Universidad Técnica Federico Santa María Fundamentos de Informática IDepartamento de Informática Primer semestre de 2009

Ejercicios resueltos de temas del Certamen no 1

1. Construya la tabla de verdad para la expresión, considerando que p, q y r son proposi-ciones atómicas.

(a) (p → (¬q ∧ r))Solución:

p q r ¬q ¬q ∧ r (p → (¬q ∧ r))V V V F F FV V F F F FV F V V V VV F F V F FF V V F F VF V F F F VF F V V V VF F F V F V

(b) q ∧ (¬r → p)Solución:

p q r ¬p ¬p → r q ∧ (¬p → r)V V V F V VV V F V V VV F V F V FV F F V V FF V V F V VF V F V F FF F V F V FF F F V F F

2. Simpli�que la expresión denotando en cado paso la ley empleada.(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ ¬(¬(p ∨ ¬r) ∧ q)

Solución:(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ ¬(¬(p ∨ ¬r) ∧ q) ≡(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ ((p ∨ ¬r) ∨ ¬q) ≡ De Morgan, Doble negación(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ ((p ∨ ¬q) ∨ ¬r) ≡ Conmutativa, Asociativa(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) Absorción

3. Utilizando las ecuaciones p → q ≡ ¬p ∨ q y p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q), elimine laequivalencia y la condicional y simpli�que la expresión (p → q) ↔ (p ∨ q).Solución:(p → q) ↔ (p ∨ q) ≡ (¬(¬p ∨ q) ∨ (p ∨ q)) ∧ ((¬p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ q)) ≡((p ∧ ¬q) ∨ p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q)) ≡(((p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q) ∧ (¬p ∨ ((q ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)) ≡(p ∨ q ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ≡ (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q) ≡ (p ∧ ¬p) ∨ q ≡ q

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4. Mientras demuestra la siguiente equivalencia lógica, denote los pasos y los razones paraestablecerlos:

(a) p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ↔ p ∨ q ∨ r

Solución:p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ≡(p ∨ q) ∨ (¬(p ∨ q) ∧ r) ≡ Ley asociativa y de Morgans ∨ (¬s ∧ r) ≡ Sustitución s = p ∨ q(s ∨ ¬s) ∧ (s ∨ r) ≡ Ley distributiva(s ∨ r) ≡ Ley de medio excluido y de identidadp ∨ q ∨ r Sustitución s = p ∨ q

(b) ((¬p ∨ ¬q) → (p ∧ q ∧ r)) ↔ p ∧ q

Solución:(¬p ∨ ¬q) → (p ∧ q ∧ r) ≡(¬(p ∧ q) → ((p ∧ q) ∧ r) ≡ Ley asociativa y de Morgan(¬s → (s ∧ r) ≡ Sustitución s = p ∧ q(¬¬s ∨ (s ∧ r) ≡ Reemplazo de implicancias ∨ (s ∧ r) ≡ Ley de doble negacións ≡ p ∧ q Ley de absorción

(c) ¬(p ∨ q) ∨ ((¬p ∧ q) ∨ ¬q) ↔ ¬(q ∧ p)Solución:¬(p ∨ q) ∨ ((¬p ∧ q) ∨ ¬q) ≡¬(p ∨ q) ∨ ((¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ ¬q)) ≡ Ley ditributiva¬(p ∨ q) ∨ ((¬p ∨ ¬q) ∧ V ) ≡ Ley de medio excluído¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∨ ¬q) ≡ Ley de dominación(¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ ¬q ≡ Ley de Morgan((¬p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p)) ∨ ¬q ≡ Ley distributiva¬q ∨ ¬p ∨ ¬q ≡ Ley de medio excluído y de dominación¬p ∨ ¬q Ley de idempotencia

5. Simpli�que las siguientes expresiones:

(a) (p → (q ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∧ q)Solución:(p → (q ∨ ¬r)) ∨ (¬p ∧ q) ≡ (¬p ∨ q ∨ ¬r) ∨ (¬p ∧ q) ≡(¬p ∨ q) ∨ ¬r ∨ (¬p ∧ q) ≡ ¬p ∨ q ∨ ¬r

(b) ¬(∀x∃y((p(x, y) ∧ q(x, y)) → r(x, y)))Solución:¬(∀x∃y((p(x, y) ∧ q(x, y)) → r(x, y))) ≡ ∃x∀y¬((p(x, y) ∧ q(x, y)) → r(x, y)) ≡∃x∀y¬(¬(p(x, y) ∧ q(x, y)) ∨ r(x, y)) ≡ ∃x∀y((p(x, y) ∧ q(x, y) ∧ ¬r(x, y))

6. Sea p (x, y) la proposición abierta "x divide a y", y el universo de ambas variableses el conjunto de números enteros. Determine el valor de verdad de las siguientesproposiciones; justi�que su decisión.

