埃菲尔铁塔

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你找到梯形了吗？

体育馆

你找到梯形了吗？

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竹梯

轿车

你找到梯形了吗？

一组对边对这平行 , 而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 .

议一议 :(1) 这些梯些有什么特征 ? 你能给梯形下定义 ?

(1)

(2)

(3)

(4)

梯形的定义 :

(2) 梯形的有关概念 :底边

底边

腰 腰高(3) 观察 : 图 (4) 梯形与图 (1)(2)(3) 梯形又有哪些不同的特征 ?

两条腰相等的梯形叫做等腰梯形 .等腰梯形的定义 :

两腰相等

指出指出 : 腰和底边的夹角叫做底角 .

问题 : 观察你所画的等腰梯形，你发现等腰梯形具有哪些相等的结论？

在一张方格纸上画出一个等腰梯形 .( 要求顶点在格点上 )

A

B C

D

合作学习

　　请大家结合图形 , 猜想等腰梯形的特殊性质 , 并设法验证自己的猜想。

两腰相等的梯形，叫做等腰梯形。

B C

DA

等腰梯形是一种特殊的梯形，它有什么特殊性质呢？ 提示：可以从边、角、对

角线和对称性去考虑

合作学习

性质：等腰梯形同一底上两个底角相等 .

A

B C

D

已知：等腰梯形 ABCD ， AD∥BC ， AB=DC.

E

求证：∠ A=∠ADC, ∠C=∠B

1

已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC.

求证:∠B=∠C,∠A=∠D.

A

B

D

CE

证明 : 过点 D 作 DE ∥AB, 交 BC 于点 E.

∵AD ∥BC, AB ∥DE∴ 四边形 ABED 是平行四边形

∴DE=DC

∴AB=DE.

∴∠1=∠C

∴ ∠1=∠B

∵ AD ∥ BC

∴ ∠B=∠C

又∵ AB ∥DE,

∴ ∠ B + ∠A = 180°

∴ ∠ A= ∠ CDA

∵AB=DC

∴ ∠ C + ∠CDA=180°

证明二 : 过点 A. D 分别作 AE⊥BC, DF⊥ BC, 垂足分别为 E .F

已知 : 如图 , 在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,AB=DC.求证 :∠B=∠C,∠A=∠D.

A

B

D

CE F

∵AD ∥BC, AE ⊥ BC,DF ⊥ BC

∴AE=DF ( 为什么？ )

∵AB=CD .

∴△ABE≌△DCF(HL)∴ ∠ B= ∠ C

∵AD ∥BC,

∴ ∠ B + ∠BAD =180°

∴ ∠ BAD= ∠ CDA

∠AEB= ∠DFC=Rt ∠∠ C + ∠CDA=180°

性质 1：等腰梯形同一底上的两个底角相等 .

等腰梯形两条对角线相等 .

A

BC

D

E

已知：等腰梯形 ABCD ， AD∥BC ， AB=DC.

求证： AC=BD

性质 2 ：等腰梯形对角线相等已知 : 如图 , 在梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,AB=DC.

求证 :AC=BD

A

B

D

C∠ABC=∠ ＤＣＢ

BC=CB

∴ AC=BD

证明 : ∵ AB=CD

∴△ABC≌△DCB(SAS)

( 等腰梯形同一底上的两个底角相等 )

想一想

1 、等腰梯形是轴对称图形吗 ? 你是怎么判别的 ? 如果是 , 它的对称轴是什么 ? 请画出示意图加以说明 .

2 、一般梯形是轴对称图形吗 ? 为什么 ?

2 、等腰梯形的性质定理：　　等腰梯形同一底上的两个底角相等，两条对角线相等3 、等腰梯形的轴对称性： 　　等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底边中点所在的直线

A

BC

D

B C

DA

1 、等腰梯形的两腰相等

辨一辨 :判断下列说法是否正确 , 说明理由

(3) 梯形是特殊的平行四边形 ( 　　　 )

(2) 平行四边形是特殊的梯形（　　　）

(1) 等腰梯形是特殊的梯形 ( 　　　 )

例 1. 如图，四边形 ABCD 是等腰梯形， AD∥BC ， 已知∠ B=60°AD=5 ， AB=14 ，求 BC 的长。

A

BC

D

⌒

分析 :(1) 对于梯形的问题，将它转化成什么图形的问题 ?

