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黎曼曲面讲义梅加强编著

c⃝ 2006-2010

前言 i

前言

本书是近若干年来作者在南京大学等地为数学系高年级本科生和研究生讲授

黎曼曲面理论所逐渐积累起来的一份讲义。黎曼曲面的理论可以回溯到 Riemann(黎

曼)，Jacobi，Abel，Weierstrass，Hurwitz 等人所做的基础性贡献。自从 H. Weyl 在

1913 年给出抽象黎曼曲面的近代定义以来，微分流形以及基于微分流形的几何学

和拓扑学取得了蓬勃的发展，许多经典的结果以新的面目出现并得到了极大的推

广，近代的分析工具、代数工具、几何和拓扑工具在这个过程逐渐发展和融合。通

过学习黎曼曲面，可以初步体会近代数学的思想和方法，为进一步的专门化学习和

研究提供有益的帮助。

黎曼曲面可以从好几个方面来学习和研究。我们在本书中主要采用几何分析

的观点，同时也兼顾较初步的代数方法。本书主要的结果是单值化定理，Riemann-

Roch 公式及其应用。围绕着这两个主要结果我们引入了近代几何与拓扑的若干概

念。这些概念以及我们所采用的证明方法大多可以推广到高维的情形，我们的想法

是读者可以把本书作为通往复几何甚至代数几何的一个小小阶梯。

本书主要内容如下：第一章基本上是关于复变函数的简单复习，我们给出了

单值化定理的简单情形，即 Riemann 映照定理的证明。这一章也得到了调和函数

的梯度估计以及 Harnack 原理，这里采用的方法可以推广到一般的黎曼流形上。

第二章引入了抽象黎曼曲面的定义，并给出了单连通黎曼曲面的分类（单值化定

理），其中，黎曼环面作为一类重要的紧致黎曼曲面也加以了分类。证明单值化定

理的方法是通过调和函数（可能带有奇点）来构造特殊的全纯映射。而调和函数

的存在性是通过经典的 Perron 方法获得的。第三章是本书核心内容之一，我们给

出了 Riemann-Roch 公式的证明，并选择了若干有意思的应用加以介绍。我们选

择的 Riemann-Roch 公式的这个证明也是经典的，它也涉及某些给定奇性的亚纯

微分的存在性，这种亚纯微分的存在性是通过 Hodge 定理获得的，为了尽快的介

绍 Riemann-Roch 公式的应用，我们把重要的 Hodge 定理的证明放在本书第二个

附录中了。通过 Riemann-Roch 公式我们知道了紧致黎曼曲面上亚纯函数的丰富

性，我们也证明了亚纯函数域是一个一元代数函数域，并且它惟一地决定了黎曼曲

面本身。作为例子我们简单介绍了黎曼环面上的亚纯函数，它们就是经典的椭圆

函数。通过适当地挑选亚纯函数，我们把黎曼曲面全纯地嵌入到了复投影空间中，

因此可以从代数曲线的角度来研究它们。我们还介绍了计算总分歧数的 Riemann-

Hurwitz 公式，并利用它简单研究了超椭圆型的黎曼曲面。接下来我们介绍了曲面

上的 Weierstrass 点，得到了 Weierstrass 点的个数估计。这些结果又被应用于曲面

的全纯自同构群，特别地，我们证明了亏格大于 1 的紧致黎曼曲面全纯自同构群

的阶的估计。作为第二章的结束，我们还介绍了重要的双线性关系、Jacobi 簇，证

ii 前言

明了关于主要因子的 Abel 定理和 Jacobi 逆定理。第四章和第五章可以看成是一

维复几何的一些入门介绍，主要的目的是将 Riemann-Roch公式重新解释为一个指

标公式。围绕着这一目的我们引入了一维复几何的一些基本概念，例如在第四章中

我们介绍了曲面上的全纯线丛，讨论了因子和全纯线丛之间的关系；然后介绍了层

的概念，引出了层的上同调，分析了几种不同的上同调之间的关系。层的概念是在

研究黎曼曲面和更一般的代数几何中自然出现的，我们这里只做了简要介绍。第五

章研究全纯线丛的复几何，介绍了重要的 Hodge 定理，Serre 对偶定理以及消没定

理。线丛的第一陈类也做了具体介绍，并证明了重要的 Gauss-Bonnet 公式。

毫无疑问，这样一本小册子无法囊括关于黎曼曲面的所有重要结果。例如，关

于非紧的黎曼曲面只研究了单连通的情形。从代数曲线的角度来理解黎曼曲面也

只包含了零星的几个结果。最重要的也许是没有介绍黎曼曲面上的双曲结构和复

结构的模空间理论，因此也没有引入 Teichmuller 空间。我们希望今后能继续补充

编写这些重要的结果。

本书可以作为综合性大学数学系高年级本科生和研究生的教学参考书。阅读

本书前如果具有微分流形和代数拓扑的基础可能会对读者更有帮助。当然，复分析

是读者必备的预备知识。作者在每一小节后均提供了一定数量的习题，个别习题的

结论甚至在后面的正文中会用到，因此习题是本书的不可或缺的重要补充。

本书的部分内容曾在扬州大学的讨论班上讲过，在此感谢王宏玉教授的大力

支持。作者也感谢南京大学数学系的历届同学们在教学过程中所提供的宝贵意见

和建议。本书在写作过程中部分地得到了国家自然科学基金和南京大学的资助，特

致谢忱。

目录

前言 i

第一章 Riemann 映照定理 1

1.1 Schwarz 引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 调和函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Riemann 映照定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

第二章单值化定理 17

2.1 黎曼曲面的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Poincare 引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 亚纯函数与亚纯微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Perron 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 单值化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

第三章 Riemann-Roch 定理 57

3.1 因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Hodge 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Riemann-Roch 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 若干应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5 Abel-Jacobi 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

第四章曲面与上同调 121

4.1 全纯线丛的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2 因子与线丛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3 层和预层 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.4 层的上同调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.5 上同调群的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.6 欧拉数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

第五章曲面的复几何 155

5.1 Hermite 度量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2 线丛的几何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.3 线丛的 Hodge 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.4 对偶定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

iii

iv 目录

5.5 消没定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.6 线丛的陈类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

附录 185

附录 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

附录 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

参考文献 197

索引 198

第一章 Riemann 映照定理

在本章里, 我们将简单复习单复变函数的若干知识. 从 Schwarz 引理开始, 然

后介绍调和函数的基本性质, 最后给出 Riemann 映照定理的证明.

§1.1 Schwarz 引理

设 D Ă C 为开集, 如果 D 连通, 则称 D 为 C 中区域, 这时 D 也是道路连通

的.

设 f : D Ñ C 为复函数, z0 P D. 若极限

limzÑz0

fpzq ´ fpz0q

z ´ z0

存在 (且有限), 则称 f 在 z0 处可导, 此极限值称为 f 在 z0 处的导数, 记作 f 1pz0q.

如果 f : D Ñ C 在 D 中任何一点处均可导, 则称 f 为 D 中全纯函数. 记

f 的实部和虚部分别为 u, v, 则 f 为全纯函数的充分必要条件是 u, v 满足如下的

Cauchy-Riemann 方程:$

&

%

ux “ vy,

uy “ ´vx.

全纯函数的定义还有许多其他的等价形式.

平均值公式: 若函数 f 在圆盘 tz P Cˇ

ˇ |z ´ a| ă Ru 内全纯并连续到边界, 则

fpaq “12π

ż 2π

0

fpa` reiθqdθ, 0 ă r ď R.

即，f 在圆心处的值等于它在圆盘边界上的积分的平均值.

由此立即得到重要的最大模原理:

最大模原理: 假设函数 fpzq 在域 D 内全纯, 则 |fpzq| 在 D 内取不到最大值,

除非 f 为常值函数.

关于单复变函数的一个特别简单而优美的结果是如下的 Schwarz 引理.

定理 1.1.1 (Schwarz 引理). 设 f 是从单位圆盘 D “ tz P Cˇ

ˇ |z| ă 1u 到自身

的全纯函数, 且 fp0q “ 0. 则

(i) |f 1p0q| ď 1,

(ii) |fpzq| ď |z|, @ z P D.

且等号成立时, 存在某个实数 θ, 使得

fpzq “ eiθz, @ z P D.

1

2 第一章 Riemann 映照定理

证明. 在 D 上定义新的函数 g 如下：

gpzq “

#

fpzqz, z ‰ 0,

f 1p0q, z “ 0,

则 g 也是 D 内全纯函数, 且对 ρ ă 1, 有

|gpzq| “|fpzq|

|z|ď

1ρ, @ z P t|z| “ ρu.

由最大模原理得

|gpzq| ď1ρ, @ z P tz P D

ˇ

ˇ |z| ď ρu.

令 ρ Ñ 1 就知 |gpzq| ď 1, @ z P D.

如果 |f 1p0q| “ 1 或 |fpzq| “ |z| (对某个 z ‰ 0), 则 g 在 D 的内部达到最大模,

从而由最大模原理, gpzq ” c. 即

fpzq “ cz.

显然, |c| “ 1. 因此, c “ eiθ, θ P R. 从 Schwarz 引理可以得到如下推论, 其证明留作练习.

推论 1.1.2. p1q 设 f : BRp0q Ñ Brp0q 是从半径为 R 的圆盘到半径为 r 的圆

盘的全纯函数, 如果 fp0q “ 0, 则 |f 1p0q| ď rR;

p2q 设 f : BRp0q Ñ C 为有界全纯函数, 则

|f 1p0q| ď2R

sup |f |;

p3q pLiouvilleq 设 f : C Ñ C 为有界全纯函数, 则 f 为常值函数.

作为 Schwarz 引理的进一步应用, 下面我们来找出单位圆盘 D 到自身的所有全纯的一一映射 (即全纯自同构).

任取 z0 P D, θ P R, 定义

fz0 : D Ñ D

z ÞÑ eiθ z ´ z0z0z ´ 1

fz0 是一一的全纯映射, 且 fz0pz0q “ 0. 这样的映射称为 Mobius 变换.

定理 1.1.3. 如果 f : D Ñ D 是一一的全纯的映射, 则 f 必为一个 Mobius 变

换.

§1.1 Schwarz 引理 3

证明. 设 f : D Ñ D 是一一的全纯的映射. 记 z0 “ fp0q, 令 gpzq “ fz0pfpzqq,

则 g : D Ñ D也是一一的全纯的映射,且 gp0q “ 0. 由 Schwarz引理, |g1p0q| ď 1. 另

一方面, g 的逆映射 h : D Ñ D也是全纯函数,且 hp0q “ 0. 从而同理有 |h1p0q| ď 1.

由于 hpgpzqq ” z, 对 z 求导, 有

h1p0q ¨ g1p0q “ 1.

这说明必有

|g1p0q| “ |h1p0q| “ 1.

由 Schwarz 引理, gpzq “ eiθz, θ P R. 即

fz0pfpzqq “ eiθz

fpzq “ eiθ z ´ e´iθz0z0eiθz ´ 1

这就证明了定理. 类似地, 我们也可以决定 C 到 C 的全纯自同构.

定理 1.1.4. 如果 f : C Ñ C 是全纯自同构, 则 f 必为形如 az ` b 的线性映

射, 其中 a P C˚ “ C ´ t0u, b P C.

证明. 记 fp0q “ b. 显然, f ´ b 也是 C 的全纯自同构. 我们要证明 f ´ b 是形

如 az 的线性映射. 因此, 为了方便起见, 下设 fp0q “ 0. 令 g : C Ñ C 定义为

gpzq “

#

fpzqz, z P C˚,

f 1p0q, z “ 0.

则 g 为 C 上全纯且处处非零的函数. 下面证明 g 必为常值函数. 关键是证明1g为

C 上有界全纯函数. 我们观察到

(1) 存在 c ą 0, 使得 |fpzq| ě c, @ z P C ´ D;

(2) lim|z|Ñ8

|fpzq| “ `8.

(1) 的证明: (反证法) 假设不然, 则存在一列 zi P C ´ D, 使得 fpziq Ñ 0. 注意

到 f 在 0 处是一一可逆全纯的, 因此有

zi “ f´1pfpziqq Ñ f´1p0q “ 0.

这和 zi P C ´ D 相矛盾!

(2)的证明: (反证法)假设存在 A ą 0, 以及一列 zi Ñ 8, 使得 |fpziq| ď A, i “

1, 2, ¨ ¨ ¨ . 通过取子列, 不妨设 fpziq Ñ w P C. 类似 (1) 知 zi “ f´1pfpziqq Ñ fpwq.

这和 zi Ñ 8 相矛盾!


下面我们定义映射

g : D Ñ D

z ÞÑ

#

rfp 1z qs´1 ¨ c, z ‰ 0,

0, z “ 0.

由 (2) 知 g 是 D 上的连续函数, 且在 D˚ “ D ´ 0 上全纯. 因此, g 是 D 上全纯函数, 从而满足 Schwarz 引理的条件. 特别地,

|gpzq| ď |z|, @ z P D.

即有

|fpzq| ě c|z|, @ z P C ´ D.

这说明1g这个非零全纯函数在 C 上整体有界, 从而必为常数.

从上面两个定理我们就得到了 D 和 C 的全纯自同构群的完全刻画.

习题 1.1

1. 设 f : C Ñ C 为全纯函数且 |fpzq| ď |z|32, @ z P C. 证明 f 恒为 0.

2. 设 f : C Ñ C 全纯, 且存在自然数 n, 使得 |z| 充分大时, |fpzq| ď c ¨ |z|n. 证明

f 必为某个次数不超过 n 的多项式.

3. 设 f : Ω Ñ C 为非常值全纯函数, 其中 Ω 为 C 中区域. 证明 f 为开映射, 即把

开集映为开集.

4. 设 f : Ω Ñ C 为单的全纯映射, 则 f : Ω Ñ fpΩq 为全纯同构.

5. 试刻画 C˚ 的全纯自同构.

6. 证明, C 到 C 的全纯单射必为满射, 从而是线性映射.

§1.2 调和函数

设 Ω 为 C 上区域, h P C2pΩq 为实值函数. 如果 ∆h “ 0, 则称 h 为调和函数,

这里 ∆ “ B2

Bx2 ` B2

By2 是 Laplace 算子.

记 u, v分别为全纯函数 f : Ω Ñ C的实部与虚部,则 u, v满足 Cauchy-Riemann

方程:$

&

%

ux “ vy,

uy “ ´vx.

§1.2 调和函数 5

由此立知∆u “ uxx ` uyy “ vyx ´ vxy “ 0,

∆v “ vxx ` vyy “ úyx ` uxy “ 0.

即全纯函数的实部和虚部均为调和函数.

现在我们考虑反过来的问题, 即, 一个实值调和函数在什么条件下成为一个全

纯函数的实部? 为此, 我们假设 u : Ω Ñ R 为区域 Ω 上的调和函数, 在 Ω 中解如下

一阶偏微分方程组$

&

%

vx “ úy,

vy “ ux.

这个方程组局部有解的可积条件为

púyqy “ puxqx ðñ ∆u “ 0.

这就说明了解的局部存在性, 因此, 复变函数 f “ u `?

´1v 为 Ω 上的全纯函数.

特别地, 调和函数必为实解析函数.

一般地, 上述方程组在 Ω 上的整体解未必存在. 在一个特殊的情形下, 即区域

Ω 单连通的情形, 整体解是存在的. 回忆一下, 一个区域单连通是指其基本群为平

凡群 (即, 区域中的闭连续曲线可在该区域内连续地缩成一点). 例如, D 和 C 都是单连通的区域. 因为上述方程组的两个解只相差一个常数, 因此, 如果 Ω 单连通,

则通过解析延拓, 一个局部的解总能延拓为整体解. 这就得到了如下结果:

定理 1.2.1. 设 u : Ω Ñ C 为区域 Ω 上的调和函数, 则有

(i) @ z0 P Ω, 均存在 z0 的开邻域 Bz0 Ă Ω 以及 Bz0 上的调和函数 v, 使得

f “ u`?

´1 v 为 Bz0 上的全纯函数.

(ii)如果 Ω为单连通区域,则存在 Ω上的整体调和函数 v,使得 f “ u`?

´1 v

为 Ω 上的全纯函数.

注. 上面定理中解的局部存在性和整体存在性与区域 Ω 及函数 u 代表的拓扑

性质有关, 读者可参考第二章 2.2 节中的 Poincare 引理.

利用上述结论, 我们就可以从全纯函数的性质得到调和函数的一些好的性质.

调和函数的平均值公式: 设 u : Ω Ñ R 为调和函数,

Brpz0q “ tz P Ωˇ

ˇ |z ´ z0| ă ru Ť Ω

是以 z0 为中心的圆盘, 则

upz0q “12π

ż 2π

0

upz0 ` reiθqdθ.


证明. 由上述定理知调和函数 u 在 Brpz0q 内是全纯函数的实部, 根据全纯函

数的平均值公式就立即得到了 u 的平均值公式. 作为平均值公式的推论, 我们马上得到调和函数的最大值原理, 其证明留作习

题.

最大值原理: 设 u : Ω Ñ R 为调和函数, 则

(i) |u| 在 Ω 的内部达不到局部最大值, 除非 u 为常数;

(ii) u 在 Ω 的内部达不到局部最大值 (或最小值), 除非 u 为常数.

其次, 从平均值公式我们看到, 圆盘上的调和函数在圆心的值由它在边界上的

值确定. 为了简单起见, 我们考虑中心在原点 0 处的圆盘

Br “ tz P Ωˇ

ˇ |z| ă ru,

设 z0 P Br, γ : Br Ñ Br 是把 0 映为 z0 的分式线性变换, 对调和函数 u ˝ γ 在 Br

上用平均值公式就得到如下的 Poisson 积分公式:

Poisson 积分公式: 设 u, Br 如上, 则对任意 z0 P Br, 有

upz0q “12π

ż 2π

0

upreiθqr2 ´ |z0|2

|reiθ ´ z0|2dθ.

Poisson积分公式表明,圆盘上的调和函数是由它在边界上的值惟一决定的. 反

之, 如果圆盘的边界上给定一个连续函数, 则通过积分在圆盘内部就可以定义一个

调和函数, 这就是所谓的 Dirichlet 边值问题.

定理 1.2.2 (圆盘上 Dirichlet 边值问题解的存在惟一性). 设 fpreiθq 是圆周

|z| “ r 上的实值连续函数, 则在圆盘 |z| ă r 内存在惟一的调和函数 upzq 满足

limzÑreiθ

upzq “ fpreiθq.

证明. 在圆盘内定义

upzq “12π

ż 2π

0

fpreiθqr2 ´ |z|2

|reiθ ´ z|2dθ,

不难验证 u 是满足要求的在圆盘上连续到边界的调和函数. u 的惟一性由最大值

原理给出. 结合最大值原理和 Dirichlet 问题解的存在惟一性, 我们就得到调和函数的如

下刻画.

推论 1.2.3. 设 u : Ω Ñ R 为区域 Ω 上的连续函数, 且任给 Ω 中一点 p, 均存

在 p 的邻域 Vp, 使得在 Vp 内 u 都满足平均值公式, 则 u 为 Ω 上的调和函数.

§1.2 调和函数 7

证明. 任取 p P Ω, 只要证明 u 在 p 附近调和即可. 为此, 取含有 p 的圆盘

Bp Ă Vp, 在 Bp 上考虑 Dirichlet 边值问题

#

∆vpzq “ 0, @ z P Bp,

vpzq “ upzq, @ z P BBp.

记此边值问题的解为 up,则函数 u´up 在 Bp 内满足平均值公式,从而也满足

最大值原理. 由于在圆盘的边界 BBp 上 u´ up 为 0, 因此在 Bp 内 u ” up, 这就说

明 u 在 Bp 内调和. 下面来给出调和函数重要的梯度估计. 我们注意到, 如果 u 为 Ω 上的调和函

数, 则其偏导数 ux, uy 也是调和函数, 因此也满足 Poisson 积分公式, 由此就可以

通过 |u| 来估计 |ux| 和 |uy|. 不过, 下面我们采用另一个办法来作一阶导数的估计,

这个办法的好处是可以推广到黎曼流形上. 为此, 我们不妨一般一点, 在 Rn 上考

虑问题. Rn 上调和函数的定义和 C 上调和函数的定义完全类似, 只是 Rn 上的

Laplace 算子定义为

∆ “B

Bx21

`B

Bx22

` ¨ ¨ ¨ `B

Bx2n

,

这里 x1, x2, ¨ ¨ ¨ , xn 为 Rn 上标准直角坐标.

设 u 为 Rn 上调和函数, 即 u 满足 ∆u “ 0. 下面我们要估计 |∇u|, 这里

∇u “ pux1 , ux2 , ¨ ¨ ¨ , uxnq 是 u 的梯度. 我们采用的办法是, 先用一个函数将 |∇u|2

截断, 然后考虑截断以后的函数的极值. 为此, 我们需要一个截断函数, 这就是下面

的引理.

引理 1.2.4. 存在常数 C1, C2 以及光滑函数 ϕ : R Ñ R, 使得 ϕ 满足如下条

件$

’

’

&

’

’

%

ϕpxq “ 0, @ |x| ě 1; 0 ă ϕpxq ă 1, @ x P p´1,`1q;

pϕ1pxqq2 ď C1ϕpxq, @ x P R;

|ϕ2pxq| ď C2, @ x P R.

证明. 先定义如下函数 φ1 : R Ñ R:

φ1pxq “

#

e1

x´1 , x ă 1,

0, x ě 1.

不难验证 φ1 是 R 上的光滑函数, 且

limxÑ1´

rφ11pxqs2

φ1pxq“ lim

xÑ1´e

1x´1 px´ 1q´4 “ 0,

以及

limxÑ´8

rφ11pxqs2

φ1pxq“ lim

xÑ´8e

1x´1 px´ 1q´4 “ 0.


φ1(x)1

1x

y

0

图 1.1

结合 φ1pxq “ 0, @ x ě 1 就知道存在常数 C 11, 使得

rφ11pxqs2 ď C 1

1φ1pxq, @ x P R. (1.1)

类似地, 由

limxÑ´8

φ21pxq “ lim

xÑ´8e

1x´1 rpx´ 1q´4 ` 2px´ 1q´3s “ 0

以及 φ21pxq “ 0, @ x ě 1 就知道存在常数 C 1

2, 使得

|φ21pxq| ď C 1

2, @ x P R. (1.2)

其次, 考虑光滑函数 φ2 : R Ñ R:

φ2pxq “φ1pxq

φ1pxq ` φ1p1 ´ xq, x P R.

由 φ1 的定义知 φ2pxq “ 1, @ x ď 0; φ2pxq “ 0, @ x ě 1. 因此, 如果按如下方式定

义函数 ϕ : R Ñ R

ϕpxq “ φ2p|x|q “

#

φ2pxq, x ě 0,

φ2p´xq, x ď 0,

则 ϕ 为 R 上的光滑函数, 并且利用 (1.1), (1.2) 易验证, 存在常数 C1, C2, 使得 ϕ

就是满足引理要求的函数. 注. ϕ 在 r´1, 0s 上递增, 在 r0, 1s 上递减.

ϕ(x)

x

y

0

1

−1 1

图 1.2

上面引理中的函数称为一个截断函数. 由此也可以得到 Rn 中的截断函数.

§1.2 调和函数 9

推论 1.2.5. 存在光滑函数 ϕ : Rn Ñ R, 使得 ϕ 满足条件

$

’

’

’

’

&

’

’

’

’

%

0 ă ϕpxq ď 1, @ x P B1p0q “ tpx1, x2, ¨ ¨ ¨ , xnq |řn

i“1 x2i ă 1u;

ϕpxq “ 0, @ x P Rn ´B1p0q;

|∇ϕpxq|2 ď C1ϕpxq, @ x P Rn;

|∆ϕpxq| ď nC2, @ x P Rn.

证明. 如下定义函数 ϕ:

ϕpxq “ ϕpx1, x2, ¨ ¨ ¨ , xnq “ ϕprq “ ϕpr

nÿ

i“1

x2i s

12 q, x P Rn,

这里在后面两个等号后我们用了同一个 ϕ表示上面引理 1.2.4中的一元截断函数 (

n “ 1 时二者一致). 显然, ϕ 在 Rn ´ 0 上是光滑的, 不难验证 ϕ 在 0 处也是光滑

的. 且

|∇ϕ|2 “ |ϕ1prq∇r|2 “ |ϕ1prq|2 ď C1ϕprq “ C1ϕpxq,

|∆ϕpxq| “ |ϕ2prq ` ϕ1prqr´1pn´ 1q| ď nC2.

因此 ϕ 为满足要求的光滑函数. 下面考虑梯度估计. 设 u : Ω Ñ R 为调和函数, Ω 为 Rn 中的区域. 为了方便

起见, 先假设 u 为正函数. 由于下面涉及许多偏导数的计算, 我们采用一些简化的

记号, 即如果一个函数带有下标 i, 就表示是对第 i 个变量 xi 求偏导数; 另外, 在一

个表达式中, 如果相同的指标出现两次, 就表示要对该指标从 1 到 n 求和, 从而省

略求和符号 (这称为 Einstein 求和约定). 例如, 令 v “ log u, 则有

∆v “ plog uqii

“ pu´1uiqi

“ ´u´2uiui ` u´1∆u

“ ´|∇v|2. (1.3)

在 Ω 中任取一点 p, 设 Bρppq Ť Ω. 不失一般性, 可设 p “ 0. 设 ϕ 为引理 1.2.5

中的截断函数, 令 ϕρpxq “ ϕp 1ρxq, @x P Rn. ϕρ 也是一个截断函数, 它在 Bρp0q 之

外为 0. 考虑 Bρp0q 上的函数 Q “ ϕρ|∇v|2. 因为 Qˇ

ˇ

BBρ“ 0, 故存在 x0 P Bρp0q, 使

得 Qpx0q “ maxBρp0q

Q. 不妨设 Qpx0q ą 0. 在 x0 处, 有

∇Qpx0q “ 0,

∆Qpx0q ď 0.


下面我们在 x0 处作一些计算, 为了方便起见, 仍以 ϕ 来表示 ϕρ:

0 ě ∆Qpx0q

“ ∆pϕ|∇v|2q

“ ∆ϕ|∇v|2 ` 2∇ϕ ¨ ∇|∇v|2 ` ϕ∆|∇v|2

“ ϕ´1∆ϕQ` 2∇ϕ ¨ ∇pϕ´1Qq ` ϕ∆|∇v|2

“ ϕ´1∆ϕQ´ 2ϕ´2|∇ϕ|2Q` ϕ∆|∇v|2. (1.4)

为了方便起见, 上面的计算过程中省略了 x0. 我们有

∆|∇v|2 “ pvi ¨ viqjj

“ p2vi ¨ vijqj

“ 2vij ¨ vij ` 2vi ¨ vijj

“ 2vij ¨ vij ` 2vi ¨ p∆vqi

ě2n

pviiq2 ` 2vi ¨ p∆vqi

“2n

p∆vq2 ´ 2∇v ¨ ∇|∇v|2

“2n

|∇v|4 ´ 2∇v ¨ ∇|∇v|2. (1.5)

上面的计算过程中用到了 (1.3). 将 (1.5) 代入 (1.4), 我们有

0 ě ∆Qpx0q

ě ϕ´1∆ϕQ´ 2ϕ´2|∇ϕ|2Q`2nϕ´1Q2 ´ 2ϕ∇v ¨ ∇pϕ´1Qq

ě ϕ´1∆ϕQ´ 2ϕ´2|∇ϕ|2Q`2nϕ´1Q2 ` 2ϕ´1∇v ¨ ∇ϕ ¨Q.

上式两边约去 ϕ´1Qpx0q, 并利用

2∇v ¨ ∇ϕ ě ´1nϕ|∇v|2 ´ nϕ´1|∇ϕ|2

“ ´1nQ´ nϕ´1|∇ϕ|2

就得到如下估计:

0 ě ∆ϕ´ 2ϕ´1|∇ϕ|2 `2nQ´

1nQ´ nϕ´1|∇ϕ|2,

即Qpx0q ď nrpn` 2qϕ´1|∇ϕ|2 ´ ∆ϕs

ď nrpn` 2qC1ρ´2 ` nC2ρ

´2s

“ Cpnqρ´2.

§1.2 调和函数 11

特别地, 任给 0 ď c ă 1, 有

SupBcρp0q

|∇v|2 ď1

ϕρpcρqSup

Bcρp0q

ϕρ|∇v|2

ď1

ϕρpcρqSupBρp0q

ϕρ|∇v|2

“1

ϕpcqQpx0q ď

Cpnq

ϕpcqρ´2.

总结一下, 我们就得到如下定理.

定理 1.2.6 (调和函数的梯度估计). 设 u : Ω Ñ R 为正的调和函数, 则对任意

c P r0, 1q 存在只依赖于 n 的常数 Cpnq, 使得

SupBcρppq

|∇ log u|2 ďCpnq

ϕpcqρ´2, @ Bρppq Ť Ω.

注: 梯度估计的其它形式有

(1) 上面定理中条件 Bρppq Ť Ω 可以用 Bρppq Ă Ω 代替, 只要适当缩小球的半

径再让半径逼近 ρ 即可.

(2) 上面定理中取 c “ 0, 就得到球心处的梯度估计:

|∇ log uppq|2 ď Cpnqρ´2, @ Bρppq Ă Ω.

进而, 如果 q P Bcρppq, 则 Bp1´cqρpqq Ă Bρppq Ă Ω, 这说明

|∇ log upqq|2 ď Cpnqrp1 ´ cqρs´2, @ q P Bcρppq.

从而定理的结论也可改写为

SupBcρppq

|∇ log u|2 ďCpnq

p1 ´ cq2ρ´2, @ Bρppq Ă Ω.

(3) 有很多方法来选取截断函数, 例如也可令 ϕprq “ p1 ´ r2q2, 从而可以简化

一些运算.

由梯度估计立得 Rn 上的 Liouville 定理:

推论 1.2.7 (Liouville 定理). Rn 上的正调和函数必为常数. 特别地, Rn 上

的有界调和函数必为常数.

证明. 设 u : Rn Ñ R 为正调和函数, 则由梯度估计, 我们有

SupBρp0q

|∇ log u|2 ď cpnqρ´2, @ ρ ą 0.


令 ρ Ñ `8, 就有

SupRn

|∇ log u|2 “ 0.

从而 u 为常数. 如果 u 为有界调和函数, 则通过加上一个正的常数, 该调和函数就

成为正的调和函数, 从而也为常数. 对于一般的调和函数, 有

推论 1.2.8 (调和函数的梯度估计). 设 u : Ω Ñ R 为调和函数, 则对 @c P r0, 1q

存在只依赖于 n 的常数 Cpnq, 使得

SupBcρppq

|∇u|2 ďCpnq

ϕpcqρ´2Sup|u|2

Bρp0q

, @ Bρppq Ť Ω.

证明. 取 ϵ ą 0, 在 Bρppq 上考虑正的调和函数 u ` SupBρp0q

|u| ` ϵ 的梯度估计, 然

后令 ϵ Ñ 0` 即可. 从梯度估计就得到有用的 Harnack 不等式.

定理 1.2.9 (Harnack 不等式). 设 Ω 为 Rn 中区域. 则任给 c P r0, 1q, 存在常

数 Dpc, nq, 使得对任意的正调和函数 u : Ω Ñ R 均有

SupBcρppq

u ď Dpc, nq infBcρppq

u, @ Bρppq Ă Ω.

一般地,如果集合 K Ť Ω,则存在常数 DKpΩq,使得对任意的正调和函数 u : Ω Ñ R均有

DKpΩq´1 ď upz1qupz2q ď DKpΩq, @z1, z2 P K.

证明. 设 u : Ω Ñ R 为正调和函数, Bρppq Ă Ω. 设 upw1q “ SupBcρppq

u, upw2q “

infBcρppq

u, 则 w1, w2 P Bcρppq. 以直线段 γ 连接 w1, w2, 显然 γ Ă Bcρppq. 由梯度估

计, 有

log upw1q ´ log upw2q “

ż

γ

plog u ˝ γq1

ď

ż

γ

|∇ log u| ¨ |γ1|

ď cpnqrp1 ´ cqρs´1Lpγq

ď cpnqrp1 ´ cqρs´12cρ

“ 2cpnqc

1 ´ c. (1.6)

即

upw1q ď Dpc, nqupw2q, Dpc, nq “ e2cpnq c1´c .

§1.2 调和函数 13

一般地,如果 K Ť Ω,则 dpK,Ωcq ą 0. 记 δ1 “ 12dpK,Ωcq. K 可被 Ω中半径为

δ1 的有限个开球覆盖,这些开球的中心记为 pi. 给定两个这样的中心 pi, pj ,取定 Ω

中连接 pi, pj 的分段光滑曲线, 记为 γij . 令 L “ maxtLpγijqu, δ2 “ mintdpγij ,Ωcqu

以及 δ “ mintδ1, δ2u. 与 (1.6) 式的证明一样, 有

log uppiq ´ log uppjq ď cpnqδ´1Lpγijq ď cpnqδ´1L.

设 z1, z2 P K, 不妨设 z1 落在中心为 pi 的球中, z2 落在中心为 pj 的球中, 与 (1.6)

式的证明一样, 有

log upz1q ´ log uppiq ď cpnqδ´11 dpz1, piq ď

12cpnq,

以及

log uppjq ´ log upz2q ď cpnqδ´11 dpz2, pjq ď

12cpnq.

结合上面三式就有

log upz1q ´ log upz2q ď cpnqp1 ` Lδq.

因为 z1 和 z2 是任取的, 交换 z1 和 z2 上式仍成立. 因此, 令 DKpΩq “ ecpnqp1`Lδq,

最后就得到

DKpΩq´1 ď upz1qupz2q ď DKpΩq, @ z1, z2 P K.

这就证明了 Harnack 不等式. Harnack不等式的一个重要应用是用来判断一列调和函数收敛性. 我们先叙述

一个简单的情形.

定理 1.2.10 (Harnack 原理). 设 tuiu 是域 Ω 上的一列单调递增的调和函数,

则只有下列两种情形出现:

(i) tuiu 内闭一致地发散到 `8;

(ii) tuiu 内闭一致地收敛到 Ω 上一个调和函数.

证明. 通过考虑 tui ´ u1 ` 1u 不妨设这一列调和函数 ui 都是正的. 以下分两

种情况讨论.

如果存在 z1 P Ω, 使得 limiÑ8

uipz1q “ `8, 则由 Harnack 不等式, 对于 z1 附近

的点 z2 也有 limiÑ8

uipz2q “ `8. 更一般地, 对于任意一个子集 K Ť Ω, ui 必在 K

上一致地发散到 `8.

如果存在 z1 P Ω, 使得 limiÑ8

uipz1q “ u ă `8, 则由 Harnack 不等式知, ui 在 Ω

上内闭一致有界. 又由梯度估计, ui 在 Ω 上也是内闭一致等度连续的, 因此必然

内闭一致地收敛到一个连续函数,这个连续函数满足平均值公式,因而为 Ω上的调

和函数 (见下面的习题).


这个定理也可以稍作如下推广, 其证明是类似的.

Harnack 原理. 设 U “ tuαu 为 Ω 上一族调和函数, 且满足如下条件:

@ uα, uβ P U, 存在u P U, 使得 u ě maxtuα, uβu.

定义 Ω 中函数

Φppq “ SupuαPU

tuαppqu, @ p P Ω.

则 Φ 要么恒为 `8, 要么为 Ω 中调和函数.

习题 1.2

1. 设 f : D Ñ C 为全纯函数, u : Ω Ñ R 为调和函数, fpDq Ă Ω, 则复合函数

u ˝ f 仍为调和函数.

2. 通过计算确定引理 1.2.4 中的常数.

3. 证明 Rn 上的调和函数满足平均值公式 (请先写出平均值公式). 反之, 满足平

均值公式的连续函数必为调和函数.

4. 设 u : C Ñ R为调和函数,且 |upxq| ď C1|x| `C2, @x P C. 证明 u为线性函数.

5. 设 u : C Ñ R 为调和函数, 且 |upxq| “ op|x|q, 证明 u 必为常数.

6. 验证推论 1.2.5 中截断函数在原点的光滑性.

§1.3 Riemann 映照定理

本节我们讨论复平面单连通区域在双全纯同构下的分类.

定理 1.3.1 (Riemann 映照定理). 设 Ω 为 C 中单连通域. 如果 Ω ‰ C , 则存

在 Ω 到单位圆盘 D 的双全纯同构.

这个定理的证明要用到关键的 Schwarz 引理. 首先我们可以把任何不是 C 的单连通区域全纯地变为一个有界域.

引理 1.3.2. 设 Ω 如上, 则存在单的全纯映照 φ : Ω Ñ D.

证明. 如果存在 z0 P Ωc 以及 r0 ą 0, 使得

Br0pz0q Ă C ´ Ω.

则令 φpzq “ r0z´z0

即可.

§1.3 Riemann 映照定理 15

一般地, 因为 Ω ‰ C, 不妨设 0 R Ω. 既然 Ω单连通,故在 Ω上存在?z 的一个

单值化分支, 即存在全纯函数 g : Ω Ñ C 使得

g2pzq “ z, @ z P Ω.

易见, 如果 β P gpΩq , 则 ´β R gpΩq. 用 gpΩq 代替 Ω, 如同先前的讨论那样就可以

证明单全纯映射的存在性. 下面我们就假设 Ω 为一个单连通的有界域. 在 Ω 中取定一点 z0, 考虑满足以

下条件的全纯映射:

• f : Ω Ñ C 为单射;

• fpΩq Ă D;

• fpz0q “ 0.

这些全纯映射的全体组成的集合记为 F . 我们要在 F 中找一个满射.

引理 1.3.3. 设 f : Ω Ñ D为单全纯映射, fpΩq ‰ D, fpz0q “ 0. 则存在 g P F ,

使得 |g1pz0q| ą |f 1pz0q|.

证明. 取 w P D ´ fpΩq. 考虑 g1 : D Ñ D, g1pzq “ z´wwz´1 . 则 0 R g1pfpΩqq. 因此

可取?z 在 g1pfpΩqq上的一个分支, 记为 g2pzq. 再令 g3 : D Ñ D, g3pzq “

z´g2pwq

g2pwqz´1 .

考虑复合映射

g “ g3 ˝ g2 ˝ g1 ˝ f : Ω Ñ D,

显然 gpz0q “ g3 ˝ g2 ˝ g1p0q “ g3 ˝ g2pwq “ 0, 且

|g1pz0q| “ |pg3 ˝ g2 ˝ g1q1p0q| ¨ |f 1pz0q|.

另一方面, 复合映射

h “ g´11 prg´1

3 pzqs2q : D Ñ D

将原点 0 映为原点 0, 由 Schwarz 引理,

|h1p0q| ď 1.

因为 h 在 g3p0q 处不是一一的, 故上式中的 “ ď ” 不能取等号. 再由

h ˝ g3 ˝ g2 ˝ g1pzq ” z

知 |pg3 ˝ g2 ˝ g1q1p0q| ą 1, 从而

|g1pz0q| ą |f 1pz0q|.


这就证明了引理. 任取 f P F , 因为 z0 P Ω, 故存在 r0 ą 0, 使得 Br0pz0q Ă Ω. 因此映射

fpr0z ` z0q : D Ñ D

满足 Schwarz 引理的条件, 这说明

|f 1pz0q| ď r´10 , @ f P F .

根据这个估计及上面的引理, 存在一列 tfiu Ă F , 使得

limiÑ8

|f 1ipz0q| “ Sup

fPF|f 1pz0q| ď r´1

0 .

我们有

引理 1.3.4. 上述 tfiu 存在收敛子列, 该子列的极限 f P F , 且 f 为满射.

证明. 任取紧集 K Ă Ω, 用上面估计导数的方法可证, 存在常数 CpKq, 使得

|f 1pzq| ď CpKq, @ z P K, @ f P F .

因此, tfiu 在 K 上一致有界, 等度连续, 从而存在收敛子列. 用抽取对角线的办法

就可以得到 tfiu 的一个子列 (仍记为 tfiu), 它在 Ω 上内闭一致收敛, 其极限 f 仍

为全纯函数.

显然, |f 1pz0q| “ SupgPF

|g1pz0q| ą 0,故 f 不是常数. 因为 fi 都是单射,由 Hurwitz

定理, f 也是单射, 从而 f P F . 又由上面的引理 1.3.3 知 f 为满射. 结合上面三个引理我们就得到了 Riemann 映照定理的证明, 这个定理最早是

由 Riemann在 1851年指出来的,但它的第一个严格证明要到 1900年才被 Osgood

发现.

习题 1.3

1. 试刻画 D˚ “ D ´ t0u 的全纯自同构.

2. 设 u : D˚ Ñ R 为有界调和函数. 证明, u 为 D˚ 上一个全纯函数的实部.

3. 设 tuiu 为 D 上一列一致有界调和函数. 证明, tuiu 存在收敛子列, 其极限仍

为有界调和函数.

4. 证明, 不存在从 C 到 C ´ t0, 1u 的非常值全纯函数.

第二章单值化定理

在前面一章, 我们证明了复平面 C 中的单连通区域在全纯同构的意义下只有两个,即单位圆盘 D和整个复平面 C. 在这一章里,我们引入抽象黎曼曲面的概念,

并研究黎曼环面和单连通的黎曼曲面的分类, 所得结果称为 Poincare-Koebe 单值

化定理.

§2.1 黎曼曲面的定义

在单复变函数的研究中, 我们经常会遇见多值的全纯函数, 在复平面上, 它们

不能很好地定义.为此人们提出了抽象的黎曼曲面的概念,这个概念被推广到高维,

就成为微分流形.

定义 2.1.1 (黎曼曲面). 设 Σ 为具有可数拓扑基的 T2p 即具有 Hausdorff 性

质 q 的拓扑空间. 如果存在 Σ 的开覆盖 tUαuαPΓ 以及每个开集 Uα 上的连续映射

ϕα : Uα Ñ C, 且满足如下条件

(1) ϕαpUαq 为 C 中开集, ϕα : Uα Ñ ϕαpUαq 为同胚;

(2) 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则转换映射 ϕα ˝ ϕ´1β : ϕβpUα X Uβq Ñ ϕαpUα X Uβq 为

复平面开集之间的全纯映射;

则称 Σ 为黎曼曲面.

我们把定义中的开覆盖称为局部坐标覆盖, Uα 称为一个坐标邻域, ϕα 称为

该坐标邻域上的坐标映射. 从定义可以看出, 黎曼曲面在局部上可以看成是复平面

上的区域.如无特别申明,我们还假定黎曼曲面是连通的,因此也是道路连通的. 以

下是一些例子:

例 2.1.1. 显然, 复平面 C 中的区域都是黎曼曲面.

例 2.1.2. 二维球面.

考虑 R3 中的单位球面

S2 “ tpx, y, zq P R3 | x2 ` y2 ` z2 “ 1u

令

U1 “ S2 ´ tp0, 0,´1qu,

U2 “ S2 ´ tp0, 0, 1qu.

17

18 第二章单值化定理

则 U1, U2 为 S2 的开覆盖. 定义同胚 ϕ1, ϕ2 如下:

ϕ1 : U1 Ñ C

px, y, zq ÞÑ px´?

´1 yqp1 ` zq,

ϕ2 : U2 Ñ C

px, y, zq ÞÑ px`?

´1 yqp1 ´ zq.

ϕ1 和 ϕ2 之间的转换映射为

ϕ2 ˝ ϕ´11 : C˚ Ñ C˚

w ÞÑ1w

这是一个全纯同构. 按照定义, S2 就是一个黎曼曲面. 跟第一例不同的是, 作为黎

曼曲面, S2 的坐标覆盖中至少要有两个开集 (为什么?). 这样, 我们就得到了一个

非平凡的紧致单连通黎曼曲面.

例 2.1.3. 复一维投影空间

定义 CP 1 为如下商空间

CP 1 “ C2 ´ t0u ∼

其中等价关系 ∼ 定义如下:

z “ pz0, z1q ∼ w “ pw0, w1q ðñ D λ P C, s.t z “ λw.

CP 1 的拓扑定义为商投影 π : C2 ´ t0u Ñ CP 1 下的商拓扑. 设 z P C2 ´ t0u, 用 rzs

来表示其等价类. 令

U0 “ trzs P CP 1 | z “ pz0, z1q, z0 ‰ 0u,

U1 “ trzs P CP 1 | z “ pz0, z1q, z1 ‰ 0u.

U0, U1 为 CP 1 的开覆盖, 且同胚映射 φ0, φ1 定义如下:

φ0 : U0 Ñ C

rzs ÞÑ z1z0,

φ1 : U1 Ñ C

rzs ÞÑ z0z1.

φ0 和 φ1 之间的转换映射为

ϕ0 ˝ ϕ´11 : C˚ Ñ C˚

w ÞÑ1w

§2.1 黎曼曲面的定义 19

这是一个全纯同构. 按照定义, CP 1 为黎曼曲面. 这也是一个紧致曲面, 与第二例

比较, 发现这两个例子非常类似. 实际上, 这是两个同构的黎曼曲面. 为了说清这

一点, 我们引入黎曼曲面之间的全纯映照和全纯同构的概念.

定义 2.1.2 (全纯映射). 设 M,N 均为黎曼曲面, f : M Ñ N 为连续映射. 如

果对任意 x P M , 均存在 M 上包含 x 的坐标邻域 Uα 和 N 上包含 fpxq 的坐标邻

域 Vβ, 使得 fpUαq Ă Vβ, 且复合映射 ψ ˝ f ˝ φ´1 : φpUαq Ñ ψpVβq 为全纯映射, 则

称 f 是黎曼曲面 M 和 N 之间的全纯映射 p 全纯映照 q. 这里, φ 和 ψ 分别是 Uα

和 Vβ 上的坐标映射.

我们把定义中的复合映射 ψ ˝ f ˝ φ´1 称为 f 的一个局部表示, 局部表示的全

纯性是和坐标映射的选取无关的. 全纯映射的局部性质和单复变的全纯函数是一

样的, 因此, 全纯函数的一些结果对于全纯映射仍然成立, 例如

• 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, 则 f 为开映射, 除非它是常值映

射;

• 紧致黎曼曲面到 C 的全纯映射 (即全纯函数) 必为常值函数 (最大模原理);

• 设 f : M Ñ N 为非常值全纯映射, y0 P fpMq, 则 M 的子集 f´1py0q 是离散

子集, 即在 M 中没有聚点.

定义 2.1.3 (全纯同构). 设 M,N 为黎曼曲面. 如果存在全纯映射 f : M Ñ N

及 g : N Ñ M , 使得

g ˝ f “ idM , f ˝ g “ idN ,

则称 M 与 N 全纯同构 p 同构 q, 而此时的 f 或 g 称为双全纯映射.

有了全纯同构的概念, 我们就可以区分黎曼曲面. 作为简单的例子, 三个单连

通的黎曼曲面 D, C 以及 S2 是互不同构的 (为什么?).

例 2.1.4. 黎曼球面

我们换一种方式来看 2 维球面. 定义

S “ C Y t8u,

S 上的拓扑定义为复平面的加一点紧致化, 8 表示不在 C 上的那个无穷远点, 它

的邻域是形如 C ´K 的 C 中开集 (K 为 C 中紧集). 令

U1 “ S ´ t8u “ C,

U2 “ S ´ t0u.


U1, U2 为 S 的开覆盖, 映射 φ1, φ2 定义如下:

φ1 : U1 Ñ C

z ÞÑ z,

φ2 : U2 Ñ C

z ÞÑ

$

&

%

1z , z ‰ 8,

0, z “ 8.

在 S 的拓扑之下, φ1, φ2 均为同胚, 且转换映射

ϕ2 ˝ ϕ´11 : C˚ Ñ C˚

w ÞÑ1w

为全纯同构. 因此, S是紧致黎曼曲面. 实际上, 这个黎曼曲面和我们前面第二例中

定义的黎曼曲面是同构的. 定义从 S2 到 S 的映射如下:

f : S2 Ñ S

px, y, zq ÞÑ

$

&

%

x`?

´1 y1´z , px, y, zq ‰ p0, 0, 1q,

8, px, y, zq “ p0, 0, 1q.

容易验证 f 是双全纯映射. 同理, 可以证明 CP 1 和 S 也是同构的, 统称黎曼球面,

以后我们将不再区分它们.

下面我们来构造另一类紧致黎曼曲面. 为此, 设 ω1, ω2 为实线性无关的两个复

数 ( 即 ω1, ω2 ‰ 0, ω1ω2 R R ). 记 Λ 为 ω1, ω2 在 C 中生成的离散子群:

Λ “ tmω1 ` nω2 | m,n P Zu “ xω1, ω2y.

子群 Λ 自然地作用在 C 上, 从而有商空间 CΛ “ C ∼. 这里, 等价关系 ∼ 定义为

z ∼ w ðñ D m,n P Z, s.t z “ w `mω1 ` nω2.

用 rzs 表示 z 的等价类, π : C Ñ CΛ, z ÞÑ rzs 为商投影. CΛ 上的拓扑定义为商

拓扑. 下面我们来说明, 在此拓扑下, CΛ 是黎曼曲面. 为此, 令

δ “ infpm,nq‰p0,0q

|mω1 ` nω2| ą 0.

任给 p P CΛ, 取 zp P π´1ppq. 令 Wp “ tw P Cˇ

ˇ |w ´ zp| ă δ2u, Up “ πpWpq. 按照

商拓扑的定义, Up 为 CΛ 上的开集, 且由 δ 的选取知, π|Wp: Wp Ñ Up 是同胚映

射. 令φp : Up Ñ Wp Ă C

q ÞÑ pπ|Wpq´1pqq,


则 φp 为 Up 上的坐标映射; 如果 Up X Uq ‰ H , 则存在 ω P Λ, 使得 φp ˝ φ´1q pzq “

z ` ω. 从而 CΛ 在坐标覆盖 tpUp, φpqu 下为黎曼曲面.

我们把如上构造的黎曼曲面总称为黎曼环面, 它们具有如下一些性质:

• 商投影 π : C Ñ CΛ 为全纯复迭映射;

• 任何两个黎曼环面 CΛ1, CΛ2 都是同胚 (微分同胚) 的;

• 设 f : CΛ1 Ñ CΛ2 为两个黎曼环面之间的连续映射, fpr0sq “ r0s. 则存在惟

一的连续映射 f : C Ñ C, fp0q “ 0, 且满足下面的交换图表:

C fÝÝÝÝÑ C

π1

§

§

đ

§

§

đ

π2

CΛ1f

ÝÝÝÝÑ CΛ2

其中 π1, π2 分别为商投影. 并且如果 f 为全纯映射, 则 f 也是全纯映射

(全纯函数), f 称为 f 提升.

由于任意两个实线性无关的复数都能生成一个离散子群, 进而得到黎曼环面,

我们就有了黎曼曲面的大量例子, 这些曲面都是非平凡的黎曼曲面. 接下来的一个

问题就是, 如何区分这些黎曼环面? 自然地, 我们用全纯同构来区分它们. 首先我

们有

命题 2.1.1. piq 任给黎曼环面 CΛ 上一点 p, 均存在全纯自同构

fp : CΛ Ñ CΛ,

使得

fpppq “ r0s.

piiq 黎曼环面 Cxω1, ω2y 与 Cx1, ω1ω2y 及 Cx1, ω2ω1y 全纯同构.

证明. (i). 取定 zp P π´1ppq. 定义 fp : CΛ Ñ CΛ 为

fpprwsq “ rw ´ zps,

易见这是定义好的全纯自同构.

(ii). 定义 f : Cxω1, ω2y Ñ Cx1, ω1ω2y 为

fprzsq “ rzω2s,

易见 f 是定义好的全纯同构. 交换 ω1 和 ω2 的位置就得到另一个全纯同构.


根据上面的命题, 为了对黎曼环面 CΛ 作全纯分类, 只要考虑 Λ “ x1, τy 的

情形即可. 并且由于 ω1ω2 和 ω2ω1 中必有一个虚部为正, 我们还只需考虑由 Λ “

x1, τy, Imτ ą 0 生成的黎曼环面的分类.

设黎曼环面 Cx1, τy 和 Cx1, τ 1y 全纯同构, f : Cx1, τy Ñ Cx1, τ 1y 为双全

纯映射. 根据上面性质 (i), 我们可以假设 fpr0sq “ r0s. 记 F : C Ñ C 为 f 的

提升, F 为全纯映射, 满足条件 F p0q “ 0, π1 ˝ F “ f ˝ π, 其中 π : C Ñ Cx1, τy,

π1 : C Ñ Cx1, τ 1y 分别为商投影.

断言: 存在 γ P C, 使得 F pzq “ γ ¨ z.

事实上,考虑全纯同构 f 的逆映射 f´1,它也有全纯提升 G : C Ñ C,使得 Gp0q “ 0,

π ˝G “ f´1 ˝ π1. 根据提升的惟一性易见, F , G 为互逆的全纯映射, 从而均为全纯

同构. 根据第一章定理 1.1.4, F 为线性映射. 这就证明了上述断言.

小结一下, 我们现在知道全纯同构 f : Cx1, τy Ñ Cx1, τ 1y 形如

fprzsq “ rγzs, @ z P C.

特别地, 有r0s “ fpr0sq “ fpr1sq “ rγs,

r0s “ fpr0sq “ fprτ sq “ rγ ¨ τ s.

这说明存在 a, b, c, d P Z, 使得$

&

%

γ “ a ¨ 1 ` b ¨ τ 1,

γ ¨ τ “ c ¨ 1 ` d ¨ τ 1.(2.1)

这可以改写为矩阵形式

γ ¨

˜

1

τ

¸

“

˜

a b

c d

¸ ˜

1

τ 1

¸

, a, b, c, d P Z. (2.2)

同理, 考虑 f´1, 就得到

γ´1 ¨

˜

1

τ 1

¸

“

˜

a1 b1

c1 d1

¸ ˜

1

τ

¸

, a1, b1, c1, d1 P Z. (2.3)

由 (2.2) 和 (2.3) 式得˜

1

τ

¸

“

˜

a b

c d

¸ ˜

a1 b1

c1 d1

¸ ˜

1

τ

¸

.

因为 1, τ 线性无关, 故˜

a b

c d

¸ ˜

a1 b1

c1 d1

¸

“

˜

1 0

0 1

¸

.


又因为 a, b, c, d 及 a1, b1, c1, d1 均为整数, 从而只能有

det

˜

a b

c d

¸

“ ˘1.

另一方面, 由 (2.1) 式知

τ “c` dτ 1

a` bτ 1, (2.4)

简单的计算表明, Imτ “ pad ´ bcq|a ` bτ 1|´2Imτ 1. 由于我们假设了 τ 和 τ 1 虚部为

正, 从而有

ad´ bc “ 1. (2.5)

反之, 如果存在整数 a, b, c, d 满足 (2.4) 式和 (2.5) 式, 则用 (2.1) 式中的 γ 构造的

映射

f : Cx1, τy Ñ Cx1, τ 1y

rzs ÞÑ rγzs

是定义好的全纯同构. 综上所述, 我们就得到了如下定理

定理 2.1.2 (黎曼环面的分类). 任何黎曼环面 CΛ 均同构于另一个形如

Cx1, τy, Imτ ą 0

的黎曼环面; 两个这样的黎曼环面 Cx1, τy, Cx1, τ 1y 全纯同构的充分必要条件是

存在整数 a, b, c, d 满足如下条件

τ 1 “c` dτ

a` bτ, ad´ bc “ 1.

注. 上面的定理并没有告诉我们, 一个同胚于标准环面 S1 ˆ S1 的黎曼曲面是

否一定形如 CΛ. 这个问题我们留到以后的章节再来回答.

习题 2.1

1. 黎曼曲面都是可定向的 2 维实流形, 即把坐标转换映射看成 R2 内的映射时,

其 Jacobi 矩阵的行列式总是正的.

2. 证明 S 和 CP 1 是全纯同构的两个黎曼曲面.

3. 设 M,N 为黎曼曲面, 则连续映射 f : M Ñ N 为双全纯映射的充分必要条件

是它是一一 (既单又满) 的全纯映射.


4. 设M,N 为紧致黎曼曲面,则 f : M Ñ N 为双全纯映射的充分必要条件是,存

在有限集合 A,B, A Ă M , B Ă N , 使得

f : M ´A Ñ N ´B

为双全纯映射.

5. 证明,作为加群的 C其离散子群必由一个复数,或由两个实线性无关的复数生

成.

6. 任给非零复数 γ,它生成了 C中子群,记为 xγy. 这个离散子群作用在 C上,其

商空间 Cxγy 为黎曼曲面. 试将所有这种黎曼曲面作一个全纯同构下的分类.

§2.2 Poincare 引理

在前一节中, 我们了解到许多非平凡的黎曼曲面的例子. 和复平面中的区域不

同, 这些曲面上一般不再有整体坐标. 为了进一步研究这些曲面, 一个有效的办法

就是考虑它们的线性化, 即引入切空间的概念和微分形式的语言. 为此, 设 M 为

黎曼曲面, Uα 为它的一个局部坐标邻域, φα 为 Uα 上的坐标映射, p P Uα. 不失

一般性, 我们假设 φαppq “ 0. 记 z “ x `?

´1 y 为复平面 C 上的标准复坐标, 则

xα “ x ˝ φα, yα “ y ˝ φα 分别为 Uα 上实坐标函数, zα “ xα `?

´1 yα 即为原先 U

上的复坐标映射 φα. 为了简单起见, 以下我们有时省略下标 α.

下面我们在 p 处考虑 M 的线性化. 首先, 定义

C8ppq “ tM上在 p 附近有定义的光滑函数u ∼,

这里, 等价关系 ∼ 定义为: 两个在 p 附近有定义的光滑函数 f , g 等价的充分必要

条件是在 p 的更小的某个邻域中 f ” g. 在 C8ppq 中引入通常的函数加法和数乘

运算, 使之成为实向量空间. 为了简单起见, C8ppq 中的元素仍然用局部光滑函数

表示.

其次, 我们称满足如下条件的线性算子 Vp : C8ppq Ñ R 为 p 处 M 的一个切

向量:

Vppfgq “ fppqVppgq ` gppqVppfq, @ f, g P C8ppq.

把 p 处切向量的全体记为 TpM , 称为 M 在 p 处的切空间. 显然, TpM 中可以引入

加法和数乘运算, 使之成为一个实向量空间. 下面我们说明, 这是一个 2 维实向量

空间:

§2.2 Poincare 引理 25

(1) 我们如下定义两个切向量 BBxα

|p, BByα

|p:

B

Bxα|ppfq “

B

Bx

ˇ

ˇ

0pf ˝ φ´1

α q, @ f P C8ppq,

B

Byα|ppfq “

B

By

ˇ

ˇ

0pf ˝ φ´1

α q, @ f P C8ppq.

