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수학사와 수학실험 - 다면체 탐구 (2시간)

다면체는 초등학교 5학년에 처음 등장하여 중학교 1학년에서 배우는 정다면체를 거쳐 고

등학교 3학년에서 배우는 공간도형에 이르기까지 다양하고 깊이 있게 가르쳐지고 있습니다.

여기에서 더 나아가 정사영이나 벡터에 관한 내용을 가르칠 때 사용할 수 있습니다. 또한

수학사와 연계한 다면체 탐구를 통하여 그래프이론과 조합론 그리고 다면체 대칭군 등 수직

적 수학화를 추구할 수도 있습니다. 사전 연수 ‘수학사와 수학실험 - 다면체 탐구 (2시간)’

은 두 개의 탐구문제와 하나의 탐구과제로 구성되어 있습니다.

[사전연수 탐구문제 1, 탐구문제2 그리고 제출할 탐구과제] 먼저 2개의 탐구문

제를 풀고 익히세요. 따로 숙제를 제출할 필요는 없지만, 나중에 연수 기간중에 있을 시험의

범위에 들어갑니다. 2개의 탐구문제는 연수 기간 중에 “수학사와 수학실험” 강의 시간에 다

시 다루어지는데, 사전연수의 내용이기에 간단하게 설명될 예정입니다.

이 후, 9 페이지에 있는 [탐구과제] 과제를 설명에 따라 게시판에 쌓기나무 작품을 만

들어 게시판에서 제출해야 합니다. 과제 제출을 위해, 다면체와 전개도를 만드는 방법과 게

시판 쓰는 방법을 잘 읽고 설명에 따라 하도록 하세요.

[탐구과제] 는 정12면체의 전개도를 만드는 것입니다. 수학사에 의하면 (아마 과장된

얘기일 것) 정20면체 모양의 공을 만들어 놀던 그리이스 시대에 알키메데스가 정20면체의

꼭지점 부분을 깍아 지금의 축구공과 같은 모양을 만들었다고 합니다. 플라톤 다면체 또는

정다면체와 다른 이러한 축구공 모양의 다면체를 알키메데스 다면체라고 하는데, 기원후

350년 경의 파푸스는 알키메데스가 13개의 알키메데스 다면체를 연구했다고 전하고 있습니

다. 그 후, 케플러 등에 의해 알키메데스 다면체가 13개임이 밝혀졌고, 알키메데스 다면체는

20세기에 들어와서 현대대수학의 대칭군으로 엄밀히 정의되었습니다. 플라톤 및 알키메데스

다면체는 바이러스의 모양이나 우리 주변의 생활에서 쉽게 볼 수 있습니다.

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아르키메데스 아르키메데스를 기념하는 우표

▶ 수학사와 다면체 탐구

수학사에는 왼쪽 그림에서의 원기둥, 구, 원뿔의 부피의 비를

구하는 문제가 등장합니다. 아르키메데스는 구체적으로 반지

름이 r 인 원을 밑변으로 하고 높이가 2r 인 원기둥과 여기에

내접한 구와 원뿔의 체적의 비가 3:2:1 임을 밝혔습니다.

원뿔의 부피가 구의 부피의

임을 직관적으로 파악할 수 있는 방법을 다면체 탐구를 통하

여 생각해봅시다.

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▶ 다면체 탐구를 통한 뿔의 부피와 구의 겉넓이 구하기

[탐구문제 1] 원기둥과 원뿔의 부피의 비를 구해보자.

[천재교육] 중학교 수학 1 - 274p

교과서에서도 원뿔대신 각뿔을 이용하여 원뿔의 부피를 생각합니다. 따라서 여기에서도 원

기둥과 원뿔 대신 정육면체와 그 안에 내접하는 사각뿔로 생각해 보도록 하겠습니다.

똑같은 사각뿔로 분할한 정육면체와 사각뿔의 부피의 관계는 어떻게 될까요?

컴퓨터로 실험해봅시다.

먼저 http://www.javamath.com 주소로 갑니다. 이 때 나타나는 화면 오른쪽의

메뉴에서 [ 마이크로월드 수학실험실 ]을 눌러 들어가면, 화면에 다음이 보입니다.

화면의 설명대로, 왼쪽에 나타나는 거북이 아이콘을 눌러 거북명령 자바말을 실행

시킵니다. 만일 컴퓨터에 자바말 화면이 회색으로만 나온다면, 위의 설명과 같이 그

곳을 클릭하여 자바 프로그램을 다운받아 설치하고 다시 거북 아이콘을 누릅니다.

