persamaan integral fredholm jenis pertama
TRANSCRIPT
-
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
1/197
Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
October 28, 2013
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
2/197
Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
3/197
Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
Persamaan integral Fredholm jenis pertama secara umumberbentuk :
K(s, t)f(t)dt= g(s) (1)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
4/197
Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
Persamaan integral Fredholm jenis pertama secara umumberbentuk :
K(s, t)f(t)dt= g(s) (1)Keterangan :
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
5/197
Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
Persamaan integral Fredholm jenis pertama secara umumberbentuk :
K(s, t)f(t)dt= g(s) (1)Keterangan :
K(s, t): kernel, fungsi yang sudah diberikan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
6/197
Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
Persamaan integral Fredholm jenis pertama secara umumberbentuk :
K(s, t)f(t)dt= g(s) (1)Keterangan :
K(s, t): kernel, fungsi yang sudah diberikan
g(s) : right hand side, fungsi yang sudah diketahui
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
7/197
Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
Persamaan integral Fredholm jenis pertama secara umumberbentuk :
K(s, t)f(t)dt= g(s) (1)Keterangan :
K(s, t): kernel, fungsi yang sudah diberikan
g(s) : right hand side, fungsi yang sudah diketahui
f(t) : fungsi yang akan dicari
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
8/197
Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
Persamaan integral Fredholm jenis pertama secara umumberbentuk :
K(s, t)f(t)dt= g(s) (1)Keterangan :
K(s, t): kernel, fungsi yang sudah diberikan
g(s) : right hand side, fungsi yang sudah diketahui
f(t) : fungsi yang akan dicariPersamaan integral Fredholm jenis pertama adalah salah satumasalah nilai invers.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
9/197
Masalah Nilai Invers
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
10/197
Masalah Nilai Invers
Masalah nilai maju : Diberikan inputan f dan operator A,akanditentukan nilai g sehingga Af= g
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
11/197
Masalah Nilai Invers
Masalah nilai maju : Diberikan inputan f dan operator A,akanditentukan nilai g sehingga Af= g
Masalah nilai invers : Diberikan operator A dan output g,akan ditentukan f sehingga Af= g
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
12/197
Masalah Nilai Baart
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
13/197
Masalah Nilai Baart
Baart dalam jurnal nya merumuskan Baart test problem :Persamaan integral Fredholm jenis pertama
exp(scos(t))f(t)dt=
2sinh s
s(2)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
14/197
Masalah Nilai Baart
Baart dalam jurnal nya merumuskan Baart test problem :Persamaan integral Fredholm jenis pertama
exp(scos(t))f(t)dt=
2sinh s
s(2)
dengan 0 s /2 dan 0 t
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
15/197
Masalah Nilai Baart
Baart dalam jurnal nya merumuskan Baart test problem :Persamaan integral Fredholm jenis pertama
exp(scos(t))f(t)dt=
2sinh s
s(2)
dengan 0 s /2 dan 0 t Solusi yang dihasilkan adalah f(t) = sin t
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
16/197
Masalah nilai Baart adalah masalah nilai Ill posed
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
17/197
Masalah nilai Baart adalah masalah nilai Ill posed
Hadamard mendefinisikan pada sekitar abad 20 well posedproblem bersifat :1. Ada solusi dari masalah yang diberikan (existence)2. Solusi masalah tersebut harus tunggal (uniqueness)3. Solusi tersebut stabil terhadap nilai awal (stability)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
18/197
Masalah nilai Baart adalah masalah nilai Ill posed
Hadamard mendefinisikan pada sekitar abad 20 well posedproblem bersifat :1. Ada solusi dari masalah yang diberikan (existence)2. Solusi masalah tersebut harus tunggal (uniqueness)3. Solusi tersebut stabil terhadap nilai awal (stability)
Persamaan yang tidak memenuhi salah satu atau lebih darisyarat diatas disebut masalah ill posed.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
19/197
Masalah nilai Baart adalah masalah nilai Ill posed
Hadamard mendefinisikan pada sekitar abad 20 well posedproblem bersifat :1. Ada solusi dari masalah yang diberikan (existence)2. Solusi masalah tersebut harus tunggal (uniqueness)3. Solusi tersebut stabil terhadap nilai awal (stability)
Persamaan yang tidak memenuhi salah satu atau lebih darisyarat diatas disebut masalah ill posed.
Perhatikan bahwa kernel dari Baart test problem sangat
smooth, dan memiliki determinan 0. Sehingga tidak memilikijawab tunggal.
http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
20/197
Masalah nilai Baart adalah masalah nilai Ill posed
Hadamard mendefinisikan pada sekitar abad 20 well posedproblem bersifat :1. Ada solusi dari masalah yang diberikan (existence)2. Solusi masalah tersebut harus tunggal (uniqueness)3. Solusi tersebut stabil terhadap nilai awal (stability)
Persamaan yang tidak memenuhi salah satu atau lebih darisyarat diatas disebut masalah ill posed.
Perhatikan bahwa kernel dari Baart test problem sangat
smooth, dan memiliki determinan 0. Sehingga tidak memilikijawab tunggal.
