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艾薛爾鑲嵌藝術使用說明 （含教學版、拼圖、著色與工作單操作說明）

許志農 教授

國立台灣師範大學數學系

非想非非想數學網

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序與目錄

《艾薛爾鑲嵌藝術》是國立台灣師範大學數學系許志農教授與他的研究生所開發

設計的一套數位產品，基本上以 Adobe的 Flash軟體設計而成。主要是用動畫的影片

來描述與說明荷蘭版畫家艾薛爾一生所畫 137幅平面鑲嵌作品的數學原理。沈玟妤老

師是設計與開發這些數位產品的第一位研究生，她設計了教學版、拼圖、著色與工作

單，我的後面學生（瑞甫，雅婷，欣樺，勁緯，章瑋，國書與肇嘉等）就根據玟妤開

發的版式，將艾薛爾的 137幅平面鑲嵌作品陸續做出數位產品。艾薛爾鑲嵌藝術是跨

界的結合，它揉合了數學、美術、音樂與電腦科技，算是一種數學文化創意產業。民

國 103年 2月 27日至 6月 2 日，故宮的《錯覺藝術大師-艾雪的魔幻世界畫展》中，

我們幫忙設計四幅艾薛爾的鑲嵌版畫動畫，一起在這次展覽中呈現；而民國 103年 10

月至 104 年 1月，高雄美術館接續展〈艾雪的魔幻世界畫展〉，我們亦幫高美館的艾雪

展製作六支一分鐘的艾雪鑲嵌影片及設計一個奇異蜥蜴鑲嵌杯墊，也廣受歡迎。

我們開發的這些數位產品與工作單可以從艾薛爾鑲嵌藝術光碟片取得或者到本人

的個人網站《非想非非想數學網》觀看，網址為

pisa.math.ntnu.edu.tw

本使用說明就是要說明「如何操作與使用教學版、拼圖、著色與工作單這四樣數

位產品與工作單。」以下都以編號 E025 的版畫（艾薛爾將此版畫取名為蜥蜴）來做使

用說明。

目錄

1. 教學版使用說明 .................................................................................................................. 3

2. 拼圖使用說明 ...................................................................................................................... 5

3. 著色使用說明 ...................................................................................................................... 7

4. 工作單使用說明 .................................................................................................................. 9

5. 附錄：艾薛爾鑲嵌作品與數學骨架 ................................................................................ 15

