Nama: Riki DarmawanRizkita AnandaStefanni StellaSuci Nurahma

Kelas : X – AKUNTANSI

Hal : Eksponen dan Logaritma

BentukPangkat,Akar

,Eksponendan

Logaritma

BentukPangkat

BentukAkar

Eksponen

Logaritma

Bulat Positif

Nol danbulat negatif

Pangkat Pecahan

Bil.Rasional

Bil.Irrasional

Pengertian

Sifat-sifat

Persamaan

Pertidaksamaan

Sifat-sifat

Persamaan

Pertidaksamaan

Bentuk-bentuk bilangan berpangkatdapat kita bagi menjadi empatjenis, yaitu:

• Bilangan berpangkat positif, • Berpangkat nol, • Berpangkat negatif dan• Bilangan berpangkat pecahan.

Konsep pangkat bilangan berawal dariperkalian, yang bertujuan untuk meringkaspenulisan perkalian dari bilangan-bilangandengan faktor-faktor yang sama.

Sehingga :

2 × 2 × 2 = 23

3 × 3 × 3 × 3 = 34

Secara umum, bilangan berpangkat dapatditulis sebagai berikut:

an = a × a × a ×……..× a ( sebanyak n faktor)

ket : a disebut bilangan pokokn disebut pangkat.

Jika a dan b bilangan real,m dan n bilangan bulat positif maka berlaku:

Jika p dan q bilangan bulat positif, kita sudahmemiliki rumus ap: aq = ap-q. Jika p = q, maka ap = aq , maka ap: aq =1.Dari sisi lain, jika p = q maka p-q = 0, sehingga ap-q = a0

=1.Jika pq maka (p-q ) merupakan bilangan bulat

negatif. Hal ini berakibat ap:aq = ap-q merupakanbilangan berpangkat bulat negatif.

Pangkat PecahanUntuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahan

berpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jikaa, b∈ B, b ≠ 0, n adalah bilangan bulat positif maka:

BENTUK AKAR adalah akar bilanganrasional yang hasilnya merupakanbilangan irasional.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapatdinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti:5, 3 danseterusnya.

Sedangkan bilangan irrasional adalah bilanganriil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk, dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Bilangan-bilanganseperti termasuk bilangan irrasional, karena hasilakar dari bilangan tersebut bukan merupakanbilangan rasional.

Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentukakar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentukakar adalah akar-akar dari suatu bilangan reallpositif, yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

b. Perkalian Bentuk Akar

Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b

berlaku sifat perkalian berikut.

5

Eksponen adalah bentuk perkalian dengan bilangan yang sama yang di ulang-ulang atau singkatnya adalah perkalian yang diulang-ulang. Di tinjau dari bentuknya, bentuk an (baca : a pangkat n) dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat :

53 = 5 x 5 x 5 = 125

Sifat Eksponen

am . an = am+n

Contoh: 23.24 = 23+4

am/an = am-n

Contoh: 36/ 32 = 36-2

(am)n = amn

Contoh: (22)2 = 22 x 2 = 24 = 16

(ab)n =anbn

Contoh: (2.3)2= 22.32 = 4.9 =36

(a/b)n = (an/bn)Contoh: (6/2)2 = 62/22 = 36/4 = 9

a1 = aContoh: 31 = 3

a0 = 1Contoh: 50 = 1

Sifat – sifat Eksponen : Jika a dan b bilangan real positif, serta x dan y bilanganreal, maka berlaku hubungan :

Persamaan EksponenPersamaan eksponen adalah sebuah persamaan

yang eksponennya mengandung peubah x dan tidakmenutup kemungkinan bilangan pokoknya jugamengandung peubah x.

2. Sifat Operasi Bilangan PangkatRasionalJika a,b,c є bilangan real danm,n,p,q є bilangan bulatpositif, maka :a. am/n . ap/q = am/n + p/q

b. (am/n)p/q = amp/nq

c. am/n : ap/q = am/n – p/q

d. (ab)m/n = am/n . bm/n

e. (a/b)m/n = am/n/bm/n

1. Sifat OperasiBilangan BerpangkatBulat :

am x an = am+n

(am)n = (a)mn

am/an = am-n

(a x b )n = an x bn

(a/b)n = an/bn

Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan

eksponen menggunakan sifat fungsi

monoton naik dan sifat fungsi monoton

turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1)

Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≥g(x)

Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≤g(x)

Sifat Fungsi Monoton Turun (a<1)

Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≤g(x)

Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≥g(x)

LogaritmaLogaritma adalah operasi matematika yang

merupakan kebalikan dari eksponen ataupemangkatan.

Rumus dasar logaritma:bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut

basis). Logaritma sering digunakan untukmemecahkan persamaan yang pangkatnya tidakdiketahui. Turunannya mudah dicari dan karenaitu logaritma sering digunakan sebagai solusi dariintegral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicaridengan pengakaran, n dengan logaritma, dan xdengan fungsi eksponensial.

Sifat-sifat Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaanyang numerusnya (bilangan yang di ambil logaritmanya)memuat variabel x atau persamaan yang bilanganpokok atau numerusnya memuat variabel x.

Adapun bentuk – bentuk dari persamaan logaritmayang kita pelajari, sebagai berikut.

a. alog f(x) = alog p

b. alog f(x) = alog g(x)

c. alog f(x) = blog f(x)

d. A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0

Adapun f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsialjabar dengan f(x),g(x) > 0; a, b, p bilangan real positif, x > 0, a ≠ 1, b ≠ 1; A, B, C bilangan real, A ≠ 0.

Persamaan Logaritma

a. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog p

Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog pdengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0. Himpunanpenyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukansebagai berikut.

Karena alog f(x) = alog p maka a a log p = f(x) atau f(x) = a a log p . Akibatnya f(x) = p.

Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = p.

b. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog g(x)

Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), g(x) > 0. Himpunanpenyelesaian persamaan tersebut dapatditentukan sebagai berikut.

Karena alog f(x) = alog g(x) maka a a log

g(x) = f(x) atau f(x) = a a log g(x) . Akibatnya f(x) = g(x).

Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alogg(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), f(x), g(x) > 0 adalahhimpunan yang anggotanya x sedemikian rupasehingga f(x) = g(x).

c. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = blog f(x)

Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaantersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Misalkan alog f(x) = r maka ar = f(x). Demikian juga, blog f(x) = r maka br = f(x). Berarti, ar = br . Namun, karena a ≠ 1, b ≠ 1 dana ≠ b maka r = 0. akibatnya, f(x) = 1.

Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = blog f(x) dengana,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = 1.

d. Persamaan logaritma berbentuk A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0

Pada persamaan logaritma A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0; dengan a, x > 0, a ≠ 1 dan A, B, C bilangan real, dan A ≠ 0 jikadimisalkan y = alog x maka persamaan tersebut dapat diubahmenjadi persamaan kuadrat dalam variabel y.

Pertidaksamaan Logaritma

Sifat – sifat yang digunakan dalam penyelesaianpertidaksamaan logaritma, antara lain.

√ Jika a > 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)√ Jika a > 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)√ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)√ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)

Kondisi di atas juga berlaku untuk tanda pertidaksamaan < atau >

√ Fungsi logaritma alog u(x) terdefinisi jika u(x) > 0.