eksponentiel vækst

Eksponentiel vækst

Hvad forstås ved begrebet vækst?Vækstformlen – hvordan, hvorfor, hvornår?

Hvordan regnes der med eksponentiel vækst?

Eksempler…

Ved vækst forstås, at noget vokser…

Priser på varerne i et supermarked, f.eks. havregrynen, vokser fra år til år.

Lønningerne vokser. Beløbet på bankkontoen vokser (hvis man ikke

hæver penge på kontoen) Antallet af biler i trafikken vokser. Antallet af mus i buret vokser (hvis de er sunde

og raske og har nok at spise). Antallet af bakterier i en bakterieprøve vokser. Antal indbyggere på jordkloden vokser. Verdens produktion af forskellige afgrøder og

forbrugsgoder vokser.

Hvad forstås ved vækst?


… eller at noget falder (negativ vækst).

De små danske øer mister indbyggere fra år til år på grund af fraflytning.

Den radioaktive stråling (fra f.eks. Uran) falder (bliver mindre) med tiden.

Legemstemperaturen i et lig falder med tiden. Jordens beholdning af fossile brændstoffer falder

over en årrække.… osv.

Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):


I absolutte tal Relativt/procentuelt

Prisen på havregryn stiger 1 kr. årligt

Prisen på havregryn stiger 2% årligt

Antal harer på Olsens mark stiger med 40 dyr årligt

Antal harer på Olsens mark stiger med 6,4% årligt

Indeståendet på min bankkonto stiger med 125 kr om året

Indeståendet på min bankkonto stiger med 2,65% om året

Trafikken mellem Køge og Borup stiger med 1500 biler månedligt

Trafikken mellem Køge og Borup stiger med 7,5% månedligt

Indbyggertallet på Tunø falder med 50 personer årligt

Indbyggertallet på Tunø falder med 6% årligt





Prisen på havregryn stiger 2 % årligt


Antal harer på Olsens mark stiger med 6,4% årligt













Antal harer på Olsens mark stiger med 6,4 % årligt















Indeståendet på min bankkonto stiger med 2,65 % om året















Trafikken mellem Køge og Borup stiger med 7,5 % månedligt













Trafikken mellem Køge og Borup stiger med 7,5 % månedligt


Indbyggertallet på Tunø falder med 6 % årligt

Skal man afbilde en vækst i absolutte tal grafisk i et koordinatsystem, bliver der tale om en ret linie(enheden på x-aksen er tid, f.eks. årstal)


Tid

Skal man afbilde en vækst i procenter grafisk i et koordinatsystem, bliver der derimod tale om en eksponentialfunktion (enheden på x-aksen er igen tid)


Tid

Kendetegnende ved vækst i absolutte værdier er, at tilvæksten er den samme for hver periode. Der lægges hele tiden det samme til!

Ved vækst i procenter bliver tilvæksten større og større, desto længere tid der går. Dette skyldes begrebet ”rentes rente” – der tages hele tiden procenten af et større tal.


Tid

Vækst i absolutte værdier(lineær vækst)

Vækst i procenter (eksponentiel vækst)

Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.:

Vækstformlen - hvordan?

Tid Gl. beløb Rente Nyt beløb

Indsat (0 år) 100,00 kr

Efter 1 år 100,00 kr 10,00 kr 110,00 kr

Efter 2 år 110,00 kr 11,00 kr 121,00 kr

Efter 3 år 121,00 kr 12,10 kr 133,10 kr

Efter 4 år 133,10 kr 13,31 kr 146,41 kr

Efter 5 år 146,41 kr 14,64 kr 161,05 kr

Efter 6 år 161,05 kr 16,11 kr 177,16 kr

Efter 7 år 177,16 kr 17,72 kr 194,88 kr





Efter 1 år 100,00 kr 10,00 kr 110,00 kr

Efter 2 år 110,00 kr 11,00 kr 121,00 kr

Efter 3 år 121,00 kr 12,10 kr 133,10 kr

Efter 4 år 133,10 kr 13,31 kr 146,41 kr

Efter 5 år 146,41 kr 14,64 kr 161,05 kr

Efter 6 år 161,05 kr 16,11 kr 177,16 kr

Efter 7 år 177,16 kr 17,72 kr 194,88 kr

Bemærk, at det beløb, man får tilskrevet i rente, vokser som årene går. Dette skyldes, at renten tages at et stadigt større beløb!





Efter 1 år 100,00 kr 10,00 kr 110,00 kr

Efter 2 år 110,00 kr 11,00 kr 121,00 kr

Efter 3 år 121,00 kr 12,10 kr 133,10 kr

Efter 4 år 133,10 kr 13,31 kr 146,41 kr

Efter 5 år 146,41 kr 14,64 kr 161,05 kr

Efter 6 år 161,05 kr 16,11 kr 177,16 kr

Efter 7 år 177,16 kr 17,72 kr 194,88 kr



Når vi afbilder indeståendet på vores bankkonto år for år, får vi en let stigende ”linie”

Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.:




Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr

Bemærk igen, at beløbet, man får tilskrevet i rente, vokser som årene går. Her er det bare mere markant, da procentsatsen er større!





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr



Her ser vi, at ”liniens” stigning bliver kraftigere end før – svarende til at vi før en større procentvis tilskrivning!

Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi samlet på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 %, hhv. 20 % i rente pr. år.:


Jo større procentvis tilskrivning – desto stejlere ”linie”!

Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema:




Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr

For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen:





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr

For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen:K0 = det beløb, vi sætter i banken



Tid Gl. beløb Rente: Nyt beløb


Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr


K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr



Kn = det beløb, der står på kontoen efter n år





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr



Kn = det beløb, der står på kontoen efter n årr = procentsatsen, der tilskrives i rente





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr



Kn = det beløb, der står på kontoen efter n årr = procentsatsen, der tilskrives i renten = antallet af år, der går





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 krUdregningen vil se således ud for 1. år:





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr


K1 = K0 + K0·r/100





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr


K1 = K0 + K0·r/100 = K0·(1+r/100)





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr


K1 = K0 + K0·r/100 = K0·(1+r/100)

(K1 = 100·(1+20/100) = 100·(1+0,20) = 100·1,20 = 120)





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr


K1 = K0 + K0·r/100 = K0·(1+r/100)

(K1 = 100·(1+20/100) = 100·(1+0,20) = 100·1,20 = 120)

… at lægge 20 % til = at gange med 1,20)





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr- og se således ud for 2. år:

K2 = K0·(1+r/100)2

(K2 = 100·(1+20/100)2 = 100·(1+0,20)2 = 100·1,202 = 144)





Efter 1 år 100,00 kr 20,00 kr 120,00 kr

Efter 2 år 120,00 kr 24,00 kr 144,00 kr

Efter 3 år 144,00 kr 28,80 kr 172,80 kr

Efter 4 år 172,80 kr 34,56 kr 207,36 kr

Efter 5 år 207,36 kr 41,47 kr 248,83 kr

Efter 6 år 248,83 kr 49,77 kr 298,60 kr

Efter 7 år 298,60 kr 59,72 kr 358,32 kr- og se således ud for 2. år:

K2 = K0·(1+r/100)2

(K2 = 100·(1+20/100)2 = 100·(1+0,20)2 = 100·1,202 = 144)

… at lægge 20 % til 2 gange = at gange med 1,202)

Og hermed er vi nået frem til vækstformlen:


Kn = K0·(1+r/100)n

- hvor:K0 = startværdien

Kn = værdien efter n år (eller perioder)

r = procentsatsen, der tilskrives pr. år (eller periode)n = antallet af år (eller perioder), der går

Og hermed er vi nået frem til vækstformlen:


Kn = K0·(1+r/100)n



r = procentsatsen, der tilskrives pr. år (eller periode)n = antallet af år (eller perioder), der går

Bemærk, at der kan regnes i andre periodelængder end år.En periode kan f.eks. også være et halvt år, en måned, en dag, en time – eller enhver anden tidsangivelse.

Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst:

De 4 indgange…

Kn = K0·(1+r/100)n

1.

Vi skal beregne Kn – det vil sige, at vi skal regne frem i tiden. Vi kender startværdien (K0), rentesatsen (r) samt ved, hvor langt frem i tiden, vi skal gå (n).

Eks.: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 mennesker (K0). Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt (r).

Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år (n)?


De 4 indgange…

Kn = K0·(1+r/100)n

2.

Vi skal beregne K0 – det vil sige, at vi skal regne tilbage i tiden. Vi kender slutværdien (Kn), rentesatsen (r) samt ved, hvor langt tilbage i tiden, vi skal gå (n).

Eks.: Danmarks indbyggertal er på 5,5 mio. mennesker (Kn). Indbyggertallet stiger 0,35 % årligt (r).

Hvor mange indbyggere var der i Danmark for 100 år siden (n)?


De 4 indgange…

Kn = K0·(1+r/100)n

3.

Vi skal beregne r – altså finde den procentvise stigning pr. år. Vi kender startværdien (K0) og slutværdien (Kn) samt ved, hvor lang tid, vi taler om (n).

Eks.: 6,9 mio. biler (K0) kørte over Storebæltsbroen i 1999, og dette tal var i 2007 steget til 10,7 mio. biler (Kn)

Hvor mange procent stiger trafikken med årligt? – der er jo tale om 8 år (n)?


De 4 indgange…

Kn = K0·(1+r/100)n

4.

Vi skal beregne n – det vil sige, finde det antal år, der går. Vi kender startværdien (K0) og slutværdien (Kn) samt ved, hvilken stigningsprocent (r), vi taler om.

Eks.: Jeg indsætter 10.000 kr (K0) på en konto i en bank, der tilskriver 2,25 % årligt i rente (r).

Hvor lang tid skal der gå, før der står 25.000 kr (Kn) på kontoen?

Beregning af Kn

De 4 indgange…

Eksempel 1:

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n

Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt.Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år?

Eksempel 1:

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n


K0 = 121.600r = 1,4 % årligtN = 12 år

Kn = K0·(1+r/100)n

Eksempel 1:

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n


K0 = 121.600r = 1,4 % årligtN = 12 år

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = 121.600·(1+1,4/100)12

Eksempel 1:

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n


K0 = 121.600r = 1,4 % årligtN = 12 år

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = 121.600·(1+1,4/100)12

På lommeregneren tastes:

121600·(1+1,4/100) 12=

Eksempel 1:

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n


K0 = 121.600r = 1,4 % årligtN = 12 år

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = 121.600·(1+1,4/100)12


121600·(1+1,4/100) 12=

Bemærk parenteserne!

De skal med, når du taster ind på lommeregneren!

Eksempel 1:

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n


K0 = 121.600r = 1,4 % årligtN = 12 år

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = 121.600·(1+1,4/100)12


121600·(1+1,4/100) 12=

Kn = 143.678

Eksempel 1:

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n


K0 = 121.600r = 1,4 % årligtN = 12 år

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = 121.600·(1+1,4/100)12


121600·(1+1,4/100) 12=

Kn = 143.678

Der er 143.678 indbyggere i Ålborg om 12 år

Eksempel 2:

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = 10.000·(1+4,5/100)21


10000·(1+4,5/100) 21=

Kn = 25.202

Der 25.202 kr på kontoen, når Per er 21 år.

Pers forældre indsætter ved Pers fødsel 10.000 kr på en børneopsparing. Hvor meget vil der stå på kontoen, når Per fylder 21 år, hvis banken giver 4,5 % pr år i rente?

K0 = 10.000r = 4,5 % årligtN = 21 år

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = 400·(1+12,7/100)48


400·(1+12,7/100) 48=

Kn = 124.282

Eksempel 3:

En vandprøve indeholder 400 colibakterier. Hvor mange bakterier er der i prøven 2 døgn senere, når colibakterier formerer sig med 12,7 % i timen?

