ECUACIONES INTEGRALES DE FREDHOLM:UNA INTRODUCCI�ON

Trabajo de Graduaci�on presentado a la Facultad de Ciencias, en cumpli-miento parcial de los requisitos exigidos para optar al grado de Licenciadoen Educaci�on Matem�aticas y Computaci�on.

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILESANTIAGO-CHILE2005

ECUACIONES INTEGRALES DE FREDHOLM:UNA INTRODUCCI�ON

DANIELA ARAYA BASTIAS - SEBASTI�AN CALZADILLAS NIECHI

Este trajo de Graduaci�on fue elaborado bajo la supervisi�on del profesorgu��a Dr. Carlos Lizama del Departamento de Matem�atica y Ciencias de laComputaci�on y ha sido aprobado por los miembros de la Comisi�on Cali�-cadora, de los , candidatos, Sra. Ver�onica Poblete y Dr. Humberto Prado.

Profesor Informante Profesor Informante

Profesor Gu��a Director

AgradecimientosAl �nalizar esta linda etapa de mi vida, miro hacia atr�as y veo a todaslas personas que me acompa~naron en este lindo y dif��cil sendero, personasque por diferentes motivos no est�an a mi lado y personas que siguen a milado, que han tenido paciencia y el amor de ense~narme y soportar mi dif��cilcar�acter, mi familia, mi novio Carlos y mi amigo Sebasti�an.Agradezco tambi�en a todos los profesores que me hicieron clases, ya que ca-da uno de ellos me ense~n�o diferentes cosas, en especial al profesor CarlosLizama que con su paciencia y consejos nos ayud�o a realizar nuestro trabajo.Tambi�en agradezco a la familia de Sebasti�an por los ricos almuerzos y oncesque compartimos juntos. Por �ultimo a Dios que me ha dado todo para poderestar en esta etapa.Daniela Araya Bastias

Vayan siempre mis in�nitas gracias y alabanzas a mi Dios Jehov�a, el cualme dio apoyo, sustento y cuidado amoroso durante toda mi vida y en espe-cial en mis a~nos de carrera universitaria.Mis queridos padres se merecen m�as que yo el t��tulo que obtengo, fueronparticipes activos en mi formaci�on y en mis valores, los amo a ustedes y amis hermanos. Gracias Daniela por dejarme ser tu compa~nero de Trabajo, deTesis y mi gran amiga, por darme apoyo y consuelo al momento apropiado.Profesor Lizama a usted le debemos la realizaci�on de este escrito, gracias pordarnos el tiempo y de su propio esfuerzo junto con incre��ble paciencia paraque hoy cobre vida.Gracias, eternamente gracias, a todos.Sebasti�an Calzadillas Niechi

�Indice general

1. Ecuaciones de Fredholm 91.1. Introducci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. N�ucleos Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1. N�ucleos Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. N�ucleo Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3. Condiciones sobre la Existencia de Soluciones . . . . . 181.2.4. Condiciones de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3. N�ucleos No Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.2. M�etodo de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.3. M�etodos de aproximaci�on por N�ucleos Separables . . . 331.3.4. Iteraci�on por medio de Series de Neumann . . . . . . . 351.3.5. Convergencia Uniforme de la serie de Neumann . . . . 401.3.6. Condiciones para la Existencia y Unicidad de la solu-ci�on de la ecuaci�on con N�ucleos Peque~nos . . . . . . . . 442. Teor��a de Fredholm en espacios de Lebesgue 482.1. Funciones Absolutamente Integrables . . . . . . . . . . . . . . 492.2. Funciones de Cuadrado Integrable . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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52.2.1. Descomposici�on de N�ucleos . . . . . . . . . . . . . . . 542.3. Funciones Propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. Teor��a en Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6Introducci�on

La teor��a de Ecuaciones Integrales fue ampliamente desarrollada por elmatem�atico sueco Erik Ivar Fredholm quien desde temprana edad tuvo ac-ceso a una de las mejores escuelas de Estocolmo, donde obtuvo con honoressu Bachillerato el 16 de Mayo de 1885. Despu�es de un a~no de estudiar en elRoyal Technological Institute ingresa a la Universidad de Uppsala donde ob-tiene el grado de Magister en Ciencias el 28 de Mayo de 1888. Para obtener elgrado de Doctor en Ciencias trabaja bajo la tutela del profesor Mittag-Le�erde la Universidad de Estocolmo, esto lo logra inscribiendo el Doctorado enUppsala, pero realizando sus estudios en Estocolmo. Recibe el grado de Doc-tor el 31 de Mayo de 1898. Su tesis doctoral abord�o el estudio de EcuacionesDiferenciales Parciales que fue motivado por un problema de equilibrio enelasticidad dentro del �area de la F��sica. Esto dio origen a una de las investi-gaciones m�as trascendentales para la vida de Fredholm y para la matem�aticade la primera cuarta parte del siglo 20, a saber, Ecuaciones Integrales yla Teor��a Espectral. �Esta fue utilizada por matem�aticos de renombre comoSchwarz, Neumann y Poincar�e. Cabe destacar que Hilbert complement�o eltrabajo de Fredholm incluyendo la teor��a de valores propios para la Ecuaci�onIntegral de Fredholm.El presente trabajo de titulaci�on comprende dos cap��tulos, el primerose titula Ecuaciones de Fredholm el cual presenta las ecuaciones generalesde Fredholm a resolver y analiza en profundidad la existencia de la(s) solu-ci�on(es) seg�un el tipo de n�ucleo que la compongan,estos son: n�ucleos separa-bles �o n�ucleos no separables.Las secciones del cap��tulo 1 son:

7Introducci�on; en esta se presentan las Ecuaciones Integrales de primer ysegundo tipo, adem�as se de�ne el Operador Integral involucrado en las ecua-ciones anteriores, as�� como tambi�en se da un peque~no ejemplo particular queilustra las funciones que pertenecen al rango de este operador.Caso N�ucleos Separables; en esta secci�on se estudia los n�ucleos separablesy de �estos se desprende un caso particular: n�ucleos resolventes. Adem�as, seanalizan las condiciones necesarias para la existencia de la(s) soluci�on(es) dela ecuaci�on matricial an�aloga de la Ecuaci�on Integral de segundo tipo, estaherramienta fundamental se encuentra en el Teorema 1.2.9. La secci�on �nal-iza con el estudio del Teorema Ecuaci�on de Fredholm y su contraparte parala Ecuaci�on Integral de segundo tipo.Caso N�ucleos no Separables; en esta secci�on se de�ne la funci�on norma quees una herramienta necesaria para estudiar un nuevo m�etodo para resolver laEcuaci�on Integral de segundo tipo, cuando �esta se compone de un n�ucleo noseparable. Este m�etodo recibe el nombre de m�etodo de Schmidt. Se muestrantres formas de lograr la descomposici�on que propone. El m�etodo de Schmidtrequiere de la serie de Neumann para encontrar el inverso de un operador(I � cK0), por lo que adem�as se estudian condiciones que debe poseer eloperador cK0 para que dicha serie converja. Asimismo, se estudian las condi-ciones para la existencia y unicidad de las soluciones s�olo cuando los n�ucleosson peque~nos en el sentido de la norma que se considere.

El cap��tulo dos, Teor��a de Fredholm en espacios de Lebesgue, est�a dirigidoal estudio de las condiciones que debe cumplir el n�ucleo -el cual pertenecea estos tipos de espacios- que compone la ecuaci�on Integral de Fredholm desegundo tipo. Las secciones que componen este cap��tulo son:

8Funciones absolutamente Integrables; se de�ne el espacio de Lebesgue L1 ylas funciones que lo comprenden, adem�as buscamos una cota adecuada parakK0uk y lograr as�� que la serie de Neumann converja.Funciones de Cuadrado Integrable; se realiza un estudio an�alogo a la sec-ci�on anterior para el espacio de Lebesgue L2. Por otra parte se analizancaracter��sticas especiales de este espacio que permiten descomponer n�ucleos,as�� como lo propone el m�etodo de Schmidt. Se presenta el Teorema de Fischer-Riesz que permite utilizar la Teor��a de Fredholm en espacios de vectores dedimensi�on in�nita.Funciones Propias; en esta secci�on se estudia el Teorema 2.3.2 que permiteobtener una base ortonormal completa, de funciones propias, que es �util parala descomposici�on de n�ucleos que propone la secci�on anterior.Teor��a en Lp; aqu�� se entrega una generalizaci�on de todos los espacios deLebesgue cuando 1 � p < 1, y se dan las herramientas generales que per-miten utilizar Fredholm en estos espacios.

Este trabajo de Titulaci�on est�a escrito de tal manera que no profundizaen todos los t�opicos matem�aticos necesarios para el tema que se presenta,siguiendo el mismo esp��ritu del libro de Pipkin [5] que fu�e la base de estatesis.

Cap��tulo 1Ecuaciones de Fredholm

1.1. Introducci�onDe�nimos dos ecuaciones integrales que llamaremos ecuaciones de Fred-holm de primer y segundo tipo respectivamente.Z b

a k(x; y)u(y) dy = f(x); x 2 [a; b] (1.1)u(x) = f(x) + Z b

a k(x; y)u(y) dy; x 2 [a; b]: (1.2)A la funci�on k la llamamos n�ucleo y a la funci�on f t�ermino no homog�eneo,ambas son funciones dadas. Nuestro objetivo consiste en encontrar una fun-ci�on u que satisfaga la correspondiente ecuaci�on.De�nimos el operador K0 como

(K0u)(x) = Z ba k(x; y)u(y) dy: (1.3)

Entonces (1.1) y (1.2) pueden reescribirse de la siguiente formaK0u = f y u = f +K0u:

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10Ejemplo 1.1.1.

Considerar el n�ucleo k(x; y) = ex+y y las ecuacionesZ 10 ex+yu(y) dy = x (1.4)

u(x) = x+ Z 10 ex+yu(y) dy: (1.5)

Observamos queK0u(x) = Z 1

0 ex+yu(y) dy = ex Z 10 eyu(y) dy = Cex;

donde C = Z 10 eyu(y)dy. Por lo tanto el rango de K0 consiste en los m�ultiplosde ex. Concluimos que la funci�on f(x) = x en (1.4) no est�a en el rango de K0y por lo tanto la ecuaci�on (1.4) no tiene soluci�on. Por otro lado, observamosque, en contraste, (1.5) tiene soluci�on. En efecto, si

u(x) = x+ Z 10 ex+yu(y)dy

entonces u0(x) = 1 + ex Z 10 eyu(y) dy = 1 + (u(x)� x)

es una ecuaci�on diferenciable lineal de primer orden, cuya soluci�on, aplicandola F�ormula de Leibnitz, viene dada poru(x) = x+ Cex;

donde C es una constante arbitraria.

