DISEO DE VIGAS A FLEXION4.10 DISEO DE VIGAS A FLEXION CON ARMADURA DE COMPRESIONExisten dos razones fundamentales por las cuales, en una viga sometida a flexin se puede requerir un diseo que, a ms de la armadura de traccin tradicional, se utilice armadura sometida a compresin: Porque existe un limitante mximo de tipo arquitectnico, constructivo o funcional que impide que la viga aumente sus dimensiones. Porque, por aspectos constructivos o de diseo, ya existe armadura de compresin y se desea aprovechar su existencia obligatoria para disminuir el armado de traccin.Las especificaciones de los cdigos imponen criterios de diseo que permiten que, a pesar de incrementar el armado de las vigas, se mantengan los niveles de ductilidad que son exigidos para las vigas que solamente requieren armadura de traccin.Cuando la viga no resiste solicitaciones ssmicas, la cuanta de armado a traccin mxima admisible se define mediante la siguiente expresin:

Donde:r : cuanta de armado a traccinrb: cuanta balanceada a traccin cuando no existe armadura de compresinr : cuanta de armado a compresinCuando la viga resiste solicitaciones ssmicas, la cuanta de armado a traccin se define mediante la siguiente expresin:Para secciones rectangulares, las cuantas de armado anotadas anteriormente se calculan con las siguientes expresiones:

El criterio bsico detrs de las expresiones que definen la cuanta mxima es el de que la presencia de la armadura de compresin hace cambiar la magnitud de la cuanta balanceada, que puede ser calculada con la siguiente expresin:

La expresin anterior presupone que el momento en que el acero de traccin ha alcanzado la deformacin de fluencia (es= ey= Fy / Es) y el hormign ha alcanzado su mxima deformacin (ec= 0.003), el acero de compresin ha igualado o superado la deformacin de fluencia (es ey).Para el caso ms comn, de vigas rectangulares, el problema puede representarse esquemticamente de la siguiente manera:

En el grfico anterior, adems de la geometra bsica de la viga, constan el diagrama de deformaciones unitarias (e ) y el diagrama de fuerzas internas (P).a. DISEO DE VIGAS QUE NO PUEDEN INCREMENTAR SUS DIMENSIONES EXTERIORES:Con bastante frecuencia existen limitantes en cuanto a las dimensiones mximas que pueden tener las vigas y, en ocasiones, al intentar disear a flexin tales vigas, se encuentra que es necesario un armado de traccin que supera los porcentajes de la cuanta balanceada especificados por los cdigos (75% de la cuanta balanceada para elementos que no resisten sismos, y 50 % de la cuanta balanceada para elementos que resisten sismos), o sencillamente ya no existe armadura capaz de resistir el momento flector solicitante. En este caso se puede utilizar el siguiente procedimiento: Se calcula el momento flector que es capaz de resistir la seccin de hormign armado cuando utiliza la cuanta mxima permitida por los cdigos (75% o 50% de la cuanta balanceada, segn el caso). Se calcula la parte de momento flector solicitante que no alcanza a ser resistida por la cuanta de armado definida anteriormente, y que debe ser resistida con armadura de traccin adicional y con armadura de compresin. Se calcula una primera aproximacin del acero adicional de traccin y el acero de compresin requeridos para resistir la parte del momento flector solicitante que no puede ser resistida por la cuanta de armado mxima definida por los cdigos. Se calcula el momento flector real que resiste el armado propuesto. Iterativamente se corrige el armado de traccin y compresin hasta obtener el diseo ms econmico.EJEMPLO 4.1:Disear la viga rectangular de la figura que est sometida a un momento flector ltimo Mu = 27 T-m, si el hormign tiene una resistencia a la rotura fc = 210 Kg/cm2y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2. La viga debe ser diseada para una zona ssmica.

