第十二章 常微分方程第十二章 常微分方程

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一、主要内容一、主要内容

基本概念基本概念一阶方程一阶方程

类 型1. 直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程

类 型1. 直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程

7.伯努利方程7.伯努利方程

可降阶方程可降阶方程

线性方程解的结构

定理 1; 定理 2定理 3; 定理 4

线性方程解的结构

定理 1; 定理 2定理 3; 定理 4

欧拉方程欧拉方程

二阶常系数线性方程解的结构

二阶常系数线性方程解的结构

特征方程的根及其对应项

特征方程的根及其对应项

f(x) 的形式及其特解形式

f(x) 的形式及其特解形式

高阶方程高阶方程

待定系数法

特征方程法

微分方程解题思路

一阶方程一阶方程

高阶方程高阶方程

分离变量法分离变量法

全微分方程全微分方程

常数变易法常数变易法

特征方程法特征方程法

待定系数法待定系数法

非全微分方程

非变量可分离

非全微分方程

非变量可分离

幂级数解法幂级数解法

降阶降阶

作变换

作变换

积分因子

1 、基本概念微分方程　凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶　微分方程中出现的未知函数的最

高阶导数的阶数称为微分方程的阶．

微分方程的解　代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．

通解　如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．

特解　确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．

初始条件　用来确定任意常数的条件 .

初值问题　求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．

dxxfdyyg )()( 形如

(1) 可分离变量的微分方程

解法 dxxfdyyg )()(分离变量法

2 、一阶微分方程的解法

)(xy

fdxdy

形如(2) 齐次方程

解法xy

u作变量代换

)(111 cybxacbyax

fdxdy

形如

齐次方程．,01 时当 cc

，令

kYy

hXx

,

（其中 h 和 k 是待定的常数）

否则为非齐次方程．

(3) 可化为齐次的方程

解法化为齐次方程．

)()( xQyxPdxdy

形如

(4) 一阶线性微分方程

,0)( xQ当 上方程称为齐次的．

上方程称为非齐次的 .,0)( xQ当

齐次方程的通解为 .)(

dxxPCey

（使用分离变量法）

解法

非齐次微分方程的通解为

dxxPdxxP

eCdxexQy)()(

])([

（常数变易法）(5) 伯努利 (Bernoulli) 方程

nyxQyxPdxdy

)()( 形如 )1,0( n

方程为线性微分方程 .时，当 1,0n

方程为非线性微分方程 .时，当 1,0n

解法　 需经过变量代换化为线性微分方程．

,1 nyz 令

.))1)((()()1()()1(

1

cdxenxQe

zydxxPndxxPn

n

0),(),( dyyxQdxyxP

其中 dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),(

形如

(6) 全微分方程

xQ

yP

全微分方程注意：

解法 应用曲线积分与路径无关 .

y

y

x

xdyyxQxdyxPyxu

00

),(),(),( 0

,),(),(00

0 xdyxPdyyxQx

x

y

y

.),( cyxu

用直接凑全微分的方法 .

通解为

(7) 可化为全微分方程

).(xQ

yP

非全微分方程

0),(),( dyyxQdxyxP形如

若 0),( yx 连续可微函数，且可使方程

0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成为全

微分方程.则称 ),( yx 为方程的积分因子.

公式法 :

)(1

xQ

yP

Q

若 )(xf ;)(

)(dxxf

ex则

)(1

yP

xQ

P

若 )( yg .)(

)(dyyg

ey则

观察法 :熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．

常见的全微分表达式

2

22 yxdydyxdx

xy

dx

ydxxdy2

xy

arctgdyx

ydxxdy22

xydxyydxxdy

ln

)ln(21 22

22 yxdyx

ydyxdx

yxyx

dyx

ydxxdyln

21

22

可选用积分因子 .,,1

,1

,1

,1

2222222 等x

y

y

x

yxyxxyx

3 、可降阶的高阶微分方程的解法

解法

),(xPy 令

特点 .y不显含未知函数

),()2( yxfy

型)()1( )( xfy n

接连积分 n 次，得通解．

型

解法

代入原方程 , 得 )).(,( xPxfP

,Py

),(xPy 令

特点 .x不显含自变量

),()3( yyfy 型

解法

代入原方程 , 得 ).,( Pyfdydp

P

,dydp

Py

４、线性微分方程解的结构（ 1 ）　二阶齐次方程解的结构 :

)1(0)()( yxQyxPy形如

定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程(1)的两个

解,那末 2211 yCyCy 也是(1)的解.（ 21 ,CC 是常

数）

定理 2如果 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程(1)的两个线性无

关的特解, 那么 2211 yCyCy 就是方程(1)的通

解.