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거북이 자바말 화면이 나타나면, 화면 아래에 있는 M> 뒤의 명령 입력창에 다음과

같이 쓰고 엔터키를 누릅니다. 이 때, 오른쪽에 수학실험 게시판이 나타납니다.

http 다면체탐구 [엔터]

http 다면체탐구 [엔터] 로 나타나는 오른쪽의

다면체탐구 게시판을 먼저 읽어본다. 이제 게시판

파란글씨로 적힌 [자바말 3 실행]을 누르면 오른

쪽과 같은 다면체 그림을 거북이가 그려준다. 마

우스 오른쪽으로 화면을 드래그하면 정육면체가

제자리에서 움직이면서 이 정육면체가 어떠한 다

면체로 분해되는지 알 수 있다. 쉬프트키를 누른

상태에서 마우스 오른쪽을 드래그하면 다면체가

펼쳐지면서 다면체를 이루는 전개도가 보입니다.

위의 실험에서 알 수 있듯이 이 정육면체는 정육면체의 한 면을 밑면으로 가지고 높이는

정육면체 한 변의 길이의

인 사각뿔 6개로 분해됩니다. 따라서 이 사각뿔의 부피는 정육

면체의 부피의

임을 알 수 있습니다. 즉, 정육면체의 부피를 C, 이 사각뿔을 t라 하면

이 사각뿔의 부피를 t, t의 모든 변을 2배로 늘린 사각뿔의 부피를 T라 하면 닮음비에 의하

여 t:T=1:입니다. T의 밑면을 4등분하여 4등분한 사각형 중 하나를 밑면으로 하고 T의 높

이를 높이로 갖는 삼각뿔(T')의 부피는

이 됩니다. 2t=T'이므로 T'=×C 가 됩니다.

′이므로 ′

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여기에서 까발리에리의 원리1)에 의해, 밑면과 높이가 같은 뿔의 부피가 같다는 사실을 이

용하면 밑면과 높이가 같은 사각뿔과 정육면체의 부피의 비는 1:3 됨을 알 수 있습니다. 이

로부터 원뿔과 원기둥의 부피의 비가 1:3임을 알 수 있습니다.

컴퓨터로 실험해봅시다.

http 다면체탐구 [엔터] 로 나타나는 오른쪽의 다

면체탐구 게시판을 먼저 읽어본다. 이제 게시판 파

란글씨로 적힌 [자바말 4 실행]을 누르면 오른쪽과

같은 다면체 그림을 거북이가 그려준다. [자바말 4

실행] 을 클릭해보면 오른쪽 그림과 같이 정육면체

가 3개의 사각뿔로 분해되어 있습니다.

정육면체를 사각뿔 6개로 분할하는 것보다 더 간단하게 밑면과 높이가 같은 사각뿔과 사

각기둥의 부피의 비가 1:3임을 알 수 있습니다. 여기에서의 사각뿔을 라 합시다.

생각해 볼 문제

′과 는 어떠한 관계가 있을까요?

1) 부록 참고

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[탐구문제 2] 구의 겉넓이 구하는 공식을 설명해보자.

구와 원뿔의 부피의 비는 얼마일까요?

위 그림의 오른쪽과 같이 반지름이 a인 원을 밑변으로 하고 높이를 a로 갖는 원기둥을 생

각하고, 거기에 내접한 원뿔을 생각해봅시다. 이제 이 원기둥의 단면을 만들며, 각각의 단면

에서 원 기둥과 원뿔 사이의 면적을 생각합니다.

(원기둥과 원뿔 사이의 면적) =

위에서 구한 각각의 단면에 대응하는 반구의 단면을 생각해보면

(반구의 단면 면적) = ( 이므로 )

=

∴ (원기둥과 원뿔 사이의 면적) = (반구의 단면 면적)

까발리에리의 원리2) 에 따라

(반구의 부피) = (원기둥과 원뿔 사이의 부피) 이므로

다시 아르키메데스의 구와 원뿔과 원기둥의 관계로 돌아가면

(구의 부피) + (원뿔의 부피) = (원기둥의 부피) 이고

(원기둥의 부피 = 3×(원뿔의 부피) 이므로

(구의 부피) = 2 × (원뿔의 부피) 가 됩니다. 즉, 구의 부피를 S, 원뿔의 부피를 C라 하면

S=2×C

2) 부록 참고

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컴퓨터로 실험해봅시다.

http 다면체탐구 [엔터] 로 나타나는 오른쪽의

다면체탐구 게시판을 먼저 읽어본다. 이제 게시판

파란글씨로 적힌 [자바말 5 실행]을 누르면 오른

쪽과 같은 다면체 그림을 거북이가 그려준다. [자

바말 5 실행] 을 클릭해보면 오른쪽 그림과 같이

정20면체가 20개의 삼각뿔로 분해되어 있습니다.