111.2. N�ucleos Separables

Para resolver las ecuaciones propuestas nos dedicaremos al estudio deecuaciones con diferentes tipos de n�ucleo. Revisaremos en primera instanciaecuaciones donde su operador tiene n�ucleo separable, posteriormente estudi-aremos ecuaciones con operadores peque~nos.1.2.1. N�ucleos Separables

De�nici�on 1.2.1. Decimos que un n�ucleo k(x; y) es separable si �este sepuede escribir como k(x; y) = nXi=1 fi(x)gi(y):

Ejemplo 1.2.2. El n�ucleo k(x; y) = xn � ynx� y es separable. En efecto,xn � ynx� y = xn�1 + xn�2y + xn�3y2 + xn�4y3 + :::+ xyn�2 + yn�1

= nXi=1 xn�iyi�1:Supondremos que las funciones fi y gi en la de�nici�on 1.2.1 son lineal-mente independientes. As�� el rango del operador K0 es n-dimensional y con-siste en la combinaci�on lineal de funciones fi. Esta a�rmaci�on se obtienecomo sigue:

(K0u)(x) = Z ba k(x; y)u(y) dy

= Z ba nX

i=1 fi(x)gi(y)!u(y) dy

= nXi=1 fi(x)

Z ba gi(y)u(y) dy:

12De�niendo los coe�cientes ui como los productos internos

ui := hgi; ui = Z ba gi(y)u(y) dy;

obtenemos la combinaci�on lineal que busc�abamos(K0u)(x) = nX

i=1 fi(x)ui: (1.6)Observaci�on 1.2.3. De acuerdo a lo anterior en la ecuaci�on del primer tipo,

K0u = h; (1.7)existe una restricci�on para la existencia de su soluci�on, esto es, h(x) debeser combinaci�on lineal de las funciones fi(x); adem�as si esto ocurre, existenin�nitas soluciones que satisfacen la ecuaci�on.

En el caso de la ecuaci�on de segundo tipou(x) = h(x) + Z b

a k(x; y)u(y) dy; (1.8)utilizando (1.6), la ecuaci�on (1.8) tendr�a soluci�on

u(x) = h(x) + nXj=1 fj(x)uj; (1.9)

donde s�olo resta encontrar los coe�cientes uj. Para esto de�nimoshi := hgi; hi = Z b

a gi(x)h(x) dx; (1.10)y

Kij := hgi; fji = Z ba gi(x)fj(x) dx: (1.11)

Multiplicando (1.9) por gi(x) e integrando en [a; b] obtenemosZ ba gi(x)u(x) dx = Z b

a gi(x)h(x) dx+ nXj=1Z ba gi(x)fj(x) dx � uj

13o usando la notaci�on (1.10) y (1.11):

ui = hi + nXj=1 Kijuj: (1.12)

Obtenemos as�� un sistema de ecuaciones algebraicas para los coe�cientes ui.Este sistema lo escribimos como u = h+Ku:An�alogamente, multiplicando (1.7) por gi(x) e integrando en [a; b]; obtenemosnXj=1 Kijuj = hi (1.13)

que es equivalente a escribir Ku = h.Lo que hemos hecho muestra que si la ecuaci�on integral (1.2) tiene soluci�on elsistema algebraico (1.12) la tiene. Rec��procamente, si (1.12) tiene soluci�on uy de�nimos u(x) por (1.9) entonces se veri�ca que u(x) satisface la ecuaci�onintegral (1.2).Ejemplo 1.2.4. Revisemos el siguiente problema

u(x) = 1 + Z 10 (1 + x+ y + xy)�1=2u(y) dy:

Escribimos k(x; y) comok(x; y) = (1 + x)�1=2(1 + y)�1=2;

y de�nimos f1(x) := (1 + x)�1=2 y g1(y) := (1 + y)�1=2:Luego

h1 = Z 10 1p1 + x dx = 2(p2� 1) y K11 = Z 1

0 11 + x dx = ln 2:

14As�� obtenemos u1 = h1 +K11u1 = 2(p2� 1)(1� 2 ln 2) :As��, por (1.9) una soluci�on es

u(x) = 1 + 2(p2� 1)px+ 1(1� 2 ln 2) :Observaci�on 1.2.5. El hecho de que las integrales (1.10) y (1.11) existan esesencial para resolver la ecuaci�on por n�ucleos separables. En efecto, veamosla siguiente ecuaci�onu(x) = h(x) + Z 1

0 (xy)�1=2u(y) dy:En este caso la integral K11 = Z 1

0 1x dx;diverge y no podemos formar u(x) utilizando (1.12). Ahora bien, esto noquiere decir que la ecuaci�on propuesta no tenga soluci�on. En efecto, unasoluci�on de la ecuaci�on integral es:u(y) = y para h(x) = x� x�1=2 Z 1

0 py dy:1.2.2. N�ucleo Resolvente

En esta secci�on, reemplazaremos el operador K0 por operadores cK0,donde c 2 K, con K cuerpo. Ahora, tenemos que el problema de hallar lasoluci�on de la ecuaci�on u = h+ cKu, que se puede reescribir como:(I � cK)u = h:

De�niendo M := I � cK, donde I es la matriz identidad, obtenemos demanera equivalente el problemaMu = h: (1.14)

15Denotaremos por D(c) al determinante de M .En lo que sigue supondremosque D(c) es distinto de cero, as�� M ser�a invertible.Sea C la matriz de los cofactores de M , ver [2], entonces tenemos que

CtM =MCt = ID(c):Dado que existe M�1, si denotamos M�1:= R(c) obtenemos que

R(c) = Ct=D(c);as�� la soluci�on para la ecuaci�on (1.14) ser�a u = R(c)h.Si fRijg son los coe�cientes de R(c), la ecuaci�on u = R(c)h es equivalente alsiguiente sistema algebraico:

uj = nXi=1 Rjihi:

Podemos entonces reescribir la soluci�on de la ecuaci�on integral u = h+ cK0ucomo sigue:u(x) = h(x) + nX

j=1 cfj(x)uj= h(x) + nX

j=1"cfj(x) nX

i=1 Rjihi# :Ya que por (1.10) hi = Z b

a gi(y)h(y) dy, se obtieneu(x) = h(x) + nX

j=1"cfj(x) nX

i=1 Rji Z ba gi(y)h(y) dy#

= h(x) + nXj=1

nXi=1�cZ b

a Rjifj(x)gi(y)h(y) dy�= h(x) + Z b

a"c nX

j=1nXi=1 Rjifj(x)gi(y)#h(y) dy:

16De�nici�on 1.2.6. Al t�ermino algebraico

R(x; y; c) := nXj=1

nXi=1 Rji(c)fj(x)gi(y):

lo llamaremos n�ucleo resolvente. Notemos que �este es tambi�en un n�ucleoseparable.As��, la soluci�on para nuestra ecuaci�on integral (1.2) es

u(x) = h(x) + Z ba cR(x; y; c)h(y) dy; (1.15)

que es an�aloga al sistema lineal algebraicou = f + cR(c): (1.16)

Observaci�on 1.2.7. Siguiendo la analog��a en la notaci�on utilizada en (1.3)podemos escribir (1.15) comou = (I + cR0)h;

as�� el operador I+cR0 coincide justamente con el operador inverso de I�cK0ya que u = (I � cK0)�1h.Ejemplo 1.2.8. Para ilustrar como obtener un n�ucleo resolvente utilizare-mos la siguiente ecuaci�on

u(x) = h(x) + cZ +1�1

e�x2�y2u(y) dy; (1.17)con n�ucleo separable k(x; y) = e�x2e�y2 .Identi�camos a f1(x) = e�x2 y a g1(y) = e�y2 . Luego el coe�ciente, K11de la matriz K es

K11 = Z +1�1

e�2x2 dx = 12p2p�;

17y as�� K = 12p2p�. Luego

M = 1� c12p2p�= 2� cp2p�2 ;

y entonces M�1 = 22� cp2p� ;para todo c distinto dep2=�. Por lo tanto el n�ucleo resolvente de la ecuaci�on(1.17) es R(x; y; c) = � 22� cp2p�� e�x2e�y2 :

Ahora bien, si h(x) = x entonces la soluci�on para la ecuaci�on (1.17) es deacuerdo a (1.15) lo siguienteu(x) = x+ Z +1

�1c� 22� cp2p�

� e�x2e�y2y dy= x+ c� 22� cp2p�

� e�x2 Z +1�1

e�y2y dy= x+ c� 22� cp2p�

� e�x2 � 0= x:Pero >qu�e ocurre si c =p2=�?. La primera respuesta, aunque obvia, es queM no posee inversa y por tanto el n�ucleo resolvente R(x; y; c) no existe. Lasegunda es que no podemos resolver la ecuaci�on por el m�etodo de n�ucleosseparables, puesto que K11 = 1 y u1 = h1 + K11u1 = 0 + u1 = u1 noobteniendo resultado alguno. Esto no quiere decir que la ecuaci�on (1.17)no tenga soluci�on. En efecto, para resolver la ecuaci�on podemos hacer losiguiente:

18Derivando (1.17) con respecto a x, y suponiendo que h es una funci�on deriva-ble, se tiene que

u0(x) = h0(x)� 2xce�x2 Z +1�1

e�y2u(y) dy= h0(x)� 2x(u(x)� h(x)):De�niendo g(x) := u(x)� h(x) obtenemos

g0(x) = �2xg(x);cuya soluci�on viene dada por

g(x) = eR x0 �2t dt+k= e�x2+k= Ae�x2 ; (A = ek):Por lo tanto la soluci�on general de la ecuaci�on (1.17) es

u(x) = h(x) + Ae�x2 :Tal como en el caso anterior si h(x) = x, obtendremos la soluci�on

u(x) = x+ Ae�x2 :1.2.3. Condiciones sobre la Existencia de Soluciones

Hasta el momento hemos estudiado como resolver las ecuaciones inte-grales (1.1) y (1.2), pero a�un no nos hemos detenido en el an�alisis de launicidad de las soluciones para tales ecuaciones. Dada la ecuaci�onKu = f;

19sin saber si �esta tiene alguna soluci�on o no, especulamos la posibilidad deque pueda tener dos soluciones distintas u1 y u2, entonces

Ku1 = fKu2 = f:

Restando las ecuaciones se obtiene:K(u1 � u2) = 0:

De�nimos ' := u1 � u2, obteniendo que la ecuaci�on K' = 0 tiene soluci�oncon ' = 0. De manera an�aloga suponemos dos soluciones distintas para laecuaci�on:u = f +Ku;

obteniendo as�� la ecuaci�on K' = ', lo que equivale a (I�K)' = 0. De�nien-do A := I �K se obtiene A' = 0;que es una ecuaci�on matricial. Luego

A' = A1'1 + A2'2 + A3'3 + : : :+ An'n = 0; (1.18)con An matriz, donde la n-�esima columna coincide con la n-�esima columnade la matriz A y el resto de las columnas se componen de 0, y 'n es lacomponente n-�esima del vector '. Luego obtenemos una combinaci�on linealde matrices An.

