性の比較
CE = 3R
(
~ω0
kBT
)2
e−~ω0/kBT , CD =
12π4
5R
(
T
ΘD
)3
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Presence of Spin Waves
格子振動のモデルとの対応関係
格子振動 磁性励起
アインシュタインモデル 分子場近似 孤立した歳差運動デバイモデル スピン波近似 歳差運動の波
基底状態とスピン波の励起状態
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Spin Waves as Bosons
スピンの z-軸成分 Sz の期待値 m とボーズ粒子数 n
S − m ⇐⇒ n
演算子の間の対応関係 (スピンの傾き ≡ ボーズ粒子の生成消滅)
S+i ∼
√2Sbi , S−
i ∼√
2Sb†i , Sz
i ∼ S − ni , (ni = b†i bi)
強磁性のハイゼンベルグモデル
H = −∑
<ij>
JijSi · Sj = −NJ(0)S2 + 2S∑
k
[J(0) − J(k)](nk + 1/2)
=∑
k
~ωknk + const., J(k) =∑
∆Rij
Jijeik·(Ri−Rj )
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Spin Wave - Boson Equivalence
n = 0
n = 1
n = 2
m = S
m = S − 1
スピン波とボーズ粒子� エネルギー準位離散的で等間隔 (類似)
� 準位の数無限個と有限個 (違い)
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Magnetization at Low Temperature
スピン波の分散関係: ~ωk = Dk2 + · · ·� 自発磁化の温度依存性: 〈Sz〉(T ) = NS + ∆Sz(T )
∆Sz(T ) = −∑
k
〈b†kbk〉 = − 4πV
(2π)3
∫
dkk2
eDk2/kBT − 1
≃ −Vk3B
4π2
(
kBT
Dk2B
)3/2 ∫ ∞
0dx
x1/2
ex − 1
� 内部エネルギー
〈∆E 〉(T ) =∑
k
Dk2〈b†kbk〉 ≃ Dk2
B
Vk3B
4π2
(
kBT
Dk2B
)5/2 ∫ ∞
0dx
x3/2
ex − 1
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Spin Waves in Low-dimensional System
2 次元系、1 次元系におけるスピン波の効果
∆Sz(T ) = −
2πL2
(2π)2
∫
dkk
eDk2/kBT − 1, for 2-d
L
2π
∫
dk1
eDk2/kBT − 1, for 1-d
これらの値は発散する。例えば、2 次元系の場合、∫ qB
qc
dkk
eDk2/kBT − 1≃ kBT
D
∫ qB
qc
dk1
k=
kBT
Dlog(qB/qc )
つまり、大きなゆらぎの存在により有限温度で秩序が発生しない。
反強磁性の場合、ゼロ点ゆらぎによるスピンの縮み ⇐⇒ He の固化
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Development of Magnetic Correlation
磁気相関関数
〈δMi · δMj 〉 = exp[−κ(T ) |Ri − Rj |], λ(T ) = 1/κ(T )
格子点 Ri と Rj 上の 2つのモーメントの間の関係
b b
δMi
Ri
δMj
Rj
〈δMi · δMj 〉{
6= 0, 相関あり
= 0, 相関なし
磁気的相関距離の発散 (臨界現象): λ(T ) → ∞, (T → Tc)Tc : 自発磁化の発生、または消滅する温度
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Phase Transition in Boson Systems
相転移の発生
� 巨視的な自由度をもつ系 (モル数 ∼ 1023)
� ボーズ粒子（的）な量子統計に従う系� 相互作用 (保存則)の存在
-
0 K Tc T凝縮の発生 独立な運動
相転移の発生しないボーズ粒子系の例 (µ = 0)
� 粒子数が保存しない系� ex. 格子振動, 黒体輻射（理想光子気体）
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Thermodynamics of Ideal Bose Gas
理想ボーズ気体の相転移: 相転移の例
H =∑
k
(εk − µ)nk, εk =~
2k2
2M
µ ≤ 0: 化学ポテンシャル (温度変化する)
粒子数の温度変化
N ′(µ,T ) =∑
k
′nk =∑
k 6=0
1
eβ(εk−µ) − 1≤ N ′(0,T )
N ′(0,T ) = V
(
mk
2π~2
)3/2
ζ(3/2)T 3/2 → 0, (T → 0)
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Occurrence of Bose Condensation
ボーズ凝縮（秩序 N0 > 0）発生する理由
粒子数の保存則
N = N0 + N ′(µ,T ) : const.
