FASE 1. 1. Hallar los 6 primeros términos de la siguiente sucesión:

a. ( ) 2;1 1 ≥−= − nnU nn

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 46656617;3125516;256415

27314;4213;1112617

7516

6415

5

3144

2133

1122

==−===−===−=

==−===−===−=−−−

−−−

UUU

UUU

b. 1;1

3≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= nnnVn

718

1663;

615

1553;

512

1443

49

1333;2

36

1223;

23

1113

654

321

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

=

VVV

VVV

2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.

c. 3;1 10 −=−= −nn UUU

( )( )( )( )

( )13

14331033133373312334331133133

1

3144

2133

1122

0111

0

+−=

+⋅−=−−=−=−=+⋅−=−−=−=−=+⋅−=−−=−=−=+⋅−=−−=−=−=

−=

−

−

−

−

nU

UUUUUUUUUUUU

U

n

M

d. 3

;1 10

−=−= nnUUU

nnU

UUU

UUU

UUU

U

31

31

33

31

33

31

33

1

3213

3

2112

2

0111

0

−=

−===

−===

−===

−=

−

−

−

M

3. Sucesiones monótonas. Demostrar que ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

12 nnW n es estrictamente

creciente.

( )( ) ( )

01013232

3213232121121)1(2

1

22

22

1

>>+−−+

+>++

+>++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+>⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+

>+

nnnnnnnn

nnnnnn

nn

WW nn

Se cumple la desigualdad

4. Demostrar que ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=n

X n1

es estrictamente decreciente.

101

1111

<+<

<+

<+

nnnn

XX nn

Se cumple la desigualdad 5. Sucesiones acotadas. Hallar la mínima cota superior de la sucesión:

1;12

≥⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+= n

nnVn

Desarrollando la sucesión nos damos cuenta que para valores grandes de n, esta se aproxima a 1/2

L,73,

52,

31

Por lo tanto la mínima cota superior es 21

FASE 2.

6. Determinar si es acotada y hallar la cota superior e inferior,: 1;12≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

= nnnVn

L,37,

25,

13

Al desarrollar la sucesión podemos observar en primer lugar que es decreciente por lo tanto la cota inferior corresponde al primer termino de la función que es igual a 3.Para valores grandes de n la sucesión converge a 2 . Por lo tanto: Cota inferior = 2 Cota superior = 3

7. Determinar las cotas superior e inferior de: 1;1 ≥⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= nn

Yn

L,41,

31,

21,

11

La sucesión es decreciente por lo tanto su mayor valor corresponde al primer termino igual a 1. Para valores grandes de n converge a cero. Cota inferior = 0 Cota superior = 1

8. Sucesiones Convergentes. Demostrar que la sucesión. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

=n

nVn 31 es convergente

31

301

31

31

lim

limlim

−=−

=−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

=

∞→

∞→∞→

nn

n

nn

nnV

n

nn

n

La sucesión es convergente ya que su limite es finito igual a 31

−

9. Demuestre que la sucesión [ ]nnnWn −−= 22es convergente y a qué converge

( )( )( )nnn

nnnnnnW

nnnW

nn

n

nn

n

+−

+−−−=

−−=

∞→∞→

∞→∞→

222

2

2

22

2

limlim

limlim

( )( )( )

22222

lim

limlim

limlim

2

2

22

−=+−

−=

+−

−−=

∞→

∞→∞→

∞→∞→

nn

nn

n

nn

n

Wnnn

nW

nnnnnnW

La sucesión es convergente y converge a -2

10. Límite de una sucesión. Mostrar que la sucesión 1;1483

≥⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

= nnnSn tiene como

límite ¾

43

14

83

14

83

1483

limlimlim

limlim

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=−

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=

∞→∞→∞→

∞→∞→

n

n

nnn

nnn

S

nnS

nnn

n

nn

n

FASE 3.

11. Sucesiones divergentes. Demostrar que la sucesión ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

412nWn no es

convergente, justifique. La sucesión es divergente ya que su límite es infinito

∞=+

=

∞

∞+

=

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

∞→

∞→∞→∞→

001

4

11

4

1

41

lim

limlimlim2

22

2

2

nn

nnn

n

W

n

nnn

nW

PROGRESIONES

12. En una progresión 3320 −=a , 2812 −=a hallar 1a y d

( )( )

daadaa

daadnaan

1919

1201

201

120

120

1

−=+=

−+=−+=

da 19331 −−= Ec. 1.

( )

daadaa

daa

1111

112

121

112

112

−=+=

−+=

da 11281 −−= Ec. 2. Igualando la ecuación 1 y 2 tenemos

8558

3328111911281933

−=

−=−=−−−=−−

d

ddd

dd

Reemplazamos este valor en la ecuación 2

8169-

851128

851128

1

1

1

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−=

a

a

a

13. Una progresión aritmética Vn tiene como primer término 1, el n-enésimo término es

15, la sumatoria de los n primeros términos es 200. Hallar el número de términos n incluidos en la suma y la diferencia común d.

11 =V ; 15=nV ; 200=nS . Entonces

2582008200

216200

2151200

21

=

=⇒=⇒=⇒+

=

+=

n

nnnn

nVVS nn

Calculamos d

127127

241424151)125(151)1(1

−=

=−=−⇒+=⇒−+=

−+=

d

dddd

dnVVn

14. Calcular la suma de: a. Halla la suma de los números pares: 2, 4, 6,…100.

224

=−=

dd

50

14912981

22100

1

)1(2

1

1

1

=

+=+=+−

=

+−

=

−+==

n

n

daan

dnaaa

n

n

La suma es

2550

50210022

1

=

+=

+=

n

n

nn

S

S

naa

S

b. Halla la suma de todos los números impares de 2 cifras.

21113

99,111

=−=

==

dd

aa n

45

14412881

21199

11

=

+=+=+−

=

+−

=

n

n

daa

n n

La suma es

2475

455545299112

1

=

×=+

=

+=

n

n

nn

S

S

naa

S

c. ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 es preciso tomar para que su suma sea igual a 1521?

1521=nS 11 =a

213 =−=d

1

1

2)1(

anS

a

dnaa

nn

n

−=

−+=

Igualamos ambas

391521

2223042

)1(22

)1(2

2

21

11

==

−+=

−+=

−+=−

nn

nnn

dnnanS

dnaanS

n

n

15. Hallar los seis primeros términos de la progresión geométrica dada por la sucesión n

nU ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=31

7291

31

2431

31

811

31

271

31

91

31;

31

31

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

U

U

U

U

UU

16. Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada 15 minutos (cuarto de

hora). Cuántas bacterias hallaremos luego de 6 horas

La función que describe este fenómeno es ttf 42)( =

Donde t es el tiempo en horas. Cuando han transcurrido 6 horas

16777216)6(2)6( 24

==

ff