按照定义, BBxα

|ppxαq “ 1, BBxα

|ppyαq “ 0; BByα

|ppxαq “ 0, BByα

|ppyαq “ 1. 因此,

向量 BBxα

|p, BByα

|p 线性无关.

(2) 如果 BBxα

|ppfq “ 0, BByα

|ppfq “ 0, 则 Vppfq “ 0, @ Vp P TpM . 事实上, 任给

f P C8ppq, 有

f ˝ φ´1α pzαq ´ f ˝ φ´1

α p0q “

ż 1

0

rd

dtf ˝ φ´1

α ptzαqsdt

“

ż 1

0

rxαpf ˝ φ´1α qxptzαq ` yαpf ˝ φ´1

α qyptzαqsdt

“ xαh1 ` yαh2.

h1, h2 仍为 p 附近光滑函数. 将条件 BBxα

|ppfq “ 0, BByα

|ppfq “ 0 代入上式得

h1ppq “ 0, h2ppq “ 0. 从而按照切向量的定义易见, p 处任意切向量作用在 f

亦为零.

(3)任给 f P C8ppq,令 h “ f ´xαB

Bxα|ppfq ´yα

BByα

|ppfq,则由 (2)知 Vpphq “ 0,

@ Vp P TpM . 从而

Vppfq “ VppxαqB

Bxα|ppfq ` Vppyαq

B

Byα|ppfq.

这说明,作为切向量, Vp “ Vppxαq BBxα

|p`Vppyαq BByα

|p. 即, TpM 由 t BBxα

|p,B

Byα|pu

张成.

由以上定义可以看出, 对于复平面中的区域而言, 通过使用标准坐标, 区域内

任何一点的切空间都可以和 R2 自然地等同起来.

有了曲面的线性化, 我们来考虑映射的线性化. 设 ϕ : M Ñ N 为黎曼曲面之

间的光滑映射, p P M , 定义切空间 TpM , TfppqN 之间的线性映射 ϕ˚p 如下:

ϕ˚p : TpM Ñ TfppqN

Vp ÞÑ ϕ˚ppVpq,

其中, 切向量 ϕ˚ppVpq P TfppqN 定义为

ϕ˚ppVpqpgq “ Vppg ˝ ϕq, @ g P C8pfppqq.

我们称 ϕ˚p 为 ϕ 在 p 处的切映射或微分. 切映射具有以下性质:


• 如果 ϕ : M Ñ N , ψ : N Ñ S 分别为黎曼曲面之间的光滑映射, 则

pψ ˝ ϕq˚p “ ψ˚ϕppq ˝ ϕ˚p.

• 如果 zα 为 p 附近复坐标, wβ 为 fppq 附近复坐标, 则切映射 ϕ˚p 有如下矩阵

表示:

ϕ˚p

˜

BBxα

|pB

Byα|p

¸

“

˜

ux vx

uy vy

¸ ˜

BBxβ

|pB

Byβ|p

¸

,

其中 u`?

´1 v 是 ϕ 在两个局部坐标下的局部表示, 偏导数在 zαppq 处计算.

• 从上一条性质我们看到, 如果 ϕ 为全纯映射, 由 Cauchy-Riemann 方程知其切

映射要么为零, 要么为线性同构.

设 M 是黎曼曲面, 定义集合 TM “Ť

pPM

TpM 以及映射 (投影) π : TM Ñ M

为 πpVpq “ p, @ Vp P TpM . TM 上有自然的拓扑, 我们称 TM 为 M 的切丛 (关

于丛的更多讨论参见第三章). 设 V : U Ñ TM 为光滑映射, 如果 V 满足条件

V ppq P TpM @ p P U , 则称其为 U 上的 (光滑)切向量场. 特别地, 如果 Uα 为坐标

邻域, zα “ xα `?

´1 yα 为坐标函数, 则有 Uα 上的向量场B

Bxα, B

Byα:

B

Bxα,

B

Byα: Uα Ñ M

B

Bxαppq “

B

Bxα|p,

B

Byαppq “

B

Byα|p, @ p P Uα.

不难看出, Uα 上的切向量场均可写为下面的形式:

V “ a ¨B

Bxα` b ¨

B

Byα,

其中 a, b 为 Uα 上的光滑函数.

下面我们考虑上述构造的对偶形式. 仍设M 为黎曼曲面, p P M . 记 T˚p M 为切

空间的对偶空间,称为余切空间,余切空间中的元素称为余切向量. 如果 zα “ xα `?

´1 yα 是 p 附近的局部坐标, 则 T˚p M 有一组基 tdxα|p, dyα|pu, 它们是 t B

Bxα, B

Byαu

的对偶基:

dxα|ppaB

Bxα` b

B

Byαq “ a, @ a, b P R,

dyα|ppaB

Bxα` b

B

Byαq “ b, @ a, b P R.

与切丛完全类似, 可以定义余切丛 T˚M “ YpPM

T˚p M , 以及余切向量场 ω : U Ñ

T˚M . 余切向量场又称为 1 次微分形式. 和切向量场类似, 在局部坐标邻域 Uα 上

有余切向量场 dxα, dyα, 并且 Uα 上任何余切向量场均可表为 a ¨ dxα ` b ¨ dyα 的形


式. 另一方面,我们又可以从另一个角度理解 dxα, dyα. 为此,设 f : U Ñ R为定义在 U Ă M 上的光滑函数, 我们定义 f 的外微分为 U 上的 1 次微分形式 df :

dfppq P T˚p M, dfppqpVpq “ Vppfq, @ Vp P TpM, @ p P U.

容易验证,上面提到的 dxα, dyα 分别为坐标函数 xα, yα 的外微分. 因此, 如果更换

坐标映射为 zβ “ xβ `?

´1 yβ , 则有如下转换关系:˜

dxβ

dyβ

¸

“

˜

ux uy

vx vy

¸ ˜

dxα

dyα

¸

. (2.6)

其中, u`?

´1 v “ ϕβ ˝ ϕ´1α 为坐标转换映射.

有了 1 次微分形式, 我们接着定义 2 次微分形式. 考虑如下集合:

ľ2T˚

p M “ tψ : TpM ˆ TpM Ñ R | ψ是偏线性的, 且关于两个分量反对称u.

显然, 在这个集合中可以引入加法和数乘运算使之成为向量空间. 为了得到这个向

量空间中的元素, 我们定义楔积运算Ź

如下:

ľ

: T˚p M ˆ T˚

p M Ñľ2

T˚p M

pωp, ηpq ÞÑ ωp ^ ηp,

其中, ωp ^ ηp PŹ2

T˚p M 定义为

ωp ^ ηppVP ,WP q “ ωppVpq ¨ ηppWP q ´ ωppWpq ¨ ηppVP q, @ Vp,Wp P TpM.

特别地, dxα|p ^ dyα|p PŹ2

T˚p M , 并且不难证明, 这是

Ź2T˚

p M 的基. 和切丛及

余切丛类似, 我们可以定义一个新的丛Ź2

T˚M “Ť

pPM

Ź2T˚

p M , 并把光滑映射

ω : U ÑŹ2

T˚M , ωppq PŹ2

T˚M 称为 U 上的 2 次微分形式. 显然, 楔积运算可

以定义在 1- 形式上:

paω1 ` bω2q ^ η “ aω1 ^ η ` bω2 ^ η, ω ^ η “ ´η ^ ω.

例如, dxα ^ dyα 为 Uα 上的 2 次微分形式, 而 Uα 上的 2 次微分形式均可写为

adxα ^ dyα, a 为 Uα 上光滑函数. 如果更换坐标映射为 zβ “ xβ `?

´1 yβ , 则由

(2.6) 有

dxβ ^ dyβ “ det

˜

ux uy

vx vy

¸

dxα ^ dyα. (2.7)

为了统一起见, 我们也把光滑函数称为 0 次微分形式, 并且 i 次微分形式简称

i- 形式. 在黎曼曲面上, 我们规定 3 次及 3 次以上的微分形式为零. 楔积运算可扩


充到所有的微分形式上: 0- 形式与 i- 形式的楔积就是普通乘积, 1- 形式与 2- 形式

及 2次以上形式楔积为零. 现在我们把外微分运算 d也扩充到所有微分形式上: 如

果 ω “ df 为函数 f 的外微分, 则定义 dω “ 0; 一般地, 1- 形式 ω 如果局部表示为

ω “ adxα ` bdyα, 则定义 dω “ da^ dxα ` db^ dyα. 不难验证这是定义好的一个线

性运算, 它把 1- 形式变为 2- 形式. 我们规定, 2- 形式的外微分为零.

最后, 我们定义作用在微分形式上的拉回运算. 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之

间的光滑映射, 拉回映射 f˚ 是一个线性映射, 它把 N 上的 i- 形式变为 M 上的 i-

形式. f˚ 作用在 0- 形式上就是复合, 即, 如果 g : N Ñ R 为 N 上的光滑函数, 则

f˚g “ g ˝ f 为 M 上的光滑函数; 如果 ω 为 N 上 1- 形式, 则 f˚ω 为 M 上如下定

义的 1- 形式:

f˚ωppVpq “ ωfppqpf˚pVpq, @ p P M, @ Vp P TpM.

类似地, 如果 η 为 N 上 2- 形式, 则 f˚η 为 M 上如下定义的 2- 形式:

f˚ηppVp,Wpq “ ηfppqpf˚pVp, f˚pWpq, @ p P M, @ Vp,Wp P TpM.

拉回运算具有以下性质:

• f˚pω ^ ηq “ f˚pωq ^ f˚pηq;

• dpf˚pωqq “ f˚pdωq.

从上面外微分运算 d 的定义我们知道 d2 “ 0. 利用这一性质我们定义黎曼曲

面的 de Rham 上同调群.

定义 2.2.1 (de Rham上同调群). 如果 dω “ 0,则称 ω 为闭形式;如果 ω “ dη,

则称 ω 为恰当形式. 对于 q “ 0, 1, 2, 黎曼曲面 M 的 q 次 de Rham 上同调群定义

为

HqdRpMq “ tq次闭形式utq次恰当形式u,

这是向量空间的商空间.

在黎曼曲面 M 上, 0 次恰当形式均为零, 而 0 次闭形式就是局部常值函数. 因

此, H0dRpMq 描述的是 M 的连通分支的个数. 如果 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的

光滑映射, 则由拉回运算的性质, 如下定义的映射

f˚ : HqdRpNq Ñ Hq

dRpMq

rωs ÞÑ rf˚pωqs

是定义好的一个同态.


定理 2.2.1 (Poincare引理). HqdRpCq “ 0, q “ 1, 2. 即 C 上的闭形式必为恰当

形式.

证明. 设 z “ x`?

´1 y 为 C 上标准复坐标, ω 为闭形式. 分两种情况讨论:

p1q ω 为 2- 形式. 此时 ω “ F px, yqdx^ dy. 令

η “ r

ż x

0

F pt, yqdtsdy,

则 dη “ ω.

p2q ω 为 1- 形式, ω “ pdx` qdy. 由 dω “ 0 知

Bp

By“

Bq

Bx.

我们寻找函数 f , 使得 df “ ω, 这等价于

Bf

Bx“ p,

Bf

By“ q.

容易验证,

f “

ż x

0

ppt, yqdt`

ż y

0

qp0, tqdt

即为所求的一个解. 注. 显然, 上述证明对于 C 中凸域均成立, 特别地, Hq

dRpDq “ 0, q “ 1, 2.

Poincare 引理的一个简单应用: 设 u 为 C 上光滑函数, 考虑 1- 形式 ω “

uxdy ´ uydx. 简单的计算表明 dω “ p∆uqdx ^ dy. 因此, 如果 u 为调和函数, 则 ω

为闭形式, 从而为恰当形式, 即存在光滑函数 v, 使得 ω “ dv “ vxdx ` vydy, 这说

明 u, v 满足 Cauchy-Riemann 方程, 即 u 是全纯函数 u`?

´1 v 的实部.

为了考虑一般黎曼曲面上类似的问题, 我们来定义曲面上微分形式的积分. 首

先考虑 1- 形式在曲线上的积分. 为此, 设 ω 为 M 上的 1- 形式, σ : ra, bs Ñ M 为

M 上的光滑曲线. 任取 t P ra, bs, 在 σptq 附近取 M 的局部坐标 zα “ xα `?

´1 yα,

在此局部坐标邻域内 ω 有局部表示 ω “ adxα ` bdyα, 令

fptq “ a ˝ σptq ¨ x1αptq ` b ˝ σptq ¨ y1

αptq,

其中, xαptq “ xα ˝ σptq, yαptq “ yα ˝ σptq. 定义 ω 在 σ 上的积分为

ż

σ

ω “

ż b

a

fptqdt.

我们有

• 上述定义是恰当的, 即和 M 上局部坐标的选取无关, 这可由 (2.6) 得到.


• 该积分和曲线的 “定向” 有关. 即对 σ 重新参数化, 设新的参数为 t “ ϕpsq,

s P rc, ds, 则当 ϕ1 ě 0 时,ş

σ˝ϕω “

ş

σω; 当 ϕ1 ď 0 时,

ş

σ˝ϕω “ ´

ş

σω.

• 如果 ω “ df , 则ş

σω “ f ˝ σpbq ´ f ˝ σpaq. 特别地, 当 σ 为闭曲线, ω 为恰当形

式时, ω 在 σ 上的积分为零.

• 积分关于 ω 是线性的, 关于 σ 具有可加性:ż

σ

ω “

ż

σ|ra,cs

ω `

ż

σ|rc,bs

ω, @ c P ra, bs.

其次, 我们考虑 2- 形式在黎曼曲面上的积分. 设 Ω 为 M 中的区域, 如果其边

界 BΩ 非空, 则要求它的边界具有一定的正则性: @p P BΩ, 存在 p 附近的局部坐标

邻域 Uα 及坐标映射 φα : Uα Ñ C, 使得 φppq “ 0, 且

φαpUα X Ωq “ tpxα, yαq P φαpUαq | yα ě 0u,

φαpUα X BΩq “ tpxα, yαq P φαpUαq | yα “ 0u.

此时, 边界 BΩ 可自然参数化为一条光滑曲线. 注意, 作为 M ´ Ω 的边界, BΩ 按照

这个方法得到的参数化跟作为 Ω 的边界得到的参数化方向正好相反!

设 ω 为 M 上的 2- 形式, suppω X Ω Ť Ω. 我们来定义积分ş

Ωω. 分几种情形

讨论:

p1q 假设存在坐标邻域 Uα, 使得 suppω X Ω Ă Uα. 此时令ż

Ω

ω “

ż

φαpUαq

adxαdyα,

这里, ω 在 Uα 上的局部表示为 ω “ adxα ^ dyα. 利用 (2.7) 可以验证, 这个定义和

局部坐标的选取无关, 且积分关于 ω 是线性的;

p2q 对于一般的 ω, 我们要借助 M 上的单位分解来化为情形 p1q. 所谓 M 上

的单位分解是指至多可数个光滑函数 tϕiu, 使得每个 ϕi 的支集均含于某个坐标邻

域内, 且ř

i ϕi “ 1. 如果存在这样的单位分解, 则令ż

Ω

ω “ÿ

i

ż

Ω

ϕi ¨ ω.

单位分解可以如下构造: 由黎曼曲面的定义, 我们可以选取至多可数个坐标邻域

tUiu 及相应的坐标映射 φi, 使得 φipUiq “ tz P Cˇ

ˇ |z| ă 2u, 且Ť

i φ´1i pDq “ M . 我

们还可以要求 M 中任何一点均只含于有限个这样的坐标邻域中. 设 ϕ为第一章推

论 1.2.5中 C上的光滑函数,则通过零延拓以后 ϕ ˝φi 可视为 M 上的光滑函数,并

且ř

i ϕ ˝ φi 在 M 上恒正. 令 ϕi “ ϕ ˝ φirř

j ϕ ˝ φjs´1, 则 tϕiu 即为所求单位分解.

可以证明,如上定义的积分与单位分解的选取无关,并且积分关于 ω是线性的.

关于微分形式的积分, 我们有重要的 Stokes 积分公式:


定理 2.2.2 (Stokes 公式). 设 M 为黎曼曲面, Ω 是上面描述的区域, ω 为 M

上的 1- 形式, suppω X Ω Ť Ω, 则ż

Ω

dω “

ż

BΩ

ω.

我们略去 Stokes 公式的证明 (参看本节习题).

以下我们考虑若干应用. 首先有

定理 2.2.3. H1dRpC˚q “ R

证明. 定义映射ϕ : H1

dRpC˚q Ñ R

rωs ÞÑ

ż

S1ω.

此处, S1 是作为 D的边界得到的定向.由于恰当形式在闭曲线上积分为零,故 ϕ是

定义好的同态. 在 C˚ 上, 我们采用极坐标$

&

%

x “ r cos θ,

y “ r sin θ.

则有$

’

’

&

’

’

%

dr “1r

pxdx` ydyq “1

a

x2 ` y2pxdy ` ydxq,

dθ “1

x2 ` y2pxdy ´ ydxq.

注意, 虽然 θ 在 C˚ 上不是整体定义的, 但 dθ 却是定义好的 1- 形式, 且为闭形式.

由于 ϕpdθq “ 2π ‰ 0, 故 ϕ 为满同态. 下面说明 ϕ 也是单同态.

设 dω “ 0, 且ş

S1 ω “ 0, 我们要证明 ω 为恰当 1- 形式. 为此, 把 ω 写成

ω “ fdr ` gdθ,

dω “ 0 意味着 BfBθ “

BgBr , 因此有

ω ´ dp

ż r

1

fpt, θqdtq “ gp1, θqdθ.

现在,ş

S1 ω “ 0 意味着ş2π

0gp1, θqdθ “ 0, 从而

şθ

0gp1, sqds 是 S1 也是 C˚ 上定义好

的函数. 令

η “

ż r

1

fpt, θqdt`

ż θ

0

gp1, sqds,

则有 ω “ dη. 以上的证明显然对于 D˚ 也适用. 因此 H1

dRpD˚q “ R 也成立. 作为应用, 我们

有


定理 2.2.4. 设 u 为 D˚ 上的调和函数. 则 u 为 D˚ 上某全纯函数的实部的充

分必要条件是, 存在 0 ă r0 ă 1, 使得ş

BDr0

BuBr “ 0. 这里, Dr0 “ tz P C

ˇ

ˇ |z| ă r0u.

证明. 考虑 1- 形式 ω “ uxdy ´ uydx. u 为调和函数意味着 ω 为闭形式. 而 u

为全纯函数的实部的充分必要条件是 ω 为恰当形式. 根据上面定理的证明, ω 为恰

当形式的充分必要条件是存在 0 ă r0 ă 1, 使得ş

BDr0ω “ 0. 我们计算如下:

ż

BDr0

ω “

ż

BDr0

uxdy ´ uydx

“

ż 2π

0

puxr cos θ ` uyr sin θqdθ

“

ż 2π

0

pxux ` yuyqdθ

“

ż

BDr0

Bu

Br.

这就证明了定理. 显然, 类似的结论对于 C˚ 也成立. 考虑一般的黎曼曲面, 我们有

定理 2.2.5. piq 设 M 为单连通黎曼曲面, 则 H1dRpMq “ 0. piiq 仍设 M 为单

连通黎曼曲面, p P M , U 为 p附近的坐标邻域, φ为 U 上的坐标映射,且 φppq “ 0,

φpUq “ D. 设 ω 为 M´tpu上闭的 1-形式. 如果存在 0 ă r0 ă 1,使得ş

BUr0ω “ 0,

则 ω 为 M ´ tpu 上恰当 1- 形式, 其中 Ur0 “ φ´1pDr0q.

证明. piq 任给 M 上的闭 1- 形式 ω, 我们要证明光滑函数 f , 使得 ω “ df . 固

定 M 中一点 p0, 对于 p P M , 取连接 p0 和 p 的光滑曲线 γp, 令

f : M Ñ R

p ÞÑ

ż

γp

ω.

容易看出, 如果 f 是定义好的光滑函数, 则 df “ ω. 下面就说明 f 的确是定义好

的. 事实上, 如果另有连接 p0, p 的光滑曲线 σp, 则因为 M 为单连通曲面, 必存在

连续映射 σ : D Ñ M , 使得 σ 把单位圆周 S1 从 ´1 到 1 的上半圆弧映为 γp, 下半

圆弧映为 σp. 通过光滑化, 我们可以取光滑的映射 σ(见习题). 此时ż

σp

ω ´

ż

γp

ω “

ż

S1σ˚pωq

“

ż

Ddσ˚pωq

“

ż

Dσ˚pdωq “ 0.


这就说明 f 是定义好的, 从而容易验证是光滑函数.

piiq根据定理假设以及定理 2.2.4的证明我们知道,存在 U ´ p上的光滑函数 g

使得在 U ´ p 上 ω “ dg. 取 U 上的光滑函数 ϕ, 使得 ϕ 在 p 附近恒为 1, 在 U 的

边界附近恒为零. 通过零延拓, ϕ ¨ g 可视为 M ´ p 上的光滑函数. 此时 ω ´ dpϕ ¨ gq

在 p 附近恒为零, 因而可视为 M 上的光滑 1- 形式, 且显然为闭形式. 由 piq 知,

ω ´ dpϕ ¨ gq 为 M 上恰当形式. 这就说明 ω 为 M ´ tpu 上的恰当 1- 形式. 我们举两个例子以说明定理的应用.

• 设 g 为单连通黎曼曲面 M 上处处非零的全纯函数, 则对任意正整数 k ě 1,

存在 M 上全纯函数 f , 使得 fk “ g. 为了求得整体的解 f , 我们先求局部解.

任取 p P M , 由 g 非零知存在 p 附近的坐标邻域 Up 以及 Up 上的全纯函数

fp, 使得 fkp “ g; 并且当 Up X Uq ‰ H 时, 存在常数 cpq, 使得在 Up X Uq 上

fp “ cpqfq. 如果在 Up 上定义复系数 1- 形式 (下面将定义复系数的微分形式)

ωp “ dfpfp, 则在 Up X Uq 上 ωp “ ωq, 因此我们得到 M 上整体定义的闭形式

ω. 由上述定理, 存在光滑复值函数 h,使得在每个 Up 上均有 dh “ ω “ dfpfp,

从而在 Up 上 dpfpe´hq “ 0, 即存在常数 cp, 使得 fpe

´h “ cp. 特别地, e´h 为

全纯函数. 由 fp 的选取, 有

ge´kh “ ckp

这说明 ckp 是不依赖 p 的常数, 记为 c. 令 f “ |c|1keh, 则 f 为 M 上的全纯函

数, 且 fk “ g.

• 设 g 为单连通黎曼曲面 M 上处处非零的全纯函数, 则存在 M 上的全纯函数

f , 使得 ef “ g. 证明和上面类似, 留作习题 (由这一条可以推出上面一条来).

上面我们用到复系数的微分形式, 我们现在说明如下. 在本节开始定义黎曼

曲面切向量, 切空间及微分形式等的时候, 我们是把黎曼曲面视为 2 维实流形, 因

此涉及的向量空间都是实系数的向量空间. 现在, 我们把这些实的向量空间全部

复化, 即允许系数取复数, 从而切向量场和微分形式也允许复的系数. 例如, 如果

z “ x`?

´1 y 是黎曼曲面的局部复坐标, 则B

Bz“

12

pB

Bx´

?´1

B

Byq,

B

Bz“

12

pB

Bx`

?´1

B

Byq

为局部复切向量场, 而

dz “ dx`?

´1 dy, dz “ dx´?

´1 dy

为局部复 1 形式. 作为对偶空间里的元素, 我们有逐点成立的等式:$

’

&

’

%

dzpB

Bzq “ dzp

B

Bzq “ 1,

dzpB

Bzq “ dzp

B

Bzq “ 0.


通过简单的计算, 我们有下面的等式:$

’

’

&

’

’

%

B

Bzpznq “ n ¨ zn´1, @ n P Z,

dx^ dy “

?´12

dz ^ dz.

一般地, 如果 f 为光滑函数, 其实部和虚部分别为 u, v, 则

B

Bzf “

12

pB

Bx`

?´1

B

Byqpu`

?´1 vq

“12

pBu

Bx´

Bv

Byq `

12

?´1 p

Bu

By`

Bv

Bxq.

这说明 f 为全纯函数的充分必要条件是 BfBz “ 0.

我们用 Aq(q “ 0, 1, 2) 表示黎曼曲面上的 q 次微分形式的全体组成的线性空

间. 对于 1-形式,如果其局部表示形如 pdz,则称为 p1, 0q型的 1-形式;如果其局部

表示形如 qdz, 则称为 p0, 1q 型的 1- 形式; 1- 形式的这种分类和局部坐标的选取无

关. p1, 0q形式的全体记为 A1,0, p0, 1q形式的全体记为 A0,1,显然, A1 “ A1,0 ‘A0,1.

我们把 2- 形式也称为 p1, 1q 型的微分形式.

现在我们定义两个重要的线性算子 B : Aq Ñ Aq`1, B : Aq Ñ Aq`1:

如果 f P A0, 则令

Bf “Bf

Bzdz P A1, Bf “

Bf

Bzdz P A1;

如果 ω “ pdz ` qdz P A1, 则令

Bω “Bq

Bzdz ^ dz P A2, Bω “

Bp

Bzdz ^ dz P A2;

如果 ω P A2, 则令 Bω “ Bω “ 0. 算子 B, B 具有如下性质:

• d “ B ` B;

• B “ ¯B;

• B2 “ B2 “ 0, BB “ ´BB;

• 如果 f : M Ñ N 为全纯映射, 则 f˚ 是保型的, 且

f˚B “ Bf˚, Bf˚ “ f˚B.

这些性质的证明都是直接的, 留作习题.

习题 2.2

§2.3 亚纯函数与亚纯微分 35

1. 设 σ : r0, ϵs Ñ M 是黎曼曲面上的一条光滑曲线, 我们定义它的初始切向量

σ1p0q 为 Tσp0q 中的一个元素:

σ1p0qpfq “d

dt

ˇ

ˇ

0fpσptqq, @ f P C8ppq.

证明, 如果 ϕ : M Ñ N 为黎曼曲面之间的光滑映射, 则

ϕ˚pσ1p0qq “ pϕ ˝ σq1p0q.

说明上式可用来给出切映射的另一个定义.

2. 给出 (2.6) 和 (2.7) 的证明.

3. 利用单位分解给出 Stokes 公式的证明.

4. 给出定理 2.2.5 后面应用中第二条结论的证明.

5. 证明, H2dRpC˚q “ H2

dRpD˚q “ 0.

6. 设 f : D Ñ M 是从圆盘到黎曼曲面 M 的连续映射, 且 f 在圆盘的边界附近

是光滑的. 证明, 存在光滑映射 g : D Ñ M , 使得 g 和 f 在圆盘边界附近相同.

7. 证明, 黎曼曲面之间同伦的映射 f : M Ñ N 和 g : M Ñ N 诱导出的 de Rham

上同调群同态是相同的. 特别地, 同伦等价的曲面具有同构的 de Rham 上同

调群.

§2.3 亚纯函数与亚纯微分

本节继续研究黎曼曲面之间全纯映射的局部和整体性质. 首先来看一个简单

的例子.

例 2.3.1. 设 k 为正整数, 考虑复平面上单位圆盘 D 到 D 的全纯映射

f : D Ñ D, fpzq “ zk, @ z P D.

当 z0 ‰ 0 时, f 在 z0 附近是一一的映射; 当 z0 “ 0 时, f 在 z0 附近 (除掉 z0) 是

k 到 1 的映射, 即是一个有限叶数的复迭映射.

一般地, 设 f : D Ñ C 为非常值的全纯函数, 不失一般性, 假设 fp0q “ 0. 由全

纯函数的性质, 存在整数 k ě 1 以及 D 上的全纯函数 g, 使得

fpzq “ zk ¨ gpzq, @ z P D,


且 g在原点 0附近不为零. 根据前一节定理 2.2.5后面的讨论,存在原点 0附近的全

纯函数 h,使得 hk “ g. 因此,在原点附近 fpzq “ rz ¨hpzqsk. 全纯映射 ϕpzq “ z ¨hpzq

在原点附近为一一映射, 因而可以作为原点附近的局部坐标. 在这个局部坐标下, f

可一表示为

f ˝ ϕ´1pwq “ wk.

这说明, f 在原点附近的性质和上述第一例完全相同.

为了更好地描述全纯映射地性质, 我们引入分歧覆盖的概念.

定义 2.3.1 (分歧覆盖). 设 f : X Ñ Y 为拓扑空间之间的连续映射. 如果任

给一点 p P M , 存在 p 的邻域 U , 使得 f : U ´ p Ñ fpUq ´ fppq 是具有有限叶数的

复迭映射, 则称 f 为一个分歧覆盖. f : U ´ p Ñ fpUq ´ fppq 的叶数称为 p 的重数,

也称 p 覆盖 fppq k 次.

根据本节开头的讨论, 非常值全纯函数是分歧覆盖映射. 由于黎曼曲面之间的

全纯映射的局部表示就是全纯函数, 因此我们就得到

命题 2.3.1. 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面 M 和 N 之间的非常值全纯映射, 则

f 为分歧覆盖.

设 f : M Ñ N 为全纯映射, q P N . 定义

#f´1pqq “ÿ

pPf´1pqq

pp处 f 的重数q,

称为 q 在 f 下原像的个数 (含重数).

下面我们考虑全纯映射的特殊情形, 即值域为黎曼球面 S 的情形.

定义 2.3.2 (亚纯函数). 设 M 为黎曼曲面. 满足条件 f ı 8 的全纯映射称为

M 上的亚纯函数. 当 fppq “ 8 时, 称 p 为 f 的极点; 当 fppq “ 0 时, 称 p 为 f 的

零点.

如果 M “ Ω 是 C 上的区域, f 是 Ω 上通常定义的亚纯函数, 则通过在极点处

将 f 定义为无穷远点就把 f 延拓为从 Ω 到 S 的连续函数. 容易验证, 延拓后的函

数作为黎曼曲面之间的映射是全纯映射. 这就说明, 上述黎曼曲面上亚纯函数的定

义是自然和合理的. 下面我们考虑黎曼球面 S 上的亚纯函数.

设 h, g ı 0 为 C 上复系数多项式全纯函数, 我们称 C 上的亚纯函数 fg 为有

理函数. 进一步, 通过令

hgp8q “ limzÑ8

fpzq

gpzq

就把 hg 延拓为从黎曼球面 S 到黎曼球面 S 的映射. 容易看出, 这是一个全纯映

射, 因而是 S 上的亚纯函数. 反之, 我们有如下定理


定理 2.3.2. 黎曼球面上的亚纯函数必为有理函数.

证明. 设 f : S Ñ S 为亚纯函数. 不失一般性, 可设 fp8q ‰ 8(不然可以考虑1f ). 因此, 存在 R ą 0, 使得 fpzq ‰ 8, @ |z| ą R. 点集 f´1p8q Ă C “ S ´ t8u

是 tzˇ

ˇ |z| ď Ru 中的离散子集, 故为有限集合. 取定 a P f´1p8q, 在 a 附近, f 有

Laurent 展开, 从而 f 可写为

fpzq “ Pap1

z ´ aq `Hapzq,

其中 Pa 为多项式, Ha 在 a 处全纯. 令

spzq “ÿ

aPf´1p8q

Pap1

z ´ aq,

则 fpzq ´ spzq 在每个 a P f´1p8q 附近都有界, 从而可以全纯延拓到整个复平面 C上. 又因为 fp8q 有限, sp8q “ 0, 故 f ´ s 为 C 上有界全纯函数, 从而为常数. 这

说明 f 为有理函数. 如果 z 为 C 上复坐标, 则 z 也可看成 S 上的亚纯函数. 根据上面的定理, S 上

的亚纯函数全体正好就是有理函数域 Cpzq. 一般地, 黎曼曲面 M 上的亚纯函数之

间也可以定义加法,数乘,乘法和除法运算 (此时应注意,在极点和零点处应如何处

理加法, 乘法和除法?).

定义 2.3.3 (亚纯函数域). 黎曼曲面 M 上亚纯函数的全体在通常的加法, 数

乘等运算下成一个域, 它是复数域的扩张, 记为 MpMq. 设 f P MpMq, 且 f ı 0.

@ p P M , 设 z 为 p 附近的坐标函数且 zppq “ 0. 在 p 附近 f 有 Laurent 展开:

fpzq “ anzn ` an`1z

n`1 ` ¨ ¨ ¨ , n P Z, an ‰ 0.

称 n 为 f 在 p 处的赋值, 记为 νppfq. 当 n ă 0 时, p 为 f 的极点, n “ ´1 时

称 p 为单极点; 当 n ą 0 时, p 为 f 的零点, n “ 1 时称 p 为单零点. 我们规定

νpp0q “ 8, @ p P M .

赋值映射具有如下性质:

• νppfq 的定义与局部坐标选取无关;

• νppf ¨ gq “ νppfq ` νppgq, νppf ` gq ě mintνppfq, νppgqu.

下面, 我们借助留数公式来研究紧致黎曼曲面上亚纯函数的整体性质.

定义 2.3.4 (全纯微分). 黎曼曲面 M 上闭的 p1, 0q 型的 1- 形式称为全纯微

分. 全纯微分的全体组成组成一个复向量空间, 记为 HpMq.


全纯微分具有下列性质:

• 如果 U 为 M 的局部坐标邻域, z 为 U 上坐标函数, 则全纯微分在 U 上可表

示为 fdz, 其中系数 f 为 U 上全纯函数;

• 如果 g 是 M 上全纯函数, 则 dg 为 M 上全纯微分;

• 如果 ϕ : M Ñ N 为全纯映射, η 为 N 上全纯微分, 则 ϕ˚pηq 为 M 上全纯微

分;

• 设 ω, η 为 M 上全纯微分, η ‰ 0. 则 ωη 为 M 上亚纯函数.

如果 z 为 C 上标准复坐标, 则 dz 显然是 C 上全纯微分. 但是, z 已经可以

看成 S 上的亚纯函数, 我们也希望把 dz 看成 S 上的某种微分形式. 当采用 S 在无穷远点附近的坐标函数 w “ 1z 时, dz 可以表示为 dz “ ´ 1

w2 dw, 它的系数在

w “ 0(即 z “ 8) 处有一个极点. 如果允许极点出现, 我们就得到亚纯微分的概念.

定义 2.3.5 (亚纯微分). 设 M 为黎曼曲面. M 上的亚纯微分是指除掉 M

的某个离散子集上的全纯微分, 使得此全纯微分的局部表示的系数为 M 上的局

部亚纯函数. 亚纯微分的全体也组成一个复向量空间, 记为 KpMq. 对于 p P M ,

ω P KpMq, 定义 ω 在 p 处的赋值 νppMq 为 ω 的局部表示的系数在 p 处的赋值.

亚纯微分具有下列性质:

• 如果 g 为 M 上亚纯函数, ω 为亚纯微分, 则 g ¨ ω 为亚纯微分;

• 如果 ϕ : M Ñ N 为全纯映射, η 为 N 上亚纯微分, 则 ϕ˚pηq 为 M 上亚纯微

分;

• 特别地, 如果 f 是 M 上亚纯函数, 则 df “ f˚pdzq 为 M 上亚纯微分;

• 设 ω, η 为 M 上亚纯微分, η ‰ 0. 则 ωη 为 M 上亚纯函数.

定义 2.3.6 (留数). 设 ω 为黎曼曲面 M 上的亚纯微分. 任取 p P M , 设 p 附

近的坐标函数为 z 且 zppq “ 0. 在此局部坐标下, ω 有如下局部表示

ω “ pańzń ` ań`1z

ń`1 ` ¨ ¨ ¨ ` a´1z´1 ` bpzqqdz,

其中 bpzq 是 p 附近的全纯函数. 我们称 a´1 为 ω 在 p 处的留数, 记为 Resppωq.

下面的引理表明, 留数的定义是恰当的.

引理 2.3.3. Resppωq 的定义与坐标函数的选取无关.


证明. 在 p 的坐标邻域中取以 p 为中心的圆盘 B, 则有ż

BB

ω “

ż

BB

a´nz´n ` ¨ ¨ ¨ `

ż

BB

a´1z´1 `

ż

BB

bpzqdz

“ 0 ` ¨ ¨ ¨ ` 2π?

´1 ¨ a´1 `

ż

B

db^ dz

“ 2π?

´1 ¨ a´1.

从而有

a´1 “1

2π?

´1

ż

BB

ω.

如果起我们取两个这样的圆盘 B1, B2 Ă B1, 则由 Stokes 公式, 有ż

BB1

ω ´

ż

BB2

ω “

ż

B1´B2

dω “ 0.

这说明 a´1 是定义好的量. 作为 Stokes 公式的一个应用, 我们得到下面重要的留数定理.

定理 2.3.4 (留数定理). 设 M 为紧致黎曼曲面, 则对任何的亚纯微分 ω, 均有ÿ

pPM

Resppωq “ 0.

证明. 按照留数的定义, 只有在极点处留数才可能非零. 对于一个非零的亚纯

微分 ω, 其极点为 M 中离散子集, 因此如果 M 是紧致曲面, 则上述求和实际上是

一个有限和.

设 ω 的极点为 p1, p2, ¨ ¨ ¨ , pk. 设 Bj 为含 pj 的坐标圆盘, 且当 i ‰ j 时,

Bi XBj “ H. 令 Ω “ M ´ YjBj . 则 ω 为 Ω 上的全纯微分. 由 Stokes 公式, 有

0 “

ż

Ω

dω “

ż

BΩ

ω “ ´ÿ

j

ż

BBj

ω.

根据上面的引理立知留数定理成立. 注. 从证明过程可以得到带边区域上的留数公式:

ż

BΩ

ω “ ´2π?

´1ÿ

pPΩ

Resppωq.

留数定理可以用来研究紧致黎曼曲面上的亚纯函数. 这是因为, 如果 f : M Ñ

S 为亚纯函数, 则 ω “ dff 为亚纯微分, 且按照赋值和留数的定义, 有

νppfq “ Resppωq.

由留数定理, 就有ÿ

pPM

νppfq “ÿ

pPM

Resppωq “ 0.


由于当 p 不是极点或零点时, νppfq “ 0, 上式可改写为ÿ

pPf´1p8q

´νppfq “ÿ

pPf´1p0q

νppfq,

即

#f´1p8q “ #f´1p0q.

进一步, 任取 a P C, 均有

#f´1paq “ #pf ´ aq´1p0q “ #pf ´ aq´1p8q “ #f´1p8q.

即任何一点在 f 下原像的个数都跟 f 的极点个数相同. 这就得到了下面的推论

推论 2.3.5. 设 M 为紧致黎曼曲面, f : M Ñ S 为 M 上的非常值亚纯函数.

则有

piq f 的零点个数和极点个数相等, 即 #f´1p8q “ #f´1p0q ;

piiq @a P S, 均有 #f´1paq “ #f´1p8q, 即 #f´1paq 为常数, 称为分歧覆盖 f

的叶数 p 重数 q. 特别地, f 是满射.

在上述推论中, 如果 M “ S, 且 f 为 n 次多项式, 则 #f´1p8q “ n. 因而有

#f´1p0q “ n.

即, C 上的 n 次复系数多项式有 n 个根, 这也就是代数基本定理.

习题 2.3

1. 计算黎曼球面 S 的全纯自同构群.

2. 证明, ω 为全纯微分 ðñ ω 为 p1, 0q 型的 1- 形式, 且 Bω “ 0.

3. 证明黎曼球面 S 上没有非平凡的全纯微分.

4. 证明, 任何黎曼环面 CΛ 上全纯微分全体组成的向量空间维数为 1.

5. 证明, C 上的 p1, 1q- 形式 ω “?

´12π p1 ` |z|2q´2dz ^ dz 可延拓为 S 上的光滑

p1, 1q- 形式, 且ş

S ω “ 1.

6. 设 ω 如上一题, f : M Ñ S 为紧致黎曼曲面 M 上的亚纯函数, 证明

#f´1p8q “

ż

M

f˚pωq.

7. 设 f : M Ñ N 为紧致黎曼曲面之间的非常值全纯映射, 证明 #f´1pqq, q P N

不依赖于 q 的选取, 是由 f 确定的常数, 称为 f 的重数.

§2.4 Perron 方法 41

§2.4 Perron 方法

在本节和下一节里, 我们利用黎曼曲面上的调和函数来研究曲面, 我们首先把

调和函数的概念推广到黎曼曲面上.

定义 2.4.1 (调和函数). 设 M 为黎曼曲面, u : M Ñ R 为连续函数. 如果在

任何一点附近, u 均为 M 上某个局部全纯函数的实部, 则称 u 为 M 上的一个调

和函数.

如果 M “ Ω 为复平面上的区域, 则上述定义和第 1 章中调和函数的定义是一

致的. 利用黎曼曲面上的局部坐标, 我们也可以这样定义调和函数: 如果对 M 的

任意局部坐标映射 ϕ, 复合函数 u ˝ ϕ´1 均为复平面开集上的调和函数, 则称 u 为

M 上的调和函数.

下面我们来寻求调和函数的整体刻画. 为此, 设 u 是 M 上光滑函数, z “

x `?

´1 y 为局部坐标函数, 令 ω “ BuBxdy ´ Bu

By dx, 由定义知, u 为调和函数当且仅

当 dω “ 0. 下面我们说明, 1-形式 ω 实际上是 M 上的一个与局部坐标选取无关的

整体定义的 1- 形式. 我们首先引入如下线性算子 ˚ : A1pMq Ñ A1pMq:

˚η “ ady ´ bdx, @ η “ adx` bdy P A1pMq.

这个算子称为Hodge 星算子. 显然有

• ˚2 “ ´1;

• ˚pdzq “ ´?

´1 dz, ˚pdzq “?

´1 dz;

• Hodge 星算子与局部坐标的选取无关;

利用 Hodge 星算子, 我们有

ω “Bu

Bxdy ´

Bu

Bydx “ ˚du,

其中, du “ BuBxdx` Bu

By dy 是 u 的外微分. 另外, 我们也有

Bu “Bu

Bzdz

“12

pBu

Bx`

?´1

Bu

Byqpdx´

?´1 dyq

“12

rBu

Bxdx`

Bu

Bydy ´

?´1p

Bu

Bxdy ´

Bu

Bydxqs

“12

rdu´?

´1 ˚ dus.

从而 u 为调和函数当且仅当 Bu 为闭形式. 总之, 我们得到调和函数的如下刻画:


命题 2.4.1. u 为黎曼曲面 M 上的调和函数 ðñ ˚du 为闭形式 ðñ Bu 为

闭形式 ðñ BBu “ 0.

由前节定理 2.2.5 我们得到单连通黎曼曲面上调和函数的如下性质:

命题 2.4.2. 设 M 为单连通黎曼曲面. 如果 u 为 M 上的调和函数, 则 u 为

M 上全纯函数的实部; 设 p P M , B 为 p 附近的坐标圆盘. 如果 u 为 M ´ tpu 上

调和函数, 且ş

BB˚du “ 0, 则 u 为 M ´ tpu 上全纯函数的实部; 如果 u 为 M ´ tpu

上调和函数, 且在 B 内存在全纯函数 FB, 使得 u “ log |FB |, 则存在 M 上的全纯

函数 F , 使得 u “ log |F |.

证明. 如果 u 为调和函数, 则由上面的讨论, ˚du 为闭形式. 而如果此时 ˚du “

dv还是恰当形式,则 h “ u`?

´1 v为全纯函数, u为 h的实部.直接利用定理 2.2.5

即可得到命题的前两个结论. 对于最后一个结论, 我们可以首先把 B 扩充为 M 的

开覆盖 tBαu, 使得每个 Bα 均为局部坐标圆盘, 且两个这样的坐标圆盘要么交集

为空, 要么交集连通. 在 Bα 内, 存在全纯函数 Gα, 使得其实部为 u, 令 Fα “ eGα ,

则 Fα 为 Bα 内全纯函数, 且 u “ log |Fα|. 如果 Bα X Bβ ‰ H, 则存在常数 cαβ ,

|cαβ | “ 1, 使得 Fα “ cαβFβ . 此时 F´1α dFα 为 M ´ tpu 上整体定义的闭形式, 记为

ω. 我们有ż

BB

ω “ 2kπ?

´1, k P Z.

在 M ´ tpu 上定义函数 F 如下: 固定一点 p0 P M ´ tpu, 设 q 为任意一点, 取

M ´ tpu 中连接 p0, q 的光滑曲线 σq, 令

F pqq “ eş

σqω.

利用 M 的单连通性不难看出, F 是定义好的函数, 且 F´1dF “ ω. 因此, 在 Bα

上, F´1Fα “ cα 为常数, 且 |cα| “ |cβ |. 不妨设 |cα| “ 1, 从而 Fαc´1α “ F 是 M 上

整体定义的全纯函数, u “ log |F |. 由调和函数的定义知,我们在第一章中讨论的复平面上调和函数的许多性质对

于黎曼曲面上的调和函数仍然成立,例如最大值原理, Harnack原理等,我们不一一

指出.

在第一章中, 我们知道复平面上圆盘上的调和函数的 Dirichlet 问题存在惟一

的解. 在一般的黎曼曲面上,我们也希望有类似的结果.为此,我们要引入次调和函

数的概念.

定义 2.4.2 (平面次调和函数). 设 u : Ω Ñ R 为复平面区域上的连续函数. 如

果对 Ω 中任何圆盘 Brppq, 均有

uppq ď12π

ż 2π

0

upp` reiθqdθ, p平均值不等式q


则称 u 为 Ω 上的次调和函数.

由定义容易看出, 和调和函数一样, 次调和函数也满足极大值原理. 次调和函

数有如下刻画.

命题 2.4.3. 以下几条是等价的:

p1q u : Ω Ñ R 为次调和函数;

p2q 对于任意区域 Ω1 ĂĂ Ω 以及 Ω1 上的调和函数 v, u ´ v 在 Ω1 内达不到

局部极大值, 除非 u´ v 在 Ω1 上为常值;

p3q 对于 Ω 内任意圆盘 B, 设 uB 是 B 内以 u|BB 为边值的调和函数, 则在 B

内有 u ď uB.

证明. p1q ñ p2q. 如果 u为次调和函数, v 为调和函数,则 u´ v 仍然满足平均

值不等式, 因此最大值原理对 u´ v 仍然成立.

p2q ñ p3q. 如果最大值原理成立,则由于 u´uB 在圆盘边界 BB 上为零,故在

圆盘 B 内部成立不等式 u´ uB ď 0.

p3q ñ p1q. 任取圆盘 B, 有

uppq ď uBppq “12π

ż 2π

0

uBpp` reiθqdθ

“12π

ż 2π

0

upp` reiθqdθ.

这就证明了命题中 p1q, p2q, p3q 的等价性. 和调和函数一样,黎曼曲面上也可定义次调和函数: 设 u : M Ñ R为黎曼曲面

M 上的连续函数. 如果对任意局部坐标函数 ϕ, u ˝ ϕ´1 均为平面次调和函数, 则称

u 为 M 上的次调和函数. 次调和函数具有如下性质:

• 如果 M “ U Y V , U , V 为开集, 且 u|U , u|V 均为次调和函数, 则 u 为 M 上次

调和函数;

• 如果 u1, u2 为次调和函数, 则 maxtu1, u2u 为次调和函数, au1 ` bu2 也是次调

和函数, 其中 a, b 为正实数;

• 设 u : M Ñ R 为次调和函数, 对 M 上任一坐标圆盘 B, 设 uB 是以 u|BB 为边

值的 B 内调和函数. 则如下定义的 M 上连续函数 uB 是次调和函数.

uBppq “

$

&

%

uBppq, p P B,

uppq, p P M ´B.

次调和函数的一个重要用处是用来构造调和函数.


定义 2.4.3 (Perron 族). 设 M 为黎曼曲面, F 为 M 上一族次调和函数. 如

果 F 满足下面的条件p1q 如果 u, v P F , 则存在 w P F , 使得 w ě maxtu, vu;

p2q 对 M 上任何坐标圆盘 B, 如果 u P F , 则 uB P F .

则称 F 为 Perron 族.

定理 2.4.4 (Perron 方法). 设 F 为黎曼曲面 M 上的 Perron 族. 则如下定义

的函数 uF

uF ppq “ SupuPF

tuppqu, p P M

要么恒为 `8, 要么为 M 上的调和函数.

证明. 任取 z0 P M , 我们分两种情况讨论.

p1q uF pz0q “ `8. 则存在一列 ui P F ,使得 uipz0q Ñ `8. 根据 Perron族的条

件 p1q, 我们可以假设 ui 为一列递增函数. 任取包含 z0 的坐标圆盘 B, 则 uiB P F ,

且 uiBpz0q Ñ `8. 由最大值原理, uiB 也是一列递增调和函数. 由 Harnack 原理,

uiB 在 B 中内闭一致地发散到 `8. 由此不难看出, uF 在整个 M 上都取值 `8.

p2q 现在可以假设 uF 为 M 上定义好的有限函数. 同 p1q 一样取坐标圆盘 B,

并设 uipz0q Ñ uF , ui 为递增序列, 在 B 内调和. 由 Harnack 原理, ui 在 B 中内

闭一致地收敛到调和函数 u. 下面证明在 B 内 uF ” u. 事实上, 任取 z1 P B 以

及一列 vj P F , 使得 vjpz1q Ñ uF pz1q. 通过考虑 maxtuj , vju, 不妨设 vj ě uj . 和

前面的理由一样, 我们可进一步假设 vj 为递增序列, 且在 B 内调和. 于是 vj 在 B

中内闭一致地收敛到调和函数 v, v 满足条件 v ě u, vpz1q “ uF pz1q. 另一方面,

upz0q “ uF pz0q ě vpz0q. 由调和函数的最大值原理, u ´ v 在 B 内恒为零. 特别地,

upz1q “ vpz1q “ uF pz1q. 因为 z1 是任取的, 这就说明在圆盘 B 内 uF “ u. 特别地,

uF 为调和函数. 下面我们用 Perron 方法来解区域上的 Dirichlet 边值问题. 首先考虑有界域的

情形. 设 Ω 为黎曼曲面 M 上的有界区域 ( Ω 为 M 中的紧致集合), 我们对区域的

边界要加一些条件.

定义 2.4.4 (闸函数). 设 ξ 为区域边界 BΩ 上的一点. 如果存在 Ω 上连续到

边界的次调和函数 u 满足条件

upξq “ 0; upxq ă 0, @ x P Ω ´ tξu,

则称 ξ 为正则点, u 为 ξ 处的一个闸函数 pbarrier functionq.

下面的引理可以用来判断有界区域边界上的点在什么情形下为正则点.


引理 2.4.5. 设 Ω 为黎曼曲面 M 上的有界区域, z0 P BΩ. 如果存在 z0 附近的

局部坐标邻域 U 以及坐标函数 ϕ, 使得 ϕpz0q “ 0, ϕpΩ X Uq Ă tz P C | Repzq ą 0u.

则 z0 为正则点. 特别地, 如果 Ω 是 Stokes 公式中要求的区域, 则其边界点均为正

则点.

证明. 首先取?z 在右半复平面 tz P C | Repzq ą 0u 上的单值化分支 gpzq, 使

得 g 把右半实轴映为右半实轴. 在 Ω X U 内考虑调和函数 β “ ´Repg ˝ ϕq, 则

βpz0q “ 0, 且 βppq ă 0, @p P Ω X U ´ tz0u. 令 m “ maxpPΩXBU

βppq, 以及

uppq “

$

&

%

maxtm,βppqu, p P Ω X U,

m. p P Ω ´ U.

则 u 为 Ω 上次调和函数, 满足条件 upz0q “ 0, 且 uppq ă 0, @ x P Ω ´ tz0u. 这说明

u 为 z0 处的闸函数. 闸函数 (barrier function)是非常重要的辅助函数,它们往往起着关键的控制作

用.

定理 2.4.6 (有界域上的调和函数). 设 Ω 为黎曼曲面 M 中的有界域, 其边界

上的点均为正则点. 则任给定义在边界 BΩ 上的连续函数 f , 均存在 Ω 内惟一的调

和函数 u, 使得 u 连续到边界, 且 u|BΩ “ f .

证明. 这个证明是 Perron 方法运用的一个例子. 考虑如下函数族

Ff “ t u为 Ω 内连续到边界的次调和函数, 且 u|BΩ ď fu.

因为 minBΩ

f P Ff , 故 Ff 为非空函数族. 容易验证 Ff 为一个 Perron 族. 由最

大值原理, u ď maxBΩ

f , @u P Ff . 从而由 Perron 方法, uf “ SupuPFf

u 是 Ω 内定义的调

和函数. 下面证明

limxÑξ

uf pxq “ fpξq, @ ξ P BΩ.

事实上, 设 v 为 ξ 处的闸函数. 任给 ϵ ą 0, 由 f 的连续性, 存在 ξ 附近的坐标邻域

Bpξq, 使得

fpξq ´ ϵ ă fpxq ă fpξq ` ϵ, @ x P BΩ XBpξq.

在紧致集合 Ω ´Bpξq 上, v ă 0 且连续, 故存在充分大的正数 C, 使得

fpξq ´ ϵ` C v ă fpxq ă fpξq ` ϵ´ C v, @ x P BΩ ´Bpξq. (2.8)

由 v ď 0 知上式对任意 x P BΩ 均成立. 特别地, 次调和函数 fpξq ´ ϵ ` C ¨ v 在 Ff

中, 从而下面的不等式在 Ω 内成立:

fpξq ´ ϵ` C v ď uf . (2.9)


另一方面, 任给 u P Ff , 由 u|BΩ ď f 及 (2.8) 知在 BΩ 上有

u` C v ă fpξq ` ϵ.

对次调和函数 u` C v 用最大值原理就得到 Ω 内的不等式

u` C v ă fpξq ` ϵ.

从而有

uf ď fpξq ` ϵ´ C v. (2.10)

由 vpξq “ 0 以及 (2.9), (2.10) 就得到

limxÑξ

uf pxq “ fpξq.

uf 的惟一性由最大值原理直接得到. 对于无界域, 上面的结果并不适用. 例如, 在上半复平面上, 线性函数 hpzq “ y

显然为调和函数, h 在区域边界上恒为零, 在区域内部当然不为零. 这个例子说明

对于无界域, 即使关于调和函数的 Dirichlet 边值问题解存在, 也不一定惟一.

引理 2.4.7. 设 M 为黎曼曲面. 假设 M 上存在非常值的非正次调和函数, 则

有

piq M 上存在非常值有界次调和函数;

piiq 设 K 为 M 中紧致集合, Ω “ M ´ K 为连通区域, 且具有正则边界 BK,

则存在 Ω 内连续到边界的调和函数 ω, 使得 ω|BΩ ” 1, 0 ă ω|Ω ă 1.

证明. 设 u 为 M 上非正次调和函数. 如果 u 不是常值函数, 则由最大值原理

易见 u ă 0.

piq 取定 p0 P M , 令 v “ maxtupp0q, uu, 则 upp0q ď v ď 0. v 为 M 上有界次

调和函数. 如果 u 非常值, 则由最大值原理知 v 也是非常值的.

piiq 由 u ă 0 我们不妨假设 maxK

u “ ´1. 通过考虑 maxt´1, uu, 可进一步假

设 u|K ” ´1. 考虑如下函数族

FK “ tw : Ω Ñ R 次调和, 连续到边界 BΩ “ BK, 且 w ` u ď 0.u

显然, 0 P FK . 由 Perron 方法, ω “ SupwPFK

w 为 Ω 内次调和函数, 且

0 ď ω ď ´u ď 1. (2.11)

下面我们要证明, ω|BK ” 1, 且在 Ω 内 0 ă ω ă 1.

事实上, 任取 p P Ω, 取 M 中边界正则的有界域 Ωp, 使得 K Y tpu Ă Ωp. 根据

有界域上调和函数的存在性, 我们得到 Ωp ´K 内连续到边界的调和函数 ωp, 使得


ωp|BK ” 1, ωp|BΩp ” 0. 由最大值原理, 在 Ωp ´ K 内 0 ă ωp ă 1. 对次调和函数

ωp ` u 在 Ωp ´K 上用最大值原理知 ωp ` u ď 0. 通过在 Ωp 之外作零延拓, ωp 可

视为 M 上的次调和函数, 且仍有 ωp ` u ď 0. 这说明 ωp P FK , 从而

ωp ď ω.

特别地, ωppq ě ωpppq ą 0, ω|BK ě ωp|BK “ 1. 结合 (2.11) 就知道 ω|BK ” 1. 由最

大值原理及 (2.11) 还知道, 在 Ω 内部 ω ă 1. 我们对这个引理作一些解释. 设 K 为黎曼曲面 M 上的紧致集合. 如果存在

M ´K 上的次调和函数 h, 使得 SupM´K

h ă 8, lim SuppÑBK

hppq ď 0 以及存在 q P M ´K,

使得 hpqq ą 0, 则称最大值原理对 K 不成立. 由刚才的引理, 如果 M 上存在非常

值有界次调和函数, 则最大值原理对边界正则的紧致集合 K 不成立. 反之, 不难证

明, 如果存在紧致集合 K, 使得最大值原理对 K 不成立, 则 M 上存在非常值有界

次调和函数 (留作习题).

对于不存在非常值有界次调和函数的黎曼曲面, 最大值原理对紧致集合总成

立. 我们有如下结果.

引理 2.4.8. 设黎曼曲面 M 上不存在非常值有界次调和函数, U 为任取的局

部坐标邻域, ϕ 为坐标函数, 且 ϕpUq “ D. 记 Ur “ tq P Uˇ

ˇ |ϕpqq| ă ru, 0 ă r ă 1.

则有

piq 任给 BUr 上的连续函数 f , 存在 M ´ Ur 中惟一的有界调和函数 u, 使得

u|BUr “ f .

piiq 对于上述调和函数 u, 如果 r ă s ă 1, 则ż

BUs

˚du “ 0.

证明. piq 通过加上一个正常数, 不妨设 f ě 0. 考虑如下函数族

Ff “ tv 为 M ´ Ur 中次调和函数, 且 v ď SupBUr

f, v|BUr ď fu.

因为 0 P Ff , 故这是一个非空函数族, 容易验证它是一个 Perron 族, 从而函数

u “ SupFf

v 为 M ´ Ur 中调和函数, 且满足

0 ď u ď SupBUr

f.

取 M 中边界正则的有界域 Ω,使得 Ur Ă Ω. 根据有界域上调和函数 Dirichlet问题

解的存在惟一性, 在 Ω ´ Ur 上存在连续到边界的调和函数 vΩ, 使得

vΩ|BUr “ f, vΩ|BΩ “ 0.