（ 2 ）二阶非齐次线性方程的解的结构 :

)2()()()( xfyxQyxPy 形如

定理 3 设 *y 是 )2( 的一个特解, Y是与(2)对应

的齐次方程(1)的通解, 那么 *yYy 是二阶

非齐次线性微分方程(2)的通解.

定理 4 设非齐次方程(2)的右端 )( xf 是几个函

数之和, 如 )()()()( 21 xfxfyxQyxPy

而 *

1y 与*

2y 分别是方程,

)()()( 1 xfyxQyxPy

)()()( 2 xfyxQyxPy

的特解, 那么 *

2

*

1 yy 就是原方程的特解.

５、二阶常系数齐次线性方程解法

)(1)1(

1)( xfyPyPyPy nn

nn 形如

n 阶常系数线性微分方程

0 qyypy 二阶常系数齐次线性方程

)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程

解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法 .

02 qprr

0 qyypy

特征根的情况 通解的表达式

实根21 rr

实根21 rr

复根 ir 2,1

xrxr eCeCy 21

21 xrexCCy 2)( 21

)sincos( 21 xCxCey x

特征方程为

01)1(

1)(

yPyPyPy nnnn

特征方程为 011

1

nnnn PrPrPr

特征方程的根 通解中的对应项

rk重根若是rxk

k exCxCC )( 1110

j

k

复根重共轭若是

xkk

kk

exxDxDD

xxCxCC

]sin)(

cos)[(1

110

1110

推广： 阶常系数齐次线性方程解法n

６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法

)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程

型)()()1( xPexf m

x

解法　待定系数法 .

,)(xQexy m

xk 设

是重根是单根不是根

2

,1

0

k

型]sin)(cos)([)()2( xxPxxPexf nl

x

],sin)(cos)([ )2()1( xxRxxRexy mm

xk 设

次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( nlm ,max

.1

;0

是特征方程的单根时不是特征方程的根时

j

jk

7 、欧拉方程

欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换

可化为常系数微分方程 .xtex t ln 或

)(1

)1(1

1

)( xfypyxpyxpyx nn

nnnn

的方程 ( 其中 nppp 21 ,

形如

叫欧拉方程 .为常数 ) ，

当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 , 常用幂级数解法 .

8 、幂级数解法

二、典型例题二、典型例题

40,0sin)1(cos.1

xyydyeydx x例

,1

1

cos

sindx

edy

y

yx

解：

,1cos

cosdx

e

e

y

ydx

x

Cey x ln)1ln(cosln

)1(cos xeCy

4

2

40

C

xy 代入，得将

14

2cos xey故所求特解为：

求通解。例 ,.2 22

dx

dyxy

dx

dyxy

,2

dx

dy

x

y

dx

dy

x

y

解：

012

dx

dy

x

y

x

y

xy

xy

dx

dy

1

2

,x

yu令 ,

dx

duxu

dx

dy则 代入，得：

,1

2

u

u

dx

duxu

uu

u

dx

dux

1

2

1u

u

,1

2

u

u

dx

duxu u

u

u

dx

dux

1

2

1u

u

,)1(

x

dx

u

duu

Cxuu lnlnln

Cuxu lnlnln Cxuu lnln

将变量还原，得：

Cyx

ylnln

所以，原方程的解为：

)ln(ln 11 CCCx

yy

。xy

Cey

求通解。例 ],1)[ln('.3 xyyxy

,,,,

),(),(),(

22

22

x

yyxyxxyu

x

yfyxfyxfxyf

做相应的变量替换：等形式的项时，通常要

方程中出现解：

,xyu令 ,'' xyyu 则 代入原方程，得：

,0]1[ln' uyu uyu ln'即：

,lnux

u

dx

du ,

ln x

dx

uu

du ,lnlnlnln Cxu

,ln Cxu ,)ln( Cxxy 即：

求通解。例 ,0)ln(ln.4 yxydxy

得：方程两端同除以 ,ln ydyy解：

当作自变量，将y,1

ln

1

yx

yydy

dx整理，得：

,0ln

ln

yy

yx

dy

dx

dyyyex ln

1

,1 ln

1

Cdye

y

dyyy

ye lnln ,ln1

Cydy

y

yln

1 Cyyd lnln

2

ln

ln

y

y

C

的通解。例 33)1(2

1

1

1'.5 yxyx

y

得：：的贝努利方程，作代换这是 ,3 2 yzn解：

,)1(2

1)2(

1

1)2( 3

xzxdx

dz

,)1(1

2 3

xzxdx

dz即：

Cdxexez

dxx

dxx 1

231

2

)1(

24 )1()1(2

1 xCx

242 )1()1(

2

11 xCx

y故原方程的通解为：

的通解。例 33)1(2

1

1

1'.5 yxyx

y

解法二：用常数变易法求解

对应的齐次方程： 01

1'

yx

y

故原方程的通解为：

,1

x

Cy的通解为：

,1

)(

x

xuy设 ,

)1(

)()1)((' 2

'

x

xuxxuy则

得：代入原方程并化简，可 )1)((2

1)(' 3 xxuxu

1)(

)(23 xxu

xdu即：

Cxxu 22 )1(2

1)(两边同时积分得：

24

2

2 )1()1(2

1

1

)(1

xCxx

xu

y

的通解。例 0)cos()cos()sin(.7 2 dyxyxdxxyxyxy

解 )cos(),(),cos()sin(),( 2 xyxyxQxyxyxyyxP

xy QxyxxyxP )]sin([)cos(2 2

故原方程的通解为：

,方程为全微分方程

yx

dxyxQdxyxPyxu00 0 ),(),(),(

)0,0(), 00 yx取（

yx

dxxyxdx0

2

0)cos(0

0)sin(y

xyx

Cxyx )sin(

)sin(xyx

).(

)()]([)(,2

1)0(.8

xf

dyxfydxxfexxffL

路径无关，求

与可导，同时使且已知例

解 )(),(,)]([),( xfyxQyxfeyxP x

故原方程的通解为：

x

Q

y

P

由已知条件，有

)()( ' xfxfe x 即：

xexf2

1)(

xexfxf )()('

Cdxeeexf dxxdx )(

Cdxeee xxx xx eCe2

1

02

1)0( Cf 代入，可得：将

.(*))()(

.92

32

22

1 CCyCx

微分方程：求以下列函数为通解的例

解 微分方程。为通解的方程为一三阶显然以(*)

得：对方程两边同时求导，

')(2)(2 21 yCyCx 0

再求导，得：0')()( 21 yCyCx即：

0''')(1 22 yyCy

再求导，得： 0'''2''')(''' 2 yyyCyyy

0'''3''')( 2 yyyCy即：

（ 1 ）

（ 2 ）由（ 1 ）得：

''

1'2

2 y

yCy

代入（ 2 ），得：0'''3)1'(''' 22 yyyy 即为所求。

的通解。求例 xyxy ln'''.10 解 原方程化为：则令 ,''',' pypy

xpxp ln'

x

x

x

pp

ln' 即：

Cdxe

x

xep

dxx

dxx

11 ln1ln 1

x

Cx

1ln' 1 x

Cxy即：

21 lnln CxxCxxxy

21 2ln)( CxxCx

的特解。的满足求例 20

',10

1'''.11 2

x

yx

yyyy

解 原方程化为：则令 ,'','dy

dppypy ,12 p

dy

dpyp

y

dydp

p

p

12即：1

2 ln2)1ln(C

yp 解得：

代入，得：将 20

',10

x

yx

y

,1 22 yp 于是

11 C

（舍负）21 yp ,1 2ypdx

dy

,1 2

dxy

dy

2

21ln Cxyy 两边同时积分，得：

代入，得：将 10

xy )12ln(2 C

)12ln()1ln( 2 xyy故所求特解为：

的通解。求例 yyyyy ln'''.12 22 解 ，的方程，且这是不显含 0yx

原方程可化为： yy

yyyln

2'''2

yy

yln

''

即： ,lnln '' yy

，则令 zy ln ,'' zz

次方程，特征方程为：这是二阶常系数线性齐

，， 112 xx eCeCz 21则其通解为：

xx eCeCy 21ln即：

).(,2)()(,0)0(),()('),()('

)(),(),()()(.13

xFexgxffxfxgxgxf

xgxfxgxfxFx 求且

）内满足以下条件：，在（其中函数设例

解

，

两边同时求导，得：对 )()()( xgxfxF

)(')()()(')(' xgxfxgxfxF )()( 22 xfxg

)()(2)()( 2 xgxfxfxg )(2)2( 2 xFe x

2)2()(2)(' xexFxF 即：

CdxeeexF dxxdx 222 4)(： Cdxee xx 42 4 xx Cee 22

代入上式，得：将 ,0)0()0()0( gfF 1C

xx eexF 22)(

故：

三、巩固练习三、巩固练习

一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy 的通解是( ).

