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辽辽宁宁科科技技大大学学教教案案【首页】

课程名称常微分方程授课专业信息与计

算科学年级大二课程编号

课程类型必修课校级公共课（）；基础或专业基础课（√）；专业课（）

选修课限选课（）；任选课（）

授课方式课堂讲授（√）；实践课（）考核方式考试（√）；考查（）

课程教学总学时数 64 学分数 4

学时分配课堂讲授 52 学时；习题课，测验等 12 学时

教材名称《常微分方程》作者

何希勤屠良平武力兵卢飞龙

出版社及出版时间

东北大学出版社 2017. 8

可选参考书

[1] V. I. Arnold (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，1985. [2]伍卓群，李勇. 常微分方程，高等教育出版社，2004. [3]张伟年、杜正东、徐冰, 常微分方程, 高等教育出版社，2006. [4] 丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),高等教育出版社, 2004. [5] 金福临、李训经, 常微分方程,上海科学技术出版社, 1979. [6] 林武忠、汪志鸣、张九超, 常微分方程,科学出版社，2003. [7] 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松, 常微分方程(第二版),高等教育

出版社, 1983. [8] 王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义,人民教育出版社, 1963. [9] 叶彦谦, 常微分方程讲义(第二版),人民教育出版社, 1982.

授课教师何希勤职称教授单位理学院

授课时间 2017 年 3 月—2017 年 7 月

注：表中（）选项请打“√”

1

辽辽宁宁科科技技大大学学教教案案【理科】

周次第一周，第 1 次课

章节名称第一讲: §1.1 微分方程与数学模型

授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学

时数 2

教学目的及要求

1. 了解常微分方程课程的“大概”； 2. 通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。

教学内容提要

一、ＯＤＥ的“大概” 1) 课程内容的基本情况； 2) 考试考核的基本办法； 3) 教学参考书。二、几个具体的例子例 1 曲率问题；例 2 几何问题；例 3Ｒ－Ｌ－Ｃ电路问题；例 4 碳－１４断代问题；例 5 （Ｍａｌｔｈａｓ１７６６－１８３４）人口模型。三、本讲习题

2

教学重点与难点

重点：通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。

作业、思考题

习题：ｐ１１－３，４,５

教学手段

黑板板书教学为主。

参考资料与备注

丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004. 伍卓群，李勇. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2004. 张伟年，杜正东，徐冰. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006. 王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, 1963.

3


周次第一周，第 2 次课

章节名称第二讲: §1.2ＯＤＥ基本概念与其发展简史


时数 2


1. 了解ＯＤＥ的有关概念； 2. 给出微分方程形式的分类； 3. 微分方程的几何分析；４. 了解ＯＤＥ发展简史。

教学内容提要

一、基本概念 1. ＯＤＥ及ＰＤＥ； 2. ＯＤＥ的一般形式； 3.ＯＤＥ的解（积分曲线族）； 4. 正规形ＯＤＥ；５．线性与非线性；６．齐次与非齐次；７．通解与隐式解。二、几何解释 1. 积分曲线； 2. 等倾线(isocline) 水平等倾线，竖直等倾线；若干例子。三、本讲习题

4


重点：1 了解微分方程的相关概念；

2 掌握微分方程形式的分类。难点：在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分析。

作业、思考题

作业：ｐ１１－６，７

教学手段

黑板板书教学为主、多媒体课件为辅。


V. I. Arnold (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：

科学出版社，1985. 伍卓群，李勇. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2004. 张伟年，杜正东，徐冰. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.

5


周次第二周，第 1 次课

章节名称第三讲: §2.1 可分离变量方程


时数 2


1. 了解可分离变量方程的解法；

2. 了解若干可化为可分离变量方程的情形。

教学内容提要

一、可分离变量方程的形式二、若干例子三、可化为可分离变量方程的若干实例

6


重点：掌握可分离变量方程的解法。难点：可化为可分离变量方程的变换。

作业、思考题

作业：ｐ－３５－１（１－８）。

教学手段



伍卓群，李勇. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2004. 张伟年，杜正东，徐冰. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006. 王高雄，周之铭. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.

7


周次第二周，第 2 次课

章节名称第四讲: §2.2 一阶线性微分方程


时数 2


1. 了解一阶线性微分方程的形式； 2. 掌握常数变易法的思想； 3.知道Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ方程的形式及求解。

教学内容提要

一、一阶线性微分方程 1 形式； 2 常数变易法。二、若干例子三、Bernoulli 方程及其求解四、本讲习题

8


重点：一阶线性微分方程的求解。

难点：Bernoulli 方程的求解。

作业、思考题

作业：p35-1（10-13）、2、3。

思考题：设 )(1 xy , )(2 xy 是方程 )()( xqyxpdxdy

=+ 的两个互异解。

求证对于该方程的任一解 )(xy ,下式

,)()()()(

12

1 Cxyxyxyxy

=−−

恒成立, 其中C 是某常数。

教学手段




辽辽宁宁科科技技大大学学教教案案

9

【理科】

周次第三周，第 1 次课

章节名称第五讲: §2.3 全微分方程


时数 2


1. 什么是全微分方程（恰当方程）； 2．如何判定微分方程是恰当方程； 3．如何寻求恰当方程的解； 4．寻求积分因子使方程变得恰当。

教学内容提要

一、全微分方程（恰当方程） 1 全微分方程 (恰当方程) 的形式与所满足的条件； 2 首次积分；提出两个问题 1) 如何判断一个微分方程是否为恰当方程？ 2) 若方程是恰当的,如何寻求全微分的原函数? 二、恰当方程的判定定理定理判定微分方程是恰当方程的充分必要条件。三、积分因子法问题:有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程。这时我们

问：是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢? 1 积分因子结论问题: 如何来寻求这些积分因子? 2 特殊情况下的积分因子；四、例题

10


重点：1 恰当方程的判定； 2 寻求积分因子。难点：寻求积分因子。

作业、思考题

作业：p36-1(14-17)、5

思考题：假设微分方程 yeydxdy x sectan −= 有形如 ye ax cos−

的积分因子, 试确定其中的常数 , 并求解该方程。

教学手段





11

【理科】

周次第三周，第 2 次课

章节名称第六讲: §2.4 一阶隐式方程


时数 2


1．了解一阶隐式方程的各种形式； 2．掌握一阶隐式方程的求解。

教学内容提要

一、隐式方程 1 一阶隐式方程的形式； 2 求解思想

1) 将dxdyp = 看成独立的变量；

2) 将代数方程 0),,( =pyxF 所定义的曲面参数化；

3) 通过变量替换的方法把方程(1)化为导数已解出的显式方程。 3 具体求解方法二、几类特殊的可解的隐式方程 1 可以解出 y 的方程； 2 可以解出 x 的方程； 3 不显含 y 的隐式方程； 4 不显含 x 的隐式方程。三、例题

