ecuacion de onda
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PROGRAMAS:
ING. SISTEMAS, ELECTRÓNICA – BIOINGENIERIA – QUÍMICA
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALIFACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADÍSTICA
FÍSICA III
ECUACIÓN DE ONDA
LUIS HERNANDO TAMAYO
ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (SIMPLE HARMONIC MOTION: S.H.M)
2
ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (S. H. M)
E = K + U +
Ene
rgía
Cin
étic
a
Ene
rgía
Pot
enc
ial
Fig. 2
3
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME VELOCIDAD ANGULAR, VELOCIDAD TANGENCIAL, ACELERACIÓN CENTRÍPETA
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Wave_on_a_String#versionshttp://www.xtec.net/~ocasella/applets/movcirc/appletsol2.htm
Fig. 3
4
𝑣=𝑠𝑡=2𝜋 𝑅𝑇
=(2𝜋 𝑅) 𝑓𝑤=2𝜋𝑇
=(2𝜋 ) 𝑓
𝑥=𝐴 cos𝑤𝑡𝑦=𝐴𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡𝑦=𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑥=𝐴 cos𝜃⟹
⟹
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑤=𝜃𝑡⟹𝜃=𝑤𝑡
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑣=𝑠𝑡
𝑆𝑖𝑅=𝐴
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑡=𝑇⟹𝜃=2𝜋 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
⟹ 𝑣=𝑤𝑅
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟 í 𝑝𝑒𝑡𝑎𝑎𝑐=𝑣2
𝑅=𝑤2𝑅
FUNCIÓN DE ONDA Fig. 4
Fig. 5 Función Espacial (Izq.) y Espacio Temporal (Der.)5
PERIODO DE UN SISTEMA MASA RESORTE EN EL M.A.S. (S. H. M)
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𝑎=−𝑤2𝑥
𝑥=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 )
𝑣=𝑑𝑥𝑑𝑡
=−𝑤𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 ) 𝑎=𝑑𝑣𝑑𝑡
=−𝑤2𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 )
𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒𝐹=−𝑘𝑥⟹𝑚𝑎=−𝑘𝑥
𝑚 (−𝑤2𝑥 )=−𝑘𝑥 𝑤2=𝑘𝑚
𝑤=√ 𝑘𝑚VELOCIDAD ANGULAR (w)
⟺ 𝑤=2𝜋𝑇
√ 𝑘𝑚=2𝜋𝑇
⟹ 𝑇=2𝜋 √𝑚𝑘
ENERGÍA TOTAL Y VELOCIDAD DE OSCILACIÓN DEL M.A.S. (S. H. M)
7
𝐸=𝐾 +𝑈𝑒⟹12𝑚𝑣2+
12𝑘𝑥2 {𝑣=−𝑤𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
𝑥=+𝐴 cos(𝑤𝑡)
𝐸=12𝑚[−𝑤𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡 )]2+ 1
2𝑘[ 𝐴cos (𝑤𝑡 )]2 {[ 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡 )]2+[cos (𝑤𝑡 )]2=1
𝑘=𝑚𝑤2
𝐸=12𝑘 𝐴2
12𝑘 𝐴2=
12𝑚𝑣2+
12𝑘𝑥2 𝑣=√ 𝑘𝑚 (𝐴2−𝑥2)
𝑣𝑚𝑎𝑥=𝐴√ 𝑘𝑚𝐿𝑎𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑚á 𝑥𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖 𝑥=0
Fig. 6
OSCILACIONES
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PERIODO DE OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE
Fig. 7
9
𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝐹=−𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑚𝑎=−𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛 (𝜃 )⟹𝑎=−𝑔 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 )
𝑇=2𝜋 √ 𝑙𝑔{ 𝑎=−𝑤
2𝑥
𝑠𝑒𝑛 (𝜃 )= 𝑥𝑙
𝑤=2𝜋𝑇
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME – VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN
http://www.xtec.net/~ocasella/applets/movcirc/appletsol2.htm
T 2T
Fig. 8
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Fig. 8a
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑣=𝑠𝑡=2𝜋 𝑅𝑇
=(2𝜋 𝑅) 𝑓
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑤=𝜃𝑡=2𝜋𝑇
= (2𝜋 ) 𝑓 { 𝑅=𝐴𝑤=𝜃𝑡
𝑥=𝐴 cos𝑤𝑡 𝑦=𝐴𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡
𝑣=𝜆𝑇
=𝜆 𝑓
ECUACIÓN PARA UNA ONDA VIAJERA QUE SE PROPAGA CON UNA VELOCIDAD