(A)

])([)()(

CdxexQeydxxPdxxP

；

(B)

dxexQeydxxPdxxP )()(

)( ；

(C)

])([)()(

CdxexQeydxxPdxxP

；

(D) dxxP

cey)(

. 2、方程 yyxyx 22 是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程；

(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 .

3、 2)1(,022

yx

dx

y

dy的特解是( ).

(A) 222 yx ； (B) 933 yx ；

(C) 133 yx ； (D) 133

33

yx

.

4、方程 xy sin 的通解是( ).

(A) 322

12

1cos CxCxCxy ；

(B) 322

12

1sin CxCxCxy ；

(C) 1cos Cxy ； (D) xy 2sin2 .

5、方程 0 yy 的通解是( ). (A) 1cossin Cxxy ； (B) 321 cossin CxCxCy ； (C) 1cossin Cxxy ； (D) 1sin Cxy . 6、若 1y 和 2y 是二阶齐次线性方程 0)()( yxQyxPy 的两个特解,则 2211 yCyCy (其中 21 ,CC 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解；

(C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解.

7、求方程 0)( 2 yyy 的通解时,可令( ). (A) PyPy 则, ；

(B)dy

dPPyPy 则, ；

(C)dx

dPPyPy 则, ；

(D)dy

dPPyPy 则, .

8、已知方程 02 yyxyx 的一个特解为 xy ,于 是方程的通解为( ).

(A) 221 xCxCy ； (B)

xCxCy

121 ；

(C) xeCxCy 21 ； (D) xeCxCy 21 .

9、已 知方 程 0)()( yxQyxPy 的 一 个 特

1y解为 , 则另一个与它线性无关的特解为( ).

(A)

dxey

yydxxP )(

21

12

1；

(B) dxey

yydxxP )(

21

12

1；

(C)

dxey

yydxxP )(

112

1；

(D) dxey

yydxxP )(

112

1.

10、方程 xeyyy x 2cos23 的一个特解形式是 ( ). (A) xeAy x 2cos1 ； (B) xxeBxxeAy xx 2sin2cos 11 ； (C) xeBxeAy xx 2sin2cos 11 ；

(D) xexBxexAy xx 2sin2cos 21

21 .

二、 求下列一阶微分方程的通解: 1、 )1(lnln xaxyxyx ；

2、 033 yxxydx

dy；

3、 022

yx

xdyydxydyxdx .

三 、 求 下 列 高 阶 微 分 方 程 的 通 解 :1、 012 yyy ；2、 )4(2 xexyyy .

四 、 求 下 列 微 分 方 程 满 足 所 给 初 始 条 件 的 特 解 :1、 0)(2 223 dyxyxdxy , 11 yx 时， ；

2、 xyyy cos2 ,2

3,00 yyx 时， .

五、已知某曲线经过点)1,1( ,它的切线在纵轴上的截 距等于切点的横坐标,求它的方程 .

六 、 设 可 导 函 数 )( x 满 足

1sin)(2cos)(0

xtdttxxx , 求 )( x .

七 、 我 舰 向 正 东 海里1 处 的 敌 舰 发 射 制 导 鱼 雷 , 鱼 雷 在

航 行 中 始 终 对 准 敌 舰 . 设 敌 舰 以 0v常数 沿 正 北 方 向直 线 行 驶 , 已 知 鱼 雷 速 度 是 敌 舰 速 度 的 两 倍 , 求 鱼 雷的 航 行 曲 线 方 程 , 并 问 敌 舰 航 行 多 远 时 , 将 被 鱼 雷 击中 ?

巩固练习题答案一、1、A； 2、A； 3、B； 4、A； 5、B； 6、B； 7、B； 8、B； 9、A； 10、C.

二、1、xc

axyln

；

2、 121

2 2

xeCy x ；

3、 Cxy

yx arctan222 .

三、1、 )cosh(1

211

CxCC

y ；

2、 xxexxeCeCCy xxx 222321 )

94

61

( .

四 、 1 、 0)ln21( 2 yyx ；

2 、 xxey x sin21

.

五 、 xxxy ln .六 、 xxx sincos)( .

七 、 )10(32

)1(31

)1( 2

3

2

1

xxxy .

谢谢使用，再见！谢谢使用，再见！Thank you! Byebye!Thank you! Byebye!