다면체와 전개도 탐구 ( 델타헤드론 탐구 )

정삼각형을 면으로 하는 볼록 다면체를 델타헤드론이라 한다. 정다면체에서는 모든 점의 차

수가 일정하다 (꼭지점에 붙은 간선의 수 즉 면의 개수). 그러나 정다면체가 아닌 델타헤드

론에서는 꼭지점에서의 차수가 다른 것이 나타난다. 델타헤드론의 경우에는 면의 모양이 모

두 정삼각형이므로 차수가 될 수 있는 것은 3, 4, 5이다 (6 이상이 안되는 이유는?). 여기

서 차수가 3, 4, 5인 꼭지점의 개수를 각각 , , 라 하자. 차수가 3인 점의 결손각

은 180° (360°-60°×3=180°), 차수가 4인 점에서는 120°(360°-60°×4=120°), 차수

5인 점에서는 60°(360°-60°×5=60°)임을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 데카르트의

식을 만족해야 한다. 참고로, 다면체의 한 꼭지점에서의 결손각이란 다음과 같이 360도에서

그 꼭지점에 붙은 면들의 내각의 합을 뺀 값이다. 데카르트의 공식은 오일러의 정리와 동

치인 정리이다.

×

모든 델타헤드론은 이 방정식을 만족한다. 이 방정식을 만족하는 정수해는 19개가 존재하

지만 실제로 그러나 실제로 존재하는 델타헤드론은 8개뿐이다. 이 것을 탐구해보자.

▸ 오일러의 정리와 데카르트의 정리

델타헤드론의 전개도에서 점의 개수를 v, 선의 개수를 e, 면의 개수를 f 라고 하면 다음

의 성질이 만족된다. 일반적으로 모든 전개도에서 다음이 성립하는데, 이러한 정리를 오일

러의 정리라고 부른다. (평면이 아닌 입체 즉 전개도가 접힌 다면체에서는 v-e+f=2)

오일러 정리

(설명)

(문제 4) 다면체의 전개도를 접어 다면체를 만든 후 꼭지점, 변, 면의 개수를 확인해 보

면 임을 확인할 수 있다. 그 이유는 무엇인지 설명하여 보아라.

(문제 5) 주어진 정다면체에 해, 꼭지점의 개수, 변의 개수, 면의 개수를 각각 , ,

라고 하면 가 만족된다. 이제 각 꼭지점에서 만나는 변의 개수를 , 한 면

을 이루고 있는 변의 개수를 이라 하면 ≧ 이다 (즉, 정n각형을 면으로 갖는 정m면

체). 여기서 변의 개수를 생각해 보면 다음과 같은 등식이 성립함을 알 수 있다.

× ×

여기서 (오일러 공식)을 이용하기 위해 다음과 같이 식을 변형한다.

×

×

오일러 공식에 입하면

×

× 2

가 되고 다음의 식을 얻는다.

× × …………………(*)

이 식을 이용하여 정다면체는 다섯 종류 밖에 없음을 설명하여라.

『볼록 다면체의 모든 꼭지점에서 결손각의 합은 720°이다.』는 데카르트의 정리도 오일러

공식을 이용해 다음과 같이 설명할 수 있다.

: 다면체 에 있는 꼭지점의 집합,

: 다면체 에 있는 면의 집합,

: 꼭지점 에 연결된 다각형들에서 에서의 내각을 모두 더한 합,

: 면 를 이루고 있는 변의 개수,

: 꼭지점의 수, : 변의 수, : 면의 수

결손각 합 = ∊

⋅ ∊

(문제 6) 데카르트의 정리를 자신의 말로 다시 설명하여라.

델타헤드론 만져보기 : 델타헤드론(Deltahedron)에서 꼭지점의 차수는 3, 4, 5

중 하나이다. 이제 임의의 델타헤드론에 해 , , 를 각각 degree가 3, 4, 5인 꼭

지점의 개수라고 하자. 여기서 면의 개수가 최소인 것은 모든 꼭지점의 차수가 3인 경우

(정사면체)이고, 최 인 것은 모든 꼭지점의 차수가 5인 경우(정이십면체)이다.

(문제 7) 어떤 델타헤드론 에서도 총 면의 개수는 4와 20의 사이에 있음을 설명하여라.

또한, 델타헤드론에서 면의 개수는 짝수여야 함을 설명하여라.

앞의 문제에 의해 델타헤드론에서 면의 개수는 짝수여야 하며, 따라서 4, 6, 8, 10, 12,

14, 16, 18, 20의 9개에 해 존재 가능성이 있다. 이제 부터 개의 면을 가진 델타헤드론

을 로 표시하자. 우선 생각할 수 있는 델타헤드론은 다음 5가지 이다.

▸ , , - Platonic solid. 정다각형 중에 다음과 같이 3개가 포함되어 있다.