20Teorema 1.2.9 (Existencia de Soluci�on). Sea K una matriz y f unvector. Si (I �K)' = 0 s�olo para ' = 0, entonces existe una soluci�on de laecuaci�on u = f +Ku:Demostraci�on. Por hip�otesis Ker(I �K) = 0. Por el teorema de las dimen-siones, ver[2], se tiene que (I �K) es sobreyectiva y luego existe la inversade I � K, por tanto existe la soluci�on del sistema matricial (I � K)u = fque viene dada por u = (I �K)�1f:

De esta manera si la ecuaci�on integral K0' = ' se satisface s�olo para' = 0, entonces existe una soluci�on para la ecuaci�on integral u = f +K0u.El teorema anterior muestra que para las ecuaciones lineales algebraicas opara las ecuaciones integrales que consideramos anteriormente, podemos de-mostrar existencia de soluci�on de una ecuaci�on probando previamente unici-dad para otra.Ejemplo 1.2.10. Consideremos la ecuaci�on integral u = f+K0u con n�ucleo

k(x; y) = �Xi fi(x)fi(y): (1.19)Entonces la ecuaci�on K0' = 'es igual a: Z b

a k(x; y)'(y) dy = '(x)esto es: Z b

a �Xi fi(x)fi(y)!'(y) dy = '(x)

21�o �Xi

Z ba fi(x)fi(y)'(y) dy = '(x)

que es equivalente a�Xi fi(x)Z b

a fi(y)'(y) dy = '(x)de donde obtenemos

�Xi fi(x)Z ba fi(y)'(y) dy � '(x) = 0

que es lo mismo queXi fi(x)Z b

a fi(y)'(y) dy + '(x) = 0:Multiplicando por ' e integrando se obtiene:Z b

a Xi fi(x)hfi; 'i'dx+ Z ba '2 dx = 0

esto es, Z ba Xi fi(x)'hfi; 'i dx+ h'; 'i = 0

�o Xi hfi; 'ihfi; 'i+ h'; 'i = 0

que es equivalente a Xi hfi; 'i2 + h'; 'i = 0:

Como cada t�ermino del lado izquierdo es positivo, se tiene que estos t�erminosdeben ser iguales a 0, en particular h'; 'i = 0. Si ' es continua, entonces' = 0 es la �unica soluci�on de la ecuaci�on K0' = ', por tanto la ecuaci�onintegral u = f +K0u con n�ucleo (1.19) tendr�a una soluci�on.

22Observaci�on 1.2.11. El producto interno entre vectores u y v 2 Rn ser�a de-notado por el s��mbolo (u; v); esto es

(u; v) = nXi=1 uivi:Observaci�on 1.2.12. Si M es una matriz positiva de�nida, esto es

(u;Mu) > 0 si u 6= 0;entonces la ecuaci�on Mu = f posee soluci�on. En efecto, si M' = 0 entoncesla identidad (';M') = 0 implica que ' = 0. Ocupando el teorema anteriorobtenemos el resultado.Ejemplo 1.2.13. Como un caso concreto de la observaci�on anterior, veamosel siguiente problema:Consideremos una matriz M que tiene las componentes Mii = 2; Mi;i�1 = 1y los dem�as elementos son cero. Demostraremos que (x;Mx) = 0 s�olo cuandox = 0 de lo cual se puede inferir que la ecuaci�on Mu = f posee soluci�on. Enefecto, primero escribimos (x;Mx) como suma de cuadrados como sigue:

(x;Mx) = x1(2x1 + x2) + x2(x1 + 2x2 + x3) + x3(x2 + 2x3 + x4)+ x4(x3 + 2x4 + x5) + : : :+ xn�1(xn�2 + 2xn�1 + xn) + xn(xn�1 + 2xn) + 2x21 + 2x1x2+ 2x22 + 2x2x3 + 2x23 ++ : : :+ 2xn�1xn + 2x2n�1 + 2x2n= (2x21 + 2x22 + 2x1x2) + (2x23 + 2x24 + 2x3x4) + : : :+ (2x2n�1 + 2x2n + 2xn�1xn) ++ 2x2x3 + 2x4x5 + 2x6x7 + : : :+ 2xn�2xn�1:

23Veremos ahora que (x;Mx) = 0 s�olo cuando x = 0. En efecto, si (x;Mx) = 0entonces

(x;Mx) = (2x21 + 2x22 + 2x1x2) + (2x23 + 2x24 + 2x3x4) + : : :+ (2x2n�1 + 2x2n + 2xn�1xn) + 2x2x3 + 2x4x5+ 2x6x7 + : : :+ 2xn�2xn�1 = 0= (x21 + 2x1x2 + x22) + (x23 + 2x3x4 + x24) + : : :+ (x2n�1 + 2xn�1xn + x2n) + x21 + (x22 + 2x2x3 + x23)+ (x24 + 2x4x5 + x25) + (x26 + 2x6x7 + x27) + : : :++ (x2n�2 + 2xn�2xn�1 + x2n�1) + x2n = 0= (x1 + x2)2 + (x3 + x4)2 + : : :+ (xn�1 + xn)2+ (x2 + x3)2 + (x4 + x5)2 + (x6 + x7)2 + : : :+ (xn�2 + xn�1)2 + x21 + x2n = 0:Esto implica que xi = 0 para todo i = 1; 2; : : : ; n, es decir, x = 0.1.2.4. Condiciones de Fredholm

Supongamos que M' = 0 tiene soluci�on con ' 6= 0. Entonces existe almenos un vector columna de la matriz M , que es linealmente dependiente.Por simplicidad, supongamos que s�olo hay un vector ' excepto sus m�ulti-plos m'. Por el teorema de la dimensi�on el rango de M , Rang(M), tienedimensi�on n� 1. Esto implica que existe un vector no nulo tal que M = 0;

es decir, ( ;Mi) = 0 para cada i = 1; : : : ; n:

24Como Mi son las �las de la matriz M t, lo anterior se puede reescribir como

M t = 0:En resumen se tiene:

M' = 0 (' 6= 0) si y s�olo si M t = 0 ( 6= 0): (1.20)El resultado es que si M' = 0 tiene soluci�on distinta de cero entoncesMu = f puede tener soluci�on y esta no es �unica. De hecho, si hay algunasoluci�on u0, entonces la soluci�on general es

u = u0 +m'; donde m es una constante arbitraria;ya que por el teorema de la dimensi�on, Ker(M) tiene dimensi�on igual a uno.Si hay muchas soluciones linealmente independientes 'i (i = 1; 2; :::; k)de la ecuaci�onM' = 0 entonces hay muchas soluciones linealmente indepen-dientes i de la ecuaci�on M t = 0. Entonces Mu = f posee soluci�on si ys�olo si f satisface las condiciones de Fredholm:

( i; f) = 0:Si tiene soluci�on, digamos u0, entonces la soluci�on general es:

u = u0 + kXI=1 mi'i con k < n

donde los coe�cientes mi son arbitrarios.

25Teorema 1.2.14 (Condici�on de Fredholm). La ecuaci�on Mu = f tienesoluci�on si y s�olo si ( ; f) = 0, para cada 2 Ker(M t):Demostraci�on. Supongamos que la ecuaci�on Mu = f tiene soluci�on u, en-tonces ( ; f) = ( ;Mu) = (M t ; u) = (0; u) = 0:Rec��procamente, supongamos que ( ; f) = 0 para cada 2 Ker(M t): En-tonces f pertenece Ker(M t)? = Ran(M). As�� f pertenece al rango de M ,es decir, existe un u tal que Mu = f:Observaci�on 1.2.15. El teorema (1.2.14) tiene una contraparte inmediatapara la ecuaci�on integral (1.2) donde

h ; fi = Z ba (x)f(x) dx:

De�nici�on 1.2.16. De�nimos el operador integral transpuesto como(Kt0u)(x) = Z b

a kt(x; y)u(y) dy:Observaci�on 1.2.17. Se tiene que kt(x; y) = k(y; x). En efecto: si hu;K0vi =hKt0u; vi para cada v, entoncesZ b

a u(x)(K0v)(x) dx = Z ba (Kt0u)(x)v(x) dx: (1.21)

Ahora bien;Z ba u(x)(K0v)(x) dx = Z b

a u(x)Z ba k(x; y)v(y) dy dx = Z b

aZ ba u(x)k(x; y)v(y) dy dx:

Si intercambiamos las variables x por y, y las variables y por x y aplicandoel teorema de Fubini obtenemosZ ba u(x)(K0v)(x) dx = Z b

aZ ba k(y; x)u(y)v(x) dy dx:

26As��, de (1.21) tenemosZ b

aZ ba k(y; x)u(y)v(x) dy dx = Z b

a (Kt0u)(x)v(x) dx:Luego para cada v se tiene queZ b

a�Z b

a k(y; x)u(y) dy � (Kt0u)(x)� v(x) dx = 0;de donde se obtiene que

(Kt0u)(x) = Z ba k(y; x)u(y) dy;

es el operador integral Kt0 con n�ucleo kt(x; y) = k(y; x).Para ilustrar el Teorema (1.2.14) (ver observaci�on (1.2.15)), consideremosel siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2.18. Veamos la siguiente ecuaci�on con n�ucleo separable:u(x) = f(x) + 2 Z 1

0 (xy)1=2u(y) dy: (1.22)Ya que la ecuaci�on es de la formaM0u = f conM0 = I�K0 debemos analizar,de acuerdo al Teorema 1.2.14, Ker(I � Kt0). Supongamos que (1.22) tienedos soluciones y denotemos su diferencia por ', entonces

'(x) = 2Z 10 (xy)1=2'(y)dy (1.23)= cx1=2

donde c = 2Z 10 y1=2'(y) dy: Esto muestra que existe una soluci�on distinta decero de la ecuaci�on (I � K0)u = 0. N�otese que lo anterior implica que haytambi�en una soluci�on distinta a cero para la ecuaci�on

(x) = Z 10 (y)k(x; y) dy:

27En efecto:

(x) = Z 10 kt(x; y) (y) dy

= Z 10 k(x; y) (y) dy

= Z 10 (yx)1=2 (y) dy

= Z 10 k(x; y) (y) dy:

Como el operador K0 es sim�etrico, esto es k(x; y) = k(y; x), entonces (x) =x1=2 es tambi�en soluci�on de (1.22) (ver (1.19)).Finalmente concluimos del Teorema 1.2.14 (ver observaci�on 1.2.15) que laecuaci�on tiene soluci�on si y solo si ( ; f) = 0, es decirZ 10 f(x) (x) dx = 0 �o Z 1

0 f(x)x1=2 dx = 0:Observaci�on 1.2.19. Si resolvemos directamente la ecuaci�on (1.22), pode-mos ver como se origina la condici�on de Fredholm. En efecto, la ecuaci�on(1.22) es equivalente a

u(x)� f(x)2px = Z 10 y1=2u(y) dy:

Ahora, derivandou0(x) = f 0(x) + 212 1px Z 1

0 y1=2u(y) dyesto es: u0(x) = f 0(x) + 1px �u(x)� f(x)2px � ;�o u0(x) = f 0(x) + 12x(u(x)� f(x));

28lo que es equivalente a:

u0(x)� f 0(x) = 12x(u(x)� f(x)):Sea g(x) = u(x)� f(x), entonces se obtiene:

g0(x) = 12xg(x)de donde g(x) = px:Luego u(x) = px + f(x) es candidato a la soluci�on de (1.21). Ahora, paraque se cumpla la igualdad (1.21) se debe tenerpx+ f(x) = f(x) + 2 Z 1

0 (xy)1=2(py + f(y)) dyesto es px+ f(x) = f(x) + 2px�Z 1

0 y dy + Z 10 pyf(y) dy� ;

�o px+ f(x) = f(x) + 2px�12 + Z 10 pyf(y) dy�

lo que es igual a px = px+ 2pxZ 10 pyf(y) dy

�o 0 = 2pxZ 10 pyf(y) dy:

Esto implica que Z 10 pyf(y) dy = 0

o equivalentementeZ 10 pyf(y) dy = Z 1

0 (y)f(y) dy = ( ; f) = 0;de donde se obtiene la condici�on de Fredholm.

291.3. N�ucleos No Separables1.3.1. Normas

De�nici�on 1.3.1. Si en un espacio vectorial E se puede de�nir una funci�onk � k que cumple con las condiciones1. kvk > 0 si v 6= 02. kcvk = jcjkvk3. ku+ vk � kuk+ kvk,

para todo u; v 2 E y c 2 K, entonces el espacio E se dice normado y lafunci�on k � k la llamamos norma.Para un vector v 2 Rn de�nimos la expresi�on

kvk = m�axi jvij:La cual puede veri�carse que es una norma, de acuerdo a la de�nici�on ante-rior.Para de�nir la norma de una matriz K, realicemos lo siguiente:Sea B(K) un n�umero cualquiera, calculado sobre las componentes de K, talque kKvk � B(K)kvkpara todo v. Llamamos B(K) un coe�ciente de acotamiento o simplementecota. La mejor elecci�on de B(K) es que sea lo su�cientemente peque~no paraque cumpla con la desigualdad. Llamamos a tal B(K) la norma de K (de

30hecho, se puede demostrar que lo es cuando se encuentra una representaci�onde este n�umero) y la denotamos por kKk. Entonces:

kKvk � kKkkvk;con la igualdad para alg�un v 6= 0.Proposici�on 1.3.2. La norma de la matriz K es:

kKk = m�axi Xj jKijj:

Demostraci�on. Usando la desigualdad triangular obtenemos lo siguiente:j(Kv)ij = �����Xj Kijvj����� �Xj jKijjjvjj:

Como kvk es m�as grande que cada uno de los valores jvjj, obtenemosj(Kv)ij � Ri(K)kvk;

donde Ri(K) =Xj jKijj:Nos referimos a Ri(K) como suma absoluta de la �la. Entonces

kKvk = m�ax j(Kv)ij � kvk(m�axRi):Esto prueba que la kKk � maxi X

j jKijj: Para probar que kKk = maxi Xj jKijjnecesitamos ver que un vector v cumpla con la igualdad: kKvk = Ri(K)kvk.Sea m el n�umero de la �la con la suma absoluta m�as grande. De�nimos lafunci�on signo por

sgn(x) :=8>>><>>>:

1; x > 0;0; x = 0;�1; x < 0.

31Tomando vj = sgn(Kmj) se tiene kvk = 1 y

(Kv)m =Xj jKmjjentonces kKvk = Rm(K), y podemos concluir que:

kKk = m�axi Xj jKijj:

Observaci�on 1.3.3. Para cada n 2 N, kKnk � kKkn. En efecto: Paracualquier coe�ciente de acotamiento B(K), se tiene:kKKvk � B(K)kKvk � B(K)B(K)kvk:

Por otra parte:kKKvk � B(KK)kvk:

As��kKKk � kKkkKk:

De lo anterior obtenemos, por inducci�onkKnk � kKkn:

Observar que en general kKnk es estrictamente m�as peque~na que kKkncomo veremos en el ejemplo (1.3.14).Proposici�on 1.3.4. El conjunto de todas las funciones u tales que

kuk = supx ju(x)j <1;es un espacio normado, con norma kuk.

32Demostraci�on. Es claro que kuk > 0 y que kcvk = jcjkvk. Adem�as comosup ju(x) + v(x)j � sup ju(x)j + sup jv(x)j se obtiene la condici�on (3) paraque kuk sea una norma.De�nici�on 1.3.5. La norma asociada al operador integral K0 es

kK0k = supx Z ba jk(x; y)j dy

El cual es el an�alogo al m�aximo absoluto de la �la en caso que K0 fuese unamatriz.1.3.2. M�etodo de Schmidt

De�nici�on 1.3.6. Diremos que el operador K0 de�nido en (1.3) es peque~nosi su norma es menor que 1 y, en tal caso al correspondiente n�ucleo le lla-maremos n�ucleo peque~no.Supongamos que un n�ucleo k(x; y) se puede escribir como

k(x; y) = s(x; y) + e(x; y) (1.24)donde s es separable y donde e es peque~no, entonces la ecuaci�on integral desegundo tipo (1.2) puede ser resuelta como sigue: Siguiendo la analog��a en lanotaci�on (1.3) la ecuaci�on reescrita es

u = h+ S0u+ E0uesto es,

(I � E0)u = h+ S0u:Asumimos, por el momento, que podemos encontrar el inverso de (I�E0)�1.Entonces se tiene:

u = h� + S�0u (1.25)

33donde h� = (I � E0)�1h, S�0 = (I � E0)�1S0.Como s es un n�ucleo separable, entonces s tiene la siguiente forma:

s(x; y) = nXi=1 fi(x)gi(y):Luego s�(x; y) = nXi=1 f �i (x)gi(y);donde f �i = (I � E)�1fi.

Por lo tanto, para resolver la ecuaci�on integral (1.2) inicial, s�olo tenemosque resolver la ecuaci�on separable (1.25).Observaci�on 1.3.7. Si kE0k < 1, entonces la inversa de (I � E0) puedeser calculada formalmente por medio de series. Estas series son las llamadasseries de Neumann:

(I � E0)�1 = I + E0 + E20 + E30 + :::1.3.3. M�etodos de aproximaci�on por N�ucleos Separa-

bles

Generalmente el n�ucleo de la ecuaci�on (1.1) no es un n�ucleo separable, porende est�a ecuaci�on no podr��a ser resuelta utilizando la Teor��a de Fredholm.A continuaci�on mostraremos, sin ser rigurosos, tres diferentes m�etodos paraaproximar estos tipos de n�ucleos por n�ucleos separables.Aproximaci�on por Punto Medio.Sea [0,1] el intervalo de integraci�on, y lo dividimos en n partes iguales for-mando una partici�on P dada por:�m� 1n ; mn� con m = 1; : : : ; n:

34De�nimos km(x) = k�x;�m� 12� 1n� :Consideremos la funci�on

um(y) = 8<: 1; y 2 �m�1n ; mn �;0; y =2 �m�1n ; mn �.As��, el n�ucleo k(x; y) lo aproximamos, puntualmente en su segunda variabley, por k(x; y) = nXm=1 km(x)um(y) + e(x; y)

que es un n�ucleo separable m�as uno pequen̂o en alg�un sentido.De esta manera la ecuaci�on de segundo tipo la podemos reescribir comou(x) = h(x) + Z 1

0nX

m=1 km(x)um(y)u(y) dy= h(x) + nXm=1 km(x)

Z (m=n)(m�1)=n u(y) dy:

Aproximaci�on por Coe�cientes de Fourier.Supongamos que k(x; y) est�a de�nido en [��; �] � [��; �] y de�namos lafunci�on um(y) = eimy y los coe�cientes de Fourier de la funci�on y ! k(x; y)como km(x) = 12� Z ��� k(x; y)e�imy dy:

Podemos aproximar k(x; y) por el n�ucleo separablek(x; y) = nX

m=�n km(x)um(y) + e(x; y)

35Notemos que la aproximaci�on obtenida es diferenciable en y y se tiene quela ecuaci�on de segundo tipo se puede escribir como

u(x) = h(x) + Z 10

nX�n kk(x)eimyu(y) dy

= h(x) + nX�n� 12� Z �

�� k(x; s)e�ims ds�Z 10 eimyu(y) dy:

Detalles sobre el sentido formal de la aproximaci�on indicada anteriormentese estudiar�a en el capitulo siguiente.Aproximaci�on por PolinomiosSea k(x; y) un n�ucleo continuo y [0; 1] el intervalo de integraci�on, por el teore-ma de Stone-Weierstrass existe un polinomio p(x; y; ") tal que para cualquier0 � x; y � 1 se tiene que jk(x; y) � p(x; y; ")j < ": Esto es, p es una aproxi-maci�on separable para el n�ucleo k(x; y), y p tiene la siguiente formap(x; y; ") =Xn kn(x; ")yn;

donde las funciones kn son polinomios.Luego, podemos escribir la ecuaci�on de segundo tipo comou(x) = h(x) + Z 1

0 p(x; y; ")u(y) dy= h(x) +Xn kn(x; ")Z 1

0 ynu(y) dy:Finalmente, utilizando cualquiera de los m�etodos u otros, seg�un sea laecuaci�on integral que se tenga, el problema se reduce a un sistema de ecua-ciones algebraicas tal como hemos estudiado anteriormente.

1.3.4. Iteraci�on por medio de Series de Neumann

Sea c 2 C y K una matriz. A �n de resolver la ecuaci�on u = f + cKupodemos realizar lo siguiente. Se de�ne una sucesi�on (un) de manera recursiva

36a trav�es de la f�ormula

un+1 = f + cKun; (1.26)donde u0 es arbitrario. Por la igualdad (1.26) obtenemosun = f + cKun�1 = f + cK(f + cKun�2) = f + cKf + c2k2un�2= f + cKf + c2K2(f + cKun�3) = f + cKf + c2K2f + c3K3un�3;

y de forma sucesiva obtenemos:un = f + cKf + c2K2f + c3K3f + :::+ cn�1Kn�1f + cnKnu0:

Lo anterior sugiere que:u = f + 1X

n=1 cnKnf: (1.27)Observamos que el par�ametro c puede variar el tama~no de la matriz K.Nos preguntamos: >Cu�an peque~no debe ser c para que la serie anterior seaconvergente?Proposici�on 1.3.8. La serie 1X

n=0 cnKnf es convergente si kcKk < 1 y kfk <1.Demostraci�on. Sea SN = N�1X

n=0 cnKnf . Como kcKk < 1, con N < M , ykfk <1 se tiene

kSM � SNk = MXn=N cnKnf � MX

n=N jcjnkKnkkfk � MXn=N jcjnkKknkfk;

donde kfk MXn=N jcjnkKkn �! 0, cuando N y M tienden a in�nito. Ya que(SN) es una sucesi�on de Cauchy en el espacio vectorial de la matrices, elcual asumimos completo con la norma dada, se obtiene que 1X

n=0 cnKnf esconvergente.

37De�nici�on 1.3.9. Llamamos serie de Neumann a la serie obtenida en laProposici�on 1.3.8.

En la siguiente proposici�on demostraremos que 1Xn=0 cnKn coincide con(I � cK)�1.

Proposici�on 1.3.10. Si kcKk < 1 entonces(I � cK) 1X

n=0 cnKn = 1Xn=0 cnKn(I � cK) = I:

Demostraci�on. En efecto(I � cK) 1X

n=0 cnKn = 1Xn=0 cnKn � 1X

n=0 cn+1Kn+1= I + 1X

n=1 cnKn � 1Xn=0 cn+1Kn+1 = I:

An�alogamente 1Xn=0 cnKn(I � cK) = I:

Observaci�on 1.3.11. La Matriz R(c) asociada al operador que posee N�ucleoResolvente (ver Subsecci�on 1.2.2) correspondiente a la soluci�on de la ecuaci�onu = f + cKu coincide con la serie 1Xn=0 cnKn. En efecto: De (1.27) obtenemos

u = f + 1Xn=1 cnKn! f = I + 1X

n=1 cnKn! fPor otra parte, de (1.16) se tiene que u = (I + cR(c))f , luego cR(c) coincideexactamente con la serie 1X

n=1 cnKn.

38Observaci�on 1.3.12. La condici�on de que jcjkKk < 1 en muchos casos nose tiene, sin embargo la serie de Neumann a�un converge si reemplazamos lacondici�on anterior por jcj2kK2k < 1:En efecto, como kKk � kK2k obtenemos la siguiente desigualdad

1Xn=1 jcjnkKknkfk �

1Xn=1 jcj2nkK2knkfk:

As�� la serie de la izquierda tambi�en converge cuando jcj2kK2k < 1:Lo anterior se resume en la siguiente proposici�on.

Proposici�on 1.3.13. Para que la serie de Neumann sea convergente es su-�ciente que jcjnkKnk < 1 para alg�un n 2 N:Demostraci�on. Es claro que si kcnKnk < 1 para alg�un n 2 N entonces se tieneque la serie de Neumann es convergente, s�olo basta tomar la demostraci�onen la observaci�on anterior y cambiar la potencia de kcKk.Ejemplo 1.3.14. Analicemos el siguiente ejemplo, dadas las matrices

K = 0@ 0 �1�2 31A ; K2 = 0@ 2 �36 11

1Aobtenemos kKk = j � 2j + j3j = 5 y kK2k = j6j + j11j = 17, si jcjkKk < 1entonces jcj < 15 = 0; 2 pero si jcj2kK2k < 1 entonces jcj < 1p17 � 0; 24:::De esto concluimos que si jcj2kK2k < 1 y kK2k < kKk2 entonces obtenemosuna mejor cota para c, esto pues

jcjkK2k1=2 < 1:

39Ejemplo 1.3.15. Analizaremos las condiciones para que la matriz

K = 0@ 1 10 11A

posea serie de Neumann convergente.Vemos queKn = 0@ 1 n0 1

1Ade esto obtenemos por la Proposici�on 1.3.10

(I � cK)�1 =0BBB@

1 + 1Xn=1 cn

1Xn=1 ncn0 1 + 1X

n=1 cn1CCCA ;

siempre que jcj < 12 , luego(I � cK)�1 =

0B@ 11� c c(1� c)20 11� c1CA :

Esto �ultimo lo podemos comparar con la condici�on su�ciente kcnKnk < 1para que la serie anterior converja. En efecto, usando Proposici�on 1.3.2kcnKnk = jcnjkKnk = jcnj(n+ 1) < 1;

entonces jcj < 1npn+ 1 :Observar que si n = 1 se tiene jcj < 0; 5 como antes. Ahora, si n = 2 se tienejcj < 1=p3 � 0; 58 que es mejor que la anterior y as�� sucesivamente.

40Ejemplo 1.3.16. Se de�ne k � k1 de la matriz K como sigue

kKk1 = maxj Xi jKijj;

es f�acil veri�car que k � k1 es norma.Ahora comparemos las cotas encontradas a trav�es de suponer que jcjkKk1 < 1y jcj2kK2k1 < 1. Dada la matrizK = 0@ 0 �1�2 3

1A ;obtenemos kKk1 = 4 y kK2k1 = 14: Entonces se tiene que

jcj < 0; 25 y jcj < 0; 2673 : : : ;respectivamente. De esto podemos concluir que se obtiene una mejor cotautilizando la condici�on jcj2kK2k1 < 1 ya que el rango de valores de c seamplia y por ende el radio de convergencia de la serie de Neumann tambi�enlo hace.1.3.5. Convergencia Uniforme de la serie de Neumann

A continuaci�on estudiaremos la soluci�on de la ecuaci�on integral u = f +cK0u, donde K0 es el operador de�nido en (1.1.3) para tal efecto utilizaremoslas normas de�nidas en De�niciones 1.3.4 y 1.3.5, llamadas tambi�en normasde convergencia uniforme.Anteriormente observamos que, para que la serie de Neumann converja, essu�ciente que jcjkKk < 1,(ver Proposici�on 1.3.8) en tal caso no se ocuparonlas propiedades particulares de la norma asociada a una matriz.Proposici�on 1.3.17. Si la norma de f es �nita y adem�as jcjkK0k < 1,entonces la soluci�on u de la ecuaci�on (1.2) existe.

41Demostraci�on. De acuerdo a la sucesi�on de�nida en (1.26), con K0 en lugarde K, tenemos que para cada " > 0; la sucesi�on un := nX

j=0 cjKjf satisfacekum � unk < ";

para cada m > n: Ya que el espacio vectorial de las funciones con la nor-ma de�nida es completo (ver[4]), entonces la serie de Cauchy es una serieconvergente, es decir, existe una funci�on u tal quekun � uk ! 0; cuando n!1

en particular esto signi�ca que un converge uniformemente a la soluci�on u.En particular se tiene el siguiente resultado.

Corolario 1.3.18. Si jcjnkKnk < 1 para alg�un n 2 N, entonces la sumaparcial un = nXk=1 cnKnf converge uniformemente a la soluci�on l��mite u.

Ejemplo 1.3.19. Para la ecuaci�on: u(x) = f(x) + c Z 10 k(x; y)u(y) dy anali-zamos dos casos en que la norma del operador asociado a K0 es menor que1 y, as�� la serie de Neumann converge uniformemente a la soluci�on u.

1. k(x; y) = sin(xy): Como 0 < x < 1 entonces xy < y de donde sin(xy) <sin(y). De esto se tiene que:kK0k = supx Z 1

0 j sin(xy)j dy � Z 10 sin y dy = 1� cos(1) < 1:

Concluimos que la serie de Neumann converge uniformemente a u.

422. k(x; y) = 2jx� yj. En primer lugar calculamos la norma de K0:

kK0k = supx Z 10 2jx� yj dy

� supx 2�Z 10 jxj dy + Z 1

0 jyj dy� = supx 2x+ 1 � 3:Ya que la norma no es directamente menor que 1, calcularemos la normade K20 :

kK20k = supx Z 10Z 10 4jx� zjjz � yj dz dy

= supx 4 Z 10 jx� zj�Z z

0 jz � yj dy + Z 1z jz � yj dy� dz;

dondeZ z0 jz�yj dy+Z 1

z jz�yj dy = Z z0 z�y dy+Z 1

z �z+y dy = �z+12+z2;por lo tanto:kK20k = supx 4 Z 1

0 jx� zj��z + 12 + z2�= Z x

0 (x� z)��z + 12 + z2� dz + Z zx (z � x)��z + 12 + z2� dz

= supx 4�3x2 � 2x3 + x42 + 1� 2x+ 3x2 � 2x3 + x46 �= supx 4�1� 2x+ 3x2 � 2x3 + x46 � = 23 :De lo anterior tenemos que kK20k < 1 lo que nos asegura la convergenciauniforme de la serie de Neumann a u.