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1. 教學版使用說明

《艾薛爾鑲嵌藝術》的教學版就是將艾薛爾每一幅鑲嵌作品做解說，說明如何從

數學骨架演化到各種天上飛的，地上爬的，海裡游的生物鑲嵌圖形。我們以編號 E025

的版畫（艾薛爾將此版畫取名為蜥蜴）來做使用說明如下：

從《艾薛爾鑲嵌藝術》光碟上點擊〈E025 蜥蜴教學版.exe〉檔案，打開後會進入

底下畫面：

① 為〔鑲嵌影片播放按鈕〕：

點擊此按鈕進入鑲嵌影片的播放，播放時間約三分鐘，而播放中，點擊畫面左側

標會暫停播放，再點擊一次則繼續播放，如下圖所示：

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② 為〔鑲嵌圖片呈現按鈕〕：

點擊此按鈕進入各種鑲嵌圖片的欣賞，有封面圖，鑲嵌原圖，畫有數學骨架的原

圖，有些含割補與拼貼的互動教學。

③ 為〔鑲嵌圖片封面圖〕：

艾薛爾有時針對這幅鑲嵌版畫會另外畫相關的版畫，在此幅作品中我們把它選為

封面圖。

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2. 拼圖使用說明

從《艾薛爾鑲嵌藝術》光碟上點擊〈E025 蜥蜴拼圖.exe〉檔案，打開後會進入底

下畫面：

① 為〔拼圖遊戲開始進行按鈕〕：

點擊此按鈕即進入拼圖遊戲畫面，而拼圖遊戲進行中，點擊畫面左側標(上)會回

到艾薛爾鑲嵌拼圖操作首頁，點擊畫面左側標(下)會出現此幅拼圖的數學骨架參

考線，如下頁圖片所示：

② 為〔參考解答呈現按鈕〕：

點擊此按鈕進入畫有數學骨架的參考鑲嵌拼圖解答。

③ 為〔拼圖遊戲規則說明區〕：

此為拼圖遊戲規則及使用滑鼠操作說明區。

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下圖為拼圖遊戲完成畫面

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3. 著色使用說明

從《艾薛爾鑲嵌藝術》光碟上點擊〈E025 蜥蜴著色.exe〉檔案，打開後會進入底

下畫面：

① 為〔著色區域放大、縮小按鈕〕：

點擊此按鈕可以調整著色區域大小，共有兩種尺寸。

使用滑鼠左鍵點擊著色區內的圖形即可著色，同區域再點擊一次則更換著色顏

色。

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② 為〔著色清除按鈕〕：

著色遊戲進行中，在著色區內有圖形上色的情況下，點擊此按鈕可以清除著色區

域內的所有上色回到未著色初始狀態。

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4. 工作單使用說明

E025 蜥蜴工作單

撰稿：沈玟妤

引言：《E025 蜥蜴》是荷蘭版畫家艾薛爾在1939年1月所作的一幅作品，每隻蜥蜴的身體為

單一顏色─紅色、綠色及白色，主要繪圖工具為墨水、鉛筆及水彩，而我們影片裡的封面圖《蜥

蜴》(reptiles)是艾薛爾在1943年時創作的一幅版畫，如下圖所示：

觀察此幅作品的蜥蜴，可以發現牠從畫中紙張的蜥蜴圖形緩慢爬行漸漸變成有生命的蜥蜴，歷

經由平面轉換為立體再由立體進入平面，象徵著生生不息與永恆地循環，這也是艾薛爾神秘又

精彩的版畫世界。讓我們接著來觀賞蜥蜴的影片探究這場美麗的邂逅。

請在電腦上點選《E025 蜥蜴.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始播放。

一、 蜥蜴的數學與藝術

我們可以把蜥蜴的影片分成如下的四幕：

第一幕：影片由正六邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這正六邊形正是蜥蜴的

數學骨架。

第二幕：將數學舞台的一個正六邊形放大，從這正六邊形剪下六小塊後，依數學

原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出蜥蜴。

第三幕：將蜥蜴外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各

種適當角度將表演的蜥蜴們互相密合。

第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將蜥蜴一隻一隻放到

數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、

反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪。

1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？

□ 正三角形 □ 正方形 □ 正六邊形

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2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？

□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面

3. 影片中有幾種顏色的蜥蜴？

□ 兩種 □ 三種 □ 四種

4. 鋪滿數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？

□ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣

二、 如何從數學骨架裁貼出蜥蜴

綜合下面兩個方式即可裁貼出蜥蜴，方式如下：

甲、 將正六邊形剪下六個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這六個小區塊貼到正

確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d ；E → e；F → f

乙、 如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉：

(1) A → a ：將 A 區塊以點 O 為旋轉點旋轉到 a

(2) B → b ：將 B 區塊以點 P 為旋轉點旋轉到 b

(3) C → c ：將 C 區塊以點 Q 為旋轉點旋轉到 c

(4) D → d ：先將 D 區塊以點 R 為旋轉點旋轉再平移到 d

(5) E → e ：先將 E 區塊以點 S 為旋轉點旋轉再平移到 e

(6) F → f ：先將 F 區塊平移再以點 T 為旋轉點旋轉到 f

裁貼出蜥蜴後可以發現：正六邊形的其中三個頂點分別在蜥蜴的左臉頰、右膝

蓋及左腳跟，這就是蜥蜴在數學骨架上的正確位置。

三、 真的是蜥蜴磁磚嗎

由藝術表演可以知道經過數學原理形成的蜥蜴可以互相密合，其密合方式有三

種：

b B

A

a

C c

D

d F

f

E

e

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(1) 左臉頰的密合 (2) 右膝蓋的密合 (3)左腳跟的密合