Masalah nilai Baart adalah salah satu masalah nilai ill posed.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
21/197
http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
22/197
Masalah nilai Baart adalah masalah nilai ill posed
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
23/197
Masalah nilai Baart adalah masalah nilai ill posed
Kita dapat memperoleh solusinya dengan mengubahpersamaan menjadi bentuk matriks dengan menggunakanproses diskritisasi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
24/197
Diskritisasi Metode Galerkin
Di k i i i M d G l ki
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
25/197
Diskritisasi Metode Galerkin
Untuk mengubah persamaan Fredholm integral of the firstkind menjadi matriks Ax = b dengan menggunakandiskritisasi metode Galerkin dengan proses berikut :
Di k i i i M d G l ki
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
26/197
Diskritisasi Metode Galerkin
Untuk mengubah persamaan Fredholm integral of the firstkind menjadi matriks Ax = b dengan menggunakandiskritisasi metode Galerkin dengan proses berikut :Misalkan A : X Y dengan X dan Y dilengkapi denganruang hasil kali dalam. Tulis
Kf= g (3)
Di k iti i M t d G l ki
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
27/197
Diskritisasi Metode Galerkin
Untuk mengubah persamaan Fredholm integral of the firstkind menjadi matriks Ax = b dengan menggunakandiskritisasi metode Galerkin dengan proses berikut :Misalkan A : X Y dengan X dan Y dilengkapi denganruang hasil kali dalam. Tulis
Kf= g (3)
Karena menggunakan fungsi kotak ortonormal, misalkan kotak ortonormal di x dan kotak ortonormal di y. Tulis
f(t) = ii(t) (4)
Di k iti i M t d G l ki
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
28/197
Diskritisasi Metode Galerkin
Untuk mengubah persamaan Fredholm integral of the firstkind menjadi matriks Ax = b dengan menggunakandiskritisasi metode Galerkin dengan proses berikut :Misalkan A : X Y dengan X dan Y dilengkapi denganruang hasil kali dalam. Tulis
Kf= g (3)
Karena menggunakan fungsi kotak ortonormal, misalkan kotak ortonormal di x dan kotak ortonormal di y. Tulis
f(t) = ii(t) (4)Tulis
< K
i(i)(t) g, j >= 0 (5)
Di k iti i M t d G l ki
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
29/197
Diskritisasi Metode Galerkin
Untuk mengubah persamaan Fredholm integral of the firstkind menjadi matriks Ax = b dengan menggunakandiskritisasi metode Galerkin dengan proses berikut :Misalkan A : X Y dengan X dan Y dilengkapi denganruang hasil kali dalam. Tulis
Kf= g (3)
Karena menggunakan fungsi kotak ortonormal, misalkan kotak ortonormal di x dan kotak ortonormal di y. Tulis
f(t) = ii(t) (4)Tulis
< K
i(i)(t) g, j >= 0 (5)
Diskritisasi Metode Galerkin
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
30/197
Diskritisasi Metode Galerkin
Untuk mengubah persamaan Fredholm integral of the firstkind menjadi matriks Ax = b dengan menggunakandiskritisasi metode Galerkin dengan proses berikut :Misalkan A : X Y dengan X dan Y dilengkapi denganruang hasil kali dalam. Tulis
Kf= g (3)
Karena menggunakan fungsi kotak ortonormal, misalkan kotak ortonormal di x dan kotak ortonormal di y. Tulis
f(t) = ii(t) (4)Tulis
< K
i(i)(t) g, j >= 0 (5)
K(s,
) ii(t)
g(s)j(s)ds = 0 (6)
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
31/197
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
32/197
Selanjutnya,
K(s,)
ii(t)j(s)ds =
g(s)j(s)ds (7)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
33/197
Selanjutnya,
K(s,)
ii(t)j(s)ds =
g(s)j(s)ds (7)
j(s)[K(s,)ii(t)]ds= g(s)j(s)ds (8)
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
34/197
Selanjutnya,
K(s,)
ii(t)j(s)ds =
g(s)j(s)ds (7)
j(s)[K(s,)ii(t)]ds= g(s)j(s)ds (8)
j(s)[
K(s, t)(ii(t))dt]ds=
g(s)jds (9)
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
35/197
Selanjutnya,
K(s,)
ii(t)j(s)ds =
g(s)j(s)ds (7)
j(s)[K(s,)ii(t)]ds= g(s)j(s)ds (8)
j(s)[
K(s, t)(ii(t))dt]ds=
g(s)jds (9)
i
j(s)
K(s, t)i(t)dtds =
g(s)jds (10)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
36/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
37/197
Karena menggunakan fungsi kotak ortonormal, maka nilai(
j)2 = (
i)
2 = 1. Misalkan h1 panjang partisi di s danh2 panjang partisi di t. Perhatikan bahwa
si
si12j = 1 (j)2(si si1) = 1 (11)
2j (h) = 1 2j =1
h1(12)
j =
1h1
(13)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
38/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
39/197
Perhatikan pula bahwatiti1
2i = 1 (i)2(ti ti1) = 1 (14)
2i (h2) = 1
2i =
1
h2 (15)
i =
1
h2(16)
http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
40/197
Perhatikan pula bahwatiti1
2i = 1 (i)2(ti ti1) = 1 (14)
2i (h2) = 1
2i =
1
h2 (15)
i =
1
h2(16)
Sehingga persamaan menjadi berbentuk:
i
K(s, t)
1h1
1h2
dtds=
g(s)
1h1
ds (17)
Teori Regularisasi SVD
http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
41/197
g
Teori Regularisasi SVD
http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
42/197
g
Kita telah mengetahui persamaan diskrit nya, yaitu Ax = b
Teori Regularisasi SVD
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
43/197
g
Kita telah mengetahui persamaan diskrit nya, yaitu Ax = b
