물리적 수학적 모델 · 2014. 12. 29. · e-mail: [email protected] 물리적....

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물리적물리적 시스템의시스템의 수학적수학적 모델모델


4.1. 4.1. 개요개요

제어시스테에서 플랜트나 제어기를 미분방정식이나 전달함수 등으로 나타내는 것을

“제어시스템을 모델링한다”고 말한다.

이 책에서 다루는 모든 시스템은 선형이고 시간에 따라 변하지 않는 선형 시불변 시스템

(LTI, Linear Time Invariant)으로 제한한다.


4.2. 4.2. 전달함수전달함수

라플라스 영역에서 대상 시스템의 입력과 출력의 관계를 나타내는 함수를 전달함수

(transfer function)라 한다.

아래 그림의 질량-댐퍼-스프링으로 이뤄진 기계시스템은 다음과 같은 이차 미분방정식

으로 표현된다.

tftkxdt

tdxbdt

txdm 2

2



초기 변위와 속도를 각각

와

이라 가정한 뒤에, 위 식 전체를

라플라스 변환하면,

이를 정리하면,

이 식은 질량-댐퍼-스프링으로 구성된 기계시스템의 입력 F(s)와 출력 X(s)와의 관계를

나타낸다. 초기 위치와 속도가 모두 0이라면,

sFskXxssXbxsxsXsm 0002

00 xx 00 xx

kbsmsbxxmsmxsF

kbsmssX

2000

2

1

sFkbsms

sX

2

1



이 식을 입력인 힘 F(s)와 출력인 위치 X(s) 사이의 비로 표현하면 다음 식과 같고, 이와

같이 입력과 출력과의 관계를 표현한 식을 전달함수(transfer function)라고 부른다.

어떤 시스템의 입력과 출력의 관계를 나타내는 전달함수는, 시간영역에 있는 미분방정

식을 라플라스 변환을 통해서 구할 수 있다.

sDsN

kbsmssFsXsG

2

1denominator

numerator



특성방정식(characteristic equation): 시스템 응답특성은 전달함수 분모식의 형태에 따

라 크게 좌우되는데, 따라서 이를 특성방정식이라 칭한다.

D(s)=0의 근을 극점(pole)

N(s)=0의 근을 영점(zero)

02 kbsmssD



MATLAB에서는 전달함수 분자와 분모의 다항식을 다음과 같이 각각 하나의 벡터로 표

현한다. m=1, b=4, k=3.

sDsN

kbsmssG

2

1



roots 와 poly 명령어

roots 명령어: 다항식의 근을 구하기

poly 명령어: 근으로부터 다항식 구하기



다음 전달함수의 극점과 영점을 s-평면에 표시하시오.

12105

5423

2

sss

sssG

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4[그림 4.4]



residue 명령어

전달함수를 다음과 같은 부분분수 형태로 변환한다.

n

n

psr

psr

psrsksG

...

2

2

1

1


4.3. 4.3. 선형시스템선형시스템

중첩의 원리(principle of superposition)

u1 (t) y1 (t)

u2 (t) y2 (t) 일 때,u1 (t)+u2 (t) y1 (t)+y2 (t)

선형성(linearity)

au1 (t)+bu2 (t) ay1 (t)+by2 (t)


4.4. 4.4. 블럭선도블럭선도

블럭선도는 전체 시스템을 여러 개의 작은 단위 블럭들로 나누어 표현하는 방법으로서, 입력신호 및 출력신호를 선과 화살표로 표시하고 시스템 자체의 특성은 사각형 블록 안

에 전달함수나 특성 그래프 등으로 표시한다. 한편, 각 블록과 블록 사이의 상호 연결관

계는, 신호들이 더해지고 나누어지는 원과 점으로 표현한다.



series 명령어

C(s) G(s)U(s) Y(s)

CG(s)U(s) Y(s) sGsCsCG

>> [numCG, denCG]=series(numC,denC,numG,denG)

[예제 4.5]



parallel 명령어

G(s)U(s) Y(s)

sGsGsG 21

G1 (s)

G2 (s)U(s) Y(s)+

+

>> [numG, denG]=parallel(numG1,denG1,numG2,denG2)

[예제 4.6]



cloop 명령어

C(s) G(s)R(s) Y(s)-

+

sGsC

sGsCsRsYsT

1

>> [numCG, denCG]=series(numC,denC,numG,denG);

>> [numT, denT]=cloop(numCG,denCG,-1);

[예제 4.7]



feedback 명령어

C(s) G(s)R(s) Y(s)-

+

sGsCsH

sGsCsRsYsT

1>> [numCG, denCG]=series(numC,denC,numG,denG);

>> [numT, denT]=feedback(numCG,denCG,numH,denH,-1)

[예제 4.8]

H(s)


4.5. 4.5. 물리적물리적

시스템의시스템의

수학적수학적

모델모델

4.5.1. 스프링-댐퍼의 수학적 모델 (시간영역 모델)

2

2

dttxdmtftkx

dttdxbF

tftkxtxbtxm

mtftxtxtx nn 22

mk

b

2

mk

n 고유진동수감쇠비

textx ntn 2

20 1sin

1 1cos

만약, f(t)=0, 00,0 0 xxx 식 오류! k/m이 아니고, km이 맞음.