有了這三種密合方式，就可以將蜥蜴密鋪在平面上了。

四、 蜥蜴的鑲嵌圖

甲、 蜥蜴鑲嵌圖

透過了解蜥蜴在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架

上密鋪出蜥蜴鑲嵌圖，左下圖是先將蜥蜴放在數學骨架上的正確位置，其他

蜥蜴除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密

鋪。

關於艾薛爾的《E025 蜥蜴》原圖，如圖一所示：

圖一 圖二

摩拉維亞學院數學退休榮譽教授 Doris Schattschneider 在其書《Visions of

Symmetry》上談到一件事，蜥蜴作品上的鉛筆線是艾薛爾後來才畫上去的，

可能是為了製作圖二與圖三這兩幅版畫的緣故：圖二所示為1939年作品《發

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展二》(develop Ⅱ)與圖三是在1940年所作的《蛻變二》(MetamorphosisⅡ)。

圖三

乙、 蜥蜴著色遊戲

把蜥蜴當磁磚，讓相鄰兩隻蜥蜴顏色不相同，不但好分辨又具美觀效果，就

讓我們動手著色看看吧！

請在電腦上點選《E025 蜥蜴著色.exe》進入著色的畫面開始遊戲。

丙、 蜥蜴拼圖遊戲

看到這裡是否對蜥蜴鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩

且有趣的蜥蜴拼圖遊戲，請再仔細觀察蜥蜴鑲嵌圖的排列方式，遊戲開始

囉！

請在電腦上點選《E025 蜥蜴拼圖.exe》進入拼圖的首頁，

並按左上角的Q版圖開始遊戲。

E025 蜥蜴回饋單

1. 仔細想想，你在哪個地方見過正六邊形磁磚鋪設的地板？

2. 請你回想一下，每一隻蜥蜴周遭圍繞著幾隻蜥蜴呢？

□ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻

3. 蜥蜴的表面積與其數學骨架正六邊形的面積是否一樣？

□ 是 □ 否

4. 正六邊形的一個內角是幾度？

□ 60度 □ 120度 □ 150度

5. (1)將底下這個正六邊形的披薩平分給六個人吃，該如何切，又每人所分得的披薩形

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狀為何？

(2)若是平分給三個人吃，該如何切，又每人所分得的披薩形狀為何？

6. 關於影片(含拼圖與著色遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

又有何建議：

………………………………………………………………………………..................