Jika A memiliki invers, maka selesai, dan jawabnya tunggal.Tapi hampir dalam semua masalah Fredholm integral, A tidak
memiliki invers
Teori Regularisasi SVD
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
44/197
Kita telah mengetahui persamaan diskrit nya, yaitu Ax = b
Jika A memiliki invers, maka selesai, dan jawabnya tunggal.Tapi hampir dalam semua masalah Fredholm integral, A tidak
memiliki invers
Teori Regularisasi SVD
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
45/197
Kita telah mengetahui persamaan diskrit nya, yaitu Ax = b
Jika A memiliki invers, maka selesai, dan jawabnya tunggal.Tapi hampir dalam semua masalah Fredholm integral, A tidak
memiliki inversUntuk kasus dimana Ax = b tidak mempunyai jawab, makakewujudan jawab diambil sebagai minxAx b. Dan disebutsebagai jawab kuadrat terkecil
Teori Regularisasi SVD
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
46/197
Kita telah mengetahui persamaan diskrit nya, yaitu Ax = b
Jika A memiliki invers, maka selesai, dan jawabnya tunggal.Tapi hampir dalam semua masalah Fredholm integral, A tidak
memiliki inversUntuk kasus dimana Ax = b tidak mempunyai jawab, makakewujudan jawab diambil sebagai minxAx b. Dan disebutsebagai jawab kuadrat terkecil
Misalkan A : X
Y dengan X dan Y dilengkapi ruang hasilkali dalam
Teori Regularisasi SVD
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
47/197
Kita telah mengetahui persamaan diskrit nya, yaitu Ax = b
Jika A memiliki invers, maka selesai, dan jawabnya tunggal.Tapi hampir dalam semua masalah Fredholm integral, A tidak
memiliki inversUntuk kasus dimana Ax = b tidak mempunyai jawab, makakewujudan jawab diambil sebagai minxAx b. Dan disebutsebagai jawab kuadrat terkecil
Misalkan A : X
Y dengan X dan Y dilengkapi ruang hasilkali dalam
Definisikan pula At : Y X. Perhatikan bahwa AtA simetri.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
48/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
49/197
Misalkan Ax = b tidak mempunyai jawab, artinya b di luarsub ruang dari {Ax : xX}. Maka kewujudan jawab diambilsebagai minxAx b. Dan misalkan jawab itu adalah x0.Artinya Ax0 = b<
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
50/197
Misalkan Ax = b tidak mempunyai jawab, artinya b di luarsub ruang dari {Ax : xX}. Maka kewujudan jawab diambilsebagai minxAx b. Dan misalkan jawab itu adalah x0.Artinya Ax0 = b<
Jawab terkecil itu adalah x0 maka Ax0
b harus tegak lurus A
artinya Ax0 b,Ax = 0,xX (18)Tulis
At(Ax0 b), x = 0xX (19)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
51/197
Misalkan Ax = b tidak mempunyai jawab, artinya b di luarsub ruang dari {Ax : xX}. Maka kewujudan jawab diambilsebagai minxAx b. Dan misalkan jawab itu adalah x0.Artinya Ax0 = b<
Jawab terkecil itu adalah x0 maka Ax0
b harus tegak lurus A
artinya Ax0 b,Ax = 0,xX (18)Tulis
At(Ax0 b), x = 0xX (19)Sehingga diperoleh
At(Ax0 b) = 0 AtAx = Atb (20)
Persamaan AtAx = Atb disebut persamaan normal.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
52/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
53/197
Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, maka
AtA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
54/197
Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, maka
AtA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}.Perhatikan bahwa i 0, sebab AtAxi = ixi maka
Axi
2 =
Axi,Axi
(21)
Axi2 = AtAxi, xi (22)Axi2 = ixi, xi = i (23)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
55/197
Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, maka
AtA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}.Perhatikan bahwa i 0, sebab AtAxi = ixi maka
Axi
2 =
Axi,Axi
(21)
Axi2 = AtAxi, xi (22)Axi2 = ixi, xi = i (23)
Selanjutnya, tulis bii = Axi dan
bii
|2 = i maka
bi =1i
bii bii = bi
i (24)
mempunyai panjang 1, jika i = 0
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
56/197
Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, maka
AtA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}.Perhatikan bahwa i 0, sebab AtAxi = ixi maka
Axi
2 =
Axi,Axi
(21)
Axi2 = AtAxi, xi (22)Axi2 = ixi, xi = i (23)
Selanjutnya, tulis bii = Axi dan
bii
|2 = i maka
bi =1i
bii bii = bi
i (24)
mempunyai panjang 1, jika i = 0
Jika i = 0, maka Axi = 0
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
57/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
58/197
Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn
merupakan basis orthonormal di Y.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
59/197
Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn
merupakan basis orthonormal di Y.Untuk x =
x, xixi. Perhatikan bahwabii = Axi = bi
imaka
Ax=
n
i=1
x,xiAx
i =
n
i=1
x,xiibi (25)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
60/197
Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn
merupakan basis orthonormal di Y.Untuk x =
x, xixi. Perhatikan bahwabii = Axi = bi
imaka
Ax=
n
i=1
x,xiAx
i =
n
i=1
x,xiibi (25)
Selanjutnya, untuk b=b, bibi,maka
Atb=m
i=1
b, biAtbi =
n
i=1
b, biixi (26)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
61/197
Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn
merupakan basis orthonormal di Y.Untuk x =
x, xixi. Perhatikan bahwabii = Axi = bi
imaka
Ax=
n
i=1
x,xiAx
i =
n
i=1
x,xiibi (25)
Selanjutnya, untuk b=b, bibi,maka
Atb=m
i=1
b, biAtbi =
n
i=1
b, biixi (26)
Karena bi =1iAxi maka
Atbi =1iAtAxi =
1i
ixi =
ixi untuk i = 1, 2, ..., n dan
Atbi = 0 untuk
i=
n+ 1, ...,
m
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
62/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
63/197
Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, makaAtA mempunyai nilai eigen real 1, 2, 3,... dan dapat
didiagonalkan.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
64/197
Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, makaAtA mempunyai nilai eigen real 1, 2, 3,... dan dapat
didiagonalkan.x =
x, xixi dan Ax = ix, xixi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
65/197
Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, makaAtA mempunyai nilai eigen real 1, 2, 3,... dan dapat
didiagonalkan.x =
x, xixi dan Ax = ix, xixiMisalkan pula bahwa b=
b, bibi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
66/197
Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, makaAtA mempunyai nilai eigen real 1, 2, 3,... dan dapat
didiagonalkan.x =
x, xixi dan Ax = ix, xixiMisalkan pula bahwa b=
b, bibiAkan dicari x =
ixi sehingga memenuhi A
tAx = Atb
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
67/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
68/197
Tulis
iixi =b, biixi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
69/197
Tulis
iixi =b, biixi
Sehingga diperoleh
i =b, bii
(27)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
70/197
Tulis
iixi =b, biixi
Sehingga diperoleh
i =b, bii
(27)
Jadi jawab tersebut adalah
x =n
1
b, bii
xi (28)
Regularisasi Tikonov
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
71/197
Regularisasi Tikonov
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
72/197
Misalkan jawab regularisasi Tikonov di Ax = b adalah x.Artinya Ax = b dengan x adalah nilai dari x yang diberikan
regulator sebesar
Regularisasi Tikonov
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
73/197
Misalkan jawab regularisasi Tikonov di Ax = b adalah x.Artinya Ax = b dengan x adalah nilai dari x yang diberikanregulator sebesar
Tulis b=n
i=1b, bibi
Regularisasi Tikonov
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
74/197
Misalkan jawab regularisasi Tikonov di Ax = b adalah x.Artinya Ax = b dengan x adalah nilai dari x yang diberikanregulator sebesar
Tulis b=n
i=1b, bibiTulis x =
ni=1 cixi
Regularisasi Tikonov
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
75/197
Misalkan jawab regularisasi Tikonov di Ax = b adalah x.Artinya Ax = b dengan x adalah nilai dari x yang diberikanregulator sebesar
Tulis b=n
i=1b, bibiTulis x =
ni=1 cixi
Misalkan A adalah suatu operator sehingga AA : x x.Perhatikan bahwa A
A simetri.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
76/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
77/197
Perhatikan bahwa AA merupakan operator simetri, maka
AA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
78/197
Perhatikan bahwa AA merupakan operator simetri, maka
AA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}Perhatikan bahwa i 0, sebab AAxi = ixi maka
Axi
2 =
Axi,Axi
(29)
Axi2 = AAxi, xi (30)Axi2 = ixi, xi = i (31)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
79/197
Perhatikan bahwa AA merupakan operator simetri, maka
AA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}Perhatikan bahwa i 0, sebab AAxi = ixi maka
Axi
2 =
Axi,Axi
(29)
Axi2 = AAxi, xi (30)Axi2 = ixi, xi = i (31)
Selanjutnya, tulis bii = Axi danbii2 = i maka
bi =1i
bii (32)
mempunyai panjang 1, jika i
= 0
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
80/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
81/197
Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn
merupakan basis orthonormal di Y
S
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
82/197
Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn
merupakan basis orthonormal di YSelanjutnya untuk x =
x, xixi, Perhatikan bahwabii = Axi = bi
i maka
Ax =n
i=1
x, xiAxi =
n
i=1
x, xi
ibi (33)
S l j ki d l b hi b b b
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
83/197
Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn
merupakan basis orthonormal di YSelanjutnya untuk x =
x, xixi, Perhatikan bahwabii = Axi = bi
i maka
Ax =n
i=1
x, xiAxi =
n
i=1
x, xi
ibi (33)
Selanjutnya, untuk b=b, bibi, maka
Ab=m
i=1
b, bi
Abi =
n
i=1
b, bi
ixi (34)
S l j ki d l b hi b b b
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
84/197
Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn
merupakan basis orthonormal di YSelanjutnya untuk x =
x, xixi, Perhatikan bahwabii = Axi = bi
i maka
Ax =n
i=1
x, xiAxi =
n
i=1
x, xi
ibi (33)
Selanjutnya, untuk b=b, bibi, maka
Ab=m
i=1
b, bi
Abi =
n
i=1
b, bi
ixi (34)
Karena bi =1iAxi maka
Abi =1iAAxi =
1i
ixi =
ixi untuk i = 1, 2, ..., n dan
Abi = 0 untuk i = n + 1, ...,m
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
85/197
S hi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
86/197
Sehingga
S hi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
87/197