(a) p (27, 3)Es falsa. El resto de la división es 27, por tanto 27 no divide (exactamente) a 3.

(b) ∀y p (1, y)Es verdadera. 1 divide a cualquier otro número entero.

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(c) ∀x p (x, x)Es falsa. Aunque cualquier número entero es divisible por sí mismo, el 0 no lo es.

(d) ∃y∀x p (x, y)Es falsa. Aunque el número entero 0 se puede dividir por cualquier otro número,no se puede dividir por sí mismo.

(e) ∀x∀y ((p (x, y) ∧ p (y, x)) → (x = y))Es falsa, ya que si x = 2 e y = −2, x e y se dividen mutuamente, pero no soniguales.

7. Refute y exprese cada una de las siguientes proposiciones en español.(a) Karina tendrá una buena educación si pone sus estudios antes que su interés en

ser estrella de cine.p : Karina pone sus estudios antes de su interés en el cineq : Karina tiene una buena educaciónExpresión original: p → q ≡ ¬p ∨ qExpresión refutada: ¬(¬p ∨ q) ≡ p ∧ ¬qRespuesta: Karina no ha tenido una buena educación, aunque ha puesto susestudios antes que su interés en el cine.

(b) Si Homero aprueba su curso de programación y termina su proyecto de estructurade datos, podrá tomar el curso de lenguajes de programación el próximo semestre.p : Homero aprueba su curso de programacióne : Homero termina su proyecto de EDl : Homero toma el curso de lenguajes de programaciónExpresión original: (p ∧ e) → l ≡ ¬(p ∧ e) ∨ lExpresión refutada: ¬(¬(p ∧ e) ∨ l) ≡ p ∧ e ∧ ¬lRespuesta: Homero aprobó el curso de programación y teminó su proyecto de es-tructura de datos, pero no tomará lenguajes de programación el próximo semestre.

(c) Norma está haciendo su tarea de matemáticas y Claudia está practicando suslecciones de piano.m : Norma hace tarea de matemáticasp : Claudia practica pianoExpresión original: m ∧ pExpresión refutada: ¬(m ∧ p) ≡ ¬m ∨ ¬pRespuesta: Norma no está haciendo su tarea de matemáticas ó Claudia no prac-tica piano.

(d) Si Lorenzo se va de vacaciones, entonces el se divertirá si no le preocupa viajaren avión.l : Lorenzo se va de vacacionesa : no le preocupa volar en aviónd : Lorenzo se divierteExpresión original: l → (¬a → d) ≡ ¬l ∨ a ∨ dExpresión refutada: ¬(¬l ∨ a ∨ d) ≡ l ∧ a ∧ ¬dRespuesta: Lorenzo se fue de vacaciones y no le preocupa viajar en avión, perono se divierte.

8. Escriba las siguiente oraciones en forma simbólica. El universo del discurso es elconjunto de personajes de "Friends": Phoebe, Mónica, Rachel, Chandler y Joe.

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Se han de�nido los siguientes predicados:es(x, t) � x es t quiere(x, y) � x quiere a ymiente(x) � x miente regala(x, y) � x hace regalo a y

(a) Si Mónica ó Rachel dicen la verdad, entonces Mónica y Chandler se quieren.¬miente(m) ∨ ¬miente(r) → (quiere(m, c) ∧ quiere(c,m))

(b) Todos excepto Joe quieren a Phoebe, y nadie excepto Rachel quiere a Joe.∀x(¬es(x, j) ∧ quiere(x, p)) ∧ ∀x(¬es(x, r) ∧ quiere(x, j))

(c) Si Joe no miente, entonces Chandler hace regalos a Mónica, y Mónica hace regalosa alguien.(¬miente(j) → regala(c, m)) ∧ ∃x regala(m,x) ó¬miente(j) → (regala(c, m) ∧ ∃x regala(m,x))

(d) Todos quieren a alguien y no quieren a alguien más.∀x∃y∃z(quiere(x, y) ∧ ¬quiere(x, z) ∧ ¬es(x, z))

(e) Todos excepto Joe quieren a Phoebe. (No usar cuanti�cadores)quiere(p, p) ∧ quiere(m, p) ∧ quiere(r, p) ∧ quiere(c, p)

9. Demuestre la validez de la siguiente expresión:∀x(P (x) → R(x)) ∧ ∃x(P (x) ∧M(x)) → ∃x(R(x) → M(x))

Solución: Para que una implicancia no sea válida debe existir un modelo para el cualel antecedente sea verdadero y el consecuente falso al mismo tiempo.Para que ∀x(P (x) → R(x)) ∧ ∃x(P (x) ∧ M(x)) sea verdadero, ambas parte de laconjunción deben ser verdaderas: ∀x(P (x) → R(x)) y ∃x(P (x)∧M(x)). Llamemos ael x que hace cierta la segunda parte: P (a) ∧M(a), y para ese mismo término debeser cierto P (a) → R(a) . A su vez ambas partes de la conjunción P (a) ∧M(a) debenser ciertas: P (a) = V y M(a) = V . Ya que P (a) es cierto, del P (a) → R(a) se deduceque R(a) = V .Si ∃x(R(x) → M(x)) es falso, entonces ¬(∃x(R(x) → M(x))) debe ser verdadero.¬(∃x(R(x) → M(x))) ≡ ∀x(R(x) ∧ ¬M(x)). Ya que esto es cierto ∀x, debe ser ciertopara a: (R(a) ∧ ¬M(a)), o sea R(a) = V y M(a) = F .Llegamos a una contradicción, ya que M(a) es verdadero y falso a la vez, por tanto lasuposición de que la expresión es inválida no es cierta.

10. Escriba las siguiente oraciones en forma simbólica de�niendo las proposiciones atómi-cas. De�na el universo del discurso en caso de ser necesario.

(a) Si un triángulo tiene dos lados de igual longitud, entonces es un isóceles. Si untriángulo es isóceles, entonces tiene dos ángulos de igual medida. En un triánguloτ no hay dos ángulos de igual medida. Por lo tanto, el triángulo τ no tiene doslados de igual longitud.Solución:Universo del discurso: todos los triángulos en un planoL(x): triángulo x tiene 2 lados de igual longitudI(x): triángulo x es un isócelesA(x): triángulo x tiene 2 ángulos de igual medida

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Dos formas de respuesta:∀x(L(x) → I(x))∀x(I(x) → A(x))¬A(τ))¬L(τ))

o (∀x(L(x) → I(x)) ∧ ∀x(I(x) → A(x)) ∧ ¬A(τ)) → ¬L(τ)

(b) El sol brillante y la humedad baja son su�cientes para que juegue tenis despuésde terminar de hacer la tarea del curso de Estructura de Datos.Solución:S: sol brillante H: humedad bajaT : tarea de ED terminada J : jugar tenis

Dos formas de respuesta: (S ∧H) → (T → J) ó (S ∧H ∧ T ) → J).

11. ¾Es consistente la siguiente especi�cación del sistema? Justi�que su decisión.

(a) La red inalámbrica perderá su nivel de ancho de banda sólo si se ha instaladola nueva antena repetidora. Por otro lado, para que la red inalámbrica soportenuevos usuarios es necesario que se haya instalado la nueva antena repetidora. Lared inalámbrica perderá su nivel de ancho de banda solo si soporta a los nuevosusuarios. La red inalámbrica mantiene su ancho de banda.Solución:Las variables proposicionales se de�nen de la siguiente manera:

p: La red inalambrica perdera su ancho de banda.q: Se ha instalado la nueva antena repetidora.r: La red inalambrica soporta nuevos usuarios.

Las especi�caciones se pueden escribir como sigue: q → p, q → r, r → p, ¬p

Para que las especi�caciones sean consistentes, se debe encontrar una asignaciónde valores de verdad que haga todas las especi�caciones verdaderas al mismotiempo. Ya que ¬p debe ser verdadera, se deduce que p debe ser falsa. Como p esfalsa, las implicancias q → p, r → p indican que el único valor posible a tomar porlas variables q y r es falso. Teniendo que q y r son falsas, la última especi�caciónq → r es verdadera. Por lo que podemos concluir que las especi�caciones desistemas son consistentes.