Ejemplo 1.3.20. Dada la ecuaci�onu(x) = f(x) + cZ 1

0 ex�yu(y) dy

43encontraremos los valores de c para que la serie de Neumann converja. Paraesto resolvemos la ecuaci�on directamente.Derivando con respecto a x obtenemos:

u0(x) = f 0(x) + cex Z 10 e�yu(y) dy = f 0(x) + u(x)� f(x):

De�niendo g(x) := u(x)� f(x) obtenemos la ecuaci�on:g0(x) = g(x):

As�� la soluci�on para la ecuaci�on inicial es u(x) = ex + f(x).Comparando �esta con la soluci�on u = f + 1X1 cnKn0 f; desprendemos que

1 = e�yf(x) 1Xn=1 cn;por tanto para que esta serie converja se debe tener que jcj < 1.Ahora bien aplicando la de�nici�on de norma sobre el operador integral K0se tiene que:

kK0k = supx Z 10 jex�yj dy = supx ex[�e�y]10 = supx ex�1� 1e�

As�� kK0k < e. Suponiendo jcjkK0k < 1 se tiene que jcj < 1e � 0; 3679.Al comparar las dos formas que hemos utilizado para encontrar el valor de c,observamos que no hay una diferencia signi�cativa para este valor, es decir,se conserva la condici�on de que jcj < 1, para que la ecuaci�on inicial poseasoluci�on.Observaci�on 1.3.21. .1. Si f es una funci�on continua y K0u es continua para cualquier u en-tonces la soluci�on u es continua.

442. Si K0 es un operador continuo y f es un funci�on discontinua entoncesu� f = K0u es continua, es decir, u tiene las mismas discontinuidadesque f .

Teorema 1.3.22. Si la norma de f es �nita y la norma de K0 es menor que1 entonces la ecuaci�on integral u = f + K0u tiene soluci�on cuya norma estambi�en �nita.Demostraci�on. Ya que kK0k < 1, la serie de Neumann de�ne el operadorinverso (I �K0)�1 = I +K0 +K20 +K30 + :::Ahora si la norma de f es �nita, la ecuaci�on u = f +K0u tiene soluci�on

u = (I �K0)�1fdonde la norma de u es tambi�en �nita, ya que

kuk � k(I �K0)�1kkfk <1:

1.3.6. Condiciones para la Existencia y Unicidad de la

soluci�on de la ecuaci�on con N�ucleos Peque~nos

La notaci�on u = (I � K0)�1f pareciera implicar que existe una �unicasoluci�on para la ecuaci�on u = f +K0u, pero no necesariamente es el caso.Recordemos que la ecuaci�on K' = ' es equivalente a la ecuaci�on u = f+Kuque tiene soluciones u1 y u2 con ' = u1 � u2, (u1 6= u2). Con respecto a esta�ultima observaci�on, tenemos el siguiente teorema

45Teorema 1.3.23. Si la norma del operador K0 es menor que uno y la normade ' es �nita, entonces la ecuaci�on u = f +K0u tiene �unica soluci�on.Demostraci�on. Supongamos que la ecuaci�on u = f+K0u tiene dos solucionesdigamos u1, u2 con u1 6= u2 entonces restando, se obtiene la ecuaci�on

K' = '; ' 6= 0:Ahora, aplicando la norma a la ecuaci�on anterior y usando el hecho quekK0k < 1 obtenemos:

k'k = kK0'k � kK0kk'k < k'kdonde se tiene una contradicci�on que nace del supuesto u1 6= u2; as�� se tieneque ' = 0, por tanto u1 = u2. As��, la ecuaci�on u = f +Ku tiene una �unicasoluci�on.

Veamos el siguiente ejemplo que ilustra la importancia de que la normade ' sea �nita.Dado el n�ucleok(x; y) := 8<: yx�y; 0 � y � x � 10; 0 � x < y � 1Calculamos la norma de K0:

kK0k = supx Z 10 jk(x; y)j dy = supx

�Z x0 jk(x; y)j dy + Z 1

x jk(x; y)j dy�= supx Z x

0 yx�y dy:Dado que x� y � 1 con y � 0 entonces podemos acotar la integral anteriorpor: kK0k � supx Z x

0 y dy = 12 < 1:

46As��, kK0k < 1. Sea '(x) = xx�1 entonces su norma es

k'k = supx jxx�1j =1:Como la norma de ' es divergente la ecuaci�on u = f + K0u asociada alproblema posee m�as de una soluci�on, incluso cuando kK0k < 1.Anteriormente vimos que si k(x; y) = s(x; y)+e(x; y) donde s(x; y) es separa-ble y e(x; y) es peque~no, entonces la ecuaci�on u = f+K0u puede ser reducidaa un sistema de ecuaciones lineales algebraicas. De esto se desprende que elespacio de las funciones con norma �nita kuk < 1 son en cierto sentido`cercanamente'de dimensi�on �nita.

A �n de precisar como podemos ampliar la clase de n�ucleos k(x; y) pro-cederemos como sigue: Escribimosk(x; y) = c(x; y) + e1(x; y)

donde c(x; y) es una funci�on continua en un conjunto cerrado [a; b]� [a; b].Teorema 1.3.24. Sea k(x; y) = c(x; y) + e1(x; y) con c funci�on continuay e1 peque~no, entonces el n�ucleo anterior se puede escribir como k(x; y) =s(x; y) + e(x; y) donde s es separable y e es peque~no.Demostraci�on. .Sean K0(u)(x) = Z b

a k(x; y)u(y) dy;C0(u)(x) = Z b

a c(x; y)u(y) dy y E1(u)(x) = Z ba e1(x; y)u(y) dy: Ya que c escontinua en [a; b]� [a; b]; se tiene que

kC0k = supx Z ba jc(x; y)j dy <1:

47Luego: kK0k = kC0 + E1k � kC0k+ kE1k <1:Por otra parte la continuidad de c implica, por el Teorema de aproximaci�onde Stone Weierstrass ver [1], que c(x; y) puede ser aproximada uniformementepor un polinomio p(x; y), esto es:

c(x; y) = p(x; y) + e2(x; y)donde e2(x; y) se elige de manera que kE2k < 1� kE1k.Sea e(x; y) = e1(x; y) + e2(x; y) entonces podemos escribirh(x; y) = c(x; y) + e1(x; y)= p(x; y) + e1(x; y) + e2(x; y)= p(x; y) + e(x; y);

donde kEk = kE1 + E2k � kE1k+ kE2k < 1 y p(x; y) es separable.El teorema anterior nos sirve para ampliar los n�ucleos de la forma k =c+ e1 que cumplan con las condiciones de la teor��a de Fredholm.

Observaci�on 1.3.25. Existe la posibilidad de que e1 posea in�nitas discon-tinuidades en su dominio, pero a�un as�� kE1k < 1.Con respecto a la observaci�on anterior, veamos el siguiente ejemploSean k(x; y) = jx� yj� 12

y c(x; y) = (jx� yj+ ")� 12

entonces e1(x; y) = k(x; y) � c(x; y) tiene in�nitas discontinuidades en sudominio, pero kE1k < 1.

Cap��tulo 2Teor��a de Fredholm en espaciosde Lebesgue

Existen funciones y operadores cuyas normas (dadas en Proposici�on 1.3.4y De�nici�on 1.3.5, respectivamente) divergen, con lo cual los m�etodos an-teriormente presentados no pueden ser utilizados. Es por esto que el pre-sente cap��tulo tendr�a como motivaci�on encontrar nuevas normas tales que lateor��a de Fredholm siga siendo v�alida, ampliando la gama de t�erminos no-homog�eneos y n�ucleos que puedan ser utilizados para resolver una ecuaci�ondel segundo tipo.La de�nici�on de integral que utilizaremos (a menos que se indique locontrario) ser�a la integral de Lebesgue, dada su generalidad y propiedadesque la integral de Riemann no posee.

48

492.1. Funciones Absolutamente IntegrablesDe�nici�on 2.1.1. Una funci�on u se dice absolutamente integrable en [a; b]si

kuk1 = Z ba ju(x)j dx <1: (2.1)

Observaci�on 2.1.2. Se veri�ca que kuk1 = 0 s�� y solo s�� u(x) = 0 para cadax 2 [a; b] que no est�e en un conjunto de medida nula.Se denota por L1[a; b] al espacio vectorial de todas las funciones quecumplan con la De�nici�on 2.1.1, donde u = v s�� y s�olo s�� u(x) = v(x) paracada x que no est�e en un conjunto de medida nula.

Proposici�on 2.1.3. La funci�on k � k1 es una norma.Demostraci�on. Para tal efecto se deben cumplir las condiciones de la De�ni-ci�on 1.3.1.(1) se obtiene directamente de la observaci�on (2.1.2), mientras que (2) y (3)son f�acilmente veri�cables. As��, k � k1 es una norma.

En lo que sigue, analizaremos las soluciones para la ecuaci�on integralu = f +K0u cuando f est�a en L1[a; b].Proposici�on 2.1.4. Si y ! k(x; y) es continua, entonces

kK0k � supyZ ba jk(x; y)j dy:

50Demostraci�on. En efecto,

kK0uk1 = Z ba j(Ku)(x)jdx = Z b

a����Z b

a k(x; y)u(y) dy���� dx� Z b

aZ ba jk(x; y)jju(y)j dy dx = Z b

a ju(y)j Z ba jk(x; y)j dx dy

� Z ba ju(y)j supy Z b

a jk(x; y)j dx dy= supy

Z ba jk(x; y)j dx kuk1:

Observaci�on 2.1.5. Si y ! k(x; y) no es continua, se tiene que kK0k �ess sup Z ba jk(x; y)j dx, donde ess sup denota supremo esencial (ver [1]).