4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

4.5.1. 스프링-댐퍼의 수학적 모델 (시간영역 모델)[EX0411_MechSys]

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

kbsmsbxxmsmxsF

kbsmssX

2000

2

1 4.5.1*. 스프링-댐퍼의 수학적 모델 (전달함수 모델)

가정에서 f(t)=0, 라 했으므로 00,0 0 xxx

kbsms

bxsmxsX

2

00

>> y=impulse(numG,denG,t);

Impulse response of dynamic systems.


4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

4.5.1*. 스프링-댐퍼의 수학적 모델 (전달함수 모델)[EX0411_MechSys_Impulse]

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


4.5.2. DC 모터의 수학적 모델(전달함수 모델)

4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

계자 전류제어 모터

전기자 전류제어 모터



4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

ff iK

tiKtiiKKtiKtT amaffam 11발생토크

전기자에 가해진 전압이 Va , 역기전력 전압

(back-emf voltage) 이 Vb 라 할 때,

sVsIsLRsV baaaa

1 sIKsT amm

sKsV bb 이므로,

2 sKsIsLRsV baaaa

모터의 회전 운동방정식은

3 sTsTsbssJ Lmmm 부하토크마찰계수이너셔



4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

sKsIsLRsV baaaa

식(2)로부터

sLR

sKsVsIaa

baa

이것을 식(1)에 대입하면,

sLR

sKsVKsIKsTaa

bamamm

sTsLR

sKsVKsTsTsbssJ Laa

bamLmmm

이것을 식(3)에 대입하면,



4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

이것을ω(s)에 대해 풀면,

sTsLR

sKsVKsbssJ Laa

bammm

sLRsTsKsVKsLRbsJs aaLbamaamm

sLRsTsVKKKsLRbsJs aaLambmaamm

sT

KKsLRbsJsLRsV

KKsLRbsJK

KKsLRbsJsLRsTsVKs

Lbmaamm

aaa

bmaamm

m

bmaamm

aaLam



4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

[예제 4.12]

TL (S)=0이라고 가정하면,

bmaamm

m

a KKsLRbsJK

sVs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t(sec)

w

>> y=step(numG,denG,t);



4.5. 4.5. 물리적물리적


수학적수학적

모델모델

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t(sec)

w

[그림 4.20]


4.6. 4.6. 개루프개루프

제어제어


4.7. 4.7. 수학적수학적

모델의모델의

출력응답출력응답

시뮬레이션시뮬레이션

프로그램프로그램

작성법작성법

수학적 모델의 출력응답 계산 방법

MATLAB Simulink

전달함수

(주파수

영역)

초기

상태가

0이

아

닌

경우의

응답을

표현할

수

없다.

impulse

step

lsim

transfer function

block

미분방정식

(시간

영역)

일반해를

구하기

어

렵다.

solver

(ode23, ode45, …)Integrator

block


4.7.1. 전달함수 모델의 시뮬레이션

4.7. 4.7. 수학적수학적

모델의모델의




작성법작성법

kbsmsbxxmsmxsF

kbsmssX

2000

2

1

kbsmssFsX

2

1

[예제 4.14]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y


4.7.1. 전달함수 모델의 시뮬레이션

4.7. 4.7. 수학적수학적

모델의모델의




작성법작성법

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1

M.s +B.s+K2

Transfer Fcn

yout

To Workspace

Sine Wave Scope

[그림 4.24]


4.7.2. 미분방정식 모델의 시뮬레이션

4.7. 4.7. 수학적수학적

모델의모델의




작성법작성법

tftkxtxbtxm

122

21

11 KxBxtfM

KxxBtfM

xx

xxx

상태방정식 형태로 변환



4.7. 4.7. 수학적수학적

모델의모델의




작성법작성법

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3



4.7. 4.7. 수학적수학적

모델의모델의




작성법작성법

Step ScopeProduct

1s

Integrator2

1s

Integrator1

2

Gain1

1

Gain

1

Constant

Add



4.7. 4.7. 수학적수학적

모델의모델의




작성법작성법

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