Fig. 9
11
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑎𝑂𝑛𝑑𝑎𝑒𝑠𝑉𝑖𝑎𝑗𝑒𝑟𝑎 , 𝑙𝑎𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑒𝑠𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙
𝑦 (𝑥 , 𝑡 )=𝐴 cos𝑤𝑡
𝑦 (𝑥 , 𝑡 )=𝐴 cos𝑤(𝑥𝑣−𝑡)
𝑦 (𝑥 , 𝑡 )=𝐴 cos2𝜋 𝑓 ( 𝑥𝑣− 𝑡)
ECUACIÓN PARA UNA ONDA VIAJERA QUE SE PROPAGA CON UNA VELOCIDAD
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𝑦 (𝑥 , 𝑡 )=𝐴 cos2𝜋 𝑓 ( 𝑥𝑣− 𝑡) 𝑦 (𝑥 , 𝑡 )=𝐴 cos2𝜋( 𝑥𝑓𝑣 − 𝑡𝑓 ){ 𝑓 =𝑣𝜆𝑓= 1
𝑇
𝑦 (𝑥 , 𝑡 )=𝐴 cos( 2𝜋 𝑥𝜆
−2𝜋 𝑡𝑇
) 𝑆𝑒𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑒𝑙𝑁 ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑂𝑛𝑑𝑎𝑘=2𝜋𝜆
𝑦 (𝑥 , 𝑡 )=𝐴 cos(𝑘𝑥−𝑤𝑡 )
ONDA VIAJERA QUE SE PROPAGA EN LA DIRECCIÓN POSITIVA DE
ONDA VIAJERA QUE SE PROPAGA EN LA DIRECCIÓN NEGATIVA DE
𝑦 (𝑥 , 𝑡 )=𝐴 cos(𝑘𝑥+𝑤𝑡 )
𝑣=𝜕𝜕𝑡𝑦 (𝑥 ,𝑡 ) 𝑎=
𝜕𝜕𝑡𝑣 (𝑥 , 𝑡)
UNA ONDA ES UNA PERTURBACIÓN QUE SE PROPAGA DESDE EL PUNTO EN QUE SE PRODUJO, A
TRAVÉS DEL ESPACIO TRANSPORTANDO ENERGÍA Y NO MATERIA.
EN CUALQUIER PUNTO DE LA TRAYECTORIA DE PROPAGACIÓN SE PRODUCE UNA OSCILACIÓN
PERIÓDICA, ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO Y SÓLO LA ENERGÍA AVANZA DE FORMA
CONTINUA.
DEFINICIÓN DE ONDA
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SEGÚN EL MEDIO EN EL QUE SE PROPAGAN: ONDAS MECÁNICAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
EN FUNCIÓN DE SU PROPAGACIÓN: UNIDIMENSIONALES BIDIMENSIONALES O SUPERFICIALES TRIDIMENSIONALES O ESFÉRICAS
EN FUNCIÓN DE LA DIRECCIÓN DE PERTURBACIÓN: ONDAS LONGITUDINALES ONDAS TRANSVERSALES
EN FUNCIÓN DE SU PERIODICIDAD PERIÓDICAS NO PERIÓDICAS
CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS
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NECESITAN UN MEDIO ELÁSTICO PARA PROPAGARSE.
NO REQUIEREN DE UN MEDIO PARA PODERSE PROPAGAR. SE PROPAGAN EN EL VACÍO.
ONDAS MECÁNICAS
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Fig. 1015
SE PROPAGAN A LO LARGO DE UNA SOLA DIRECCIÓN DEL ESPACIO, COMO LAS ONDAS EN LOS RESORTES O EN LAS CUERDAS.
ONDAS TRIDIMENSIONALES O ESFÉRICAS
ONDAS UNIDIMENSIONALES
ONDAS BIDIMENSIONALES O SUPERFICIALES
SE PROPAGAN EN DOS DIRECCIONES. LAS ONDAS EN LA SUPERFICIE DE AGUA.
SE PROPAGAN EN TRES DIRECCIONES. SUS FRENTES DE ONDAS SON ESFERAS CONCÉNTRICAS QUE SALEN DE LA FUENTE DE PERTURBACIÓN EXPANDIÉNDOSE EN TODAS DIRECCIONES.
Fig. 11, Ondas Superficiales Fig. 12, Ondas Esféricas
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La perturbación se produce de manera paralela a la dirección de propagación de la onda.
La perturbación es en sentido perpendicular a la dirección de propagación.
ONDAS LONGITUDINALES ONDAS TRANSVERSALES
Fig. 13 Fig. 14
17
LA PERTURBACIÓN LOCAL QUE LAS ORIGINA SE PRODUCE EN CICLOS REPETITIVOS EN EL TIEMPO.
LA PERTURBACIÓN QUE LAS ORIGINA SE DA AISLADAMENTE O, EN EL CASO DE QUE SE REPITA, LAS PERTURBACIONES SUCESIVAS TIENEN CARACTERÍSTICAS DIFERENTES. LAS ONDAS AISLADAS SE DENOMINAN TAMBIÉN PULSOS.
ONDAS PERIÓDICAS
ONDAS NO PERIÓDICAS
Fig. 15
Fig.16
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FENÓMENOS DE ONDAhttp://phet.colorado.edu/sims/wave-on-a-string/wave-on-a-string_es.html
CUANDO UNA ONDA CHOCA CON OTRO OBJETO O LLEGA A UNA FRONTERA CON OTRO MEDIO, A LOS CUALES NO PUEDE ATRAVESAR Y SE DESVÍA, AL MENOS EN PARTE, OTRA VEZ HACIA EL MEDIO INICIAL.