12


重点：一阶隐式方程的求解。

作业、思考题

作业：p36-1(18-22)、10

教学手段

黑板板书教学。



13


周次第四周，第 1 次课

章节名称第七讲: 习题课

授课方式理论课（√）；实践课（ √）；实习（）教学

时数 2


教学内容提要

一、小结二、若干例题三、若干练习

14


作业、思考题

思考题： 1) 求解下列方程；

01)(5)() 25 =+− dxdy

dxdya 1) +−−= xyb dx

dy

2) 试证若 )(xy ϕ= 是方程 yxpdxdy sin)(= 的满足初始条件 0)0( =ϕ 的解,则

0)( ≡xϕ ,其中 )(xp 在 ∞<<∞− x 上连续。

教学手段



15

【理科】

周次第四周，第 2 次课

章节名称

第八讲: §3.1 解的存在性与唯一性

§3.2 齐次线性微分方程组解的结构


时数 2


1．掌握高阶线性微分方程转化为线性系统的变换； 2．深刻理解线性系统解的存在、唯一性定理的理论意义； 3．理解、掌握齐次线性微分方程组解的结构。

教学内容提要

一、问题的提出解的存在性为方程的求解提供理论基础；而解的唯一性是近似计算的前提。二、存在、唯一性定理三、齐次线性微分方程组解的结构

16


重点：1）理解线性系统解的存在唯一性定理；

2）向量函数组线性相关、无关定义的掌握。难点：齐次线性微分方程组解的结构。

作业、思考题

作业：p51-1、3、4 思考题：

假设 ( )1 0x t ≠ 是二阶齐次线性方程 ( ) ( )1 2 0x a t x a t x′′ ′+ + = 的解，这里 ( )1a t 和

( )2a t 是区间[ ],a b 上的连续函数．试证： ( )2x t 为方程的解的充要条件是

[ ] [ ]1 2 1 1 2, , 0W x x a W x x′ + =

其中 [ ]1 2,W x x 表示 ( ) ( )1 2,x t x t 的朗斯基行列式。

教学手段


17



科学出版社，1985. 丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004. 伍卓群，李勇. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2004. 张伟年，杜正东，徐冰. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006. 王高雄，周之铭. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.


周次第五周，第 1 次课

章节名称第九讲: §3.3 非齐次线性方程组的通解结构


时数 2


1. 深刻理解齐次与非齐次线性方程组解之间的关系； 2. 掌握常数变易法。

教学内容提要

18

一、通解结构二、通解定理（通解定理的证明）三、常数变易法


重点：常数变易公式及其应用。难点：常数变易法。

19

作业、思考题

作业：p52-6、7、8 思考题：

设 )(tA 是区间 ],[ βα 上的 nn× 阶连续矩阵函数, )(f t 是区间 ],[ βα 上的不

恒为零的n维连续列向量. 试证非齐次线性方程组 )(x)()(x ttAt = + )(f t 存

在且至多存在 n+1 个线性无关的解。

教学手段

黑板板书教学





周次第五周，第 2 次课

章节名称

第十讲: §3.4 高阶线性微分方程

§3.5 复值解与幂级数解法

20


时数 2


1. 掌握利用 Liouville 公式降阶的方法； 2.了解幂级数解法。

教学内容提要

一、高阶方程 1 n 阶线性微分方程的一般形式； 2 齐次与非齐次的情况。二、Wronski 行列式定义三、Liouville 定理四、通解结构五、复值解与幂级数解法六、例题

21


重点：Liouville 定理。难点：复值解与幂级数解法。

作业、思考题

作业：p53-10、13、15

教学手段





22


周次第六周，第 1 次课

章节名称第十一讲: §4.1 常系数齐次线性微分方程的解法


时数 2


1.掌握 Euler 指数函数法； 2.深刻理解齐次方程组对应于不同的特征值，其基本解组的不同表达形式。

教学内容提要

一、Euler 指数函数法二、特征方程与特征值的定义三、有关定理与结论四、例题

23


重点：基本解组的计算。

作业、思考题

作业：p82-1(1-8)

教学手段



丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004. 伍卓群，李勇. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2004. 张伟年，杜正东，徐冰. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006. 王高雄，周之铭. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.