填單人姓名：_____________ 填單日期：____年____月____日

e-mail：

電話：

□ 老師 □ 學生 □ 社會人士

學校 _____________ _____________

班級 _____________

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E025 蜥蜴工作單

1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？

☻ 正三角形 ☻ 正方形 ■ 正六邊形

2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？

■ 平移 ■ 旋轉 ☻ 翻面

3. 影片中有幾種顏色的蜥蜴？

☻ 兩種 ■ 三種 ☻ 四種

4. 鋪滿數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？

■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣

E025 蜥蜴回饋單

1. 仔細想想，你在那個地方見過正六邊形磁磚鋪設的地板？

廟宇、台北市政府前人行道、師大分部圖書館旁人行道等

2. 請你回想一下，每一隻蜥蜴周遭圍繞著幾隻蜥蜴呢？

☻ 3隻 ☻ 4隻 ☻ 5隻 ■ 6隻

3. 蜥蜴的表面積與其數學骨架正六邊形的面積是否一樣？

■ 是 ☻ 否

4. 正六邊形的一個內角是幾度？

☻ 60度 ■ 120度 ☻ 150度

5. (1)將底下這個正六邊形的披薩平分給六個人吃，該如何切，又每人所分得的披薩形

狀為何？

正三角形或 等

(2)若是平分給三個人吃，該如何切，又每人所分得的披薩形狀為何？

菱形或 等

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5. 附錄：艾薛爾鑲嵌作品與數學骨架

編號 名稱 教學版 拼圖 著色 工作單 數學骨架

E001 狗 ˇ ˇ ˇ ˇ 平行四邊形

E002 獅子 ˇ ˇ ˇ ˇ 矩形

E003 舉重者 ˇ ˇ ˇ ˇ 正方形

E004 稻草人 ˇ ˇ ˇ ˇ 菱形

E005 鐵腕人物 ˇ ˇ ˇ 平行四邊形

E006 駱駝 ˇ ˇ ˇ ˇ 平行四邊形

E007 松鼠 ˇ ˇ ˇ ˇ 平行四邊形

E008 馬到成功 ˇ ˇ 正方形

E009 鳥 ˇ ˇ 平行四邊形

E010 魚貫 ˇ ˇ ˇ ˇ 矩形

E011 海馬 ˇ ˇ ˇ ˇ 平行四邊形

E012 蝴蝶 ˇ ˇ 正方形

E013 蜻蜓 ˇ ˇ ˇ 正方形

E014 蜥蜴 ˇ ˇ ˇ ˇ 正方形

E015 蜥蜴 ˇ ˇ ˇ 正方形

E016 狗 ˇ ˇ ˇ ˇ 矩形

E017 老鷹 ˇ ˇ 矩形

E018 白天與晚上 ˇ ˇ 平行四邊形

E019 鳥 ˇ ˇ 矩形

E020 年年有魚 ˇ ˇ ˇ ˇ 正方形

E021 小丑 ˇ ˇ ˇ ˇ 菱形

E022 鳥與魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E023 鳥 ˇ ˇ ˇ 正方形

E024 鳥與魚 ˇ ˇ 矩形

E025 蜥蜴 ˇ ˇ ˇ ˇ 六角形

E026 燕子與昆蟲 ˇ ˇ 矩形

E027 蝴蝶與魚 ˇ ˇ 正方形

E028 三隻鳥 ˇ ˇ ˇ 六角形

E029 鳥與魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E030 魚與船 ˇ ˇ 矩形

E031 魚 ˇ ˇ 矩形

E032 魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E033 蜥蜴 ˇ ˇ ˇ 矩形

E034 鳥與魚 ˇ ˇ 鳶形

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編號 名稱 教學版 拼圖 著色 工作單 數學骨架

E035 蜥蜴 ˇ ˇ ˇ 等腰直角三角形

E036 蛇 ˇ ˇ ˇ 矩形或菱形

E037 甲蟲 ˇ ˇ 正方形

E038 蛾 ˇ ˇ 平行四邊形

E039 螞蟻 ˇ ˇ ˇ 矩形

E040 螃蟹 ˇ ˇ 矩形

E041 魚 ˇ ˇ 矩形

E042 貝殼與海星 ˇ ˇ 五角形

E043 花與葉 ˇ ˇ 菱形

E044 鳥 ˇ ˇ ˇ 正三角形

E045 惡魔與天使 ˇ ˇ 正方形

E046 魚 ˇ ˇ ˇ 矩形

E047 兩隻鳥 ˇ ˇ 平行四邊形

E048 鳥與魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E049 兩隻魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E050 魚與青蛙 ˇ ˇ 平行四邊形