经过零延拓后, vΩ 可视为 M ´ Ur 上的次调和函数. 由最大值原理易见 vΩ P Ff ,

这表明

u|BUr ě vΩ|BUr “ f.

由此不难推出 u|BUr “ f.

惟一性: 如果 u 为满足条件的另一个调和函数, 则 u´ u 为 M ´ Ur 中有界调

和函数, 它在边界 BUr 上为零. 如果 u´ u 不恒为零, 则最大值原理对紧致集合 Ur

不成立. 在这种情况下, M 上一定存在非常值有界次调和函数, 这就与假设相矛

盾.

piiq 如果 M 为紧致黎曼曲面, 则由 Stokes 积分公式, 有ż

BUs

˚du “ ´

ż

MÚs

d ˚ du “ ´

ż

MÚs

0 “ 0.

下面假设 M 为非紧黎曼曲面. 在 M 中取一列边界正则的有界区域 Ωn,使得 Us Ť

Ωn Ť Ωn`1 Ť ¨ ¨ ¨ , 且 M “ Yně1

Ωn. 由有界域上调和函数的存在性, 在 Ωn ´ Ur 上存

在调和函数 un 及 vn, 使得$

&

%

un|BUr “ f, un|BΩn “ 0,

vn|BUr “ 1, vn|BΩn “ 0.

由最大值原理可知, 当 m ě n 时, 在 Ωn 内成立 0 ď un ď um ď maxBUr

f ,

0 ď vn ď vm ď 1. 由 Harnack原理, un 和 vn 在 M Úr 中分别内闭一致地收敛于

有界调和函数. 又由 piq 中结论我们就知道, un 的极限必为 u, 而 vn 的极限必为

1. 因此有ż

BUs

˚du “ limnÑ8

ż

BUs

pvn ˚ dun ´ un ˚ dvnq

“ limnÑ8

ż

BpΩnÚsq

pun ˚ dvn ´ vn ˚ dunq.

根据 Stokes 积分公式, 我们有ż

BpΩnÚsq

pun ˚ dvn ´ vn ˚ dunq “

ż

ΩnÚs

dpun ˚ dvn ´ vn ˚ dunq

“

ż

ΩnÚs

pdun ^ ˚dvn ´ dvn ^ ˚dunq

“

ż

ΩnÚs

0 “ 0.

这就证明了ş

BUs˚du “ 0.

习题 2.4

§2.5 单值化定理 49

1. 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, u : N Ñ R 为 N 上的调和函数.

则复合函数 u ˝ f 为 M 上的调和函数.

2. 证明, 把上题中 “调和函数” 换成 “次调和函数” 结论依然成立.

3. 设 u : Ω Ñ R 为平面区域上的 2 次连续可微函数, 则 u 为次调和函数当且仅

当 ∆u ě 0.

4. 设 u : M Ñ R 为连续函数. 如果存在开集 U , 使得 u 在 U 上为非负次调和函

数, 且 u|M´U ” 0, 则 u 为次调和函数.

5. 证明调和函数的奇点可去性定理.

6. 考虑有界域 D˚, BD˚ “ t0u Y S1. 在 BD˚ 上定义连续函数 f 如下: fp0q “ 1,

f |S1 ” 0. 证明, D˚ 内不存在连续到边界的调和函数, 使得它在边界上为 f .

7. 证明, 如果存在黎曼曲面 M 中的紧致集合 K, 使得最大值原理对 K 不成立,

则 M 上存在非常值有界次调和函数.

§2.5 单值化定理

有了前面的预备知识, 我们在本节就可以给出单连通黎曼曲面的完全分类. 基

本的想法是, 在单连通曲面上寻找单的全纯函数或亚纯函数, 为此我们要考虑带有

奇点的调和函数.

定义 2.5.1 (曲面的分类). 存在非常值有界次调和函数的黎曼曲面称为双曲

型的; 紧致黎曼曲面称为椭圆型的; 如果黎曼曲面既非双曲型, 又非椭圆型的, 则称

为抛物型的.

显然, 单位圆盘 D 是双曲型的, 黎曼球面是椭圆型的. 我们有

命题 2.5.1. 复平面 C 是抛物型的.

证明. 如果 C 上存在非常值有界次调和函数, 则由前节引理, 存在连续到边界

的调和函数 u : C ´ D Ñ R, 使得

u|BD “ 0, 0 ă u ă 1.

任取 ε ą 0,比较 u与调和函数 log r “ log |z|. @ z P C ´ D,取 r0 ą maxt|z|, e1ε u. 由

于在 BpDr0 ´ Dq 上 ε ¨ log r ě u, 由最大值原理,

ε ¨ log |z| ě upzq ě 0.


上式对任意 z 成立, 令 ε Ñ 0 即知 u ” 0. 这就得到了矛盾. 本节的主要结果就是证明单连通双曲型的黎曼曲面必定全纯同构于 D,单连通

椭圆型的黎曼曲面必定全纯同构于 S,而单连通抛物型的黎曼曲面必定全纯同构于

C. 我们首先研究双曲型的情形.

引理 2.5.2. 设 M 为双曲型的黎曼曲面. 则任取 p P M , 存在 M ´ tpu 上的

正调和函数 g, 使得在 p 附近的坐标邻域 B 内, g ` log |ϕ| 为调和函数, 其中 ϕ 为

B 上的坐标函数, ϕppq “ 0, ϕpBq “ D, B 为紧致集合.

证明. 考虑如下函数族:

Fp “ tv 为 M ´ tpu 上非负次调和函数, 且 p1q supp v Y tpu 为紧致集合,

p2q v ` log |ϕ| 可延拓为 B 内次调和函数.u.

通过在 B 外作零延拓, ´ log |ϕ| 可视为 M ´ tpu 上非负次调和函数, 它是 Fp

中的元素. 因此 Fp 为非空集合, 容易验证它是一个 Perron 族, 下面说明 g “ SupFp

v

为 M ´ tpu 上的调和函数, 满足引理要求的条件.

设 0 ă r ă 1, 令 Ur “ tq P Bˇ

ˇ |ϕpqq| ă ru. 由引理 2.4.7, 在 M ´ Ur 上存在调

和函数 ωr,满足条件 0 ă ωr ă 1, ωr|BUr ” 1. 令 λr “ maxBB

ωr,我们利用 λr 来对 Fp

中的函数作估计. 任取 v P Fp, 记 cr “ maxBUr

v. 对次调和函数 v ` log |ϕ| 在 B 上用

最大值原理, 有

cr ` log r ď c1. (2.12)

另一方面, 对次调和函数 v ´ crωr 在 M ´ Ur 上用最大值原理, 有

v ´ crωr ď 0.

特别地,

c1 ď crλr. (2.13)

(2.12) 和 (2.13) 结合起来就有

cr ďlog rλr ´ 1

.

对次调和函数 v 用最大值原理, 在 M ´ Ur 上有

v ďlog rλr ´ 1

.

这说明 g 是 M ´ tpu 上的有限调和函数. 此外, 对次调和函数 v ` log |ϕ| 在 Ur 上

用最大值原理, 有

v ` log |ϕ| ďlog rλr ´ 1

` log r.

§2.5 单值化定理 51

这说明 g` log |ϕ|在 B´ tpu上为有界调和函数,因此可以延拓为 B 内有界调和函

数. g 为非负非常值调和函数, 从而是正的调和函数. 上面所构造的带有奇点的调和函数 g 称为 p 处的 Green 函数. Green 函数具

有如下性质:

• Green 函数是满足引理条件的最小正调和函数. 即, 如果 h 是 M ´ tpu 正调和

函数, 在坐标邻域 B 内 h ` log |ϕ| 可延拓为调和函数, 则必有 g ď h. 这是因

为, 任取 v P Fp, 根据假设我们看到, v ´ h 是整个 M 上的次调和函数, 对这

个次调和函数用最大值原理就知道 v ´ h ď 0. 因此, 由 g 的定义立知 g ď h.

• infM´tpu

g “ 0, 这是上一条性质的直接推论.

定理 2.5.3. 单连通双曲型的黎曼曲面必定全纯同构于复平面上的单位圆盘

D.

证明. 设 M 为双曲型黎曼曲面. 任取 p P M , 设 B 为 p 附近的坐标邻域, ϕ

为坐标函数, ϕppq “ 0. 设 gp 是 p 处的 Green 函数. 因为 gp ` log |ϕ| 在 B 内调和,

故为某全纯函数 h 的实部. 令 Fp “ e´hϕ, 则 Fp 为 B 内全纯函数, 且

log |Fp| “ ´Rephq ` log |ϕ| “ ´gp.

现在假设 M 单连通, 由前节命题 2.4.2 知, Fp 可延拓为 M 上的整体全纯函数, 且

仍然满足

log |Fp| “ ´gp.

这样, 我们就得到了全纯映照 Fp : M Ñ D. 下面证明 Fp 为单射.

任取 q P M , 设 ψ 为 q 附近的坐标函数, ψpqq “ 0. 同理, 我们有 Green 函数

gq, 以及全纯函数 Fq, 使得 log |Fq| “ ´gq. 另一方面, 令

F 1pxq “Fppxq ´ Fppqq

1 ´ FppqqFppxq, x P M,

F 1 为全纯函数, F 1pqq “ 0. 设 F 1 在 q 处零点的阶数为 n, 令 u “ ´ log |F 1|n, 则

u` log |ψ| 在 q 附近有界, 从而可以延拓为 q 附近的调和函数. 根据 Green 函数的

构造, 有

gq ď u.

这说明

|Fqpxq ě |F 1pxq|1n | ě |F 1pxq|, x P M.

特别地, 在上式中取 x “ p, 就得到

|Fqppq| ě |F 1ppq| “ |Fppqq|.

§2.5 单值化定理 53

由 Mρ 的定义, 这就得到

Mρ ď maxBB

|Repfq| ` maxBBr

|Repfq| `8r

1 ´ rMρ.

因此, 当 0 ă r ă 120 时, 由上式就得到如下估计:

Mρ ď c0prq.

其中, c0prq 是只依赖于 r 的常数. 从而有

maxBBr

|uρ| ď maxBBr

|Repfq| `8r

1 ´ rMρ ď cprq.

这就得到了我们需要的估计.

推论 2.5.5. 设 M 为非双曲型的黎曼曲面, B 为 p 附近的一个坐标圆盘, ϕ 为

坐标函数, f : B ´ tpu Ñ C 为全纯函数. 则存在惟一的调和函数 u : M ´ tpu Ñ R,

使得 u 在 p 的任一邻域之外都是有界的, 且 u ´ Repfq 可延拓为在 p 处为零的 B

内调和函数.

证明. 留作习题. 下面假设 M 为单连通的非双曲型的黎曼曲面. 任取 p P M 以及 p 附近的坐

标圆盘 B, ϕ 为坐标函数, 且 ϕppq “ 0. 考虑 B ´ tpu 上的全纯函数 1ϕ . 根据上面的

推论, 存在 M ´ tpu 上的调和函数 u, 使得在 B 内 u “ h` Rep 1ϕ q, 其中 h 为 B 内

调和函数, hppq “ 0. 因此, 在 B 内存在全纯函数 FB , 使得 h “ RepFBq, FBppq “ 0.

从而在 B 内有

u “ RepFB `1ϕ

q.

根据 M 的单连通性, FB ` 1ϕ 可延拓为 M ´ tpu 内全纯函数, 记为 F , 仍然满足等

式 u “ RepF q. F 是 M 上以 p 为单极点的亚纯函数. 下面说明, F 的虚部 ImpF q

在 p 的任一邻域之外也是有界调和函数. 为此, 我们考虑 B ´ tpu 上的全纯函数?

´1ϕ , 同样的方法得出 M 上的亚纯函数 F , 使得在 B 内 F “ FB `

?´1ϕ , FB 为 B

内全纯函数, 且 RepF q 在 p 的任一邻域之外有界.

断言: F “?

´1F ,从而 ImpF q “ ´RepF q在 p的任一邻域之外有界. 事实上,

根据 F , F 的性质, 我们可以选取 p 的邻域 U Ă B, 使得 F , F 在 U 内为单射. 记

S “ SupM´U

t|RepF q|, |RepF q|u. 选取充分靠近 p 的一点 q0 P U , 使得

|RepF qpq0q| ą 2S, |RepF qpq0q| ą 2S.

考虑 M 上的亚纯函数 G, G:

Gpqq “1

F pqq ´ F pq0q, Gpqq “

1F pqq ´ F pq0q

, q P M.


因为在 U 内 F , F 为单射, 故 q0 为 U 内 G 和 G 的惟一极点. 在 U 之外, 有

|Gpqq| “ |1

F pqq ´ F pq0q| ď

1|RepF qpqq ´ RepF qpq0q|

ď1

|RepF qpq0q| ´ |RepF qpqq|ă

12S ´ S

“1S.

同理, |Gpqq| ă 1S , @q P M ´ U . 这说明 q0 是亚纯函数 G, G 的惟一极点, 且在 U

之外, G, G有界. 因此,通过选取适当的非零常数 a, a,线性组合 aG` aG成为 M

上有界全纯函数. 由于 M 不是双曲型的黎曼曲面, aG ` aG 只能为常数, 由此不

难推出 F “?

´1F .

总结一下, 我们就证明了

引理 2.5.6. 设 M 为非双曲型的单连通黎曼曲面. 则对任意一点 p P M , 存

在全纯映照 Fp : M Ñ S, 使得 p 为 Fp 的惟一极点, 且在 p 的坐标圆盘 B 内,

Fp “ FB ` 1ϕ , 其中 FB 为 B 内全纯函数, ϕ 为 B 内坐标函数, FBppq “ ϕppq “ 0.

并且, 在 p 的任一邻域之外 Fp 都是有界的.

下面我们要证明 Fp 是单射. 首先, Fp 与坐标选取有关, 如果从另一坐标映射

出发得到全纯映照 F 1p, 则选取适当的常数 c 后, Fp ´ cF 1

p 在 M 上为没有极点且

有界的全纯函数, 从而为常数 (因为 M 非双曲型). 这说明, 存在 S 的全纯自同构L, 使得 Fp “ L ˝ F 1

p. 其次, 根据前面的证明, 存在 p 的邻域 U Ă B, 使得对任何

q P U , 亚纯函数 rFp ´ Fppqqs´1 以 q 为惟一极点, 且在 q 的任一领域之外有界. 和

刚才的证明完全一样, 我们就知道 rFp ´ Fppqqs´1 和 Fq 只相差 S 的一个全纯自同构, 从而 Fp 和 Fq 也只相差 S 的一个全纯自同构. 根据 M 的连通性就容易看出,

对于 M 上的任意两点 p, q, Fp 和 Fq 只相差 S 的一个全纯自同构. 现在我们可以

说明 Fp 是单射了. 事实上, 如果 Fppq1q “ Fppq2q, 则存在 S 的全纯自同构 L, 使得

Fq1 “ L ˝ Fp, 从而有

Fq1pq2q “ L ˝ Fppq2q “ L ˝ Fppq1q “ Fq1pq1q “ 8 P S.

因为 q1 为 Fq1 的惟一极点, 故 q2 “ q1.

定理 2.5.7. 设 M 为非双曲型的单连通黎曼曲面, 则 M 必与 S 或 C 同构.

证明. 根据上面的证明, 存在 M 上的单的亚纯函数 F : M Ñ S. M 与 S 中单连通区域 F pMq 同构. 如果 M 紧致, 则由于 F pMq 是 S 中既开又闭的集合, 只能

有 F pMq “ S. 即此时 M 和 S 同构. 如果 M 非紧, 则 F pMq Ę S. 因此, F pMq 可

以看成 C 中单连通区域. 由 Riemann 映照定理, M 与 D 或 C 同构. 由于 D 是双

§2.5 单值化定理 55

曲型的, 故此时 M 只能与 C 同构.

习题 2.5

1. 设 M 为单连通双曲黎曼曲面, p, q P M . 证明 M 上的 Green 函数满足对称

性: gppqq “ gqppq.

2. 直接证明定理 2.5.3 中的全纯映照 F 为满射.

3. 证明, 在引理 2.5.4 中, 有 maxBBr

|uρ ´ Repfq| ď c1prq, limrÑ0

c1prq “ 0.

4. 证明,如果黎曼曲面 M 紧致,且 H1dRpMq “ t0u,则 M 全纯同构于黎曼球面 S.

5. 对基本群为交换群的所有黎曼曲面作全纯同构下的分类.

第三章 Riemann-Roch 定理

本章主要研究紧致 (无边)黎曼曲面,我们要证明极为重要的 Riemann-Roch公

式, 并探讨这个公式的一些应用.

§3.1 因子

定义 3.1.1 (因子). 设 M 为黎曼曲面, 考虑映射 D : M Ñ Z. 如果除了有限

个点 p P M 之外, 均有 Dppq “ 0, 则称 D 为 M 上的一个因子.

通常, 我们用一个形式和ř

pPM

Dppq ¨ p 来表示 M 上的因子 D. 如果 Dppq ě 0,

@ p P M , 则称 D 为 M 上的有效因子, 记为 D ě 0. 用 D 表示 M 上因子全体组成

的集合, 在 D 内可以自然地引入群的运算:

设 D1, D2 P D, D1 “ř

pPM

D1ppq ¨ p,ř

pPM

D2ppq ¨ p, 定义

D1 `D2 “ÿ

pPM

pD1ppq `D2ppqq ¨ p,

D1 ´D2 “ÿ

pPM

pD1ppq ´D2ppqq ¨ p.

在这些运算下, D 成为一个交换群, 称为因子群. 定义从 D 到整数加群 Z 的同态如下:

d : D Ñ Z

D ÞÑÿ

pPM

Dppq.

dpDq “ř

pPM

Dppq 称为因子 D 的次数.

例 3.1.1. 亚纯函数诱导的因子.

设 f 为黎曼曲面 M 上的亚纯函数, 则 f 决定了一个因子 pfq, 定义如下:

pfq “ÿ

pPM

νppfq ¨ p.

f 诱导的因子 pfq 具有如下性质:

• 如果 M 为紧致黎曼曲面, 则 dppfqq “ 0. 这是留数公式的推论;

• pf ¨ gq “ pfq ` pgq, pfgq “ pfq ´ pgq.

57

58 第三章 Riemann-Roch 定理

定义 3.1.2 (主要因子群). 如果 M 为紧致黎曼曲面, f 为 M 上的亚纯函数,

则称 pfq 为一个主要因子. 记 P “ tpfq | f P MpMqu, P 为因子群的子群, 称为主

要因子群.

根据主要因子的性质我们知道, P Ă Kerd, 因此 d 诱导了 DP 到 Z 的同态.

称商群 DP 为因子类群, 记为 D. @D,D1 P D, 如果 D ´ D1 P P, 则称 D 与 D1 线

性等价, 用 D – D1 表示.

例 3.1.2. 亚纯微分诱导的因子.

设 ω 为黎曼曲面 M 上的亚纯微分, 则 ω 决定了 M 上的一个因子, 记为 pωq,

定义如下:

pωq “ÿ

pPM

νppωq ¨ p.

如果 ω1 为另一亚纯微分, 则有

pωq ´ pω1q “ÿ

pPM

pνppωq ´ νppω1qq ¨ p

“ÿ

pPM

νppωω1q ¨ p

“ pωω1q.

这里, ωω1 是 M 上的亚纯函数, 因而 pωq 和 pω1q 线性等价, 记它们在因子类群中

的等价类为 K, 称为典范因子(类).

定义 3.1.3. 设 M 为紧致黎曼曲面, D 为 M 上的一个因子. 令

lpDq “ tf P MpMq | pfq `D ě 0u,

ipDq “ tω P KpMq | pωq ´D ě 0u.

lpDq 和 ipDq 分别是亚纯函数域 MpMq 和亚纯微分空间 KpMq 的子集. 下面

的引理表明, 它们都是有限维的子向量空间.

引理 3.1.1. lpDq 和 ipDq 具有以下性质:

piq lpDq 和 ipDq 为复向量空间. 如果 D – D1, 则 lpDq 与 lpD1q 线性同构,

ipDq 与 ipD1q 线性同构;

piiq lpDq 和 ipDq 为有限维复向量空间;

piiiq 如果 K 为典范因子, 则 ipDq 与 lpK ´Dq 线性同构.

证明. piq 设 f, g P lpDq, 则由 νppf ` gq ě mintνppfq, νppgqu 以及 pfq ` D ě 0,

pgq ` D ě 0 知 νppf ` gq ` Dppq ě 0, @ p P M . 这说明 f ` g P lpDq. 如果 λ P C,

f P lpDq, 则显然 λf P lpDq. 因此 lpDq 为复向量空间.

§3.1 因子 59

如果 D1 “ D ` pf0q, f0 P MpMq, 则

pfq `D1 ě 0 ðñ pfq `D ` pf0q ě 0 ðñ pff0q `D ě 0,

从而下面的映射

ϕ : lpD1q Ñ lpDq

f ÞÑ ff0.

为线性同构. 对于 ipDq 的证明是完全类似的, 留作习题.

piiq 首先, 把因子 D 写成两个有效因子的差: D “ D1 ´ D2, D1 ě 0, D2 ě 0.

显然, lpDq Ă lpD1q. 我们证明对于有效因子 D1, dim lpD1q ă 8. 对 dpD1q 进

行归纳. 当 dpD1q “ 0 时, D1 “ 0, 因此 lpD1q “ lp0q “ tf P MpMq | pfq ě 0u “

tM 上的全纯函数u “ C. 假设 dpD1q “ m 时, dim lpD1q ă 8, 则当 dpD1q “ m` 1

时, 可设

D1 “ n ¨ p` ¨ ¨ ¨ , n ą 0.

记 AD1 “ tf P lpD1q | νppfq ą ńu, BD1 “ tf P lpD1q | νppfq “ ńu. 则显然

AD1 Y BD1 “ lpD1q, 且 AD1 Ă lpD1 ´ pq. 由归纳假设, dimAD1 ă 8. 如果

BD1 ‰ H, 取 f0 P BD1 , 设 z 为 p 附近的局部坐标函数, zppq “ 0. 在 p 附近 f0 有

展开

f0pzq “ ańzń ` ań`1z

ń`1 ` ¨ ¨ ¨ , ań ‰ 0.

任取 f P BD1 , f 都有类似的展开式, 从而存在 λ P C, 使得 f ´ λf0 P AD1 . 这说明

lpD1q “ spantf0, AD1u. 特别地,

dim lpD1q ď dimAD1 ` 1 ă 8.

由归纳法, 这就证明了 lpDq 总是有限维的复向量空间. 对于 ipDq 的证明是完全类

似的, 留作习题.

piiiq 设典范因子 K 由 M 上非零亚纯微分 ω 生成. 则有

pηq ´D ě 0 ô pηq ´ pωq ` pωq ´D ě 0 ô pηωq `K ´D ě 0.

从而下面的映射

ψ : ipDq Ñ lpK ´Dq

η ÞÑ ηω.

为线性同构. 从上面引理的证明我们还得到以下的推论.


推论 3.1.2. 设 M 维紧致黎曼曲面. 则

piq 对于有效因子 D, 有 dim lpDq ď dpDq ` 1;

piiq 特别地, dim lppq ď 2, @ p P M . 并且等号成立的充分必要条件是 M 与黎

曼球面 S 同构.

piiiq dimH ă 8, 其中 H 是 M 上全纯 1- 形式的全体组成的复向量空间.

证明. piq 这从上面的归纳证明即可看出. 特别地, dim lppq ď dppq ` 1 “ 2,

@ p P M . 如果对于某个 p P M , dim lppq “ 2, 则存在 f P lppq, f 不是常值函数. 由

pfq ` p ě 0 知 f 以 p 为惟一的极点, 且这个极点为单极点. 这说明, 作为分歧覆盖,

f : M Ñ S 是一一的全纯映照, 即 f 是从 M 到 S 的全纯同构. 这就证明了 piiq.

piiiq 如果 H “ t0u, 则没什么要证的. 否则, 任取一个非零全纯微分 ω, 它生成

的典范因子 K “ pωq 是一个有效因子. 因此有

dimH “ dim ip0q “ dim lpKq ď dpKq ` 1.

特别地, H 是有限维复向量空间.

习题 3.1

1. 设 D 为黎曼曲面 M 上的因子, 证明, 如果 dpDq ă 0, 则 lpDq “ t0u.

2. 设 z 为 C 上的标准复坐标, 证明, 把 z 看成黎曼球面 S 上的亚纯函数后其诱导的因子为 pzq “ 0 ´ 8.

3. 设 p, q为黎曼球面 S上两个不同的点. 证明,存在亚纯函数 f ,使得 pfq “ p´q.

4. 设 D 为黎曼球面 S 上的因子. 证明, D 为主要因子的充分必要条件是 dpDq “

0.

5. 设 M 为紧黎曼曲面, D1, D2 为 M 上的因子, 其中 D2 为有效因子. 证明,

dim lpD1 `D2q ď dim lpD1q ` dpD2q.

6. 证明, 如果紧致黎曼曲面 M 上存在处处非零的全纯 1- 形式, 则 dimH “ 1.

§3.2 Hodge 定理

设M 为黎曼曲面. 我们回忆一下, AqpMq表示M 上 q次微分形式组成的复线

性空间, q “ 0, 1. 我们有线性算子 d : AqpMq Ñ Aq`1pMq 及 ˚ : A1pMq Ñ A1pMq.

§3.2 Hodge 定理 61

又, 我们有微分形式的分解 A1pMq “ A1,0pMq ‘ A0,1pMq, 其中 A1,0pMq 为 p1, 0q

形式的全体, A0,1pMq 为 p0, 1q 形式的全体, 并且

˚ω “ ´?

´1ω, ω P A1,0pMq,

˚ω “?

´1ω, ω P A0,1pMq.

定义 3.2.1. 设 ω 为 1- 形式. 如果 ω 及 ˚ω 均为闭形式, 则称 ω 为调和形式.

调和形式具有如下性质:

• 全纯形式必为调和形式. 这是因为如果 ω 为全纯形式, 则 ω 和 ˚ω “ ´?

´1ω

均为闭形式;

• 调和形式是全纯形式当且仅当它是 p1, 0q 型的调和形式.

我们把调和形式的全体组成的线性空间记为 H1. 下面的引理进一步说明了调

和形式和全纯形式之间的关系.

引理 3.2.1. H1 “ H ‘ H, 其中 H “ tω |ω P Hu 是全纯形式空间 H 的共轭空间.

证明. 如果 ω P H, 则 ω 为 p0, 1q 形式, ˚ω “?

´1 ω. 因为 ω 是闭形式, ω 和

˚ω 也是闭形式. 这说明 H Ă H1, 从而

H ‘ H Ă H1.

反之, 设 ω P H1, 则 ω 可写为

ω “ω `

?´1 ˚ ω

2`ω ´

?´1 ˚ ω

2.

因为

˚pω `

?´1 ˚ ω

2q “

12

p˚ω ´?

´1ωq “ ´?

´1 pω `

?´1 ˚ ω

2q,

˚pω ´

?´1 ˚ ω

2q “

12

p˚ω `?

´1ωq “?

´1 pω ´

?´1 ˚ ω

2q.

故 ω`?

´1 ˚ω2 为 p1, 0q 形式, 且为闭形式. 根据上面的性质, 它是全纯形式. 同理,

ω´?

´1 ˚ω2 P H, 这说明 H1 Ă H ‘ H. 从而

H1 “ H ‘ H.

这就证明了引理. 从这个引理我们看到, 对于紧致黎曼曲面, H1 为有限维向量空间. 为了更进

一步研究调和形式和全纯形式, 我们在 1- 形式空间 A1pMq 中引入内积运算.


设 M 为紧致黎曼曲面, ω1, ω2 P A1pMq, 定义

pω1, ω2q “

ż

M

ω1 ^ ¯˚ω2.

在局部坐标下, 如果 ω1 “ u1dz ` v1dz, ω2 “ u2dz ` v2dz 分别为 ω1, ω2 的局部表

示, 则

ω1 ^ ¯˚ω2 “?

´1 pu1u2 ` v1v2qdz ^ dz.

由此容易看出, p, q 为 A1pMq 上定义好的 Hermite 内积. 对于 ω P A1pMq, 定义它

在此内积下的范数为

ω “a

pω, ωq.

引理 3.2.2. 设 M 为紧致黎曼曲面, p, q 是上面定义的内积. 则

piq 如果 ω 为 M 上的调和形式, 则 pω, dfq “ 0, @ f P A0pMq. 特别地, 调和形

式是恰当形式当且仅当它为零;

piiq设 ω “ ω0 `df 为闭形式, 其中 ω0 为调和形式, f P A0pMq. 则 ω ě ω0,

且等号成立当且仅当 ω “ ω0.

证明. piq因为 p, q为 Hermite 内积, 我们只要证明 pdf, ωq “ 0 即可.由于 ω 为

调和形式, ˚ω 为闭形式. 利用 Stokes 积分公式, 我们有

pdf, ωq “

ż

M

df ^ ¯ω

“

ż

M

dpf ¯ωq

“ 0.

如果 ω 为调和形式, 且 ω “ dh, 则

ω2 “ pω, ωq “ pdh, ωq “ 0.

从而只能 ω “ 0.

piiq 利用 piq 我们有

ω2 “ pω0 ` df, ω0 ` dfq

“ pω0, ω0q ` pdf, ω0q ` pω0, dfq ` pdf, dfq

“ ω02 ` df2 ě ω02.

等号成立当且仅当 df “ 0, 即 ω “ ω0. 从这个引理我们看到, 调和形式和恰当形式是正交的; 在 M 的一个 de Rham

上同调类中如果存在调和形式作为代表,则这个调和形式范数最小,并且同一个 de

Rham 上同调中最多只能有一个调和形式作为代表. 然而, 我们有如下重要的分解

定理.

§3.2 Hodge 定理 63

定理 3.2.3 (Hodge 定理). 设 M 为紧致黎曼曲面. 对任意 ω P A1pMq, 存在

惟一的 ωh P H1, 以及在相差一个常数意义下惟一的光滑函数 f, g P A0pMq, 使得

ω “ ωh ` df ` ˚dg.

这个重要定理的证明参见本书附录. 我们现在从这个定理推导一些今后需要

的推论. 首先, 容易看到上述定理中的分解在内积 p, q 下是一个正交分解. 如果 ω

为闭形式, 则它的分解将没有第三项. 这是因为, 如果 ˚dg 为闭形式, 则

˚ dg2 “

ż

M

˚dg ^ ˚ ˚ dg “

ż

M

dpg ˚ dgq “ 0.

从而 ˚dg “ 0. 因此, 任何 de Rham 上同调类中总存在惟一的调和代表元.

推论 3.2.4. 设 M 为紧致黎曼曲面, 则 H1dRpMq 与 H1 线性同构.

证明. 定义映射 ϕ : H1dRpMq Ñ H1 为

ϕprωsq “ ωh.

根据刚才的讨论, ϕ 是定义好的线性映射, 并且既是单射又是满射, 因而为线性同

构. 特别地, dimH1

dRpMq “ dimH1 “ 2 dimH,记 dimH为 g, g 为拓扑不变量,称

为 M 的亏格. 例如, 黎曼球面 S 亏格为 0, 黎曼环面 CΛ 亏格为 1.

推论 3.2.5. 设 M 为紧致黎曼曲面, n ě 1 为正整数. 任取 p P M , B 为 p 附

近的坐标邻域, z 为 B 上的坐标函数, zppq “ 0. 则存在 M 上的亚纯微分 η, 使得

η 以 p 为惟一极点, 且在 p 附近有

η “ dp1zn

q ` ηh,

其中, ηh 是 p 附近的全纯微分.

证明. 不妨设 zpBq “ D, 记 B 12

“ tq P Bˇ

ˇ |zpqq| ă 12u. 取 M 上的光滑截断函

数 ρ : M Ñ R, 使得

ρ|B 12

” 1, ρ|M´B ” 0.

通过零延拓, 考虑 M ´ tpu 上如下 1- 形式:

ω1 “

$

&

%

dpρ ¨ 1zn q, q P B,

0, q R B.

在 B 12内, ω1 ´

?´1 ˚ ω1 ” 0. 因此, ω1 ´

?´1 ˚ ω1 可看成 M 上的光滑 1- 形式. 由

Hodge 定理, 存在 ω1h P H1 以及光滑函数 f , g, 使得

ω1 ´?

´1 ˚ ω1 “ ω1h ` df ` ˚dg.


令 ω “ ω1 ´ df “?

´1 ˚ ω1 ` ω1h ` ˚dg, 则 ω 具有如下性质:

p1q ω 在 M ´ tpu 上为调和形式. 事实上, 由定义知 ω1 为闭形式, 因此 ω “

ω1 ´ df 为闭形式, 且 ˚ω “ ´?

´1ω1 ` ˚ω1h ´ dg 也是闭形式.

p2q 在 B 12内, ω “ ωh ` dp 1

zn q, 其中 ωh 为 B 12内调和形式. 事实上, 在 B 1

2

内, ω1 “?

´1 ˚ ω1 “ dp 1zn q, 因而

ω ´ dp1zn

q “ ´df “ ω1h ` ˚dg.

由此易见 ω ´ dp 1zn q 在 B 1

2内为调和形式.

令 η “ 12 pω `

?´1 ˚ ωq. 由 p1q, p2q 即知, η 为满足要求的亚纯微分.

从这个推论我们还可以得到下面两件事实: p1q紧致黎曼曲面上典范因子总是

存在的; p2q 紧致黎曼曲面上总存在非平凡的亚纯函数 (只要取两个上述亚纯微分

相除即可).

在本节最后, 我们考虑有限维复线性空间 H 的基. 设 M 为紧致黎曼曲面, 亏

格为 g. 取 H 在内积 p, q 下的一组标准正交基 tϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu. 则

H1 “ spantϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕg, ϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu.

令

ϕ : H Ñ Cg

ω ÞÑ p

ż

M

ω ^ ϕ1,

ż

M

ω ^ ϕ2, ¨ ¨ ¨ ,

ż

M

ω ^ ϕgq.

根据基的选取我们容易看出 ϕ 为单的线性映射, 从而是一个线性同构.

习题 3.2

1. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式, 则 pω, ˚dfq “ 0, @ f P A0pMq.

2. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式. 如果 pω, dfq “ 0, @ f P A0pMq, 则 ω

为调和形式.

3. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的闭 1-形式. 如果 pω, ηq “ 0, @ η P H1, 则 ω 为恰

当形式.

4. 设 M 为紧致黎曼曲面, p P M . 证明 H1dRpMq 和 H1

dRpM ´ tpuq 同构.

5. 设 M 为紧致黎曼曲面, p, q 为 M 两个不同的点, z, w 分别是 p, q 附近的局部

坐标函数. 证明, 存在 M 上的亚纯微分, 它以 p, q 为仅有的极点, 且在 p 附近

具有奇性部分 dzz , 在 q 附近具有奇性部分 ´dw

w .

6. 利用本节知识证明, 亏格为 0 的紧致黎曼曲面必定全纯同构于黎曼球面 S.

§3.3 Riemann-Roch 公式 65

§3.3 Riemann-Roch 公式

在本章第一节中, 我们证明了, 对于紧致黎曼曲面上的任何因子 D, lpDq, ipDq

均为有限维复向量空间. 在这一节里, 利用 Hodge 定理, 我们来证明关于这两个有

限维向量空间维数的一个重要等式, 它是由 Riemann, 以及 Riemann 的学生 Roch

得到的.

定理 3.3.1 (Riemann-Roch 公式). 设 M 为紧致黎曼曲面, 其亏格为 g. 则对

任何因子 D, 有

dim lpDq “ dim ipDq ` p1 ´ gq ` dpDq.

这里的维数都是指复维数.

根据 Hodge 定理的推论, 曲面 M 上总存在典范因子, 因此 Riemann-Roch 公

式也可以改写为

dim lpDq ´ dim lpK ´Dq “ dpDq ` p1 ´ gq.

下面逐步给出 Riemann-Roch 公式的证明. 首先作一些准备工作. 设 ω 为紧黎

曼曲面 M 上的亚纯微分,我们假设 ω 的所有留数均为零. 设 p1, p2, ¨ ¨ ¨ , pk 为 ω 的

所有极点, 在 pi 附近取局部坐标邻域 Bi, 使得当 i ‰ j 时, Bi XBj “ H. 由于

ż

BBi

ω “ 2πRespipωq “ 0,

ω 在 Bi ´ tpiu内为恰当形式, 即存在 Bi ´ tpiu内的光滑函数 gi, 使得 ω “ dgi. 通

过使用光滑截断函数以及零延拓, 在 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 上就得到光滑函数 g, 使

得在每个 pi 附近均有 ω “ dg. 此时 ω ´ dg 可以看成 M 上的光滑微分形式. 任给

M 上闭形式 η, 定义奇异积分ş

Mω ^ η 为

ż

M

ω ^ η “

ż

M

pω ´ dgq ^ η.

奇异积分具有下列性质:

• 奇异积分的定义是恰当的. 事实上, 如果另有 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 上的光滑函

数 g1, 使得在每个 pi 附近也有 ω “ dg1, 则在 pi 附近 dpg ´ g1q “ 0, 因此存在


常数 ci, 使得在 pi 附近 g ´ g1 “ ci. 此时有ż

M

pω ´ dgq ^ η ´

ż

M

pω ´ dg1q ^ η “

ż

M

dpg1 ´ gq ^ η

“

ż

M´YiBi

dpg1 ´ gq ^ η

“ ´ÿ

i

ż

BBi

pg1 ´ gqη

“ÿ

i

ci

ż

BBi

η “ 0.

这说明奇异积分的定义是确切的. 当 ω 没有极点 (即为全纯微分时), 奇异积

分就是通常的微分形式的积分.

• 当 η 为恰当形式时, 奇异积分ş

Mω ^ η “ 0. 事实上, 如果 η “ df , 则有

ż

M

ω ^ η “

ż

M

pω ´ dgq ^ η “

ż

M

pω ´ dgq ^ df “ ´

ż

M

dpfpω ´ dgqq “ 0.

上式最后用到了 Stokes 积分公式.

• ω “ dg, g P MpMq ðñş

Mω ^ η “ 0, @ 闭形式 η. 事实上, 如果存在亚纯函数

g,使得 ω “ dg,则按奇异积分的定义,ş

Mω^ η “

ş

Mpω´ dgq ^ η “ 0. 反之,假

设对任意闭形式 η 均有ş

Mω^ η “ 0,我们首先取 M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku上的光

滑函数 h, 使得在每个 pi 附近都有 ω “ dh, 则 ω ´ dh 可视为 M 上光滑闭形

式,且ş

Mpω´dhq ^η “ 0, @闭形式 η. 由 Hodge定理中的分解容易看到,此时

闭形式 ω ´ dh 必为恰当形式, 即存在 M 上的光滑函数 h1, 使得 ω ´ dh “ dh1.

令 g “ h` h1, 则 ω “ dg. 由 ω 为亚纯微分知 g 为 M 上的亚纯函数.

有了奇异积分, 我们可以把前节推论 3.2.5 中得到的亚纯微分作规范化.

引理 3.3.2. 设 M 为紧致黎曼曲面, n ě 1 为正整数. 任取 p P M , B 为 p 附

近的坐标邻域, z 为 B 上的坐标函数, zppq “ 0. 则存在 M 上的亚纯微分 ω, 使得

ω 以 p 为惟一极点, 且在 p 附近有

ω “ dp1zn

q ` ωh,

其中, ωh 是 p 附近的全纯微分, 并且奇异积分ş

Mω ^ ϕi “ 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g. 其中

tϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu 是前节最后定义的 H 的一组基.

证明. 根据前节推论 3.2.5, 存在亚纯微分 ω1, 满足除奇异积分为零以外的所有

条件. 根据前节最后的一段说明, 映射

ϕ : H Ñ Cg

φ ÞÑ p

ż

M

φ^ ϕ1,

ż

M

φ^ ϕ2, ¨ ¨ ¨ ,

ż

M

φ^ ϕgq.


是线性同构, 因此存在全纯微分 φ, 使得ş

Mφ ^ ϕi “

ş

Mω1 ^ ϕi, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g. 令

ω “ ω1 ´ φ, 则 ω 为满足引理要求的亚纯微分. 注. 不难看出, 上述引理中的亚纯微分 ω 是惟一的.

现在,我们假设 D “řm

i“1 ni ¨pi为紧致黎曼曲面M 上的一个有效因子, ni ą 0,

i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ ,m. 根据刚才的引理,存在M 上的亚纯微分 τ1pi, τ2

pi, ¨ ¨ ¨ , τni

pi, 1 ď i ď m,

使得在 pi 附近的坐标邻域 Bi 内, τkpi

“ dp 1zk q ` ηk

i , 其中 ηki 为 Bi 内的全纯微分,

且ş

Mτkpi

^ ϕj “ 0, @ j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g, 1 ď k ď ni. 显然, tτ1pi, τ2

pi, ¨ ¨ ¨ , τni

piumi“1 是 M

上线性无关的亚纯微分, 记它们张成的复向量空间为 mpDq, 则

dimmpDq “

mÿ

i“1

ni “ dpDq.

引理 3.3.3. 设 D 是如上所述的因子, mpDq 如上定义. 则

piq @ f P lpDq, df P mpDq;

piiq 设 τ P mpDq, 则 τ “ df , f P lpDq ðñş

Mτ ^ ϕi “ 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g.

证明. piq 设 D “řm

i“1 ni ¨ pi, f P lpDq, 则 νpipfq ` ni ě 0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ ,m.

根据 τkpi的构造, 存在 λk

i P C, 使得 df ´ř

i,k

λki τ

kpi是 M 上无极点的亚纯微分, 即

df ´ř

i,k

λki τ

kpi

P H. 又因为

ż

M

pdf ´ÿ

i,k

λki τ

kpi

q ^ ϕj “ 0, j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g,

故 df ´ř

i,k

λki τ

kpi

“ 0, 即 df P spantτkpi

u “ mpDq.

piiq “ñ”的部分在定义奇异积分时已经说明过.下面设 τ P mpDq,且ş

Mτ^ϕi “

0, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g. 于是ş

Mτ ^ ϕ “ 0, @ ϕ P H1. 根据奇异积分的几个性质, 存在亚

纯函数 f , 使得 τ “ df . 由 mpDq 的定义容易看出, f P lpDq. 根据这个引理我们知道, 外微分算子 d 诱导了线性映射 d : lpDq Ñ mpDq, 并

且它的像 dplpDqq 在 mpDq 中满足 g 个线性约束条件, 因此

dim dplpDqq ě dimmpDq ´ g.

显然, Kerd “ C, 从而有

dim lpDq “ dimKerd` dim Imd ě 1 ` dpDq ´ g.

这是 Riemann 所获得的不等式, 它给出了 dim lpDq 的一个下界估计.

为了得到进一步的 Riemann-Roch 公式, 我们必须决定 Imd 的维数. 为此, 设

tτ1pi, τ2

pi, ¨ ¨ ¨ , τni

piumi“1 是 mpDq的如上构造的基.任取 φ P H,我们来计算

ş

Mτkpi

^φ.


取 pi 附近的坐标邻域 Bi, z 为 Bi 上的坐标函数, zppiq “ 0. 根据 τkpi的构造, 存在

M ´ tpiu 上的光滑函数 g, 使得在 pi 附近 g “ 1zk ` f , f 为 p 附近的全纯函数, 且

在 Bi 内 τkpi

“ dg. 由奇异积分的定义, 有

ż

M

τkpi

^ φ “

ż

M

pτkpi

´ dgq ^ φ

“

ż

M´Bi

pτkpi

´ dgq ^ φ

“ ´

ż

M´Bi

dg ^ φ

“

ż

BBi

gφ

“

ż

BBi

1zkφ.

如果在 Bi 内 φ 有局部展开 φ “ př

j

ajzjqdz, 则由上式得

ż

M

τkpi

^ φ “ 2π?

´1 ¨ ak´1, k “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , ni.

定义线性算子

S : mpDq Ñ H

τ ÞÑ1

2π?

´1

gÿ

j“1

p

ż

M

τ ^ ϕjq ¨ ϕj .

以及

T : H Ñ mpDq

φ ÞÑ

mÿ

i“1

niÿ

k“1

aik´1 ¨ τk

pi.

其中, aik 是 φ 在 pi 的坐标邻域 Bi 中展开的系数:

φ “ pÿ

k

aikz

kqdz.

我们有如下结果

引理 3.3.4. 设线性映射 S, T 定义如上, 则

piq KerS “ Imd;

piiq KerT “ ipDq;

piiiq dim ImS “ dim ImT .


证明. piq τ P KerS ðñş

Mτ ^ ϕj “ 0, j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g ô τ P Imd.

piiq回忆 ipDq的定义: ipDq “ tω | pωq ´D ě 0u. 因此, ω P ipDq ðñ ω P H,且

如果在 pi 附近 ω “ př

k

aikz

kqdz, 则 aik “ 0, k ď ni ´ 1. ðñ ω P KerT .

piiiq 我们在 mpDq 的基 tτkpi

u 和 H 的基 tϕju 下分别计算线性算子 S, T 的矩

阵表示. 在 Bi 内, ϕj 有局部展开

ϕj “ pÿ

k

aijkz

kqdz.

因此有

Spτkpi

q “1

2π?

´1

gÿ

j“1

p

ż

M

τkpi

^ ϕjqϕj “

gÿ

j“1

aijpk´1qϕj ,

T pϕjq “

mÿ

i“1

niÿ

k“1

aijpk´1qτ

kpi.

从而在这两组基下, 线性映射 S, T 的矩阵互为转置, 特别地, dim ImS “ dim ImT .

有了上面这些准备, 我们现在可以给出 Riemann-Roch 公式的证明了. 分几种

情况考虑.

p1q D 为有效因子. 如果 D “ 0, 则显然 lpDq “ C, ipDq “ H, 从而

dim lpDq “ 1 “ dim ipDq ` p1 ´ gq.

如果 D ě 0, 且 dpDq ą 0, 则由刚才的引理, 有

dim lpDq “ dim Kerd` dim Imd

“ 1 ` dimKerS

“ 1 ` pdimmpDq ´ dim ImSq

“ 1 ` dpDq ´ dim ImT

“ 1 ` dpDq ´ pdimH ´ dim KerT q

“ 1 ` dpDq ´ pg ´ dim ipDqq

“ dim ipDq ` dpDq ` p1 ´ gq.

这说明 Riemann-Roch 公式对有效因子成立.

推论 3.3.5. 设 K 为 M 上的典范因子, 则 dpKq “ 2g ´ 2. 特别地, 亏格为 1

的曲面上存在处处非零的全纯微分.

证明. 如果 g “ 0, 则 M 与黎曼球面 S 同构 (习题). 取 ω “ dz, z 为 C 上的复坐标. 则 K “ pωq “ ´28, 因此 dpKq “ ´2 “ 2g ´ 2.


如果 g ě 1, 则存在非零全纯微分 ω P H. 此时 K “ pωq ě 0. 并且

lpKq – ip0q “ H,

ipKq – lp0q “ C.

因此有

g “ dimH “ dim lpKq “ dim ipKq ` dpKq ` p1 ´ gq “ 1 ` dpKq ` p1 ´ gq.

这说明 dpKq “ 2g ´ 2. 我们继续证明 Riemann-Roch 公式.

p2q K ´D 为有效因子. 这时, 由 p1q, 有

dim lpK ´Dq “ dim ipK ´Dq ` dpK ´Dq ` p1 ´ gq.

用 dim lpK ´ Dq “ dim ipDq, dim ipK ´ Dq “ dim lpDq 以及 dpKq “ 2g ´ 2 代入上

式即得

dim lpDq “ dim ipDq ` dpDq ` p1 ´ gq.

p3q最后,设 D 是 M 上的一个一般的因子. 如果 lpDq ‰ t0u,则存在 f0 P lpDq,

使得 pf0q ` D ě 0. 令 D0 “ pf0q ` D, 则 D0 为有效因子, 从而 Riemann-Roch 公

式对 D0 成立, 因此 Riemann-Roch 公式对因子 D 也成立; 如果 ipDq ‰ t0u, 则存

在 ω0 P ipDq, 使得 pω0q ´ D ě 0. 令 D1 “ pω0q ´ D, 则 D1 为有效因子, 根据 p2q,

Riemann-Roch 公式对因子 D 也成立; 最后我们假设 lpDq “ ipDq “ t0u, 我们要证

明此时必有 dpDq “ g ´ 1. 事实上, 把 D 写成 D “ D1 ´ D2, 其中 D1, D2 为有效

因子, D1, D2 无公共点. 根据本章第一节的习题, 有

dim lpD1q ď dim lpD1 ´D2q ` dpD2q “ dpD2q,

对有效因子 D1 用 Riemann-Roch 公式, 有

dpD2q ě dim ipD1q ` dpD1q ` p1 ´ gq ě dpD1q ` p1 ´ gq,

这就得到下面的估计

dpDq “ dpD1q ´ dpD2q ď g ´ 1.

另一方面, 对于因子 K ´D 也有这个估计, 即

dpK ´Dq ď g ´ 1

从而

dpDq ě dpKq ´ pg ´ 1q “ 2g ´ 2 ´ pg ´ 1q “ g ´ 1.

§3.4 若干应用 71

这说明 dpDq “ g ´ 1, 因而 Riemann-Roch 公式对 D 也成立.

习题 3.3

1. 设 ω 为黎曼球面 S 上的亚纯微分, 则 ω “ dg, g 为亚纯函数当且仅当 ω 的留

数均为零.

2. 用 Riemann 不等式证明任何紧致黎曼曲面上均存在非平凡亚纯函数.

3. 用 Riemann不等式证明亏格为零的紧致黎曼曲面必定全纯同构于黎曼球面 S.

4. 证明, 对于任意因子 D, 如果 dpDq ě ´1, 则有 dim lpDq ď 1 ` dpDq.

5. 证明, 如果因子 D 的次数不小于亏格 g, 则 D 线性等价于一个有效因子.

§3.4 若干应用

本节我们给出 Riemann-Roch 公式的一些具体的应用.

(1) Bergman 度量

定理 3.4.1. 设 M 为紧致黎曼曲面, 亏格 g ą 0. 则任给 p P M , 存在全纯微

分 ω, 使得 ωppq ‰ 0.

证明. 用反证法. 假设不然, 则存在 p P M , 使得 ωppq “ 0, @ ω P H. 此时

H Ă ippq “ tω | pωq ´ p ě 0u Ă H, 从而 H “ ippq. 由 Riemann-Roch 公式,

dim lppq “ dim ippq ` dppq ` p1 ´ gq

“ dimH ` dppq ` p1 ´ gq “ g ` 1 ` p1 ´ gq “ 2.

这说明 M 与 S 同构, 特别地, M 亏格为 0. 这和假设相矛盾. 根据这个定理, 如果 g ě 1, 设 tϕ1, ϕ2, ¨ ¨ ¨ , ϕgu 为 H 的一组标准正交基, 令

G “řg

i“1 ϕi b ϕi, 则 G 为 M 上非退化的 Hermite 度量 (参见第五章). 容易看出,

G和标准正交基的选取无关,称为 Bergman度量. 特别地,如果 g “ 1,则 Bergman

度量为平坦度量, 从而 M 的万有复迭空间同构于 C. 这就说明, 亏格为 1 的紧致

黎曼曲面必和某个黎曼环面 CΛ 同构. 关于度量及相关的曲面的几何性质, 我们

将在本书第五章中详细讨论.

(2) 亚纯函数的丰富性


定理 3.4.2. 设 M 为紧致黎曼曲面, D 为 M 上的因子. 则

piq 当 dpDq ě 2g ´ 1 时, dim lpDq “ dpDq ` p1 ´ gq;

piiq 当 dpDq “ g ` n, n ą 0 时, dim lpDq ě 1 ` n. g “ 0 时等号成立.

证明. piq 当 dpDq ě 2g ´ 1 时, dpK ´ Dq “ dpKq ´ dpDq “ 2g ´ 2 ´ dpDq ă 0,

从而 ipDq – lpK ´Dq “ t0u. 由 Riemann-Roch 公式,

dim lpDq “ dim ipDq ` dpDq ` p1 ´ gq “ dpDq ` p1 ´ gq.

piiq 当 dpDq “ g ` n, n ą 0 时, 由 Riemann-Roch 公式,

dim lpDq “ dim ipDq ` dpDq ` p1 ´ gq

ě dpDq ` p1 ´ gq

“ g ` n` p1 ´ gq “ 1 ` n.

当 g “ 0 时, 由 piq 知, dim lpDq “ dpDq ` p1 ´ gq “ g ` n` p1 ´ gq “ 1 ` n. 这个定理告诉我们, 紧致黎曼曲面上的亚纯函数是非常多的. 特别地, 我们有

如下推论

推论 3.4.3. 设 M 为紧致黎曼曲面. 则

p1q 任给 p P M , 存在亚纯函数 f , 使得 f 以 p 为惟一极点, 且重数 ď g ` 1;

p2q 任给 p P M , 存在亚纯函数 f , 使得 f 以 p 为惟一零点, 且重数 ď g ` 1;

p3q 任给 p ‰ q P M , 存在亚纯函数 f , 使得 fppq ‰ fpqq;

p4q 任给 p P M , 存在亚纯函数 f , 使得 fppq “ 0, 且 p 为单零点;

p5q 当 g ą 1 时, 存在亚纯函数 f , 使得 f 的分歧覆盖叶数 ď g.

证明. p1q 令 D “ pg ` 1qp, 则由刚才定理中的 piiq 知, dim lpDq ě 2. 因此, lpDq

中存在非常值亚纯函数 f , f 即为所求.

p2q 对于 p1q 中的亚纯函数 f , 1f 就是满足 p2q 的要求的亚纯函数.

p3q 对于 p P M , 设 f 是 p1q 中得到的亚纯函数, 则 fppq “ 8 P S, fpqq P C.

p4q 任取 q ‰ p, 令 D “ p2g ` 1qq ´ p, 则 dpDq “ 2g, dpD ´ pq “ 2g ´ 1. 显

然, lpD ´ pq Ă lpDq. 根据刚才定理中的 piq 知, dim lpDq “ dpDq ` p1 ´ gq “ g ` 1,

dim lpD´ pq “ dpD´ pq ` p1 ´ gq “ g, 从而存在 f P lpDq, f R lpD´ pq. 这就说明 f

以 p 为单零点.

p5q 取 M 上的全纯微分 ω, 则 K “ pωq ě 0, 且 dpKq “ 2g ´ 2 ą 0. 令

K “ D1 ` D2, D1 ě 0, D2 ě 0 且 dpD1q “ g, dpD2q “ g ´ 2 ě 0. 由 Riemann-Roch

公式, 有dim lpD1q “ dim lpK ´D1q ` dpD1q ` p1 ´ gq

“ dim lpD2q ` g ` p1 ´ gq

ě 1 ` g ` p1 ´ gq “ 2.

§3.4 若干应用 73

因此, lpD1q 中存在非常值的亚纯函数 f , f 即为所求. (3) 亚纯函数域

定义 3.4.1. 设 K 为复系数域. 如果存在 z P K, 使得 z 对于 C 是超越元素,

且 rK : Cpzqs ă 8, 则称 K 为一元代数函数域.

设 M 为紧致黎曼曲面, f P MpMq 为非常值亚纯函数, 则 f 对于 C 显然是超越元素. 我们有

定理 3.4.4. 设 M 为紧致黎曼曲面, 则 MpMq 为一元代数函数域. 进一步, 如

果 z 为 M 上有 n 个极点的亚纯函数, 则

rMpMq : Cpzqs “ n.

我们分别证明 rMpMq : Cpzqs ď n 及 rMpMq : Cpzqs ě n. 设 pzq “ Zz ´Pz, 其

中 Zz 表示 z 的零点集, Pz 表示极点集. 令 A “ tdz 的零点u, 取 a P S ´ tzpAq,8u,

则 zá只有单零点, pzáq´1只有单极点. 由于 Cpzq “ Cp 1zá q,必要时用 pzáq´1

取代 z, 我们可以假设 Pz “ p1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` pn 由 n 个不同的点组成.

引理 3.4.5. rMpMq : Cpzqs ď n.

证明. 设 ω1, ω2, ¨ ¨ ¨ , ωm P MpMq, 且它们对 Cpzq 线性无关. 下面证明 m ď n.

无妨设 tωiumi“1 的极点均在 tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 之内: 不然的话, 设 tq1, q2, ¨ ¨ ¨ , qsu 是

tωiumi“1 的在 tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 之外的所有极点. 令 aj “ zpqjq, j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , s. 又令

u “ pzá1qpzá2q ¨ ¨ ¨ pzásq,则 uω1, uω2, ¨ ¨ ¨ , uωs 的极点都在 tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu之

内, 并且 uω1, uω2, ¨ ¨ ¨ , uωs 对 Cpzq 仍然线性无关.

现在考虑 pr ` 1qm 个亚纯函数 zj ¨ ωi, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ ,m, j “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , r. 取充分

大的 k, 使得

zj ¨ ωi P lppk ` rqPzq, @ i, j.

k 可以选取得与 r 无关. 当 k 充分大时, 由 (2) 中的定理, 有

dim lppk ` rqPzq “ pk ` rqn` p1 ´ gq.

注意到 tzjωiu 为 lppk ` rqPzq 复线性无关的函数, 从而有

pr ` 1qm ď pk ` rqn` p1 ´ gq.

这就得到下面的估计

m ďk ` r

r ` 1n`

1 ´ g

r ` 1.

在上式中令 r Ñ 8, 就得 m ď n.


引理 3.4.6. rMpMq : Cpzqs ě n.

证明. 如同上一个引理那样, 可以假设 z 的极点均为单极点. 取 q P M ´

tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 以及 k ě 2g ´ 1 ` n. 由 (2) 中的定理, 有

dim lpkq ´ pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` pi´1qq “ 1 ` dim lpkq ´ pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` piqq, 1 ď i ď n.

因此存在 ωi P lpkq ´ pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` pi´1qq ´ lpkq ´ pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` piqq, ωi 满足

ωipp1q “ ωipp2q “ ¨ ¨ ¨ “ ωippi´1q, ωippiq P C˚.

我们证明 ω1, ω2, ¨ ¨ ¨ , ωn 对于域 Cpzq “ Cp 1z q 线性无关. (反证法) 假设不然, 则存

在 αi P Cp 1z q, 使得

nÿ

i“1

αiωi “ 0. (3.1)

设 β 是 α1, α2, ¨ ¨ ¨ , αn 的分母的最小公倍数. 令 γi “ βαi, 则

nÿ

i“1

γiωi “ 0, γi P Cr1z

s, 1 ď i ď n.

设 d 是 γ1, γ2, ¨ ¨ ¨ , γn 的最大公因子, 用 1d 乘以上式, 将系数 γid 仍记为 αi. 此时

αi P Cr 1z s, 且 αi 无非平凡公共因子. 因此, αi 中至少有一个具有非零常数项. 故

存在 r ď n, 使得 α1, α2, ¨ ¨ ¨ , αr´1 的常数项为零, 而 αr 的常数项非零. 在点 pr 上,

因为 1z 为零, 故

α1pprq “ α2pprq “ ¨ ¨ ¨ “ αr´1pprq “ 0.

而由 ωi 的取法知

ωr`1pprq “ ωr`2pprq “ ¨ ¨ ¨ “ ωnpprq “ 0.

代入 (3.1) 式, 得

αrpprq ¨ ωrpprq “ 0.

这和 αrpprq ‰ 0, ωrpprq ‰ 0 相矛盾! 以上两个引理结合起来就得证明了紧致黎曼曲面的亚纯函数域是一个一元代

数函数域. 以黎曼球面 S 为例, 取 z 为 C 上标准复坐标, 把它看成 S 上的亚纯函数, 根据上面的证明就有

rMpSq : Cpzqs “ 1,

即MpSq “ Cpzq,这是我们在第 2章第 3节证明过的结论.下面考虑黎曼环面 CΛ.

任取 p P CΛ, 由 (2) 中的定理, 有

dim lp2pq “ dp2pq ` p1 ´ gq “ 2.

§3.4 若干应用 75

因此 lp2pq 中存在非常值的亚纯函数 f , f 以 p 为惟一极点, 且重数 ď 2. 因为重数

不可能为 1 (否则曲面必为黎曼球面), 故 f 以 p 为双极点. 因此

rMpCΛq : Cpfqs “ 2.

下面我们用另一个办法将本小节的主要结果加以推广,这个推广涉及初等对称

函数的构造. 设 z : M Ñ N 为紧致黎曼曲面之间的非常值全纯映射, 因此 z 为分

歧覆盖, 其重数记为 n. 设 f 为 M 上的亚纯函数, 我们构造 N 上 n 个亚纯函数

cipfq, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n 如下: 设 q P N 不是 z 的分歧值, 取其开邻域 V , 使得

z´1pV q “ U1 Y U2 Y ¨ ¨ ¨ Y Un,

其中 Ui 为 M 中互不相交的开集, 且 z : Ui Ñ V 为全纯同构, 令 fi “ f ˝ pz|Uiq´1,

fi 为 V 上亚纯函数. 考虑关于变量 x 的 n 次多项式

nź

i“1

px´ fiq “ xn ` c1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` cn,

其系数 ci “ cipfq 是关于 fi 的初等对称多项式. 不难看出, ci 的定义与邻域 V 的

选取无关, 且可延拓为 N 上的亚纯函数.

任给 g P MpNq, 复合函数 z˚g “ g ˝ z 为 M 上亚纯函数. 因此, z˚MpNq 可以

看成 MpMq 的子域. 根据上面的构造, 对任意 f P MpMq, 有

fn ` pz˚c1qfn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` pz˚cn´1qf ` z˚cn “ 0.

这说明 MpMq 是 z˚MpNq 的代数扩张, 且扩张次数不超过 n.

另一方面,设 q 不是 z 的分歧值,则 z´1pqq “ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu由 n个互不相同

的点组成. 我们可以取 M 上的一个亚纯函数 f , 使得 fppiq 互不相同 (参见 (6) 中

的引理),则 f 关于 z˚MpNq的极小多项式的次数必定不小于 n. 总之,我们得到下

面的定理:

定理 3.4.7. 设 z : M Ñ N 为紧致黎曼曲面之间的非常值全纯映射, z 的重数

为 n, 则

rMpMq : z˚MpNqs “ n.

显然, 当 N “ S 时, z˚MpNq “ Cpzq, 因此这个结果是前面定理的推广. 下面

我们来说明亚纯函数域完全决定了黎曼曲面本身.

定义 3.4.2 (赋值). 设 K 为域, K˚ “ K ´ t0u 为 K 中非零元素组成的乘法

群. 如果群同态

v : K˚ Ñ Z


是满同态, 且

vpf ` gq ě mintvpfq, vpgqu, @ f, g P K˚.

则称 v 为 K 上的一个 p 离散 q 赋值.

通常, 我们规定 vp0q “ `8. 显然, 如果 p 为 M 上一点, 则先前对于亚纯函数

定义的赋值 νp 就是 M 的亚纯函数域上的一个赋值. 赋值具有如下性质:

• vp1q “ 0, vp´1q “ 0, vpfq “ vp´fq;

• 当 vpfq ‰ vpgq 时 vpf ` gq “ mintvpfq, vpgqu. 事实上, 不妨设 vpfq ă vpgq, 则

vpfq “ vpf ` g ´ gq ě mintvpf ` gq, vp´gqu

ě mintmintvpfq, vpgqu, vpgqu

“ mintvpfq, vpgqu “ vpfq,

因此上述不等号均为等号. 特别地,

vpfq “ mintvpf ` gq, vpgqu “ vpf ` gq.

• 如果 C Ă K, 则 vpcq “ 0, @ c P C˚. 这可从等式 vpcq “ n ¨ vpc1nq推出, 因为若

vpcq ‰ 0, 则 vpc1nq ‰ 0, 令 n Ñ 8 可导出矛盾.

下面我们来刻画亚纯函数域上的赋值.

命题 3.4.8. 设 M 为紧致黎曼曲面, v 为亚纯函数域 MpMq 上的赋值, 则存

在 p 惟一 q 的 p P M , 使得 v “ νp.

证明. 取亚纯函数 h, 使得 vphq “ 1, 显然 h 不是常值函数. 由赋值映射的性

质, 如果 a P C˚, 则 vph´ aq “ 0. 因此如果 r 为有理函数, 则

vprphqq “ ν0prq.

记 h 的零点为 p1, ¨ ¨ ¨ , pn. 任取亚纯函数 f , 则 f 满足方程

fn ` r1phqfn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` rnphq “ 0, ri 为有理函数.

这说明

nvpfq ě mintν0priq ` pn´ iqvpfq, i “ 0, ¨ ¨ ¨ , n´ 1u.

如果 vpfq ă 0, 则存在 i, 使得 ν0priq ă 0. 因为 rip0q 是 f 在 p1, ¨ ¨ ¨ , pn 处取值的

初等对称函数, 因而 f 必以某 pj 为极点. 同理, 讨论 1f 即知, 如果 vpfq ą 0, 则

f 以某个 pk 为零点. 将 tp1, ¨ ¨ ¨ , pnu 中互不相同的点重新记为 q1, ¨ ¨ ¨ , qm. 选取亚

§3.4 若干应用 77

纯函数 g, 使得 g 在 tqiu 处全纯, gpqiq 为互不相同的非零复数, 且 dgpqiq 均不为零

(见(6) 中引理). 于是 vpgq “ 0. 考虑函数

hm

ź

i“1

pg ´ gpqiqq´νqiphq,

它在 qi 处均全纯, 且取值非零, 因而其赋值为零. 因此

1 “ vphq “

mÿ

i“1

pνqiphqqvpg ´ gpqiqq.

因为 vpg ´ gpqiqq ě 0, 故存在惟一的 qk, 使得

vpg ´ gpqkqq “ 1 “ νqkphq, vpg ´ gpqjqq “ 0, j ‰ k.

对任意的亚纯函数 f , 考虑函数

fm

ź

i“1

pg ´ gpqiqq´νqipfq,

其赋值为零, 因此

vpfq “

mÿ

i“1

pνqipfqqvpg ´ gpqiqq “ νqkpfq.

这就证明了命题.

定理 3.4.9. 设 M , N 为紧致黎曼曲面. 设 φ : MpNq Ñ MpMq 为域同态, 且

限制在 C 上为恒同同态, 则存在惟一的全纯映射 h : M Ñ N , 使得

φ “ h˚.

证明. 设 p P M , 在 MpNq 上定义赋值 vp 为

vppfq “ νppφpfqq, f P MpNq.

根据上面的命题, 存在惟一的点 hppq P N , 使得 vp “ νhppq, 即

νppφpfqq “ νhppqpfq, f P MpNq. (3.2)

这样就得到了映射 h : M Ñ N . 我们说明

φpfqppq “ fphppqq, f P MpNq, p P M.

由 p3.2q 知, 当 hppq 为 f 的零点或极点时, 上式成立. 一般地, 设 c P C, 有

fphppqq “ c ðñ νhppqpf ´ cq ą 0

ðñ νppφpf ´ cqq “ νppφpfq ´ cq ą 0

ðñ φpfqppq “ c.


下面说明 φ 为连续映射. 如果不然, 则存在点列 tpnu Ă M , 使得 pn Ñ p0 P M ,

hppnq Ñ q P N 且 q ‰ hpp0q “ q0. 另一方面, 对 N 上任意亚纯函数 f , 均有

fpqq “ limnÑ8

fphppnqq “ limnÑ8

φpfqppnq

“ φpfqpp0q “ fphpp0qq “ fpq0q,

从而 f 不能区分 q 与 q0, 这和以前的结论相矛盾.

h 也是全纯映射. 为此任取 p P M , 选择 N 上的亚纯函数 f , 使得 f 在 hppq

的某坐标圆盘 U 内是一一全纯的. 显然 φpfq 不是常值函数 ( φ 作为域同态是

单的, 且在 C 上为恒同映射). 选取 p 在 M 中的开邻域 V , 使得 hpV q Ă U , 且

φpfqpV q Ă fpUq. 于是由 p3.2q 得

hpp1q “ f´1 ˝ φpfqpp1q, p1 P V.

因此 h 是全纯的.

推论 3.4.10. 如果 φ 为域同构, 则 h 为黎曼曲面之间的全纯同构.

(4) 椭圆函数

定义 3.4.3 (椭圆函数). 设 M “ CΛ 为黎曼环面, 亚纯函数域 MpCΛq 中的

函数称为椭圆函数.

我们也可以这样来描述椭圆函数: 设 Λ “ x1, τy 是由 1 和 τ(Imτ ą 0) 生成的

C 中离散加群, π : C Ñ CΛ 为商投影. CΛ 上的椭圆函数 f 也可以看成 C 上的满足下面条件的亚纯函数:

fpzq “ fp1 ` zq “ fpτ ` zq.

满足上面条件的函数也称为双周期函数. 也就是说, C 上的双周期亚纯函数也称为椭圆函数.

现在我们考虑 CΛ 上的一个特殊的椭圆函数. 根据前一小节的讨论, 存在亚

纯函数 p, 使得它以 r0s 为惟一极点, 极点重数为 2. p 看成 C 上的双周期亚纯函数时以 Λ 为极点集, 且都是双极点. 在原点 0 附近, p 有如下 Laurent 展开:

p “ a´2z´2 ` a´1z

´1 ` a0 ` a1z ` a2z2 ` ¨ ¨ ¨ .

由于在 CΛ 上 r0s 为 p 的惟一极点, dz 为 CΛ 上处处非零的全纯微分, 故由留数

公式, 有

0 “ÿ

p

Respppdzq “ a´1,

§3.4 若干应用 79

因此, 通过减去常数 a0 以及除以 a´2, p 可以归化为下面的样子

p “ z´2 ` a1z ` a2z2 ` ¨ ¨ ¨ .

下面来说明, 上面表达式中奇数次幂的系数 a2i´1 全为零, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ . 事实上, C上的亚纯函数 ppzq ´ pp´zq 没有极点, 同时又是双周期函数, 因而是有界全纯函数.

这说明 ppzq ´ pp´zq 为常数. 由于在原点 0 处它取值为零, 故 ppzq ´ pp´zq ” 0, 这

说明 a2i´1 “ 0, @ i ě 1.

根据刚才的讨论, p 有如下展开式:

p “ z´2 ` a2z2 ` a4z

4 ` ¨ ¨ ¨ ` a2nz2n ` ¨ ¨ ¨ .

对 z 求导, 我们得到

p1pzq “ ´2z´3 ` 2a2z ` 4a4z3 ` ¨ ¨ ¨ ,

rp1pzqs2

“ 4z´6 ´ 8a2z´2 ´ 16a4 ` ¨ ¨ ¨ ,

rps3

“ z´6 ` 3a2z´2 ` 3a4 ` ¨ ¨ ¨ .

因此, pp1q2 ´ 4p3 ` 20a2p ` 28a4 是没有极点的双周期函数, 在原点 0 处为零, 故恒

为零. 即

pp1q2 “ 4p3 ´ 20a2p ´ 28a4.

定理 3.4.11 (Weierstrass). CΛ 上的亚纯函数由 p 和 p1 生成, 即

MpCΛq “ Cpp, p1q.

证明. 根据前面关于亚纯函数域的结论, 我们有

rMpCΛq : Cppqs “ 2.

另一方面, p1 是奇函数, 因此 p1 R Cppq. 刚才的讨论说明 p1 对于 Cppq 的极小多项

式为 fpyq “ y2 ´ 4p3 ` 20a2p ` 28a4, 从而有

rCppqpp1q : Cppqs “ 2.

这说明

MpCΛq “ Cppqpp1q “ Cpp, p1q.

即椭圆函数都是由 p 和 p1 生成的. 为了方便起见, 记 g2 “ 20a2, g3 “ 28a4. 从上面的讨论我们知道, 椭圆函数 p

是由 g2, g3 完全决定的. 下面来说明, g2, g3 不能是任意的复数. 同样地为了方便

起见, 以下记 Λ “ xω1, ω2y.


引理 3.4.12. 设 p 是如上讨论的椭圆函数. 则

piq p1 的零点为 ω12 , ω2

2 及ω1`ω2

2 , 且它们都是单零点;

piiq ppω12 q, ppω2

2 q 及 ppω1`ω2 q 为互不相同的复数.

证明. piq 由 ppzq “ pp´zq “ pp´z ` ωiq, i “ 1, 2 知

ppωi

2` zq “ ppωi ´ p

ωi

2` zqq “ pp

ωi

2´ zq.

上式在 z “ 0 处即给出

p1pωi

2q “ 0, i “ 1, 2.

同理, p1pω1`ω22 q “ 0. 由于 p1 以 r0s 为 3 重极点, 故 p1 的零点个数为 3. 这说明 ω1

2 ,ω22 及

ω1`ω22 均为单零点.

piiq 记 e1, e2, e3 为 3 次多项式 4w3 ´ g2w ´ g3 的三个根, 则

pp1q2 “ 4p3 ´ g2p ´ g3 “ 4pp ´ e1qpp ´ e2qpp ´ e3q.

由 piq 知

tppω1

2q, pp

ω2

2q, pp

ω1 ` ω

2qu Ă te1, e2, e3u.

不妨设 ppω12 q “ e1. 因为 p1pω1

2 q “ 0, ω12 在 p下覆盖 e1 两次. 又因为 p是双叶分歧

覆盖, 故 e1 ‰ e2, e3. 同理, e2 ‰ e3. 根据上面的引理, 多项式 4w3 ´ g2w ´ g3 的三个根互不相同, 因此其判别式

∆0 “ g32 ´ 27g2

3 ‰ 0. 反之, 椭圆函数理论告诉我们, 如果 g32 ´ 27g2

3 ‰ 0, 则一定存

在黎曼环面 CΛ, 使得其对应的椭圆函数有展开式

pΛ “1z2

` a2z2 ` a4z

4 ` ¨ ¨ ¨ ,

其中 g2 “ 20a2, g3 “ 28a4.

(5) 嵌入定理

定义 3.4.4 (复流形). 设 M 为具有可数拓扑基的 T2p 即具有 Hausdorff 性质

q 的拓扑空间. 如果存在 M 的开覆盖 tUαuαPΓ 以及每个开集 Uα 上的连续映射

ϕα : Uα Ñ Cn, 且满足如下条件

(1) ϕαpUαq 为 Cn 中开集, ϕα : Uα Ñ ϕαpUαq 为同胚;

(2) 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则转换映射 ϕα ˝ ϕ´1β : ϕβpUα X Uβq Ñ ϕαpUα X Uβq 为

全纯映射,

则称 M 为 n 维复流形.

§3.4 若干应用 81

黎曼曲面就是 1 维复流形. 这里的转换映射 ϕα ˝ ϕ´1β 是 Cn 中开集之间的映

射, 它为全纯映射是指它的每一个分量为多复变的全纯函数, 而一个多复变函数为

全纯函数是指它关于每一个分量为单变量全纯函数. 和黎曼曲面的情形一样, 我们

可以完全类似地定义复流形之间的全纯映射和双全纯映射 (全纯同构) 的概念.

例 3.4.1. Cn 以及 Cn 中的开集显然都是 n 维复流形.

特别地,

Bn “ tpz1, z2, ¨ ¨ ¨ , znq P Cnˇ

ˇ

nÿ

i“1

|zi|2 ă 1u

和

Dn “ D ˆ D ¨ ¨ ¨ ˆ D pn 个圆盘之积q

都是 n 维复流形, 它们都是单连通的. 然而, 当 n ą 1 时, 这两个单连通的 n 维复

流形不是全纯同构的. 也就是说, 单值化定理不能直接地推广到一般维数的复流形

上.

例 3.4.2. 复投影空间 CPn.

我们定义

CPn “ Cn`1 ´ t0u ∼,

其中, 等价关系 ∼ 定义如下:

z ∼ w ô D λ P C˚,使得 z “ λ ¨ w.

映射 π : Cn`1 ´ t0u Ñ CPn 为商投影, CPn 上的拓扑为商拓扑. 对于 0 ď i ď n, 定

义 CPn 中开集 Ui 如下:

Ui “ trpz0, z1, ¨ ¨ ¨ , znqs “ rzs P CPn | zi ‰ 0u.

Ui 上的局部坐标映射定义为:

ϕi : Ui Ñ Cn

rzs ÞÑ pz0zi, z1zi, z2zi, ¨ ¨ ¨ , zi´1zi, zi`1zi, ¨ ¨ ¨ , znziq.

容易验证, 在开覆盖 tUiuni“0 和坐标映射 tϕiu

ni“0 之下 CPn 成为一个 n 维紧致复

流形.

下面我们讨论黎曼曲面在复投影空间中的实现问题.

定义 3.4.5 (全纯浸入和全纯嵌入). 设 M , N 分别是维数维 m 和 n (m ď n)

的复流形, f : M Ñ N 为全纯映射. 任取 x P M , 如果存在 x 附近的局部坐标映射


ϕ 以及 fpxq 附近的局部坐标映射 ψ, 使得复合映射 ψ ˝ f ˝ϕ´1 的 Jacobian 矩阵在

ϕpxq 的秩为 m, 则称 x 为 f 的一个非奇异点, 或 f 在 x 处非退化. 如果 f 在 M

上处处非退化, 则称 f 为全纯浸入; 单的全纯浸入称为全纯嵌入.

易见, 上述定义和局部坐标映射的选取无关.

例 3.4.3. 乘积嵌入.

定义映射 σ : CP 2 ˆ CP 1 Ñ CP 5 如下

σprzs, rwsq “ rz0w0, z0w1, z1w0, z1w1, z2w0, z2w1s

@ rzs “ rz0, z1, z2s P CP 2, rws “ rw0, w1s P CP 1.

按定义不难验证 σ 为全纯映射, 且为全纯嵌入 (留作习题). 为了讨论黎曼曲面到复投影空间的实现问题,我们首先要构造从黎曼曲面到投

影空间的全纯映射. 设 M 为黎曼曲面, f0, f1, ¨ ¨ ¨ , fn 为 M 上的非零亚纯函数, 用

如下方式定义全纯映射 pf0 : f1 : ¨ ¨ ¨ : fnq : M Ñ CPn:

任取 p P M , 如果 p 不是任何 fi 的极点, 也不是 fi 的公共零点, 则令

pf0 : f1 : ¨ ¨ ¨ : fnqppq “ rf0ppq, f1ppq, ¨ ¨ ¨ , fnppqs.

显然, 上式在 p 附近都可以如此定义, 并且在 p 附近这样定义的映射是全纯的; 如

果 p 为某个 fi 的极点或为 fi 的公共零点, 令 ν “ mintνppf0q, νppf1q, ¨ ¨ ¨ , νppfnqu.

取 p 附近的局部坐标映射 z, 使得 zppq “ 0. 定义

pf0 : f1 : ¨ ¨ ¨ : fnqppqq “ rpz´νf0qppq, pz´νf1qppq, ¨ ¨ ¨ , pz´νfnqppqs.

易见, 这个定义与坐标映射的选取无关, 并且在 p 附近都可以这样定义, 定义出来

的映射还是全纯的.

引理 3.4.13. 设 f0, f1, ¨ ¨ ¨ , fn 为黎曼曲面 M 上的非零亚纯函数, 在 p P M

附近全纯. 如果存在 i ‰ j, 使得 fippq ‰ 0, νppfjq “ 1. 则 p 是如上构造的全纯映

射 pf0 : f1 : ¨ ¨ ¨ : fnq : M Ñ CPn 的一个非奇异点.

证明. 不失一般性, 假设 f0ppq ‰ 0, νppf1q “ 1. 选取 p 附近的局部坐标 z,

zppq “ 0. 记 f “ pf0 : f1 : ¨ ¨ ¨ : fnq, 则由 f 的构造, fppq P U0, 其中

U0 “ trz0, z1, ¨ ¨ ¨ , zns P CPn | z0 ‰ 0u.

在 U0 上取坐标映射 ϕ,

ϕprz0, z1, ¨ ¨ ¨ , znsq “ pz1z0, z2z0, ¨ ¨ ¨ , znz0q.

§3.4 若干应用 83

f 在坐标映射 z 及 ϕ 下有局部表示

ϕ ˝ fpzq “ pf1pzqf0pzq, f2pzqf0pzq, ¨ ¨ ¨ , fnpzqf0pzqq,

并且B

Bz|z“0pf1f0q “

1f0ppq

B

Bzf1ppq ‰ 0.

这说明 p 为 f 的一个非奇异点. 这个引理给出了一个判断非奇异点的有效办法. 下面的引理给出了判断非奇

异点和单射的办法.

引理 3.4.14. piq 设 M,N,N 1 为复流形, f : M Ñ N 为全纯映射, ϕ : N Ñ N 1

为全纯嵌入. 如果 p, q P M , fppq ‰ fpqq, 则 ϕ ˝ fppq ‰ ϕ ˝ fpqq; 如果 p 是 f 的非

奇异点, 则 p 也是 ϕ ˝ f 的非奇异点.

piiq 设 M 为黎曼曲面, B Ă MpMq 为子向量空间, tgiuni“0 和 thiu

ni“0 为 B 的

两组基, 则

pg0 : g1 : ¨ ¨ ¨ : gnqppq ‰ pg0 : g1 : ¨ ¨ ¨ : gnqpqq

时也有

ph0 : h1 : ¨ ¨ ¨ : hnqppq ‰ ph0 : h1 : ¨ ¨ ¨ : hnqpqq,

且 p 为 pg0 : g1 : ¨ ¨ ¨ : gnq 的非奇异点时, p 也为 ph0 : h1 : ¨ ¨ ¨ : hnq 的非奇异点.

证明. piq 根据定义, 结论都是显然的.

piiq 设 ph0, h1, ¨ ¨ ¨ , hnqT “ A ¨ pg0, g1, ¨ ¨ ¨ , gnqT , A 为 n ` 1 阶复的非退化方阵,

它可以看成线性变换 A : Cn`1 Ñ Cn`1, 从而诱导了双全纯映射 A1 : CPn Ñ CPn.

容易验证 ph0 : h1 : ¨ ¨ ¨ : hnq “ A1 ˝ pg0 : g1 : ¨ ¨ ¨ : gnq, 因此要证明的结论由 piq 即可

导出. 有了这些预备, 我们现在可以把任何紧致黎曼曲面全纯地嵌入到复投影空间

中.

定理 3.4.15 (嵌入定理). 设 M 为紧致黎曼曲面, 亏格为 g. 则存在全纯嵌入

φ : M Ñ CP g`1.

证明. 任取 p P M , 考虑因子 D “ p2g ` 1qp, 由 p2q 中定理, 有

dim lpDq “ dpDq ` p1 ´ gq “ g ` 2.

设 th0, h1, ¨ ¨ ¨ , hg`1u为 lpDq的一组基,定义 φ “ ph0 : h1 : ¨ ¨ ¨ : hg`1q : M Ñ CP g`1.

下面说明 φ 为全纯嵌入. 注意, 当 g “ 0 时, 可以取 h0 “ 1, h1 为 lppq 中非平凡亚

纯函数, 此时 φ “ h1 为全纯同构. 因此下面假设 g ě 1.


设 q, q1 P M , q ‰ q1. 首先来证明 φpqq ‰ φpq1q. 为此, 令 D1 “ D ´ q,

D2 “ D ´ q ´ q1, 则

lpD2q Ă lpD1q Ă lpDq, dim lpD2q “ g “ dim lpD1q ´ 1.

取 f1 P lpD1q ´ lpD2q. 不妨假设 q ‰ p. 此时 f1pqq “ 0, f1ppq “ 8, f1 为非平

凡亚纯函数, 因此可以把 t1, f1u 扩充成 lpDq 的一组基 tf0 “ 1, f1, ¨ ¨ ¨ , fg`1u. 令

ψ “ p1 : f1 : ¨ ¨ ¨ : fg`1q, 由上面的引理, 只要证明 ψpqq ‰ ψpq1q 即可. 我们分两种情

况讨论:

p1q q1 ‰ p. 此时 f1pqq “ 0, f1pq1q “ a ‰ 0, 而 i ě 2 时, fi 在 q, q1 附近全纯, 因

此

ψpqq “ r1, 0, ¨ ¨ ¨ s ‰ r1, a, ¨ ¨ ¨ s “ ψpq1q.

p2q q1 “ p. 此时, fi 在 q 附近全纯, 以 p 为极点, 故

ψpqq “ r1, ¨ ¨ ¨ s ‰ r0, ¨ ¨ ¨ s “ ψppq.

总之, φ为单射. 其次我们证明M 上的点都是非奇异点. 任取 q P M ,令D1 “ D´q,

D2 “ D ´ 2q, 同理, 存在 f1 P lpD1q ´ lpD2q, f1 为非平凡亚纯函数, 扩充 t1, f1u 为

lpDq 之基 tf0 “ 1, f1, ¨ ¨ ¨ , fg`1u. 令 ψ “ p1 : f1 : ¨ ¨ ¨ : fg`1q, 我们要证明 q 为 ψ 的

非奇异点, 讨论如下:

p3q q ‰ p. 由 f1 的定义知, f1 以 q 为单零点, 根据上面的引理, q 是 ψ 的非奇

异点.

p4q q “ p. 此时, D1 “ p2gqp, D2 “ p2g ´ 1qp. 由 f1 的定义知, νppf1q “ ´2g.

在扩张 t1, f1u 时, 不妨取 f2 P lpDq ´ lpD1q, 则 νppf2q “ ´p2g ` 1q. 设 z 为 p 附近

的局部坐标函数, zppq “ 0, 由定义, ψ 在 p 附近可写成

ψ “ rz2g`1, z2g`1f1, z2g`1f2, ¨ ¨ ¨ , z2g`1fg`1s.

由于 z2g`1f1 以 p 为单零点, z2g`1f2 在 p 处非零, 由上面的引理, p 为 ψ 的非奇异

点. (6) 平面曲线

定义 3.4.6. 设 P 为 C3 中的齐次多项式, 则 trzs P CP 2 |P pzq “ 0u 是 CP 2

中定义好的子集, 称为平面曲线.

下面我们证明任何紧致黎曼曲面都可实现为 CP 2 中的平面曲线, 并由此进一

步把任何紧致黎曼曲面全纯嵌入到 CP 5 中.

设 M 为紧致黎曼曲面, z : M Ñ S 为 M 上有 n 个极点的亚纯函数, 则存在亚

纯函数 f , 使得 MpMq “ Cpz, fq, 且 f 对 Cpzq 的极小多项式 Q 的次数为 n. 即

Qpfq “ fn ` r1pzqfn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` rnpzq “ 0, ripzq P Cpzq, 1 ď i ď n.

§3.4 若干应用 85

通过通分, 我们可以得到互素的复系数多项式 Sipzq, 使得

P pz, fq “ S0pzqfn ` S1pzqfn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` Snpzq “ 0,

其中 P px, yq “ S0pxqyn ` S1pxqyn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` Snpxq P Crx, ys. 定义 P 的齐次化多项

式 P0pw, x, yq 为

P0pw, x, yq “ wm ¨ P pxw, ywq.

其中 m 为 P 的次数. P0 为 m 次齐次多项式, 且 P0p1, x, yq “ P px, yq. 下面我们来

研究由 P0 决定的平面曲线.

记 U0 “ trz0, z1, z2s | z0 ‰ 0u “ tr1, z1, z2s | z1, z2 P Cu Ă CP 2, 定义

M˚ “ trw, x, ys P CP 2 |P0pw, x, yq “ 0u

以及

M˚0 “ M˚ X U0 “ tr1, x, ys P CP 2 |P px, yq “ 0u.

我们有

• P0pw, x, yq 在 CP 2 中无孤立零点. 这是因为, 如果 P0pw1, x1, y1q “ 0, 不妨设

x1 ‰ 0,由 P0 的齐次性, pw1x1, 1, y1x1q也是 P0 的零点,即 pw1x1, y1x1q是

多项式 Rpw, yq “ P0pw, 1, yq 的零点. R 在 C2 中没有孤立零点, 因此 rw, x, ys

也不是 P0 的孤立零点.

• M˚ ´M˚0 只含有有限多个点, 特别地, M˚

0 “ M˚. (反证法) 如果不然, 则齐次

多项式 P0p0, x, yq在 CP 2中有无穷多个解,因此多项式 P0p0, x, 1q或 P0p0, 1, xq

有无穷多个根, 这说明 P0p0, x, yq ” 0, 这和 P0 的定义相矛盾.

• 记 A “ tz, f 的极点u Y tdz, df 的零点u, A为有限集合.任给 p ‰ q P M ´A,必

有 zppq ‰ zpqq或 fppq ‰ fpqq. (反证法)如果不然,设 zppq “ zpqq, fppq “ fpqq.

由 A 的定义知, z 和 f 在 p 和 q 上的重数都为 1. 任取 h P MpMq “ Cpz, fq,

存在多项式 αpx, yq, βpx, yq P Crx, ys, 使得 h “ αpz, fqβpz, fq. 此时有

hppq “αpzppq, fppqq

βpzppq, fppqq“αpzpqq, fpqqq

βpzpqq, fpqqq“ hpqq.

这和 (2) 中亚纯函数可区分任何两点的结论相矛盾!

• 设 A 如上定义, 记 B “ zpAq Ă S, B 也是有限集. 如果 c P C ´ B, z´1pcq “

tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu, 则 tfpp1q, fpp2q, ¨ ¨ ¨ , fppnqu 是 P pc, yq “ 0 的 n 个不同的根.

事实上, 因为 zppiq “ c, 故

P pc, fppiqq “ P pzppiq, fppiqq “ P pz, fqppiq “ 0.


即每个 fppiq 都是 P pc, yq “ 0 的根. 另一方面, pi P M ´ A, zpp1q “ zpp2q “

¨ ¨ ¨ “ zppnq “ c, 由上面的第三条性质就知道 fppiq ‰ fppjq, @ i ‰ j.

有了这些性质, 我们就可以证明下面的定理了.

定理 3.4.16. 设 M 为紧致黎曼曲面, 则存在平面曲线 M˚ 和全纯映射 φ :

M Ñ CP 2, 使得 φpMq “ M˚, 且存在有限点集 A, 使得 φ 限制在 M ´ A 上是全

纯嵌入.

证明. 我们沿用上面的所有记号, 定义全纯映射 φ : M Ñ CP 2, φ “ p1 : z : fq.

当 p P M Á 时, dzppq ‰ 0, 因此 p 为 φ 的一个非奇异点. 而由上面性质的第三条

即知, φ 限制在 M ´ A 上为全纯嵌入. 我们还需证明 φpMq “ M˚. 由 M˚ 和 M˚0

的定义知 φpM Áq Ă M˚0 Ă M˚. 因此

φpMq “ φpM Áq Ă φpM Áq Ă M˚.

反之, 令 E “ tr1, x, ys |x P B,P px, yq “ 0u, 则 E 是 CP 2 中的有限子集. 设

r1, x0, y0s P M˚0 ´ E, 则 x0 P C ´ B. 由上面性质的第四条, 如果 z´1px0q “

tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu, 则 tfpp1q, fpp2q, ¨ ¨ ¨ , fppnqu 是多项式 P px0, yq 的所有根. 由

r1, x0, y0s P M˚0

知 P px0, y0q “ 0, 故 y0 必定等于某个 fppiq. 即

r1, x0, y0s “ r1, zppiq, fppiqs “ φppiq.

由 B 的定义, pi P M Á, 从而 M˚0 ´ E Ă φpM Áq. 这说明

M˚ “ M˚0 “ M˚

0 ´ E Ă φpM Áq “ φpMq.

因此 φpMq “ M˚. 我们以黎曼环面为例来说明这个定理. 对于黎曼环面 CΛ, 取上面的 z 为 (4)

中的椭圆函数 p, f 取为 p1. p1关于 Cppq的极小多项式为 P pyq “ y2´p4p3´g2p´g3q,

齐次化以后得到多项式 P0pw, x, yq “ wy2 ´ 4x3 ` g2w2x ` g3w

3, 按照刚才的定理,

全纯映射 φ “ p1 : p : p1q 的像为平面曲线 trw, x, ys P CP 2 |P0pw, x, yq “ 0u. 另一方

面, 注意到 lp3r0sq “ spant1, p, p1u, 因此 φ 又是 (5) 中嵌入定理中的全纯映射, 因

此 φ 是从 CΛ 到 CP 2 的全纯嵌入, 其像为平面曲线.

下面我们来改进 (5) 中的嵌入定理.

引理 3.4.17. 设 tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu 是紧黎曼曲面 M 上 n 个互不相同的点. 则

存在亚纯函数 h, 使得

§3.4 若干应用 87

piq 当 i ‰ j 时, hppiq ‰ hppjq;

piiq h 在每个 pi 附近全纯;

piiiq dhppiq ‰ 0, @ i.

证明. 任取 q P M ´ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu, 对于固定的 i, 令

D1 “ p2g ` 2nqq ´ 2pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` pnq ` 3pi,

D2 “ p2g ` 2nqq ´ 2pp1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` pnq ` 2pi.

则 lpD2q Ă lpD1q, 且 dim lpD1q “ 1 ` dim lpD2q “ g ` 4. 取 fi P lpD1q ´ lpD2q, 则 fi

以 pi 为单极点, 以 pjpj ‰ iq 为零点, 且零点重数至少为 2. 令 hi “ fip1 ` fiq´1, 则

hippjq “ δij , dhippiq ‰ 0, dhippjq “ 0pj ‰ iq. 任取 n 个不同的非零复数 ci P C˚, 则

h “ř

i

ci ¨ hi 即为所求亚纯函数, 满足引理中的三个条件.

定理 3.4.18. 设 M 为紧致黎曼曲面, 则存在全纯嵌入 ψ : M Ñ CP 5.

证明. 根据刚才的定理, 存在全纯映射 φ : M Ñ CP 2, 以及 M 上的有限集合

A,使得 φ限制在 M ´A上为全纯嵌入. 令 A0 “ φ´1pφpAqq,则 A0 仍为有限子集,

记为 A0 “ tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pnu. 根据上面的引理, 存在 M 上的亚纯函数 h 满足其三个

条件. 定义全纯映射

ξ : M Ñ CP 2 ˆ CP 1

p ÞÑ pφppq, hppqq.

ξ 为单射: 如果 p ‰ q P M ´ A0, 则 φppq ‰ φpqq ñ ξppq ‰ ξpqq; 如果 p P A0,

q P M ´ A0, 则由 φpA0q X φpM ´ A0q “ H ñ φppq ‰ φpqq ñ ξppq ‰ ξpqq; 如果

p ‰ q P A0, 则由 h 的定义知

ξppq “ pφppq, r1, hppqsq ‰ pφpqq, r1, hpqqsq “ ξpqq.

下面证明 ξ 是处处非退化的, 只要证明每个点 p P M 都是 φ 或 p1 : hq 的非奇异点

即可. 如果 p P M ´A0, 则 p 是 φ 的非奇异点; 如果 p P A0, 则 p 是 p1 : hq 的非奇

异点. 这就说明 ξ 为全纯嵌入. 由 (5) 中的例子, CP 2 ˆ CP 1 可以全纯嵌入到 CP 5

中, 通过复合我们就得到从 M 到 CP 5 的全纯嵌入 ψ. 注. 通过向低维的投影空间做进一步的投影, 可以证明, 任何紧致黎曼曲面均

可全纯嵌入到 CP 3 中.

(7) Riemann-Hurwitz 定理

设 f : M Ñ N 为紧致黎曼曲面 M , N 之间的非常值全纯映射,我们知道, f 为

分歧覆盖. 在任何一点 p P M 附近, 选取适当的局部坐标后, f 的局部表示可写为


fpzq “ zνp , 其中 νp 为 f 在 p 处的重数. 如果 νp ą 1, 则 p 为 f 的一个分歧点. 记

bppfq “ νp ´ 1, 称为 f 在 p处的分歧数. 因为 f 的分歧点只有有限多个,因此 f 的

所有分歧数之和是有限的非负整数, 记为 Bf , 称为 f 的总分歧数. 下面我们来计

算这个总分歧数.

定理 3.4.19 (Riemann-Hurwitz). 设 f : M Ñ N 为紧致黎曼曲面 M , N 之间

的非常值全纯映射, 则

Bf “ 2pgM ´ 1q ´ 2npgN ´ 1q,

其中, gM 和 gN 分别为 M , N 的亏格, n 为 f 的重数 p 即任意一点原像的个数 q.

证明. 我们先看一个简单的情形: N “ S, f 为 M 上的非常值亚纯函数. 不防

设 8 P S 不是 f 的分歧值 (即 f´1p8q 不含分歧点). 考虑 S 上的亚纯微分 ω “ dz,

其中 z 为复平面 C 上的标准复坐标. 则 f˚ω “ df 为 M 上的亚纯微分. 我们来计

算由 f˚ω 所诱导的典范因子.

当 p P f´1p8q 时, p 也是 f˚ω 的极点, 其重数为 2. 如果 fppq P C, 且 p 不是

分歧点, 则 f˚ω 在 p 处全纯, 且 p 不是其零点; 如果 p 为分歧点, 则 p 为 f˚ω 的零

点, 重数为 bppfq. 因此

pf˚ωq “ÿ

p

bppfq ¨ p´ÿ

pPf´1p8q

2 ¨ p.

因为典范因子的次数为 2gM ´ 2, 由上式得

2gM ´ 2 “ÿ

p

bppfq ´ 2n “ Bf ´ 2n,

其中 n 为 f 的极点个数 (重数).

一般地, 如果 N 的亏格 gN ě 1, 则取 N 的一个非零全纯微分 ω, 于是 f˚ω 为

M 上的全纯微分, 我们来讨论它的零点. 记 A 为 ω 的零点集, B 为 f 的分歧点集.

当 p P B ´ f´1pAq 时, p 为 f˚ω 的零点, 重数为 bppfq; 当 p P f´1pAq ´ B 时, p 为

f˚ω 的 nfppq 重零点,其中 nfppq 为 ω 在 fppq P A处的零点重数;当 p P BX f´1pAq

时, p 为 f˚ω 的 bppfq ` rbppfq ` 1snfppq 重零点. 其它的点 p P M 均不是 f˚ω 的零

§3.4 若干应用 89

点, 因此有

2gM ´ 2 “ dppf˚ωqq “ÿ

pPB´f´1pAq

bppfq `ÿ

pPf´1pAq´B

nfppq

`ÿ

pPBXf´1pAq

pbppfq ` rbppfq ` 1snfppqq

“ÿ

pPB

bppfq `ÿ

pPf´1pAq

rbppfq ` 1snfppq

“ Bf `ÿ

qPA

nq

ÿ

pPf´1pqq

rbppfq ` 1s

“ Bf ` n ¨ÿ

qPA

nq

“ Bf ` n ¨ dpωq

“ Bf ` np2gN ´ 2q.

这就得到了总分歧数 Bf 的表达式, 注意我们用到了这样的事实: 非常值全纯映射

f 的任何一点的原像的个数 (含重数) 是个常数 n. 从 Riemann-Hurwitz 定理我们知道, 总分歧数是个偶数. 我们还立即得到下面

的简单推论:

推论 3.4.20. 设 f : M Ñ N 为紧致黎曼曲面 M , N 之间的非常值全纯映射,

则 M 的亏格不小于 N 的亏格.

证明. 如果 N 的亏格为零, 则推论无需证明. 如果 gN ě 1, 则由 Riemann-

Hurwitz 定理即知

pgM ´ 1q “ Bf 2 ` npgN ´ 1q ě npgN ´ 1q ě pgN ´ 1q,

因此 gM ě gN .

推论 3.4.21. 设 f : M Ñ S 为紧致黎曼曲面 M 上的非常值亚纯函数. 如果

f 无分歧点, 则 f 必为全纯同构.

证明. 当 f 无分歧点时, Bf “ 0. 由 Riemann-Hurwitz 定理知

gM “ 1 ´ n,

其中 n 为 f 的重数. 由于亏格 gM ě 0, 上式表明 n “ 1, 这时 gM “ 0 且 f 为单射,

从而必为全纯同构. 利用 Riemann-Hurwitz定理,我们还可以计算代数曲线 (黎曼曲面)的亏格.我

们以一个简单的例子来说明这一点.


设 n ě 2, 考虑三次齐次多项式 P pz0, z1, z2q “ zn0 ` zn

1 ` zn2 , 易见 P “ 0 定义

了 CP 2 中一条光滑的平面曲线, 因此可以看成紧致黎曼曲面, 我们计算其亏格如

下: 令

f : M “ trz0, z1, z2s P CP 2 |P pzq “ 0u Ñ CP 1

定义为 fprz0, z1, z2sq “ rz0, z1s. 这是定义好的一个亚纯函数. 显然,

f´1pr0, 1sq “ tr0, 1, z2s | zn2 “ ´1u,

因此 f 的重数为 n. 一般地, 如果 zn0 ` zn

1 ‰ 0, 则 f´1prz0, z1sq 由 n 个互不相同的

点组成; 当 zn0 ` zn

1 “ 0时, f´1prz0, z1sq “ rz0, z1, 0s. 这说明 f 有 n个分歧点, 每个

分歧点都是 n 重的, 从而 f 的总分歧数为

Bf “ npn´ 1q.

由 Riemann-Hurwitz 定理, M 的亏格 gM 为

gM “Bf

2` 1 ´ n “

12npn´ 1q ` 1 ´ n “

12

pn´ 1qpn´ 2q.

一般地, 可以证明, 如果次数为 d 的齐次多项式定义了一条光滑平面曲线, 则

其亏格为 12 pd´ 1qpd´ 2q.

(8) 典范映射及应用

我们下面考虑亏格 g ě 2 的紧致黎曼曲面.

定义 3.4.7. 设 M 为亏格大于 1 的紧致黎曼曲面. 如果 M 上存在重数为 2

的亚纯函数, 则称 M 为超椭圆型的; 否则称 M 为非超椭圆型的.

对于亏格 g ě 2 的紧致黎曼曲面来说, 下面构造的典范映射是一个重要的工

具. 事实上, 取 M 的全纯微分空间 H 的一组基 tω1, ω2, ¨ ¨ ¨ , ωgu, 定义

φ : M Ñ CP g´1

为

φppq “ rω1ppq, ω2ppq, ¨ ¨ ¨ , ωgppqs “ rf1ppq, f2ppq, ¨ ¨ ¨ , fgppqs,

其中, ωi 在 p 附近的局部坐标下的局部表示形如 ωi “ fipzqdz. 根据 p1q 知 φ 是定

义好的全纯映射, 称为典范映射. 容易看出, 典范映射不是常值的 (习题).

命题 3.4.22. 如果典范映射 φ 不是单射, 则 M 为超椭圆型的黎曼曲面.

证明. 设 p ‰ q P M , 且 φppq “ φpqq. 则存在 λ P C˚, 使得

fippq “ λgipqq, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , g.

§3.4 若干应用 91

其中 ωi 在 p 和 q 附近的局部表示分别为 fidz 和 gidw. 任取 ω P H, 则

ω “

gÿ

i“1

ciωi, ci P C.

从而

ωppq “ 0 ðñ

gÿ

i“1

cifippq “ 0 ðñ

gÿ

i“1

cigipqq “ 0 ðñ ωpqq “ 0.

这说明

ipp` qq “ tω P M | pωq ´ p´ q ě 0u “ ippq.

根据 p1q 中的证明, ippq 的维数为 g ´ 1. 从而由 Riemann-Roch 公式, 有

dim lpp` qq “ dim ipp` qq ` dpp` qq ` 1 ´ g “ 2.

这说明 lpp` qq 中存在非常值亚纯函数 f . f 的重数不能为 1 (否则 M 与黎曼球面

同构, 亏格为 0), 因此其重数只能为 2.

推论 3.4.23. 亏格为 2 的紧致黎曼曲面均为超椭圆型的.

证明. 设 M 亏格为 2, 则典范映射 φ : M Ñ CP 1 为 M 上的亚纯函数. 如果 φ

重数为 1, 则 φ 必为全纯同构. 当 φ 重数大于 1 时, φ 不是单射, 根据上面的命题,

M 是超椭圆型的.

命题 3.4.24. 如果 M 为非超椭圆型的紧致黎曼曲面, 则其典范映射 φ 为全

纯嵌入.

证明. 设 M 是亏格为 g 的非超椭圆型的黎曼曲面. 下面只要说明典范映射 φ

处处非退化即可. 任取 p P M , 我们已经知道 dim ip0q “ g, dim ippq “ g ´ 1. 下面说

明 dim ip2pq “ g ´ 2. 事实上, 由定义易见

dim ip2pq ď dim ippq ď dim ip2pq ` 1.

另一方面, 由 Riemann-Roch 公式,

dim lp2pq “ dim ip2pq ` 3 ´ g,

如果 dim ip2pq “ g ´ 1, 则 dim lp2pq “ 2, 从而 lp2pq 中存在非常值亚纯函数, 这和

M 是非超椭圆型的相矛盾. 因此只能 dim ip2pq “ g ´ 2.

以上我们说明了在 M 上存在全纯微分以 p 为单零点. 因此, 在定义典范映射

时,我们可以选取 H 的基,使得 ω1ppq ‰ 0, ω2 以 p为单零点. 由 p5q中引理的证明

即知 p 为典范映射的非奇异点.


推论 3.4.25. 亏格为 3 的非超椭圆型的紧致黎曼曲面均可全纯嵌入 CP 2 中.

最后, 我们来考虑超椭圆型的黎曼曲面在 CP 2 中的实现问题. 设 M 是亏格为

g 的超椭圆型黎曼曲面. 类似亏格为 1 的情形, 我们将构造从 M 到 CP 2 的全纯映

射, 使得它的像是次数为 2g ` 2 的平面曲线.

事实上, 由于 M 是超椭圆型的, 故存在亚纯函数 x : M Ñ CP 1, 使得 x 的重

数为 2. 由 Riemann-Hurwitz 定理, x 的总分歧数为

Bx “ p2g ´ 2q ´ 2p0 ´ 2q “ 2g ` 2.

由于 x 重数为 2, x 的每个分歧点都只能是 2 重的, 因此 x 的分歧点由 2g ` 2 个

不同点组成, 记为 p1, p2, ¨ ¨ ¨ , p2g`2. 不妨设 q1 ‰ q2 为 x 的极点, xppiq “ ai,

i “ 1, ¨ ¨ ¨ , 2g ` 2.

定义映射 j : M Ñ M 如下: 如果 p “ pi 为某个分歧点, 则令 jppq “ p; 如果 p

不是分歧点, 则存在惟一的 p1 ‰ p, 使得 xpp1q “ xppq, 此时令 jppq “ p1. 不难证明,

j : M Ñ M 为全纯映射, 且

j2 “ 1, j˚x “ x ˝ j “ x.

考虑拉回映射 j˚ 在 H 上的作用, 由于 j˚ ˝ j˚ “ 1, 其特征值只能为 1 或 ´1. 如果

j˚ω “ ω, 则 ω 诱导了 CP 1 上的全纯微分, 这说明 ω “ 0. 因此 j˚ 的特征值只能为

´1, 即

j˚ω “ ´ω, @ ω P H.

考虑 M 上的因子 D “ pg ` 1qpq1 ` q2q, 由 Riemann-Roch 公式, 有

dim lpDq “ dpDq ` 1 ´ g “ g ` 3.

因为 jpDq “ D, j˚ 可以视为 lpDq 上的一个线性变换, 按照其特征值 1 和 ´1, lpDq

可分解为

lpDq “ l`pDq ‘ l´pDq,

l`pDq中的函数都是关于 x的有理函数,其极点只能为 q1, q2,极点的阶不超过 g`1,

由此易见

l`pDq “ spant1, x, x2, ¨ ¨ ¨ , xg`1u,

特别地, dim l`pDq “ g ` 2. 这说明 dim l´pDq “ 1, 因此存在非平凡亚纯函数

y P lpDq 使得

j˚y “ y ˝ j “ ´y.

§3.4 若干应用 93

由 jppiq “ pi 及上式知 yppiq “ 0, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , 2g ` 2. 由 y P lpDq 知 y 的极点个数不

超过 2g ` 2, 因此其零点个数也不超过 2g ` 2, 从而可以看出

pyq “ p1 ` p2 ` ¨ ¨ ¨ ` p2g`2 ´ pg ` 1qpq1 ` q2q.

另一方面, 直接的计算表明, 亚纯函数

g “ px´ a1qpx´ a2q ¨ ¨ ¨ px´ a2g`2q

诱导的因子满足等式

pgq “ 2p1 ` 2p2 ` ¨ ¨ ¨ ` 2p2g`2 ´ p2g ` 2qpq1 ` q2q.

这说明 py2q “ pgq, 从而存在常数 c P C˚, 使得

y2 “ cgpxq.

定义全纯映射 f “ p1 : x : yq : M Ñ CP 2, 则 fpMq 是多项式

P px, yq “ y2 ´ cgpxq P Crx, ys

的齐次化所定义的平面曲线. 总结一下, 有

定理 3.4.26. 亏格为 g 的超椭圆型的紧致黎曼曲面可表示为次数为 2g` 2 的

平面曲线.

利用亚纯函数 x, y 我们可以写出超椭圆型曲面的全纯微分的一组基.

命题 3.4.27. 设 M 是亏格为 g 的超椭圆型的黎曼曲面, x, y 如上, 则

ω1 “dx

y, ω2 “

xdx

y, ¨ ¨ ¨ , ωg “

xg´1dx

y

构成 H 的一组基.

证明. 显然 tωiu 关于 C 线性无关, 下面只要说明它们没有极点即可. 事实上,

如前面所述, 记

pxq “ p11 ` p1

2 ´ q1 ´ q2.

则 x 的分歧点 tpiu 为 dx 的单零点, q1, q2 为 dx 的双极点, 因此

pdxq “

2g`2ÿ

i“1

pi ´ 2pq1 ` q2q.


从而有

pωiq “ ipxq ` pdxq ´ pyq

“ ipp11 ` p1

2 ´ q1 ´ q2q `

2g`2ÿ

i“1

pi ´ 2pq1 ` q2q ´

2g`2ÿ

i“1

pi ` pg ` 1qpq1 ` q2q

“ ipp11 ` p1

2q ` pg ´ i´ 1qpq1 ` q2q ě 0,

因此当 0 ď i ď g ´ 1 时 ωi 为全纯微分.

推论 3.4.28. 设 M 是亏格为 g 的超椭圆型的黎曼曲面, f : M Ñ S 为亚纯函数. 如果 f 的重数不超过 g, 则该重数为偶数.

证明. 设 pfq “ Z ´ P , P 为 f 的极点组成的因子. 由 Riemann-Roch 公式,

dim lpP q “ dim ipP q ` dpP q ` p1 ´ gq.

如果 dpP q ď g, 则

dim ipP q ě dim lpP q ´ 1 ě 1.

其中 dim lpP q ě 2 是因为 spant1, fu 包含于 lpP q. 这说明存在非零的全纯微分

ω P ipP q, 从而 fω 仍为全纯微分. 由上面的命题, 存在 αi, βi P C, 使得

ω “

g´1ÿ

i“0

αixidx

y, fω “

g´1ÿ

i“0

βixidx

y.

因此

f “

řg´1i“0 βix

i

řg´1i“0 αixi

“ rpxq,

即 f 是关于 x 的有理函数, 从而 f 的重数是 r P MpSq 重数的两倍. (9) Weierstrass 点

设 M 为紧致黎曼曲面, p P M . 我们知道,

C “ lp0q “ lppq Ă lp2pq Ă lp3pq Ă ¨ ¨ ¨ Ă lpp2g ´ 1qpq, dim lpp2g ´ 1qpq “ g.

因为 dim lpipq ´ dim lppi´ 1qpq “ 0 或 1, 上式表明, 当 g ą 0 时, 正好存在 g 个数

1 “ n1 ă n2 ¨ ¨ ¨ ă ng ď 2g ´ 1

使得 dim lpnipq ´ dim lppni ´ 1qpq “ 0, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g. 我们把这些 ni 称为 p 处

的间隙数. 显然, k 不是间隙数当且仅当存在以 p 为 k 重极点的亚纯函数. 由

Riemann-Roch 公式,

dim ippk ´ 1qpq ´ dim ipkpq “ 1 ` dim lppk ´ 1qpq ´ dim lpkpq.

§3.4 若干应用 95

k 是间隙数当且仅当存在以 p 为 k ´ 1 重零点的全纯微分.

如果 ng ą g, 则称 p 为 M 的Weierstrass 点. 因此 p 为 Weierstrass 点当且

仅当 ipgpq ‰ t0u, 即存在非零全纯微分, 使得 p 为至少 g 重零点.

假设 p为 Weierstrass点, ω 为全纯微分, p为 ω 的至少 g 阶零点. 在 p附近取

局部坐标 z, 使得 zppq “ 0. 设 tωiugi“1 为 H 的一组基, 则

ωi “ φidz, ω “

gÿ

i“1

ciωi “ p

gÿ

i“1

ciφiqdz, ci P C, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g.

因此

c1φpjq1 ppq ` c2φ

pjq2 ppq ` ¨ ¨ ¨ ` cgφ

pjqg ppq “ 0, j “ 0, 1, ¨ ¨ ¨ , g ´ 1.

这说明 p 是行列式全纯函数 ( Wronski 行列式 )

Φ “

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

φ1 ¨ ¨ ¨ φg

φ11 ¨ ¨ ¨ φ1

g

......

φpg´1q1 ¨ ¨ ¨ φ

pg´1qg

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣的零点. 因此得到

命题 3.4.29. 亏格大于零的紧致黎曼曲面上只有有限多个 Weierstrass 点.

为了研究 Weierstrass 点, 我们考察上面的行列式函数. 用 detrψ1, ¨ ¨ ¨ , ψgs 表

示 g 个全纯函数 tψiu 的 Wronski 行列式, 则有

• 如果 f 为全纯函数, 则

detrfψ1, ¨ ¨ ¨ , fψgs “ fg detrψ1, ¨ ¨ ¨ , ψgs;

• 如果 A 为 g 阶方阵, pϕ1, ¨ ¨ ¨ , ϕgq “ pψ1, ¨ ¨ ¨ , ψgqA, 则

detrϕ1, ¨ ¨ ¨ , ϕgs “ detA detrψ1, ¨ ¨ ¨ , ψgs.

为了研究 Wronski 行列式 Φ “ detrφ1, ¨ ¨ ¨ , φgs, 我们以如下的方式选取 H 的一组基: 任取 p P M , p 处有 g 个间隙数 tniu. 取 ω1 P H, 使得 ω1ppq ‰ 0. 当 i ą 1

时, 取 ωi P H 为以 p 为 ni ´ 1 重零点的全纯微分. 这些 tωiugi“1 显然组成了 H 的

一组基.

引理 3.4.30. 设 ϕ1, ¨ ¨ ¨ , ϕn 为 p 附近的全纯函数, 且

νppϕ1q ă νppϕ2q ă ¨ ¨ ¨ ă νppϕnq,


则

νppdetrϕ1, ¨ ¨ ¨ , ϕnsq “

nÿ

i“1

rνppϕiq ´ i` 1s.

证明. 对 n 用数学归纳法. n “ 1 时结论显然成立. 设结论对 n “ k 成立, 则

n “ k ` 1 时,

detrϕ1, ¨ ¨ ¨ , ϕk`1s “ pϕ1qk`1 detr1, ϕ2ϕ1, ¨ ¨ ¨ , ϕk`1ϕ1s

“ pϕ1qk`1 detrpϕ2ϕ1q1, ¨ ¨ ¨ , pϕk`1ϕ1q1s.

由归纳假设,

νppdetrϕ1, ¨ ¨ ¨ , ϕk`1sq “ pk ` 1qνppϕ1q `

k`1ÿ

j“2

rpνppϕjq ´ νppϕ1q ´ 1q ´ pj ´ 2qs

“ νppϕ1q `

k`1ÿ

j“2

rνppϕjq ´ j ` 1s.

这说明等式对所有 n 都成立. 对于我们在上面构造的 H 的一组基应用此引理即得

推论 3.4.31. 设 n1, n2, ¨ ¨ ¨ , ng 为 p 处的间隙数, 则

νppΦq “

gÿ

i“1

pni ´ iq.

我们记 τppq “řg

i“1pni ´ iq, 称为 p 处的权重. 显然, p 为 M 上的 Weierstrass

点当且仅当 p 的权重大于零.

为了进一步研究Weierstrass点的个数,我们引入 q 次全纯微分的概念. q 次全

纯微分是一个映射, 它在 M 的每一个坐标邻域 U 中指定一个全纯函数 fU , 且当

U X V ‰ H 时

fV “ fU pBzU

BzVqq,

其中 zU , zV 分别表示 U, V 中的坐标函数. 我们记 fU pdzU qq 为 q 次全纯微分的局

部表示. 显然, 1 次全纯微分就是全纯 1- 形式. 我们把 q 次全纯微分全体组成的线

性空间记为 Hq, q “ 1 时 H1 “ H. 完全类似地, 我们可以定义 q 次亚纯微分的概

念, 如果 ω “ fdz 为全纯 (亚纯) 微分, 则 ωq “ fqpdzqq 为 q 次全纯 (亚纯) 微分.

命题 3.4.32. 设 tωiugi“1 为 H 的一组基, ωi 的局部表示为

ωi “ φidz, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g,

则 Φpdzqm “ detrφ1, ¨ ¨ ¨ , φgspdzqm 为 M 上的 m “ 12gpg ` 1q 次全纯微分.

§3.4 若干应用 97

证明. 在另一局部坐标 w 下, 设 ωi “ ϕidw, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g, 则

ϕi “ φipBz

Bwq,

由 Wronski 行列式的性质和函数的复合求导, 不难算出

detrϕ1, ¨ ¨ ¨ , ϕgs “ pBz

Bwqm detrφ1, ¨ ¨ ¨ , φgs.

其中 m “12gpg` 1q. 根据 m次全纯微分的定义即知 Φpdzqm 是 M 上的 m次全纯

微分. 对于 q 次亚纯微分, 和通常的亚纯微分一样, 我们也可以定义诱导因子. 我们

有

命题 3.4.33. 设 Ψ 为 M 上的 q 次非零全纯微分, 则

p1q Ψ 诱导的因子 pΨq 线性等价于 qK, 其中 K 为典范因子;

p2q M 上所有点的权重之和满足等式

ÿ

pPM

τppq “ gpg ´ 1qpg ` 1q.

p3q 设 K 为 M 上的典范因子, 则有线性空间之间的同构

lpqKq – Hq.

特别地, 当 g “ 1 时 dimHq “ 1 pq ě 1q; 当 g ą 1 时

dimHq “

$

&

%

g, q “ 1,

p2q ´ 1qpg ´ 1q, q ą 1.

证明. p1q取全纯微分 ω 使得 K “ pωq. 当 Ψ为 q 次亚纯微分时, f “ Ψωq 为

M 上的亚纯函数, 因此

pΨq “ pωqq ` pfq “ qK ` pfq.

p2q 由 p1q 知

dpΦpdzqmq “ mdpKq “12gpg ` 1qp2g ´ 2q “ gpg ´ 1qpg ` 1q.

根据前面的结论,

ÿ

pPM

τppq “ÿ

pPM

νppΦq “ dpΦpdzqmq “ gpg ´ 1qpg ` 1q.


p3q 取全纯微分 ω 使得 K “ pωq, 则

f P lpqKq ðñ pfq ` qK ě 0 ðñ fpωqq P Hq,

这就得到了两个线性空间之间的同构. 其它的结论可以从 Riemann-Roch 公式算

出, 留作习题. 从这个命题立即得到下面的推论:

推论 3.4.34. 亏格为 g 的紧致黎曼曲面上至多有 gpg´1qpg`1q个Weierstrass

点; 当 g ě 2 时, M 上总存在 Weierstrass 点.

这个推论给出了 Weierstrass 点的一个上界估计. 为了得到下界估计, 我们需

要进一步讨论间隙数. 假设

α1 ă α2 ă ¨ ¨ ¨ ă αg, α1 ą 1, αg “ 2g

是 p P M 处的前 g 个非间隙数.

命题 3.4.35. 对 1 ď j ă g, 我们有

αj ` αg´j ě 2g.

证明. 如果 αj ` αg´j ă 2g, 则对任意 k ď j, 仍有 αk ` αg´j ă 2g. 我们注意

到,如果 α, β 不是间隙数,则分别存在亚纯函数 f , g 分别以 p为 α阶和 β 阶极点,

从而 fg 以 p 为 α ` β 阶极点, 因此 α ` β 也不是间隙数. 这说明至少有 j 个间隙

数严格地位于 αg´j 和 αg 之间, 于是至少有 pg ´ jq ` j ` 1 “ g ` 1 个非间隙数在

1 与 2g 之间, 这是不可能的.

命题 3.4.36. 如果 α1 “ 2, 则 αj “ 2j, 从而对 1 ď j ă g, 有

αj ` αg´j “ 2g.

证明. 如果 α1 “ 2, 则 α1, 2α1, ¨ ¨ ¨ , gα1 仍为非间隙数, 因此它们构成了不超过

2g 的全部非间隙数.

命题 3.4.37. 如果 α1 ą 2, 则存在 j, 1 ď j ă g, 使得

αj ` αg´j ą 2g.

证明. (反证法) 假设 αj ` αg´j “ 2g 总成立. 我们约定 α0 “ 0. 于是

α1, 2α1, ¨ ¨ ¨ , r2gα1sα1

§3.4 若干应用 99

是不超过 2g 的非间隙数. 由于 α1 ą 2, 这些非间隙数最多有23g ă g 个, 因此还有

其它不超过 2g 的非间隙数, 取一个这样的最小数, 记为 α, 则存在 l, 使得

1 ď l ď r2gα1s ă g, lα1 ă α ă pl ` 1qα1.

因此不超过 α 的非间隙数为

α1, α2 “ 2α1, ¨ ¨ ¨ , αl “ lα1, αl`1 “ α.

由假设,

α1 ` αg´pl`1q “ α1 ` 2g ´ αl`1 “ 2g ´ pα´ α1q ą 2g ´ lα1 “ αg´l.

因此非间隙数 α1 ` αg´pl`1q “ αg´r, r ă l. 这就给出了等式

α1 ` 2g ´ α “ 2g ´ αr “ 2g ´ rα1,

从而 α “ p1 ` rqα1, 这和 α 的选取相矛盾.

推论 3.4.38. 对于非间隙数, 有g´1ÿ

j“1

αj ě gpg ´ 1q,

且等号成立当且仅当 α1 “ 2.

证明. 证明留作习题.

定理 3.4.39. 设 g ě 2. 则 p P M 处的权重满足不等式

τppq ď12gpg ´ 1q,

且等号成立当且仅当 p 处的最小非间隙数为 2.

证明. 设 p 的间隙数为

1 “ n1 ă n2 ă ¨ ¨ ¨ ă ng ă 2g,

其前 g 个非间隙数为

2 ď α1 ă α2 ă ¨ ¨ ¨ ă αg “ 2g.

则

τppq “

gÿ

j“1

pnj ´ jq “

2ÿ

j“1

g ´

gÿ

j“1

αj ´

gÿ

j“1

j

“

2gÿ

j“g`1

j ´

g´1ÿ

j“1

ď32gpg ´ 1q ´ pg ´ 1q

“12gpg ´ 1q,

等号成立当且仅当 α1 “ 2.


推论 3.4.40. 设 g ě 2, 则 M 至少有 2g`2 个 Weierstrass点, 且 M 有 2g`2

个 Weierstrass 点当且仅当它是超椭圆型的.

证明. 设 M 的 Weierstrass 点个数为 W , 则

12gpg ´ 1qW ě

ÿ

pPM

τppq “ gpg ´ 1qpg ` 1q,

因此 W ě 2g ` 2. 如果等号成立, 则对于每一个 Weierstrass 点 p, 均有

τppq “12gpg ´ 1q,

这时 p 的最小非间隙数为 2, 从而存在 M 上的亚纯函数以 p 为双极点, 特别地, M

是超椭圆型的.

反之, 设 M 是超椭圆型的, x : M Ñ S 是重数为 2 的亚纯函数. 在 p8q 中我

们已经证明 x有 2g` 2个分歧点 p1, ¨ ¨ ¨ , p2g`2. 我们来说明这些分歧点就是 M 的

Weierstrass 点. 事实上, 如果 pi 为 x 的极点, 则 pi 必为 2 重极点, x 无其它极点,

从而 pi 的第二个间隙数大于 2, 它的第 g 个间隙数就大于 g, 即 pi 为 Weierstrass

点. 如果 xppiq P C, 则 pi 是函数

1x´ xppiq

的 2重极点,同理可知 pi 为Weierstrass点. 这些Weierstrass点的最小非间隙数为

2, 因此它们的权重均满足

τppiq “12gpg ´ 1q.

从而2g`2ÿ

i“1

τppiq “ p2g ` 2q12gpg ´ 1q “ gpg ´ 1qpg ` 1q “

ÿ

pPM

τppq,

这说明 tpiu 为所有的 Weierstrass 点. 从推论的证明过程可以得到以下事实: 设 x1, x2 均为超椭圆型曲面上的重数

为 2的亚纯函数,则 x1 和 x2 仅相差黎曼球面的一个全纯同构 (分式线性变换).事

实上, 取 p 为一个 Weierstrass 点, 则 p 是 x1 和 x2 的分歧点. 利用上述推论中的

做法, 在经过适当的分式线性变换后, 可以假设 p 为 x1, x2 的 2 重极点, 即

x1, x2 P lp2pq.

因为 C Ă lp2pq, dim lp2pq “ 2, 因此 x1, x2 只相差一个线性变换.

(10) 曲面的全纯自同构

设 M 为黎曼曲面,我们用 AutpMq表示 M 的全纯自同构群,我们在前面的章

节中已经能计算 AutpDq, AutpCq 以及 AutpSq. 现在我们对一般的紧致黎曼曲面的

全纯自同构群略作探讨.

§3.4 若干应用 101

设 G 为 AutpMq 的有限子群. 设 p P M , 令

Gp “ tg P G | gppq “ pu,

则 Gp 为 G 的子群, 称为 p 处的迷向子群. 我们来说明迷向子群均为循环群.

引理 3.4.41. 设 M “ D,C 或 S, 则 AutpMq 的有限子群在 p P M 处的迷向

子群 Gp 为循环群.

证明. 当 M “ D 时, 不妨设 p “ 0, 则对任意 g P Gp, 存在 n, 使得 gnpzq ” z.

这说明 |g1p0q| “ 1, 由 Schwarz 引理, g 是一个旋转. 易见旋转群的有限子群必为循

环群, 从而 Gp 为循环群.

当 M “ C 时, 不妨设 p “ 0, 此时 g P Gp 形如 gpzq “ λz. 同理, g 也是一个旋

转, 从而 Gp 为循环群.

当 M “ S 时, 不妨设 p “ 8, 此时 g P Gp 形如 gpzq “ az ` b, a P C˚. 如果

a “ 1, 则 gnpzq “ z ` nb, 因此 b “ 0, 即 g “ 1. 当 a ‰ 1 时, gpzq 除了 8 以外还有

一个不动点. 我们断言, 这些不动点都是同一个点. 事实上, 如果 g, h P Gp, 则

ghg´1h´1pzq “ z ` b P Gp,

根据刚才的讨论, b “ 0, 即 gh “ hg. 如果 z0 P C 是 g 的不动点, 则

gphpz0qq “ hpgpz0qq “ hpz0q,

即 hpz0q P C 也是 g 的不动点, 因而 hpz0q “ z0.

现在设 z0 P C 是 Gp 的公共不动点, 令 hpzq “ z ` z0, 则 h´1Gph 保持 0 和 8

不动, 这就转化为了 M “ C 的情形. 这说明 h´1Gph 为循环群, 从而 Gp 也是循环

群. 对于一般的黎曼曲面 M ,通过把全纯同构提升为 M 的万有复迭空间 M 上去,

根据单值化定理和上面的引理, 我们同样知道有限迷向子群 Gp 必为循环群.

设 G 为 AutpMq 的有限子群. 我们在 M 中定义等价关系 „ 如下: p „ q 当且

仅当存在 g P G 使得 q “ gppq. 等价类的全体记为 MG, 在 MG 上定义商拓扑,

使得商投影

π : M Ñ MG

为连续的开映射. 易见 MG 仍为 Hausdorff 空间. 我们现在在 MG 上定义复结

构如下: 设 p P M , 如果迷向子群 Gp 为平凡群, 则 π 在 p 附近是一一的, 将 M 在

p附近的局部坐标通过 π´1 拉回就成为 MG在 πppq附近的局部坐标.如果 Gp 非

平凡, 则在 p 的适当坐标 z 下, g P Gp 可局部表示为

gpzq “ e2π

?´1

n z.


此时 zn 可视为 MG 在 πppq 附近的局部坐标. 总之, 商空间 MG 仍为黎曼曲面,

而 π 为全纯映射, 其分歧点是那些迷向子群非平凡的点.

利用上面的构造, 我们有

命题 3.4.42. 设 M 是亏格为 g 的紧致黎曼曲面, 则 M 是超椭圆型的当且仅

当存在 J P AutpMq, 使得 J2 “ 1, 且 J 有 2g ` 2 个不动点.

证明. 只要证明充分性即可. 设 J 为满足条件的自同构, 则 J 生成了 AutpMq

中的 2 阶子群 xJy, 考虑商空间 MxJy 以及商投影:

π : M Ñ MxJy,

π 的重数为 2, 其分歧点为 J 的不动点, 且每个分歧数皆为 1. 因此 π 的总分歧数

为

Bπ “ 2g ` 2.

由 Riemann-Hurwitz 定理容易计算出, MxJy 的亏格为 0, 这说明 π 为 M 上重数

为 2 的亚纯函数, 因此 M 是超椭圆型的. 满足条件 J2 “ 1 的全纯自同构 J 称为对合同构. 根据 p9q 中的讨论, 上述命

题中对合自同构的不动点正好为 M 的所有 Weierstrass 点. 下面我们说明超椭圆

型的曲面上的这种对合同构是惟一的.

命题 3.4.43. 设 M 是亏格为 g 的超椭圆型黎曼曲面, T 为非平凡全纯自同

构. 如果 T 的不动点至少有 5 个, 则 T “ J , 其中 J 是保持 Weierstrass 点不动的

全纯对合同构.

证明. 设 x : M Ñ S 是 M 上重数为 2 的亚纯函数. 则 x ˝ T 也是 M 上重数为

2 的亚纯函数, 根据 p9q 中的讨论, 存在分式线性变换 A P AutpSq, 使得

x ˝ T “ A ˝ x.

记 T 的不动点集为 µpT q, 则 xpµpT qq 中的点均为 A 的不动点. 如果 µpT q 中至少

有 5 个点, 则 xpµpT qq 中至少有 3 个不同的点 (因为 x 重数为 2), 从而 A 至少有 3

个不动点, 因此 A “ 1. 这说明

x “ x ˝ T,

即 T 是由 x 决定的对合同构. 注. 从证明可以看出, 如果 T P AutpMq 的不动点含有一个 Weierstrass 点, 则

T 至多有两个其它的不动点, 除非 T “ 1 或 J ; 如果 T ‰ 1, J 的不动点含有两

个 Weierstrass 点, 则它至多还有一个其它不动点; 如果 T ‰ 1 的不动点含有三个

Weierstrass 点, 则 T “ J .

§3.4 若干应用 103

推论 3.4.44. 超椭圆型曲面的具有 2g ` 2 个不动点的全纯对合自同构是惟一

的, 且它属于 AutpMq 的中心.

证明. 惟一性是上面命题的直接推论.如果 J 为具有 2g` 2个不动点的对合自

同构, 则 T´1JT 亦然, @ T P AutpMq, 这说明 T´1JT “ J . 下面我们考虑亏格 g ě 2 的一般曲面上的全纯自同构群.

命题 3.4.45. 设 1 ‰ T P AutpMq, 则 T 至多有 2g ` 2 个不动点.

证明. 因为 T 为自同构,特别地它是非退化的,因此它的不动点集是离散的,从

而只有有限多个. 取 p P M , 使得 T ppq ‰ p. 在 lppg ` 1qpq 中取非常值亚纯函数 f ,

考虑函数

h “ f ´ f ˝ T.

h 的极点为 p 或 T´1ppq, 因此重数不超过 2pg ` 1q. T 的不动点均为 h 的零点, 因

此其个数不超过 2g ` 2. 我们注意到, 全纯自同构将 Weierstrass 点映为 Weierstrass 点, 假设 W 为 M

的 Weierstrass 点集合, 则 M 的自同构诱导了 W 的一个置换, 因此有群同态:

λ : AutpMq Ñ SW ,

其中 SW 表示 W 的置换群.

定理 3.4.46 (Schwarz). 设 M 的亏格 g ě 2, 则 AutpMq 为有限群.

证明. 我们已经得到从 AutpMq 到有限群 SW 的同态

λ : AutpMq Ñ SW .

如果 M 是非超椭圆型的, 则它的 Weierstrass 点个数大于 2g ` 2, 因此由上面的命

题, Kerλ “ t1u. 此时 λ 为单同态, 从而 AutpMq 为有限群.

如果 M 是超椭圆型的, 则根据上面的讨论, Kerλ “ t1, Ju, 其中 J 是 M 对合

自同构. 此时 AutpMq 也是有限群. 下面我们来给出 AutpMq的阶的估计.为了方便起见,记 G “ AutpMq, N “ |G|

表示 G 的阶数 (元素个数). 考虑全纯投影

π : M Ñ MG,

我们知道 π 的重数为 N , 设 MG 的亏格为 δ. 点 p P M 为 π 的分歧点当且仅当

|Gp| ą 1, 此时 p 处的分歧数为 p|Gp| ´ 1q, 因此 π 的总分歧数为

Bπ “ÿ

pPM

p|Gp| ´ 1q.


与 p 等价的点个数为 |GGp|, 每一个这样的点的分歧数均为 p|Gp| ´ 1q. 因此, 设

tp1, ¨ ¨ ¨ , pku 是互不等价的分歧点, 记 νj “ |Gpj| ě 2, j “ 1, ¨ ¨ ¨ , k, 则

Bπ “

kÿ

j“1

|GGpj |p|Gpj | ´ 1q “ Nk

ÿ

j“1

p1 ´1νj

q.

由 Riemann-Hurwitz 公式, 有

2g ´ 2 “ 2Npδ ´ 1q `Nk

ÿ

j“1

p1 ´1νj

q. (3.3)

以下分情况讨论:

p1q δ ě 2. 此时, 由 p3.3q 即得

2g ´ 2 ě 2N,

因此

|G| “ N ď g ´ 1.

p2q δ “ 1. 此时, p3.3q 成为

2g ´ 2 “ Nk

ÿ

j“1

p1 ´1νj

q,

因为上式左端大于零, 因此 k ě 1. 这表明

2g ´ 2 ě Np1 ´12

q,

因此

|G| “ N ď 4pg ´ 1q.

p3q δ “ 0. 此时, p3.3q 成为

2g ´ 2 “ Np

kÿ

j“1

p1 ´1νj

q ´ 2q, (3.4)

因为左端为正, 故 k ě 3. 如果 k ě 5, 则

2g ´ 2 ě Np5 ¨12

´ 2q “12N,

从而 |G| ď 4pg ´ 1q; 如果 k “ 4, 则 νj 不能全为 2 (否则 p3.4q 右端为零), 这说明

2g ´ 2 ě Np3 ¨12

`23

´ 2q “16N,

§3.4 若干应用 105

即 |G| “ N ď 12pg ´ 1q; 最后我们考虑 k “ 3 的情形. 把 p3.4q 改写为

2g ´ 2 “ Np1 ´

3ÿ

j“1

1νj

q, (3.5)

不妨设 ν1 ď ν2 ď ν3. 如果 ν1 “ 2, 则 ν2 ě 3. 当 ν2 “ 3 时, ν3 ě 7. 此时

2g ´ 2 ě Np1 ´12

´13

´17

q “142N,

因此 |G| ď 84pg ´ 1q; 如果 ν1 “ 2, ν2 “ 4, 则 ν3 ě 5. 此时

2g ´ 2 ě Np1 ´12

´14

´15

q “120N,

因此 |G| ď 40pg ´ 1q; 如果 ν1 “ 2, ν2 ě 5, 则 ν3 ě 5, 此时

2g ´ 2 ě Np1 ´12

´ 2 ¨15

q “110N,

因此 |G| ď 20pg ´ 1q; 如果 ν1 “ 3, 则 ν2, ν3 中至少有一个比 3 大, 此时

2g ´ 2 ě Np1 ´ 2 ¨13

´14

q “112N,

因此 |G| ď 24pg ´ 1q; 如果 ν1 ě 4, 则 ν2, ν3 ě 4, 此时

2g ´ 2 ě Np1 ´ 3 ¨14

q “14N,

因此 |G| ď 8pg ´ 1q. 综合这些估计, 我们得到

定理 3.4.47 (Hurwitz). 亏格 g ě 2 的紧致黎曼曲面的全纯自同构群的阶数不

超过 84pg ´ 1q.

我们注意到, 全纯投影 π : M Ñ MG 的总分歧数

Bπ “ÿ

pPM

p|Gp| ´ 1q

可以解释为所有迷向子群 Gp 中非单位元的元素个数,而一个非单位元出现的次数

正好是它的不动点的个数, 因此上式也可写为

Bπ “ÿ

g‰1

νpgq,

其中 νpgq 表示 g P G 的不动点的个数. 利用这个观察, 我们来改进全纯自同构不

动点个数的估计.

命题 3.4.48. 设 g ě 2, T P AutpMq, T ‰ 1. 则 T 的不动点个数 νpT q 满足

νpT q ď 2 `2g

|T | ´ 1,

其中 |T | 表示 T 的阶.


证明. 记 T 生成的有限循环群为 xT y, 其阶为 |T |. 考虑全纯投影

π : M Ñ MxT y.

设 MxT y 亏格为 δ. 由 Riemann-Hurwitz 定理,

2g ´ 2 “ 2|T |pδ ´ 1q `

|T |´1ÿ

j“1

νpT jq.

因为 T 的不动点皆为 T j 的不动点, 故

2g ´ 2 ě 2|T |pδ ´ 1q ` νpT qp|T | ´ 1q,

从而易得 νpT q 的估计.

推论 3.4.49. 如果 M 是非超椭圆型的, 则

νpT q ď 2g ´ 1.

证明. 如果 |T | “ 2, 则由于 M 是非超椭圆型的, δ ě 1. 此时

2g ´ 2 “ 2|T |pδ ´ 1q ` νpT q ě νpT q;

如果 |T | ě 3, 则

νpT q ď 2 ` g ď 2g ´ 1,

最后的不等式是因为非超椭圆型的曲面亏格不小于 3.

习题 3.4

1. 证明, 紧致黎曼曲面 M 的亏格为 1 当且仅当 M 上存在处处非零的全纯微分.

2. 设 f : M Ñ N 是亏格分别为 gM , gN 的紧致黎曼曲面之间的全纯映照. 不用

Riemann-Hurwitz 定理, 直接证明, 如果 f 非平凡, 则必有 gM ě gN .

3. 证明, 亏格大于 1 的紧致黎曼曲面的万有复迭空间必定全纯同构于 D.

4. 设紧致黎曼曲面 M 的亏格 g ě 1. D 为 M 上的因子. 证明, 当 dpDq ě 1 时,

dim lpDq ď dpDq. 说明这个上界是最佳的.

5. 考虑 CΛ 上的因子 2r0s, 3r0s, 证明

lp2r0sq “ spant1, pu, lp3r0sq “ spant1, p, p1u.

§3.5 Abel-Jacobi 定理 107

6. 证明, 黎曼曲面 CΛ 上的椭圆函数 p 可表示为

ppzq “1z2

´ÿ

ωPΛ´t0u

r1

pz ´ ωq2´

1ω2

s.

7. 设 M 为紧黎曼曲面, p1, p2, ¨ ¨ ¨ , pn 为 M 上 n个不同点, 而 c1, c2, ¨ ¨ ¨ , cn 为黎

曼球面 S 上的 n 个不同点. 证明, 存在 M 上的亚纯函数 f , 使得 fppiq “ ci,

i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , n.

8. 证明, 存在全纯嵌入 CPm ˆ CPn Ñ CPmn`m`n.

9. 证明, 亏格大于 1 的紧致黎曼曲面到自身的非常值全纯映射必为全纯同构.

10. 证明, 平面曲线 trzs P CP 2 | z0z1 ` z1z2 ` z2z0 “ 0u 与黎曼球面全纯同构.

11. 证明, p P M 为 Weierstrass 点当且仅当存在亚纯函数 f 以 p 为惟一极点, 且

重数不超过 g.

12. 设 f : M Ñ S 为非平凡亚纯函数, T P AutpMq, T ‰ 1. 如果 νpT q 大于 f 重数

的两倍, 则 f “ f ˝ T , 且 f 的重数是 |T | 的倍数 (提示: 考虑 f ´ f ˝ T ).

13. 证明,如果 T P AutpMq pT ‰ 1q的不动点数超过 4个,则其不动点均为Weier-

strass 点.

§3.5 Abel-Jacobi 定理

本节我们讨论这样的问题: 紧致黎曼曲面上的因子在什么条件下成为主要因

子? 显然, 必要条件是该因子次数为零, 在黎曼球面上这也是充分条件. 为了获得

亏格大于零的情形的充分条件, 我们需要一些预备知识. 首先考虑闭曲线和闭形式

之间的对偶关系.

命题 3.5.1. 设 ω 为黎曼曲面 M 上的闭 1- 形式, 如果对任意闭曲线 σ, 均有ż

σ

ω “ 0,

则 ω 为恰当形式.

证明. 固定 p0 P M , 定义函数 f : M Ñ C 如下:

fppq “

ż

σp0p

ω,

其中 σp0p 是连接 p 和 p0 的曲线. 由于 ω 在闭曲线上的积分为零, 因此 f 的定义

与连接 p 和 p0 的曲线的选取无关. 显然有 df “ ω.


命题 3.5.2. 设 σ 为紧致黎曼曲面 M 上的闭曲线, 则存在惟一的调和 1- 形

式 ωσ, 使得对于任意闭的 1- 形式 η, 均有

ż

σ

η “

ż

M

ωσ ^ η.

证明. 设 σ : r0, 1s Ñ M 为 M 上的闭曲线, σp0q “ σp1q. 选取 r0, 1s 的分划

0 “ t0 ă t1 ă ¨ ¨ ¨ ă tn “ 1

使得对于 j “ 1, ¨ ¨ ¨ , n, σprtj´1, tjsq包含于 M 的一个坐标圆盘 Dj 中. 其中, 在 Dj

上有坐标函数 zj , 使得 zjpDjq “ D. 我们还可以选取 0 ă r ă 1, 使得

σprtj´1, tjsq Ă Djr “ tp P Dj | |zjppq| ă ru.

考虑 Djr 中的亚纯函数 rz´ zpσptjqqsrz´ zpσptj´1qqs´1,它具有单零点 σptjq与单极

点 σptj´1q. 我们现在将它光滑地延拓到整个 M 上. 为此, 取 1 ą r1 ą r, 设 ψj 是

M 上的光滑截断函数, 满足条件

ψjppq “ 1, @ p P Djr; ψjppq “ 0, @ p P M ´Dj

r1 .

另外, 函数 logrz ´ zpσptjqqsrz ´ zpσptj´1qqs´1 在 Dj ´ Djr 上有定义好的单值化分

支. 定义函数 fj : M ´ tσptj´1qu Ñ C 如下:

fjppq “

$

&

%

exprψj logrz ´ zpσptjqqsrz ´ zpσptj´1qqs´1s, p P M ´Djr,

z ´ zpσptjqq

z ´ zpσptj´1qq, p P Dj

r.

fj 在 M ´Dj 上恒为 1, 因此是定义好的光滑函数. 令 f “ f1f2 ¨ ¨ ¨ fn, 则 f 是整个

M 上都可以定义的且处处非零的光滑函数. 令

ω1 “1

2π?

´1df

f,

则 ω1 为 M 上的光滑 1- 形式. 设 η 为 M 上的闭 1- 形式, 我们证明

ż

σ

η “

ż

M

ω1 ^ η.

事实上,选取以 σptjq为中心的坐标圆盘Bj . 在每个Dj内存在函数 gj 使得 η “ dgj .


我们计算如下ż

M

ω1 ^ η “ limεÑ0

ż

M´YjBjε

ω1 ^ η

“ limεÑ0

nÿ

j“1

12π

?´1

ż

M´YjBjε

dfj

fj^ η

“ limεÑ0

nÿ

j“1

12π

?´1

ż

Dj´Bj´1ε ´Bj

ε

dfj

fj^ η

“ limεÑ0

nÿ

j“1

12π

?´1

ż

Dj´Bj´1ε ´Bj

ε

dfj

fj^ dgj

“ limεÑ0

nÿ

j“1

12π

?´1

ż

Dj´Bj´1ε ´Bj

ε

´drgjdfj

fjs

“

nÿ

j“1

limεÑ0

12π

?´1

p

ż

BBj´1ε

`

ż

BBjε

qgjdfj

fj

“

nÿ

j“1

rgjpσptjqq ´ gjpσptj´1qqs

“

nÿ

j“1

ż

σ|rtj´1,tj s

dgj

“

ż

σ

η.

上面的计算过程用到了 Stokes公式. 现在,根据 Hodge分解,存在调和 1-形式 ωσ,

使得

ω1 “ ωσ ` dg,

其中 g 为 M 上光滑函数. 根据 Stokes 公式以及前面的命题, ωσ 为所求的惟一调

和 1- 形式. 我们把命题中得到的调和 1- 形式 ωσ 称为闭曲线 σ 的对偶形式.

命题 3.5.3. 设 σ 为闭曲线, f 为 σ 附近有定义的处处非零的光滑复函数, 则

积分1

2π?

´1

ż

σ

df

f

为整数.

证明. 我们可以用前一命题的证明方法证明,也可以用下面的方法: 考虑 M 的

万有复迭空间 M 及复迭映射 π : M Ñ M , M 上的闭曲线 σ 可以提升为 M 上的

曲线 σ : r0, 1s Ñ M , πpσp1qq “ πpσp0qq “ σp0q. 单连通曲面 M 上的处处非零函数

π˚f “ f ˝ π 可以求对数函数, 即

π˚f “ eg,


其中 g 为 M 上的光滑函数, 且

egpσp1qq “ fpσp1qq “ fpσp0qq “ egpσp0qq.

这说明 gpσp1qq ´ gpσp0qq P 2π?

´1 Z. 从而

12π

?´1

ż

σ

df

f“

12π

?´1

ż

σ

π˚ df

f

“1

2π?

´1

ż

σ

dg

“1

2π?

´1rgpσp1qq ´ gpσp0qqs P Z,

命题得证. 现在, 假设闭曲线 σ 和 τ 的对偶形式分别为 ωσ 和 ωτ , 根据上述命题的证明,

我们知道积分ż

M

ωσ ^ ωτ “

ż

σ

ωτ

总是整数, 称为这两条曲线 σ 和 τ 的相交数. 直观上来看, 相交数是这两条曲线互

相穿越的 (几何) 次数. 根据闭曲面的光滑分类, 亏格为 g 的闭曲面上总存在绕过

给定点的 2g 条闭曲线 σ1, σ2, ¨ ¨ ¨ , σ2g, 使得这些闭曲线交于一个公共点, 且它们之

间的相交数满足以下条件: σi 与 σg`i p1 ď i ď gq 的相交数为 1, σg`i 与 σi 的相交

数为 ´1,其它的相交数均为 0. 沿着这些闭曲线将曲面 M 割开后就得到一个有 4g

条边的多边形. 或者说, M 可以看成从一个 4g 边形将它的 4g 条边两两叠合而来,

我们用 σ1σg`1σ´11 σ´1

g`1 ¨ ¨ ¨σgσ2gσ´1g σ´1

2g 来表示这个多边形, 它也可以看成是 M 的

万有复迭空间中的一个区域 P , P 的边界仍用这些 σi 表示.

σ−1

g+i

σ−1

i

σg+i

σi

σ−1

g+1

σ−1

1σg+1

σ1

图 3.1


定理 3.5.4 (双线性关系). 设 η 为 M 上具有单极点 tp1, p2, ¨ ¨ ¨ , pku 的亚纯微

分, ω 为 M 上的全纯微分. 如上选取 2g 条不经过这些极点的闭曲线 tσiu, 记

Πi “

ż

σi

ω, Ni “

ż

σi

η, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 2g.

则有g

ÿ

i“1

pΠiNgì ´ ΠgìNiq “ 2π?

´1k

ÿ

j“1

Respj pηq

ż pj

p0

ω,

其中, p0 是单连通区域 M0 “ M ´ tσ1, ¨ ¨ ¨ , σ2u 中的一点,şpj

p0ω 表示 ω 沿着连接

p0 与 pj 且落在区域 M0 中的曲线上的积分.

证明. 定义映射 I : M0 Ñ C 为

Ippq “

ż p

p0

ω,

则 I 是定义好的光滑函数, 且在 M0 上有 dI “ ω. 根据留数定理的证明, 我们有

ż

BM0

Iη “ 2π?

´1k

ÿ

j“1

Respj pIηq “ 2π?

´1k

ÿ

j“1

Respj pηq

ż pj

p0

ω (3.6)

另一方面, 我们也可在 P 上计算如下ż

σi

Iη `

ż

σ´1i

Iη “

ż

σi

pIpzq ´ Ipz´1qqη,

其中, 如果 z 表示 σi 上的点, 则用 z´1 表示 σ´1i 上对应的点.

σ−1

g+i

σ−1

i

σg+i

σiz−1

z

p0

图 3.2

另一方面, 由 ω 为闭形式得

Ipzq ´ Ipz´1q “ ´

ż

σgì

ω “ ´Πgì,

从而有ż

σi

Iη `

ż

σ´1i

Iη “ ´Πgì

ż

σi

η “ ´ΠgìNi.


同理可得ż

σgì

Iη `

ż

σ´1gì

Iη “ ΠiNgì.

这两个等式结合起来就推出

ż

BM0

“

gÿ

i“1

pΠiNgì ´ ΠgìNiq. (3.7)

由 p3.6q 及 p3.7q 就得到了欲证结果. 从上述定理的证明过程中我们实际上可以得到下面的等式

ż

M

ω ^ η “

gÿ

i“1

r

ż

σi

ω

ż

σgì

η ´

ż

σgì

ω

ż

σi

ηs,

其中 ω, η 为任意光滑的闭 1- 形式. 这也称为双线性关系. 下面我们来介绍双线性

关系的简单应用.

命题 3.5.5. 设 tσiu 如上. 如果 ω 为全纯微分, 且ż

σi

ω “ 0, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g,

则 ω 恒为零.

证明. 由已知条件, 我们也有ż

σi

ω “ 0, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g.

从而由双线性关系得

ω2 “

ż

M

ω ^ ˚ω “?

´1ż

M

ω ^ ω “ 0,

因此 ω “ 0.

推论 3.5.6. 存在 H 的一组基 tωiugi“1, 使得

ż

σi

ωj “ δij , 1 ď i, j ď g.

证明. 设 ω1i pi “ 1, ¨ ¨ ¨ , gq 为 H 的一组基. 我们断言 g 阶方阵

`

ż

σi

ω1j

˘

gˆg

是非退化的. 事实上, 设 cj P C, 使得

nÿ

j“1

cj

ż

σi

ω1j “ 0, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g,


则ż

σi

r

nÿ

j“1

cjω1js “ 0, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g.

这说明řn

j“1 cjω1j “ 0, 从而 cj “ 0, j “ 1, ¨ ¨ ¨ , g. 现在对基 tω1

iu 做适当的线性变换

就可得到所需要的新的基. 我们把满足引理条件的基 tωiu 称为 H 的一组典则基. 记

Z “`

ż

σgì

ωj

˘

gˆg,

则有

命题 3.5.7. Z 为 g 阶对称方阵, 且其实部是正定对称的.

证明. 根据双线性关系, 我们有

0 “

ż

M

ωi ^ ωj “

gÿ

k“1

rδki

ż

σg`k

ωj ´ δkj

ż

σg`k

ωis “

ż

σgì

ωj ´

ż

σg`j

ωi.

这说明 Z 是对称矩阵. 同理,ż

M

ωi ^ ωj “ ´?

´1 Imp

ż

σgì

ωjq.

因此, 当 ci P R 时, 令 ω “řg

i“1 ciωi, 则

0 ď ω2 “?

´1ż

M

ω ^ ω

“?

´1g

ÿ

j,k“1

cjck

ż

M

ωj ^ ωk

“

gÿ

j,k“1

Imp

ż

σg`j

ωkqcjck.

这说明 ImZ 为正定矩阵. 下面我们来定义所谓的 Abel-Jacobi 映射.

命题 3.5.8. 设 tσiu 如前. 记 ωσi 为闭曲线 σ 的对偶调和形式. 则

p1q tωσiu 是 M 上调和 1- 形式空间 H1 的一组基;

p2q 如果 σ 为闭曲线, 则其对偶形式可表示为

ωσ “

gÿ

i“1

pngì ωσi ´ ni ωσgìq,

其中 ni 是 σ 与 σi 的相交数.


证明. p1q 只要证明 tωσiu 线性无关即可. 设 ci P C, 使得

2gÿ

i“1

ciωσi “ 0,

则对 1 ď j ď 2g, 有

0 “

ż

M

p

2gÿ

i“1

ciωσi ^ ωσj q,

由 tσiu 的选取知, 当 1 ď j ď g 时, 上式给出 0 “ ´cg`j ; 当 g ` 1 ď j ď 2g 时, 上

式给出 0 “ cj´g. 从而 cj “ 0, 1 ď j ď 2g.

p2q 证明留作习题. 对任意闭曲线 σ, 定义线性泛函 ϕpσq : H Ñ C 为

ϕpσqpωq “

ż

σ

ω.

根据刚才的命题, 所有闭曲线所生成的泛函在 g 维复线性空间 H˚ 中生成一格点

群,记为 Imϕ. 我们把商空间 (群) H˚Imϕ称为 M 的 Jacobian 簇, 也记为 JpMq,

这是一个 g 维紧致复流形 (复环面).

固定一点 p0 P M , 设 ωi pi “ 1, ¨ ¨ ¨ , gq 为 H 的一组典则基. 对于 p P M , 选择

连接 p0 至 p 的曲线, 令 µppq P H˚ 为

µppqpωq “

ż p

p0

ω, @ ω P H.

这个线性泛函跟连接 p0 至 p 的曲线有关, 然而, µppq 在商空间 JpMq 中的像与曲

线的选取无关, 我们把这个像仍记为 µppq. 这样就定义了映射 µ : M Ñ JpMq, 称

为 Abel-Jacobi 映射. 如果 D “ř

k nkpk 为一个因子, 则规定

µpDq “ÿ

k

nkµppkq P JpMq.

定理 3.5.9 (Abel). 设 M 是亏格为 g pg ě 1q 的紧致黎曼曲面, 则因子 D 为

主要因子的充要条件是 dpDq “ 0 且 µpDq “ 0 P JpMq.

在证明这个定理之前先给出两个引理.

引理 3.5.10. 设 p ‰ q 为 M 上两点, 则存在惟一的亚纯微分 ωpq, 使得

p1q ωpq 以 p, q 为单极点, 没有其它极点, 且 ωpq 在 p 处的留数为 1, 在 q 处

的留数为 ´1;

p2q 对于前述闭曲线 tσiu, 有ż

σi

ωpq “ 0, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g.


证明. 考虑因子 ´p´ q,显然, lp´p´ qq “ H. 因此,由 Riemann-Roch公式,有

0 “ dim lp´p´ qq “ dim ip´p´ qq ` dp´p´ qq ` 1 ´ g.

这说明 dim ip´p´ qq “ g` 1. 因为 H Ă ip´p´ qq 维数的为 g, 这说明 ip´p´ qq 中

存在非全纯的亚纯微分 ωpq,此亚纯微分的极点只能为 p或 q,且为单极点. 由留数

定理知 p, q 正好都是 ωpq 的极点. 通过规一化不妨假设 ωpq 在 p 处的留数为 1, 在

q 处的留数为 ´1; 剩下的证明留作习题.

引理 3.5.11. 设 ωi p1 ď i ď gq 为 H 的典范基, 则上述亚纯微分 ωpq 满足条

件ż

σgì

ωpq “ 2π?

´1ż p

q

ωi, 1 ď i ď g.

其中, 积分所沿的从 q 到 p 的曲线在 M0 pP q 内取.

证明. 对全纯微分 ωi 以及亚纯微分 ωpq 用双线性关系, 有

gÿ

j“1

p

ż

σj

ωi

ż

σg`j

ωpq ´ 0q “ 2π?

´1p

ż p

p0

ωi ´

ż q

p0

ωiq,

因为 tωiu 为典范基,ş

σjωi “ δij , 故上式立即推出我们所需要的结论.

Abel 定理的证明. 设 D 是次数为 0 的因子, 我们可以把 D 写为

D “

kÿ

j“1

ppj ´ qjq, pi ‰ qj .

如果 D “ pfq 为主要因子, 令ż

σi

df

f“ 2π

?´1αi, αi P Z, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , 2g.

由于亚纯微分df

f和

řkj“1 ωpjqj 具有相同的极点和留数, 从而

df

f´

řkj“1 ωpjqj “

řgi“1 ciωi 为全纯微分. 我们有

ci “

ż

σi

gÿ

j“1

cjωj “

ż

σi

df

f“ 2π

?´1αi, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g.

另一方面,ż

σgì

df

f´

kÿ

j“1

ż

σgì

ωpjqj “

gÿ

j“1

2π?

´1αj

ż

σgì

ωj ,

利用前面的命题和引理, 上式整理后成为

αgì ´

kÿ

j“1

ż pj

qj

ωi “

gÿ

j“1

αj

ż

σg`j

ωi.


利用 Jacobi 映射进一步改写为

µpDqpωiq “ αgì ´

gÿ

j“1

αj

ż

σg`j

ωi

“

gÿ

j“1

pαg`j

ż

σj

´αj

ż

σg`j

qωi,

因此

µpDqpωq “

gÿ

j“1

pαg`j

ż

σj

´αj

ż

σg`j

qω, @ ω P H.

由 αi P Z p1 ď i ď 2gq 即知 µpDq “ 0 P JpMq.

反之, 如果 µpDq “ 0 P JpMq, 则存在整数 βi, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , 2g 使得

µpDqpωq “ p

2gÿ

j“1

βj

ż

σj

qω, @ ω P H.

令 η “řk

j“1 ωpjqj ´ 2π?

´1řg

j“1 βg`jωj , 则ż

σi

η “ ´2π?

´1g

ÿ

j“1

βg`j

ż

σi

ωj “ ´2π?

´1βgì,

同理,ż

σgì

η “ 2π?

´1k

ÿ

j“1

ż pj

qj

ωi ´ 2π?

´1g

ÿ

j“1

βg`j

ż

σgì

ωj

“ 2π?

´1p

2gÿ

j“1

βj

ż

σj

qωi ´ 2π?

´1g

ÿ

j“1

βg`j

ż

σg`j

ωi

“ 2π?

´1p

gÿ

j“1

βj

ż

σj

qωi

“ 2π?

´1βi.

这说明, 对任意不经过 D 的闭曲线 σ, 均有ż

σ

η P 2π?

´1 Z.

因此, 如下函数 f : M Ñ S,

fppq “ expp

ż p

p0

ηq, p P M

是定义好的亚纯函数, 显然有 pfq “ D. 我们知道, 次数同态 d : D Ñ Z 是从因子群到整数加群的同态, 主要因子群 P

为 ker d 的子群, 我们称商群 ker dP 为 M 的 Picard 群, 也记为 Pic0pMq. Jacobi

映射自然诱导了加群同态:

j : Pic0pMq Ñ JpMq, jprDsq “ µpDq.


Abel 定理告诉我们, 这是一个单同态. 下面我们来说明 j 实际上是也一个满同态.

引理 3.5.12. 设 M 是亏格为 g 的紧致黎曼曲面, pU, zq 为 M 的一个局部坐

标系. 则存在 U 中 g 个不同的点 p1, ¨ ¨ ¨ , pg 以及 H 的一组基 φ1, ¨ ¨ ¨ , φg, 使得矩

阵

pfippjqqgˆg

是非退化的, 其中 fi dz 是 φi 的局部表示.

证明. 先取一非零全纯微分 φ1, φ1 在 U 中不能恒为零, 因此存在一点, 记为

p1 P U , 使得 φ1 在 p1 处非零. 因为 dim ipp1q “ g ´ 1, 我们在 ipp1q Ă H 中取全纯微分 φ2, 使得 φ2 在某点 p2 P U 处非零. 这说明 dim ipp1 ` p2q “ g ´ 2, 因此又可

以在 ipp1 ` p2q 中取全纯微分 φ3, 使得 φ3 在某点 p3 P U 处非零. 如法炮制, 我们

就得到 g 个点 p1, ¨ ¨ ¨ , pg P U , 以及 g 个非零全纯微分 φ1, ¨ ¨ ¨ , φg, 使得

φippjq “ 0, j “ 1, ¨ ¨ ¨ , i´ 1; φippiq ‰ 0.

如果在 U 内 φi “ fi dz, 则 g 阶方阵

pfippjqqgˆg

为下三角形的, 且对角线元素不为零, 因而为可逆矩阵. 显然, tφiu 为 H 的一组基.

现在设 p1, ¨ ¨ ¨ , pg 是这个引理中的 g 个点, 我们定义一个新的映射如下. 考虑

Mg (乘积流形), 令

Ψ : Mg Ñ Pic0pMq, Ψpx1, ¨ ¨ ¨ , xgq “

gÿ

i“1

pxi ´ piq mod P.

记复合映射 j ˝ Ψ 为 J .

我们有

定理 3.5.13 (Jacobi). Ψ : Mg Ñ Pic0pMq 为满射, j : Pic0pMq Ñ JpMq 为加

群同构, 因而 J : Mg Ñ JpMq 也是满射.

证明. 设 D为次数为零的因子. 考虑次数为 g的因子 D1 “ D`p1`p2`¨ ¨ ¨`pg.

由 Riemann-Roch 公式,

dim lpD1q ě dpD1q ` p1 ´ gq “ 1.

因此存在非零亚纯函数 f P lpD1q. 此时, pfq ` D1 是次数为 g 的有效因子, 因而可

以写为

pfq `D1 “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xg, xi P M, 1 ď i ď g.


这说明 Ψpx1, ¨ ¨ ¨ , xgq “ rDs P Pic0pMq, 即 Ψ 为满射.

根据 Abel 定理, j 为单射. 由于 j 为加群同态, 为了说明 j 为同构, 只要证明

j 的像包含 r0s P JpMq 的一个开邻域即可. 我们来说明, J “ j ˝ Ψ 的像的确包含这

样的一个开邻域. 为此, 取 r0s P JpMq 附近的一个局部坐标映射如下: 它将 λ P H˚

映为 pλpφ1q, ¨ ¨ ¨ , λpφgqq P Cg, 其中 tφiu 是上面引理中 H 的一组基. 在 U 中取以

pi 为中心的两两不交的坐标圆盘 Bi, Bi 上的坐标函数仍取为 z, 在这些坐标之下,

J 的局部表示为

F pz1, ¨ ¨ ¨ , zgq “ p

gÿ

j“1

ż zj

pj

f1 dz, ¨ ¨ ¨ ,g

ÿ

j“1

ż zj

pj

fg dzq,

其中, 积分所用曲线都在各自坐标圆盘中选取. 如果 F 的第 i 个分量记为 Fi, 则

BFi

Bzj“ fipzjq.

因此, 根据上面的引理, J 在 pp1, ¨ ¨ ¨ , pgq P Mg 处的 Jacobian 是非退化的. 由逆映

射定理即知 J 的像包含了一个开邻域, 这就证明了所需结论. 当 M 的亏格为 1 时, 我们可以得到从 M 到一个黎曼环面的一个明确的全纯

同构映射.

定理 3.5.14. 当 g “ 1 时, 映射 µ : M Ñ JpMq 和 J : M Ñ JpMq 均为全纯

同构.

证明. 注意到亏格为 1 时 µ 和 J 是同一类映射. 以 µ 为例, 我们说明 µ 为单

射: 如果 p ‰ q且 µppq “ µpqq,则 µpp´qq “ 0,由 Abel定理, p´q “ pfq, f : M Ñ S为亚纯函数. 此时 f 仅有一个极点,且为单极点,从而 f 为全纯同构,这与 g “ 1相

矛盾. 现在 µ : M Ñ JpMq 是从 M 到黎曼环面的全纯单射, 因此必为全纯同构. 如同亚纯函数域那样, 紧致黎曼曲面 M 的 Jacobi 簇 JpMq 也完全决定了 M ,

这是 Torelli 定理的结论, 这个定理的证明超出了本书的范围.

习题 3.5

1. 证明, 亏格为 g 的紧致黎曼曲面上存在 g 个不同的点, 使得在这些点处为零的

全纯微分必恒为零.

2. 设 tpiu 为紧致黎曼曲面 M 上 n pn ě 2q 个互不相同的点, taiu 为 n 个复数,

它们的和为零. 证明, 存在亚纯微分 ω, 使得它以 tpiu 为单极点, 且在 pi 处留

数为 ai.


3. 设 f , g 为紧致黎曼曲面 M 上的亚纯函数, 且 pfq 与 pgq 无公共点. 用双线性

关系的证明办法证明

ź

pPM

rfppqsνppgq “ź

pPM

rgppqsνppfq.

(这个结果称为 Weil 定理.)

4. 任给复数 ci pi “ 1, ¨ ¨ ¨ , gq, 证明存在全纯微分 ω, 使得ż

σi

ω “ ci, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , g.

5. 证明, Jacobi 映射 µ : M Ñ JpMq 是全纯的.

6. 设 ai, bi p1 ď i ď nq 为黎曼环面 CΛ 上的点, a1i, b

1i P C 是同一基本四边形中

投影到 ai, bi 的对应点. 证明, 因子 D “řn

i“1pai ´ biq 为主要因子当且仅当řn

i“1pa1i ´ b1

iq P Λ.

第四章曲面与上同调

在前一章, 我们利用 Hodge 定理, 用较为初等的方法证明了重要的 Riemann-

Roch公式. 本章将引入曲面上的全纯线丛,层及层的上同调等概念,并把 Riemann-

Roch 公式重新解释为一个指标公式.

§4.1 全纯线丛的定义

在第二章第二节介绍切向量场和微分形式的时候我们其实已经遇到了丛的概

念. 现在我们稍加详细地予以研究. 首先, 从先前的例子出发, 我们回顾一下切丛.

设 M 为黎曼曲面, 任给 p P M , p 处的切空间是一个实的 2 维向量空间, 其复

化 TppMq b C 是一个复 2 维向量空间, 并且有分解 TppMq b C “ TphM ‘ TphM .

如果 z “ x `?

´1 y 为 p 附近的局部复坐标, 则 TppMq “ spant BBx |p,

BBy |pu, 而

TphM “ spant BBz |pu, TphM “ spant B

Bz |pu. 令 ThM “Ť

pPM

TphM , 在 ThM 上定义拓

扑如下: 如果 U 为局部坐标邻域, 定义映射

ψ :ď

pPU

TphM Ñ U ˆ C

Xp P TphM ÞÑ pp, aq

其中, a 是 Xp 的局部表示 Xp “ a BBz |p 的系数. 我们要求 ψ 为同胚, 而 ThM 的

拓扑就是由 tŤ

pPU

TphM 中开集 |U Ă Mu 这些开集所生成. 在这个拓扑之下, 投影

π : ThM Ñ M , πpXpq “ p 为连续的开映射, 且显然 π´1pUq “Ť

pPU

TphM . 不只如此,

拓扑空间 ThM 还具有其他好的性质:

• ThM 为 2维复流形. 事实上,设 tUαu为 M 的坐标覆盖, zα “ xα `?

´1 yα 为

Uα 上的坐标函数,则 π´1pUαq为 ThM 的开覆盖,并且 pzα, idq˝ψα 为 π´1pUαq

上的坐标映射. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 转换映射形如

pzβ , idq˝ψβ ˝ψ´1α ˝pzα, idq´1pa, bq “ pzβ ˝z´1

α , pB

Bzαzβq¨bq, a P zαpUαXUβq, b P C.

这是全纯映射. 因此 ThM 为复流形, ψα 为双全纯映射.

• 投影 π : ThM Ñ M 为全纯的满射. 这从上一条性质立即可以得到.

• 考虑映射 gβα : Uα X Uβ Ñ C˚, gβαppq “ BBzα

|pzβ . 这是全纯函数, 并且满足关

系

gαα “ 1; gβα ¨ gαγ ¨ gγβ “ 1.

121

122 第四章曲面与上同调

我们把 ThM 称为 M 的全纯切丛, ψα 称为它的局部平凡化, gβα 称为连接函数.

一般地, 我们可以如下定义黎曼曲面上的全纯线丛.

定义 4.1.1 (全纯线丛). 设 M 为黎曼曲面, L 为 2 维复流形, π : L Ñ M 为

全纯满射. 如果存在 M 的开覆盖 tUαu 以及双全纯映射 ψα : π´1pUαq Ñ Uα ˆ C满足条件

p1q ψαpπ´1ppqq “ tpu ˆ C, @ p P Uα.

p2q 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 存在全纯函数 gβα : Uα X Uβ Ñ C˚, 使得

ψβ ˝ ψ´1α pp, aq “ pp, gβαppq ¨ aq, @ p P Uα X Uβ , a P C.

则称 L 为 M 上的全纯线丛, π 为丛投影.

如同全纯切丛那样,称 ψα 为局部平凡化, gβα 为连接函数. 我们还称 π´1ppq为

点 p上的纤维.由定义中的 p1q,任何纤维都和 C同胚; 进一步,由 p2q,纤维 π´1ppq

中还可自然地定义复线性结构, 使之线性同构于 C. 有时也用 Lp 表示纤维 π´1ppq.

在全纯线丛的定义中, 连接函数处于非常重要的位置. 直观地看, 一个全纯线

丛就是由这些连接函数把若干乘积空间 “粘结” 在一起形成的, 在 “粘结” 的过程

中, 要始终保持每一根纤维的线性性. 我们对这个过程用数学的语言描述如下. 首

先, 注意到连接函数满足下面的性质:

gαα “ 1, @ Uα; gβα ¨ gαγ ¨ gγβ “ 1, @ Uα X Uβ X Uγ ‰ H. (4.1)

特别地, gαβ “ pgβαq´1. 反之, 如果有这样一族全纯函数 tgαβu 满足条件 (4.1), 则

定义商空间

L “ž

α

pUα ˆ Cq ∼,

其中, 等价关系 ∼ 定义如下: 任给 pp, aq P Uα ˆ C, pq, bq P Uβ ˆ C, 规定

pp, aq ∼ pq, bq ðñ p “ q, b “ gβαppqa.

L 的拓扑由商拓扑给出. 用 rp, as 表示 pp, aq 的等价类, 定义投影 π : L Ñ M 为

πprp, asq “ p. 则不难验证 L 在投影 π 之下成为 M 上的全纯线丛.

例 4.1.1. 平凡线丛.

令 L “ M ˆ C, π : L Ñ M 是向第一个分量的投影. 则显然, L 为 M 上的全纯

线丛, 其平凡化为恒同映射, 连接函数恒为 1.

例 4.1.2. 全纯余切丛.

§4.1 全纯线丛的定义 123

设 M 为黎曼曲面, 和全纯切丛完全类似, 我们可以定义全纯余切丛. 任给

p P M , 余切空间 T˚p M 复化后有直和分解

T˚p M b C “ T˚

phM ‘ T˚phM.

如果 z “ x `?

´1 y 是 p 附近的局部复坐标, 则 T˚phM “ spantdz|pu. 令 T˚

hM “

YpPM

T˚phM , 如同切丛那样, 我们可以在 T˚

hM 定义复结构使之成为 2 维复流形. 定

义投影 π : T˚hM Ñ M 为 πpωpq “ p, @ ωp P T˚

phM . 如果 U 为 M 的局部坐标邻域,

则令 U 上的平凡化为

ψ : π´1pUq Ñ U ˆ C, ψpωpq “ pp, aq.

其中, a 是 ωp 的局部表示 ωp “ adz|p 的系数. 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则

ψβ ˝ ψ´1α pp, aq “ pp, p

B

Bzβ|pzαq ¨ aq.

因此, 连接函数 hβα : Uα X Uβ Ñ C˚ 此时为 hβαppq “ BBzβ

|pzα, @ p P Uα X Uβ .

例 4.1.3. CP 1 上的全纯线丛.

令 E “ tprzs, wq P CP 1 ˆ C2 | Dλ P C, 使得 w “ λ ¨ zu. E 是乘积流形 CP 1 ˆ C2

的子集, 它的拓扑为诱导的子拓扑. 令

π : E Ñ CP 1

przs, wq ÞÑ rzs.

则 π 为连续满射. 考虑 CP 1 的标准坐标覆盖 U0 “ trz0, z1s | z0 ‰ 0u, U1 “

trz0, z1s | z1 ‰ 0u. 定义映射

ψ0 : π´1pU0q Ñ U0 ˆ C

przs, wq ÞÑ przs, w0q,

其中 w “ pw0, w1q P C. 同理, 定义映射

ψ1 : π´1pU1q Ñ U1 ˆ C

przs, wq ÞÑ przs, w1q.

不难验证, ψ0 和 ψ1 均为同胚. 并且有

ψ1 ˝ ψ´10 przs, aq “ przs,

z1z0

¨ aq, rzs P U1 X U0, a P C.

由此即知, E 是 2 为复流形, 并且在投影 π : E Ñ CP 1 之下成为 CP 1 上的全纯线

丛. 此全纯线丛的连接函数为 g10przsq “ z1z0, g01przsq “ z0z1.


定义 4.1.2 (全纯截面). 设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛, π : L Ñ M 为丛

投影. 如果连续映射 s : M Ñ L 满足条件 π ˝ s “ id, 即 sppq P π´1ppq, @ p P M , 则

称 s 为丛 L 的一个截面. 当 s 光滑时称为光滑截面, 当 s 为全纯映射时称为全纯

截面.

全纯截面的全体记为 ΓhpLq, ΓhpLq 中有一个特殊的截面, 它把任何一点 p 均

映为 π´1ppq 中的零向量, 称这个截面为零截面. 由于纤维具有线性结构, 因此截面

空间 ΓhpLq 也有自然的线性结构, 即截面之间有加法和数乘运算, 使之成为复向量

空间. 以后我们将看到, 如果 M 为紧致黎曼曲面, 则 ΓhpLq 是有限维的复向量空

间.

例 4.1.4. 平凡线丛的截面.

映射 s : M Ñ M ˆ C 为截面当且仅当 s 形如

sppq “ pp, fppqq,

其中, f : M Ñ C 为 M 上的连续函数. s 为全纯截面当且仅当 f 为全纯函数. 因

此, 截面实际上是函数的推广.

例 4.1.5. 全纯切丛和全纯余切丛的截面.

按照我们先前的定义, 全纯切丛的截面就是切向量场, 全纯余切丛的截面为余

切向量场, 即微分形式. 特别地, 全纯余切丛的全纯截面就是全纯微分.

根据第四例, 平凡丛上的截面等同于函数. 由于任何线丛都是局部平凡的, 因

此我们可以把截面 s 表示为局部函数. 具体来讲, 如果 Uα 为 M 的开覆盖, ψα 为

对应的局部平凡化, 则有

ψαpsppqq “ pp, sαppqq, @ p P Uα. (4.2)

其中, sα 为 Uα 上的函数. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 有

sβppq “ gβαppq ¨ sαppq, @ p P Uα X Uβ . (4.3)

其中, gβα 为全纯线丛的连接函数. 我们把这一族函数 tsαu 称为截面 s 的局部表

示. 反之, 如果一组函数 sα 满足条件 (4.3), 则利用 (4.2) 就可以定义一个截面. 这

样做的好处是, 我们可以定义全纯线丛的亚纯截面:

定义 4.1.3 (亚纯截面). 一组亚纯函数 sα : Uα Ñ S 如果满足条件 (4.3), 则称

为全纯线丛 L 上的一个亚纯截面, 记为 s “ tsαu. 亚纯截面的全体用 MpLq 表示.

按照这个定义, 黎曼曲面上的亚纯微分就是全纯余切丛的亚纯截面.

§4.1 全纯线丛的定义 125

定义 4.1.4 (丛同态). 设 L1, L2 分别为黎曼曲面 M , N 上的全纯线丛, π1, π2

分别为丛投影.如果全纯映射对 pF, fq : pL1,Mq Ñ pL2, Nq满足条件 π2˝F “ f ˝π1,

即 F pπ´11 ppqq Ă π´1

2 pfppqq, @ p P M , 并且 F 限制在每个纤维 π´1ppq 上均为线性

同态, 则称 pF, fq 为全纯线丛 L1 和 L2 之间的丛同态.

显然, 丛同态 pF, fq 中的映射 f 完全由 F 决定. 我们来看丛同态的一个例子.

设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, L 为 N 上的全纯线丛, π 为丛投影.

令 f˚L “ tpm, lq P M ˆ L | fpmq “ πplqu, f˚L 是乘积空间 M ˆ L 的子拓扑空间.

不仅如此, 它还具有丛的结构. 事实上, 令 πf : f˚L Ñ M , πf pm, lq “ m. 则 πf 为

连续满射. 设 U 为 N 中的开集, ψ : π´1pUq Ñ U ˆ C 为一个局部平凡化, 则映射

ψf : π´1f pf´1pUqq : Ñ f´1pUq ˆ C

pm, lq ÞÑ pm,πCpψplqqq.

为同胚. 其中, πC : U ˆ C Ñ C是向第二个分量的投影.如果 ψα, ψβ 分别为 Uα, Uβ

上的平凡化, 则有

ψβf ˝ ψ´1αf pm,aq “ pm, gβαpfpmqq ¨ aq,

其中 gβα 为 L 的连接函数. 这说明 f˚L 具有复结构, 并且是 M 上的全纯线丛, 其

连接函数为 hβα : f´1pUα XUβq Ñ C˚, hβα “ gβα ˝ f . 令 F : f˚L Ñ L, F pm, lq “ l,

则 pF, fq 为全纯线丛 f˚L 和 L 之间的丛同态. 我们把 f˚L 称为拉回丛. 因为紧致

黎曼曲面上存在非常多的亚纯函数, 通过拉回映射把 CP 1 上的全纯线丛拉回就得

到了紧致黎曼曲面上许多的全纯线丛. 为了区分全纯线丛, 我们还要引入丛同构的

概念.

定义 4.1.5 (丛同构). 设 pF, fq 为全纯线丛 L1, L2 之间的丛同态, 如果存在

从 L2 到 L1 的丛同态 pG, gq, 使得 F,G 为互逆的双全纯映射, f, g 为互逆的双全

纯映射, 则称全纯线丛 L1, L2 同构. 称 pF, fq, pG, gq 为丛同构.

丛同构显然是一个等价关系. 如果 f : M Ñ N 为双全纯同构, 则拉回丛 f˚L

和 L同构. 如果 pF, fq是全纯线丛 L1和 L2之间的同构,考虑映射 F 1 : L1 Ñ f˚L2:

F 1pl1q “ pπ1pl1q, F pl1qq, @ l1 P L1.

则 pF 1, idq 是全纯线丛 L1 和 f˚L2 之间的同构. 由于这个原因, 当黎曼曲面 M 上

的两个全纯线丛同构时, 我们可以假设丛同构在 M 上诱导的映射为恒同映射. 以

下如果不加说明, 我们都做这样的假设.

下面我们用连接函数来描述丛的同构. 设 L1, L2 为黎曼曲面 M 上的两个同

构的全纯线丛, F : L1 Ñ L2 为丛同构. 我们注意到, 丛 L1 和 L2 的局部平凡化开


覆盖不必相同. 但是, 通过对开覆盖取公共的加细, 我们可以假设 L1 和 L2 同时以

tUαu为局部平凡化开覆盖.设 φα 和 ψα 分别为 L1, L2 在 tUαu的平凡化. 则 F 在

φα 和 ψα 下有局部表示 Fα “ ψα ˝ F ˝ φ´1α : Uα ˆ C Ñ Uα ˆ C:

Fαpp, aq “ pp, fαppq ¨ aq, @ p P Uα, a P C.

其中, fα : Uα Ñ C˚ 为全纯映射, 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 有

gβα “ f´1β hβαfα. (4.4)

其中, gβα, hβα 分别为 L1, L2 的连接函数. 反之, 如果存在满足条件 (4.4) 的一族

函数 tfαu, 则 L1 和 L2 同构. 特别地, 有

推论 4.1.1. 黎曼曲面 L 上的全纯线丛 L 同构于平凡线丛当且仅当存在局部

平凡化开覆盖 Uα 以及全纯函数 fα : Uα Ñ C˚, 使得 L 的连接函数 gβα “ f´1β fα.

黎曼曲面 M 上全纯线丛在同构下的等价类的全体记为 LpMq. 全纯线丛 L 的

同构类记为 rLs. 在 LpMq中可以引入群的运算.事实上,设全纯线丛 L由连接函数

gβα 决定, 则 hβα “ pgβαq´1 仍然满足连接函数的条件 (4.1), 因此也决定了一个全

纯线丛, 记为 ´L 或 L˚, 称为 L 的对偶丛. 对偶丛可以看成是把 L 的每一根纤维

换成它的对偶空间得到. 例如, 黎曼曲面的全纯余切丛就是全纯切丛的对偶丛. 如

果 L1, L2 为两个全纯线丛,在某个公共的局部平凡化开覆盖上,它们分别有连接函

数 g1βα 和 g2

βα, 则 gβα “ g1βαg

2βα 满足连接函数的条件 (4.1), 因此决定了一个全纯

线丛, 记为 L1 `L2 或 L1 bL2, 称为 L1 和 L2 的张量积. 显然, L1 `L2 与 L2 `L1

同构. 容易验证, 对偶运算和张量积运算在 LpMq 上也是定义好的, 并且在这些运

算下, LpMq 成为一个交换群, 称为 M 上的线丛类群. 以后我们将不区分同构的全

纯线丛.

习题 4.1

1. 利用局部平凡化在全纯线丛的纤维中定义复线性结构,并验证你的定义不依赖

于局部平凡化的选取.

2. 验证我们用连接函数构造的 L 是全纯线丛, 并且该线丛的连接函数就是给定

的那一族函数.

3. 写出黎曼球面 S 的全纯切丛和全纯余切丛的局部平凡化和连接函数, 并研究

它们和本节第三例中线丛的关系.

4. 证明, 全纯线丛的零截面的确是全纯的.

§4.2 因子与线丛 127

5. 证明, 全纯线丛同构于平凡丛当且仅当它存在处处非零的全纯截面.

6. 证明, 如果 f 为常值映射, 则拉回丛 f˚L 为平凡丛; 如果 L 为平凡丛, 则拉回

从 f˚L 为平凡丛.

7. 证明, 同构的全纯线丛在拉回映射下仍为同构的全纯线丛.

§4.2 因子与线丛

在前一节中,通过亚纯函数和拉回,我们可以得到黎曼曲面上的许多全纯线丛.

在本节, 我们要给出全纯线丛的另外一个很自然的构造方法.

设 D “ř

i

ni ¨ pi 为 M 上的一个因子. 取 M 的一个局部坐标邻域覆盖 tUαu,

因子 D 属于坐标邻域 Uα 的部分记为 D X Uα. 在 Uα 内存在亚纯函数 fα, 使得它

在 Uα 内诱导的因子 pfαq “ DXUα. 如果 Uα XUβ ‰ H,则在 Uα XUβ 上 fβfα 既

无极点,又无零点,因此是非零全纯函数,记为 fβα. 显然, tfβαu满足连接函数要求

的条件 (4.1), 因此决定了 M 上的全纯线丛, 记为 λpDq. 我们有

• λpDq 的定义是合理的. 事实上, 如果在 Uα 中另取亚纯函数 gα, 使得 pgαq “

D X Uα, 则 hα “ fαgα 在 Uα 中没有极点及零点, 因而为非零全纯函数. 记

gβα “ gβgα, 则 gβα “ h´1β fβαhα, 因此连接函数 tgβαu 决定的全纯线丛和

tfβαu 决定的全纯线丛同构; 如果我们选取的局部坐标覆盖不同, 则通过适当

的加细就得到公共的局部坐标覆盖, 这一过程同样不影响 λpDq 的同构类.

• λpDq 同构于平凡丛当且仅当 D 为主要因子. 事实上, 如果 D “ pfq 为主要

因子, 则可以选取 fα “ f |Uα , 此时 fβα ” 1, 因此 λpDq 为平凡丛; 反之, 如果

λpDq 同构于平凡丛, 则由上一节最后的推论, 存在平凡化开覆盖, 通过适当加

细不妨设为坐标覆盖 Uα, 以及全纯函数族 ϕα : Uα Ñ C˚, 使得在 Uα X Uβ 上

fβα “ ϕ´1β ϕα. 因此, 在 Uα X Uβ 上, fβϕβ “ fαϕα, 即 tfαϕαu 定义了 M 上一

个整体亚纯函数, 且在每个 Uα 上, pfαϕαq “ pfαq ` pϕαq “ pfαq “ D X Uα, 从

而有 pfq “ D, 即 D 为主要因子.

• λp´Dq “ ´λpDq, λpD1q ` λpD2q “ λpD1 `D2q. 这由定义可立即得到.

这说明, λ 诱导了因子类群 D 到线丛类群 L 的同态, 仍记为 λ : D Ñ L, 并且

这是单同态.

例 4.2.1. 考虑黎曼球面 S 上的因子 D “ 0, 其中 0 P C Ă S 为复平面的原点. 取 S 的坐标覆盖为 U0 “ C 和 U1 “ S ´ t0u, 分别在 U0 和 U1 上取全纯函数

f0 “ z, f1 “ 1. 则 λp0q 由连接函数 tf10 “ 1z, f01 “ zu 给出.


下面的引理给出了复向量空间 lpDq 的一个新的解释.

引理 4.2.1. 对任何因子 D 均有线性同构 lpDq – ΓhpλpDqq.

证明. 任取 λpDq 的一个全纯截面 s, s 有局部表示 tsα : Uα Ñ Cu, 在 Uα X Uβ

上, sα 满足关系

sβ “ fβαsα “fβ

fαsα.

因此, sαfα 在 M 上决定了一个整体的亚纯函数, 记为 ipsq. 在每个 Uα 上, 有

rpipsqq `Ds X Uα “ psαq ´ pfαq `D X Uα “ psαq ě 0.

这说明 ipsq P lpDq. 因此我们就定义了线性映射 i : ΓhpλpDqq Ñ lpDq.

反之, 给定亚纯函数 f P lpDq, 令 sα “ f ¨ fα, 由于

psαq “ pfq X Uα ` pfαq “ pfq X Uα `D X Uα “ rpfq `Ds X Uα ě 0.

sα 为 Uα 上的全纯函数, 并且满足条件 (4.3). 因此 tsαu 决定了全纯线丛 λpDq 的

一个全纯截面, 记为 jpsq. 我们就得到了线性映射 j : lpDq Ñ ΓhpλpDqq. 显然, i, j

为互逆线性映射, 因而均为线性同构. 类似地, 我们也可以给出 ipDq的另一个解释. 在此之前, 我们定义由亚纯截面

诱导的因子. 为此,设 s为全纯线丛 L的亚纯截面,并设其局部表示为 tsαu. 在 Uα

上, sα 诱导了因子 psαq. 在 Uα X Uβ 上, 连接函数 gβα 是处处非零的全纯函数, 因

此有

psβq “ pgβαsαq “ pgβαq ` psαq “ psαq.

这说明在 M 上存在因子 D, 使得 D X Uα “ psαq. D 称为由亚纯截面 s 诱导的因

子, 记为 psq. 显然, s 为全纯截面当且仅当 psq ě 0. 我们注意到, 黎曼曲面上的亚

纯微分可以看成全纯余切丛的亚纯截面,而亚纯微分诱导的因子和我们现在定义的

作为亚纯截面诱导的因子是一致的.

引理 4.2.2. 如果 L 为全纯线丛, 则有线性同构

ΓhpL´ λpDqq – tS P MpLq | pSq ´D ě 0u,

特别地, ipDq – ΓhpT˚hM ´ λpDqq.

证明. 这个引理的证明和上一引理的证明完全类似, 留作习题. 下面的引理揭示了亚纯截面和全纯线丛的关系.

引理 4.2.3. 设 s 为全纯线丛 L 的非零亚纯截面, 则 L “ λppsqq; 反之, 任给

因子 D, 存在全纯线丛 λpDq 的亚纯截面 s, 使得 D “ psq.

§4.2 因子与线丛 129

证明. 设 s 为全纯线丛 L 的非零亚纯截面, 其局部表示为 tsαu. 根据 psq 的

定义, λppsqq 是由连接函数 tsβα “sβ

sαu 决定的全纯线丛. 另一方面, tsαu 满足条件

(4.3), 这说明 sβα “ gβα 就是 L 的连接函数, 因此 L “ λppsqq.

反之, 任给因子 D, 按照 λpDq 的构造, λpDq 由连接函数 tfβα “fβ

fαu 决定, 其

中 fα 为 Uα 上的亚纯函数, 且 pfαq “ D X Uα. 现在, 亚纯函数族 tfαu 满足条件

(4.3), 因而决定了全纯线丛 λpDq 的一个亚纯截面, 记为 s. 由 psq 的定义, 显然有

psq “ D.

例 4.2.2. 设 M 为黎曼曲面, ω 为 M 上非零亚纯微分, 其诱导的因子为

K “ pωq. 上面的引理说明 M 的全纯余切丛 T˚hM 同构于 λpKq. 因此有 ipDq –

ΓhpλpK ´Dqq.

推论 4.2.4. 设 L 为全纯线丛. 则

piq 如果 dimΓhpLq ą 0, 则存在有效因子 D, 使得 L “ λpDq;

piiq 如果存在因子 D1, 使得 dimΓhpL ´ λpD1qq ą 0, 则存在因子 D, 使得

L “ λpDq.

证明. piq如果 dimΓhpLq ą 0,则存在 L的非零全纯截面 s,由刚才的引理 4.2.3

立知 L “ λppsqq.

piiq 如果存在因子 D1, 使得 dimΓhpL´ λpD1qq ą 0, 则由 piq, 存在因子 D2, 使

得 L´ λpD1q “ λpD2q, 此时 L “ λpD1 `D2q.

推论 4.2.5. 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛. 则

dimΓhpLq ă 8.

证明. 如果 dimΓhpLq “ 0, 则没有什么好证的; 如果 dimΓhpLq ą 0, 则由刚才

的推论, 存在因子 D, 使得 L “ λpDq. 此时由引理 4.2.1 得

dimΓhpLq “ dimΓpλpDqq “ dim lpDq ă 8.

其中, 由第三章引理 3.1.1 知 lpDq 为有限维向量空间. 以后我们将证明,如果 M 为紧致黎曼曲面,则 λ是满同态,即对任何全纯线丛

L, 都存在因子 D, 使得 L “ λpDq.

习题 4.2

1. 证明,将 CP 1等同于黎曼球面 S后,前节第三例中的全纯线丛 E同构于 λp´0q.

2. 证明, S的全纯切丛 ThpSq同构于 λp´2 ¨ 0q, 全纯余切丛 T˚h pSq同构于 λp2 ¨ 0q.


3. 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, D “ř

i

ni ¨ pi 为 N 上的因子.

定义 f˚D “ř

i

ni ¨ f˚ppiq, 其中 f˚ppiq “ř

qjPf´1ppiq

qj 是带有重数之和. 证明

f˚pλpDqq “ λpf˚Dq.

4. 设 s1, s2 为全纯线丛的两个非零亚纯截面,则可以自然地定义除法,使得 s1s2

为亚纯函数.

5. 详细证明引理 4.2.2.

6. 回答问题: q 次全纯微分是什么线丛的截面?

§4.3 层和预层

在第二章第二节引入切向量时, 我们考虑过在某一点附近光滑的函数全体. 在

本节, 我们把这样的对象整体化, 其结果就是层的概念. 我们首先回顾一下先前的

构造. 设 M 为黎曼曲面, U 为 M 上的开集. 记 A0pUq 为 U 内有定义的光滑函数

的全体. 沿用先前的记号, 对 p P M , 有

C8ppq “ž

UQp

A0pUq ∼ .


f P A0pUq ∼ g P A0pV q ðñ D W Ă U X V, 使得 p P W, f |W “ g|W .

把 f 在 C8ppq 中的等价类记为 rf sp. C8ppq 中可以自然定义加法和数乘运算使

之称为线性空间. 定义 S0 “ YpPM

C8ppq. 我们在 S0 上如下定义拓扑: 任取 M

的开集 U 以及 U 上光滑函数 f , 令 Of “ trf sp | p P Uu, 则 Of 为 S0 中子集,

而 tOf | f P A0pUq, U Ă Mu 形成一个拓扑基, 因此定义了 S0 上的一个拓扑. 令

π : S0 Ñ M , πprf spq “ p. 我们有

• π 为连续满射, 且为局部同胚. 事实上, 任给 p P M 以及包含 p 的开集 U , 取

光滑函数 f P A0pUq. 则 Of 为 S0 的开集, 且 πpOf q “ U , π 限制在 Of 上是

到 U 的同胚.

• π´1ppq “ C8ppq 为交换群. 这是显然的.

• 考虑映射 S0 Ñ S0, rf sp ÞÑ r´f sp. 这是定义好的连续映射. 事实上,从上面 S0

的拓扑的定义可以看出这个映射是一个自同胚映射.

§4.3 层和预层 131

• 考虑乘积空间 S0 ˆ S0 的子拓扑空间 S0 ˝ S0 “ tps1, s2q |πps1q “ πps2qu 以

及映射 S0 ˝ S0 Ñ S0, ps1, s2q ÞÑ s1 ` s2. 则此映射为连续映射. 事实上, 设

πps1q “ πps2q “ p, 则存在 p 附近的光滑函数 f , g, 使得 s1 “ rf sp, s2 “ rgsp,

映射 prf sp, rgspq ÞÑ rf ` gsp 关于我们定义的拓扑显然是连续的.

我们称 S0 为 M 上光滑函数的芽层, π 为层投影, C8ppq “ π´1ppq 为 p 处光滑函

数的芽, 也记为 S0p .

一般地, 我们可以定义关于交换群的层的概念.

定义 4.3.1 (层). 设 π : S Ñ M 是从拓扑空间 S 到黎曼曲面 M 的连续满射.

如果满足以下条件

p1q π 为局部同胚;

p2q 任给 m P M , π´1pmq 为交换群;

p3q 群的运算

S Ñ S, s ÞÑ ´s, @ s P S

及

S ˝ S Ñ S, ps1, s2q ÞÑ s1 ` s2

均为连续映射, 其中 S ˝ S “ tps1, s2q P S ˆ S |πps1q “ πps2qu 为乘积空间 S ˆ S 的子拓扑空间. 则称 S 为 M 上的层 (sheaf), π 称为层投影, Sm “ π´1pmq 称为 m

上的茎(stalk).

例 4.3.1. 平凡层.

设 G 为交换群, 赋以离散拓扑. 令 S “ M ˆ G, 映射 π : M ˆ G Ñ M 为向第

一个分量的投影. 显然, π 满足上述定义中的条件, 因此 S 为 M 上的层, 称为平凡

层. 特别地, 分别取 G 为 0,Z,R,C 得到的平凡层在不引起混淆的情况下分别记为0,Z,R,C.

例 4.3.2. 摩天大厦层.

设 G为交换群, p P M . 令 Sp “ Mš

Gp ∼ 0 P G,这是一个商空间,其拓扑由

两类开集组成: 一类是原 M 中不含 p 的开集, 另一类是 M 中含 p 的开集去掉点

p 后和 G 中若干元素的并. 令 π : Sp Ñ M 为

πpmq “ m, @ m P M ; πpgq “ p, @ g P G.

容易由定义验证 Sp 为 M 上的层. Sp 在 p 上的茎为 G, 在其它点的茎为 0. 称 Sp

为关于 p 的摩天大厦层.


类似地, 给定 M 上的有效因子 D “ř

i

ni ¨ pi, 我们也可以定义一个层 SD, 使

得这个层在 pi 上的茎为 G ‘ G ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ G(ni 个 G 的直和), 而在其他点的茎为 0.

这也称为摩天大厦层.

例 4.3.3. 全纯函数的芽层.

在本节开头我们定义了光滑函数的芽层. 在定义的过程中,如果把 “光滑函数”

都换成 “全纯函数”, 则也得到一个层, 称为全纯函数的芽层. 具体来说, 设 U 为黎

曼曲面 M 中的开集, 记 OpUq 为 U 内全纯函数的全体. 任给 p P M , 定义 p 处全

纯函数的芽为

Op “ž

UQp

OpUq ∼ .


f P OpUq ∼ g P OpV q ðñ D W Ă U X V, 使得 p P W, f |W “ g|W .

如同光滑函数的芽层那样, 令 O “ YpPM

Op, 并在 O 上定义适当的拓扑使之成为 M

上的层, 称为全纯函数的芽层或结构层.

类似地, 如果考虑 p 形式或 pp, qq 形式, 我们就得到相应的层, 分别记为 Sp 和

Sp,q. 这样的构造其实可以一般化, 为此我们先引入层的截面的概念.

定义 4.3.2 (层的截面). 设 S 为黎曼曲面 M 上的层, π 为层投影. 设 U 为 M

中的开集, f : U Ñ S 为连续映射. 如果 f 满足条件 π ˝ f “ idU , 即 fpmq P Sm,

@ m P U , 则称 f 为层 S 在 U 上的截面. U 上截面的全体记为 ΓpS, Uq, 在 ΓpS, Uq

中可以引入自然的加法运算使之成为交换群. 当 U “ M 时, 截面的全体简记为

ΓpSq. ΓpSq 中的零元称为零截面, 这是从 M 到 S 的映射, 它把 m P M 映为交换

群 Sm 中的零元.

例 4.3.4. 平凡层的截面.

设 G为交换群, M 为连通黎曼曲面, S “ M ˆG为平凡层. 设 f : M Ñ M ˆG

为层的截面. 给定 m0 P M , 设 fpm0q “ pm0, g0q, 则必有 fpmq “ pm, g0q, @ m P M .

事实上, 设 πG : M ˆG Ñ G 是向第二分量的投影, 则复合映射 πG ˝ f : M Ñ G 为

连续映射. 由于 G的拓扑是离散拓扑,因此 πG ˝ f 为常值映射. 这就说明, ΓpSq和

交换群 G 是自然同构的.

例 4.3.5. 摩天大厦层的截面.

设 Sp 是第二例中定义的摩天大厦层, f : M Ñ Sp 为层的截面. 显然,当 m ‰ p

时, fpmq “ m; 当 m “ p 时, fpmq “ fppq P G, fppq 可以是 G 中任意元素. 因此

ΓpSpq 和交换群 G 也是自然同构的. 类似地, 对于因子 D, 有 ΓpSDq – biniG.

§4.3 层和预层 133

例 4.3.6. 光滑函数芽层的截面.

设 U 为黎曼曲面 M 中的开集, f : U Ñ S0 为 U 上的截面. 下面我们来说

明存在 U 上的光滑函数 ipfq, 使得 fppq “ ripfqsp, @ p P U . 事实上, 任给 p P U ,

设 fppq “ rgpsp, gp 为 p 附近定义的光滑函数. 由 f 的连续性, 存在 p 的开邻域

Vp Ă U , 使得 fpVpq Ă Ogp , 因此 fpqq “ rgpsq, @ q P Vp, 特别地, gp P OpVpq. 当

Vp X Vq ‰ H 时, 任取 r P Vp X Vq, 则有

rgpsr “ fprq “ rgqsr.

特别地, gpprq “ gqprq, 即 gp|VpXVq “ gq|VpXVq . 这说明存在 U 中光滑函数 ipfq, 使

得 ipfq|Vp “ gp. 因此 fppq “ rf sp, @ p P U . 显然, 满足这一条件的光滑函数 ipfq

是惟一的, 因此我们定义了映射 i : ΓpS ′, Uq Ñ OpUq. 另一方面, 任给 U 上光滑函

数 g, 令 jpgq : U Ñ S ′ 为 jpgqppq “ rgsp, 则 jpgq 为 U 上的截面. 这样定义的映射

j : OpUq Ñ ΓpS ′, Uq 和 i : ΓpS ′, Uq Ñ OpUq 是一对互逆的同构. 显然, 对于全纯函数的芽层, p 形式层或 pp, qq 形式层有完全类似的结论. 我们

把这个过程一般化, 就得到预层 (presheaf) 的概念, 从预层出发可以得到层, 从层

的截面出发进行构造就又得到了预层.

定义 4.3.3 (预层). 设 M 为黎曼曲面, 如果对 M 上的每个开集 U , 均对应一

个交换群 SpUq, 而当开集 U Ă V 时, 存在群同态 ρV,U : SpV q Ñ SpUq; 且当开集

U Ă V Ă W 时, ρW,U “ ρV,U ˝ ρW,V . 我们把满足这些要求的交换群及同态称为 M

上的一个预层, 这些同态称为限制同态.

如果 S 为 M 上的层, 对于开集 U , 我们有对应的交换群 SpUq “ ΓpS, Uq, 并

且当 U Ă V 时, 有自然的限制同态 ρV,U : ΓpS, V q Ñ ΓpS, Uq, 它把 V 上的截面限

制为 U 上的截面. 这样我们就得到一个预层. 这个预层的限制同态还满足下面两

个条件:

p1q 设 U “ YiUi, Ui 均为开集, 对于 si P SpUiq, 如果在 Ui X Uj 上有

ρUi,UiXUj psiq “ ρUj ,UiXUj psjq,

则存在 s P SpUq, 使得 ρU,Uipsq “ si;

p2q 设 U “ YiUi, Ui 均为开集. 对于 s P SpUq, 如果对于每个 Ui, 均有

ρU,Uipsq “ 0, 则 s “ 0.

满足这两个条件的预层称为完备预层. 如同光滑函数的芽层那样, 下面我们从

预层出发构造层. 给定一个预层, 任取 m P M , 令

Sm “ž

UQm

SpUq ∼,



f P SpUq ∼ g P SpV q ðñ DW Ă U X V, 使得 ρU,W pfq “ ρV,W pgq.

令 S “ YmPM

Sm,如同光滑函数的芽层那样,我们给 S 定义一个拓扑使之成为 M 上

的层. 并且, 如果给定的预层是完备预层, 则有 ΓpS, Uq – SpUq. 因此, 今后我们不

区分层和完备预层. 使用完备预层的好处是描述起来比较方便.

例 4.3.7. 全纯截面层.

设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 考虑这样的预层: 对任意开集 U , 令

ΩpLqpUq “ tL 在 U 上的全纯截面u,

当 U Ă V 时, 定义同态 ρ : ΩpLqpV q Ñ ΩpLqpUq 为通常的限制映射, 则我们得到一

个完备预层, 由此得到的层 ΩpLq 称为 L 的全纯截面层.

完全类似地, 考虑光滑的截面就得到光滑截面层 S0pLq; 考虑 L 值 p 形式或

L 值 pp, qq 形式, 得到的层分别称为 L 值 p 形式层 SppLq 和 L 值 pp, qq 形式层

Sp,qpLq. 以 p 形式为例, 设 U 为开集, U 上的 L 值 p 形式是一个有限和ř

i

ωi b si,

其中 ωi 为 U 上 p 形式, si 为 U 上 L 的光滑截面, b 为关于 U 上光滑函数的张量

积. 为了简单起见, 张量积符号 b 常被我们省略.

下面我们定义层的同态,同构和子层,商层等概念. 这时,用层的原始定义来描

述是更好的选择.

定义 4.3.4 (层同态和层同构). 设 S, S 1 分别为 M 上的层, 层投影分别为 π,

π1. 连续映射 φ : S Ñ S 1 如果满足条件 π1 ˝ φ “ π, 则称为层映射; 进一步, 如果

φ|Sm : Sm Ñ S 1m 为群同态, @ m P M , 则称 φ 为层同态. 如果层同态 φ 为同胚, 则

其逆仍为层同态, 此时称为层同构.

设 φ : S Ñ T 为层同态, 定义 kerφ “ ts P S |φpsq “ 0 P Tπpsqu 以及 Imφ “

φpSq. 不难证明, kerφ 和 Imφ 仍然具有层的结构. 如果 φ 为单射, 则 S 和 Imφ 同

构.

定义 4.3.5 (子层和商层). 设 S 为 M 上的层, R 为 S 中开集, 并且 Rm “

S XSm 均为 Sm 的子群, 则 R 自然成为 M 上的层, 其层投影为 S 的投影在 R 上的限制. 称 R 为 S 的子层. 如果 R 为 S 的子层, 任取 m P M , 记 Tm “ SmRm

为商群. 令

T “ď

mPM

Tm,

映射 τ : S Ñ T 限制在 Sm 上为商同态, 把 T 的拓扑定义为关于映射 τ 的商拓扑,

则 T 为 M 上的层, 称为商层, 记为 SR.

§4.3 层和预层 135

如果 φ : S Ñ T 为层同态, 则 kerφ 为 S 的子层, φ 诱导了商层 S kerφ 与层

Imφ 之间的层同构.

例 4.3.8. 理想层 Ip.

给定黎曼曲面 M 上一点 p, 对于包含 p 的开集 U , 令

IppUq “ tf P OpUq | fppq “ 0u,

对于不含 p 的开集 U , 则令 IppUq “ OpUq. 这样我们就定义了一个完备预层, 它代

表的层称为 p 处的理想层, 记为 Ip.

理想层是全纯函数芽层的子层. 当 m ‰ p 时, 理想层在 m 处的茎和全纯函数

的芽层在 m 处的茎相同; 当 m “ p 时, 理想层在 m 处的茎中的元素是常数项为零

的幂级数. 因此商层 OIp 同构于茎为 C 的摩天大厦层 Sp.

我们注意到, 子层的包含同态 i : R Ñ S 和商层的商同态 j : S Ñ SR 限制在茎上时组成的群同态序列 0 Ñ Rm

imÝÝÑ Sm

jmÝÝÑ SmRm Ñ 0 是一个正合序列, 即

im 为单同态, jm 为满同态, Imim “ ker jm. 一般地, 如果层的同态序列

0 Ñ R iÝÑ S j

ÝÑ T Ñ 0

限制在茎上是交换群的正合序列, 则称上述层的同态序列为层的短正合序列. 此时

层 T 同构于商层 SR.

由前例, 我们有层的短正合序列

0 Ñ Ip Ñ O Ñ Sp Ñ 0.

推广到全纯线丛的全纯截面层, 就有

引理 4.3.1. 如果 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛, D 为有效因子, 则有层的

短正合序列:

0 Ñ ΩpL´ λpDqq Ñ ΩpLq Ñ SD Ñ 0.

证明. 为了简单起见,我们以 D “ p为例来证明,一般的情形是完全类似的. 首

先定义层 ΩppLq 如下: 任取开集 U , 如果 U 包含 p, 则令

ΩppLqpUq “ ts P ΩpLqpUq | sppq “ 0u,

如果 U 不含 p, 则令 ΩppLqpUq “ ΩpLqpUq. 显然, ΩppLq 为 ΩpLq 的子层, 并且有

短正合序列

0 Ñ ΩppLq Ñ ΩpLq Ñ Sp Ñ 0.


另一方面, 由上节引理 4.2.2, 有

ΩpL´ λppqqpUq – ts 为 L 在 U 上的亚纯截面 | psq ´ pX U ě 0u

“ ts P ΩpLqpUq | psq ´ pX U ě 0u

“ ΩppLqpUq.

由于涉及的线性同构是自然的同构, 这就意味着层 ΩpL ´ λppqq 与层 ΩppLq 同构.

因此有短正合序列

0 Ñ ΩpL´ λppqq Ñ ΩpLq Ñ Sp Ñ 0.

这就证明了引理. 最后, 我们考虑层的短正合序列的另一个例子. 为此先定义不取零值的全纯函

数的芽层 O˚. 任给黎曼曲面 M 上的开集 U , 令

O˚pUq “ t全纯函数 g : U Ñ C˚u

在函数的乘积运算之下 O˚pUq为交换群. 这样我们就得到一个完备预层,它决定的

层称为不取零值的全纯函数的芽层. 考虑同态 e : OpUq Ñ O˚pUq, epfq “ e2π?

´1 f ,

@ f P OpUq. 这是一个自然的同态, 因此诱导了层的同态 e : O Ñ O˚, eprf spq “

epfqp. 根据第二章第二节的结果, 当 U 单连通时, e : OpUq Ñ O˚pUq 为满同态. 由

此容易看出, 作为层的同态, e 为满同态, 且 Ker e “ Z 为平凡层. 这样我们就得到

了层的短正合序列:

0 Ñ Z Ñ O Ñ O˚ Ñ 0.

习题 4.3

1. 证明, 层的零截面的确为连续映射.

2. 证明, 层的截面均为开映射, 即把开集映为开集.

3. 证明, 如果 f , g 为层 S 的两个截面, 且 fpmq “ gpmq, 则存在 m 的开邻域 U ,

使得 f |U “ g|U .

4. 证明摩天大厦层的拓扑是惟一的.

5. 证明, 层同态为开映射.

§4.4 层的上同调 137

§4.4 层的上同调

为了引出层的上同调的定义, 我们先从层同态诱导的截面同态开始. 设 φ :

S Ñ T 为层同态, 则 φ 诱导了同态 φ˚ : ΓpSq Ñ ΓpT q, φ˚psq “ φ ˝ s, @ s P ΓpSq.

如果有层的短正合序列

0 Ñ R iÝÑ S j

ÝÑ T Ñ 0,

则有诱导同态的序列

0 Ñ ΓpRqi˚

ÝÑ ΓpSqj˚

ÝÑ ΓpT q.

显然, i˚ 为单同态. 下面说明 Imi˚ “ Kerj˚. 显然, Imi˚ Ă Kerj˚. 反之, 设

g P Kerj˚, 则 j ˝ gpmq “ 0, @ m P M , 这说明截面 g : M Ñ S 可以分解为

g : M g1

ÝÑ Kerj kÝÑ S,

其中 k 为包含映射. 另一方面, 层同态 i : R Ñ S 可以分解为

i : R i1ÝÑ Imi “ ker j k

ÝÑ S.

令 f “ pi1q´1 ˝ g1 : M Ñ R, 则 f P ΓpRq, 且 i˚f “ i ˝ f “ g.

一般来说, j˚ 不是满同态. 例如, 考虑平凡层 M ˆ Z 以及在 p ‰ q 处的摩天

大厦层 Spq, 使得在 p 和 q 处 Spq 的茎均为 Z, 在其它点处的茎均为 0. 考虑同态

φ : MˆZ Ñ Spq,当m ‰ p, q时, φppm,nqq “ 0;当m “ p, q时, φppm,nqq “ n. 显然,

φ 为满同态. 由于 ΓpM ˆ Zq “ Z, ΓpSpqq “ Z ‘ Z, 因此诱导同态 φ˚ : ΓpM ˆ Zq Ñ

ΓpSpqq 不可能为满同态.

现在我们仍然回到短正合序列. 同态 j˚ 虽然可能不是满同态, 但它仍然满足

一些好的性质. 事实上, 任取 f P ΓpT q 以及 m P M , 由于 j 为满同态, 故存在

s P Sm, 使得 jpsq “ fpmq. 不难看出, 存在 m 的开邻域 Um 以及 fm P ΓpS, Umq, 使

得 j ˝ fm “ f |Um . 这说明 j˚ 是 “局部” 满同态. 进一步, 如果 Um X Un ‰ H, 则

j ˝ fm|UmXUn “ j ˝ fn|UmXUn , 由上面的讨论我们知道, 存在 gmn P ΓpR, Um X Unq,

使得 i˚gmn “ pfm ´ fnq|UmXUn . 为了简单起见,在不引起混淆的情况下我们省略限

制同态. 当 Um X Un X Uo ‰ H 时, 显然有

i˚pgmn ` gno ` gomq “ pfm ´ fnq ` pfn ´ foq ` pfo ´ fmq “ 0,

因此

gmn ` gno ` gom “ 0 P ΓpR, Um X Un X Uoq. (4.5)

如果在每个 Um 上均存在 gm P ΓpR, Umq, 使得

gmn “ gm ´ gn. (4.6)


则在 Um X Un 上有 i˚gm ´ fm “ i˚gn ´ fn. 这说明存在 s P ΓpSq, 使得在每个 Um

上均有 s|Um“ i˚gm ´ fm. 此时

j˚s|Um “ j˚i˚gm ´ j˚fm “ f |Um .

即 j˚s “ f .

我们现在总结一下. 从 T 的截面 f 出发, 我们得到了 M 的开覆盖 tUmu, 在

交集 Um XUn 上有 R 的截面 gmn 满足条件 (4.5). 这样的一族 gmn 称为 1 次闭上

链. 如果 gmn 还满足条件 (4.6), 则 f 在同态 j˚ 下存在原像.我们把满足条件 (4.6)

的闭链称为 1 次上边缘链. 一般来说, 闭链未必为上边缘链, 为了描述它们之间的

差异, 我们就要引入上同调群的概念.

定义 4.4.1 (Cech 上链). 设 S 为 M 上的层, U “ tUαu 为 M 的一个开覆盖.

对于非负整数 q,考虑这样的映射 f ,它把 U 中任意 q`1个有序开集 U0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uq

映为 S 在 U0 X U1 ¨ ¨ ¨ X Uq 上的截面 fpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uqq, 且

p1q 当 U0 X U1 ¨ ¨ ¨ X Uq “ H 时, fpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uqq “ 0;

p2q 当交换两个开集的位置, 例如交换 Ui 和 Uj 的位置时, 有

fp¨ ¨ ¨ , Ui, ¨ ¨ ¨ , Uj , ¨ ¨ ¨ q “ ´fp¨ ¨ ¨ , Uj , ¨ ¨ ¨ , Ui, ¨ ¨ ¨ q.

我们把这样的映射称为关于开覆盖 U 的一个 q 次上链, q 次上链的全体组成的集

合记为 CqpU ;Sq, 此集合内可以可以自然地定义加法运算使之成为交换群, 称为 q

维上链群. 我们规定 q ă 0 时链群为零.

现在我们定义同态 δ : CqpU ;Sq Ñ Cq`1pU ;Sq 如下:

δfpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uq`1q “

q`1ÿ

i“0

p´1qifpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Ui, ¨ ¨ ¨ , Uq`1q,

其中, Ui 表示去掉分量 Ui, 而求和是限制在 U0 XU1 X ¨ ¨ ¨ XUq`1 上的截面之和. δ

为群同态, 且满足下面的重要性质:

引理 4.4.1. δ2 “ δ ˝ δ “ 0

§4.4 层的上同调 139

证明. 我们有如下计算:

δ2fpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uq`2q “

q`2ÿ

i“0

p´1qipδfqpU0, ¨ ¨ ¨ , Ui, ¨ ¨ ¨ , Uq`2q

“

q`2ÿ

i“0

p´1qir

i´1ÿ

j“0

p´1qjfpU0, ¨ ¨ ¨ , Uj , ¨ ¨ ¨ , Ui, ¨ ¨ ¨ , Uq`2q

`

q`2ÿ

j“i`1

p´1qj´1fpU0, ¨ ¨ ¨ , Ui, ¨ ¨ ¨ , Uj , ¨ ¨ ¨ , Uq`2qs

“ÿ

jăi

p´1qi`jfpU0, ¨ ¨ ¨ , Uj , ¨ ¨ ¨ , Ui, ¨ ¨ ¨ , Uq`2q

`ÿ

jąi

p´1qi`j´1fpU0, ¨ ¨ ¨ , Ui, ¨ ¨ ¨ , Uj , ¨ ¨ ¨ , Uq`2q

“ 0.

这里我们都省略了限制同态.

定义 4.4.2 (Cech 上同调). 如果 δf “ 0, 则称 q 次上链 f 为 q 次闭链, q 次

闭链的全体组成的子群称为 q 次闭链群, 记为 ZqpU ;Sq; 如果 f “ δg, 则称 q 次上

链 f 为 q 次上边缘链, q 次上边缘链的全体组成的子群称为 q 次上边缘链群, 记为

BqpU ;Sq. 商群 HqpU ;Sq “ ZqpU ;SqBqpU ;Sq 称为层 S 关于开覆盖 U 的 q 次上

同调群.

上同调群具有下列性质:

• H0pU ;Sq “ ΓpSq. 事实上, 按照定义, H0pU ;Sq “ Z0pU ;Sq. 对 f P Z0pU ;Sq,

有

δf “ 0 ðñ fpUβq ´ fpUαq “ δfpUα, Uβq “ 0, @ Uα, Uβ P U

ðñ fpUβq|UαXUβ“ fpUαq|UαXUβ

ðñ D ipfq P ΓpSq, 使得 ipfq|Uα “ fpUαq, @ Uα P U .

因此就得到了映射 i : Z0pU ;Sq Ñ ΓpSq, 易见这是群的同构.

• 设 φ : S Ñ T 为层同态, 则 φ 诱导了链群同态 φ˚ : CqpU ;Sq Ñ CqpU ; T q:

pφ˚fqpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uqq “ φ ˝ fpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uqq.

易见, δφ˚f “ φ˚δf , 因此链群同态诱导了上同调群的同态

φ˚ : HqpU ;Sq Ñ HqpU ; T q.


• 上同调群 HqpU ;Sq和开覆盖 U 的选取有关. 如果 U , V 为两个开覆盖,并且 U为 V 的加细, 即存在加细映射 τ : U Ñ V, 使得 Uα Ă τpUαq. 则 τ 诱导了链群

同态 τ˚ : CqpV;Sq Ñ CqpU ;Sq:

pτ˚fqpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uqq “ fpτpU0q, τpU1q, ¨ ¨ ¨ , τpUqqq,

τ˚ 和 δ 可交换, 因此诱导了群同态 τ˚ : HqpV;Sq Ñ HqpU ;Sq. 可以证明

piq 群同态 τ˚ 和加细映射 τ 的选取无关; 事实上, 如果 τ1 和 τ2 都是加细

映射, 则定义映射 α : CqpV;Sq Ñ Cq´1pU ;Sq 如下:

pαfqpU0, U1, ¨ ¨ ¨ , Uq´1q

“

q´1ÿ

i“0

p´1qifpτ1pU0q, τ1pU1q, ¨ ¨ ¨ , τ1pUiq, τ2pUiq, τ2pUi`1q, ¨ ¨ ¨ , τ2pUq´1qq.

可以验证, 同态 α 满足下面的条件

τ˚1 f ´ τ˚

2 f “ δαf ´ αδf.

因此 τ˚1 和 τ˚

2 诱导出相同的同调群同态.

piiq τ˚ : H1pV;Sq Ñ H1pU ;Sq为单同态;事实上,如果 f P Z1pV,Sq且存在

g P C0pU ,Sq,使得 τ˚f “ δg,则我们可以找到 h P C0pV,Sq,使得 f “ δh. 任取

V 中开集 Vα,如果 Ui XVα ‰ H,则在 Ui XVα 上考虑截面 gpUiq ´fpVα, τpUiqq.

根据 δf “ 0 易见, 当 Ui X Vα X Uj ‰ H 时,

gpUiq ´ fpVα, τpUiqq “ gpUjq ´ fpVα, τpUjqq.

因此, 存在 Vα 上的截面 hpVαq, 使得 hpVαq|UiXVα “ gpUiq ´ fpVα, τpUiqq. 这样

我们就定义了 S 关于开覆盖 V 的 0 维上链 h, 且 f “ δh.

piiiq 如果 φ : S Ñ T 为满同态, 则对任意 g P CqpV; T q, 存在 V 的加细 U以及 f P CqpU ;Sq, 使得 φ˚f “ τ˚g.

现在我们来定义一个与开覆盖无关的层的上同调.设 S 为 M 上的层, 考虑 M

的所有开覆盖, 令

HqpM ;Sq “ž

UHqpU ;Sq ∼,

其中, 等价关系 ∼ 定义如下: rf s P HqpU ;Sq ∼ rgs P HqpV;Sq 当且仅当存在开覆

盖 U 和 V 的公共加细 W, 使得 τ˚1 rf s “ τ˚

2 rgs, 其中 τ1 : W Ñ U 和 τ2 : W Ñ V 分别为加细映射. 我们称 HqpM ;Sq为层 S 的 q 次上同调群. 层的上同调具有下列性

质:

• H0pM ;Sq “ ΓpSq;

§4.4 层的上同调 141

• 商映射 i : H1pU ;Sq Ñ H1pM ;Sq 为单同态;

• 如果 H1pM ;Rq “ 0, 则层的短正合序列

0 Ñ R iÝÑ S j

ÝÑ T Ñ 0

诱导了交换群的短正合序列

0 Ñ ΓpRqi˚

ÝÑ ΓpSqj˚

ÝÑ ΓpT q Ñ 0.

一般地, 给定层的短正合序列, 存在连接同态 δ˚ : HqpM ; T q Ñ Hq`1pM ;Rq,

使得下面的长序列是交换群的正合序列:

0 Ñ ΓpRqi˚ÝÑ ΓpSq

j˚

ÝÑ ΓpT qδ˚ÝÝÑ H1pM ;Rq

i˚ÝÑ H1pM ;Sq

j˚

ÝÑ H1pM ; T qδ˚ÝÝÑ H2pM ;Rq

i˚ÝÑ ¨ ¨ ¨

以 q “ 0为例我们考虑连接同态的定义.给定 f P H0pM ; T q “ ΓpT q,则存在M 的开

覆盖 U 以及 gα P ΓpUα,Sq,使得 j˚gα “ f |Uα . 因此,在 Uα XUβ 上, j˚pgβ ´gαq “ 0,

这说明存在 gαβ P ΓpUα X Uβ ,Rq, 使得 i˚gαβ “ pgβ ´ gαq|UαXUβ. 由 i˚ 为单同态容

易看出, tgαβu 定义了 R 关于开覆盖 U 的一个 1 维闭链, 此闭链代表了 H1pU ;Rq

中的一个上同调元素,进而在商映射 i : H1pU ;Rq Ñ H1pM ;Rq下代表了 H1pM ;Rq

中的一个元素, 把它记为 δ˚f . 不难验证, 这是定义好的同态, 即与开覆盖 U 以及gα, gαβ 的选择无关, 并且有 Kerδ˚ “ Imj˚. 类似地, 虽然复杂一些, 我们也可以定

义其它的连接同态并验证相关的正合性.

由层的上同调的性质我们得到下面的一个应用.

引理 4.4.2. 设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛. 如果 H1pM ; ΩpLqq “ 0, 则

存在因子 D, 使得 L “ λpDq.

证明. 由上一节最后的引理, 任取 p P M 均有层的短正合序列

0 Ñ ΩpLq Ñ ΩpL` λppqq Ñ Sp Ñ 0.

由假设 H1pM ; ΩpLqq “ 0 就得到群的短正合序列:

0 Ñ ΓhpLq Ñ ΓhpL` λppqq Ñ C Ñ 0.

特别地, dim ΓhpL ` λppqq ě dim C “ 1, 因此由推论 4.2.4 即知存在因子 D 使得

L “ λpDq. 我们考虑层的上同调的其它一些简单的应用. 首先, 回顾一下这个问题: 黎曼

曲面 M 上的调和函数 f 在什么情况下是一个全纯函数的实部? 为了求解这一问


题, 取 M 的一个局部坐标邻域的开覆盖 U “ tUαu. 在每个开集 Uα 上, 存在全纯

函数 hα, 使得 Rephαq “ f |Uα. 在交集 Uα X Uβ 上, Rephβ ´ hαq “ 0, 因此 hβ ´ hα

为局部常值函数, 它可以看成平凡层 C 在 Uα X Uβ 上的截面. 因此我们就得到了

平凡层 C 关于开覆盖 U 的一个 1 次上链, 记为 ipfq. 显然, 这是一个闭链. 如果

ipfq “ δg 为上边缘链, 其中 g 为 0 次上链, 则在 Uα X Uβ 上, 我们有

hβ ´ hα “ gβ ´ gα,

因此, 存在 M 上的全纯函数 h, 使得 h|Uα “ hα ´ gα, 因此 Rephq ´ f 为 M 上局部

常值的调和函数, 通过减去适当的常数, 不妨设 Rephq “ f . 这说明, 这个问题是否

有解依赖于一个上同调的阻碍. 特别地, 如果 H1pM ; Cq “ 0, 则问题总是有解的.

其次,我们考虑非紧黎曼曲面上的 Mittag-Leffler问题.设 pi 为黎曼曲面 M 上

的一些离散点, 在每个点 pi 附近给定一个有限和 fi “ř

jě1

ajz´j(z 为局部坐标), 称

为 pi 处的主部. 所谓 Mittag-Leffler 问题就是: 是否存在 M 上的亚纯函数 f , 使

得在每个 pi 附近 f ´ fi 均为全纯函数? 这个问题的解法和上一问题类似, 首先取

M 的一个局部坐标邻域的开覆盖 U “ tUαu, 在 Uα 上, 存在亚纯函数 hα, 使得当

pi P Uα 时, hα ´ fi 在 pi 附近全纯, 并且除 tpiu 外 hα 没有别的极点. 因此, 在

Uα X Uβ 上, hβ ´ hα 为全纯函数, 记为 hαβ P OpUα X Uβq. 这样我们就得到了全纯

函数芽层 O 关于开覆盖 Uα 的一个 1 次上链, 显然是一个闭链. 如果它是上边缘

链, 则存在全纯函数 tgαu, 使得 hαβ “ gβ ´ gα. 因此存在 M 上的亚纯函数 h, 使得

h|Uα “ hα ´ gα. h 即为 Mittag-Leffler 问题的解. 特别地, 如果 H1pM ;Oq “ 0, 则

Mittag-Leffler 问题总是有解的.

最后, 我们考虑全纯线丛什么时候同构于平凡丛的问题. 设 L 为黎曼曲面 M

上的全纯线丛, tUαu为局部平凡化开覆盖, fβα 为连接函数. 我们把 fβα 看成不取

零值的全纯函数芽层 O˚ 在 Uβ XUα 上的截面. 连接函数满足的条件 (4.1) 意味着

fβα 决定了层 O˚ 关于开覆盖 tUαu 的一个 1 次闭链. 如果它是上边缘链, 则存在

Uα 上的非零全纯函数 tfαu, 使得 fβα “ fαfβ . 由本章第一节推论 4.1.1 即知 L 同

构于平凡丛. 特别地, 如果 H1pM ;O˚q “ 0, 则 M 上的全纯线丛只有平凡丛.

习题 4.4

1. 考虑黎曼球面的标准坐标覆盖, 计算在此覆盖下平凡层的上同调.

2. 验证由开覆盖的加细诱导的上同调群的同态不依赖于加细映射的选取.

3. 验证由加细映射诱导的层的 1 次上同调群之间的同态是单同态.

§4.5 上同调群的计算 143

4. 试给出由层的短正合序列诱导出的同调群的长正合序列中连接同态的定义,并

考虑相应的正合性.

5. 利用层的上同调的思想解下面的问题: 在黎曼曲面 M 上给定处处非零的全纯

函数 g, 是否存在全纯函数 f , 使得 ef “ g?

§4.5 上同调群的计算

从层的上同调的定义可以看出, 一般来说要计算出层的上同调是比较困难的.

本节考虑一些特殊情形, 并讨论层的上同调和其它上同调之间的联系.

定义 4.5.1 (强层). 设 S 为黎曼曲面 M 上的层. 设 W “ tWαu 为 M 的一

个局部有限 (即每个点只属于有限个开集) 的开覆盖, 如果 ϕα : S Ñ S 为层的自同态, 且满足条件

p1q 任给 α, 存在闭集 Kα Ă Wα, 使得当 m R Kα 时, ϕα|Sm “ 0;

p2qř

αϕα “ idS .

则称 tϕαu为从属于开覆盖 W 的单位分解. 如果对于每一个局部有限的开覆盖,都

存在满足上述条件的单位分解, 则称 S 为强层.

例 4.5.1. 强层的例子.

我们注意到, 黎曼曲面的任何开覆盖都有局部有限的加细. 而对于一个局部有

限的开覆盖 W “ tWαu, 存在从属于它的单位分解 tfαu, 即 fα 为支集在 Wα 内的

光滑函数, 且这些光滑函数的和为 1. 由此我们可以知道, 光滑函数的芽层, p 形式

层, pp, qq 形式层, L 值的 pp, qq 形式层等均为强层. 以 L 值的 p 形式层为例. 给定

光滑函数 fα, 令 ϕα : SppLq Ñ SppLq 为

ϕαprÿ

i

ωi b sispq “ rÿ

i

fαωi b sisp, ωi 为局部 p 形式, si 为 L 的局部截面.

tϕαu 即为层 SppLq 关于开覆盖 W 的单位分解.

例 4.5.2. 不是强层的例子.

全纯函数的芽层, 全纯线丛 L 的全纯截面层等不是强层. 以全纯函数的芽层

为例. 设 ϕ : O Ñ O 为层同态, 并且存在开集 U , 使得 ϕprf spq “ 0, @ p P U . 如果

U ‰ M , 则在 U 的边界上任取一点 q0, 任给 q0 附近的全纯函数 g, 存在 q0 附近的

全纯函数 h, 使得 ϕprgsq0q “ rhsq0 . 事实上, 在 q0 附近, h “ ϕ ˝ g, ϕprgsqq “ rhsq. 特

别地, h 在 q0 附近的某个开邻域上为零, 从而 h 在 q0 附近恒为零. 这说明, 在 U

的边界附近 ϕ为零. 由此容易看到, ϕ是恒为零的层同态. 这说明层 O 上不存在从属于一个非平凡开覆盖的单位分解, 因而它不是强层.


例 4.5.3. 常值层和摩天大厦层.

常值层 Z, R, C 等不是强层, 摩天大厦层是强层. 对于平凡层, 以 M ˆ C 为例,

不难看出,任何层同态 ϕ : M ˆ C Ñ M ˆ C均可写为 ϕpm,aq “ pm, c ¨ aq, @ m P M ,

a P C, 其中 c 是与 m 无关的复数. 这说明, 平凡层 M ˆ C 上不存在从属于一个非平凡开覆盖的单位分解, 因而它不是强层.

对于摩天大厦层,以 Sp为例,设 Sp在 p处的茎为交换群G,其它点处的茎为零.

任给一个局部有限的开覆盖 tWαu, 设 p P Wα0 , 考虑层的恒同同态 ϕα0 : Sp Ñ Sp,

以及当 α ‰ α0 时, 令层的同态 ϕα 为零同态, 则 tϕαu 为从属于开覆盖 tWαu 的单

位分解. 因此 Sp 为强层.

强层的上同调具有如下性质.

定理 4.5.1. 如果 S 为强层, 则 HqpM ;Sq “ 0, @ q ě 1.

证明. 以 q “ 1 为例, 其它情形是完全类似的. 任取 M 的开覆盖 U “ tUαu, 因

为总存在局部有限的加细, 故我们可以假设 U 就是局部有限的. 设 f P C1pU ;Sq,

δf “ 0, 我们来证明存在 g P C0pU ;Sq, 使得 f “ δg. 事实上, 设 tϕαu 为从属于 U的层 S 的单位分解, 定义 g P C0pU ;Sq 如下:

gpUαq “ÿ

γ

ϕγ ˝ pfpUγ , Uαqq.

其中, ϕγ ˝pfpUγ , Uαqq原本只在 ΓpS, Uγ XUαq中,但可以通过零延拓视为 ΓpS, Uαq

中的元素. 我们有

δgpUα, Uβq “ gpUβq ´ gpUαq

“ÿ

γ

rϕγ ˝ pfpUγ , Uβqq ´ ϕγ ˝ pfpUγ , Uαqqs

“ÿ

γ

ϕγ ˝ rfpUγ , Uβqq ´ fpUγ , Uαqs

“ÿ

γ

ϕγ ˝ pfpUα, Uβqq

“ fpUα, Uβq.

因此 f “ δg. 这说明, 对于局部有限的开覆盖 U , 有 H1pU ;Sq “ 0. 根据层的上同

调的定义, H1pM ;Sq “ 0. 如果层的短正合序列中含有强层, 则由上述定理可知, 层的短正合序列诱导的

层的上同调的长正合序列可以分解为许多短的正合序列. 我们可以利用这一点来

研究层的上同调的一些性质.


定义 4.5.2 (强层分解). 设 S 为黎曼曲面 M 上的层. 如果存在强层 tSiuiě0

以及层的同态正合序列

0 Ñ S Ñ S0d0ÝÑ S1

d1ÝÑ S2

d2ÝÑ ¨ ¨ ¨

则称层 S 存在强层分解, 上面的正合序列称为 S 的一个强层分解.

例 4.5.4. 层的正合性与 Poincare 引理.

设 M 为黎曼曲面, d 为外微分算子, 则 d 诱导了层的同态序列

0 Ñ C Ñ S0 dÝÑ S1 d

ÝÑ S2 Ñ 0

下面来说明这是层的正合序列. 以 d : S1 Ñ S2 为例. 设 rωsm P Kerd,则 rdωsm “ 0,

这说明 ω 在 m 附近为闭形式. 由 Poincare 引理, ω 在 m 附近为恰当形式, 即

rωsm P Imd. 同理, d : S1 Ñ S2 为满同态. 这说明平凡层 C 存在强层分解. 而且从

证明的过程中我们可以看到, 上面的层的正合性与 Poincare 引理是等价的.

定理 4.5.2 (de Rham). 设 S 为黎曼曲面 M 上的层, 如果 S 存在强层分解

0 Ñ S Ñ S0d0ÝÑ S1

d1ÝÑ S2

d2ÝÑ ¨ ¨ ¨

设

0 Ñ ΓpSq Ñ ΓpS0qd˚0

ÝÝÑ ΓpS1qd˚1

ÝÝÑ ΓpS2qd˚2

ÝÝÑ ¨ ¨ ¨

为诱导同态序列, 则有群的同构

HqpM ;Sq – Kerd˚q Imd˚

q´1, @ q ě 1.

证明. 令 Zp “ Kerdp, 则有层的短正合序列

0 Ñ S Ñ S0d0

ÝÑ Z1 Ñ 0,

0 Ñ Zp Ñ SpdpÝÑ Zp`1 Ñ 0, p ě 1.

这些短正合序列诱导了上同调群的正合序列, 例如

0 Ñ ΓpSq Ñ ΓpS0qd˚0

ÝÝÑ ΓpZ1q Ñ H1pM ;Sq Ñ 0, (4.7)

0 “ H1pM ;S0q Ñ H1pM ;Z1q Ñ H2pM ;Sq Ñ 0, (4.8)

0 Ñ ΓpZ1q Ñ ΓpS1qd˚1

ÝÝÑ ΓpZ2q Ñ H1pM ;Z1q Ñ 0. (4.9)

其中, 对于强层 Sp, 我们用到了定理 4.5.1 的结论. 从这些正合序列中我们得到

H1pM ;Sq – ΓpZ1qImd˚0 “ Kerd˚

1 Imd˚0 ,


H2pM ;Sq – H1pM ;Z1q – ΓpZ2qImd˚1 “ Kerd˚

2 Imd˚1 .

当 q ě 2 时可以用类似的办法证明 HqpM ;Sq – Kerd˚q Imd˚

q´1. 根据前例我们有如下推论

推论 4.5.3. 设 M 为黎曼曲面, 则有群同构

HqpM ; Cq – HqdRpM ; Cq, @ q ě 0.

其中, 上式左边为层的上同调, 右边为复系数的 de Rham 上同调.

证明. 当 q “ 0 时, H0pM ; Cq “ ΓpCq “ tM 上的局部常值函数u “ H0dRpM ; Cq.

当 q ě 1 时直接用上面的 de Rahm 定理即可. 特别地, 当 q ą 2 时, 平凡层 C 的上同调 HqpM ; Cq “ 0. 我们注意到, 平凡层

C 的强层分解是由外微分算子 d 及 Poincare 引理给出的, 现在我们给出 C 的另一个强层分解. 在第二章第二节中, 我们定义了算子 B : Ap Ñ Ap`1, 如果考虑微分形

式的类型, 则由定义, B 把 pp, qq 形式映为 pp, q ` 1q 形式, 即 B : Ap,q Ñ Ap,q`1. 因

为 B2 “ 0, 与 de Rham 上同调群类似, 我们定义

Hp,q

BpMq “ tω P Ap,q | Bω “ 0utBη | η P Ap,q´1u,

称为 pp, qq 次的 Dolbeault 上同调.

与 Poincare 引理类似, 关于算子 B, 我们有下面的 Dolbeault 引理.

引理 4.5.4. 设 f 为复平面 C 上具有紧支集的光滑函数, 则存在 C 上的光滑函数 g, 使得 B

Bz g “ f .

证明. 设 z “ x`?

´1 y 为 C 上复坐标. 定义函数 g 如下:

gpwq “1

2π?

´1

ż

C

fpzq

z ´ wdz ^ dz “

1π

ż

C

fpzq

w ´ zdxdy, w P C.

这是一个奇异积分, 我们先来说明这是定义好的积分. 事实上, 令

z “ w ` u “ w ` reiθ, i “?

´1,

则

gpwq “1

2π?

´1

ż

C

fpw ` uq

udu^ du “ ´

1π

ż

Cfpw ` reiθqe´iθdrdθ.

上式右边为普通积分, 因此容易看出 g 是定义好的光滑函数, 且

B

Bwg “

12π

?´1

ż

C

Bfpw ` uq

Bw

1udu^ du

“1

2π?

´1

ż

C

Bfpw ` uq

Bu

1udu^ du.


设 Dϵ 是以原点 0 为中心, ϵ 为半径的圆盘, 则

B

Bwg “ lim

ϵÑ0

12π

?´1

ż

C´Dϵ

Bfpw ` uq

Bu

1udu^ du

“ limϵÑ0

12π

?´1

ż

C´Dϵ

B

Bupfpw ` uq

uqdu^ du

“ limϵÑ0

12π

?´1

ż

C´Dϵ

´Bpfpw ` uq

uq ^ du

“ limϵÑ0

12π

?´1

ż

C´Dϵ

´dpfpw ` uq

uq ^ du

“ limϵÑ0

12π

?´1

ż

BDϵ

fpw ` uq

udu

“ limϵÑ0

12π

ż 2π

0

fpw ` ϵeiθqdθ

“ fpwq.

在上面倒数第三个等号后我们用到了 Stokes 积分公式.

引理 4.5.5 (Dolbeault 引理). 设 M 为黎曼曲面, ω 为开集 U 上的 pp, qq 形

式, q ě 1. 则对任意 m P U , 存在 m 的开邻域 V Ă U , 以及 V 上的 pp, q ´ 1q 形式

η, 使得 ω “ Bη.

证明. 不失一般性, 可以假设 M “ C, m 为原点 0. 我们只须考虑 ω “ hdz 以

及 ω “ hdz ^ dz 这两种情形即可. 以前者为例, 在原点附近取光滑的截断函数 ϕ,

使得在 0 附近 ϕ ” 1, 在 U 的边界附近恒为零. 令 f “ ϕ ¨ h, 通过零延拓, f 可以看

成 C 具有紧支集的光滑函数. 由上面的引理 4.5.4 知, 存在 C 上光滑函数 g, 使得B

Bz g “ f . 在 0 附近就有

Bg “Bg

Bzdz “ fdz “ ϕ ¨ hdz “ hdz.

对于 p1, 1q 形式, 证明完全类似. 如同 Poincare 引理导出 C 的强层分解那样, 由 Dolbeault 引理我们立即可以

导出下面的层的短正合序列:

0 Ñ O Ñ S0 BÝÑ S0,1 B

ÝÑ 0,

0 Ñ Ω1 Ñ S1,0 BÝÑ S1,1 B

ÝÑ 0.

它们分别是全纯函数芽层 O 和全纯 1 形式芽层 Ω1 的强层分解. 因此, 根据 de

Rham 定理, 我们得到

定理 4.5.6 (Dolbeault 定理). 在黎曼曲面 M 上, 有如下同调群的同构

H1pM ;Oq – H0,1

BpMq, H1pM ; Ω1q – H1,1

BpMq.


HqpM ;Oq “ HqpM ; Ω1q “ 0, q ě 2.

在前面一节, 我们用层的上同调来解 Mittag-Leffler 问题的时候发现, 如果

H1pM ;Oq “ 0,

则黎曼曲面M 上的 Mittag-Leffler问题总有解. 作为应用,我们考虑 C中连通开集上的 Mittag-Leffler 问题. 为此我们需要如下的 Runge 逼近定理 (见参考文献 [2]):

定理 4.5.7 (Runge). 设 K 为 C 中紧致集合, U Ą K 为开集. 则下面两条等

价:

p1q 每个在 K 的一个邻域内全纯的函数, 都可以用 U 上的全纯函数在 K 上

一致逼近;

p2q U ´K 的每一个连通分支在 U 内的闭包是非紧的.

现在我们利用 Dolbeault定理证明, C上的任何区域 (连通开集)上的 Mittag-

Leffler 问题总是有解的.

定理 4.5.8. 如果 M 为复平面 C 中区域, 则 H1pM ;Oq “ 0.

证明. 根据 Dolbeault定理,我们只须证明,任给 M 上的光滑函数 f ,总存在光

滑函数 g, 使得 BBz g “ f . 事实上, 因为 M 为连通开集, 由点集拓扑的知识可以找

到 M 的紧致穷竭, 即一列紧致子集 tKiu, 使得

piq M “ YiKi;

piiq Ki 包含于 Ki`1 的内点中;

piiiq M ´Ki 的连通分支在 M 内的闭包非紧.

由 Runge 逼近定理, tKiu 还满足

pivq 如果 f 是在 Ki 的领域内全纯的函数, 则存在 M 上的全纯函数列 tfnu,

使得 fn 在 Ki 上一致收敛到 f .

在 M 上取一列光滑截断函数 ψi, 使得 ψi|Ki`1 ” 1. 令

φi “

$

&

%

ψ1, i “ 1,

ψi ´ ψi´1, i ą 1.

则 φi|Ki ” 0, 且ř

i

φi “ 1. 由 Dolbeault 引理, 存在 C 上光滑函数 gi, 使得

Bgi

Bz “ φi ¨ f . 因为 φi ¨ f |Ki” 0, 故 gi 在 Ki´1 的一个邻域中是全纯函数. 由上面的

pivq, 存在 M 上的全纯函数 hi, 使得在 Ki´1 上满足 |gi ´ hi| ă 2´i. 定义

g “

8ÿ

i“1

pgi ´ hiq,


对于每个固定的 i, 在 Ki 上,

g “

iÿ

j“1

pgi ´ hiq `

8ÿ

j“i`1

pgi ´ hiq,

等式的第二部分在 Ki 上一致收敛, 在 Ki 上光滑. 因此 g 为 C 上的光滑函数, 且

在 Ki 上, 有Bg

Bz“

iÿ

j“1

Bgi

Bz`

8ÿ

j“i`1

Bgi

Bz“

ÿ

j

φj ¨ f “ f.

因此在 M 上有 BBz g “ f .

设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 算子 B 可以自然地定义在 L 值微分形式

上, 因此 Dolbeault 引理和 Dolbeault 定理可以做相应的推广. 记 Ω0pLq “ ΩpLq 为

L 的全纯截面芽层, Ω1pLq 为 L 值全纯 p1, 0q 形式芽层, Sp,qpLq 为 L 值光滑 pp, qq

形式芽层. 现在我们来定义算子 B : Sp,qpLq Ñ Sp,q`1pLq. 任取 m P M , 在 m 附近

定义的 L 值 pp, qq 形式是形如ř

i

ωisi 的有限和, 其中 ωi 为局部 pp, qq 形式, si 为

L 的局部截面. 在 m 附近, 全纯线丛 L 有局部平凡化, 因此存在 m 附近的处处非

零的全纯截面 s. 每个 si 均可表为 si “ fis, 其中 fi 为局部光滑函数. 因此

ÿ

i

ωisi “ÿ

i

fiωis “ ωs.

我们定义

Bpÿ

i

ωisiq “ pBωqs.

这个定义是恰当的: 如果另有局部处处非零的全纯截面 t, 并且ř

i

ωisi “ ηt, 则存

在全纯函数 f , 使得 t “ f ¨ s, 因而 ω “ fη. 对于全纯函数 f , Bf “ 0, 因此

pBωqs “ pBfηqs “ fpBηqs “ pBηqt.

这说明 B : Sp,qpLq Ñ Sp,q`1pLq 是定义好的层同态, 并且有短正合序列

0 Ñ Ω0pLq Ñ S0pLqBÝÑ S0,1pLq Ñ 0,

0 Ñ Ω1pLq Ñ S1,0pLqB

ÝÑ S1,1pLq Ñ 0,

它们分别是 Ω0pLq 和 Ω1pLq 的强层分解. 根据 de Rham 定理, 我们有

定理 4.5.9 (Dolbeault). 设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 则有如下同调群

的同构:

HqpM,ΩppLqq – tB 闭的 L 值 pp, qq 形式utB 恰当的 L 值 pp, qq 形式u, @ p, q ě 0.

特别地, 当 p` q ą 2 时 HqpM,ΩppLqq “ 0.


习题 4.5

1. 证明, 全纯线丛 L 的全纯截面层不是强层.

2. 证明, 如果 G 为非平凡交换群, 则平凡层 M ˆG 不是强层.

3. 证明, 对于任意因子 D, 摩天大厦层 SD 是强层.

4. 补充证明强层的高阶上同调群都是平凡的.

5. 设 M “ D 或 C, 利用层的短正合序列

0 Ñ Z Ñ O Ñ O˚ Ñ 0

证明 H1pM ; Zq “ 0.

§4.6 欧拉数

本节继续用层的上同调理论来研究黎曼曲面上的全纯线丛. 为了下面例子的

需要,我们先考虑复平面 C上具有紧支集的 de Rham上同调.设 ω 为 C上 p形式,

如果其支集 suppω “ tx P C |ωpxq ‰ 0u 为紧致集, 则称 ω 为具有紧支集的 p 形式,

记具有紧支集的 p 形式的全体为 ApcpCq. 显然, 外微分算子 d : Ap

cpCq Ñ Ap`1c pCq

仍是定义好的线性算子, 令

Hpc pCq “ t具有紧支集的闭的 p 形式ut具有紧支集的恰当 p 形式u.

称为 C 的紧支集 p 次 de Rham 上同调.

引理 4.6.1. 同调群 H2c pCq 同构于 C.

证明. 定义映射 ϕ : A2cpCq Ñ C 如下:

ϕpωq “

ż

Cω, @ ω P A2

cpCq.

如果 ω “ ω1 ` dη, η P A1cpCq, 则由 Stokes 公式知

ş

C ω “ş

C ω1, 因此 ϕ 诱导了同态

ϕ˚ : H2c pCq Ñ C. 下面说明 ϕ˚ 实际上是同构. 首先, 显然 ϕ˚ 是满射. 为了说明它

是单射, 只要证明, 如果ş

C ω “ 0, 则存在具有紧支集的 1 形式 η, 使得 ω “ dη. 这

实际上是具有紧支集微分形式的 Poincare 引理.

§4.6 欧拉数 151

现在设 z “ x `?

´1 y 为 C 上的复坐标, 则 ω “ fpx, yqdx ^ dy, f 为 C 上具有紧支集的光滑函数, 且

ş

C fdxdy “ 0. 在 R 上取具有紧支集的光滑函数 ψ, 使得ş

R ψ “ 1. 令

η “ r

ż x

´8

fps, yqdssdy´r

ż 8

´8

fps, yqdssr

ż x

´8

ψpuqdusdy´ψpxqr

ż y

´8

ż 8

´8

fps, tqdsdtsdx.

则 η 为具有紧支集的 1 形式, 且 ω “ dη. 从这个引理我们得到关于紧致黎曼曲面的有用推论:

推论 4.6.2. 任意连通紧致黎曼曲面 M 均有同调群的同构 H2dRpM ; Cq – C.

证明. 设 M 为紧致黎曼曲面, 定义映射 ψ : H2dRpM ; Cq Ñ C 为

ψprωsq “

ż

M

ω.

由 Stokes 积分公式知这是定义好的同态, 并且显然是满同态. 为了证明 ψ 为同构,

只要说明, 如果 ω 为 2 形式, 且ş

Mω “ 0, 则存在 1 形式 η, 使得 ω “ dη. 事实上,

利用单位分解, 我们首先可以把 ω 写为 2 形式的有限和 ω “ř

i

ωi, 其中每个 ωi 的

支集均包含于某个坐标邻域 Ui 内. 当 Ui X Uj ‰ H 时, 根据上面引理的证明不难

看出, ωi 和 ωj 分别等价于支集包含于 Ui X Uj 中的 2 形式. 因此 ωi 均等价于一

个固定坐标邻域内的 2 形式. 再一次利用上面的引理就知道 ω 为 M 上的恰当形

式. 现在我们考虑黎曼曲面 M 上的这样一些层, 它们的茎均为复线性空间. 设 S

为一个这样的层, 其上同调都是复线性空间, 假设都是有限维的复线性空间, 并且

次数充分高时, 对应的上同调群为零, 则我们定义一个形式和

χpSq “

8ÿ

q“0

p´1qq dimHqpM ;Sq.

称为层 S 的欧拉数. 对于 L 值全纯 p 形式芽层 ΩppLq, 其欧拉数记为 χppLq, 当

p “ 0 时, 也记 χpLq “ χ0pLq.

例 4.6.1. 平凡层的欧拉数.

考虑紧致黎曼曲面 M 上的平凡层 C, 由 de Rham 定理和上面的推论, 有

χpCq “

8ÿ

q“0

p´1qq dimHqpM ; Cq “

2ÿ

q“0

p´1qq dimHqdRpM ; Cq “ 2 ´ 2g.

其中 g 为 M 的亏格. 我们也记 χpMq “ χpCq, 称为曲面 M 的欧拉数.

例 4.6.2. 紧致黎曼曲面 M 上全纯函数芽层的欧拉数.


考虑全纯函数芽层的欧拉数 χpOq. 我们首先说明 dimH1pM ;Oq “ g,其中 g为

M 的亏格.由 Dolbeault定理, H1pM ;Oq – H0,1

BpMq,因此只要说明 dimH0,1

BpMq “

g 就行了. 事实上, 任给 p0, 1q 形式 ω, 由 Hodge 定理, 存在分解

ω “ ωh ` df ` ˚dg,

其中, ωh 为 M 上的调和 1 形式, f , g 为光滑函数. 考虑等式两端的 p0, 1q 分量, 有

ω “ ω1h ` Bpf `

?´1 gq

其中, ω1h P H. 不难看出, 这种形式的分解是惟一的, H0,1

BpMq 和 H 自然同构, 因

此 dimH0,1

BpMq “ dimH “ g. 这说明

χpOq “ dimH0pM ;Oq ´ dimH1pM ;Oq “ 1 ´ g.

例 4.6.3. 摩天大厦层的欧拉数.

设 D 为黎曼曲面 M 上的有效因子, 我们考虑摩天大厦层 SD 的欧拉数. 在前

面我们已经知道 SD 为强层, 并且 ΓpSDq – ‘pPM

nppqC – CdpDq, 因此

χpSDq “

8ÿ

q“0

p´1qq dimHqpM ;SDq “ dimH0pM ;SDq “ dim ΓpSDq “ dpDq.

层的欧拉数的一个有用的性质是对于短正合序列满足一个恒等式.

引理 4.6.3. 设 0 Ñ S1α

ÝÑ S2β

ÝÑ S3 Ñ 0 为层的短正合序列, 如果对于其中任

何两个层, 其欧拉数均有定义, 则另外的第三个层的欧拉数也有定义, 且

χpS2q “ χpS1q ` χpS3q.

证明. 层的短正合序列诱导了同调群的长正合序列

Hi´1pM ;S3qδ˚ÝÝÑHipM ;S1q

α˚ÝÝÑHipM ;S2q

β˚

ÝÝÑHipM ;S3qδ˚ÝÝÑHi`1pM ;S1q Ñ ¨ ¨ ¨ .

因此有如下的维数估计

dimHipM ;S1q ď dimHi´1pM ;S3q ` dimHipM ;S2q,

dimHipM ;S2q ď dimHipM ;S1q ` dimHipM ;S3q,

dimHipM ;S3q ď dimHipM ;S2q ` dimHi`1pM ;S1q.

特别地, 如果对于其中任何两个层, 其欧拉数均有定义, 则另外的第三个层的欧拉

数也有定义. 进一步有

dimHipM ;S1q “ dim δ˚Hi´1pM ;S3q ` dimα˚HipM ;S1q;

dimHipM ;S2q “ dimα˚HipM ;S1q ` dimβ˚HipM ;S2q;

dimHipM ;S3q “ dim δ˚HipM ;S3q ` dimβ˚HipM ;S2q.

§4.6 欧拉数 153

由欧拉数的定义, 有

χpS1q ´ χpS2q ` χpS3q

“

8ÿ

i“0

rp´1qi dim δ˚Hi´1pM ;S3q ` p´1qi dimα˚HipM ;S1qs

´

8ÿ

i“0

rp´1qi dimα˚HipM ;S1q ` p´1qi dimβ˚HipM ;S2qs

`

8ÿ

i“0

rp´1qi dim δ˚HipM ;S3q ` p´1qi dimβ˚HipM ;S2qs

“ 0.

这就证明了 χpS2q “ χpS1q ` χpS3q. 现在我们将第四节最后的引理做一点推广.

引理 4.6.4. 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 如果

dimH1pM ; ΩpLqq ă 8,

则存在因子 D, 使得 L “ λpDq.

证明. 由引理 4.2.5 知 dimH0pM ; ΩpLqq “ dimΓhpLq ă 8. 因此, 由引理的假

设我们知道 L 的欧拉数 χpLq 是可以定义的. 任取 p P M , 考虑层的短正合序列

0 Ñ ΩpLq Ñ ΩpL` λpnpqq Ñ Snp Ñ 0

由上面的引理我们就得到等式

χpL` λpnpqq “ χpLq ` χpSnpq “ χpLq ` dpnpq “ χpLq ` n.

当 n 充分大时必有 χpL` λpnpqq ą 0, 此时有

dimΓhpL` λpDqq ě χpL` λpnpqq ą 0.

再一次利用推论 4.2.4 就知道存在因子 D, 使得 L “ λpDq. 从引理的证明过程我们还可以看到, 对任何有效因子 D 均有

χpλpDqq “ χpOq ` dpDq “ p1 ´ gq ` dpDq.

对于一般的因子 D, 把它写成两个有效因子之差 D “ D1 ´D2, 则有

χpλpDqq “ χpλpD1qq ´ dpD2q “ p1 ´ gq ` dpD1q ´ dpD2q “ p1 ´ gq ` dpDq.

在下一章中我们将说明上式实际上是 Riemann-Roch 定理的另一个表现形式.

在下一章中,利用关于全纯线丛的 Hodge定理可以证明,对于紧致黎曼曲面上

的任何全纯线丛 L, 均有 dimH1pM ; ΩpLqq ă 8. 这说明紧致黎曼曲面上的全纯线

丛类群和因子类群是同构的, 即


定理 4.6.5. 对于任意紧致黎曼曲面, 均有群同构 λ : D Ñ L.

习题 4.6

1. 证明 Hqc pCq “ 0, q “ 0, 1.

2. 考虑层的正合序列

0 Ñ S1 Ñ S2 Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ Sn´1 Ñ Sn Ñ 0

如果这些层的欧拉数都有定义, 则

nÿ

i“1

p´1qiχpSiq “ 0.

3. 设 0 Ñ S Ñ S0 Ñ S1 Ñ ¨ ¨ ¨ 为层 S 的强层分解, 则当 χpSq 有定义且求和ř

i

p´1qi dimΓpSiq 有意义时, 有

χpSq “

8ÿ

i“0

p´1qi dimΓpSiq.

4. 对于开覆盖 U 定义形式和 χpU ;Sq “ř

qě0p´1qq dimHqpU ;Sq. 证明, 当求和有

意义时,

χpU ;Sq “

8ÿ

q“0

p´1qq dimCqpU ;Sq.

5. 对于紧致黎曼曲面上的任何全纯线丛 L 和因子 D, 均有

χpL` λpDqq “ χpLq ` dpDq.

6. 证明黎曼球面 S 上的全纯线丛群同构于整数群 Z.

第五章曲面的复几何

前一章里, 我们介绍了几种上同调. 本章我们将引入 Hermite 度量并讨论黎曼

曲面及全纯线丛的几何性质, 内容包括线丛上第一陈类, Hodge 定理及 Serre 对偶

定理和消没定理, 并给出 Riemann-Roch 公式的另外一个证明.

§5.1 Hermite 度量

首先回顾一下 Hermite内积的概念. 设 V 为复线性空间,映射 x, y : V ˆV Ñ C如果满足条件

p1q xλv1 ` µv2, wy “ λxv1, wy ` µxv2, wy, @ λ, µ P C, v1, v2, w P V ;

p2q xv, wy “ xw, vy;

p3q xv, vy ě 0, 等号成立当且仅当 v “ 0.

则称之为 V 上的一个 Hermite 内积. 此时, 在 V 的对偶空间 V ˚ 上有自然诱导的

Hermite 内积.

定义 5.1.1. 设 M 为黎曼曲面, ThpMq 为其全纯切丛. 如果在每个全纯切空

间 TphM 上都指定一个 Hermite 内积 hppq “ x, yp, 并且任给全纯切丛的两个光滑

截面 X1, X2, M 上的函数 hpX1, X2q, p ÞÑ xX1ppq, X2ppqyp 为光滑函数, 则称 h 为

M(或 ThpMq) 上的一个 Hermite 度量.

设 h为 Hermite度量, Uα 为任意局部坐标邻域,坐标函数为 zα “ xα `?

´1 yα.

记 hα “ hp BBzα

, BBzα

q 则 hα 为 Uα 上正的光滑函数, 在 Uα 上我们把 h 写为

h “ hαdzα b dzα. (5.1)

如果向量场 X,Y 分别有局部表示 X “ aαB

Bzα, Y “ bα

BBzα

, 则 hpX,Y q “ aαhαbα.

特别地, 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则在 Uα X Uβ 上, 有

hβ “ hpB

Bzβ,

B

Bzβq

“ hpBzα

Bzβ

B

Bzα,

Bzα

Bzβ

B

Bzαq

“ |Bzα

Bzβ|2 ¨ hα. (5.2)

反之,如果存在一族正的光滑函数 thαu满足条件 (5.2),则利用 (5.1)就定义了

M 上一个 Hermite 度量. 我们把 thαu 称为 Hermite 度量 h 的局部表示.

给定 Hermite 度量 h 及其局部表示, 我们在 Uα 上定义 p1, 1q 形式如下

Ωα “

?´12

hαdzα ^ dzα “ hαdxα ^ dyα.

155

156 第五章曲面的复几何

由 (5.2) 易见, 在 Uα X Uβ 上 Ωα “ Ωβ , 因此 tΩαu 定义了 M 上一个整体 p1, 1q 形

式, 记为 Ω, 这是一个处处非零的实的 2 形式, 称为 M 关于度量 h 的体积 (面积)

形式. 此时 VolpM,hq “ş

MΩ ą 0, 称为 M 关于度量 h 的体积 (面积).

下面我们来考虑另一个重要的 p1, 1q 形式. 在 Uα 上令 Θα “ BB log hα. 在

Uα X Uβ 上, 利用 (5.2) 得

Θβ “ BB log hβ “ BB logp|Bzα

Bzβ|2 ¨ hαq

“ BB log hα ` BB logBzα

Bzβ` BB log

Bzα

Bzβ

“ BB log hα.

这说明 tΘαu 也定义了 M 上一个整体的 p1, 1q 形式, 记为 Θ, 称为 M 关于度量 h

的曲率形式. 因为体积形式处处非零, 故 Θ 可表示为

Θ “K

?´1

Ω.

其中 K 为 M 上的实值光滑函数, 称为 M 关于度量 h 的 Gauss 曲率, 在 Uα 上可

写为

K “ ´2hα

B2 log hα

BzαBzα.

通过单位分解和局部表示我们容易知道, 黎曼曲面上总是存在许多的 Hermite 度

量. 令人惊奇的是,对于紧致黎曼曲面,任给一个 Hermite度量,我们总有如下积分

公式

定理 5.1.1 (Gauss-Bonnet). 设 h 为紧致黎曼曲面 M 上任一 Hermite 度量,

则12π

ż

M

KΩ “ χpMq.

证明. 在 M 上任取非零亚纯微分 ω, 记 ω 的零点和极点全体为 tpiu. 在局部

坐标邻域 Uα 内, ω 有局部表示 ω “ fαdzα. 当 Uα XUβ ‰ H时, fβ “ fα ¨ Bzα

Bzβ,因此

|fβ |2 “ |fα|2 ¨ |Bzα

Bzβ|2.

由 (5.2) 及上式得

|fβ |2h´1β “ |fα|2h´1

α .

这说明存在 M ´ tpiu 上定义的光滑函数 f , 使得在每个 Uα 上均有

|fα|2 “ f ¨ hα. (5.3)

§5.1 Hermite 度量 157

现在我们在每个点 pi 处选取一个坐标圆盘 Di, ϕi : Di Ñ C为坐标映射, ϕippiq “ 0,

ϕipDiq “ D. 我们可以假设这些坐标圆盘互不相交. 对 0 ă r ă 1, 令

Diprq “ tp P Di

ˇ

ˇ |ϕippq| ă ru.

我们有12π

ż

M

KΩ “

?´12π

ż

M

Θ

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

Θ

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

BB log hα

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

pBB log |fα|2 ´ BB log fq

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

´BB log f

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

´dB log f

“ÿ

i

limrÑ0

?´12π

ż

BDiprq

B log f

“ÿ

i

limrÑ0

?´12π

ż

BDiprq

Bplog fi ` log fi ´ log hiq

“ÿ

i

limrÑ0

?´12π

ż

BDiprq

B log fi.

其中, ω 在 Di 中的局部表示为 ω “ fidzi, h在 Di 中的局部表示为 h “ hidzi b dzi.

亚纯函数 fi 在 Di 中可以表示为 fi “ znii ¨ gi, 其中 gi 为 pi 附近处处非零的全纯

函数. 此时

limrÑ0

ż

BDiprq

B log fi “ limrÑ0

ż

BDiprq

B log znii “ 2π

?´1ni.

这说明

12π

ż

M

KΩ “ÿ

i

?´12π

2π?

´1ni “ ´ÿ

i

ni “ ´dppωqq “ 2 ´ 2g “ χpMq.

其中 g 为 M 的亏格. 设 ϕ : M Ñ N 为黎曼曲面之间非退化的全纯映射, 如果 h 为 N 上的 Hermite

度量, 则在 M 上可以如下定义一个 Hermite 度量 ϕ˚h:

ϕ˚hpX,Y q “ hpϕ˚X,ϕ˚Y q.


其中 ϕ˚ 为切映射. ϕ˚h 称为拉回度量. 如果 h1 为 M 上 Hermite 度量, ϕ 为双全

纯映射, 且 h1 “ ϕ˚h, 则称 ϕ 为全纯等距. 黎曼曲面之间的全纯复迭映射是处处非

退化的, 因此可以把黎曼曲面上的 Hermite 度量通过复迭映射拉回到复迭空间上;

反之,给定复迭空间上的一个 Hermite度量,如果复迭变换都是该度量的全纯等距,

则这个度量可以 “下降” 为曲面上的 Hermite 度量, 即此度量拉回后就是复迭空间

上给定的 Hermite 度量.

给定黎曼曲面 M 上的 Hermite 度量 h, 在每一点 p P M 的切空间 TpM 上都

有一个诱导内积 gp. gp 可如下定义: 设 zα “ xα `?

´1 yα 为 p 附近的局部复坐

标, h 有局部表示 h “ hαdzα b dzα. 则规定

gppB

Bxα,

B

Byαq “ 0, gpp

B

Bxα,

B

Bxαq “ hα, gpp

B

Byα,

B

Byαq “ hα.

由 (5.2) 易见这样定义的内积 gp 和局部坐标的选取无关, 在坐标邻域内我们可以

记为

gα “ hαpdxα b dxα ` dyα b dyαq.

gα 实际上组成 M 上的一个二阶正定对称张量 g, 称为由 Hermite 度量 h 诱导的

Riemann 度量. 我们也可以表示为 g “ Reh (h 的实部).

有了 Riemann 度量, 我们可以定义曲线的长度. 设 σ : I Ñ M 为黎曼曲面 M

上的连续可微曲线, 令

Lpσq “

ż

I

a

gpσ, σqds,

称为 σ 的长度, 其中 σ 是 σ 的切向量场. 任给 p, q P M , 令

dpp, qq “ inftLpσq |σ 为连接 p 和 q 的曲线u,

称为 p, q 的距离. 不难证明,这样定义的映射 dp¨, ¨q : M ˆM Ñ R` 的确为 M 上的

一个距离, 即

p1q dpp, qq ě 0, 等号成立当且仅当 p “ q;

p2q dpp, qq “ dpq, pq;

p3q dpp, qq ď dpp, rq ` dpr, qq, @ r P M .

如果 ϕ 为全纯等距, 则显然 dpp, qq “ dpϕppq, ϕpqqq. 如果 σ 是连接 p, q 的曲线, 且

Lpσq “ dpp, qq, 则称 σ 为连接 p, q 的最短测地线. 如果光滑曲线在其每一点附近均

为最短测地线, 则称之为测地线.

如果作为距离空间 pM,dq 是完备的, 则称度量 g 或 h 为完备度量. 度量的完

备性有一些等价的描述, 例如, 任意固定一点 p, 对 ρ ą 0, 令

Bρppq “ tq P M | dpq, pq ă ρu,


称为以 ρ 为半径, p 为中心的测地球, 其闭包 Bρppq “ tq P M | dpq, pq ď ρu 称为闭

测地球. 度量是完备的当且仅当每一个闭测地球均为紧致集合. 显然, 紧致黎曼曲

面上的度量都是完备的.

下面我们来研究几个具体的例子.

例 5.1.1. 复平面 C.

设 z “ x`?

´1 y为 C上的标准复坐标,则 h “ dzbdz 显然为 C上的 Hermite

度量, 其曲率 K ” 0. 曲率为零的度量一般称为平坦度量. h 诱导的 Riemann 度量

为 g “ dx b dx` dy b dy, 在每一点的切空间上, 这个 Riemann 度量定义的内积和

C 中的欧氏内积完全相同. 下面我们说明, g 诱导的距离和 C 中的欧氏距离也完全相同.

首先注意到, C的全纯自同构 ϕpzq “ az` b为 h的全纯等距当且仅当 a “ eiθ,

i “?

´1, θ P R. 即 C 中的平移和旋转都是全纯等距. 因此, 为了说明 dpp, qq “

|p ´ q|, 我们可以假设 p, q P R. 设 σ : r0, 1s Ñ C 是连接 p, q 的曲线, σptq “

xptq `?

´1 yptq. 由曲线长度的定义, 有

Lpσq “

ż 1

0

a

px1ptqq2 ` py1ptqq2 dt ě

ż 1

0

|x1ptq| dt

ě |

ż 1

0

x1ptqdt| “ |xp1q ´ xp0q| “ |q ´ p|.

这说明 dpp, qq ě |p ´ q|. 另一方面, 连接 p, q 的直线段长度显然为 |p ´ q|, 因此

dpp, qq “ |p´ q|. 这也说明直线为 C 在度量 g 下的测地线, 并且由刚才的证明可以

看出测地线也只能为直线.

例 5.1.2. 黎曼球面 S.

在 C 上考虑这样的 Hermite 度量 h “ 4r1 ` |z|2s´2dz b dz. 当更换坐标函数

z “ w´1 时,

h “ 4r1 ` |z|2s´2dz b dz “ 4r1 ` |w|´2s´2 ´dw

w2b

´dw

w2

“ 4r1 ` |w|2s´2dw b dw.

因此, h 实际上可以定义在 S “ C Y t8u 上成为 Hermite 度量, 其曲率形式计算如

下:

Θ “ BB log 4r1 ` |z|2s´2 “ 2r1 ` |z|2s´2dz ^ dz.

因此, 这个度量的曲率 K ” 1.

例 5.1.3. 黎曼环面.


设 M 是亏格为 1 的紧致黎曼曲面. 在 M 上任取非零全纯微分 ω, 则 ω 实

际上处处非零. 令 h “ ω b ω, h 为 M 上的 Hermite 度量. 在局部坐标下, 如果

ω 有局部表示 ω “ fαdzα, 则 fα 为不取零值的局部全纯函数, 而 h 有局部表示

h “ |fα|2dzα b dzα. 因此, h 的曲率形式计算如下:

Θ “ BB log |fα|2 “ BB log fα ´ BB log fα “ 0.

即 h 的曲率 K ” 0, h 为平坦度量.

假设 π : M Ñ M 为 M 的万有复迭映射, 则拉回度量 π˚h 为 M 上的 Hermite

度量. 利用 Riemann几何的初步知识可以证明,拉回度量是完备平坦度量,因而 M

连同拉回度量全纯等距于第一例中的复平面 C. 这说明 M 必为 C 关于某离散子群之商, 从而全纯同构于某黎曼环面.

例 5.1.4. Poincare 圆盘 D.

令 h “ 4r1 ´ |z|2s´2dz b dz, 则 h 为 D 上的一个 Hermite 度量. 我们计算它的

曲率形式如下:

Θ “ BB log 4r1 ´ |z|2s´2 “ ´2r1 ´ |z|2s´2dz ^ dz.

因此, h 的曲率 K ” ´1. 一般地, 我们把曲率恒为 ´1 的度量称为双曲度量.

任给 z0 P D, θ P R, 考虑分式线性变换 ϕ : D Ñ D, ϕpzq “ eiθ z´z01´z0z . 我们下面

说明 ϕ 关于 h 为全纯等距. 事实上

ϕ˚h “ 4r1 ´ |ϕpzq|2s´2dϕb dϕ “ 4r1 ´ |ϕpzq|2s´2|ϕ1pzq|2dz b dz

“4|1 ´ z0z|4

p|1 ´ z0z|2 ´ |z ´ z0|2q2|

1 ´ |z0|2

p1 ´ z0zq2|2dz b dz

“4|1 ´ z0z|4

p1 ´ |z|2q2p1 ´ |z0|2q2|

1 ´ |z0|2

p1 ´ z0zq2|2dz b dz

“ 4r1 ´ |z|2s´2dz b dz.

下面我们在度量 h 下来计算 D中两点 z1, z2 的距离. 令 ϕpzq “ eiθ z´z11´z1z , 适当选取

θ, 使得 ϕpz2q P R. 设 σ : r0, 1s Ñ D 是连接 ϕpz1q “ 0 和 ϕpz2q 的任意曲线, 则

Lpσq “

ż 1

0

2a

px1ptqq2 ` py1ptqq2

1 ´ x2ptq ´ y2ptqdt

ě

ż 1

0

2|x1ptq|

1 ´ x2ptqdt

ě |

ż 1

0

2x1ptq

1 ´ x2ptqdt|

“ | log1 ` ϕpz2q

1 ´ ϕpz2q| “ log

1 ` |ϕpz2q|

1 ´ |ϕpz2q|

“ log|1 ´ z1z2| ` |z1 ´ z2|

|1 ´ z1z2| ´ |z1 ´ z2|.


等号成立当且 σ 是连接 ϕpz1q 和 ϕpz2q 的直线段. 因此

dpz1, z2q “ dpϕpz1q, ϕpz2qq “ log|1 ´ z1z2| ` |z1 ´ z2|

|1 ´ z1z2| ´ |z1 ´ z2|.

这也说明, 从原点 0 出发的直线是 D 在双曲度量 h 下的测地线. 由于等距变换把

测地线变为测地线,而分式线性变换把经过原点的直线映为终点和单位圆周正交的

圆弧, 因此这些圆弧都是测地线.

为了方便起见, 有时我们也考虑双曲度量的上半平面模型

H “ tz P C | Imz ą 0u.

H 上的 Hermite 度量 g 定义如下

g “dz b dz

pImzq2.

读者可自行验证 pD, hq 与 pH, gq 是全纯等距的.

利用双曲度量, 我们可以重新解释 Schwarz 引理.

定理 5.1.2 (Schwarz-Pick). 设 f : D Ñ D 为全纯映射, 则

dpfpz1q, fpz2qq ď dpz1, z2q, @ z1, z2 P D.

这里的 dp¨, ¨q 为双曲距离, 并且如果存在 z1 ‰ z2 使上式中的等号成立, 则 f 必为

全纯等距.

证明. 分别记 ϕ, ψ 为把 z1 映为 0 和把 fpz1q 映为 0 的全纯自同构, 则复合映

射 F “ ψ ˝ f ˝ ϕ´1 是满足 Schwarz 引理条件的全纯映射, 因此

|F pwq| ď |w|, @ w P D.

这个不等式可用双曲距离重新解释为

dp0, F pwqq ď dp0, wq, @ w P D.

特别地, 取 w “ ϕpz2q, 有

dpfpz1q, fpz2qq “ dpψ ˝ fpz1q, ψ ˝ fpz2qq “ dp0, F pϕpz2qqq

ď dp0, ϕpz2qq “ dpϕpz1q, ϕpz2qq

“ dpz1, z2q.

当等号成立时, 由 Schwarz 引理的结论我们知道 F 为全纯同构, 从而 f 亦然, 此时

f 为全纯等距.


这个引理告诉我们, 全纯映射在双曲度量下是距离非增的. 这个事实的无穷小

表现形式可以写为|f 1pzq|

1 ´ |fpzq|2ď

11 ´ |z|2

, @ z P D.

Schwarz-Pick 定理的推广和在复分析的许多应用请读者参看文献 [3], 许多结

果还可以推广到高维复流形上.

如果 M 为亏格大于 1 的紧致黎曼曲面, 则存在复迭映射 π : D Ñ M . 因为复

迭变换关于 D 上的双曲度量 h 为全纯等距, 因此在 M 上存在 Hermite 度量 g, 使

得 h “ π˚g. g 的曲率显然也恒为 ´1, 即我们在亏格大于 1的任何紧致黎曼曲面上

都找到了双曲度量.

假设 M 为紧致黎曼曲面, h 为一个 Hermite 度量. 在第三章第二节中, 我们在

1 形式空间 A1pMq 上定义了 Hermite 内积, 现在把这个内积扩充到微分形式的全

体 ApMq “ A0pMq ‘A1pMq ‘A2pMq 上: 我们规定不同次数的微分形式是正交的;

如果 f, g P A0pMq, 则令

pf, gq “

ż

M

fgΩ,

其中 Ω 为 h 的体积形式; 如果 ω1 “ f1Ω, ω2 “ f2Ω P A2pMq, 则令

pω1, ω2q “

ż

M

f1f2Ω.

Hodge 星算子 ˚ : A1pMq Ñ A1pMq 也可以函数线性地扩充为

˚ : Ap,q Ñ A1´q,1´p, ˚1 “ Ω; ˚Ω “ 1.

于是 AppMq 上的内积可以写为

pη1, η2q “

ż

M

η1 ^ ˚η2.

算子 ˚ 还满足以下性质:

˚2 “ p´1qp`q; p˚η1, ˚η2q “ pη1, η2q.

我们如下定义两个新的算子 δ : AppMq Ñ Ap´1pMq, ϑ : Ap,qpMq Ñ Ap,q´1pMq :

δ “ ´ ˚ d˚, ϑ “ ´ ˚ B ˚ .

它们分别是 d 和 B 关于内积 p, q 的伴随算子, 即有

引理 5.1.3. 在紧致黎曼曲面上, 算子 δ 和 ϑ 满足等式

pdω, ηq “ pω, δηq, pBω, ηq “ pω, ϑηq.


证明. 设 ω P Ap´1pMq, η P AppMq, 则

pdω, ηq ´ pω, δηq “

ż

M

dω ^ ˚η ´ ω ^ ˚δη

“

ż

M

dω ^ ˚η ` p´1qp´1ω ^ d ˚ η

“

ż

M

dpω ^ ˚ηq “ 0.

第一个等式得证. 再设 ω P Ap,q´1pMq, η P Ap,qpMq, 则

pBω, ηq ´ pω, ϑηq “

ż

M

Bω ^ ˚η ´ ω ^ ˚ϑη

“

ż

M

Bω ^ ˚η ` p´1qp`q´1ω ^ B ˚ η

“

ż

M

Bpω ^ ˚ηq

“

ż

M

dpω ^ ˚ηq “ 0.

上面倒数第二个等号是因为 ω ^ ˚η 为 p1, 0q 形式. 令 ∆ “ dδ ` δd, “ Bϑ` ϑB, 则 ∆ 和都是保型的算子, 即把 Ap,qpMq 映到

Ap,qpMq. 这两个算子具有如下性质:

• 在紧致黎曼曲面上, ∆ω “ 0 ô dω “ 0, δω “ 0; ω “ 0 ô Bω “ 0, ϑω “ 0. 这

由上面的引理立得.

• “ 12∆. 事实上, 由 d “ B ` B, δ “ ϑ` ϑ 得

∆ “ pB ` Bqpϑ` ϑq ` pϑ` ϑqpB ` Bq

“ ` ` pBϑ` ϑBq ` Bϑ` ϑB

请读者自行验证 Bϑ` ϑB “ 0, “ . 因此 ∆ “ 2.

• ˚∆ “ ∆˚, ˚ “ ˚. 前者由算子定义可直接验证, 后者可由上一条性质得到.

• 如果 f 为紧致黎曼曲面上的光滑函数, 则ş

MfΩ “ 0 当且仅当存在光滑函数

g, 使得 f “ g. 事实上, 如果 f “ g, 则简单的计算表明 pgΩq “ pgqΩ, 因

此

fΩ “ pgΩq “12∆pgΩq “

12dpδpgΩqq.

由 Stokes 公式即知ş

MfΩ “ 0. 反之, 如果

ş

MfΩ “ 0, 则由第四章推论 4.6.2

的证明知,存在 1形式 η,使得 fΩ “ dη. 由第三章的 Hodge定理, η 可分解为

η “ ηh ` dh1 ` ˚dh2,


其中 ηh 为调和 1 形式, h1, h2 为光滑函数. 从而有

f “ ˚pfΩq “ ˚dη “ ˚dpηh ` dh1 ` ˚dh2q “ ˚d ˚ dh2 “ ´∆h2 “ g,

其中 g “ ´2h2.

如果 ω “ 0, 则称 ω 为调和形式. 这个定义和以前调和函数及调和 1 形式的定义

是一致的.

习题 5.1

1. 证明黎曼曲面上 Hermite 度量总是存在的.

2. 在本节第二例的度量下计算黎曼球面 S 的面积.

3. 证明, 在本节第三例的度量下黎曼球面 S “ S2 的测地线是大圆.

4. 说明本节第四例中 D 上的双曲度量是完备的.

5. 证明, 全纯复迭映射把完备度量拉回为完备度量.

6. 设 M 为紧致黎曼曲面, 亏格为 1, π : M Ñ M 为 M 的万有复迭. 在 M

上任取非零全纯微分 ω, 由于 M 为单连通黎曼曲面, 存在 M 上的全纯函数

f : M Ñ C, 使得 π˚ω “ df . 证明 f 为全纯同构.

7. 证明, 当亏格大于 1 时, M 上的 Bergman 度量 (第三章第四节中有定义) 的曲

率非正, 且只在有限个点处为零.

§5.2 线丛的几何

现在我们把前一节关于 Hermite 度量的结果推广到全纯线丛上.

定义 5.2.1. 设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛. 如果在每个纤维 Lp 上都指

定一个 Hermite 内积 gppq “ x, yp, 并且任给 L 的两个光滑截面 s1, s2, M 上的函数

gps1, s2q, p ÞÑ xs1ppq, s2ppqyp 为光滑函数, 则称 g 为 L 上的一个 Hermite 度量.

设 L 在开集 Uα 上有局部平凡化 ψα, 则在 Uα 上存在处处非零的局部全纯截

面 sα, sαpxq “ ψ´1α px, 1q, x P Uα. 记 gα “ gpsα, sαq, 则 gα 为 Uα 上的正光滑函数.

当 Uα X Uβ ‰ H 时, sα “ fβαsβ , 其中 fβα 为 L 的连接函数. 因此有

gα “ gpsα, sαq “ gpfβαsβ , fβαsβq “ |fβα|2gβ (5.4)

反之, 满足上面条件的一族光滑正函数 gα 就给出了 L 的一个 Hermite 度量 g. 我

们把 tgαu 称为 Hermite 度量 g 的局部表示.

§5.2 线丛的几何 165

例 5.2.1. 通过利用M 上的单位分解容易知道,全纯线丛 L上总存在 Hermite

度量. 如果 g 为 Hermite度量, ϕ为 M 上的正光滑函数,则 ϕ ¨g 也是 L的 Hermite

度量.

设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, L 为 N 上的全纯线丛, g 为 L 上

的 Hermite 度量, 则在 M 的拉回丛 f˚L 上有自然的拉回度量 f˚g. 事实上, 如果

g 有局部表示 tgαu, 则 f˚g 有局部表示 tgα ˝ fu.

例 5.2.2. 考虑平凡丛 L “ M ˆ C. 显然, C 上的任何 Hermite 内积都可以看

成 L 上的 Hermite 度量.

例 5.2.3. 如果在 M 的全纯切丛 ThM 上给定了 Hermite 度量 h, 则在全纯

余切丛 T˚hM 上有自然诱导的 Hermite 度量 h´1. 事实上, 如果 h 的局部表示为

thαu, 则 th´1α u 为 h´1 的局部表示. 类似地, 如果在全纯线丛 L 上给定了 Hermite

度量, 则在对偶丛 L˚ “ ´L 上有自然诱导的 Hermite 度量.

设 g 为全纯线丛 L 上的 Hermite 度量, 其局部表示为 tgαu. 在局部平凡化邻

域 Uα 中定义 p1, 0q 形式 θα 如下:

θα “ B log gα. (5.5)

在 Uα X Uβ 上有

θα “ B log fβα ` B log fβα ` B log gβ “ f´1βα Bfβα ` θβ . (5.6)

虽然 θα 不是 M 上整体定义的微分形式, 我们却可以利用它来定义一个整体的微

分算子 D : A0pLq Ñ A1pLq. 事实上, 任给 L 的光滑截面 s, 在平凡化邻域 Uα 上, s

可以表示为 s “ fαsα, 其中 fα 为局部光滑函数. 令

Ds “ pdfα ` fαθαqsα.

在 Uα X Uβ 上, 由 fαsα “ fβsβ 知

fα ¨ fβα “ fβ .

因此, 利用 (5.6) 及 fβα 的全纯性得

pdfα ` fαθαqsα “ pfβαdfα ` fβαfαθαqsβ

“ rdfβ ´ fαdfβα ` fβαfαpf´1βα Bfβα ` θβqssβ

“ pdfβ ` fβθβqsβ .

这说明算子 D 的定义是恰当的. D 具有以下性质


p1q Dps1 ` s2q “ Ds1 `Ds2, @ s1, s2 P A0pLq. 由定义, 这是显然的.

p2q Dpfsq “ pdfqs` fpDsq, @ f P A0pMq, s P A0pLq. 这可直接验证:

Dpfsq “ rdpffαq ` ffαθαssα “ dfpfαsαq ` fpdfα ` fα ¨ θαqsα

“ pdfqs` fpDsq.

p3q d xs1, s2y “ xDs1, s2y ` xs1, Ds2y, @ s1, s2 P A0pLq. 其中, 内积 x, y只作用于

截面. 事实上, 由 θα 的定义易见

dgα “ θαgα ` θαgα.

这说明, 对于局部截面 s1 “ s2 “ sα 性质 p3q 成立. 由性质 p2q 可知性质 p3q

对任何截面 s1, s2 均成立.

p4q D 是 p1, 0q 型的. 即, 如果 s 为 (局部) 全纯截面, 则 Ds P A1,0pLq. 事实上,

如果 s 有局部表示 s “ fα ¨ sα, 则 fα 为局部全纯函数, 从而

Ds “ pdfα ` fα ¨ θαqsα “ pBfα ` fα ¨ θαqsα.

Ds 显然为 L 值 p1, 0q 形式.

一般地, 我们把满足上面性质 p1q 和 p2q 的线性算子 D 称为线丛 L 上的一个联络,

联络给出了截面求导的一种有效方式. 满足性质 p3q 和 p4q 的联络称为和 Hermite

度量相容的联络, 不难证明这样的联络是惟一的. 局部的 1 形式 tθαu 称为联络 1

形式.

我们可以把联络算子扩充到任何 L 值的微分形式上. 设 ω 为 L 值 p 形式, 它

有局部表示 ω “ ωαsα, 其中 ω 为 M 上的局部 p 形式. 令

Dω “ pdωα ` p´1qpωα ^ θαqsα.

用验证联络定义恰当性的方法类似地验证上面的定义是恰当的,这样就定义了算子

D : AppLq Ñ Ap`1pLq. 它满足性质

Dpω1 ` ω2q “ Dω1 `Dω2; Dpfωq “ df ^ ω ` fDω, @ f P A0pMq.

设 tθαu 是上面给出的联络 1 形式, 令

Θα “ dθα “ BB log gα.

由 (5.6) 可知, 在 Uα X Uβ 上

Θα “ dθα “ Bθα “ Bθβ “ Θβ ,

因此 tΘαu定义了 M 上的一个整体 p1, 1q形式,称为 L关于度量 g 的曲率形式,记

为 Θ. 和全纯切丛的情形一样, 我们有如下积分公式:

§5.2 线丛的几何 167

定理 5.2.1 (Gauss-Bonnet). 设 D 为紧致黎曼黎曼曲面 M 上的因子, g 为全

纯线丛 L “ λpDq 上的一个 Hermite 度量, 则有?

´12π

ż

M

Θ “ dpDq “ χpLq ´12χpMq.

证明. 设 D “ř

i

nipi. 我们回忆一下全纯线丛 L “ λpDq 的构造: L 的连接函

数由 fβα “ fβfα 给出, 其中 fα 是坐标邻域 Uα 中的亚纯函数, 且 pfαq “ D X Uα.

假设 Hermite 度量 g 的局部表示为 tgαu, 则由 (5.4) 得

gα|fα|2 “ gβ |fβ |2.

因此 tgα|fα|2u 定义了 M ´ tpiu 上的一个正的光滑函数 f .

我们在每个点 pi 处选取一个坐标圆盘 Di, ϕi : Di Ñ C为坐标映射, ϕippiq “ 0,

ϕipDiq “ D. 通过适当选取可以假设这些坐标圆盘互不相交. 对 0 ă r ă 1, 令

Diprq “ tp P Di

ˇ

ˇ |ϕippq| ă ru. 我们有?

´12π

ż

M

Θ “ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

Θ

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

BB log gα

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

p´BB log |fα|2 ` BB log fq

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

BB log f

“ limrÑ0

?´12π

ż

MÝiDiprq

dB log f

“ ´ÿ

i

limrÑ0

?´12π

ż

BDiprq

B log f

“ ´ÿ

i

limrÑ0

?´12π

ż

BDiprq

Bplog fi ` log fi ` log giq

“ ´ÿ

i

limrÑ0

?´12π

ż

BDiprq

B log fi.

其中, g 在 Di 中的局部表示为 tgiu, 亚纯函数 fi 在 Di 中可以表示为 fi “ znii ¨ hi,

hi 为 pi 附近处处非零的全纯函数. 此时

limrÑ0

ż

BDiprq

B log fi “ limrÑ0

ż

BDiprq

B log znii “ 2π

?´1ni.

这说明 ?´12π

ż

M

Θ “ ´ÿ

i

?´12π

2π?

´1ni “ÿ

i

ni “ dpDq.


这就证明了积分公式. Gauss-Bonnet 可以推广到高维流形上, 读者可查阅陈省身先生所给出的简洁

而优美的内蕴证明.

习题 5.2

1. 证明在任何全纯线丛上都存在 Hermite 度量.

2. 验证联络 D : A0pLq Ñ A1pLq 满足性质 p3q.

3. 证明满足性质 p3q 和 p4q 的联络是惟一的.

4. 验证算子 D : AppLq Ñ Ap`1pLq 的恰当性, 并证明 D2s “ Θs, @ s P A0pLq.

5. 试说明前一节的 Gauss-Bonnet公式是本节 Gauss-Bonnet公式的特殊情形,并

比较两个证明的异同.

§5.3 线丛的 Hodge 定理

设 M 为紧致黎曼曲面, L为 M 上的全纯线丛. 我们在 ThM 以及 L上分别取

定 Hermite 度量 h 和 g. 首先, 我们把 Hodge 星算子 ˚ : Ap,qpMq Ñ A1´q,1´ppMq

扩充到 L值的微分形式上. 设 σ 为 L值 pp, qq形式,局部上可以写成 σ “ ωs, ω 为

局部 pp, qq 形式, s 为局部截面. 令

˚σ “ p˚ωqs.

因为微分形式上定义的 ˚ 算子是函数线性的, 因此容易知道上式定义是恰当的, 这

样我们就定义了算子 ˚ : Ap,qpLq Ñ A1´q,1´ppLq, 显然, ˚2 “ p´1qp`q.

其次, 利用 ˚ 算子, 我们把微分形式的内积也扩充到 L 值的微分形式上. 设

σ1, σ2 为 L 值 pp, qq 形式, 令

pσ1, σ2q “

ż

M

xs1, s2yω1 ^ ˚ω2,

不难验证上式定义也是恰当的, 并且定义了 Ap,qpLq 上的一个 Hermite 内积. 我们

规定, 不同次数的 L 值微分形式是正交的, 这样就在 ApLq 上定义了一个 Hermite

内积, 并且算子 ˚ 是保内积的.

设 D : Ap,qpLq Ñ Ap`1,qpLq ‘ Ap,q`1pLq 是 L 的联络扩充而来的微分算子, 我

们把它的 pp` 1, qq分量记为 D1 : Ap,qpLq Ñ Ap`1,qpLq,即在局部上,如果 σ “ ωsα,

则有

D1σ “ pBω ` p´1qp`qω ^ θαqsα.

§5.3 线丛的 Hodge 定理 169

我们曾经定义过算子 B : Ap,qpLq Ñ Ap,q`1pLq, 显然有 D “ D1 ` B.

考虑算子 ϑ : Ap,qpLq Ñ Ap,q´1pLq, ϑ “ ´ ˚D1˚. 我们有

引理 5.3.1. 算子 B 和 ϑ 关于内积 p, q 互为伴随算子, 即

pBσ1, σ2q “ pσ1, ϑσ2q, @ σ1 P Ap,q´1pLq, σ2 P Ap,qpLq.

证明. 任取 σ1 P Ap,q´1pLq, σ2 P Ap,qpLq. 设它们的局部表示分别为

σ1 “ ω1sα, σ2 “ ω2sα.

我们计算如下

pBσ1, σ2q ´ pσ1, ϑσ2q

“

ż

M

gαBω1 ^ ˚ω2 ` p´1qp`q´1gαω1 ^ B ˚ ω2 ´ ω1 ^ ˚ω2 ^ θα

“

ż

M

Bω1 ^ ˚ω2gα ` p´1qp`q´1ω1 ^ gαB ˚ ω2 ´ ω1 ^ ˚ω2 ^ Bgα

“

ż

M

Bpω1 ^ ˚ω2gαq

“

ż

M

dpω1 ^ ˚ω2gαq “ 0.

其中倒数第二个等号是因为 ω1 ^ ˚ω2gα 为 M 上的 p1, 0q 形式. 现在我们定义保型算子 : Ap,qpLq Ñ Ap,qpLq 为

“ Bϑ` ϑB,

称为 B-Laplace 算子, 它具有以下性质:

• 为自伴算子, 即

pσ1, σ2q “ pσ1,σ2q, @ σ1, σ2 P Ap,qpLq.

这是因为, B2 “ 0, ϑ2 “ 0, 因此 “ pB ` ϑq2, 而由引理 5.3.1 知 B ` ϑ 为自伴

算子.

• σ “ 0 ðñ Bσ “ 0, ϑσ “ 0. 这是因为

pσ, σq “ pBϑσ, σq ` pϑBσ, σq “ pBσ, Bσq ` pϑσ, ϑσq.

下面我们来推导的局部表达式. 仍记 sα 为 L 上的局部处处非零全纯截面,

L 的 Hermite 度量 g 有局部表示 tgαu, ThM 的 Hermite 度量 h 局部表示为

h “ hαdzα b dzα.


h 的体积形式表示为 Ω “?

´12 hαdzα ^ dzα, L 的曲率形式表示为 Θ “ BB log gα, 因

为 Ω 处处非零, 故 Θ 也可写为

Θ “K

?´1

Ω,

K 为 M 上光滑实函数, 称为 L 关于上述度量的曲率, 其局部表示为

K “ ´2hα

B2 log gα

BzαBzα.