(b) El sistema se encuentra en el modo multiusuario, si y sólo si está operando nor-malmente. Si el sistema opera normalmente, el kernel está funcionando. El kernelno está funcionando, ó el sistema está en un modo interrumpido. Si el sistema noestá en el modo multiusuario, entonces está en el modo interrumpido. El sistemano está en modo interrumpido.Solución:La especi�cación se formaliza de la siguiente manera:M ↔ O, O → K, ¬K ∨ I, ¬M → I, ¬I, dondeO: sistema opera normalmente M : sistema está en modo multiusuarioK: kernel funciona normalmente I: sistema está en modo interrumpido

Para que la especi�cación sea consistente, debe existir al menos una asignaciónde valores de verdad que haga todas las a�rmaciones verdaderas.Para que ¬I sea verdadera, debe ser I = F . Pot tanto, ¬K ∨ I verdadero implicaque ¬K = V , y consiguientemente K = F .

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Teniendo en cuenta los resultados anteriores, para que ¬M → I y O → K seanverdaderas, ¬M y O deben ser falsas, por tanto M = V y O = F .La primera a�rmación nos indica que M debe tener el mismo valor de verdad queO, por tanto M = F , lo cual contradice el resultado anterior.Ya que no puede existir ninguna asignación de valores de verdad a variablesproposicionales que satisfaga todas las a�rmaciones, la especi�cación no es con-sistente.

12. Dé una derivación para el siguiente argumento lógico. Las reglas de inferencia selimitan al modus ponens, modus tollens, y ley de combinación. Establezca qué leyesse utilizan en cada paso.

(a)

PP → (Q ∨R)(Q ∨R) → S

S

Solución:Paso Linea Razón1. P Premisa2. P → (Q ∨R) Premisa3. Q ∨R 1,2 Modus Ponens4. (Q ∨R) → S Premisa5. S 3,4 Modus Ponens

(b)

P → QQ → R¬R

¬P

Solución:Paso Linea Razón1. ¬R Premisa2. Q → R Premisa3. ¬Q 1, 2 Modus tollens4. P → Q Premisa5. ¬P 3, 4 Modus Tollens

13. Demuestre que el siguiente argumento no es válido.

(a)

P ↔ QQ → RR ∨ ¬S¬S → Q

S

Demostración:Para que el argumento no sea válido, debe existir una asignación de valores deverdad a las variables proposicionales en la cual las premisas sean verdaderas yla conclusión falsa.Para que la conclusión sea falsa, S debe ser falso. Entonces, S = F .

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Para que la premisa ¬S → Q sea verdadera, Q debe ser verdadero, o sea Q = V .Por la misma razón, R = V para lograr que Q → R sea verdad. Y �nalmente,P = V , ya que debe tener el mismo valor de verdad que Q por la premisa P ↔ Q.Así, la asignación de valores de verdad de las variables P = V , Q = V , R = V YS = F hace que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Por tanto, elargumento no es válido. /

(b)

PP → RP → (Q ∨ ¬R)¬Q ∨ ¬S

S

Demostración:Para que el argumento no sea válido, debe existir una asignación de valores deverdad a las variables proposicionales en la cual las premisas sean verdaderas yla conclusión falsa.Para que la conclusión sea falsa, S debe ser falso. Entonces, S = F .Para que la premisa P sea verdadera, P debe ser verdadero, P = V , y a su vezR = V para lograr que P → R sea verdad. Tomando en cuenta que P = V ,R = V y la premisa P → (Q ∨ ¬R) debe ser verdadera, Q debe ser verdaderoQ = V .Así, la asignación de valores de verdad de las variables P = V , Q = V , R = V yS = F hace que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Por tanto, elargumento no es válido. /

14. Formule el siguiente argumento en lógica de predicados y derive formalmente laconclusión. El universo del discurso es el conjunto de personas.

(a) Si la banda no pudiera tocar rock o las bebidas no llegasen a tiempo, la �esta deAño Nuevo tendría que cancelarse y Alicia se enojaría. Si la �esta se cancelara,habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, la bandapudo tocar rock.Solución: Se utilizaran las siguientes proposiciones:P : la banda pudo tocar rockQ: las bebidas llegaron a tiempoR: la �esta de Año Nuevo se cancelóS: Alicia estaba enojadaT : Hubo que devolver el dineroEl argumento queda formalmente de la siguiente manera:

(¬P ∨ ¬Q) → (R ∧ S)R → T¬T

P

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Paso Línea(s) Razón1 R → T Premisa2 ¬T Premisa3 ¬R 1, 2 Modus Tollens4 (¬P ∨ ¬Q) → (R ∧ S) Premisa5 ¬R ∨ ¬S 3 Adición6 ¬(R ∧ S) 5 de Morgan7 ¬(¬P ∨ ¬Q) 4, 6 Modus Tollens8 P ∧Q 7 De Morgan y Doble Negación9 P 8 Simpli�cación