REFLEXIÓN
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Fig. 17
PARA UNA ONDA CON UN ÁNGULO DE INCIDENCIA SOBRE EL PRIMER MEDIO, SE PROPAGA EN EL SEGUNDO MEDIO CON UN ÁNGULO DE REFRACCIÓN , CUYO VALOR SE OBTIENE POR MEDIO DE LA LEY DE SNELL
REFRACCIÓN
INDICE DE REFRACCIÓN
ES EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE PROPAGACIÓN QUE EXPERIMENTA UNA ONDA AL CAMBIAR DE UN MEDIO MATERIAL A OTRO.
EL COCIENTE ENTRE LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN EL VACÍO Y LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN EL MEDIO CUYO ÍNDICE SE CALCULA. SE SIMBOLIZA CON LA LETRA N.
LEY DE SNELL
𝑛1 sen𝜃1=𝑛2 sen𝜃2
𝑛1<𝑛2
Fig. 1820
ES UN FENÓMENO CARACTERÍSTICO DE LAS ONDAS QUE CONSISTE EN EL CURVADO APARENTE QUE EXPERIMENTAN CUANDO ATRAVIESAN UN OBSTÁCULO.
DIFRACCIÓN
Fig. 19
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FENÓMENO EN EL QUE DOS O MÁS ONDAS SE SUPERPONEN PARA FORMAR UNA ONDA RESULTANTE DE MAYOR O MENOR AMPLITUD. LA PERTURBACIÓN DE CUALQUIER PUNTO DEL MEDIO EN EL CUAL SE INTERFIEREN LAS ONDAS, SERÁ LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS PERTURBACIONES DE TODAS LAS ONDAS QUE SE ENCUENTREN EN ESE PUNTO.
INTERFERENCIA
Fig. 20
Fig. 21 Fig. 22
22
EJERCICIOS
TAREA EVALUATIVA:
1. En la figura se muestra el desplazamiento de un objeto oscilante en función del tiempo. calcule:a) la frecuencia b) la amplitud c) el periodo d) escriba la ecuación de onda
T 2T
Fig. 23
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2. Un bloque de 1.8 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está sujetado a un resorte cuya constante de fuerza es 570 N/ m. El bloque es jalado desde su posición de equilibrio en x = 0 hasta desplazarse a x = +0.080 m y parte del reposo. Entonces, el bloque realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje x (horizontal). El desplazamiento del bloque al tiempo t = 0.40 s corresponde a:
• A) 0.06 m B) -0.06 m C)-0.05 m D) 0.6 m E) 0.05 m
3. Un bloque de 0.026 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está sujetado a un resorte cuya constante de fuerza es 240 N/ m. El bloque es jalado desde su posición de equilibrio en x = 0 hasta desplazarse a x = + 0.080 m y parte del reposo. Entonces, el bloque realiza un SHM a lo largo del eje x (horizontal). La velocidad del bloque al tiempo t = 0.40 s corresponde a:
• A) 6 m/s B) Cero C) -6 m/s D) -5 m/s E) 5 m/s
4. Un bloque de 0.28 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está sujetado a un resorte cuya constante de fuerza es 500 N/m. El bloque es jalado desde su posición de equilibrio en x = 0 hasta desplazarse a x = +0.080 m y parte del reposo. Entonces, el bloque realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje x (horizontal). Cuando el desplazamiento es x = - 0.052 m, la aceleración del bloque corresponde a:
• A) 230 m/s² B) 46 m/s² C) 92 m/s² D) 69 m/s² E) 280 m/s²
5. Un bloque de 0.056 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está sujetado a un resorte cuya constante de fuerza es 140 N/m. El bloque es jalado desde su posición de equilibrio en x = 0 hasta desplazarse a x = +0.080 m y parte del reposo. Entonces, el bloque realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje x (horizontal). La energía potencial elástica máxima del sistema corresponde a:
• A) 0.45 J B) 0.41 J C) 0.49 J D) 0.53 J E) 0.57 J
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SEARS - ZEMANSKY - YOUNG - FREEDMAN, FÍSICA UNIVERSITARIA. EDITORIAL PEARSON
ADDISON WESLEY . 12ª EDICIÓN, 2009
WILSON - BUFFA - LOU, FÍSICA, EDITORIAL PEARSON ADDISON WESLEY. SEXTA EDICIÓN.
CURSO DE ONDAS:
http://colos.inf.um.es/ondas/cursoondas.htm (CC)
PHYSICAL EDUCATION TECHNOLOGY PHET:
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=wave_on_a_string#versions (CC)
MOVIMIENTO CIRCULAR VS. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:
http://www.xtec.net/~ocasella/applets/movcirc/appletsol2.htm (CC)
PROYECTO NEWTON:
http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/ondas/ondas-estacionarias.htm?2&1
BIBLIOGRAFÍA - CIBERGRAFÍA
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