매듭으로부터 곡면 만들기(Construct Surfaces from Knots)

Hun Kim, Kyoung Il Park and R.Jooyoung ParkDept. of Mathematics and Computer Science, Korea Science Academy of KAIST

105–47 Baekyanggwanmun-ro, Busanjin-gu, Busan 614–100, KoreaHunKim@kaist.ac.kr mathloveman@hanmail.net

Abstract수학에서 다루는 매듭이란 3차원 유클리드 공간안에 매장되어 있는 원 S1을 말한다. 이러한 매듭은 R3 안에들어있는 단순 폐곡선으로 생각할 수 있다. 그러면 주어진 매듭을 경계로 가지는 방향을 줄 수 있는 곡면이항상 존재하고 이 곡면을 사이퍼트 곡면이라고 한다. 이 워크숍에서 참가자들은 컬러찰흙을 이용하여 매듭그림으로부터 사이퍼트 곡면을 만드는 활동을 할 것이다.2차원콤팩트곡면은오일러지수와구멍의개수에의해서완전히분류될수있다. 따라서 참가자들은그래프를그리고 오일러 지수를 계산함으로써 사이퍼트 곡면을 분류하는 활동을 할 것이다.

A Knot, in the language of mathematics, is an embedding of a circle S1 into Euclidean 3-space, R3. Anda knot, as a simple closed curve in R3, is the boundary of an orientable surface called a Seifert surface.In this workshop, participants will make Seifert surface from a knot using color cray.In fact, any orientable compact surface can be classified by calculating Euler characteristic and countingnumber of holes. So, participants will calculate Euler characteristic using a graph on the Seifert surfaceto classifing surface.

매듭(Knots)

매듭이론은매듭을수학적으로연구하는위상수학의한분야이다. 매듭이론에서다루는매듭이란 3차원

유클리드공간안에매장되어있는원 S1을말한다. 이러한매듭은 R3 안에들어있는단순폐곡선으로서

서로 교차하는 점이 없이 시작점과 끝점이 같은 곡선으로 생각할 수 있다. 또한 매듭은 고무줄과 같이

그림 1: 여러가지 매듭들[9]

자유롭게 늘이거나 변형시킬 수 있는 것으로 생각해서 매듭 자신을 통과하거나 자르지 않고 변형시키는

것을 허용한다. 따라서 하나의 매듭을 R3 안에서 자기 자신을 통과하거나 중간을 자르지 않고 조금씩

움직여서 다른 매듭으로 만들 수 있으면 두 매듭을 동치인 매듭이라고 한다. 특히 평면 위에 놓인 원과

동치인 매듭들을 자명매듭이라고 한다.

그림 2: 자명매듭과 동치인 매듭[9]

3차원 공간 안에 있는 매듭을 표현하기 위해서 매듭을 평면 위에 사영시킨 그림을 이용한다. 매듭을

평면 위에 사영 시키면 두 개의 가닥이 만나는 곳이 생긴다. 두 개의 가닥이 만나는 곳에서 횡단적으로

만나게 매듭의 사영을 조정하고 두 가닥의 상하 위치를 표시한 그림을 매듭 다이어그램이라고 한다.

그리고 두 가닥이 횡단적으로 만나는 곳을 엇갈림이라고 한다.

그림 3: 매듭 다이어그램들[9]

하나의매듭다이어그램을변형하여동치인다른매듭다이어그램으로만드는방법으로라이데마이스터

변형이 있다. 라이데마이스터 변형은 그림 4와 같은 3가지로 변형으로 구성되어 있다. 또한 동치인 두매듭 다이어그램은 유한 번의 라이데마이스터 변형으로 나타낼 수 있다는 사실이 알려져 있다. 동치인

매듭 다이어그램 중에서 엇갈림의 개수가 최소인 다이어그램을 축약 매듭 다이어그램이라고 하고,

이때의 엇갈림의 개수를 그 매듭의 엇갈림 수라고 한다. 그림 1, 3에서 매듭 그림의 아래에 표기된 큰숫자는 그 매듭의 엇갈림 수를 나타내고 아랫첨자는 엇갈림 수가 같은 매듭들을 순서를 정하여 표기한

것이다.

사이퍼트 곡면(Seifert Surfaces)

3차원공간에들어있는매듭에대하여그매듭을경계로하는방향을줄수있는곡면이항상존재한다는

사실이 알려져 있다. 이 곡면을 사이퍼트 곡면이라고 한다. 따라서 경계가 하나이면서 방향을 줄 수

있는 콤팩트 곡면은 어떤 매듭의 사이퍼트 곡면이 된다. 주어진 매듭으로부터 사이퍼트 곡면을 구하는

방법을 사이퍼트 곡면 알고리즘이라고 한다. 사이퍼트 곡면 알고리즘을 설명하면 다음과 같다. 먼저

(a) 타입 1 (b) 타입 2

(c) 타입 3

그림 4: 라이데마이스터 변형[9]

주어진 매듭 다이어그램에 화살표를 이용하여 방향을 준다. 그러면 각 엇갈림은 다음과 같은 두 가지

중 하나로 나타난다.