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周次第六周，第 2 次课

章节名称第十二讲: §4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法


时数 2


1. 了解算子的相关性质； 2. 掌握算子解法。

教学内容提要

一、算子定义及有关性质二、算子解法三、例题

25


重点：掌握算子解法。

作业、思考题

作业：p83-2(1-3)、3

思考题： ( )y x 是四阶齐次线性微分方程，系数是实常数，已知 ( )y x 的一个解是

3 ,xx e− 求其通解，并确定该方程。

教学手段




26


周次第七周，第 1 次课

章节名称第十三讲: §4.3 常系数线性微分方程的其它解法之比较系数法


时数 2


1. 掌握比较系数法； 2. 了解比较系数法相关理论推导。

教学内容提要

一、比较系数法的有关理论推导二、比较系数法应用及例题

27


重点：比较系数法。

作业、思考题

作业：p83-5（1-7）思考题：求方程 4 sin 2x x t t′′ + = 的通解，已知它对应的齐次线性微分方程有基本

解组，cos 2 ,sin 2 .t t

教学手段

多媒体课件为主、黑板教学为辅。



28


周次第七周，第 2 次课

章节名称第十四讲: §4.3 常系数线性微分方程的其它解法之 Laplace 法


时数 2


1. 了解 Laplace 变换的定义及其性质； 2. 掌握 Laplace 算子法。

教学内容提要

一、Laplace 变换的定义及其性质二、Laplace 算子法三、例题

29


重点：Laplace 算子法的掌握。难点：Laplace 变换的有关性质。

作业、思考题

作业：p83-6(1-3)

思考题：设二阶常系数线性微分方程 xy y y eα β γ′′ ′+ + = 的一个特解为

( )2 1 ,x xy e x e= + + 试确定常数 , , ,α β γ 并求该方程的通解。

教学手段




30


周次第八周，第 1 次课

章节名称第十五讲: §4.4Jordan 标准形法与 Sylvester 法


时数 2


1. 掌握 Jordan 标准形法; 2. 掌握 Sylvester 法。

教学内容提要

一、Jordan 标准形法

二、Sylvester 法

三、例题

31


重点：Jordan 法与 Sylvester 法的掌握。

作业、思考题

作业: p84-11(1-2)、15（2、4）

思考题：求线性方程组

3 ,

2 ,

2

dx x y zdt

dy x zdt

dz x y zdt

= − + = + = − +

满足初值条件 ( ) ( ) ( )( ) ( )0 , 0 , 0 1, 1,1T Tx y z = − 的解。

教学手段


32




周次第八周，第 2 次课

章节名称第十六讲: 习题课

授课方式理论课（）；实践课（ √）；实习（）教学

时数 2


进一步熟悉、掌握常系数线性微分方程的各种解法。

教学内容提要

33

一、内容回顾二、例题（给出若干例题一题多解）三、学生练习题


重点：各种解法的灵活使用。

34

作业、思考题

作业：p85-17（1-3）

教学手段



丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004. 王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, 1963.


周次第九周，第 1 次课

章节名称第十七讲: §5.1 基本理论之预备知识


时数 2

35


1. 理解矩阵范数的定义； 2. 掌握几种不同范数之间的关系； 3. 了解 Gronwall 引理的证明。

教学内容提要

一、矩阵范数的定义二、几个具体的矩阵范数形式三、不同的矩阵范数之间的关系四、 Gronwall 引理及其证明

36


重点：矩阵范数的定义难点：不同矩阵范数之间关系的证明

作业、思考题

思考题：证明 1） L∞ 范数 1max ii n

x x∞ ≤ ≤= ；

2） pL 范数或 Holder 范数

1

1, 1

n ppip

ix x p

=

= ≥ ∑

教学手段



丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004. 伍卓群，李勇. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2004. 张伟年，杜正东，徐冰. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006. 王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, 1963.

37


周次第九周，第 2 次课

章节名称第十八讲: §5.2 解的存在与唯一性定理


时数 2


1. 掌握 Picard 存在唯一性定理及其证明； 2. 深刻理解 Picard 迭代法； 3. Picard 存在唯一性定理的局限性: 结果是局部的。

教学内容提要

一、问题的提出二、Lipschitz 条件的定义三、Picard 存在唯一性定理四、定理的证明证明思想: Picard 逐步逼近法证明分五步完成五、几何意义有具体图例六、例题（近似解与误差计算）

38


重点： 1 Lipschitz 条件的意义；

2 Picard 存在唯一性定理的证明与几何意义。难点：思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系。

作业、思考题

作业：p106-1、4、5 思考题：

试求初值问题 00 )(),()( xtxtQxtPdtdx

=+= 的 Picard 迭代序列,并通过求迭代

序列的极限求出初值问题的解。

教学手段





39


周次第十周，第 1 次课

章节名称第十九讲: §5.3 Peano 定理


时数 2


1. 掌握 Peano 存在性定理及其证明； 2. 掌握 Euler 折线法及其与微分方程的近似解法的联系； 3. 从函数空间的高度理解 Ascoli-Arzela 引理； 4. 与 Picard 存在唯一性定理的比较。

教学内容提要

一、Peano 存在性定理二、定理的证明思想: Euler 折线法 Euler 折线法的构造及其几何意义。三、一致有界与等度连续 1 一致有界与等度连续的定义； 2 对定义的进一步说明。四、Ascoli-Arzela 引理

比较 nR 上的有界的无限点集必有收敛子列。

五、Peano 存在性定理的证明分四步完成。六、ε逼近解的定义

40


重点：1 掌握 Peano 存在性定理及其证明；

2 掌握 Euler 折线法及其与微分方程的近似解法的联系。难点：1 试着从函数空间的高度理解 Ascoli-Arzela 引理；

2 与 Picard 存在唯一性定理的比较。

作业、思考题

作业： p107-7、9、11 思考题：利用 Peano 存在定理证明隐函数定理的存在性部分。

教学手段





41


周次第十周，第 2 次课

章节名称第二十讲: §5.4 解的延拓


时数 2


1. 了解 Picard 存在唯一性定理和 Peano 存在性定理的局限性。 2. 深刻理解解的延拓的几何意义。 3. 掌握解的延拓定理及其证明。

教学内容提要

一、存在性定理的局限性问题随着定义区域增大,由存在性定理所能确定的解的存在区间

反而还缩小了!（给出实例）二、解的延拓思想三、解的延拓的几何意义四、饱和解

结论：任一饱和解 )(tx ϕ= 的存在区间必为一个开区间 ),( ba 。

五、解的延拓定理证明思想

42


重点：理解解的延拓的几何意义，定理的证明。难点：初步的定性分析方法。

作业、思考题

作业：p107-8、10、12 思考题：

证明方程 22 txdtdx

+= 任一解的存在区间都是有界的。

教学手段





43


周次第十一周，第 1 次课

章节名称

第二十一讲: §5.5 解对初值和参数的连续依赖性

§5.6 解对初值和参数的可微性


时数 2


1. 掌握解对初值的连续依赖性定理及其证明； 2. 掌握解对参数的连续性定理； 3. 理解解对初值的可微性证明及其有关结果； 4. 了解解对参数的可微性。

教学内容提要

44

一、解对初值的连续依赖性定理及其证明证明这一定理。

二、解对参数的连续性定理定理的证明思想。

三、解对初值的可微性证明及其有关结果四、解对参数的可微性结论的证明思想。


重点：1 解对初值的连续依赖性定理；

2 解对初值的可微性证明及其有关结果。难点：有关结果的证明。

45

作业、思考题

作业:p107-13、14

思考题：.假设 Cauchy 问题 ( )dx ax f tdt

= + ， ( )0 0x t x= 满足解的存在唯一性

条件，其中a 为实数， t R∈ ， x R∈ 。 (1) 写出这个 Cauchy 问题解的表达式； (2) 用常数变易法证明这个不等式；

(3) 如果 0a > 而且 ( )f t 连续有界，证明存在 0x R∈ 使该 Cauchy 问题存在对所有

( )0 ,t t∈ +∞ 都有界的解。

教学手段






周次第十一周，第 2 次课

章节名称第二十二讲: 习题课

授课方式理论课（）；实践课（√ ）；实习（）教学

时数 2

46


1. 掌握本章的主要结论； 2. 进一步深刻理解 Picard 迭代法； 3. 理解主要结果的证明方法和几何意义； 4. 理解局部性结果和全局性结果的差别和联系。