Verificacin de la Necesidad de Armadura de Compresin:Si se supone que el acero de traccin se encuentra en fluencia, se puede utilizar la siguiente expresin para calcular la armadura requerida para resistir el momento flector solicitante:

Los datos son:fc = 210 Kg/cm2Fy = 4200 Kg/cm2b = 30 cmd = 44 cmf = 0.90Mu = 27 T-m = 2700000 Kg-cmEl acero de traccin requerido es:

As = 19.67 cm2La cuanta de armado es:

La cuanta balanceada de la seccin es:

La cuanta mxima permisible para zonas ssmicas es:rmx= 0.50 rb= 0.01084Dado que la cuanta de armado calculada (0.01490) supera a la cuanta mxima permisible (0.01084), se requiere de acero de compresin para poder resistir los momentos flectores solicitantes.

Clculo del Momento Flector Mximo que puede Resistirse Unicamente con Armadura de Traccin:La cuanta mxima de armado sin armadura de compresin es:rmx= 0.01084La cantidad de acero mxima permisible para la seccin, sin armadura de compresin, es:As1= rmx. b . d = (0.01084) (30 cm) (44 cm)As1= 14.31 cm2

La alturaadel bloque de compresin es:

El momento flector ltimo resistenteMu1es:

Mu1= 20.77 T-mClculo del Momento Flector que debe ser Resistido con la Armadura de Traccin Adicional y con la Armadura de Compresin:El momento flector que falta por ser resistido es:Mu2= Mu - Mu1= 27.00 T-m - 20.77 T-mMu2= 6.23 T-mSe requerir de ms acero de traccin (As2) aadido al ya calculado, y de acero de compresin (As) para resistir el momento flector faltante.Clculo de la Seccin de Acero de Traccin Adicional, del Acero Total de Traccin y del Acero de Compresin:Se va a suponer tentativamente que la posicin del eje neutro calculada para la cuanta de armado mxima nicamente con acero de traccin se mantiene luego de aadir el acero faltante de traccin y el acero de compresin (esta hiptesis es una aproximacin pues, por los condicionamientos de los cdigos de diseo, el eje neutro ascender ligeramente y el bloque de compresin del hormign se reducir, sin embargo se demostrar con este ejemplo que la variacin de la posicin del eje neutro tiene un efecto muy pequeo sobre el diseo).Bajo esta hiptesis el momento flector faltante deber ser resistido nicamente por el acero de traccin adicional y el acero de compresin.Dado que el acero de traccin est en fluencia, la seccin adicional aproximada de acero es:

Donde:Mu2= 6.23 T-m = 623000 Kg-cmf = 0.90Fy = 4200 Kg/cm2d = 44 cmr = 6 cmDe donde:

As2= 4.34 cm2Por condiciones de ductilidad, el armado complementario de traccin que se acaba de calcular debe ser mximo el 50% del armado de compresin (en zonas no ssmicas sera el 75% del armado de compresin), por lo que:As2 0.50 AsLa condicin ms econmica se produce con la igualdad:As2= 0.50 AsDe donde:

As = 8.68 cm2El acero de compresin total es:As = As1+ As2= 14.31 cm2+ 4.34 cm2As = 18.65 cm2Clculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto:

As = 18.65 cm2As = 8.68 cm2La fuerza de traccin del acero, que se encuentra en fluencia, es:T = As . Fy = (18.65 cm2) (4200 Kg/cm2)T = 78330 KgTentativamente se puede suponer que el acero de compresin tambin ha entrado en fluencia (es ey), lo que posteriormente deber ser verificado, y corregido en caso de ser necesario. En este caso el esfuerzo en el acero de compresin es el esfuerzo de fluencia.fs = Fyfs = 4200 Kg/cm2La fuerza de compresinCsdel acero es:Cs = As . fs = (8.68 cm2) (4200 Kg/cm2)Cs = 36456 KgPor equilibrio de fuerzas horizontales, la fuerza de compresin en el hormign es:Cc = T - Cs = 78330 Kg - 36456 KgCc = 41874 KgLa alturaadel bloque de compresin es:

a = 7.82 cmLa posicin del eje neutro queda definida como:

c = 9.20 cmLa deformacin unitaria en el acero de compresin espuede obtenerse por semejanza de tringulos, de donde:

es= 0.001043En vista de que la deformacin unitaria en el acero de compresin (0.001043) es inferior a la deformacin unitaria de fluencia (0.002), la capa de compresin no ha entrado en fluencia y su esfuerzo debe ser corregido mediante la siguiente expresin:fs = Es . esLa primera correccin sera:fs = (2100000 Kg/cm2) (0.001043) =2190 Kg/cm2Cs = As . fs = (8.68 cm2) (2190 Kg/cm2) =19009 KgCc = T - Cs = 78330 Kg - 19009 Kg =59321 Kg

La segunda correccin sera:fs = Es . es= (2100000 Kg/cm2) (0.001619) =3400 Kg/cm2Cs = As . fs = (8.68 cm2) (3400 Kg/cm2) =29508 KgCc = T - Cs = 78330 Kg - 29508 Kg =48822 Kg

En vista de que la convergencia es lenta, conviene utilizar una hoja electrnica para realizar los clculos.Iteracinfs'CsCcaces'

(Kg/cm2)(Kg)(Kg)(cm)(cm)

12190190095932111,0813,030,001619

2340029508488229,1210,730,001322

32776240945423610,1311,920,001489

4312827148511829,5611,240,001399

5293825505528259,8611,610,001449

6304326412519189,7011,410,001422

7298625918524129,7911,510,001437

8301726189521419,7411,460,001429

9300026041522899,7611,490,001433

10300926122522089,7511,470,001431

11300426078522529,7611,480,001432

12300726102522289,7511,470,001431

13300626089522419,7611,480,001432

14300626096522349,7511,480,001431

15300626092522389,7511,480,001432

16300626095522359,7511,480,001431

17300626093522379,7511,480,001432

18300626094522369,7511,480,001432

19300626094522369,7511,480,001432

Los valores de convergencia son:fs = 3006 Kg/cm2Cs = 26092 KgCc = 52238 Kga = 9.75 cmc = 11.48 cmes = 0.001432El momento ltimo resistente de la seccin se puede calcular con la siguiente expresin:

Mu = 2731777 Kg-cm = 27.3 T-mEn vista de que el momento flector resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante (hay un exceso de 0.31777 T-m), se puede efectuar un pequeo ajuste de disminucin de acero de traccin y acero de compresin:D Mu = 31777 Kg-cm

D As = 0.22 cm2

D As = 0.44 cm2Las secciones de acero de traccin y compresin corregidas son:As = 18.65 cm2- 0.22 cm2As = 18.43 cm2As = 8.68 cm2- 0.44 cm2As = 8.24 cm2Por la rapidez de la convergencia de este proceso (en la primera correccin de armadura se aadieron 4.34 cm2al acero de traccin y 8.68 cm2al acero de compresin; en esta segunda correccin se quitaron solamente 0.22 cm2del acero de traccin y 0.44 cm2del acero de compresin, lo que representa aproximadamente la veinteva parte de la primera correccin de la armadura de traccin), no es necesario repetir el clculo detallado.Se escogen 5 varillas de 22 mm a traccin (19.00 cm2), y 2 varillas de 20 mm + 1 varilla de 16 mm a compresin (8.29 cm2).

Si se est realizando un procesamiento manual de la informacin, el diseo puede suspenderse tan pronto se realiza el clculo del acero adicional de traccin y el acero de compresin, evitndose todo el proceso deClculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto, sin cometerse errores de trascendencia.Si el diseo se est realizando con computadora, conviene refinar la determinacin del armado con un proceso similar al propuesto en el problema anterior.b. DISEO DE VIGAS QUE YA DISPONEN DE ARMADURA DE COMPRESIN:Se puede utilizar el siguiente procedimiento: Se calcula la armadura de traccin necesaria si nicamente existiera acero de traccin. Se calcula el momento flector real que resiste el armado propuesto. Iterativamente se corrige el armado de traccin hasta obtener el diseo ms econmico.EJEMPLO 4.2:Disear la viga rectangular de la figura que est sometida a un momento flector ltimo Mu = 46 T-m, si el hormign tiene una resistencia a la rotura fc = 210 Kg/cm2y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2. Por armado de estribos la viga dispone de 3 varillas de 18 mm en la zona de compresin. La viga debe ser diseada para una zona ssmica.