Sehingga
(AA + )n
i=1
cixi =n
i=1
b, bi
ixi (35)
S hi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
88/197
Sehingga
(AA + )n
i=1
cixi =n
i=1
b, bi
ixi (35)
ni=1
ciAAxi +
ni=1
cixi =
ni=1
b, biixi (36)
S hi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
89/197
Sehingga
(AA + )n
i=1
cixi =n
i=1
b, bi
ixi (35)
ni=1
ciAAxi +
ni=1
cixi =
ni=1
b, biixi (36)n
i=1
ciixi + n
i=1
cixi =n
i=1
b, biixi (37)
Sehingga
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
90/197
Sehingga
(AA + )n
i=1
cixi =n
i=1
b, bi
ixi (35)
ni=1
ciAAxi +
ni=1
cixi =
ni=1
b, biixi (36)n
i=1
ciixi + n
i=1
cixi =n
i=1
b, biixi (37)n
i=1
ci(i + )xi =n
i=1
b, bi
ixi (38)
http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
91/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
92/197
Sehingga
ci =
i
i + b, bi (39)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
93/197
Sehingga
ci =
i
i + b, bi (39)
x =n
i=1
i
i + b, bixi (40)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
94/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
95/197
Jawab terkecil dengan menggunakan teori regularisasi adalah
xreg =n
i=1
< b, bi >i
xi (41)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
96/197
Jawab terkecil dengan menggunakan teori regularisasi adalah
xreg =n
i=1
< b, bi >i
xi (41)
Jawab terkecil dengan menggunakan teori tikhonov adalah
xtikh =n
i=1
i
+ (i)< b, bi > xi (42)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
97/197
Jawab terkecil dengan menggunakan teori regularisasi adalah
xreg =n
i=1
< b, bi >i
xi (41)
Jawab terkecil dengan menggunakan teori tikhonov adalah
xtikh =n
i=1
i
+ (i)< b, bi > xi (42)
Dengan i adalah nilai singular (nilai eigen dari AtA), xivektor eigen AtA, bi =
1ixi dan adalah besarnya regulator
yang dipilih untuk menentukan solusi x terkecil.
Langkah-langkah penyelesaian
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
98/197
Langkah-langkah penyelesaian
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
99/197
Cara menyelesaikan :
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
100/197
Langkah-langkah penyelesaian
-
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
101/197
Cara menyelesaikan :
Bentuk matriks A berukuran nxn dengan diskritisasi metode
galerkin dengan fungsi kotak ortonormal.
Bentuk matriks right hand side b berukuran n x 1
Langkah-langkah penyelesaian
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
102/197
Cara menyelesaikan :
Bentuk matriks A berukuran nxn dengan diskritisasi metode
galerkin dengan fungsi kotak ortonormal.Bentuk matriks right hand side b berukuran n x 1
Menentukan solusi f(t)
Diskritisasi persamaan
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
103/197
Diskritisasi persamaan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
104/197
Misalkan K(s, t) = exp(s(t))
Diskritisasi persamaan
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
105/197
Misalkan K(s, t) = exp(s(t))
Misalkan g(s) = 2 sinh(s)/s
Diskritisasi persamaan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
106/197
Misalkan K(s, t) = exp(s(t))
Misalkan g(s) = 2 sinh(s)/s
Persamaan integral Fredholm jenis pertama berbentukescos tf(t)dt=
2 sinh s
s(43)
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
107/197
Dengan melakukan proses diskritisasi metode Galerkin kedalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
108/197
dalam persamaan integral Fredholm jenis pertama denganfungsi kotak ortonormal, diperoleh :
Dengan melakukan proses diskritisasi metode Galerkin kedalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
109/197
dalam persamaan integral Fredholm jenis pertama denganfungsi kotak ortonormal, diperoleh :
/20
K(s,)[
ii(t) g(s)]j(s)ds= 0 (44)
Dengan melakukan proses diskritisasi metode Galerkin kedalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
110/197
dalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan
fungsi kotak ortonormal, diperoleh :
/20
K(s,)[
ii(t) g(s)]j(s)ds= 0 (44)
0
/20
jK(s, t)[
ii(t)dtds] =
/20
g(s)j(s)ds
(45)
Dengan melakukan proses diskritisasi metode Galerkin kedalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
111/197
dalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan
fungsi kotak ortonormal, diperoleh :
/20
K(s,)[
ii(t) g(s)]j(s)ds= 0 (44)
0
/20
jK(s, t)[
ii(t)dtds] =
/20
g(s)j(s)ds
(45)
i
sisi1
titi1
escos t.1h1
.1h2
dsdt=
si1si
2sinh s
s.
1h1
ds
(46)
Dengan melakukan proses diskritisasi metode Galerkin kedalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
112/197
p g j p g
fungsi kotak ortonormal, diperoleh :
/20
K(s,)[
ii(t) g(s)]j(s)ds= 0 (44)
0
/20
jK(s, t)[
ii(t)dtds] =
/20
g(s)j(s)ds
(45)
i
sisi1
titi1
escos t.1h1
.1h2
dsdt=
si1si
2sinh s
s.
1h1
ds
(46)
dengan 0 s /2 dan 0 t
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
113/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
114/197
i adalah nilai isi matriks x pada baris ke i. Merupakan solusi(nilai invers) dari persamaan Fredholm integral of first kind ini.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
115/197
i adalah nilai isi matriks x pada baris ke i. Merupakan solusi(nilai invers) dari persamaan Fredholm integral of first kind ini.