E051 青蛙 ˇ ˇ ˇ 矩形

E052 青蛙與鳥 ˇ ˇ 平行四邊形

E053 兩個小丑 ˇ ˇ ˇ 菱形

E054 天生一對 ˇ ˇ ˇ 正三角形

E055 美妙的魚 ˇ ˇ ˇ ˇ 鳶形

E056 蜥蜴 ˇ ˇ ˇ 鳶形

E057 魚 ˇ ˇ 正三角形

E058 兩隻魚 ˇ ˇ 等腰三角形

E059 兩隻魚 ˇ ˇ 正方形

E060 兩隻蜥蜴 ˇ ˇ 矩形

E061 兩個生物 ˇ ˇ 平行四邊形

E062 惡魔 ˇ ˇ 矩形

E063 樂觀者悲觀者 ˇ ˇ 鳶形

E064 葉 ˇ ˇ ˇ 矩形

E065 蛾 ˇ ˇ 等腰直角三角形

E066 飛獅 ˇ ˇ 平行四邊形

E067 騎兵 ˇ ˇ 矩形

E068 兩種爬行動物 ˇ ˇ 矩形

E069 魚、鴨與蜥蜴 ˇ ˇ 菱形

E070 蝴蝶 ˇ ˇ ˇ ˇ 鳶形

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編號 名稱 教學版 拼圖 著色 工作單 數學骨架

E071 十二隻鳥 ˇ ˇ ˇ 正三角形

E072 魚與船 ˇ ˇ 矩形

E073 飛魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E074 鳥 ˇ ˇ 平行四邊形

E075 蜥蜴 ˇ ˇ 平行四邊形

E076 馬與鳥 ˇ ˇ 平行四邊形

E077 爬行動物 ˇ ˇ ˇ 矩形

E078 獨角獸 ˇ ˇ 矩形

E079 蝴蝶 ˇ ˇ ˇ 鳶形

E080 魚與鳥的邂逅 ˇ ˇ 平行四邊形

E081 鳥、蜜蜂與蝴蝶 ˇ ˇ 正方形

E082 鳥與魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E083 馬賽克鑲嵌Ⅰ ˇ ˇ 矩形

E084 魚與鳥 ˇ ˇ 矩形

E085 蜥蜴、魚與蝙蝠 ˇ ˇ 菱形

E086 蜘蛛 ˇ ˇ ˇ 正方形

E087 兩隻鳥 ˇ ˇ 平行四邊形

E088 海馬 ˇ ˇ 梯形

E089 魚 ˇ ˇ 鳶形

E090 魚 ˇ ˇ 任意四邊形

E091 甲蟲 ˇ ˇ 菱形

E092 兩隻鳥 ˇ ˇ 矩形

E093 魚 ˇ ˇ 凸四邊形

E094 魚 ˇ ˇ ˇ 正三角形

E095 鳥 ˇ ˇ ˇ 正三角形

E096 天鵝 ˇ ˇ 鳶形

E097 牛頭犬 ˇ ˇ 矩形

E098 爬行動物 ˇ ˇ 等腰三角形

E099 飛魚 ˇ ˇ ˇ 正三角形

E100 飛信 ˇ ˇ ˇ 正三角形

E101 分裂 ˇ ˇ 等腰直角三角形

E102 魟魚 ˇ ˇ 矩形

E103 魚 ˇ ˇ ˇ 菱形

E104 蜥蜴 ˇ ˇ ˇ 正方形

E105 飛馬 ˇ ˇ 正方形

E106 飛鳥 ˇ ˇ 正方形

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編號 名稱 教學版 拼圖 著色 工作單 數學骨架

E107 魚 ˇ ˇ ˇ 正方形

E108 鳥 ˇ ˇ 平行四邊形

E109 遲遲疑疑的傢伙 ˇ ˇ ˇ 正方形

E110 鳥與魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E111 鳥與魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E112 飛魚與船 ˇ ˇ 平行四邊形

E113 魚與船 ˇ ˇ 平行四邊形

E114 魚與青蛙 ˇ ˇ 平行四邊形

E115 飛魚與鳥 ˇ ˇ 矩形

E116 魚 ˇ ˇ 凸四邊形

E117 螃蟹 ˇ ˇ 矩形

E118 蜥蜴 ˇ ˇ ˇ 等腰直角三角形

E119 魚 ˇ ˇ ˇ 等腰直角三角形

E120 魚與鳥 ˇ ˇ 矩形

E121 魚與鳥 ˇ ˇ 矩形

E122 魚 ˇ ˇ ˇ 正方形

E123 魚 ˇ ˇ ˇ 菱形

E124 蜥蜴 ˇ ˇ 任意四邊形

E125 魚 ˇ ˇ 正方形

E126 鳥與魚 ˇ ˇ 平行四邊形

E127 鳥 ˇ ˇ 正方形

E128 鳥 ˇ ˇ 正方形

E129 魚與馬 ˇ ˇ 平行四邊形

E130 魚與馬 ˇ ˇ 平行四邊形

E131 五邊形之花 ˇ ˇ 正方形

E132 花 ˇ ˇ 五邊形

E133 交錯的六邊形 ˇ ˇ ˇ 正方形

E134 花 ˇ ˇ 正方形

E135 無記錄

E136 兩個瓷磚對 無法處理

E137 小鬼 ˇ ˇ ˇ ˇ 菱形

開始於 2012/7/1，完成於 2015/5/13.