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電子情報工学基礎

第６回

半導体の基礎（その１）

2

半導体の基礎

• 原子の構造

• 電子軌道の計算（波動方程式）

• エネルギーバンド

• 半導体

• エネルギー分布

• 原子と原子の結合

• 半導体

• pn接合

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「全ての物質は原子で構成されている」

原子 ： 原子核（陽子、中性子）＋電子

・ 陽子の数、電子の数は原子番号（Z）に等しい

電気素量 ： e = 1.602 x 10-19 C

・ 陽子は +e の正の電荷、

電子は –e の負の電荷をもつ

原子の構造

vr

原子核

4

気体放電により放射される光の線スペクトルの規則性を

説明する為，次の仮説を提唱し，原子模型を導いた．

気体放電のスペクトル（イメージ）

黒体輻射（白色光）のスペクトル（イメージ）

電子は原子核の周囲を円軌道を描きながら回転する．その際，幾つかの限られた飛び飛びの軌道だけが許される．（量子化条件）

ボーアの原子模型

5

速度

電子の質量

電荷原子番号，

原子核が持つ電荷

円軌道の半径

:

:

)::(

:

:

v

m

eZ

Ze

r

e

電子軌道の計算１

円軌道

6

24

2

0

2 vm

r

ZeE e

2

0

22

4 r

Ze

r

vme

電子軌道の計算２

電子の全エネルギー

遠心力＝クーロン力

静電ポテンシャル

運動エネルギー

円軌道

遠心力 クーロン力

r

ZeE

0

2

8 ：電子の全エネルギーは軌道半径に反比例

古典力学→ ｒ は連続値をとることが可能

量子力学→ ｒ は「ボーアの量子条件」を満たす軌道のみ存在

－Ｂ

－Ａ

Ｂ式をＡ式に代入して

①

②

vr

原子核

7

最終的な量子化されたn番目の軌道の半径と電子の全エネルギーは：

,...)3,2,1(2

nnh

nvrme

,2

2

2

0 nZem

hr

e

n

222

0

421

8 nh

eZmE e

n

エネルギー準位に相当

電子軌道の計算３

角運動量の量子化(ボーアの量子条件)

とびとびの軌道半径のみが認められる

2

hの整数倍

h：プランク定数

離散値

③

①、②、③式から

8

222

0

42 1

8 nh

eZmE e

n

量子化された軌道の半径と電子の全エネルギー

電子のエネルギー変化と

光の吸収・放射

chhv

EEE nn

1

水素の軌道とエネルギー

計算例

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

ライマン系列

バルマー系列

パッシェン系列

水素原子の電子軌道とスペクトル

9

n =4（励起状態）

n =3

n =2

n =1（基底状態）

軌道半径

電子のもつエネルギーの井戸

線スペクトルの規則性

1

nm8.660

m10608.6

J][1001.3

2

1

3

1

8

7

19

2222

0

42

23

E

chc

Ehν

h

eZmEEE e

10

電子のような微小粒子の移動状態は波動性をもつ

mv

h

ド・ブロイの物質波の仮説 電子波, ド・ブロイ波

電子波波長

kg 109.1093897

F/m 1078.85418781

sJ 1062607556

m/s 10997924582

31-

12-

0

34

8

e

-

m

ε

.h

.v

重要な定数：

線スペクトルの規則性をきわめてよく説明したが，線スペクトルの微細構造や光の強弱など，解釈のつかないところもあった．

ボーアの原子模型

→より詳しい議論

11

2

2

2

2

2

22

22

2

zyx

EVme

φ：波動関数（波動方程式の解）

｜φ2｜：電子の存在確率

ド・ブロイの物質波の概念を元に波動方程式を導出

シュレディンガーの波動方程式

ポテンシャルエネルギー

固有値をとるときのみ解を持つ

← 電子状態

（いくつかの解）

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量子数

1. 主量子数 ： n

• 電子の状態を区別するのに最も重要な量子数で，正の整数 nで表される．

• nが小さいほど電子のエネルギーが低い．

• 主量子数の等しい軌道群を殻(shell)といい，内殻から順にK, L, M, N, ...