위에서 볼 수 있듯이 정이십면체는 20개의 삼각뿔로 분할되고 따라서

(정이십면체의 부피) = 20 × (삼각뿔)

이라 생각할 수 있다. 이러한 사실을 이용하여 구의 겉넓이공식에 대하여 생각해봅시다.

구를 원뿔로 무한히 분할시켜 겉넓이 공식을 유도해봅시다.

정이십면체를 20개의 삼각뿔로 분할시키듯이 구를 원뿔로 무한히 분할시킨다고 상상해봅

시다.

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(구의 부피)= (원뿔부피)

= {(밑면)×(높이)×

}

=

×(높이)× (밑면)

=

×(원뿔의 높이)×(구의 겉넓이)

=

××(구의 겉넓이)=

이므로 구의 겉넓이는 임을 알 수 있습니다.

××(구의 겉넓이) =

이므로 (구의 겉넓이)=

위와 같이 다면체를 분해하고 조립하면서 다양한 다면체의 성질을 탐구할 수 있습니다.

따라서 사전연수에서는 간단히 다면체 만드는 거북 명령을 익혀 정다면체의 전개도를 만들

어보도록 하겠습니다.

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▶ 자유롭게 정12면체 전개도 만들기 ( 실험실습 게시판에 제출합니다 )

▶ [탐구과제] 제출하는 과제

다면체와 전개도 명령을 익혀 정12면체의 전개도를 만들어 봅시다.

정12면체 전개도 만드는 방법

M> http 다면체탐구 [엔터] 로 오른쪽에 나오는 수학실험 게시판에서 쓰인 [자바말 6 실

행]을 눌러 보자. 이 때, 다음 그림이 아래 명령에 의해 그려진다. 그 곳에 쓰인 설명을 잘

읽고 실습한다. do n, L, R 의 뜻은 5각형 만들기, 왼쪽으로, 오른쪽으로 방향 돌리기이다.

다면체준비 다면체 12 do n n n L n R n R n 전개도

다면체와 전개도 명령을 익혀 자유롭게 작품을 만들어 봅시다.

다면체 12 와 다면체 -12 의 명령 차이는 무엇인가 ?

정12면체의 면과 면의 이면각의 크기는 63.44 도이다. “다면체 12” 하면 ddd 라는 각의 값

에 63.44 도가 지정되고, 이 후 do nn 과 같은 명령에 의해 이면각이 ddd 값인 정5각형이

만들어진다 ( 소문자 n 은 정5각형을 그려준다). 나중에 전개도를 만든 후, 쉬프트키를 누른

상태에서 마우스 오른쪽을 끌어 전개도를 접어 정12면체를 만들 수 있는데, 이 때 전개도가

양의 방향으로 접혀지면 거북이가 다면체 안에서 면을 만들기에 보기가 어렵다. 만일 전개

도가 음의 방향으로 접힌다면 (ddd 값이 -63.44 도), 다면체 겉면을 따라 거북이 이동하게

되어 편하다. 간단히 “ 다면체 -12 ” 하면 ddd 값이 -63.44 로 지정된다.

생각해 볼 문제 : [자바말 7 실행] 등을 실행시켜 보며, do 다음에 최소의 알파벳만

써서 정12면체의 전개도를 그리는 문제를 생각해 보자. 과제는 20개 이하의 알파벳만 쓰는

것으로, [자바말 9 실행] 에는 17 개로 그려지는 예도 제시된다. 최소한의 알파벳만 써서 그

려보세요.

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전개도

거북명령 m m R m L

설명

거북이가

있 습 니

다.

거 북 이 가

사각형 면

을 거북이

아래에 놓

습니다.

거북이 머

리 방 향 에

사각형 면

을 하나 더

놓습니다.

거북이의 머

리방향을 오

른쪽으로 회

전시킵니다.