A �n de resolver la ecuaci�on u = f + cK0u, basta tener que kcK0k < 1:Esto se ha demostrado en la Proposici�on 1.3.8 donde s�olo se utilizaron laspropiedades generales de norma. De esta manera la soluci�on u es:u = f + 1X

n=1 cnKn0 f:A �n de probar que esta soluci�on pertenece al espacio L1, formamos la suce-si�on un de la siguiente forma:

un = nXi=0 ciKi0f:

y observamos que (un) es una sucesi�on de Cauchy, por lo estudiado en laSecci�on 1.3.5. Como L1 es completo, ver [4], esta sucesi�on converge a u, lacual es la soluci�on para la ecuaci�on u = f + cK0u. As��, u pertenece a L1.Ejemplo 2.1.6. Para ilustrar como esta nueva norma ampl��a los tipos defunciones f y k que podemos ocupar, analicemos la siguiente ecuaci�on

u(x) = x�1=2 + Z 10 (x� 1)�1=3u(y) dy: (2.2)

51En primer lugar observamos que

kfk = supx2[0;1] jx�1=2j = supx2[0;1] 1px;de donde vemos que kfk diverge, lo mismo ocurre parakK0k = supx2[0;1] j(1� x)�1=3j = supx2[0;1] 1

3p1� x;as�� la ecuaci�on (2.2) no tiene soluci�on utilizando la norma del supremo. Alcontrario si calculamos kfk1 y kK0k1 obtenemoskfk1 = Z 1

0 jx�1=2j dx = 2;kK0k � supy2[0;1]

Z 10 j(1� x)�1=3j dx = 32 :Ya que ambas normas son �nitas concluimos que la ecuaci�on (2.2) tienesoluci�on y �esta pertenece a L1(0; 1).

2.2. Funciones de Cuadrado IntegrableDe�nici�on 2.2.1. Una funci�on u se dice de cuadrado integrable en [a; b] si

kuk2 = �Z ba u2(x) dx� <1: (2.3)

Se denota por L2[a; b] al espacio vectorial de todas las funciones quecumplan con la De�nici�on 2.2.1, donde u = v si y s�olo si u(x) = v(x) paracada x que no est�e en un conjunto de medida nula.Observaci�on 2.2.2. Otra manera de de�nir L2[a; b] es considerando la clausuradel espacio de las funciones continuas de�nidas en el intervalo [a; b] con lanorma kfk = �Z b

a jf(x)jdx�1=2 :

52Proposici�on 2.2.3. La funci�on k � k2 es una norma.Demostraci�on. An�aloga a la proposici�on (2.1.3)

Analizaremos las soluciones para la ecuaci�on integral u = f+K0u cuandof est�a en L2[a; b].Proposici�on 2.2.4.

kK0k � �Z baZ ba jk(x; y)j2 dydx�1=2 :

Demostraci�on. Si u est�a L2[a; b] entonceskK0uk22 = Z b

a (K0u)2(x) dx = Z ba�Z b

a k(x; y)u(y) dy�2 dx = Z ba hk(x; �); ui dx� Z b

a kk(x; �)k22 kuk22 dx = kuk22 Z ba kk(x; �)k22 dx;

ahora si B2(K0) = Z ba kk(x; �)k22 dx entonces

kK0uk2 � B(K0)kuk2:Observaci�on 2.2.5. Notemos que B(K0) < 1 implica kK0k < 1, as�� laecuaci�on u = f +K0u tiene soluci�on. Esta soluci�on se encuentra en L2[a; b],puesto que este espacio es completo, ver [4].

Los siguientes teoremas complementan la demostraci�on del Teorema Fischer-Riesz que es una herramienta �util para construir funciones de cuadrado in-tegrable a partir de vectores de dimensi�on in�nita, el cual nos permite llevarla teor��a de Fredholm a este tipo de espacios vectoriales.

53Teorema 2.2.6 (Beppo Levi). Sea (fn(x)) una sucesi�on de funciones, talqueX fn(x) es absolutamente convergente, c:t:p:, con l��mite f(x), entoncesf(x) es integrable, y Z f(x) dx =XZ fn(x) dx:Teorema 2.2.7 (Fatou). Sea (fn(x)) una sucesi�on de funciones, tal quefn(x) � 0 para cada n 2 N y fn(x) ! f(x) c:t:p: con Z fn(x) dx < b, paraalg�un b 2 R, entonces f(x) es integrable y Z f(x) dx < b.Teorema 2.2.8 (Fischer-Riesz). Si f = (f1; f2; : : : ) es un vector de di-mensi�on in�nita con kfk2 = 1X

n=1 f 2n <1 entonces f de�ne una funci�on g enL2 tal que g = 1X

n=1 fnun;donde fung es un sistema ortonormal completo.Demostraci�on. Sea Sn(x) la n-�esima suma parcial de la serie 1X

i=0 fiui(x) y Lla longitud del intervalo sobre el cual se integra. De esta manerakSm � SnkL1 = Z ����� mX

i=n+1 fiui(x)����� dx �

�Z 12 dx�1=20@Z ����� mXi=n+1 fiui(x)

�����2 dx

1A1=2

= L1=2kSm � SnkL2 = L1=2h mXi=n+1 fiui(x);

mXj=n+1 fjuj(x)i

= L1=2 mXi=n+1

mXj=n+1 fifjhui; uji = L1=2 n+1X

i=1 f 2i ;donde n+1X

i=1 f 2i ! 0 cuando n;m ! 1. As��, Sn es una sucesi�on de Cauchy.Dado que L1 es completo, por Teorema de Beppo Levi, Sn es una sucesi�on

54convergente con l��mite g en L1. De esto se tiene que Sn es una suma parcialacotada, con cota k. Ahora, si hacemosZ S2n(x) dx = Z nX

i=1 fiui!2 dx < Z k2 dx <1

y como S2n ! g2; n ! 1 completamos las hip�otesis del teorema de Fatou.Por tanto g es una funci�on de cuadrado integrable.2.2.1. Descomposici�on de N�ucleos

En el m�etodo de Schmidt se supone que un n�ucleo k(x; y) se puede de-scomponer comok(x; y) = s(x; y) + e(x; y); x; y 2 [a; b];

donde s es separable y e es peque~no. En esta secci�on veremos como lograresta descomposici�on en el caso del espacio L2[a; b], con la �unica restricci�onque k(x; y) sea continua.La idea es escribir:k(x; y) = X

jnj<N kn(x)einy + Xjnj�N kn(x)einy;

donde kn(x) = 12� Z ��� k(x; y)e�iny dy son los coe�cientes de Fourier de lafunci�on y �! k(x; y) con x �jo. (ver [1]).El uso de los coe�cientes de Fourier tiene una motivaci�on especial. Si aproxi-mamos una funci�on f , primero por medio de una combinaci�on lineal arbi-traria y luego utilizando coe�cientes de Fourier, obtenemos respectivamente:

f(x) = NXn=1 cnun(x) + E(x); f(x) = NX

n=1 fnun(x) + e(x);

55donde un es cualquier sistema ortonormal completo. Si hacemos la diferenciaentre los t�erminos anteriores, encontramos

E(x) = NXn=1(fn � cn)un(x) + e(x)

que corresponde al tama~no del error. Ahora, si calculamos kEk22 obtenemoskEk22 = k NX

n=1(fn�cn)un+ek22 = kek22+2he; NXn=1(fn�cn)uni+k

NXn=1(fn�cn)unk22:

Observemos que e es ortogonal a f �X fnun ya quehf �X fmum;X(fn � cn)uni = hf �X fmum;X fnun �X cnuni= hf;X fnuni � hf;X cnuni � hX fmum;X fnuni+ hX fmum;X cnuni= X fnhf; uni �X cnhf; uni �Xm

Xn fmfnhum; uni+Xm X

n fmcnhum; uni= X fnhf; uni �X cnhf; uni �Xn f 2n +X fncn = 0:

Luego, se tiene quekEk22 = kek22 + NX

n=1(fn � cn)2:As��, concluimos que el error se minimiza cuando fn = cn. Por lo tanto el uti-lizar coe�cientes de Fourier para aproximar una funci�on en L2[a; b] optimizael tama~no del error.Teorema 2.2.9. Sea un un conjunto ortonormal en L2[a; b]. Si f es unafunci�on en L2[a; b] entonces f =L2Xn2Zhf; uniun:Demostraci�on. Ver [1], p�agina 16.

56El s��mbolo =L2 representa una igualdad con la norma del espacio L2[a; b],es decir, f � nX

�n hf; uiiui 2 ! 0; n!1: (2.4)

Proposici�on 2.2.10. Para cada f 2 L2[a; b] se tienekfk2 =Xn2Z jfij2; (2.5)

que llamamos relaci�on de completitud.Demostraci�on. De (2.4) se obtiene lo siguiente: f � nX

�n hf; uiiui 22 = hf � nX

�n hf; uiiui; f �nX�n hf; uiiuiique es equivalente a

hf; fi � 2hf; f � nX�n hf; uiiuii+ hf � nX

�n hf; uiiui; f �nX�n hf; ujiuji�o kfk2 � 2 nX

�n f 2i +nX�n f 2i = kfk2 � nX

�n f 2i :Haciendo n!1 se obtiene la a�rmaci�on.Proposici�on 2.2.11. Para cada f; g 2 L2[a; b] se tiene

hf; gi =Xn2Z figi;que llamamos identidad de Parseval.Demostraci�on. Tenemos que

kf + gk2 = kfk2 + 2hf; gi+ kgk2:

57Por otro lado ocupando la identidad (2.5) se tiene que

kf + gk2 =Xn2Z(fi + gi)2 =Xn2Z f 2i + 2Xn2Z figi +Xn2Z g2ilo que implica que hf; gi =Xn2Z figi:Consideremos y ! k(x; y) en L2[a; b] con x �jo. Empleando el Teorema2.2.9 tenemos que k(x; y) =L2Xn2Z kn(x)un(y);donde kn(x) son los coe�cientes de Fourier de k(x; y). Estos son:

kn(x) = hk(x; �); uni = Z ba k(x; y)un(y) dy:

De esta manera la funci�on k(x; y) se aproxima pork(x; y) = X

jnj<N kn(x)un(y) + Xjnj>N kn(x)un(y): (2.6)

De�niendo sn(x; y) = Xjnj<N kn(x)un(y) y en(x; y) = X

jnj>N kn(x)un(y) obtene-mos k(x; y) = sn(x; y) + en(x; y):Proposici�on 2.2.12. Sea (Enu)(x) = Z b

a en(x; y)u(y) dy. Entonces existeN0 2 N tal que kEnk < 1, para cada n � N0.Demostraci�on. .A�rmaci�on: en ! 0 cuando n!1:En efecto, como k(x; y) =Xn2Z kn(x)un(y), entoncesen(x; y) = k(x; y)� X

jnj�N kn(x)un(y)

58de donde que l��mn!1 kenk = l��mn!1 kk � snk = 0;lo que prueba la a�rmaci�on.Ahora bien; por Proposici�on 2.2.4 se tiene

kEnk � Z baZ ba en(x; y)2 dx dy;

y como en ! 0 cuando n!1, se obtiene kEnk ! 0.2.3. Funciones Propias

En la secci�on anterior se observ�o que para poder aproximar k(x; y) por(2.6) se requiere de un sistema ortonormal completo fung. Para justi�car laexistencia de �este realizaremos el siguiente an�alisis.A continuaci�on se entregan De�niciones y Teoremas que complementan laDemostraci�on del Teorema 2.3.4De�nici�on 2.3.1. Diremos que una sucesi�on (an)n2N en un espacio E conproducto interno <;> converge d�ebilmente a un l��mite a 2 E, lo cual es-cribiremos an w! a, si

han; yi ! ha; yi; cuando n!1:para cada y en el espacio.De�nici�on 2.3.2. Un conjunto X � E es d�ebilmente compacto si para todasucesi�on un � X existe una subsucesi�on unk que converge d�ebilmente en X.Teorema 2.3.3. Sea X � E un conjunto. Si X es d�ebilmente compactoentonces X es d�ebilmente cerrado.