N0: 最低エネルギー状態の粒子数
1. ある温度 T = Tcで µ = 0:
k 6= 0 の状態の粒子数について N ′(0,Tc ) = N が成り立つ
2. この温度以下 T < Tc :
N ′(0,T ) < N が成り立し、凝縮 N0 = N − N ′(0,T )が発生
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Variation of Chemical Potential
� 高温相 T > Tc
µ < 0, N0 = 0
� 臨界温度 T = Tc
N ′(0,Tc ) = N
� 低温相 T < Tc
µ = 0
N0 = N[1 − (T/Tc )3/2]
化学ポテンシャルの温度依存性
0.0 1.0 2.0 3.0T/T
c
−3.0
−2.0
−1.0
0.0
µ(Τ)
/Tc
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Magnetic Transition in Spin Systems
ボーズ凝縮と磁気相転移との比較
理想ボーズガス
� 相転移が発生する理由保存則の存在
� 秩序パラメータ最低エネルギーの粒子数
� 臨界温度を決める条件µ = 0
ハイゼンベルグモデル
� 相転移が発生する理由
� 保存則に対応するものは何か
� 秩序パラメータ自発磁化
� ゆらぎの影響、役割
� ボース凝縮との類似
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Two Views on the Origin of Phase Transition
� 応答
� 外部磁場 H の下で誘起した磁化 M(H , T ) を求める� 磁化 M(H , T )の磁場、温度依存性から相転移が決まる
分子場近似の例
有効磁場 Heff で誘起された磁化 M(Heff , T ) を求める相転移の発生: M(H , T ) = χ(T )H + · · · の係数の発散
� ゆらぎ
� ゆらぎの振幅に関する保存則の利用� 保存則を満たす条件の下でゆらぎの振幅の温度、磁場依存性を求める
ex. ゆらぎの振幅の減少が、ある温度以下で秩序の発生につながる
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Sum Rule in Spin System
� 孤立したスピンの 2乗振幅の期待値
〈µ2z〉 = (gµB)2〈(Sz)2〉 = (gµB)2
S∑
m=−S
m2 =(gµB)2S(S + 1)
3
� 磁化率の温度依存性: キュリー則
χ(T ) =(gµB)2S(S + 1)
3kBT
両者の比較より、次の関係が成り立つ (一般化が可能)
∑
α=x ,y ,z
〈µ2α〉 = 3kTχ(T ): constant
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Mean Field Approximation of Heisenberg Model
空間的に変動する磁場下のハイゼンベルグモデル（波数表示）
H = −X
ij
JijSi · Sj −X
i
gµBSzi Hi
= −1
N0
X
q′
J(q′)Sq′ · S−q′ −1
2gµBH(S z
q + Sz−q)
平均場近似
� ゆらぎ、δS±q = S±q − 〈S±q〉 について 1 次の範囲� q′ 6= q を無視する。� 分子場ハミルトニアン
H = −1
N0J(q)(〈Sq〉 · S−q + 〈S−q〉 · Sq) −
1
2gµBH(S z
q + Sz−q)
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Dispersion of Magnetic Susceptibility
� 各 i 原子に作用する有効磁場 Heff
Hi,eff =H
2(eiq·Ri + e
−iq·Ri ) +J(q)
N0gµB
(eiq·Ri 〈S−q〉 + e−iq·Ri 〈Sq〉)
� 有効磁場に対して誘起されるモーメント
Mzi = gµB〈S
zi 〉 = χloc(T )Hi,eff
� 発生したモーメントの q 成分
Mq = gµB〈Szq 〉 = gµB
X
i
eiq·Ri 〈S z
i 〉 = N0χloc(T )
»
H
2+
J(q)
N0(gµB)2Mq
–
=N0χloc(T )
1 − χloc(T )J(q)/(gµB)2
H
2= χ(q)H/2
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Conditions for the Magnetic Susceptibility
χ(q) =N0χloc
1 − χlocJ(q)/(gµB)2=
N0χloc
1 − χlocJ(q)/(gµB)2
� q → 0 のとき、χ(q) → χ(0) となる条件
N0
χ(0)=
1
χloc
−J(0)
(gµB)2
� 上の条件を満たす磁化率の波数依存性
χ(q) =N0
N0χ−1(0) + [J(0) − J(q)]/(gµB)2
� さらに、スピンの振幅についての保存則
〈S2i 〉 =
1
N20
X
q
〈Sq · S−q〉 =3kBT
N20 (gµB)2
X
q
χ(q) = S(S + 1)
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Temperature Dependence of Magnetic Susceptibility
