第十四屆 2009Abaqus Taiwan Users’ Conference

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功能梯度材料結構之數值模擬及驗證

呂學育 徐豪健 中華科技大學 航空機械系

摘要

本文基於 ABAQUS 套裝軟體之有限元素彈塑性分析架構，進行分析功能的加

值擴充，利用使用者副程式功能編寫出功能梯度材料之參數變化形式，建構出完整功能梯

度材料中空旋轉圓盤之有限元素彈塑性分析模式。文中首先與文獻上中空旋轉圓盤之彈塑性

分析結果比對，以驗證分析模式之正確性。而分析案例中，考量降伏強度、楊氏係數與密度

皆與徑向呈非線性函數變化行為，材料遵循 von Mises 降伏準則，而中空圓盤簡化成平面應

力條件下，探討材料參數對於圓盤初始降伏位置之影響。 關鍵字： 功能梯度材料、von Mises 降伏準則、彈塑性分析、平面應力

ABSTRACT This paper presents the elastic-plastic analysis of rotating hollow disks of functionally graded materials. The elastic-plastic analysis of functionally graded materials is made possible by using the computer code ABAQUS in cooperated with a user subroutine. The user subroutine is edited to consider functionally grade materials. The von Mises yield criterion and its associated flow rule are adopted to model the perfectly plastic materials. To account for the effects of functionally graded materials on the elastic-plastic behavior of rotating hollow disks, the corresponding Young’s modulus, density and yield strength are considered to vary radially. The numerical model is first validated by comparisons with elastic-plastic results available in the literature. Finally, numerical studies are performed to illustrate different modes of plastic behavior by tailoring the parameters of functionally graded materials. Keywords: functionally graded materials; von Mises yield criterion; elastic-plastic analysis; plane

stress.

一、前言 旋轉圓盤在工程上應用廣泛，

例如齒輪、轉子、飛輪等，而文獻

上 亦 有 一 些 彈 塑 性 的 分 析 探 討

[1-13]，尤其考慮功能梯度材料之旋

轉圓盤議題逐漸引起廣泛興趣 [2, 4, 10-12]。然而，或因基於簡化問題之

考量，文獻上之研究大多僅考慮角

速度之徑向作用 [1-6, 10-11, 13]，而

考 慮 角 加 速 度 之 周 向 作 用 則 不 多

[7-9, 12]。另一方面，一般商業化之

套裝數值分析軟體雖然具多功能之

優勢，惟尚無現成可用之功能梯度

材料的分析功能。 因此，本文擬基於 ABAQUS 套

裝 軟 體 之 有 限 元 素 彈 塑 性 分 析 架

構，進行分析功能的加值擴充，利

用使用者副程式編寫功能梯度材料

之參數變化模式，以建構完整之功

能梯度材料結構的有限元素彈塑性

分析模式。 文中將以功能梯度材料旋轉圓

盤 為 例 ， 進 行 有 限 元 素 彈 塑 性 分

析，除考慮角速度之徑向作用，並

考量周向作用之角加速度效應，且

完整考慮功能梯度材料之性質參數

的影響性，探討其對初始降伏行為

之影響。

二、理論背景 考慮角速度及角加速度之旋轉圓盤平

衡方程式如下[13]