殻という．

2. 方位量子数 ： l（エル）

• 電子軌道の形状を区別する量子数で，0, 1, 2,..., (n – 1) の n個の値をとる．これらは，分光学的表記を用いて，s, p, d, f, ... と表されることが多い．

3. 磁気量子数 ： m

• 電子の角運動量の z成分に対応し，–l, – (l – 1), ..., 0, ...(l – 1), lの(2l+1)

個の値をとる．

• 磁界を印加しない限り磁気量子数の区別はできない．

4. スピン量子数 ： s

• 電子の自転（スピン）を量子化したもので，+1/2 または – 1/2 の値をとる．

（電子の状態（波動方程式の解）を４量子数で区別）

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水素原子の波動関数（電子軌道）の角度依存性

(a) l=0

(b) l=1

(c) l=2

3s軌道

3p軌道

3d軌道

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殻と量子数

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各軌道への電子の入り方

・ 原子を構成している電子は，原子のエネルギーが最小になるように，低いエネルギーの電子状態から順につまっていく．

・ 主量子数 nの殻に入る電子の総数は，2n2 である．

・ ある殻に収容されている電子数がその殻に与えられた最大数(2n2)に等しい場合，その殻を閉殻(closed shell)と呼ぶ．

・ 完全に満たされていない殻がある場合，その殻に存在する電子は価電子(valence electron)と呼ばれ，その原子の化学的性質を決定する．

１つの電子状態には，１つの電子しか入り得ない．

パウリの排他原理

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エネルギー帯(バンド）構造

孤立原子に属する電子は，その量子数できまる軌道を描き，離散的なエネルギー値をとる．

原子を近接させ，かつ規則的に並べて結晶を構成すると，各原子に属する電子は互いに影響を及ぼし合うようになる．

エネルギー準位は，結晶を構成する原子の数に相当する準位に分離する．

→エネルギー帯

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エネルギー帯構造の形成モデルの模式図

許容帯 ： 電子が存在できるエネルギー帯

禁制帯 ： 電子が存在できないエネルギー範囲

結晶を構成する原子の数は非常に多いので，

これらの分離した準位は重なってほぼ連続的に分布し，エネルギー帯構造を形成する．

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充満帯 ： 電子が完全につまった許容帯

伝導帯 ： 空または一部つまった許容帯

自由電子 ： 伝導帯の電子 → 印加電界により

容易に移動して電気伝導に寄与

価電子帯 ： 絶縁体・半導体においてエネルギーが最も高い充満帯

禁制帯幅（Eg） ： 価電子帯の頂（Ev）と伝導帯の

底（Ec）とのエネルギー差

導体、絶縁体のエネルギー帯構造

充満帯

充満帯

Eg大きい

Ec

Ev

19

半導体

低温では、絶縁体と同様、伝導帯が空であるが、

Egが比較的小さく、室温

程度で価電子帯から伝導帯に電子が励起される

→電気伝導が生じる

Eg (小さい)

価電子帯

伝導帯

エネルギー

Eg (小さい)

価電子帯

伝導帯

エネルギー

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半導体

Ge（ゲルマニウム） 0.66eV

Si（シリコン） 1.12eV

C（ダイアモンド） 5.5eV

GaAs（ガリウムひ素）1.42eV

絶縁体

SiO2（ガラス） 9eV

エネルギーギャップ Eg の例

eV（エレクトロンボルト）：電位差1[V]かかってるところで電子を移すためのエネルギー

1 [eV] = 1.6 x 10-19 [C]

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まとめ

・原子の構造

・電子軌道の計算量子化シュレディンガー方程式パウリの排他原理

・エネルギーバンド

・半導体