K(s,t)yang diberikan adalahescos t
dan g(s) yang diberikanadalah 2 sinh ss
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
116/197
i adalah nilai isi matriks x pada baris ke i. Merupakan solusi(nilai invers) dari persamaan Fredholm integral of first kind ini.
K(s,t)yang diberikan adalahescos t
dan g(s) yang diberikanadalah 2 sinh ss
Untuk menghitung integral dari persamaan diatas, kita harusmenggunakan metode numerik
Menentukan matriks A
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
117/197
Menentukan matriks A
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
118/197
Untuk menghitung
escos tdsdt digunakan metode simpson1/3.
Menentukan matriks A
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
119/197
Untuk menghitung
escos tdsdt digunakan metode simpson1/3.
Untuk memperoleh isi matriks A11 dengan menghitung
s1s0 t1t0 escos tdsdt menggunakan metode simpson 1/3.
Menentukan matriks A
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
120/197
Untuk menghitung
escos tdsdt digunakan metode simpson1/3.
Untuk memperoleh isi matriks A11 dengan menghitung
s1s0 t1t0 escos tdsdt menggunakan metode simpson 1/3.Untuk memperoleh isi matriks A12 dengan menghitungs1s0
t2t1
escos tds)dt digunakan metode simpson 1/3.
Menentukan matriks A
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
121/197
Untuk menghitung
escos tdsdt digunakan metode simpson1/3.
Untuk memperoleh isi matriks A11 dengan menghitung
s1s0 t1t0 escos tdsdt menggunakan metode simpson 1/3.Untuk memperoleh isi matriks A12 dengan menghitungs1s0
t2t1
escos tds)dt digunakan metode simpson 1/3.
Dengan cara yang sama dikerjakan hingga diperoleh isimatriks Ann dengan menghitung
snsn1
t
tn1nescos tdtds.
Menentukan matriks A
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
122/197
Untuk menghitung
escos tdsdt digunakan metode simpson1/3.
Untuk memperoleh isi matriks A11 dengan menghitung
s1s0 t1t0 escos tdsdt menggunakan metode simpson 1/3.Untuk memperoleh isi matriks A12 dengan menghitungs1s0
t2t1
escos tds)dt digunakan metode simpson 1/3.
Dengan cara yang sama dikerjakan hingga diperoleh isimatriks Ann dengan menghitung
snsn1
t
tn1nescos tdtds.
Kita telah memperoleh matriks A berukuran nxn
Menentukan matriks b
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
123/197
Menentukan matriks b
U k k
2 i h d h d k
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
124/197
Untuk menentukan
2 sinh ss dihitung dengan menggunakan
metode simpson 1/3
Menentukan matriks b
U k k
2 i h dihi d k
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
125/197
Untuk menentukan
2 sinh ss dihitung dengan menggunakan
metode simpson 1/3
Untuk memperoleh isi matriks b11 dengan menghitung
s1s0
2 sinh ss
digunakan metode simpson 1/3
Menentukan matriks b
U k k
2 i h dihi d k
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
126/197
Untuk menentukan
2 sinh ss dihitung dengan menggunakan
metode simpson 1/3
Untuk memperoleh isi matriks b11 dengan menghitung
s1s0
2 sinh ss
digunakan metode simpson 1/3
Untuk memperoleh isi matriks b21dengan menghitungs2s1
2 sinh ss
digunakan metode simpson 1/3
Menentukan matriks b
U t k t k
2 i h s dihit d k
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
127/197
Untuk menentukan
2 sinh ss dihitung dengan menggunakan
metode simpson 1/3
Untuk memperoleh isi matriks b11 dengan menghitung
s1s0
2 sinh ss
digunakan metode simpson 1/3
Untuk memperoleh isi matriks b21dengan menghitungs2s1
2 sinh ss
digunakan metode simpson 1/3
Dengan cara yang sama dikerjakan hingga diperoleh isimatriks bn1 dengan menghitung
snsn1
2 sinh ss
menggunakan
metode simpson 1/3 dengan batassn1sampai
sn
Menentukan matriks b
U t k t k
2 sinh s dihit d k
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
128/197
Untuk menentukan
2 sinh ss dihitung dengan menggunakan
metode simpson 1/3
Untuk memperoleh isi matriks b11 dengan menghitung
s1s0
2 sinh ss
digunakan metode simpson 1/3
Untuk memperoleh isi matriks b21dengan menghitungs2s1
2 sinh ss
digunakan metode simpson 1/3
Dengan cara yang sama dikerjakan hingga diperoleh isimatriks bn1 dengan menghitung
snsn1
2 sinh ss
menggunakan
metode simpson 1/3 dengan batassn1sampai
sn
Kita telah memperoleh matriks b berukuran 1xn
Menentukan matriks x
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
129/197
Menentukan matriks x
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
130/197
Kita telah memperoleh matriks A dan b, akan dicari matriks xsehingga Ax = b
Menentukan matriks x
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
131/197
Kita telah memperoleh matriks A dan b, akan dicari matriks xsehingga Ax = b
Disini matriks x berisi 1 sampai dengan n
Menentukan matriks x
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
132/197
Kita telah memperoleh matriks A dan b, akan dicari matriks xsehingga Ax = b
Disini matriks x berisi 1 sampai dengan n
Jika A memiliki invers, maka selesai.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
133/197
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
134/197
Kita telah memperoleh matrix A dan b sehingga Ax = b.Akan dicari nilai x.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
135/197
Kita telah memperoleh matrix A dan b sehingga Ax = b.Akan dicari nilai x.