ゆらぎと磁化率の間に成り立つ関係
〈S2i 〉 =
3kBT
N0(gµB)2
∑
q
1
N0/χ(0) + [J(0) − J(q)]/(gµB)2= S(S + 1)
� 磁化率 χ(0) の温度依存性を決める条件と見なせる
ex. 分子場近似の場合:, χ(0) =N0(gµB)2S(S + 1)
3kB(T − Tc)
� 高温でキュリー・ワイス則が成り立つ
χ(0) ∼ N0(gµB)2S(S + 1)
3kBT, N0/χ(0) ≫ [J(0) − J(q)] より
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Critical Behaviors
磁気的性質に対するゆらぎの影響 (Tc 近傍の温度依存性)
1. 臨界温度 Tc : χ−1(0) → 0 (磁化率が発散)の条件より
S(S + 1)
3kBTc
=1
N0
∑
q
1
J(0) − J(q)≥ 1
J(0)=
S(S + 1)
3kBTcMF
ゆらぎの効果によって、分子場近似より低い Tc が得られる
2. 磁化率の温度依存性: 温度依存性の指数（ベキ）
χ−1(0) ∝ (T − Tc)2 ⇐⇒ χ−1
MF(0) =
3kB(T − Tc)
N0(gµB)2S(S + 1)
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Comparison of Conservation Rules
保存則と温度依存性
� Bose System: 化学ポテンシャル µ の温度依存性
1 =1
N
∑
k 6=0
1
e(εk−µ)/kBT − 1∼ 1
N
∑
k 6=0
kBT
εk−µ, (高温近似)
� スピン系: 磁化率の温度依存性
3kBT
N0
∑
q
1
N0(gµB)2/χ(0) + [J(0) − J(q)]= S(S + 1)
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Analogy between Bose and Spin Systems
� 相転移の類似性
ボース粒子系 ハイゼンベルグ磁性体
現 象 ボース凝縮 強磁性の発生発散する量 −1/µ χ(0)/N0(gµB)2
励起エネルギー εk J(0) − J(q)保存則 粒子数一定 スピンの 2 乗振幅一定保存量 全粒子数 N
P
qSq · S−q
秩序パラメータ b0 S0
� 違い� 成分の数: 1 と 3� エネルギー準位の分布範囲
0 < εk < ∞ と 0 < [J(0) − J(q)] < Max.
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Summary
「ゆらぎ」の効果という観点からの磁性体の理解
絶縁体の磁性について� ハイゼンベルグモデル� 分子場近似� ゆらぎの影響: 低温領域、臨界点近傍
� 低温領域: 集団運動 (スピン波の影響)� 臨界点近傍: 臨界ゆらぎ
� ボーズ粒子系の相転移（ボーズ凝縮）との類似� 保存則の存在: 相転移の発生、磁化率の温度依存性� 磁化率の温度依存性
� キュリー・ワイス則の起源保存則とゆらぎに関する、「アインシュタインの関係式」
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Appendix A
秩序状態と無秩序状態のゆらぎ
� 秩序パラメータのゆらぎの定義: δφ = φ − 〈φ〉� 無秩序状態 Tc < T : δφ = φ, (∵ 〈φ〉 = 0)
� 秩序状態 T < Tc : δφ 6= φ, (∵ 〈φ〉 6= 0)
相関関数は共通に 〈δφ(r1)δφ(r2)〉 で定義できる
相関長 λ(T ) の臨界発散低温相、高温相のどちらの側から Tc に近づいても発散する
ゆらぎと感受率の関係 (ゆらぎに対して成り立つ)
〈δφ(k)δφ(−k)〉 = kBTχ(k)
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Appendix B.1
格子点 Ri 上で定義された関数 A(Ri ) を Ai と表す
A(k) =∑
i
Ai exp(−ik · Ri ), Ai =1
N
∑
k
A(k) exp(ik · Ri )
ハイゼンベルグモデルの波数表示J(Ri − Rj) を Jij と表記する
H =∑
i ,j
JijAiAj =1
N2
∑
i ,j
Jij
∑
k,k′
A(k)A(−k′)eik·Ri−ik′·Rj
=1
N2
∑
k,k′
A(k)A(−k′)∑
i−j
Jijeik·(Ri−Rj )
∑
j
ei(k−k′)·Rj
=1
N2
∑
k,k′
A(k)A(−k′) × J(k) × Nδk,k′ =1
N
∑
k
J(k)A(k)A(−k)
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Appendix B.2
交換相互作用の波数依存性の例2次元正方格子上の最近接相互作用の例 (格子定数 a)
� 4 個の最近接ベクトル
Ri − Rj = (a, 0), (−a, 0), (0, a), (0, −a)
� 波数依存性 J(k)
J(kx , ky ) = eikxa + e
−ikxa + eiky a + e
−iky a
= 2cos(kxa) + 2 cos(kya)
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