(b) A alguien de este curso le gusta observar ballenas. Todas las personas a las que legusta observar ballenas se preocupan por la contaminación del océano. Por tanto,hay alguien en este curso que se preocupa por la contaminación del océano.Solución: De�niremos los siguientes predicados:c(x): x es alumno del cursob(x): a x le gusta observar ballenaso(x): x se preocupa por la contaminación del océanoEl argumento queda formalmente de la siguiente manera:

∃x (c(x) ∧ b(x))∀x (b(x) → o(x))∃x (c(x) ∧ o(x))

Paso Línea Razón1. ∃x (c(x) ∧ b(x)) Premisa2. ∀x (b(x) → o(x)) Premisa3. c(a) ∧ b(a) 1 Particularización existencial4. b(a) → o(a) 2 Particularización universal5. c(a) 3 Simpli�cación6. b(a) 3 Simpli�cación7. o(a) 4, 6 Modus Ponens8. c(a) ∧ o(a) 5, 7 Combinación9. ∃x (c(x) ∧ o(x)) 8 Generalización Existencial

(c) Todas las personas de Santiago están a menos de 200 km del océano. Alguien deSantiago no ha visto nunca el océano. Entonces, alguien, quien está a menos de200 km del océano, nunca lo ha visto.Solución: De�neremos los siguientes predicados:stgo(x): x es de Santiagokm(x): x está a menos de 200 km del oceánooceano(x): x ha visto el oceáno

El argumento se de�ne formalmente de la siguiente manera:

∀x(stgo(x) → km(x))∃x(stgo(x) ∧ ¬oceano(x))∃x(km(x) ∧ ¬oceano(x))

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Paso Línea Razón1. ∃x(stgo(x) ∧ ¬oceano(x)) Premisa2. stgo(a) ∧ ¬oceano(a) 1 Particularización universal3. stgo(a) 2 Simpli�cación4. ¬oceano(a) 2 Simpli�cación5. ∀x(stgo(x) → km(x)) Premisa6. stgo(a) → km(a) 5 Particularización universal7. km(a) 3, 6 Modus Ponens8. km(a) ∧ ¬oceano(a) 4, 7 Combinación9. ∃x(km(x) ∧ ¬oceano(x)) 8 Generalización existencial

15. Demuestre formalmente el siguiente argumento:

(a)

∀x(P (x) ∨Q(x))∃x¬P (x)∀x(¬Q(x) ∨R(x))∀x(S(x) → ¬R(x))∃x¬S(x)

Solución:

Paso Línea Razón1. ∀x(P (x) ∨Q(x)) Premisa2. ∃x¬P (x) Premisa3. ¬P (a) 2 Particularización existencial4. P (a) ∨Q(a) 1 Particularización universal5. Q(a) 3, 4 SD6. ∀x(¬Q(x) ∨R(x)) Premisa7. ¬Q(a) ∨R(a) 6 Particularización universal8. R(a) 5, 7 SD9. ∀x(S(x) → ¬R(x)) Premisa10. S(a) → ¬R(a) 9 Particularización universal11. ¬S(a) 10 MT12. ∃x¬S(x) 11 Generalización existencial

(b)∀x (p(x) → (q(x) ∧ r(x)))∀x (p(x) ∧ s(x))∀x (r(x) ∧ s(x))

Solución:

Paso Línea Razón1. ∀x (p(x) → (q(x) ∧ r(x))) Premisa2. ∀x (p(x) ∧ s(x)) Premisa3. p(a) → (q(a) ∧ r(a)) 1 Particularización universal4. p(a) ∧ s(a) 2 Particularización universal5. p(a) 4 Ley de simpli�cación6. q(a) ∧ r(a) 3, 5 Modus Ponens7. r(a) 6 Ley de Simpli�cación8. s(a) 4 Ley de Simpli�cación9. r(a) ∧ s(a) 7, 8 Ley de Combinación10. ∀x (r(x) ∧ s(x)) 9 Generalización Universal

9

(c)

∀x(C(x) → L(x))∀y(C(y) ∨D(y))∃x¬L(x)∃xD(x)

Solución:

Paso Línea Razón1. ∃x¬L(x) Premisa2. ¬L(a) 1, Particularización existencial3. ∀x(C(x) → L(x)) Premisa4. C(a) → L(a) 3, Particularización Universal5. ∀y(C(y) ∨D(y)) Premisa6. C(a) ∨D(a) 5, Particularización Universal7. ¬C(a) 2, 4, MT8. D(a) 6,7, SD9. ∃xD(x) 8 GE