Jika A memiliki invers, maka selesai. Tapi hampir dalam
semua masalah Fredholm integral, A tidak memiliki invers.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
136/197
Kita telah memperoleh matrix A dan b sehingga Ax = b.Akan dicari nilai x.
Jika A memiliki invers, maka selesai. Tapi hampir dalam
semua masalah Fredholm integral, A tidak memiliki invers.
Kita akan menentukan nilai x dengan menggunakan teoriregularisasi SVD dan tikhonov.
Hasil x analitik
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
137/197
Hasil x analitik
Dengan diskritisasi matriks A100x100, dan diskritisasi matrikxb100x1
, diperoleh hasil analitik nilai x sebagai berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
138/197
Hasil x analitik
Dengan diskritisasi matriks A100x100, dan diskritisasi matrikxb100x1
, diperoleh hasil analitik nilai x sebagai berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
139/197
Regularisasi SVD
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
140/197
Regularisasi SVD
Kita akan menentukan x analitik dengan menggunakanregularisasi SVD.
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
141/197
Regularisasi SVD
Kita akan menentukan x analitik dengan menggunakanregularisasi SVD.
Diperoleh hasil sebagai berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
142/197
p g
Plot x analitik dan x dengan menggunakan SVD
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
143/197
Plot x analitik dan x dengan menggunakan SVD
Perhatikan perbandingan solusi x analitik dengan x yang
diperoleh dengan regularisasi svd berikut.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
144/197
Plot x analitik dan x dengan menggunakan SVD
Perhatikan perbandingan solusi x analitik dengan x yang
diperoleh dengan regularisasi svd berikut.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
145/197
Plot x analitik dan x dengan menggunakan SVD
Perhatikan perbandingan solusi x analitik dengan x yang
diperoleh dengan regularisasi svd berikut.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
146/197
Hasil yang diperoleh dengan SVD masih belum baik, karenamasih jauh dari solusi analitik. Kita akan mencari hasil yanglebih baik dengan pemotongan nilai singular
Pemotongan nilai singular
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
147/197
Pemotongan nilai singular
Perhatikan picard nilai singular berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
148/197
Pemotongan nilai singular
Perhatikan picard nilai singular berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
149/197
Perhatikan nilai singular data ke 11 dan seterusnya sangatkecil. Sehingga nilai singular dipotong mulai data ke 11sampai 100.
Hasil regularisasi svd dengan pemotongan nilai singular
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
150/197
Hasil regularisasi svd dengan pemotongan nilai singular
Hasil regularisasi svd dengan pemotongan nilai singular
dengan hasil berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
151/197
Hasil regularisasi svd dengan pemotongan nilai singular
Hasil regularisasi svd dengan pemotongan nilai singular
dengan hasil berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
152/197
Perhatikan bahwa hasil yang diperoleh sudah mendekati solusianalitik
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
153/197
Hasil yang diperoleh menggunakan SVD dengan pemotongan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
154/197
Hasil yang diperoleh menggunakan SVD dengan pemotongannilai singular sudah menyerupai hasil analitik.
Hasil yang diperoleh menggunakan SVD dengan pemotongan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
155/197
Hasil yang diperoleh menggunakan SVD dengan pemotongannilai singular sudah menyerupai hasil analitik.
Kita akan mencoba mencari x terbaik dengan menggunakan
metode lain.
Hasil yang diperoleh menggunakan SVD dengan pemotongan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
156/197
Hasil yang diperoleh menggunakan SVD dengan pemotongannilai singular sudah menyerupai hasil analitik.
Kita akan mencoba mencari x terbaik dengan menggunakan
metode lain.Akan dicoba dengan menggunakan Tikonov denganmenggunakan berbagai nilai regulator () sehingga diperolehhasil terbaik
Solusi Menggunakan Regularisasi Tikhonov
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
157/197
Solusi Menggunakan Regularisasi Tikhonov
Sebelum mencari nilai x dengan regularisasi Tikonov, akanditentukan regulator terbaik, artinya nilai error minimal.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
158/197
Solusi Menggunakan Regularisasi Tikhonov
Sebelum mencari nilai x dengan regularisasi Tikonov, akanditentukan regulator terbaik, artinya nilai error minimal.
Dalam hal ini, alpha dicari antara 0 dan 1 dengan membagi kedalam 100 partisi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
159/197
dalam 100 partisi
Solusi Menggunakan Regularisasi Tikhonov
Sebelum mencari nilai x dengan regularisasi Tikonov, akanditentukan regulator terbaik, artinya nilai error minimal.
Dalam hal ini, alpha dicari antara 0 dan 1 dengan membagi kedalam 100 partisi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
160/197
dalam 100 partisi
Berikut adalah hasil error yang diperoleh
Solusi Menggunakan Regularisasi Tikhonov
Sebelum mencari nilai x dengan regularisasi Tikonov, akanditentukan regulator terbaik, artinya nilai error minimal.
Dalam hal ini, alpha dicari antara 0 dan 1 dengan membagi kedalam 100 partisi
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
161/197
dalam 100 partisi
Berikut adalah hasil error yang diperoleh
Maka, akan dicari mendekati 0 sebagai regulator terbaik.