(2) 刚才我们已介绍了梯形两种辅助线的添法 , 分别用这两种辅助线的方法可以求出 BC 的长吗 ?

(3) 你是否还有与这两种辅助线的添法不一样的方法 ?

例 1 、如图 : 在等腰梯形 ABCD 中 ,AD∥BC, 已知∠B=60°, AD=15, AB=45,

求 BC 的长

A

B

D

C

解 : 延长 BA ， CD 交于点 E 。

∵AD ∥BC

∴ △EBC 和△ EAD 是等边三角形

∴ ∠EAD= ∠B , ∠EDA= ∠CE

∵ ∠B= ∠C =60°

∴ ∠EAD=∠EDA=60°

∴ EA=AD=15,

∴ BC=AE + AB=15+45=60

( 等腰梯形同一底上的两个底角相等 )

还有其他解法吗？

② 作高线① 平移腰

A

B C

D

E

A

B C

D

E

A

B C

D

E F

A

B C

D

④ 平移对角线③ 延长两腰

平移腰、作高线两腰延长交一点也可平移对角线E

辅助线添法口诀 :

2. 已知等腰梯形 ABCD ，以下结论中不一定成立的是（ ）

A. 两对角线相等 B. 上下底的中点连线垂直于两底

C. 对角互补 D. 邻角互补

1. 已知等腰梯形的上、下底边长分别是2cm ， 8cm ，腰长是 5cm ，则这个梯形的高为 ，面积为 . A B

CD

E4cm 20cm2

D

3. 如图， E 、 F 、 G 、 H 是等腰梯形 ABCD 四条边的中点，则　四边形 EFGH 是（ ）

A. 矩形 B. 菱形

C. 正方形 D. 等腰梯形

B A

B C

D

E

F

G

H

练一练

4. 如图 1. 在等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC ， 若∠ B=70°, 则∠ C=_____.∠D=______

5. 如图 2. 在等腰梯形 ABCD 中 , AD∥BC,若∠ B=60°, BA⊥AC, 则∠ D ＝ ____, ∠CAD ＝ ______

B

DA

C如图 2

6. 如图 2. 梯形 ABCD 中 , DC∥AB, 若 AD=AB=DC. BA⊥AC, 则 :(1) ∠B=______.(2) 若梯形 ABCD 的周长为 25, 则梯形 ABCD 的面积 =______.

A

B C

D

如图 170° 110°

120°30°

60°3

4

75

练一练

7 、如图 3. 等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC, AB=CD, 延长 BC 使 CE=AD,

B C

DA

E图 3

(1) 请判断△ BDE 的形状，并说明你的理由。(2) 若 AC⊥BD, 请判断△ BDE 的形状，并说明你的理由。

证明 :(1) 连结 BD.∵AD ∥CE, AD=CE

∴四边形 ACED 是平行四边形

∵AC=BD∴AC=DE

∴BD=DE∴ △BDE 是等腰三角形

(2) 由 (1)可知: AC∥DE

∵ BD ⊥ AC

∴ BD ⊥ DE

∴ △BDE是等腰直角三角形( 等腰梯形的对角线相等 )

本节课里，你学到了什么？1. 知识点 :

2. 数学思想方法 : 梯形 平行四边形和三角形转化

3. 常用辅助线添法 :

延长两腰平移一腰 作两高

(1) 等腰梯形的定义

(2) 等腰梯形的性质定理

先任意画一个梯形 ABCD, 连结两腰的中点 E,F, 线段 EF 叫做梯形的中位线 .

测量中位线 EF 和梯形的两底 AB,CD 的长度 ,看一看他们有什么关系 .再画几个梯形试一试 , 说出你的猜想 , 并给予证明 . 用你的猜想能简化梯形的面积公式吗 ?

A B

CD

E F

合作探究：

EF= （ AB+CD ）2

1

S= 中位线×高

1 、如图，在梯形 ABCD 中 , AB∥DC ， E, F分别是对角线 AC, BD 的中点，已知 : AB=10,CD=4, 求 EF 的长。

课外拓展

A

B

D

C

P Q

E

思想方法 : 构造以 PQ为中位线的三角形

112 6

3

16 2 3

2

0

1

2