(d)∀x(J(x) ∨ S(x) → ¬P (x))P (m)¬S(m)

Solución:

1. ∀x((J(x) ∨ S(x)) → ¬P (x)) Premisa2. (J(m) ∨ S(m)) → ¬P (m) 1, Particularizacion con x := m3. P (m) Premisa4. ¬(J(m) ∨ S(m)) 2, 3, Modus Tollens5. ¬(J(m) ∧ ¬S(m)) 4, Ley de Morgan6. ¬S(m) 5, Ley de Simpli�cacion

16. Demuestre que si n es entero y n3 + 5 es impar, entonces n es par.

(a) por demostración indirectaDemostración: Supongamos que n es impar. Se debe demostrar que n3 +5 es par.Ya que n es impar, n = 2k + 1 para algún entero k. Entonces, n3 + 5 = (2k +1)3 + 5 = (8k3 + 12k2 + 6k + 1) + 5 = 2(4k3 + 6k2 + 3k + 3). Al denotar comol = (4k3 + 6k2 + 3k + 3), tenemos que n3 + 5 = 2 l donde l es entero. El hechoanterior signi�ca que n3 + 5 es par.Se demostró que si n es impar, entonces n3 + 5 es par. Por lo tanto, quedademostrado que si n3 + 5 es impar, n es par.

(b) por contradicción (reducción al absurdo)Demostración: Tenemos que n3 + 5 es impar. Supongamos que n es impar.Como n es impar, n = 2k + 1 para algún entero k. Entonces, n3 + 5 = (2k +1)3 + 5 = (8k3 + 12k2 + 6k + 1) + 5 = 2(4k3 + 6k2 + 3k + 3). Al denotar comol = (4k3 + 6k2 + 3k + 3), tenemos que n3 + 5 = 2 l donde l es entero. El hechoanterior signi�ca que n3 + 5 es par, que contradice que n3 + 5 es impar.Por tanto, la suposición de que n es impar es equivocada. Queda demostrado quesi n3 + 5 es impar, n es par.

17. Demuestre que si n es entero y 3n + 2 es par, entonces n es par.

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(a) por demostración indirectaDemostración: Supongamos que n es impar, entonces n = 2k + 1, k entero.3n + 2 = 6k + 5 = (6k + 4) + 1 = 2(3k + 2) + 1, lo cual signi�ca que 3n + 2 esimpar.Hemos demostrado que si n es impar, entonces 3n + 2 es impar. Por lo tanto, sin es entero y 3n + 2 es par, entonces n es par. /

(b) por contradicciónDemostración: Tenemos que 3n + 2 es par, y supongamos que n es impar. En-tonces, n = 2k+1, k entero. Sigue que 3n+2 = 6k+5 = (6k+4)+1 = 2(3k+2)+1,lo cual signi�ca que 3n + 2 es impar.Hemos llegado a una contradiccón con la premisa 3n+2 es par, por tanto nuestrasuposición no es válida. Por lo tanto, si n es entero y 3n + 2 es par, entonces nes par. /

18. Demuestre por contradicción que la expresión ∀x(P (x) ∧ Q(x)) → ∀xP (x) ∧ ∀xQ(x)es válida. No puede usar la equivalencia correspondiente para inferir la condicional.Demostración: Para que la expresión condicional no sea válida, el antecedente debeser verdadero y el consecuente falso al mismo tiempo. Por lo tanto, ∀x(P (x) ∧Q(x))y ¬(∀xP (x) ∧ ∀xQ(x)) deben ser verdaderos.El consecuente negado se reescribe de la siguiente forma: ∃x¬P (x) ∨ ∃x¬Q(x). Lla-maremos x1 aquel individuo x, para el cual ¬P (x1) = V , y x2 sería aquel que hace¬Q(x2) = V . Tenemos que P (x1) = F y Q(x2) = F .Por otro lado, ∀x(P (x) ∧ Q(x)) debe ser cierto tanto para x1, como para x2, o seaP (x1) ∧Q(x1) = V , lo cual implica que P (x1) = V y Q(x1) = V .Del consecuente, se obtuvo que P (x1) = F . Del antecedente, se obtuvo que P (x1) = V .Llegando a esta contradicción, se rechaza la hipótesis de que la expresión no es válida.

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