教学内容提要

一、内容的回顾二、Picard 迭代的分析与应用三、例题（1）误差与近似计算 2)解的存在、唯一性应用 3）解对

初值的可微性计算）四、课堂思考题（1、计算 2、理论分析题）


重点：1 近似计算与误差分析；

2 深刻理解 Picard 迭代法在定理证明中的使用； 3 掌握解对初值及参数的可微性计算。

难点：本章理论的证明与分析。

47

作业、思考题

作业：p108-1、2、3 选作题：

给定方程 )sin(txx = 求 ),;( 000xttt

x∂∂ 和 ),;( 000

xttxx

∂∂ 在 0,0 00 == xt 处的表达

式 , 并证明若 ),( ηϕ t 是方程满足初值条件 η=)0(x 的解 , 则恒有

( , ) 0tφ ηη∂

>∂

。

教学手段






周次第十二周，第 1 次课

章节名称第二十三讲: §6.1 定性理论初步之基本概念


时数 2

48


1. 初步了解微分方程定性理论的创立和发展历史； 2. 了解微分方程定性理论的研究对象和主要任务； 3. 掌握自治系统区别于非自治系统的特殊性质； 4. 了解相关的基本概念。

教学内容提要

一、微分方程定性理论的创立和发展二、自治系统及其基本概念相空间，向量场，轨道，微分方程定性理论的主要任务；平衡点、定常解、奇点、闭轨或周期轨、稳定性。三、自治系统的解的性质 (i)积分曲线的平移不变性； (ii)群性质； (iii)轨道唯一性；上述性质的证明思想。四、稳定性的几何意义

49


重点：掌握定性理论中的基本概念。

作业、思考题

作业:p127-1、2

教学手段




科学出版社，1985. 马知恩. 常微分方程定性与稳定性方法. 北京：科学出版社，2001 丁同仁、李承治, 常微分方程教程(第二版), 北京：高等教育出版社, 2004. 伍卓群，李勇. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2004. 张伟年，杜正东，徐冰. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006. 王高雄，周之铭. 常微分方程. 北京：高等教育出版社，2006.

50


周次第十二周，第 2 次课

章节名称第二十四讲: §6.2 按第一近似决定稳定性


时数 2


1. 掌握线性系统零解稳定的几个结果； 2. 了解非线性系统零解稳定与线性系统零解稳定直接的关系； 3. 掌握 Routh-Hurwitz 定理。

教学内容提要

一、线性系统零解稳定的定理及其证明二、非线性线性化方法（例子）三、非线性系统零解稳定与线性系统零解稳定之间关系的定理四、R-H 定理五、例题

51


重点：1 掌握线性系统零解稳定的几个结果；

2 非线性系统零解稳定与线性系统零解稳定直接的关系。难点：非线性线性化方法的使用。

作业、思考题

作业：p128-3、4

思考题：讨论方程组

( )

( )

2

2

3 2 ,

2 3 ,

2

dx y x x y zdtdy x z y x zdtdz x y zdt

= − − − = − + − + = − −

的零解的稳定性。

教学手段





52


周次第十三周，第 1 次课

章节名称第二十五讲: §6.3 Liapunov 稳定性


时数 2


1.了解解对初值的连续依赖性与 Liapunov 稳定性的区别； 2.深刻理解 Liapunov 稳定性这一重要概念及其几何意义； 3.V 函数的构造。

教学内容提要

一、问题的背景问题：在什么条件下, 简化后的皆与实际解之间的误差不会导致“差之毫厘,失之千里”的结果? 稳定性问题一个例子二、Liapunov 稳定性的概念 1 Liapunov 稳定； Liapunov 稳定的几何意义； 2 Liapunov 渐近稳定； Liapunov 渐近稳定的几何意义； 3 Liapunov 不稳定。三、V 函数的构造四、例题

53


重点：1 Liapunov 稳定性的概念以及其几何意义；

2 非线性系统零解稳定性的判定。难点：V 函数的构造。

作业、思考题

作业：p128-5、6、7 思考题：

设 ),( xtf 在 }||,0:),{( 2 HxtxtG ≤≥∈= R 上连续, 0)0,( ≡tf ，

),( xtfx = 的解存在唯一,其零解稳定,且存在 01 >x 和 02 <x 使得分别由

初值条件 1)0( xx = 和 2)0( xx = 确定的解当 +∞→t 时都趋于零.证明零解

渐近稳定。

教学手段

黑板板书教学为主




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周次第十三周，第 2 次课

章节名称第二十六讲: §6.4 相平面奇点分析


时数 2


1. 初步掌握平面平衡点分析的基本方法； 2. 掌握平面线性系统的轨道的定性性质； 3. 建立微分方程定性分析的直观认识,为后续课程的学习打下基础。

教学内容提要

一、问题的提出二、具有平衡点的线性系统星形结点或临界结点；两向结点或正常结点；鞍点；单向结点或退化结点；焦点；中心。三、具有平衡点的系统的性质初等平衡点。定理中心焦点判定。四、例题

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重点：掌握相平面平衡点分析方法。难点：了解退化平衡点的相平面性质。

作业、思考题

作业:p129-8、9 思考题：引入极坐标观察并说明原点是系统

2222 , yxyxyyxxyx +−=+−−= 的稳定焦点。

教学手段





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周次第十四周，第 1 次课

章节名称第二十七讲: §6.5 极限环


时数 2


1. 掌握极限环及其稳定性的概念； 2. 了解 PB 定理和 Bendixson 判据及 Dulac 判据判断极限环的存在性； 3. 了解 Poincare 映射及与离散动力系统的联系。

教学内容提要

一、极限环及其稳定性 1 极限环； 2 极限环的稳定性；稳定极限环，不稳定极限环，半稳定极限环。二、极限环存在性的判定 1 Poincare-Bendixson 环域定理； Poincare-Bendixson 环域定理的几何意义； 2 极限环不存在的判定定理； Bendixson 判据， Dulac 判据。三、后继函数法四、离散动力系统及其基本概念迭代；离散动力系统；离散半动力系统；轨道, 正半轨和负半轨；周期点周期周期轨；不动点；稳定周期点；不稳定周期点。

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重点：掌握极限环及其稳定性。难点：判断极限环的存在性与不存在性的判定方法。

作业、思考题

作业：p130-2、3 .

教学手段





58


周次第十四周，第 2 次课

章节名称第二十八讲: 习题课

授课方式理论课（）；实践课（√ ）；实习（）教学

时数 2


1. 理解有关基本概念； 2. 掌握线性系统零解稳定的各种判据； 3. 掌握非线性系统与线性系统零解稳定之间的关系； 4. 了解通过构造 V 函数方法来判定非线性系统的零解稳定； 5. 掌握相平面奇点分析方法； 6. 了解极限环。

教学内容提要

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一、本章内容的回顾二、实例分析三、实例练习


重点：1.理解有关基本概念；

2.掌握线性系统零解稳定的各种判据； 3.掌握非线性系统与线性系统零解稳定之间的关系。

难点：构造 V 函数方法来判定非线性系统的零解稳定。

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作业、思考题

作业：p130-4、5、6、7

教学手段



V V. I. Arnold (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：



周次第十五周，第 1 次课

章节名称

第二十九讲: §7.1 微分方程数学模型的建立方法

§7.2 ODE 数学模型实例

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时数 2


1. 了解微分方程数学模型的建立方法； 2. 学会建立与分析 ODE 模型。

教学内容提要

一、微分方程数学模型的建立方法。二、实例分析 1.缉私问题； 2.市场价格问题； 3.广告模型； 4.振动模型； 5.教育问题； 6.传染病模型； 7.卫星发射问题。

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重点：1 模型建立的方法； 2 实例分析。难点：建模与分析。

作业、思考题

作业：p160-1、2、4 思考题：我们知道现在的香烟都有过滤嘴，而且有的过滤嘴还很长，据说过滤嘴

可以起到减少毒物进入体内的作用，请判断该结论是否正确？过滤嘴的作用到底有

多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有无关系？请你建立一个描述吸烟过程的数学

模型，分析人体吸入的毒量与哪些因素有关，并给出它们之间的数量关系

教学手段



V V. I. Arnold (阿诺德), 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：


63

· 可选参考书 [1] v. i. arnold ( 阿诺德 ), 常微分方程 ,...

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