Ing. Loayza Rivas, Adolfo

INTEGRANTES: ANCAJIMA SILVA, JHAN PIER CALDERON TABOADA, HOBER CALLE TERRONES, OSCAR CÁRDENAS SALDAÑA, BRYAN MONSALVE DIAZ, NELSON NARRO VIDAURRE, ESTEFANY REGALADO MAMANI, MILAGROS RODRIGUEZ TABOADA, FERNANDO SICCHA SANTOS, ASLY

INTRODUCCIÓNEn el presente informe denominado “Ecuación de continuidad y principio de cantidad de movimiento” mostramos la recopilación de datos referidos a los principios base de la ecuación de continuidad y cantidad de movimiento; así como su demostración y aplicación a determinados casos en fluidos líquidos.

OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL.

- Demostrar y aplicar la Ecuación de Continuidad y el Principio de cantidad de Movimiento

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

− Definir los conceptos de Sistema y Volumen de control − Demostrar el principio de la conservación de la materia − Demostrar la ecuación diferencial de la continuidad − Deducir la ecuación diferencial de la continuidad para una

vena liquidad − Demostrar el principio de cantidad de movimiento − Definir casos especiales de aplicación del principio de

cantidad de movimiento − Realizar ejemplos aplicativos de la ecuación de continuidad y

el principio de cantidad de movimiento.

ECUACIÓN DE LA CONTINUIDADI.- DEFINICIONES PREVIAS:A. SISTEMA:El sistema se define como una porción fija de materia. Aunque su forma y su tamaño pueden variar con el tiempo, lo esencial de la definición es que la masa del material que comprende el sistema no se altere con el tiempo.Ejemplo:

B. VOLUMEN DE CONTROL: 1.-Volumen de control no deformable. Este tipo es un volumen fijo en el espacio, relacionado a un sistema de ejes coordenados, que puede estar en movimiento, respecto a un sistema absoluto.

2.-Volumen de control deformable. Se dice que un volumen de control es deformable, cuando parte de su superficie, o toda ella, está en movimiento en un instante dado.

PRINCIPIO DE LA

CONSERVACIÓN DE LA MATERIA

PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA MATERIA

“El aumento de masa, en un tiempo , del fluido contenido en un volumen dado, será igual a la suma de las masas del fluido que entran a este volumen, disminuida de las que salen”.

III MM VC

2m

IM IIM

1m

em smVC

Donde: VC

2m

IM IIM

1m

em smVC

masa del sistema en el tiempo

masa del sistema en el tiempo

masa en el volumen de control en el instante

masa en el volumen de control en el instante

masa que entra en el volumen de control en el intervalo

masa que sale en el volumen de control en el intervalo

Es decir la masa en el sistema permanece invariable:

1 2 s em m m m

VC VC S Em(t) m(t t) m m

Dividiendo entre ordenando y tomando límites cuando

VC VC E Sm(t t) m(t) m mlim lim( ) ( )

t 0 t t 0 t

VC E S

dm d( ) (m m )

dt dt

M

MQ

t

VC

2m

IM IIM

1m

em smVC

Donde:

VC

dm M( )

dt t

E S M

d(m m ) Q

dt

Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen de control

Gasto o caudal neto de masa entrante en la unidad de tiempo.

La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie

de frontera del volumen, en la unidad de tiempo ,

más la rapidez de variación de la masa contenida en

el volumen , es igual a cero”

0t

MQM

ECUACIÓN DIFERENCIAL

DE CONTINUIDAD

𝜌𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡

(𝜌𝑉 𝑧+(𝜕 𝜌𝑉 𝑧

𝜕𝑧 )𝑑𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡

𝜌𝑉 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡𝑑𝑧

𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜌𝑉 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡

(𝜌𝑉 𝑦+(𝜕 𝜌𝑉 𝑦

𝜕 𝑦 )𝑑𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡

(𝜌𝑉 𝑥+(𝜕 𝜌𝑉 𝑥

𝜕𝑥 )𝑑𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡A

B

C

D

E

F

G

H

En el eje “y”, en un instante de tiempo “dt”, por la cara ABCD, entra una masay por la cara EFGH, sale una masa

xyz

𝜌𝑉 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 (𝜌𝑉 𝑦+(𝜕 𝜌𝑉 𝑦

𝜕 𝑦 )𝑑𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡

Luego el paralelepípedo considerado pierde, al pasar la masa de la cara ABCD a la cara EFGH, la diferencia de masas que entran y que salen, luego, la masa perdida o cantidad neta de masa que atraviesa estas caras será:

𝑑𝑚𝑦=(𝜕 𝜌𝑉 𝑦

𝜕 𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡Trasladando “dt” al primer miembro, entonces tendremos: la cantidad neta de masa que atraviesa las caras normales al eje “y”, en la unidad de tiempo, también conocido como gasto másico:

𝑑𝑚𝑑𝑡

=(𝜕 𝜌𝑉 𝑦

𝜕 𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑄𝑀𝑦=(𝜕 𝜌𝑉 𝑦

𝜕 𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧Por razonamiento similar

𝑄𝑀𝑥=(𝜕 𝜌𝑉 𝑥

𝜕 𝑥 )𝑑𝑥 𝑑 𝑦 𝑑𝑧𝑄𝑀 𝑧=(𝜕 𝜌𝑉 𝑧

𝜕 𝑧 )𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑 𝑦

Caudal de masa o gasto de masa (QM), será:

𝑄𝑀=𝑄𝑀𝑥+𝑄𝑀𝑦+𝑄𝑀 𝑧

Sustituyendo:

𝑄𝑀=(𝜕𝜌𝑉 𝑥

𝜕 𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧+(𝜕𝜌𝑉 𝑦

𝜕 𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧+(𝜕 𝜌𝑉 𝑧

𝜕𝑧 )𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦calculemos la “ rapidez de variación de la masa contenida en el volumen de control diferencial:

Sustituyendo en la ecuación de conservación 𝑄𝑀+𝜕𝑀𝜕𝑡=0

(𝜕 𝜌𝑉 𝑥

𝜕 𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧+(𝜕 𝜌𝑉 𝑦

𝜕 𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧+(𝜕 𝜌𝑉 𝑧

𝜕 𝑧 )𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦+ 𝜕(𝜌 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 )𝜕𝑡=0

(𝜕 𝜌𝑉 𝑥

𝜕 𝑥 )+(𝜕 𝜌𝑉 𝑦

𝜕 𝑦 )+(𝜕 𝜌𝑉 𝑧

𝜕 𝑧 )+ 𝜕 𝜌𝜕𝑡 =0

𝛻 ⋅(𝜌𝑉 )

�� ⋅ (𝜌𝑉 )+ 𝜕 𝜌𝜕𝑡=0 Ecuación Diferencial de Continuidad

( �� 𝜌 ) ⋅𝑉 + (�� ⋅𝑉 ) 𝜌+𝜕 𝜌𝜕𝑡=0 aplicando las propiedades vectoriales

Simplificaciones:

FLUJO COMPRESIBLE PERMANENTE

Resulta:

FLUJO IMCOMPRESIBLE NO PERMANENTE

Resulta:00

FLUJO IMCOMPRESIBLE PERMANENTE

Resulta:

0

“Por lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se cumple que la divergencia de es cero”.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

PARA UNA VENA LÍQUIDA

Ad

1v

1A 1

22A

1

2

2vAd

..cs

dss

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA UNA VENA LÍQUIDA

vAdss

)vA(vAQM

Aplicando el principio de la conservación de la materia,

al volumen elemental en

estudio

dssvA

QM

)(

MQtM

+ = 0

El principio de conservación de la masa establece

dss

)vA(+

t

)Ads(

= 0

Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen

elemental

MQtM

+ = 0

La longitud “ds” del elemento de volumen considerado no depende del tiempo.

0t

At

A

svA

s

Av

s

vA

ρ, v, A; son funciones de “s” y “t”NOTA:

0t

At

A

svA

s

Av

s

vA

t

sv

t

sv

0t

At

A

sA

dt

ds

s

A

dt

ds

s

vA

0dt

dA

dt

dA

s

vA

v 1 dA 1 d0

s A dt dt

DIVIDMOS ENTRE ρA:La expresión, es la Ecuación de Continuidad para una vena líquida donde se produce un flujo no permanente y compresible.

s

)vA(= 0

O, bien:

v A Cte. vA = Cte. (ξ)

Q =V1 A1 = V2

A2el gasto que circula por cada sección de la vena líquida en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones transversales, tales como (1) y (2) de la misma vena líquida, se cumple que el gasto que circula por ellas es constante.

PRINCIPIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

PRINCIPIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La cantidad de movimiento de un elemento de masa “m”, es el producto de esta por su velocidad.Sea “C” la cantidad de movimiento:

C mv

La ecuación de la cantidad de movimiento de un cuerpo libre o volumen de control se deriva de la segunda ley de Newton, que establece lo siguiente:

Calculando el d(C)

C mv

dF (mv)

dt

dF (C)..........(1)

dt

“La suma vectorial de todas las fuerzas F que actúan sobre una masa de fluido es igual a la rapidez del cambio del vector cantidad de movimiento de la masa del fluido”, es decir:Si:

d mv dmv

Además:

dm d

dC v d

C v d ..........(2)

Remplazando (2) en (1)

dF v d ........(3)

dt

Haciendo: v (x,y,z,t)

Una función vectorial ligada al movimiento.

Luego, de la expresión (3):

I v d

I d

Y sea “” la función “I” incrementada un

1

1 1I d d .........(4)

Para hallar el valor de “” necesitamos los valores de: y , sabiendo que:

dzz

dyy

dxx

dtt

d

Dividiendo la expresión anterior entre dt:

dt

dz

zdt

dy

ydt

dx

xdt

dt

tdt

d

Además se sabe:

x y z

dx dy dzv ; v ; v

dt dt dt

x y z

dv v v

dt t x y z

d(v )

dt t

d dt (v ) dt.....................(5)t

Además se sabe por deformación volumétrica de los fluidos que “la velocidad de deformación volumétrica relativa , coincide con la suma de velocidades de la deformación lineal”, es decir:

y1 x zvd d v v

d dt x y z

1d dv

d dt

Despejando :

1

1

d ( v)d dt d

d ( v)dt 1 d ....................(6)

Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en la ecuación (4).

1

11 d)d(I

1I dt (v ) dt ( v)dt 1 dt

1I dt (v ) dt ( v)dt ( v)dt dt ( v)dt(v ) dt dt t

Siendo “dt” un tiempo muy pequeño, por lo tanto “”, es una cantidad despreciable por lo cual se considera cero, reduciéndose la expresión anterior a:

1I ( (v )dt dt ( v) dt)dt

1I dt (v )dt ( v) dt dt

Por definición de producto escalar:

( v) ( ) v ( v)

Luego:

1I ( v) dt dt

……… (7)

Ahora:

1I I ( v) dt d dt

1I I ( v) dt dt

1I I ( v) dt dt

Dividiendo ( - I) entre dt.

1I I( v) d

dt t

dId ( v)d

dt t

dId ( v) d

dt t

al considerar un volumen de control de profundidad la unidad.

Elemento:

1u

dA 𝑑𝐴=𝛻𝑑𝐴

A

dId ( v) dA

dt t

La definición del d es perpendicular al área, es decir:

Se sabe que:

dI

A

Advdt

dtdt

d )()(

A

Advdt

ddtd

)(

También se sabe que:

v

A

d ( v)( v d ) d ( v)(v dA)

dt t

Pero de (3) se sabe que:d

F vddt

; por lo tanto:

A

( v)F d ( v)(v dA)

t

Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de los fluidos conocida como la ecuación o principio de la cantidad de movimiento.

Para el caso especial del movimiento permanente la ecuación general de la cantidad de movimiento se simplifica a:

)()( AdvvFA

Puesto que se sabe que en un flujo permanente las propiedades del flujo y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir que la velocidad en un punto permanecen constantes.

Se sabe que el vector velocidad y el vector área son ambos perpendiculares al área, es decir:

v dA

v // dA v dA vdA cos0

v dA vdA

La fuerza quedaría:

A

F v (v dA)

A

F v (vdA) ( v)(v A)

Se sabe que: pero como //, entonces

Q v AEntonces las fuerza quedaría:

F Qv

Si tuviéramos el siguiente volumen de control:

Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada extremo de la porción de fluido entre ambas secciones actúa una fuerza, como se muestra en el gráfico.

1

2

1

21F

2F

2V

1V

Q

Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza sería:

F Qv

Entonces las fuerzas serían:

1 1F Qv

2 2F Qv

Las velocidades son:

Las fuerzas quedarían:1 1X 1Yv v i v j

2 2X 2Yv v i v j

1 1X 1YF Q(v i v j)

2 2X 2YF Q(v i v j)

Las sumatorias de las fuerzas en los ejes “X” y “Y” son:

X 1X 2XF Q(v v )

Y 1Y 2YF Q(v v )

PRINCIPIO DE LA CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

APLICADO A LA CORRIENTE

LÍQUIDA

PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO A LA CORRIENTE LÍQUIDASea la vena liquida siguiente:

1

1

2

2

1S

2S

1V

1Sd

2Sd

2V

Por el principio de la cantidad de movimiento se sabe que:

Pero como el flujo es líquido y se sabe que los líquidos son incompresibles, por lo tanto la densidad de un punto a otro no varía, es decir: , y la fuerza resultaría:

1

1

2

2

1S

2S

1V

1Sd

2Sd

2V

Si se acepta que los filetes son rectos y a lo más con suave curvatura, se puede decir que las velocidades son perpendiculares a las secciones transversales y además que el sentido es opuesto al sentido de , se puede escribir que:

1

1

2

2

1S

2S

1V

1Sd

2Sd

2V

La fuerza quedará:

Por ser un flujo permanente, el caudal es igual en ambas secciones transversales:

1

1

2

2

1S

2S

1V

1Sd

2Sd

2V

Y como se ha aceptado que los filetes sean rectas con la más suave curvatura, entonces se puede decir que:

Por lo tanto:

Entonces: 1

1

2

2

1S

2S

1V

1Sd

2Sd

2V

EJERCICIOS

Por Tubería de 3.81cm de diámetro circula agua a una velocidad de 3m/s, en una parte de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.54cm tal como se muestra en el gráfico. ¿Qué velocidad llevara el agua en el estrechamiento?

3.81 cm 2.54 cm

Q1

V2

Q2

V1

EJERCICIO 1

 • Datos: D1 = 3.81cm = 0.0381mD2 = 2.54cm = 0.0254mV1 = 3m/sV2 = ?

• Solución:Ecuación de continuidad Q1 = Q2 A1 V1 = A2 V2 

El problema nos pide encontrar V2, entonces: 

Donde y son 

Remplazando valores: 

 

SOLUCIÓN

EJERCICIO 2

Determine las componentes de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre el codo de salida doble que ilustra la figura. El volumen del agua dentro del codo es de y la velocidad en el punto de una presión de 25 kpa es de . El flujo es permanente.

2

3

45

5m/sU1

m/s 10U2

m18.0

m5.0

m2.0

2

3

45

W

yF

xF

5m/sU1

m/s 10U2

1F

3U

𝑸𝟏=𝑽 𝟏𝑨𝟏

𝑸𝟐=𝑽 𝟐𝑨𝟐

𝑸𝟏=(𝟓𝒎 /𝒔 )(𝝅𝟒 (𝟎 .𝟓𝒎)𝟐)𝑸𝟏=𝟎 .𝟗𝟖𝟐𝒎𝟑/𝒔

𝑸𝟐=(𝟏𝟎𝒎/𝒔)(𝝅𝟒 (𝟎 .𝟏𝟖𝒎)𝟐)𝑸𝟐=𝟎 .𝟐𝟓𝟒𝒎𝟑/𝒔

𝑽 𝟑=𝑸𝟐−𝑸𝟏

𝑨𝟑

𝑽 𝟑=𝟎 .𝟕𝟐𝟖𝒎𝟑/𝒔

(𝝅𝟒 (𝟎 .𝟐𝒎)𝟐) 𝑽 𝟑=𝟐𝟑 .𝟏𝟖𝒎/𝒔

1° Si:

𝑭𝟏=𝑷𝟏 𝑨𝟏

𝑭𝟏=𝟐𝟓𝑲𝑷𝒂( 𝝅𝟒 (𝟎 .𝟓𝒎)𝟐)

𝑭𝟏=𝟒 .𝟗𝟏𝑲𝑵

2º La fuerza de presión en el punto 1.

𝚺𝑭 𝒙=𝝆 (𝑸¿¿𝟑𝑽 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° −𝑸𝟐𝑽 𝟐)¿

𝑭 𝒙=𝟏𝟎𝟎𝟎𝑲𝒈 /𝒎𝟑(𝟎.𝟕𝟐𝟖𝒎𝟑

𝒔∗𝟐𝟑 .𝟏𝟖

𝒎𝒔𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° −𝟎 .𝟐𝟓𝟒

𝒎𝟑

𝒔∗𝟏𝟎𝒎/𝒔)

𝑭 𝒙=𝟗 ,𝟑𝟗𝟐𝑲𝑵

𝚺𝑭 𝒚=𝝆𝑸𝟑𝑽𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓° −𝑸𝟏𝑽 𝟏

−𝑾 +𝑭 𝒚=𝟏𝟎𝟎𝟎𝑲𝒈/𝒎𝟑(𝟎 .𝟕𝟐𝟖𝒎𝟑

𝒔∗−𝟐𝟑 .𝟏𝟖

𝒎𝒔𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓°−𝟎 .𝟗𝟖𝟐

𝒎𝟑

𝒔∗−𝟓𝒎 /𝒔 )

𝑭 𝒚=𝟕 .𝟎𝟐𝟐𝑲𝑵+𝟒 .𝟗𝟏𝑲𝑵+𝟗 .𝟖𝟏𝑲𝑵𝑭 𝒚=𝟕 .𝟔𝟗𝑲𝑵

𝑾=𝑾∀ 𝑾=𝝆𝒈∀

𝑾=𝟗 .𝟖𝟏𝒎𝒔𝟐∗𝟏𝟎𝟎𝟎

𝑲𝒈𝒎𝟑 ∗𝟏𝒎

𝟑 𝑾=𝟗 .𝟖𝟏𝑲𝑵

3°

4º Hallamos la resultante de las fuerzas.

𝑭 𝑹=√ (𝟗 .𝟑𝟗𝟐 )𝟐 (𝟕 .𝟔𝟗 )𝟐

𝑭 𝑹=𝟏𝟐 .𝟏𝟑𝑲𝑵

2

3

45

W

yF

xF

5m/sU1

m/s 10U2

1F

3U

Una tubería de 180mm de diámetro transporta agua a razón de 0.09. La tubería se ramifica en dos de menor diámetro tal y como se indica en la figura, si la velocidad en el tubo de 60mm de diámetro es de 15 m/s ¿Cuál será la velocidad en la tubería de 120mmm de diámetro?

60mm

Q1=0.09 m3/s

V3=15m/s𝑄1 = 𝑄2 + 𝑄3 →𝐴1𝑉1 + 𝐴2𝑉2 + 𝐴3𝑉3

𝑑1 = 180𝑚𝑚 = 0.18𝑚

𝑑2 = 120𝑚𝑚 = 0.12𝑚

𝐷1 = 60𝑚𝑚 = 0.06𝑚

EJERCICIO 3

Calculo del Q3:

𝑄3=𝐴3𝑉 3

𝑄3=𝜋 𝑑2

4×𝑉 3

𝑄3=𝜋 (0.06𝑚)2

4×15𝑚 /𝑠

𝑄3=0.0424𝑚3/ 𝑠

Calculo del Q2:

𝑄1=𝑄2+𝑄3

𝑄2=𝑄1−𝑄3

𝑄2=0.09𝑚3 /𝑠−0.0424𝑚3/𝑠

Para calcular la velocidad de la tubería de 120mm:

𝑄2=𝐴2𝑉 2

𝑉 2=𝑄2

𝐴2

𝑉 2=𝑄2

𝜋 𝑑2

4

𝑉 2=0.0476𝑚3/𝑠𝜋 (0.12𝑚)2

4

𝑉 2=4.21𝑚/𝑠

EJERCICIO 4

1

2

2ZFlujo

referencia de Nivel

1V

2V2P

1Z

1P

Tener en cuenta:

• En la figura el diámetro interior del tubo en las secciones 1 y 2 es de 50 mm y 100 mm respectivamente. Está fluyendo agua a 70 ⁰C con una velocidad promedio de 8 m/s en la sección 1. Calcule lo siguiente:

a) La velocidad en la sección 2.b) La rapidez de flujo de volumen.c) La rapidez de flujo de peso.d) La rapidez de flujo de masa.

Solución: a) Velocidad en la sección 2

Entonces la velocidad en la sección es

b)Rapidez de flujo de volumen. (Q)

De la tabla Q = AU . Debido al principio de continuidad, podríamos utilizar las condiciones en la sección 1 o en la sección 2 para calcular Q. en la sección 1 tenemos:

 TENER EN CUENTA   c) Rapidez de flujo de peso (W)

De acuerdo con la tabla W= γQ. A 70 ⁰C el peso específico del agua es de 9.59 KN/. Entonces, la rapidez de flujo de peso es: 

d) Rapidez de flujo de masa.( M)

De acuerdo con la tabla M= ρQ. A 70 ⁰C la densidad del agua es de 978 kg/.  Entonces la rapidez de flujo de masa es:

Se fuerza agua hacia adentro del aparato mostrado con un caudal de a través del tubo A, a la vez que un aceite con un caudal de a través del tubo B. ¿Cuál es la velocidad promedio que sale a través del tubo C que tiene un diámetro de ?

 

Aceite       

    

     

 

   

 

 

 

   

   

BMezcla

C

OH 2

A

EJERCICIO 5

GRACIA

S