021

01

Srrr

Rrrr

rr

rrr

)2.1(

)1.1(

其中 rR 2 與 rS 分別代表徑向與

周向單位體積之體積力， 為密度， 為

角速度， 為角加速度。

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三、問題陳述

本文考慮承受角速度與角加速度作用

之功能梯度材料中空圓盤，且假設此一承受

角速度與角加速度作用之中空圓盤可簡化

成平面應力條件之結構。 本文所考慮之中空圓盤之彈性行為由

下列之材料參數描述 初始楊氏係數 GPa200 蒲松比 3.0 初始密度 3/k7850 mg 將楊氏係數與密度假設為空間座標的

冪次方函數，即

m

brErE

0 )1.2(

k

brr

0 )2.2(

其中 r 為徑向方向位置 b 為外徑 m、k 為指數參數，為改變材料性質之參數 在塑性部分，假設降伏行為係遵循慣用

的 von Mises 降伏準則，其降伏應力假設為

空間座標的冪次方函數，如下

s

y brr

0 )3.2(

其中 r 為徑向方向位置 b 為外徑 s 為指數參數，主要改變降伏強度隨著徑向

方向位置而改變之參數

四、數值分析模式建立

本文進行功能梯度材料結構之彈塑性

分析，基於 ABAQUS 之有限元素彈塑性架

構，並應用 ABAQUS 使用者副程式之功

能，以加值擴充提升材料模擬之功能。本文

利用使用者副程式敘述出材料參數之梯度

變化，如降伏強度、楊氏係數與密度都跟徑

向位置呈一非線性關係式，如 2.1、2.2 與

2.3 關係式。

五、分析結果與討論

本文首先進行分析模式之驗證，計算案

例分別與文獻上旋轉圓盤之彈性分析結果

[12]及彈塑性分析結果[8]進行比對。

Cho(2008)考慮功能梯度材料旋轉圓

盤，如圖 1 所示，其使用 2.1 與 2.2 關係式，

模擬楊氏係數和密度都與徑向位置呈一非

線 性 關 係 ， 邊 界 條 件 則 是

00 ba rr 與 , 02 u ，假設圓盤以

srad. 300 與角加速度 2rad. 100 s旋轉。在設定 ABAQUS 之分析模式時，圓

盤內緣設定 02 u ，即周向位移固定。將分

析結果分成徑向、周向與剪切三個方向之應

力分量與解析解比對。如圖 2~圖 4 為

2 km 時，各方向應力分量之應力大小

分布圖，由圖中可知本文之數值分析結果與

解析解[12]有良好的吻合度，驗證模型在彈

性分析之正確性。。 接著，與 Reddy(1973)之研究結果進行

初始降伏之極限角速度與極限角加速度比

對，其中空圓盤示意模型如圖 5。本文數值

模式分別使用一階元素與二階元素進行比

對，如圖 6 可知，二階元素可得到較精準之

比對結果，驗證模型在彈塑性分析之正確

性。 由以上顯示，本文數值分析模式與

Cho(2006)之功能梯度材料彈性分析結果比

較，以及與 Reddy(1972)之均質材料彈塑性

分析結果比對，皆獲得嚴謹之驗證結果後，

將進行其它分析案例，以探討功能梯度材料

對旋轉圓盤彈塑性行為之影響。 考慮中空圓盤如圖 7 所示，分析考量中

空圓盤旋轉運動，且其功能梯度材料行為如

式(2.1)、式(2.2)與式(2.3)所示。為探討功能

梯度材料對旋轉圓盤之降伏行為之影響，分

析案例分別考慮式(2.1)、式(2.2)與式(2.3)中的 m、k 與 s 如表 1 所示。圖 8~11 分別對

應於表 1 之 Case1~Case4 降伏位置表示圖，

由圖 8~11 顯示，Case1 為內徑初始降伏，

Case2 為外徑初始降伏，Case3 為內部初始

降伏，Case4 為內外徑初始降伏模式。 由以上分析案例顯示，經由調配功能梯

度材料行為之參數值改變材料，可獲得不同

之初始降伏模式，即藉由參數設定改變材料

性質，可掌握功能梯度材料中空旋轉圓盤結

構之初始降伏位置，可作為設計與安全評估

之參考。

六、結論

本文進行公認可信的 ABAQUS有限元素套裝軟體之分析功能的加

值擴充，利用使用者副程式編寫功

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能梯度材料之參數變化模式，以建

構完整之功能梯度材料旋轉圓盤的

有限元素彈塑性分析模式，可提供

設計者對於結構設計最佳化與安全

評估之依據。 文中分析案例考量降伏強度、

楊氏係數與密度皆與徑向呈非線性

函數變化之功能梯度材料，而材料

遵循 von Mises 降伏準則，考慮旋轉

中空圓盤承受角速度以及角加速度

作用，進行平面應力條件下之有限

元素彈塑性分析。首先，文中進行

數 值 分 析 模 式 之 驗 證 ， 包 括 角 速

度、角加速度作用下之彈性行為及

初始降伏之嚴謹驗證。其次，本文

完整考慮功能梯度材料的性質參數

之變化。經由分析結果顯示，功能梯度材

料與一般均質材料在彈塑性行為有顯著的

差異，由本文分析案例顯示，變化其功能梯

度材料之參數值有不同降伏行為，可作為材

料安全評估與設計之參考。

七、參考文獻

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表 1 功能梯度材料參數表

m k s

Case1 0.44 -1.1 -0.79

Case2 3.25 -3.2 1.955

Case3 3 -1 2.2

Case4 2.5 1.2 -1.8

圖 1 彈性分析功能梯度材料中空圓盤示

意圖(a/b=0.6)

圖 2 承受角速度及角加速度作用之中空

旋轉圓盤彈性分析徑向應力分布圖

圖 3 承受角速度及角加速度作用之中空

旋轉圓盤彈性分析周向應力分布圖

圖 4 承受角速度及角加速度作用之中空

旋轉圓盤彈性分析剪切應力分布圖

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圖 5 彈塑性分析均質材料中空圓盤示意

圖(a/b=0.2)

圖 6 發生初始降伏之中空旋轉圓盤極限

角速度及角加速度關係圖

圖 7 彈塑性分析功能梯度中空圓盤模型

圖(a/b=0.55)

圖 8 中空旋轉圓盤內徑初始降伏示意圖

圖 9 中空旋轉圓盤外徑初始降伏示意圖

圖 10 中空旋轉圓盤內部初始降伏示意圖

圖11 中空旋轉圓盤內外徑初始降伏示意圖