Clculo de la Armadura Requerida sin Incluir el Efecto de la Armadura de Compresin:Si se supone que el acero de traccin se encuentra en fluencia, y que no existe armadura de compresin, la seccin transversal de la armadura de traccin se puede calcular con la siguiente expresin:

Los datos son:fc = 210 Kg/cm2Fy = 4200 Kg/cm2b = 35 cmd = 64 cmf = 0.90Mu = 46 T-m = 4600000 Kg-cmEl acero de traccin requerido es:

As = 21.43 cm2La armadura de compresin es:As = 3 (2.54 cm2) = 7.62 cm2Clculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto:

As = 21.43 cm2As = 7.62 cm2La fuerza de traccin del acero, que se encuentra en fluencia, es:T = As . Fy = (21.43 cm2) (4200 Kg/cm2)T = 90006 KgSe puede suponer que el acero de compresin tambin ha entrado en fluencia (es ey). En este caso el esfuerzo en el acero de compresin es el esfuerzo de fluencia.fs = Fyfs = 4200 Kg/cm2La fuerza de compresinCsdel acero es:Cs = As . fs = (7.62 cm2) (4200 Kg/cm2)Cs = 32004 KgLa fuerza de compresin en el hormign es:Cc = T - Cs = 90006 Kg - 32004 KgCc = 58002 KgLa alturaadel bloque de compresin es:

a = 9.28 cmLa posicin del eje neutro queda definida como:

c = 10.92 cmLa deformacin unitaria en el acero de compresin eses:

es= 0.001352En vista de que la deformacin unitaria en el acero de compresin (0.001352) es inferior a la deformacin unitaria de fluencia (0.002), el esfuerzo del acero de compresin se corrige con la siguiente expresin:fs = Es . esLa primera correccin sera:fs = (2100000 Kg/cm2) (0.001352) =2839 Kg/cm2Cs = As . fs = (7.62 cm2) (2839 Kg/cm2) =21633 KgCc = T - Cs = 90006 Kg - 21633 Kg =68373 Kg

La segunda correccin sera:fs = Es . es= (2100000 Kg/cm2) (0.001602) =3364 Kg/cm2Cs = As . fs = (7.62 cm2) (3364 Kg/cm2) =25635 KgCc = T - Cs = 90006 Kg - 25635 Kg =64371 Kg

Se puede utilizar una hoja electrnica para preparar una tabla de clculo de convergencia:Iteracinfs'CsCcaces'

(Kg/cm2)(Kg)(Kg)(cm)(cm)

12839216336837310,9412,880,001602

23364256356437110,3012,120,001515

33182242446576210,5312,380,001546

43248247476525910,4512,290,001535

53224245686543810,4712,320,001539

63233246326537410,4612,310,001538

73229246096539710,4712,310,001538

83231246176538910,4712,310,001538

93230246146539210,4712,310,001538

103230246156539110,4712,310,001538

Los valores de convergencia son:fs = 3230 Kg/cm2Cs = 24615 KgCc = 65391 Kga = 10.47 cmc = 12.31 cmes = 0.001538El momento ltimo resistente de la seccin se puede calcular con la siguiente expresin:

Mu = 4743334 Kg-cm = 47.4 T-mEn vista de que el momento flector resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante (hay un exceso de 1.43334 T-m), se puede efectuar un pequeo ajuste de disminucin de acero de traccin:D Mu = 143334 Kg-cm

D As = 0.65 cm2Se corrige la seccin de acero de traccin:As = 21.43 cm2- 0.65 cm2As = 20.78 cm2As = 7.62 cm2Al igual que en el ejemplo anterior, no es necesario repetir el clculo detallado.Se escogen 2 varillas de 25 mm + 3 varillas de 22 mm a traccin (21.22 cm2), y 3 varillas de 28 mm a compresin (7.62 cm2) que ya existan previamente.