그림 5: 매듭의 엇갈림

이들 엇갈림을 그림 6과 같이 변형하여 매듭 다이어그램으로부터 새로운 다이어그램을 얻는다. 이렇게얻어진 다이어그램은 여러 개의 원으로 구성되어져 있으며 이 원들을 사이퍼트 원이라고 한다. 그리고

사이퍼트 원을 경계로 하는 디스크를 사이퍼트 디스크라고 한다. 각각의 사이퍼트 디스크를 색칠하여

표시하자. 그러면 새로운 다이어그램은 여러 개의 사이퍼트 디스크들로 이루어져 있다. 이때 두 개의

사이퍼트 디스크들이 겹쳐져 있으면 공간에서 다른 높이에 놓여 있는 것으로 생각한다.

=⇒ =⇒

그림 6: 사이퍼트 원 만들기

이제다시엇갈림을복원하기위해서변형시킨엇갈림자리에 180◦ 또는 −180◦ 비틀어진밴드를붙인다.

그러면 모든 사이퍼트 디스크들은 연결되어 곡면이 되고 이렇게 얻어진 곡면의 경계는 원래 주어진

매듭 다이어그램이 된다.

⇐= =⇒

그림 7: 엇갈림 복원하기

예를 들어 간단한 매듭 다이어그램에 대하여 사이퍼트 곡면 알고리즘을 적용해 보자.

=⇒ =⇒

그림 8: 사이퍼트 알고리즘

곡면의 분류(Classification of Surfaces)

그래프와 오일러 지수

수학에서그래프는꼭짓점들과꼭짓점을연결하는변들로이루어진집합이다. 그리고그래프다이어그램

은 그래프의 꼭짓점과 변들의 연결 관계를 그림으로 나타낸 것이다. 그래프 다이어그램에서 변들은

꼭짓점에서만 만나게 된다. 편의상 그래프 다이어그램을 그래프라고 한다. 평면 위의 그래프는 평면을

그림 9: 평면 위에 놓인 그래프

여러 개의 조각으로 분할하며, 분할된 조각들을 영역 또는 면이라고 부른다.

평면의 오일러 지수를 계산하기 위해서는 평면 위의 그래프 중 모든 꼭짓점들 사이에 변들을 연결하여

만들어진 경로가 있는 그래프가 필요하다. 이러한 그래프를 연결된 그래프라고 한다. 연결된 그래프에

대해서 오일러 지수는 다음과 같은 식으로 표현된다.

v − e+ f

여기서 v는 꼭짓점의 개수, e는 변의 개수, f는 면의 개수이다.

예를 들어 그림 10의 그래프에 의한 평면의 오일러 지수를 계산해 보자. 꼭짓점의 개수는 11, 변의

그림 10: v = 11, e = 14, f = 5

개수는 14, 면의 개수는 5이므로 이 그래프에 의한 오일러 지수는

v − e+ f = 11− 14 + 5 = 2

가 된다. 평면 위의 임의의 연결된 그래프에 대해서 오일러 지수를 계산하면 항상 2가 된다는 사실을

알 수 있다. 따라서 평면의 오일러 지수는 2가 된다. 마찬가지로 구 위의 연결된 그래프에 대해 오일러

지수를 계산하면 2가 되므로 구의 오일러 지수도 2가 된다.

여러 가지 곡면의 오일러 지수

구멍이 없으며 방향을 줄 수 있는 2차원 콤팩트 곡면은 종수에 의해서 완전하게 분류된다. 또한 구멍이

있는 방향을 줄 수 있는 2차원 콤팩트 곡면은 종수와 구멍의 개수에 의해서 완전하게 분류된다. 이러한

방향을 줄 수 있는 2차원 콤팩트 곡면의 오일러 지수를 계산해 보자.

우선 구멍이 없는 곡면의 하나인 토러스의 오일러 지수를 계산해 보자. 토러스는 그림 11과 같이 직사각형의 마주 보는 변들을 붙여서 만들어 낼 수 있다. 따라서 토러스를 만들어 내는 직사각형과 토러스를

=⇒ =⇒ =⇒

그림 11: 평탄한 토러스

동일하게 취급할 수 있다. 이때 토러스를 만들어 내는 직사각형을 평탄한 토러스라고 한다. 그러므로

토러스 위에 놓여진 곡선이나 그래프는 평탄한 토러스 위에서 보다 편리하게 관찰할 수 있다. 토러스의

=⇒

그림 12: 토러스 위에 놓인 곡선

오일러 지수를 계산하기 위해 토러스 위에 그래프를 그리고 꼭짓점, 변, 면의 개수를 세어 보자. 이 때

토러스 위에 그리는 그래프의 면들은 셀이 되어야 한다. 편리한 관찰을 위해 평탄한 토러스를 이용하자.

그러면 그림 13에서와 같이 오일러 지수가 0이 됨을 알 수 있다.