59Demostraci�on. ver [1] section 13 p.163.Teorema 2.3.4. Sea K0 el operador integral de la ecuaci�on (1.2) y supon-gamos que K0 es sim�etrico, entonces K0 posee una funci�on propia.Demostraci�on. Consideremos la funci�on Q : L2[a; b] ! R de�nida comoQ(u) = hu;K0uikuk22 : Esta funci�on se conoce como cociente de Rayleigh.A�rmaci�on: La funci�on Q tiene un m�aximo.En efecto, primero observamos que el conjunto A = fx 2 L2[a; b] : kxk2 = 1ges d�ebilmente compacto, lo cual se conoce como Teorema de Alaoglu, ver [1].Por Teorema 2.3.3 existe k 2 R tal que

jkj = supu2A jQ(u)j:Por de�nici�on de supremo se tiene que existe una sucesi�on (un) � A tal quejkj � 1n � jQ(un)j;

para cada n 2 N: Pero jQ(un)j � jkj: As��, se tienejkj � 1n � jQ(un)j � jkj:

Luego, se obtiene jQ(un)j ! jkj cuando n!1:Ahora, ya que A es d�ebilmente compacto, tenemos que existe una sub-sucesi�on, (unk), de la sucesi�on (un) tal que unk w!' para alg�un ' 2 A.Como u! jQ(u)j es una funci�on continua obtenemosjQ(unk)j w!jQ(')j; n!1:

As��, por unicidad de l��mite se tiene que:jQ(')j = jkj:

60Por tanto, jQ(u)j � jQ(')j para cada u 2 A.

Dado y 2 L2[a; b], de�namos u := ykyk2 . Entonces u 2 A y por la parteanterior concluimos que ����Q� ykyk2����� � jQ(')j

pero ����Q� ykyk2����� =

�������h ykyk2 ; K0 ykyk2 i ykyk2 2

������� =���� 1kyk22 hy;K0yi���� = jQ(y)j

De esto se tiene que jQ(y)j � jQ(')j para todo y 2 L2[a; b], y as�� Q posee unm�aximo en ', lo cual prueba la a�rmaci�on.Sea y 2 L2[a; b]: Consideremos la funci�on q : R ! R de�nida por q(t) =Q('+ty): Dado que jQ(m)j � jQ(')j para todom 2 L2[a; b] podemos escogerm como '+ ty y entonces

q(t) � q(0); para cada t 2 R;puesto que q(0) = Q(').Luego, q tiene un m�aximo en 0, y esto implica que q0(0) = 0.Por otra parte, ya que

q(t) = Q('+ ty) = h'+ ty;K0('+ ty)ik'+ tyk22= h';K0'i+ th';K0yi+ thy;K0'i+ t2hy;K0yik'k22 + 2th'; yi+ t2kyk22 :Dado que K0 es un operador sim�etrico se tiene

q(t) = h';K0'i+ 2thK0'; yi+ t2hy;K0yik'k22 + 2th'; yi+ t2kyk22

61Derivando la funci�on q obtenemosq0(t) = (2hK0'; yi+ 2thy;K0yi)k'+ tyk22 � h'+ ty;K0('+ ty)i(2h'; yi+ 2tkyk22)(k'k22 + 2th'; yi+ t2kyk22)2Evaluando q0 en t = 0, y como ' 2 A se tiene que

q0(0) = 2hK0'; yi � 2h';K0'ih'; yi= 2hK0'; yi � 2h'h';K0'i; yi;concluimos que hK0'� 'h';K0'i; yi = 0;para todo y 2 L2[a; b]. Esto implica que K0' � 'h';K0'i = 0 entoncesK0' = 'h';K0'i donde ' es la funci�on propia que busc�abamos y h';K0'ies su valor propio.Observaci�on 2.3.5. Asumiendo que K0 es sim�etrico generamos una baseortonormal por el proceso de ortogonalizaci�on de Gram-Schmidt a partir dela funci�on propia '. As�� aseguramos la existencia de una base ortonormalcompleta.2.4. Teor��a en L

pEn las secciones anteriores hemos considerado dos espacios de LebesgueL1 y L2. Ahora, si consideramos un n�umero p 2 R tal que p � 1, entoncespodemos de�nir el espacio general Lp de Lebesgue como sigue

De�nici�on 2.4.1. Una funci�on u se dice p-integrable en [a; b] sikukp = �Z b

a ju(x)jp dx�1=p <1; p � 1:

62Se denota por Lp[a; b] al espacio vectorial de todas las funciones quecumplan con la De�nici�on 2.4.1, donde u = v s�� y s�olo s�� u(x) = v(x) paracada x que no est�e en un conjunto de medida nula.

Proposici�on 2.4.2 (Desigualdad de H�older). Sea u una funci�on enLp[a; b] y v una funci�on en Lq[a; b] tal que 1p + 1q = 1 con p; q � 1, entoncesse tiene queZ ba ju(x)v(x)j dx � �Z b

a ju(x)jp dx�1=p�Z ba jv(x)jq dx�1=q :

Observaci�on 2.4.3. De la desigualdad de H�older se obtiene la generalizaci�onde la desigualdad de Schwartzjhu; vij � kukpkvkq:

Proposici�on 2.4.4. Sea u en Lm[a; b] entonces u pertenece a Ln[a; b] paratodo n < m.Demostraci�on. Tomando p = m=n y aplicando la desigualdad de H�older conlas funciones u(x)n y v(x) � 1, se tiene queZ b

a u(x)n � 1 dx � �Z ba u(x)m dx�n=m�Z b

a 1(m�n)=m dx�m=(m�n)= "�Z b

a u(x)m dx�1=m#n (b� a)m=(m�n):Dado que u 2 Lm[a; b] entonces kukm < 1, luego el producto anterior es�nito y as�� u 2 Ln[a; b].Proposici�on 2.4.5 (Desigualdad de Minkowski). Sean u y v funcionesen Lp[a; b] (p � 1) entonces se tiene que�Z b

a ju(x) + v(x)jp dx�1=p � �Z ba ju(x)jp dx�1=p�Z b

a jv(x)jp dx�1=p :

63Las demostraciones de las Proposiciones 2.4.2 y 2.4.5 se encuentran en[6].

Proposici�on 2.4.6. La funci�on k � kp de�nida en 2.4.1 es una norma.Demostraci�on. Para tal efecto se deben cumplir las condiciones de la De�ni-ci�on 1.3.1.(1) se obtiene directamente de la observaci�on (2.1.2) cambiando el s��mbolok � k1 por k � kp donde corresponda. (2) es f�acilmente veri�cable, mientrasque (3) se obtiene directamente de la Proposici�on 2.4.5. As��, k � kp es unanorma.Proposici�on 2.4.7.

kK0ukp � �Z ba kk(x; �)kpp dx�1=p :

Demostraci�on. En efecto,kK0ukp = �Z b

a j(K0u)(x)jp dx�1=p= Z b

a����Z b

a k(x; y)u(y) dy����p dx!1=p

� Z ba�Z b

a jk(x; y)u(y)j dy�p dx!1=p= �Z b

a hk(x; �); uip dx�1=p :

Luego por la desigualdad de H�older, se tiene quekK0ukp � �Z b

a kk(x; �)kppkukpq dx�1=p= kukq �Z b

a kk(x; �)kpp dx�1=p :

64Proposici�on 2.4.8. Para que el producto de funciones u(x)v(x) pertenezcaa Lp[a; b] para todo u 2 Lp[a; b] se debe tener v 2 Lq[a; b]:Demostraci�on. En efecto,�Z b

a (u(x)v(x))p dx�1=p = �Z ba u(x)pv(x)p dx�1=p

ocupando la desigualdad de H�older se obtiene:�Z ba u(x)pv(x)p dx�1=p � kupkpkvpkq:

De la observaci�on 1.3.3 tenemos que kupk � kukp: As��,�Z ba (u(x)v(x))p dx�1=p � kukppkvkpq <1:

Observaci�on 2.4.9. .1. De la proposici�on anterior se obtiene que el operador K0u pertenece aLp[a; b] para todo u 2 Lp[a; b] si k(x; y) pertenece a Lq[a; b]:2. Como kK0k es menor que �Z b

a kk(x; �)kpp dx�1=p ; observamos que parapoder resolver la ecuaci�on (1.2), con f(x) en Lp[a; b] y k(x; y) en Lq[a; b] s�olonecesitamos que la cota anterior sea menor que 1.3.Si u es una funci�on continua en Lp[a; b] se tiene que

l��mp!1 kukp = supx2[a;b] ju(x)j:Ahora bien, si u no es una funci�on continua entonces el l��mite anterior ser�a dela siguiente forma l��mp!1 kukp = ess supx2[a;b] ju(x)j:

Bibliograf��a[1] J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Graduate texts inMathematics 96, Springer-Verlag, New York, Berlin, London, Tokyo,1990.[2] S.I. Grossman, Algebra Lineal, McGraw-Hill, Mexico, Buenos Aires,Madrid, Nueva York, 1996.[3] E.L. Lima, Curso de An�alise Vol.1, Editora Hamburg, Sao Paulo,1982.[4] E. Kreizig, Introductory Functional Analysis with Applications, JohnWiley and Sons, New York, Toronto, Singapure, 1978.[5] A.C. Pipkin,A Course on Integral Equations, Texts in Applied Math-ematics 9, Springer Verlag, New York, Berlin, London, Paris, Tokyo,1991.[6] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York,Toronto, London, Sydney, 1966.

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