▸ , , - Dipyramid. 삼각뿔, 사각뿔, 오각뿔에 해 각각 하나의 밑면을 공유

하도록 붙여주면 , , 을 만들 수 있다. 특히 , 은 다음과 같이 분해하여

생각할 수 있다. 한 점에 모일 수 있는 면(정삼각형)의 최 수는 5개이다. 오각뿔 두 개를

붙인 모양이 이므로 10 이상에 해서는 두개의 오각뿔 사이에 특정한 모양을 끼워 넣

는 것으로 생각할 수 있다.

이외의 델타헤드론 을 지금 만드는 일

은 어려운 일이다. 이제 만들어진 델타헤

드론을 컴퓨터로 직접 만져보면서 탐구하

여 보자.

▸ - 는 정오각뿔 2개와 두 도형

사이의 쐐기 모양의 정삼각형 2개로 이루

어져 있다. 이를 만져보기 위해 자바말.폴

리.html 을 실행시킨 후, 메뉴에서 D12를 선택하면 다음과 같은 의 전개도가 나오며

자동으로 전개도에서 다면체로 접어지기 시작한다. 마우스 왼쪽 버튼으로 다면체를 움직이

면 회전이 되므로 여러 각도에서 의 구조를 관찰할 수 있다. 접어지는 것을 일시적으로

멈추게 하려면 [멈춤] 단추를 누르고 (이때 단추가 [^_^]로 모양이 바뀐다) 다시 접어지며

움직이게 하려면 [^_^] 단추를 누른다.

위의 그림에서 편의를 위해 면 위에 숫자가 쓰여있다. 이 숫자를 통해 전개도의 면과 접

어진 면을 구별할 수 있다. 1 이라고 쓰인 면은 기준이 되는 면으로, 이 면의 중점은 마우

스로 움직일 수 없는 고정점이며, 이 점을 중심으로 다면체가 회전한다 (단, 1번 면은 위

아래로 180도 만큼만 회전한다). 위의 오른쪽 그림에서 11과 2 라고 숫자가 쓰여 있는 면을

제거하면 오각뿔 두 개가 남는다. 따라서 의 모습은 약간 찌그러진 오각뿔 두 개와

그 사이에 삼각형 두 개를 넣은 것이다. 마치 권투 선수의 입에 치아보호기를 삽입하듯이

오각뿔 모양의 조개가 입을 벌리고 있을 때 삼각형 두 개를 벌린 입에 넣어주면 가 된

다. 이와 같이 컴퓨터로 관찰하면서 나의 언어로 표현하면 한층 다면체와 친근감을 느낄 수

있고, 또한 이렇게 분해해서 볼 수 잇을 때 전개도도 그릴 수 있다. 다음은 이러한 설명을

그림으로 나타낸 것이다.

▸ - 는 정사각뿔 3개와 정삼각기둥 1개로 이루어져 있다. 또는를 찌그러진 정5

각뿔 사이에 삼각형 4개를 끼워 넣은 것이다. 이를 만져보기 위해 자바말.폴리.html 을 실

행시킨 후, 메뉴에서 D14를 선택하면 다음과 같은 의 전개도가 나오며 자동으로 전개도

에서 다면체로 접어지기 시작한다.

▸ - 정사각뿔 2개와 사각 안티프리즘 모양의 입체도형 1개로 이루어져 있다.

은 하나의 면이 붙은 두 개의 정오각뿔 사이에 다음과 같이 생긴 면이 10개인 도형을

넣은 것이다.

에서 면 두개를 떼어 낸 후 떨어진 부분을 이어붙이면 그 사이에 있는 꼭지점의 차수가

6이 되는 것을 알 수 있다. 실제로 모든 꼭지점의 차수가 5이면 정이십면체()이 되고,

두 꼭지점만 차수가 4이고 나머지의 차수는 5인 경우가 에 해당된다.

은 존재하지 않는다.

(심화문제) 은 존재하지 않는다. 그 이유를 설명하여 보아라.

(문제 1) 정육면체를 접을 수 있는 전개도를 창의적으로 만들어라 (다음 왼쪽의 전개도가

예). 또한 다음과 같은 비행기를 만들 수 있는 전개도를 만들어라.

(2) 정12면체를 만드는 다음 전개도를 만들어라. 또한 오른쪽과 같은 돼지 머리를 만드는

전개도를 창의적으로 만들어라. 맨 오른쪽의 전개도가 하나의 예이다.

(3) 다음 오른쪽은 다음 왼쪽과 같은 물체를 만드는 전개도이다. 정12면체 전개도를 사용하

여 창의적인 주제로 전개도와 물체를 만들어라.

다음은 피노키오 전개도로 정20면체 전개도의 일부를 활용한 전개도이다. 정20면체의 전개

도를 활용하여 자유롭게 창의적인 주제로 전개도를 만들어라.

다음은 오리의 전개도를 접는 모습이다. 자유롭게 창의적인 주제로 전개도를 만들어라.

준정다면체 : (semiregular polyhedron 또는 아르키메데스 다면체)

다음은 준정다면체 13개와 그 것의 전개도이다. 전개도를 만들되, 자세한 정보는 인터넷

등을 통해 준정다면체 의 성질을 활용하여라.