그림 13: v − e+ f = 5− 10 + 5 = 0

2차원 구와 토러스 외의 곡면은 그림 14와 같이 토러스들의 연결합으로 만들어진다. 곡면이 n개의

토러스들의 연결합으로 만들어 졌을 때 음이 아닌 정수 n을 곡면의 종수라고 한다. 따라서 구면은

종수가 0이고 토러스는 종수가 1이다. 또한 그림 14에서 얻어진 이중 토러스는 종수가 2이다.

(a) 두 곡면에서 디스크를 제거 (b) 제거 된 디스크의 둘레를 따라 접착

(c) 접착한 부분을 부드럽게 변형

그림 14: 연결합

이중 토러스의 오일러 지수를 구해보자. 이중 토러스는 토러스 두 개의 연결합이므로 그림 15에서 1번

면을 제거하고 그 둘레를 따라 접착하여 만들었다고 생각 할 수 있다. 따라서 두 개의 토러스에서 면 2

#

그림 15: 이중 토러스 위의 그래프

개가 없어지고 꼭짓점 3개와 변 3개가 중복으로 인해 없어지게 된다. 그러므로 이중 토러스의 오일러

지수는

v − e+ f = (10− 3)− (20− 3) + (10− 2) = −2

가 됨을 알 수 있다. 이와 같이 종수가 n인 곡면의 오일러 지수는 다음 식을 만족한다.

v − e+ f = (n · 5− (n− 1) · 3)− (n · 10− (n− 1) · 3) + (n · 5− 2 · (n− 1))

= 2− 2n (1)

지금까지 구멍이 없는 곡면에 대한 오일러 지수를 알아 보았다. 구멍이 k개 있는 곡면은 종수가 n인

곡면에서 구멍을 k개 만든 것으로 생각할 수 있다. 그러면 식 (1)에서 오일러 지수를 계산하기 위해

사용한 그래프에서 면을 k개 제거한 것으로 생각 할 수 있다. 그러므로 구멍이 k개이고 종수가 n인

곡면의 오일러 지수는 다음 식을 만족한다.

v − e+ f = (n · 5− (n− 1) · 3)− (n · 10− (n− 1) · 3) + (n · 5− 2 · (n− 1))− k

= 2− 2n− k (2)

곡면의 분류

앞에서 설명한 사실에 의해서 곡면이 주어지면 모든 면이 셀이 되는 그래프를 이용하여 오일러 지수를

계산하고 구멍의 개수를 세면 주어진 곡면이 무엇인지 알 수 있다. 예를 들어 그림 16과 같은 곡면이무엇인지 알아보자.

그림 16: 곡면의 분류

주어진 곡면에 모든 면이 셀이 되도록 그림 16과 그래프를 그리도록 하자. 그러면 이 곡면의 오일러지수는

v − e+ f = 8− 13 + 3 = −2

가 된다. 그런데 이 곡면의 구멍의 개수는 경계의 개수와 같으므로 구멍의 개수가 2이다. 따라서 이

곡면의 종수가 n이라고 하면 식 (2)에 의해서

2− 2n− k = 2− 2n− 2 = −2

이므로 종수는 1이 된다. 그러므로 그림 16의 곡면은 토러스에서 구멍을 하나 뚫은 곡면이다.이와 같이 오일러 지수와 구멍의 개수를 확인하면 주어진 곡면이 무엇인지 정확하게 알 수 있다.

활동(Activity)

본 워크숍에서는 앞에서 설명한 수학적 사실을 확인 할 수 있도록 다음과 같은 순서로 활동을 진행 할

것이다.

① 잘 휘어지는 철사를 이용하여 매듭을 만든다.

② 만들어진 매듭의 사이퍼트 곡면을 스케치 한다.

③ 사이퍼트 곡면을 컬러 찰흙을 이용하여 만든다.

④ 사이퍼트 곡면의 오일러 지수를 계산하고 곡면을 분류한다.

⑤ 다양한 매듭에 대해서 위의 과정을 수행한다. 이때 컬러 찰흙을 이용하여 조형미가 뛰어난 곡면을

만든다.

=⇒ =⇒

그림 17: 활동

참고문헌

[1] Colin C. Adams. The Knot Book: An Elementary Introdcution to the Mathematical Theory ofKnots. AMS, 2001.

[2] Gerhard Burde and Heiner Zieschang. Knots. Walter de Gruyter, 2010.

[3] J.C. Cha and C. Livingston. Knotinfo: Table of knot invariants. http://www.indiana.edu/knotinfo.

[4] David W. Farmer and Theodore B. Stanford. Knots and Surfaces: A Guide to DiscoveringMathematics, volume 6 of Mathematical World. AMS, 1996.

[5] Louis H. Kauffman. On Knots. Princeton University Press, 1987.

[6] Dale Rolfsen. Knots and Links. AMS CHELSEA PUBLISHING, 2003.

[7] Mereke van Garderen and Jarke J. van Wijk. Seifert surfaces with minimal genus. Proceedingsof Bridges 2013, 2013.

[8] Jarke J. van Wijk and Arjeh M. Cohen. Visualization of seifert surfaces. IEEE Trans. onVisualization and Computer Graphics, 12(4), 2006.

[9] Wikipedia. Knot theory. http://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory.