Ecuacin de calor

INTRODUCCION:La ecuacin del calor fue propuesta por Fourier en 1807en su memoria sobre la propagacin del calor en los cuerpos slidos.En ella propona adems el germen de lo que pasara a ser la Teora de las Series de Fourier.Tan controvertida fue esta ltima, que tom quince aos, hasta 1822, para que la Academia de Ciencias decidiese publicarla.QUE ES:La ecuacin del calor es un modelo matemtico (quizs el ms sencillo) que trata de describir la evolucin de la temperatura en un cuerpo slido.CAMPOS EN LOS QUE SE EMPLEA:La ecuacin del calor es de importancia fundamental en campos cientficos diversos. Enmatemticas, es el prototpo deecuacin diferencial parcial parablica. Enestadstica, la ecuacin del calor est conectada con el estudio deMovimiento browniano; laecuacin de la difusin, una versin ms general de la ecuacin del calor, se presenta con respecto al estudio de la difusin qumica y de otros procesos relacionados.QUE DESCRIBE:La ecuacin del calor describe cmo se distribuye la temperatura en un cuerpo slido en funcin del tiempo y el espacio. El inters en su estudio radica en las mltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia. En las matemticas generales, representa la tpica ecuacin en derivadas parciales parablica y concretamente en la estadstica est relacionada con los procesos aleatorios. Por otro lado, en el campo de la qumica nos predice, entre otros procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a 0 y otro a 100, rpidamente la temperatura del punto de conexin entre ambos ser de 50.DE DONDE SE LA OBTIENE:Esta ecuacin se la obtiene de la forma general de una ecuacin de derivadas parciales lineal y de segundo orden (EDP) con 2 variables independientes X e Y.Si U representa la variable dependiente Y; y X e Y representan las variables independientes, entonces tenemos que:

donde A,B,C,...,G son funciones de x e y.Cuando G(x,y) = 0, se dice que la ecuacin es homognea; en caso contrario se dice que es no homognea.Ejemplo::= 0Ecuacin homognea=xyEcuacin no homogneaAlgunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempean un papel importante en Ingeniera son las siguientes.1. Ecuacin bidimensional de Laplace

2..Ecuacin unidimensional de onda

3. Ecuacin unidimensional del calor

En esta investigacin vamos a centrarnos solamente en la ecuacin del calor ya que es el tema que nos corresponde analizar en la cual no vamos a deducir la forma en que se obtuvo, sino nicamente en cmo se la resuelve para poder aplicarlas en los problemas propuestos.Para resolverla vamos a aplicar un procedimiento general conocido como mtodo de separacin de variables, el cual vimos durante las horas de clase en la materia de matemtica avanzada, aqu lo ms importante respecto a dicho mtodo.METODO DE SEPARACIN DE VARIABLES:Este mtodo busca una solucin particular en forma de un producto de una funcin de x, una funcin de y, comoU(x,y)= X(x). Y(y)A veces es posible convertir una ecuacin en derivadas parciales lineal con 2 variables en 2 ecuaciones ordinarias.Para hacerlo notemos que:

DONDE:X`derivacin ordinaria; Y`derivacin ordinariaDe esta forma el problema de resolver una ecuacin en derivadas parciales se reduce al problema ms conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta tcnica para la ecuacin del calor.Ecuacin del calorLa ecuacin unidimensional del calor es el modelo de variacin de la temperaturausegn la posicinxy el tiempoten una varilla calentada de longitudLy de temperatura inicialf(x)que se extiende a lo largo del ejexy cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. Si El flujo de calor se produce solamente en la direccin del eje x. No se pierde calor a travs de la superficie lateral de la varilla. No se genera calor en la varilla. la varilla es homognea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante. su calor especfico y su conductividad trmica son constantes,entonces la temperaturau(x,t)de la varilla est dada por la solucin del problema con condiciones iniciales y de contorno

La constante k es proporcional a la conductividad trmica y se llama difusividad trmica.SOLUCIN DEL PROBLEMAPara resolver este problema por el mtodo de separacin de variables, se empieza por suponer que:

Tiene una solucin de la forma :

Para determinarXyT, primero se calculan las derivadas parciales de la funcinu

se sustituyen estas expresiones en la ecuacin resultando:

y separando las variables

Observamos ahora que las funciones del primer miembro dependen solamente det,mientras que las del segundo miembro dependen solamente dexey, puesto quexytson variables independientes entre s, los dos cocientes deben ser iguales a alguna constante Por tanto,

En consecuencia, para soluciones separables, el problema de resolver la ecuacin en derivadas parciales se ha reducido al problema de resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores.Si consideramos ahora las condiciones de contorno

y, teniendo en cuenta queu(x,t) = X (x)T (t)tenemos que:Por consiguiente, o bienT (t) = 0para todot > 0,lo cual implica que u(x,t) =0 o bien

Ignorando la solucin trivial, se combinan las condiciones de contorno con la ecuacin diferencial en X y se obtiene el problemaECUACIONDIFERENCIAL (1)dondepuede ser cualquier constante.Ntese que la funcinX (x) = 0es una solucin para todoy, dependiendo de la eleccin desta puede ser la nica solucin del problema. As que si se busca una solucin no trivialu(x,t) = X (x)T (t),primeramente se deben determinar aquellos valores depara los cuales el problema con condiciones iniciales y de contorno tiene una solucin no trivial.Dichos valores especiales dese denominan valores propios, y las soluciones no triviales correspondientes son las funciones propias.Para resolver el problema, empezamos con la ecuacin caractersticar2= 0y consideramos tres casos.CASO 1:> 0. En este caso, las races de la ecuacin caracterstica son, de modo que la solucin general de laECUACIN DIFERENCIAL (1)es:

Si recurrimos a las condiciones de contorno,X (0) = X (L) = 0, para determinar C1y C2obtenemos que la nica solucin esC1= C2= 0. Por consiguiente, no existe solucin no trivial para> 0.CASO 2:= 0. Ahora r = 0 es una raz doble de la ecuacin caracterstica y la solucin general de la ecuacin diferencial es

Las condiciones de contorno implican de nuevo que C1= C2= 0 y, consecuentemente, no existe solucin no trivial.CASO 3:< 0. En este caso las races de la ecuacin caracterstica sony la solucin general de la ecuacin es

En esta ocacin las condiciones de contorno dan lugar al sistema:

Como C1=0, el sistema se reduceaPor lo tanto laECUACION DIFERENCIAL (1):tiene una solucin no trivial cuandoo lo que es lo mismo

Adems las soluciones no triviales Xn(x) correspondientes al valorEstn dadas por :

donde los valores anson constantes arbitrarias distintas de cero.Una vez determinados los valores deconsideramos las segunda ecuacin

Para cada n = 1,2,..., la solucin general de la ecuacin lineal de primer orden es:Por tanto combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para cada n=1,2,..donde cnes una constante arbitraria.Si consideramos una suma infinita de estas funciones, entonces aplicando el principio de superposicin, la serie

Satisface tanto la ecuacin de calor como las condiciones homogneas

Nos falta nicamente determinar los coeficientes constantes utilizando la condicin inicialEsto da lugar a:

pero esta es la serie de Fourier de senos de f(x) sobre el intervalo [0,L] , lo cual nos permitir calcular los coeficientes a travs de la expresin

Concluimos entonces que la serie

es solucin del problema con condiciones iniciales y de contorno descrito anteriormente. Esta solucin en serie converge con bastante rapidez, a menos quetsea demasiado pequeo, debido a la presencia de factores exponenciales negativos. Por eso es muy prctica en clculos numricos.