Menggunakan regulator dengan melihat nilai error
minimum
Dari hasil error sebelumnya, diperoleh regulator terbaik alphamendekati 0. Maka dengan mencoba menentukan nilai x Tikhonov
dengan = 0.01, diperoleh hasil dengan plot berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
162/197
Menggunakan regulator dengan melihat nilai error
minimum
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
163/197
Menggunakan regulator dengan melihat nilai error
minimum
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
164/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov 0.05
Menggunakan regulator dengan melihat nilai error
minimum
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
165/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov 0.05
Hasil yang di dapat sudah mendekati x analitik, tapi belumterlalu baik.
Menentukan regulator dengan memperhatikan L-Curve
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
166/197
Menentukan regulator dengan memperhatikan L-Curve
Kita akan menggunakan regularisasi Tikhonov denganmemperhatikan regulator terbaik menggunakan L-curve
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
167/197
Menentukan regulator dengan memperhatikan L-Curve
Kita akan menggunakan regularisasi Tikhonov denganmemperhatikan regulator terbaik menggunakan L-curve
Diperoleh grafik meminimalkan error sebagai berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
168/197
Menentukan regulator dengan memperhatikan L-Curve
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
169/197
Menentukan regulator dengan memperhatikan L-Curve
Perhatikan grafik berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
170/197
Menentukan regulator dengan memperhatikan L-Curve
Perhatikan grafik berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
171/197
Menentukan regulator dengan memperhatikan L-Curve
Perhatikan grafik berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
172/197
Diperoleh error terkecil dengan regulator sebesar 0.0089653
Menggunakan regulator dengan memperhatikan L-Curve
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
173/197
Menggunakan regulator dengan memperhatikan L-Curve
Dengan menggunakan regulator sebesar 0.0089653 diperlolehsolusi x Tikhonov. Maka plot x Tikhonov dengan x analitik
sebagai berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
174/197
Menggunakan regulator dengan memperhatikan L-Curve
Dengan menggunakan regulator sebesar 0.0089653 diperlolehsolusi x Tikhonov. Maka plot x Tikhonov dengan x analitik
sebagai berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
175/197
Menggunakan regulator dengan memperhatikan L-Curve
Dengan menggunakan regulator sebesar 0.0089653 diperlolehsolusi x Tikhonov. Maka plot x Tikhonov dengan x analitik
sebagai berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
176/197
Terlihat solusi yang diperoleh belum baik karena nilai errornya masih besar. Maka akan dicari kembali denganmenggerakkan nilai .
Regularisasi Tikonov dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
177/197
Regularisasi Tikonov dengan menggerakkan nilai
Kita akan mencari solusi dengan regularisasi Tikonov denganmenggerakkan nolai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
178/197
Regularisasi Tikonov dengan menggerakkan nilai
Kita akan mencari solusi dengan regularisasi Tikonov denganmenggerakkan nolai
Dimulai dengan memilih = 1017
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
179/197
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
180/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1018
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
181/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1019
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
182/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1020
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
183/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1021
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
184/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1022
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
185/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1023
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
186/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1024
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
187/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1025
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
188/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1026
Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
189/197
Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1027
Kesimpulan
Nilai x SVD yang paling mendekati dengan x analitik adalahdengan memotong nilai singular mulai data ke 11 dengan errorsebagai berikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
190/197
Kesimpulan
Nilai x Tikhonov yang paling mendekati dengan x analitik adalahdengan menggunakan regulator = 1020 dengan error sebagaiberikut
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
191/197
Kesimpulan
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
192/197
Kesimpulan
Solusi yang diperoleh dengan menggunakan regularisasi SVD
yang terbaik diperoleh dengan pemotongan nilai singular yangsangat kecil.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
193/197
Kesimpulan
Solusi yang diperoleh dengan menggunakan regularisasi SVD
yang terbaik diperoleh dengan pemotongan nilai singular yangsangat kecil.
Solusi dengan regularisasi Tikhonov dengan besarnya yang
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
194/197
g g g y y gdipilih dalam Baart test problem sebagai regulator terbaik
adalah = 1020
Kesimpulan
Solusi yang diperoleh dengan menggunakan regularisasi SVD
yang terbaik diperoleh dengan pemotongan nilai singular yangsangat kecil.
Solusi dengan regularisasi Tikhonov dengan besarnya yang
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
195/197
dipilih dalam Baart test problem sebagai regulator terbaik
adalah = 1020
Solusi keduanya sudah mendekati nilai solusi analitik. Tetapiakan dipilih solusi yang paling dekat dengan solusi analitik
Kesimpulan
Solusi yang diperoleh dengan menggunakan regularisasi SVD
yang terbaik diperoleh dengan pemotongan nilai singular yangsangat kecil.
Solusi dengan regularisasi Tikhonov dengan besarnya yang
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
196/197
dipilih dalam Baart test problem sebagai regulator terbaik
adalah = 1020
Solusi keduanya sudah mendekati nilai solusi analitik. Tetapiakan dipilih solusi yang paling dekat dengan solusi analitik
Dari hasil perhitungan dilihat bahwa solusi Tikhonovmenggunakan = 1020adalah hasil yang lebih baik daripadasolusi menggunakan regulasi svd.
http://find/ -
7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama
197/197
Terima Kasih
http://find/