令

0 “´2hα

pB2

BzαBzα`

B log gα

Bzα

B

Bzαq.

则当 σ “ σαsα P A0pLq 时,

σ “ p0σαqsα; (5.7)

当 σ “ σαdzαsα P A1,0pLq 时,

σ “ rp0 ´ 2Bh´1

α

Bzα

B

Bzαqsσαdzαsα; (5.8)

当 σ “ σαdzαsα P A0,1pLq 时,

σ “ tr0 ´ 2Bh´1

α

Bzα

B

Bzα

`K ´ 2Bh´1

α

Bzα

B log gα

Bzαsuσαdzαsα; (5.9)

当 σ “ σαΩsα P A1,1pLq 时,

σ “ rp0 `KqσαsΩsα. (5.10)

我们分别计算如下:

p1q 当 σ “ σαsα P A0pLq 时,

σ “ pBϑ` ϑBqσαsα

“ ϑBσαsα “ ´ ˚D1 ˚ Bσαsα

“ ´?

´1 ˚D1Bσαsα “ ´?

´1 ˚ pBBσα ´ Bσα ^ θαqsα

“ ´?

´1 ˚ pB2σα

BzαBzαdzα ^ dzα ´

Bσα

Bzα

B log gα

Bzαdzα ^ dzαqsα

“ p0σαqsα.

§5.3 线丛的 Hodge 定理 171

p2q 当 σ “ σαdzαsα P A1,0pLq 时,

σ “ pBϑ` ϑBqσαdzαsα

“ ´?

´1B ˚D1pσαdzαsαq ` ϑpBσα

Bzαdzα ^ dzαsαq

“ ´ ˚D1p2?

´1h´1α

Bσα

Bzαsαq

“ ´2rBph´1α

Bσα

Bzαq ` h´1

α

Bσα

Bzαθαssα

“ ´2rBh´1

α

Bzα

Bσα

Bzα` h´1

α

Bσα

Bzα

B log gα

Bzα` h´1

α

B2σα

Bzαzαsdzαsα

“ rp0 ´ 2Bh´1

α

Bzα

B

Bzαqσαssα.

p3q σ P A0,1pLq 的情形留作习题.

p4q 当 σ “ σαΩsα P A1,1pLq 时,

σ “ pBϑ` ϑBqσαΩsα “ BϑσαΩsα

“ ´B ˚D1pσαsαq “?

´1BpBσα ` σαθαqsα

“?

´1rB2σα

BzαBzαdzα ^ dzα `

B log gα

Bzα

Bσα

Bzαdzα ^ dzα ` σαΘαssα

“ rp0 `KqσαsΩsα.

σ P A1,1pLq 的情形也可参考本章第五节的计算.

记 Hp,qpLq “ tσ P Ap,qpLq | σ “ 0u, Hp,qpLq 中的元素称为 L 值调和 pp, qq 形

式, 调和形式的全体记为 HpLq “ ‘p,q

Hp,qpLq. 如果 σ P Ap,qpLq 为 L 值调和 pp, qq

形式, 则对任意 τ P Ap,q´1pLq, 有

pσ ` Bτ, σ ` Bτq “ pσ, σq ` pσ, Bτq ` pBτ, σq ` pBτ, Bτq

“ pσ, σq ` pϑσ, τq ` pτ, ϑσq ` pBτ, Bτq

“ pσ, σq ` pBτ, Bτq ě pσ, σq.

等号成立当且仅当 Bτ “ 0. 这说明, 在 Dolbeault 上同调的任意一个代表类中最多

只有一个调和形式. 下面重要的 Hodge 定理则告诉我们, 调和代表元总是存在的.

定理 5.3.2 (Hodge). 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 在 ThM 和 L

上分别有 Hermite 度量, 则

piq HpLq 为有限维向量空间;

piiq 存在紧算子 G : ApLq Ñ ApLq, 使得

KerG “ HpLq, GpAp,qpLqq Ă Ap,qpLq, GB “ BG, ϑG “ Gϑ.


并且

ApLq “ HpLq ‘ GApLq “ HpLq ‘GApLq.

这个定理中 piq 的证明在下一节中给出, piiq 的证明请参看附录. 我们先来看

一些简单的应用. 根据 Hodge 定理, 任给 σ P ApLq 均有 pσ ´ Gσq P HpLq, 记

σ ´Gσ “ Hσ, 则定义了投影 H : ApLq Ñ HpLq, 因此有分解

σ “ Hσ `Gσ, @ σ P ApLq.

容易看出这种分解的表达式是惟一的. 特别地, 如果 Bσ “ 0, 则

σ “ Hσ `GpϑB ` Bϑqσ

“ Hσ ` BpGϑσq.

因此,在 Dolbeault上同调类 rσs中就找到了调和代表元 rHσs. 结合上面的惟一性,

我们就得到

推论 5.3.3. 对任意 p, q ě 0, 均有同构

HqpM ; ΩppLqq – Hp,q

BpMq – Hp,qpLq.

证明. 根据上面的讨论, 下面的线性映射

H : Hp,q

BpMq Ñ Hp,qpLq

rσs ÞÑ rHσs.

是定义好的, 并且既是单射又是满射, 因而为线性同构. 特别地, 根据 Hodge 定理的第一条结论, HqpM ; ΩpLqq 都是有限维空间, 这说

明第四章最后一节定理 4.6.5 的确成立, 即紧致黎曼曲面上的任何全纯线丛均由因

子生成. 这也说明前一节中的 Gauss-Bonnet 公式对任何全纯线丛都成立.

习题 5.3

1. 说明引理 5.3.1 中的 ω1 ^ ˚ω2gα 是与局部表示无关的 M 上整体 p1, 0q 形式.

2. 当 σ P A0,1pLq 时计算 σ 的局部表达式.

3. 说明第三章第二节中的 Hodge 定理是本节 Hodge 定理的特殊情形.

4. 设 λ P C, 记 Vλ “ tσ P ApLq | σ “ λσu. 证明 Vλ 总是有限维的子空间.

5. 在上题中, 如果 Vλ ‰ H, 则称 λ为的特征值.证明特征值都是非负实数, 且

特征值的全体组成的集合在 R 中是离散的.

§5.4 对偶定理 173

§5.4 对偶定理

设 L为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 在 ThM 和 L上分别有 Hermite度量

h 和 g, h 和 g 分别有局部表示 thαu 和 tgαu, gα 的联络 1 形式为 θα. 下面我们考

虑 L 的对偶丛 L˚ “ ´L 上的度量, 联络和 Hodge 定理. 如前所述, 如果 tfβαu 为

L 的连接函数, 则 tf´1βα u 为 ´L 上的连接函数, 而 ´L 上的 Hermite 度量由 tg´1

α u

给出, 对应的联络 1 形式为 θα “ ´θα. 设 tsαu 为 L 的处处非零的局部全纯截面,

记 tsαu 为 ´L 上对应的处处非零的局部全纯截面. 有了这些记号, 我们定义算子

„: Ap,qpLq Ñ Aq,pp´Lq

σ “ ωsα ÞÑ σ “ ωgαsα.

„ 的定义是合理的: 设 σ 另有局部表示 σ “ ω1sβ , 则 ω1 “ fβαω. 因此有

ω1gβ sβ “ ωfβαgβfβαsα “ ωgαsα.

这说明算子 „ 的定义是恰当的, 易见 „2“ 1. 再定义算子

˜ : Ap,qpLq Ñ A1´p,1´qp´Lq, ˜ “ ˚˝ „“„ ˝ ˚ .

易见

˜pfσq “ f ˜pσq, @ f P A0pMq, σ P Ap,qpLq.

因此 ˜ 为共轭同构.

记 ´L 的联络为 D, 令

ϑ : Ap,qp´Lq Ñ Ap,q´1p´Lq, ϑ “ ´ ˚ D1˚,

以及

: Ap,qp´Lq Ñ Ap,qp´Lq, “ ϑB ` Bϑ.

为 ´L 的 B-Laplace 算子. 我们有

引理 5.4.1. 设记号如上, 则有

˜ϑσ “ p´1qp`q B˜σ, @ σ P Ap,qpLq, (5.11)

˜Bσ “ p´1qp`q`1ϑ˜σ, @ σ P Ap,qpLq, (5.12)

˝ ˜ “ ˜ ˝ . (5.13)


证明. 设 σ P Ap,qpLq 有局部表示 σ “ ωsα, 则按照上面几个算子的定义, 有

B˜σ “ Bp˚ωgαsαq

“ rpB ˚ ωqgα ` Bgα ^ ˚ωssα

“ gαB ˚ ω ` θα ^ ˚ω sα

“ ČD1 ˚ σ “ p´1qp`q˜p´ ˚D1 ˚ σq

“ p´1qp`q˜ϑσ.

第二个等式同理可证. 有了这两个等式, 则第三个等式证明如下:

˜ ˝ σ “ ˜pBϑ` ϑBqσ

“ p´1qp`qϑ˜ϑσ ` p´1qp`q`1B˜Bqσ

“ p´1qp`qϑp´1qp`q B˜σ ` p´1qp`q`1Bp´1qp`q`1ϑ˜σ

“ pϑB ` Bϑq˜σ “ ˝ ˜σ.

特别地, 这说明 ˜ 把调和形式映为调和形式. 从这个引理我们知道

˜ : Hp,qpLq Ñ H1´p,1´qp´Lq, @ p, q ě 0

为复线性空间的共轭同构.

定理 5.4.2. 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 则

dimHpLq ă 8.

证明. 设 σ P A0pLq, 则

σ “ 0 ðñ Bσ “ 0, ϑσ “ 0 ðñ Bσ “ 0 ðñ σ P ΓhpLq.

由第四章引理 4.2.5 即知

dimH0,0pLq “ dimΓhpLq ă 8,

从而

dimH1,1pLq “ dimH0,0p´Lq ă 8.

同理, 根据上节的讨论及 de Rham 定理, 有

dimH1,0pLq ď dimH1,0

B“ dimH0pM,Ω1pLqq “ dimΓhpL` T˚

hMq ă 8,

从而

dimH0,1pLq “ dimH1,0p´Lq ă 8.

这就证明了 L 值调和形式组成的空间是有限维的. 根据前节 Hodge 定理的推论立得

§5.4 对偶定理 175

定理 5.4.3 (Serre 对偶). 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 则有同构

HqpM ; ΩppLqq – H1´qpM ; Ω1´pp´Lqq, @ p, q ě 0.

特别地, 当 L “ λpDq 时,

H0pM ; Ω1pλp´Dqqq – H1pM ; Ω0pλpDqqq.

由第四章第四节引理 4.2.1 和引理 4.2.2, 就有

dim lpDq ´ dim ipDq “ dim ΓhpλpDqq ´ dimΓhpT˚hM ´ λpDqq

“ dimH0pM ; Ω0pλpDqqq ´ dimH0pM ; Ω0pT˚hM ´ λpDqqq

“ dimH0pM ; Ω0pλpDqqq ´ dimH0pM ; Ω1pλp´Dqqq

“ dimH0pM ; Ω0pλpDqqq ´ dimH1pM ; Ω0pλpDqqq

“ χpλpDqq.

又由第四章第六节最后的计算, χpλpDqq “ p1 ´ gq ` dpDq, 因此我们就重新得到了

Riemann-Roch 公式.

我们也可以这样来描述上面的对偶定理. 任取 σ P Ap,qpLq, τ P A1´p,1´qp´Lq,

令

σ ^ τ “ ω ^ η P A1,1pMq,

其中 σ “ ωsα, τ “ ηsα 分别为局部表示. 容易验证上式与局部表示的选取无关. 因

此我们定义映射

Φ : Ap,qpLq ˆA1´p,1´qp´Lq Ñ C

pσ, τq ÞÑ

ż

M

σ ^ τ.

Φ 为双线性映射, 并且如果 σ “ Bσ1, σ1 “ ω1sα P Ap,q´1pLq, Bτ “ 0, 则有

Φpσ, τq “

ż

M

Bω1 ^ τ

“

ż

M

Bpω1 ^ τq

“

ż

M

dpω1 ^ τq “ 0.

对于 τ 有类似的等式成立. 因此 Φ 诱导了双线性映射

Φ˚ : Hp,q

BpLq ˆH1´p,1´q

Bp´Lq Ñ C.

Serre 对偶等价于说 Φ˚ 为非退化的双线性映射.

习题 5.4


1. 证明引理 5.4.1 中的第二个等式.

2. 利用 Serre 对偶定理证明, 对于紧致黎曼曲面 M 有同构 H1,1

BpMq – C.

3. 证明 Φ˚ 为非退化的双线性映射.

4. 证明下面的序列为层的短正合序列

0 Ñ C Ñ O dÝÑ Ω1 Ñ 0,

其中 d 为外微分.

5. 利用上一题和 Serre 对偶定理证明, 对于紧致黎曼曲面 M 有下列同构

H1pM ; Cq – H0pM ; Ω1q ‘H0pM ; Ω1q.

§5.5 消没定理

设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 设 h 为 ThM 上的 Hermite 度量, Ω

为其体积形式. 取 L 上的 Hermite 度量 g, 其曲率形式为 Θ, 曲率为 K.

定义 5.5.1. 如果存在 L 上的 Hermite 度量 h, 使得其曲率 K ą 0, 则称 L 为

M 上的正线丛, 记为 L ą 0. 如果 ´L ą 0, 则称 L 为 M 上的负线丛, 记为 L ă 0.

显然,线丛的正负属性和 ThM 上度量的选取无关.现在我们已经知道,对任何

线丛 L, 都存在因子 D 使得 L “ λpDq. 记 dpLq “ dpDq, 由第三章第四节, 我们有

dpDq ă 0 ñ lpDq “ t0u,

dpDq ą 2g ´ 2 ñ ipDq “ t0u.

下面我们把它们解释为全纯线丛的上同调的某种消没定理.

引理 5.5.1. 采用前面的记号, 如果 σ 为 L 值的 p1, 1q 形式, 则

σ “ p ˚ σqΩ `?

´1 p˚σqΘ.

证明. 记 s “ ˚σ P A0pLq, 则 σ “ Ωs. 计算如下:

psqΩ “ pBϑs` ϑBsqΩ

“ p´ ˚D1 ˚ BsqΩ

“ p´?

´1 ˚D1BsqΩ

“ ´?

´1D1Bs.

§5.5 消没定理 177

从而有

σ “ pBϑ` ϑBqσ

“ ´B ˚D1 ˚ σ

“ ´B ˚D1s

“?

´1 BD1s

“?

´1 BDs

“?

´1 pD ´D1qDs

“?

´1 pD2s´D1Bsq

“?

´1Θs` psqΩ

“ p ˚ σqΩ `?

´1 p˚σqΘ.

这就证明了等式. 特别地, 如果 σ “ 0, 则由 KΩ “

?´1Θ 及 Ω 处处非零得

˚ σ `K ˚ σ “ 0.

定理 5.5.2 (消没定理). 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 则有

piq 当 L ą 0 时, H1pM ; Ω1pLqq “ 0.

piiq 当 L´ T˚hM ą 0 时, H1pM ; ΩpLqq “ 0.

证明. piq 当 L ą 0 时, 存在 L 上的 Hermite 度量 h, 使得其曲率 K ą 0. 因此,

如果 σ P H1,1pLq, 则

0 “ p ˚ σ `K ˚ σ, ˚σq “ p ˚ σ, ˚σq ` pK ˚ σ, ˚σq

“ pB ˚ σ, B ˚ σq ` pϑ ˚ σ, ϑ ˚ σq ` p?K ˚ σ,

?K ˚ σq ě 0.

这说明?K ˚ σ “ 0, 从而 σ “ 0. 因此

H1pM ; Ω1pLqq – H1,1pLq “ t0u.

piiq 当 L´ T˚hM ą 0 时, 由 piq 知 H1pM ; Ω1pL´ T˚

hMqq “ t0u. 因此

H1pM ; ΩpLqq “ H1pM ; Ω1pL´ T˚hMqq “ t0u.

这里我们用到了 Ω1pL´ T˚hMq – ΩpL´ T˚

hM ` T˚hMq “ ΩpLq.

下面的引理给出了正线丛的判别法.

引理 5.5.3. 紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛 L 为正线丛当且仅当 dpLq ą 0.


证明. 如果 L为正线丛,则存在 Hermite度量 g,使得其曲率 K ą 0. 由 Gauss-

Bonnet 公式, 有

dpLq “

?´12π

ż

M

Θ “12π

ż

M

KΩ ą 0.

反之,如果 dpLq ą 0,我们在 L上构造一个 Hermite度量 g,使得其曲率为 2πdpLq

VolpM,hq.

首先, 我们在 L 上任取一个 Hermite 度量 g0, 其曲率为 K0, 令

ω “ K0Ω ´ 2πdpLqVolpM,hq´1Ω.

仍由 Gauss-Bonnet 公式, 得ż

M

ω “

ż

M

K0Ω ´

ż

M

2πdpLqVolpM,hq´1Ω “ 2πdpLq ´ 2πdpLq “ 0.

因此, 存在 M 上的 1 形式 η, 使得 ω “ dη. 由紧致黎曼曲面的 Hodge 定理, η 可分

解为

η “ ηh ` df1 ` ˚df2,

其中 ηh 为 M 上的调和 1 形式, f1, f2 分别为光滑函数. 因为 ω 为实形式, 因此 η

可以取为实形式, f2 为实函数. 因此有

K0Ω ´ 2πdpLqVolpM,hq´1Ω “ dη “ d ˚ df2 “ ´2?

´1 BBf2.

即?

´1Θ0 ` 2?

´1 BBf2 “ 2πdpLqVolpM,hq´1Ω.

令 g “ g0 ¨ e2f2 , 则上式表明 Hermite 度量 g 的曲率满足等式

KΩ “?

´1Θ “?

´1Θ0 ` 2?

´1 BBf2 “ 2πdpLqVolpM,hq´1Ω.

从而 K “ 2πdpLqVolpM,hq´1. 利用消没定理我们给出第三章第四节嵌入定理的另一个证明.

定理 5.5.4. 亏格为 g 的紧致黎曼曲面 M 可全纯嵌入到 CP g`1 中.

证明. 取定 p P M , 令 D “ p2g ` 1qp, L “ λpDq. 由于

dpL´ T˚hMq “ 2g ` 1 ´ p2g ´ 2q “ 3 ą 0,

因此 L´ T˚hM 为正线丛, 由消没定理, H1pM ; ΩpLqq “ t0u. 从而有

dimΓhpLq “ dimH0pM ; ΩpLqq “ χpLq “ dpLq ` p1 ´ gq “ g ` 2.

§5.5 消没定理 179

取 ΓhpLq 的一组基 ts0, s1, ¨ ¨ ¨ , sg`1u. 首先我们来说明, ts0, s1, ¨ ¨ ¨ , sg`1u 在 M 上

不存在公共零点. (反证法) 假设存在公共零点 q, 则 q 为 ΓhpLq 的公共零点, 因而

ΓhpL´ λpqqq – ts P ΓhpLq | psq ´ q ě 0u “ ΓhpLq.

然而, 和上面的证明一样, L´ λpqq ´ T˚hM ą 0. 由消没定理,

H1pM ; ΩpL´ λpqqqq “ t0u,

因此下述层的短正合序列

0 Ñ ΩpL´ λpqqq Ñ ΩpLq Ñ Sq Ñ 0

诱导了正合序列

0 Ñ ΓhpL´ λpqqq Ñ ΓhpLq Ñ ΓpSqq Ñ 0.

特别地, dimΓhpLq “ dimΓhpL´ λpqqq ` 1, 这就得到了矛盾.

现在我们定义映射 φ : M Ñ CP g`1 如下: 在 L 的局部平凡化邻域 Uα 中, 设

si 有局部表示

si “ siαsα, siα : Uα Ñ C.

则令

φpqq “ rs0αpqq, s1αpqq, ¨ ¨ ¨ , sg`1αpqqs, q P Uα.

不难看 φ 的定义是恰当的, 且为全纯映射. 下面证明 φ 为全纯嵌入. 我们注意到,

选取 ΓhpLq 的不同的基所得到的全纯映射相互之间只相差 CP g`1 的全纯自同构,

因此在下面的证明中我们在不同的情况下选取不同的基不影响要证明的结果.

p1q. φ 为单射: 设 q, q1 P M , q ‰ q1. 令

L1 “ L´ λpqq, L2 “ L´ λpq ` q1q.

同前面一样, H1pM ; ΩpL1qq “ H1pM ; ΩpL2qq “ t0u, 因此有正合序列

0 Ñ ΓhpL1q Ñ ΓhpLq Ñ ΓpSqq Ñ 0

及

0 Ñ ΓhpL2q Ñ ΓhpL1q Ñ ΓpSq1 q Ñ 0.

选取 ΓhpLq 之基 ts0, s1, ¨ ¨ ¨ , sg`1u, 使得

s0pqq ‰ 0, ts1, s2, ¨ ¨ ¨ , sg`1u Ă ΓhpL1q

以及

s1pq1q ‰ 0, ts2, s3, ¨ ¨ ¨ , sg`1u Ă ΓhpL2q


用这一组基定义的全纯映射满足

φpqq “ r1, 0, 0, ¨ ¨ ¨ , 0s ‰ r˚, 1, 0, 0, ¨ ¨ ¨ , 0s “ φpq1q.

p2q. 设 q P M , 我们证明 φ 在 q 处是非退化的. 令

L1 “ L´ λpqq, L2 “ L´ λp2qq.

同前面一样, 我们有正合序列

0 Ñ ΓhpL1q Ñ ΓhpLq Ñ ΓpSqq Ñ 0

及

0 Ñ ΓhpL2q Ñ ΓhpL1q Ñ ΓpSqq Ñ 0.

选取 ΓhpLq 之基 ts0, s1, ¨ ¨ ¨ , sg`1u, 使得 s0pqq ‰ 0, q 为 s1 的单零点, 且

ts1, s2, ¨ ¨ ¨ , sg`1u Ă ΓhpL1q, ts2, s3, ¨ ¨ ¨ , sg`1u Ă ΓhpL2q.

用这一组基定义的全纯映射以 q 为非奇异点, 因此 φ 在 q 也是非退化的. 本节涉及的一些思想可以推广到高维复流形上, 读者可参考复几何的著作.

习题 5.5

1. 利用 Serre 对偶定理直接证明消没定理.

2. 利用引理 5.5.1 证明 H1,1

BpMq – C.

3. 设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, f 为 M 上实光滑函数, 满足条件

12π

ż

M

f Ω “ dpLq.

证明, 存在 L 上的 Hermite 度量 g, 使其曲率正好为 f .

4. 证明, 对于紧致黎曼曲面 M 有自然同构 H2dRpM,Cq “ H1,1

BpMq.

§5.6 线丛的陈类

设 L 为紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 在 L 上任意给定 Hermite 度量 g, 根

据 Gauss-Bonnet 公式,ż

M

?´12π

Θ “ dpLq,

§5.6 线丛的陈类 181

其中 Θ 为 g 的曲率形式. 这说明, 实的 p1, 1q 形式?

´12π Θ 代表了 H2

dRpM,Cq “

H1,1

BpMq中的一个元素,这个元素与 Hermite度量 g 的选取无关,称为 L的第一陈

类, 记为 c1pLq. 我们也可以不用 Gauss-Bonnet 公式直接说明 c1pLq 不依赖于度量

的选取.

事实上, 如果另有 L 上的 Hermite 度量 g1, g 和 g1 分别有局部表示 tgαu 和

tg1αu, 这些局部表示分别满足等式

gα “ |fβα|2gβ , g1α “ |fβα|2g1

β .

因此 g1αgα 在 M 上定义了一个整体的光滑正实函数, 记为 f . 于是

Θ1 ´ Θ “ BB log g1α ´ BB log gα

“ BB logpg1αgαq

“ BB log f “ dB log f.

这说明用度量 g 和 g1 定义出上同调群中相同元素.

在介绍陈类的基本性质之前, 我们先从另一个角度来导出第一陈类的定义.

首先, 在第四章第四节中我们对于任意的全纯线丛 L 都构造了 H1pM ;O˚q 中

的一个元素,这个元素不依赖于线丛的同构类,因此可以把它记为 rLs. 考虑层的短

正合序列

0 Ñ Z Ñ O eÝÑ O˚ Ñ 0,

其中同态 e 由 epfq “ e2π?

´1f 诱导. 这个短正合序列诱导了层的上同调的长正合

序列

¨ ¨ ¨ Ñ H1pM ;Oq Ñ H1pM ;O˚qδ˚ÝÝÑ H2pM ; Zq Ñ ¨ ¨ ¨ ,

其中 δ˚ 为连接同态. 因此我们得到

δ˚rLs P H2pM ; Zq.

我们再考虑交换群的短正合序列

0 Ñ Z iÝÑ C e

ÝÑ C˚ Ñ 0,

它可以看成平凡层的短正合序列. 包含同态 i 诱导了上同调群的同态

i˚ : H2pM ; Zq Ñ H2pM ; Cq.

现在我们得到了

i˚δ˚rLs P H2pM ; Cq.


根据 de Rham 定理, 平凡层 C 的上同调和复系数 de Rham 上同调之间存在着自

然的同构. 我们下面来说明, 在自然的 de Rham 同构之下, i˚δ˚rLs “ c1pLq. 为了

说明着一点, 我们必须把连接同态 δ˚ 和 de Rham 同构的具体表达式弄清楚.

先看连接同态. 设 L 的连接函数为 tfβαu. 利用局部的极坐标, fβα 可以写为

fβα “ |fβα|eiθβα “ e2πipgβαq, i “?

´1.

其中

gβα “1

2π?

´1log |fβα| `

12πθβα.

因为连接函数满足条件 fβαfαγfγβ “ 1, 故有

log |fβα| ` log |fαγ | ` log |fγβ | “ 0

以及

θβα ` θαγ ` θγβ P 2πZ.

因此

gβγ ´ gαγ ` gαβ “12π

pθβγ ´ θαγ ` θαβq P Z.

令

cαβγ “12π

pθβγ ´ θαγ ` θαβq,

则 tcαβγu 为平凡层 Z 的 2 次上闭链, 它代表的上同调元即为 δ˚rLs.

在继续下面的内容之前我们要指出两点: 一是从连接函数 tfβαu 出发得到

H2pM ; Zq 中元素的过程不需要假设 fβα 的全纯性, 只要是处处非零光滑函数并

满足连接函数的条件即可. 即对于光滑复线丛我们仍然可以定义陈类; 二是这个构

造过程也没有用到任何度量.

我们继续说明 c1pLq P H2dRpM ; Cq 在 de Rham 同构下就是上面得到的 δ˚rLs P

H2pM ; Zq. 我们回顾一下 de Rham 同构 H2dRpM ; Cq Ñ H2pM ; Cq: 给定 M 上的 2

形式 ω, 由 Poincare 引理, 局部上 ω 可以写为 ω “ dηα. 令 ηαβ “ ηβ ´ ηα, 则 ηαβ

为局部的闭形式. 再由 Poincare 引理, 局部上 ηαβ 可以写为 ηαβ “ dξαβ , ξαβ 为局

部函数, 并且

dpξβγ ´ ξαγ ` ξαβq “ 0,

因此 ξβγ ´ ξαγ ` ξαβ 为局部常值函数, 它定义了平凡层 C 的一个 2 次闭链, 这个

闭链代表的上同调类即为 rωs 在 de Rham 同构下的像.

我们现在把上述论述用于 c1pLq “ r?

´12π Θs. 设 L 的联络 1 形式为 θα, 则由曲

率形式的定义 ?´12π

Θ “

?´12π

dθα,

§5.6 线丛的陈类 183

因此可取 ηα “?

´12π θα. 又由联络形式满足的条件

θα ´ θβ “ B log fβα “ d log fβα,

因此 ξβα 可以取为

ξβα “1

2π?

´1log fβα “

12π

?´1

log |fβα| `12πθβα.

从而有

ξβγ ´ ξαγ ` ξαβ “1

2π?

´1log |fβγ | ´

12π

?´1

log |fαγ | `1

2π?

´1log |fαβ |

`12πθβγ ´

12πθαγ `

12πθαβ

“ cαβγ .

即, 在 de Rham 同构下, c1pLq 的像的确为 δ˚rLs P H2pM ; Zq 在 H2pM ; Cq 中的像,

因此我们可以不再区分它们,并且我们也不区分它在 H2pM ; Rq – H2dRpMq中的像.

第一陈类具有如下基本性质:

引理 5.6.1. p1q 设 M 为紧致黎曼曲面, 则第一陈类可以看同态

c1 : L Ñ H2dRpMq,

并且如果 M 上的实 p1, 1q 形式 ω 在 M 上的积分为整数, 则存在全纯线丛 L, 使

得

c1pLq “ rωs.

p2q 如果 ϕ : M Ñ N 为紧致黎曼曲面之间的全纯映射, L 为 N 上的全纯线丛, 则

c1pϕ˚Lq “ ϕ˚c1pLq.

证明. p1q根据上面的论述容易看出,全纯等价的线丛的第一陈类是相同的. 如

果 L 为平凡线丛, 则取 Hermite 度量为平凡度量, 其曲率恒为零, 因而 L 的第一陈

类为零. 如果 L1, L2 为 M 上的两个全纯线丛, 其 Hermite 度量分别有局部表示

th1αu 和 th2αu, 则 th1αh2αu 定义了 L1 ` L2 上的一个 Hermite 度量, 其曲率

Θ “ BB logph1αh2αq “ BB log h1α ` BB log h2α “ Θ1 ` Θ2,

即 c1pL1 ` L2q “ c1pL1q ` c2pL2q. 这说明 c1 为群同态.

设 ω 为 M 上的实 p1, 1q 形式, 且

n “

ż

M

ω P Z.


任取 p P M , 则ż

M

c1pλpnpqq “ dpnpq “ n “

ż

M

ω.

因此 c1pλpnpqq “ rωs.

p2q设 tgαu为 L上的 Hermite度量,则 tgα ˝ϕu为 ϕ˚L上的 Hermite度量,因

此

Θϕ˚L “ BB log gα ˝ ϕ “ g˚BB log gα “ ϕ˚ΘL,

即 c1pϕ˚Lq “ ϕ˚c1pLq. 本节涉及的陈类是陈省身先生首先定义的,它们在复几何中是不可或缺的重要

概念.

习题 5.6

1. 证明, 复线丛 (未必全纯) 的第一陈类在底空间 M 上的积分总是整数.

2. 设 ω 为紧致黎曼曲面 M 上的实 p1, 1q 形式, 在 M 上的积分为整数. 证明, 存

在 M 上的全纯线丛 L, 使得 c1pLq 正好以 ω 为代表.

3. 写出群的同构 H2pM ; Cq Ñ H2dRpM ; Cq 的显示表达式.

4. 证明 D, C 上的全纯线丛都是平凡的.

附录

附录 A 三角剖分和 Euler 数

我们考虑紧致黎曼曲面 M . M 上的闭集 T 称为一个三角形, 如果它是平面 C上某个三角形的拓扑像. 这时, 平面三角形顶点的像称为 T 的顶点, 边的像也称为

边. 如果有限个三角形 tTiu 组成了 M 的一个覆盖, 且其中两个三角形 Ti, Tj 要么

不相交, 要么交于某个顶点, 要么交于某条边, 则称 tTiu为 M 的一个三角剖分. 容

易看出, 黎曼球面上存在很多三角剖分.

命题 5.6.2. 紧致黎曼曲面总存在三角剖分.

证明. 设 M 为紧致黎曼曲面, 取 M 上的非常值亚纯函数 f : M Ñ S, 取 S 的一个三角剖分, 使得 f 的分歧点的像均为该三角剖分的顶点. 于是 S 的这个三角剖分中的三角形在 f 下的原像仍为三角形, 从而 S 的这个三角剖分经过 f 拉回后

成为 M 的一个三角剖分. 给定 M 的一个三角剖分, 记其顶点的个数为 V , 边的个数为 E, 三角形 (面)

的个数为 F , 定义

χ “ F ´ E ` V,

根据初等的代数拓扑学, 我们知道 χ 是一个拓扑不变量, 它不依赖于 M 的三角剖

分的选取, 称为 M 的 Euler 数, 下面我们来计算此 Euler 数. 容易算出, 黎曼球面

的 Euler 数为 2.

对于一般的紧致黎曼曲面 M , 由于 χ 不依赖于三角剖分的选取, 因此我们采

用上面命题中的三角剖分. 设 S 上的三角剖分有 V 1 个顶点, E1 条边和 F 1 个面.

设 f 的重数为 n, 则由于 S 的三角形内的点在 M 上有 n 个不同的原像, 因此 M

的拉回剖分有 F “ nF 1 个面; 同理, 拉回剖分有 E “ nE1 条边. 设 q 为 S 的三角剖分的顶点, 则其原像个数为 n´Bq, 其中

Bq “ÿ

pPf´1pqq

bppfq.

因此拉回剖分顶点个数为

V “ nV 1 ´ÿ

q

Bq “ nV 1 ´Bf .

利用 Riemann-Hurwitz 定理, 有

χ “ F ´ E ` V “ npF 1 ´ E1 ` V 1q ´Bf “ 2n´ rp2g ´ 2q ´ np0 ´ 2qs “ 2 ´ 2g,

其中 g 为 M 的亏格.

185

186 附录 B

附录 B Hodge 定理的证明

我们在这个附录中给出第五章中 Hodge定理的证明. 设 L是紧致黎曼曲面 M

上的全纯线丛,我们在前面已经证明过,调和形式的空间 HpLq是有限维的,因此存

在投影 H : ApLq Ñ HpLq, 使得对任意的 σ P ApLq, 均有

pσ ´Hσ, τq “ 0, @ τ P HpLq.

即 σ ´Hσ P HKpLq, 其中

HKpLq “ tσ P ApLq | pσ, τq “ 0, @ τ P HpLqu.

我们要证明, 任给 σ P HKpLq, 存在 τ P ApLq, 使得

τ “ σ.

这个问题之所以有解, 是因为是一个 “椭圆” 算子. 求解的基本步骤是, 先找一

个 “弱解”, 然后逐步提升解的正则性从而最终得到光滑解. 为此我们在比光滑形

式的空间 ApLq更大的一类空间中考虑问题,即要考虑 L值微分形式的 Sobolev空

间, 它们是 ApLq 在某种范数下的完备化.

设 σ P ApLq, 令

|σ|0 “ rpσ, σqs12 ,

| ¨ |0 在 ApLq 中定义了一个范数, ApLq 在此范数下的完备化是一个 Hilbert 空间,

记为 H0pLq. 考虑 ApLq 中的算子 P “ B ` ϑ, 令

|σ|1 “ rpσ, σq ` pPσ, Pσqs12 , @ σ P ApLq.

| ¨ |1 在 ApLq 中也定义了一个范数, ApLq 在此范数下的完备化记为 H1pLq. 对于

s ě 1, 我们递归地定义范数 | ¨ |s`1 如下

|σ|s`1 “ r|σ|20 ` |Pσ|2ss12 , @ σ P ApLq,

ApLq 在范数 | ¨ |s`1 下的完备化记为 Hs`1pLq. 这些空间 HspLq 统称为线丛 L 上

的 Sobolev 空间, 由范数的定义可知

¨ ¨ ¨ Ă Hs`1pLq Ă HspLq Ă ¨ ¨ ¨ Ă H1pLq Ă H0pLq.

对于 k ě 0, 记 CkpLq 为 Ck 的 L 值微分形式全体组成的线性空间. 设 σ P

H0pLq, 如果存在 τ P CkpLq 使得 |σ ´ τ |0 “ 0, 则称 σ P CkpLq 或 σ “ τ P CkpLq.

设 n ě 1, σ P H0pLq, 如果存在 σ1 P H0pLq 使得

pσ1, τq “ pσ, Pnτq, @ τ P ApLq,

附录 B 187

则称在弱的意义下 Pnσ 存在, 记为 Pnσ “ σ1(弱). 显然, 如果 σ P CnpLq, n ě 1, 则

在弱的意义下的 Pnσ 跟通常意义下的微分算子的作用是一致的, 因此在不引起混

淆时我们可把 “弱” 字省去.

我们有如下几个重要的引理:

引理 5.6.3. Hs`1pLq “ H 1s`1pLq “ tσ P HspLq |Pσ P HspLqu, @ s ě 0. 并且

|σ|2s`1 “ |σ|20 ` |Pσ|2s.

引理 5.6.4 (Rellich). 包含映射 i : H1pLq Ñ H0pLq 为紧算子.

引理 5.6.5 (Sobolev). H2`spLq Ă CspLq, @ s ě 0.

我们先假定上面的三个引理是成立的, 下面用它们来推导 Hodge 定理. 首先,

由 Rellich引理可以重新证明 HpLq是有限维的: 事实上,如果 HpLq不是有限维的,

则存在一列在内积 p, q 下规范正交的 tσiu Ă ApLq, Pσi “ 0. 此时

|σi|21 “ |σi|

2 ` |Pσi|2 “ |σi|

2 “ 1,

因而由 Rellich引理, tσiu在 H0pLq中存在 Cauchy收敛子列,但这和 |σi ´σj |20 “ 2,

i ‰ j 相矛盾.

下面继续证明 Hodge 定理. 我们有

引理 5.6.6 (Weyl). p1q 设 σ P H0pLq, Pσ P ApLq, 则 σ P ApLq;

p2q 设 σ P H1pLq, σ P ApLq, 则 σ P ApLq.

证明. p1q 设 σ P H0pLq, Pσ P ApLq Ă H0pLq, 由引理 5.6.3, σ P H1pLq. 现在仍

由 Pσ P ApLq Ă H1pLq 得 σ P H2pLq. 由此类推, 最后得

σ P HspLq, @ s ě 0.

由 Sobolev 引理知

σ P CkpLq, @ k ě 0.

即 σ P ApLq.

p2q 设 σ P H1pLq, σ P ApLq, 则 Pσ P H0pLq, P pPσq “ σ P ApLq. 由 p1q 知

Pσ P ApLq, 再用一次 p1q 知 σ P ApLq. 这个引理也称为算子 P 和 “ P 2 的正则性引理. 特别地, 如果 σ P H0pLq,

Pσ “ 0 或 σ “ 0, 则 σ P ApLq.

引理 5.6.7. 存在正常数 c, 使得

pPσ, Pσq ě c2pσ, σq, @ σ P HKpLq.

188 附录 B

证明. 我们用反证法. 如果不然, 则存在一列 σi P HKpLq, 使得

pσi, σiq “ 1, pPσi, Pσiq Ñ 0, i Ñ 8.

这说明 tσiu 在 H1pLq 中为有界点列. 由 Rellich 引理, 存在 tσiu 的子列, 仍记为

tσiu, 在 H0pLq 中收敛, 记其极限为 σ. 对任意 τ P ApLq, 有

|pσ, Pτq| “ limiÑ8

|pσi, P τq|

“ limiÑ8

|pPσi, τq|

ď limiÑ8

|Pσi|0 ¨ |τ |0

“ 0.

这说明 Pσ “ 0(弱). 由上面的 Weyl 引理, σ P ApLq, 从而 σ P HpLq. 又由 σi P

HKpLq 得

pσ, σq “ limiÑ8

pσ, σiq “ limiÑ8

0 “ 0,

因此 σ “ 0. 但这跟 pσi, σiq “ 1 以及 σi 在 H0pLq 中收敛于 σ 相矛盾. 这个引理表明, 在 HKpLq 上我们可以定义范数 | ¨ |P ,

|σ|P “ pPσ, Pσq12 ,

并且范数 | ¨ |P 和 | ¨ |1 等价. 我们把 HKpLq 在范数 | ¨ |P 下的完备化记为 HKpLq Ă

H1pLq, 这是一个 Hilbert 空间, 其内积记为 r, s.

引理 5.6.8. : HKpLq Ñ HKpLq 为线性同构, 且其逆 ´1 满足

|´1σ|0 ď c´1|σ|0.

证明. 首先, 如果 σ P ApLq, 则

pσ, τq “ pσ, τq “ pσ, 0q “ 0, @ τ P HpLq.

因此 σ P HKpLq. 其次, 如果 σ P HKpLq, σ “ 0, 则 σ P HpLq, 从而 σ “ 0. 这说

明为单射.

为了说明为满射, 给定 τ P HKpLq, 我们在 HKpLq 定义如下线性泛函 φ:

φpfq “ pf, τq, @ f P HKpLq.

由刚才的引理,

|φpfq| “ |pf, τq| ď |f |0 ¨ |τ |0 ď c´1|τ |0|f |P .

附录 B 189

因此 φ 为 HKpLq 上的有界线性泛函, 它可以惟一地延拓为 HKpLq 上的有界线性

泛函, 仍记为 φ. 根据 Riesz 表示定理, 存在 σ P HKpLq, 使得

φpfq “ rf, σs, @ f P HKpLq.

特别地,

pf, τq “ p f, σq, @ f P HKpLq.

因为 τ P HKpLq, 故上式对任意 f P ApLq 也成立. 这意味着

σ “ τp弱q.

由 Weyl 引理, σ P ApLq. 这说明为满射. 现在我们定义如下线性算子

G : ApLq Ñ ApLq

σ ÞÑ ´1pσ ´Hσq.

其中 H : ApLq Ñ HpLq 为投影, 因此 σ ´ Hσ P HKpLq. 我们证明 G 为紧算子. 设

tσiu Ă ApLq, |σi|0 ď 1, @ i. 由 Rellich 引理, 我们只要证明 tGσiu 在 H1pLq 中有界

即可. 事实上,

|Gσi|21 “ pGσi, Gσiq ` pPGσi, PGσiq

“ p´1pσi ´Hσiq,´1pσi ´Hσiqq ` p´1pσi ´Hσiq,´1pσi ´Hσiqq

ď c´2|σi ´Hσi|20 ` |σi ´Hσi|0|´1pσi ´Hσiq|0

ď c´2 ` c´1.

这说明 G 的确为紧算子. 现在, 任给 σ P ApLq, 有

Gσ “ ´1pσ ´Hσq “ σ ´Hσ,

即

σ “ Hσ ` Gσ.

这说明我们有正交分解 ApLq “ HpLq ‘ GApLq.

最后说明 GB “ BG, Gϑ “ ϑG. 以前者为例, 注意到 BHKpLq Ă HKpLq,

GApLq Ă HKpLq, 因此有

GBσ “ GBpHσ ` Gσq “ GBGσ “ GBGσ “ BGσ.

下面我们来给出引理 5.6.3, 5.6.4, 5.6.5 的证明. 这些证明依赖于一个光滑化

的算子. 我们有

190 附录 B

• 设 σ P Hs`1pLq, 则存在 tσiu Ă ApLq, 使得

|σi ´ σ|s`1 Ñ 0, i Ñ 8.

由 | ¨ |s`1 的定义知 tPσiu 在 HspLq 中为 Cauchy 列, 其极限即为 Pσ(弱). 这

说明

Hs`1pLq Ă tσ P HspLq |Pσ P HspLqu.

• 如果 f P A0pMq 为 M 上的光滑函数, 则对任意的 σ P HspLq, 有 fσ P HspLq,

且

|fσ|s ď cpfq|σ|s,

其中 cpfq 是由 f 决定的常数.

• 取 C 上的光滑截断函数 ϕ : C Ñ R, 使得

ϕ ě 0; ϕpzq “ 0, @ z P C ´ D;ż

Cϕ “ 1.

任给 ϵ ą 0, 令

ϕϵpzq “1ϵϕpz

ϵq.

设 U 为 C 中有界开集, 令

Sϵ : L2pUq Ñ L2pCq

Sϵpfqpzq “

?´12

ż

C

ϕϵpz ´ wqfpwqdw ^ dw,

其中 f 在 U 之外定义为零. 不难看出 Sϵpfq 总是 C 上的光滑函数.

现在我们取定 M 的一个有限坐标邻域的覆盖 tUku, 使得 L 在每个开集 Uk 上都

有局部平凡化, 因此也有处处非零的全纯截面 sk. 设 tρku 是 M 上从属于开覆盖

tUku 的光滑单位分解. 设 σ P H0pLq, 则

σ “ÿ

k

ρkσ “ÿ

k

σkφσsk,

其中当 φσ “ 1, dzk, dzk 或 Ω, 而 Ω 为 M 的体积形式. 令

Sϵpσq “ÿ

k

Sϵpσkqφσsk,

则 Sϵpσq P ApLq, 且

˚Sϵpσq “ Sϵp˚σq.

这样我们就定义了线性算子

Sϵ : H0pLq Ñ ApLq.

这个算子称为光滑化算子, 它具有如下性质

附录 B 191

引理 5.6.9. Sϵ : H0pLq Ñ H0pLq 为紧算子.

证明. 根据定义以及上面的讨论, 我们只需证明, 如果 U 为 C 中有界开集,

σi P L2pUq,ş

U|σi|

2 ď c, 则 tSϵpσiqu 为 C 中一致有界且等度连续的函数. 事实上

|Sϵpσiqpzq| ď

ż

Cϕϵpz ´ wq|σi| ď c

12 |ϕϵ|L2pCq,

这说明 tSϵpσiqu 是一致有界的. 又

|Sϵpσiqpzq ´ Sϵpσiqpz1q| ď Sup|ϕ1ϵ||z ´ z1|

ż

U

|σi|

ď Sup|ϕ1ϵ||z ´ z1|c

12 VolpUq

12 .

等度连续性也得到了证明,因此由 Ascoli-Arzela定理, tSϵpσiqu有一致收敛子列,特

别地在 L2pCq 中有收敛子列. 在证明下一条性质之前, 我们先写出算子 P 的局部表达式.

当 σ P A0pLq 时,

Pσ “ Bσ ` ϑσ “ Bσ “Bσk

Bzkdzksk;

当 σ P A1,0pLq 时,

Pσ “ Bσ ` ϑσ “ Bσ “Bσk

Bzkdzk ^ dzksk;


Pσ “ Bpσkdzkskq ´ ˚D1 ˚ pσkdzkskq

“ ´?

´1 ˚ pBσk

Bzkdzk ^ dzksk ` σkdzk ^ θkskq

“ 2h´1k pσk ´

Bσk

Bzkqsk;


Pσ “ Bσ ` ϑσ “ ϑσ “ ´?

´1pBσk

Bzkdzk ` σkθkqsk.

引理 5.6.10. 对 s ě 0, 有

p1qs |Sϵpσq ´ σ|s Ñ 0, ϵ Ñ 0, @ σ P HspLq;

p2qs |PSϵpσq ´ SϵpPσq|s Ñ 0, ϵ Ñ 0, @ σ P H 1s`1pLq;

证明. 我们可以假设 σ 的支集含于某一个局部坐标邻域内, 此时 σ 可以写为

σ “ σkφσsk.

192 附录 B

当 s “ 0 时, 利用 Schwarz 不等式有

|Sϵpσq|20 “ |pSϵpσkqqφσsk|20 ď c|Sϵpσkq|2L2pCq

“ c

ż

C|

ż

Cϕϵpzqσkpz ´ wq|2

ď c

ż

C

ż

Cϕϵpwq|σkpz ´ wq|2

ż

Cϕϵpzq

“ c

ż

Cϕϵpwq

ż

C|σkpz ´ wq|2

“ c

ż

Cϕϵpwq|σk|2L2pCq ď c|σ|20.

任给 δ ą 0, 取 σ1 P ApLq, 使得

|σ ´ σ1|0 ă δ,

则有

|Sϵpσq ´ σ|0 ď |Sϵpσ ´ σ1q|0 ` |Sϵpσ1q ´ σ1|0 ` |σ1 ´ σ|0

ď c|σ1 ´ σ|0 ` δ ` |Sϵpσ1q ´ σ1|0

ď pc` 1qδ ` |Sϵpσ1q ´ σ1|0.

当 σ1 P ApLq 时, 由定义容易证明, 当 ϵ Ñ 0 时, Sϵpσ1q 在 C0pLq 中一致收敛到 σ1,

因此上式说明

|Sϵpσq ´ σ|0 Ñ 0, @ σ P H0pLq.

设 σ P H0pLq, Pσ P H0pLq, 利用上面算子 P 的局部表达式以及分部积分不难

证明, 存在与 σ 有关的 f1, f2 P A0pMq 以及 τ1, τ2 P H 11pLq, 使得

|PSϵpσq ´ SϵpPσq|0 ď |f1Sϵpτ1q ´ Sϵpf1τ1q|0 ` |f2SϵpPτ2q ´ Sϵpf2Pτ2q|0

ď |f1Sϵpτ1q ´ f1τ1|0 ` |f1τ1 ´ Sϵpf1τ1q|0

` |f2SϵpPτ2q ´ f2Pτ2|0 ` |f2Pτ2 ´ Sϵpf2Pτ2q|0

ď c|Sϵpτ1q ´ τ1|0 ` |f1τ1 ´ Sϵpf1τ1q|0

` c|SϵpPτ2q ´ Pτ2|0 ` |f2τ2 ´ Sϵpf2τ2q|0 Ñ 0.

这就证明了 p1q0 和 p2q0. 设 p1qs 和 p2qs 成立, 则

p1qs`1: 当 σ P Hs`1pLq 时, 由 p1q0, p1qs 和 p2qs, 有

|Sϵpσq ´ σ|s`1 ď |Sϵpσq ´ σ|0 ` |PSϵpσq ´ Pσ|s

ď |Sϵpσq ´ σ|0 ` |PSϵpσq ´ SϵpPσq|s

` |SϵpPσq ´ Pσ|s Ñ 0.

附录 B 193

p2qs`1: 当 σ P H 1s`2pLq 时, 由 p1qs`1,

|PSϵpσq ´ SϵpPσq|s`1 ď |f1Sϵpτ1q ´ sϵpf1τ1q|s`1 ` |f2SϵpPτ2q ´ Sϵpf2Pτ2q|s`1

ď |f1Sϵpτ1q ´ f1τ1|s`1 ` |f1τ1 ´ Sϵpf1τ1q|s`1

` |f2SϵpPτ2q ´ f2Pτ2|s`1 ` |f2Pτ2 ´ Sϵpf2Pτ2q|s`1

ď c|Sϵpτ1q ´ τ1|s`1 ` |f1τ1 ´ Sϵpf1τ1q|s`1

` c|SϵpPτ2q ´ Pτ2|s`1 ` |f2τ2 ´ Sϵpf2τ2q|s`1 Ñ 0.

由数学归纳法知引理对任意 s ě 0 均成立. 现在可以给出引理 5.6.3 的证明了. 我们现在只需要证明, 任给 σ P HspLq, 如

果 Pσ P HspLq, 则 σ P Hs`1pLq 即可. 事实上, 由 p1qs 和 p2qs 得

|PSϵpσq ´ Pσ|s ď |PSϵpσq ´ SϵpPσq|s ` |SϵpPσq ´ Pσ|s Ñ 0

这说明 tSϵpσqu 在 Hs`1pLq 中为 Cauchy 列, 其极限 σ P Hs`1pLq, 并且

|σ|s`1 “ r|σ|20 ` |Pσ|2ss12 .

这就证明了引理 5.6.3.

为了证明引理 5.6.4, 需要将上面的估计做一点改进. 我们要证明当 σ P H1pLq

时,

|Sϵpσq ´ σ|0 ď cϵ|σ|1. (5.14)

由上面的讨论知无妨假设 σ P ApLq. 我们先考虑 C中具有紧支集的光滑函数,设 f

是这样的函数, 其支集含于有界开集 U . 固定 w P C, 令

gwpzq “ fpz ` wq ´ fpzq,

gw 仍为具有紧支集的光滑函数, 且

gwpzq “ x

ż 1

0

Bf

Bxpz ` twqdt` y

ż 1

0

Bf

Bypz ` twqdt.

利用 Schwarz 不等式得

|gwpzq|2 ď 2x2

ż 1

0

|Bf

Bxpz ` twq|2dt` 2y2

ż 1

0

|Bf

Bypz ` twq|2dt,

从而有

|gw|2L2pCq ď 2x2

ż 1

0

dt

ż

C|Bf

Bxpz ` twq|2 ` 2y2

ż 1

0

dt

ż

C|Bf

Bypz ` twq|2

ď 2|w|2|Bf

Bz|2L2pCq.

附录 B 195

利用 f 具有紧支集和分步积分, 有ż

C

B2f

BxBy

B2f

BxBydxdy “ ´

ż

C

Bf

Bx

B3f

ByBxBydxdy

“ ´

ż

C

Bf

Bx

B3f

BxByBydxdy

“

ż

C

B2f

BxBx

B2f

ByBydxdy

ď12

ż

Cp∆fq2.

我们就得到如下估计

|fpzq|2 ď12VolpUq

ż

U

|∆f |2, @z P U. (5.15)

设 σ “ σkφσsk P H2pLq, 在 ApLq 中取一列 σi “ σikφσsk, 使得 |σi ´ σ|2 Ñ 0. 利用

5.15 得

|σik ´ σjk|2 ď c

ż

Uk

|∆pσik ´ σjkq|2

ď c1|σi ´ σj |22.

这说明 σi 在 M 上一致收敛于 C0pLq 中的元素, 因此 σ P C0pLq. 这就证明了

H2pLq Ă C0pLq.

一般地, 如果 σ “ σkφσsk P H2pLq, 则类似地有

|B

Bzkpσik ´ σjkq| ď c|σi ´ σj |3,

这说明 σi 在 M 上一致收敛于 C1pLq 中的元素, 这证明了 H3pLq Ă C1pLq. 如

果 σ P H2`spLq, s ě 2, 则 σ P C1pLq, 并且由 Pσ P H1`spLq 知 Pσ P Cs´1pLq. 根据

上面 P 的局部表达式就知道此时 σ P CspLq. 注意, 这里用到了重要的事实, 即 P

的局部表达式中含有各个方向的偏导数. 这样我们就证明了引理 5.6.5,从而 Hodge

定理最后也得到了证明.

196 附录 B

参考文献

[1] P. Griffith, 代数曲线, 北京大学出版社, 北京, 1985.

[2] 李忠, 复分析导引, 北京大学出版社, 北京, 2004.

[3] 吕以辇, 张学莲, 黎曼曲面, 科学出版社, 北京, 1991.

[4] 丘成桐, 孙理察, 微分几何, 科学出版社, 北京, 1991.

[5] 伍鸿熙, 吕以辇, 陈志华, 紧黎曼曲面引论, 科学出版社, 北京, 1981.

[6] 庄圻泰, 张南岳, 复变函数, 北京大学出版社, 北京, 1984.

[7] I. V. Ahlfors, Comlplex Analysis, 3rd ed., McGraw Hill, 1979.

[8] R. Bott and L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-

Verlag, 1999.

[9] S. S. Chern, Complex Manifolds without Potential Theory, Springer-Verlag, 1979.

[10] H. Farkas and I. Kra, Riemann Surfaces, GTM 71 Springer-Verlag, 1980.

[11] P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, 1978.

[12] R. C. Gunning, Lecture on Riemann Surfaces, Princeton University Press, 1966.

[13] J. Jost, Compact Riemann Surfaces, 3rd ed., Springer-Verlag, 2006.

[14] G. Springer, Introduction to Riemann Surfaces, Addison-Wesley, 1981.

[15] F. W. Warner, Foundations of Diferentiable Manifolds and Lie Groups, GTM 94,

Springer-Verlag, 1983.

[16] R. O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds, GTM 65, Springer-Verlag,

1980.

197

索引

q 次全纯微分, 96

Abel-Jacobi 映射, 113

Bergman 度量, 71

Cech 上同调, 139

Cauchy-Riemann, 1

de Rham 上同调群, 28

de Rham 定理, 145

Dirichlet 边值问题, 6

Dolbeault 上同调, 146

Dolbeault 引理, 146

Dolbeault 定理, 147

Gauss 曲率, 156

Gauss-Bonnet, 156, 166

Green 函数, 51

Harnack 不等式, 12

Harnack 原理, 14

Hermite 度量, 155

Hodge 定理, 63, 171

Hodge 星算子, 41

Laplace 算子, 4, 7

Liouville 定理, 11

Mobius 变换, 2

Mittag-Leffler 问题, 142

Perron 方法, 44

Perron 族, 44

Poincare 引理, 28

Poisson 积分公式, 6

Riemann 映照定理, 14

Riemann-Hurwitz 定理, 87

Riemann-Roch 公式, 65

Schwarz 引理, 1

Schwarz-Pick, 161

Serre 对偶, 174

Stokes 公式, 30

Weierstrass 点, 95

一元代数函数域, 73

子层, 134

切向量, 24

切向量场, 26

切空间, 24

切映射, 25

分歧覆盖, 36

双线性关系, 112

正线丛, 176

平均值公式, 1

平面曲线, 84

代数基本定理, 40

丛同构, 125

丛同态, 125

外微分, 27

主要因子群, 58

对合同构, 102

对偶形式, 109

亚纯函数, 36

亚纯函数域, 37

亚纯微分, 38

亚纯截面, 124

有效因子, 57

198

索引 199

光滑函数的芽层, 131

曲面的分类, 49

曲率形式, 156

因子, 57

因子的次数, 57

因子类群, 58

因子群, 57

全纯切丛, 122

全纯同构, 19

全纯自同构, 2

全纯自同构群, 100

全纯余切丛, 122

全纯函数的芽层, 132

全纯线丛, 122

全纯映照, 19

全纯浸入, 82

全纯嵌入, 82

全纯等距, 158

全纯微分, 37

全纯截面, 124

全纯截面层, 134

负线丛, 176

次调和函数, 42

投影空间, 18

余切丛, 26

余切向量, 26

余切空间, 26

间隙数, 94

完备预层, 133

层, 131

层同构, 134

层同态, 134

层投影, 131

层的上同调, 137

层的短正合序列, 135

层的截面, 132

局部平凡化, 122

拉回运算, 28

拉回度量, 158

茎, 131

奇异积分, 65

欧拉数, 151

非奇异点, 82

非超椭圆型, 90

典则基, 113

典范因子, 58

典范映射, 90

闸函数, 44

单值化定理, 49

线性等价, 58

相交数, 110

面积形式, 156

复投影空间, 81

复流形, 80

迷向子群, 101

总分歧数, 88

诱导因子, 57

诱导线丛, 127

结构层, 132

留数, 38

留数定理, 39

调和形式, 61, 164

调和函数, 4, 41

预层, 133

理想层, 135

梯度估计, 7

第一陈类, 181

200 索引

商层, 134

超椭圆型, 90

联络, 166

椭圆函数, 78

最大值原理, 6

最大模原理, 1

赋值, 75

强层, 143

强层分解, 145

楔积, 27

微分形式, 26

截断函数, 7

黎曼曲面的定义, 17

黎曼环面, 21

黎曼环面的分类, 23

黎曼球面, 19

摩天大厦层, 131

黎曼曲面讲义 - nanjing universitymaths.nju.edu.cn/~meijq/riemannsurface.pdf · f...

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