거북이 머

리 방 향 에

면을 하나

더 놓습니

다.

거 북 이 의

머리방향을

오른쪽으로

회전시킵니

다.

m R m L m

거북이 머리방

향에 면을 하나

더 놓습니다.

거북이의 머리

방향을 오른쪽

으로 회전시킵

니다.

거북이 머리방

향에 면을 하나

더 놓습니다.

거북이의 머리

방향을 오른쪽

으로 회전시킵

니다.

거북이 머리방

향에 면을 하나

더 놓습니다.

최소의 앞파벳으로 그리는 전개도는 한붓그리기가 가능한 전개도3) 인가? 정육

면체의 전개도 중 한붓그리기가 가능한 전개도4) 는 무엇일까요?

정육면체는 11개의 전개도가 갖고, 파란색으로 표시된 것이 한붓그리기 가능한 전개도이다.

정육면체의 한붓그리기 전개도를 그려봅시다.

do mmRmLmRmLm 이라는 거북 명령은 라는 전개도를 뜻합니다.

3 ) 한 붓 그 리 기 가 가 능 한 전 개 도 란 각 면 을 점 (vertex )으 로 보 았 을 때 해 밀 턴 회 로 가 되 는 전 개 도 로 해 밀 턴 회 로 는 모 든 점 (vertex )을 한 번 씩 만 통 과 하 는 회 로 (시 작 점 과 끝 점 이 같 은 그 래 프 )입 니 다 .

4 ) 한 붓 그 리 기 가 가 능 한 전 개 도 란 각 면 을 점 (vertex )으 로 보 았 을 때 해 밀 턴 회 로 가 되 는 전 개 도 로 해 밀 턴 회 로 는 모 든 점 (vertex )을 한 번 씩 만 통 과 하 는 회 로 (시 작 점 과 끝 점 이 같 은 그 래 프 )입 니 다 .

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전개도

거북표

현n n R n L n

설명

거 북

이 가

있 습

니다.

거북이가

오 각 형

면을 놓

습니다.

거북이 머

리 방 향 에

거 북 이 가

오각형 면

을 하나

더 놓습니

다.

거 북 이 의

머 리 방 향

을 오른쪽

으로 회전

시킵니다.

거북이 머

리 방 향 에

거 북 이 가

오각형 면

을 하나

더 놓습니

다.

거 북 이 의

머 리 방 향

을 오른쪽

으로 회전

시킵니다.

거북이 머

리 방 향 에

거 북 이 가

오각형 면

을 하나

더 놓습니

다.

거북이에게 정12면체 전개도를 만들게 하기 위해서는 다음과 같은 형식이 필요합니다.

다면체준비 : 거북이에게 다면체 만들 준비를 시킨다.

다면체 -12 : 정12면체로 ddd 전개도 각도를 잡아준다. 다면체 12도 가능

do nnLnnnnRnRRnnnnLn : 거북이에게 거북 명령을 내린다.

전개도; : 전개도로 만든다.

(예)

다면체준비

다면체 12

do nnRnLn

전개도; .

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제출하는 과제

부록에 “다면체준비” 명령을 참고하여 정십이면체의 한붓그리기 전개도를 만들되, do 다음

의 알파벳의 개수를 20개 이하로 사용하여 그립니다. 거북 명령을 이용하여 자바말에 구현

하고 그것을 실험실습 게시판에 비밀글로 올립니다.

(예) 정사면체 해밀턴 전개도 정팔면체 해밀턴 전개도

( 만드는 요령 ) [자바말 7 실행] 단추 바로 위에서 설명하는 방법과 [자

바말 7 실행] 의 그림을 비교하며 L, R 방향을 바꾸는 것을 익혀야 한다.

거북이가 시작한 출발점이 그림에서 하얗게 표시되어 있다. 먼저 do n 으로 오각형이 그려

지는데, 자동으로 정면으로 바라보는 방향 왼쪽의 면을 바라보고 거북이가 앉는다 (정6각형

을 그렸다면 정면의 방향이 면이기에 그 면을 보고 앉는다. 점3각형, 정5각형과 같이 정면

에 면이 없는 경우에는 바로 왼쪽에 위치한 면을 바라보고 다음의 면을 그릴 준비를 한다.

