ecuación de calor mate 1
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La ecuación de calor describe como se distribuye la temperatura en un cuerpo solido en función del tiempo y del espacio.El interés en su estudio radica en las múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia.En las matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estadística esta relacionada con los procesos aleatorios.A continuación deduciremos como llegar a la expresión final de la citada ecuación en una dimensión:
Imaginémonos una vara de longitud L, sección transversal S, fina, homogénea y completamente aislada del exterior.Estas consideraciones permitirán que las leyes físicas que emplearemos dependan únicamente de la posición x y del tiempo t.
DEDUCCION DE LA ECUACION DE CALOR EN UNA DIMENCION
En el proceso de derivación de la ecuación se emplearan las siguientes magnitudes.
U(x,t)=temperatura de la vara para la posición x y la posición t.Q(x,t)= flujo(o cantidad) de calor en la dirección positiva de x para la posición x y el instante de tiempo t por unidad de superficie.
Si aplicamos el principio de conservación de la energía sobre la vara de cobre en el segmento x + Δx, obtendremos que:
Variación de la energía interna (calor) = flujo de calor entrante – flujo de calor saliente
La expresión matemática correspondiente será la siguiente:
Por otro lado, existe una ley física que relaciona el calor Q(x,t) con la masa m y la temperatura u(x,t), llamada Ecuación de la Termología, de la siguiente forma:
Q(x,t) = λmu(x,t)
Esta ecuación describe el proceso de calentamiento de una fase de un cuerpo, en la que λ es una constante característica del material.
Consideremos nuevamente, el segmento infinitesimal (x,x+Δx).
Como la sección transversal de la vara que tiene una superficie S, el volumen resultante será S Δx, ahora introducimos un nuevo parámetro p que represente la densidad del material, tendremos:
Δm=pSΔx
Sustituyendo en la ecuación del calor específico llegaremos al resultado siguiente:
Derivando respecto al tiempo:
De esta manera, hemos obtenido otra expresión para Q(x,t). El siguiente paso consiste en cambiarla con el principio de conservación del calor:
Diviendo ambos miembros entre S △x:
Ahora extraemos un signo menos como factor común del miembro de la derecha y nos queda lo siguiente:
Hemos suprimido los subíndices porque se trata, al fin y al cabo, de la misma función evaluada en puntos diferentes.
Si a continuación hacemos tender △x a 0.
Finalmente, aplicaremos la ley de Fourier de conducción de calor, que nos indica que el flujo de calor se traslada en dirección opuesta al gradiente de la temperatura y proporciona a el:
La constante k hace referencia a la conductividad térmica del material. Si aplicamos esta ley a única dimensión (la de x), obtendremos que:
Agrupando todas las constantes en un miembro:
Representa la difusividad de la vara.
Para esta ecuación se resolverán algunos tipos importantes de condiciones de frontera e iniciales. Se empieza en el caso en que los extremos x=0 y x=L de la barra se mantienen en la temperatura cero, de tal modo que se tienen las condiciones en la frontera.
Para toda t,
Y la temperatura inicial de la barra es f(x), por lo que se tiene condición inicial.
1. Dos ecuaciones diferenciales ordinariasAl sustituir esta ecuación en la ya antes deducida.
_
Se obtiene la siguiente ecuación:
El primer miembro depende solo de t, y el segundo lo hace solo de x, por lo que ambos miembros deben ser igualados a una constante k. Para se tiene:
De esta ecuación se pueden obtener 2 ecuaciones diferenciales ordinarias
Satisfacción en las condiciones de frontera
Resolviendo una de las ecuaciones diferenciales ordinarias escritas anteriormente tenemos una solución general:
Por las condiciones de frontera tenemos:
=0 y puesto que G=0 daría como resultado u=0, se requiere que f(0)=0, f(L)=0 y reemplazando en la ecuación anterior f(x), se obtiene f(0)=a=0 y entonces , B nunca puede ser igual a cero.
, por tanto
Así cuando B=1 se obtiene las siguientes soluciones de la ecuación F(x), que satisfacen a las ecuaciones de frontera:
Ahora resolvemos la ecuación diferencial que para se tiene:
• donde
Tiene la solución general siguiente:
; n=1,2,..Donde es una constante, por tanto las funciones:
Solución de problema completo
Hasta este punto tenemos una ecuación que satisface las condiciones de frontera iniciales. Ahora para obtener una solución que satisfaga la condición inicial
; A partir de esta expresión y de la condición inicial se tiene:
)
Entonces para que la ecuación que se acaba de encontrar satisfaga la condición inicial, debe ser el coeficiente de la serie senoidal de Fourier
Así queda menBn= 1/pi ([-3((1-(-1)^n)/n)] +2 [(((-1)^n)-1)/n)])Resolviendo eso
Te queda asi
Bn=*()
N=1B1=*( ; b1=
N=2B2=0
N=3B3=*( ; b3=
N=4B4=0
N=5B5=*( ; b5=
Y ASI QUEDA LA SERIE DE FOURIEWo=1 fI(t)=a0/2 +*sen (n .wo. t)
fI(t)=1/2 -*sent
f2(t)=1/2 -*sent -*sen3t
f3(t)=1/2 -*sent -*sen3t - *sen5t
f3(t)=1/2 -*sent -*sen3t - *sen5t --*sen7t