따라서, 위의 그림에서, do n을 한 후, 5번 면의 방향으로 앉게 되는데, 면이 만들어진 순서

가 2인 오각형을 만들려면 오른쪽으로 두 번 R 명령을 해야한다 (R 하나에 한번씩 다음 번

의 모서리를 향해 오른쪽으로 돈다). 2번 면을 만든 후, 12번과 붙어있는 면의 방향으로 앉

게된다. 그런데 3번 면을 만들려면 2번 면을 만든 후, RR 로 방향을 잡아야 한다. 따라서 3

번 면을 만들기까지 do n RR n RR n 명령이 실행되어야 한다.

이와 같이 [자바말 7 실행] 에 나오는 면의 만들어진 순서를 나타내는 면의 번호를 보고 정

12면체 위를 걸어다니며 n, L, R 로 do 다음에 명령을 만들어보자.

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▶ 부록

1. 까발리에리의 원리

왼쪽 사진의 오른쪽 모양은 먼저 동전을

원기둥 모양으로 똑바로 쌓아 만든 후 그

동전들을 약간씩 이리저리 밀어서 만든 입

체의 모양입니다. 이 때, 두 입체의 체적은

같을까요 아니면 다를까요? 이 경우 두 입

체가 각각 같은 개수의 동전으로 이루어져

있기에 체적을 같을 수 밖에 없습니다. 이

와 같이, 같은 높이에서 짜른 두 도형의 모

든 단면이 같은 경우에 두 도형의 면적이

나 체적을 같아진다는 것이 바로 까발리에리의 원리입니다.

2. 마미콘의 정리

마미콘 (Mamikon) 의 정리의 발견은 다음과 같은 기본적인 관찰에서부터 시작되었습니다.

즉, 큰 원 안에 작은 원이 들어가 있고, 작은 원의 접선이 큰 원 안에 있는 부분의 길이를 a

라고 합시다. 이 때, 큰 원 및 작은 원의 반지름에 무관하게 두 원 사이의 영역의 면적은

이 됩니다. 그렇다면 안쪽의 작은 원의 반지름이 0 으로 가까이 간다면 결국 큰 원의

지름이 a 인 경우의 면적과 같아지게 됩니다.

마미콘은 이러한 관찰에서 시작하여, 결국 안쪽에 있는 곡선 위의 점 P 에서 한쪽 방향으로

그은 접선이 밖에 있는 곡선과 만나는 점을 Q 라고 할 때, 선분 PQ 가 다음 그림과 같이

두 곡선 사이의 영역을 서로 겹침 없이 한 번씩 지나가면 두 영역 사이의 면적은 선분 P Q

에 의한 tangent seep 영역의 면적과 같다는 것을 알게 됩니다.

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다면체

준비

명령

다면체준비;

다면체 n

do ;

전개도;

다면체준비 : 거북이가 다면체를 만들 준비를 한다.

정n면체 전개도로 ddd 이 각을 지정합니다.

do : 밑줄 친 부분에 명령어를 적는다.

전개도 : 전개도를 만든다.

전개도의 면을

만드는 명령

o 삼각형 면을 만든다.

m 사각형 면을 만든다.

n 오각형 면을 만든다.

p 육각형 면을 만든다.

거북이의 방향을

바꾸는 명령

R 진행방향에서 거북이가 오른쪽으로 회전한다.

L 진행방향에서 거북이가 왼쪽으로 회전한다.

(단, 회전하는 각도는 n각형에서 360/n도 만큼 회전한다.)

전개도 명령어 설명

다면체준비;

ddd=109.5;

do o;

전개도;

첫 번째 면은 초록색으로

표시됩니다. 삼각형 하나를

만듭니다.

다면체준비;

ddd=109.5;

do o;

do o;

전개도;

거북이의 머리가 향하는 방

향에 삼각형 면 하나가 더

붙습니다.

shift키를 누르고 마우스 오

른쪽 클릭을 누른 뒤 마우

스를 위아래로 움직이면 전

개도가 접힙니다.다면체준비;

ddd=109.5;

do o;

do o;

do R;

전개도;

거북이의 머리가 오른쪽 방

향으로 회전합니다.

3. 다면체준비 - 전개도 명령

(예1)

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다면체준비;

ddd=109.5;

do ooRo;

전개도;

do 뒤에 명령어를 연속으로

적는 것이 가능합니다.

다면체준비;

ddd=109.5;

do ooRoo

전개도;

정사면체 전개도가 완성되

었습니다.

마지막에 “전개도(5000)”을

붙이면 전개도를 지정한 각

도만큼 자동으로 접어줍니

다.