K0 = 400r = 12,7 % i timenN = 2 døgn = 48 timer

Der er 124.282 colibakterier i prøven 2 døgn senere.

Beregning af Kn…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn = 1.200·(1+3,75/100)150


1200·(1+3,75/100) 150=

Kn = 300.190,58

Eksempel 4:

Kurt indsætter 1.200 kr i en bank, men glemmer alt om kontoen. Hvor mange penge vil der stå på kontoen 150 år senere, når banken tilskriver 3,75 % i rente årligt?

K0 = 1.200r = 3,75 % pr årN = 150 år

150 år senere står der 300.190,58 kr på kontoen

Beregning af K0

De 4 indgange…

Vi skal nu ændre formlen, idet K0 skal isoleres (stå alene):

Beregning af K0…

Kn = K0·(1+r/100)n


Dette gøres ved at dividere med parentesen på begge sider, altså…

Beregning af K0…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn

(1+r/100)n= K0



Da = x–1 og = x–n kanformlen omskrives til…

Beregning af K0…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn

(1+r/100)n= K0

1x

1xn Kn·(1+r/100) n = K0



Da = x–1 og = x–n kanformlen omskrives til…

- hvilket giver følgende formel, når der skal regnes tilbage i tiden…

Beregning af K0…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn

(1+r/100)n= K0

1x

1xn Kn·(1+r/100) n = K0

K0 = Kn·(1+r/100) n

Eksempel 1:

Beregning af K0…

Østrig har 8,2 mio. indbyggere i 2011. Indbyggertallet stiger 0,6 % årligt.Hvor mange indbyggere var der i Østrig i 1953?

K0 = Kn·(1+r/100) n

Eksempel 1:

Beregning af K0…


Kn = 8,2 mio.r = 0,6 % årligtN = 2011-1953 = 58 år

K0 = Kn·(1+r/100) n

K0 = Kn·(1+r/100)–n

Eksempel 1:

Beregning af K0…



K0 = Kn·(1+r/100) n

K0 = Kn·(1+r/100)–n

K0 = 8,2·(1+0,6/100)–58

Eksempel 1:

Beregning af K0…



K0 = Kn·(1+r/100) n

K0 = Kn·(1+r/100)–n

K0 = 8,2·(1+0,6/100)–58


8,2·(1+0,6/100) –58=

Eksempel 1:

Beregning af K0…



K0 = Kn·(1+r/100) n

K0 = Kn·(1+r/100)–n

K0 = 8,2·(1+0,6/100)–58


8,2·(1+0,6/100) –58=

K0 = 5,8

Eksempel 1:

Beregning af K0…



Der var 5,8 mio. indbyggere i Østrig i 1953.

K0 = Kn·(1+r/100) n

K0 = Kn·(1+r/100)–n

K0 = 8,2·(1+0,6/100)–58


8,2·(1+0,6/100) –58=

K0 = 5,8

Eksempel 2:

Beregning af K0…

Trafikken gennem Vejle er steget med 3 % årligt. På Boulevarden passerer dagligt 11.100 biler i 2011.Hvor mange biler passerede dagligt Boulevarden i 1985?

Kn = 11.100r = 3 % årligtN = 2011-1985 = 26 år

Der passerede dagligt 5.147 biler på Boulevarden i 1985.

K0 = Kn·(1+r/100) n

K0 = Kn·(1+r/100)–n

K0 = 11.100·(1+3/100)–26


11100·(1+3/100) –26=

K0 = 5.147

Eksempel 3:

Beregning af K0…

For 30 år siden udsatte en jæger rådyr i sin skov.Hvor mange rådyr udsatte han, når der i dag er 275 rådyr og rådyr formerer sig med 1,7 % halvårligt?

Kn = 275r = 1,7 % halvårligtN = 30 år = 60 halvår

Jægeren udsatte 100 rådyr for 30 år siden.

K0 = Kn·(1+r/100) n

K0 = Kn·(1+r/100)–n

K0 = 275·(1+1,7/100)–60


275·(1+1,7/100) –60=

K0 = 100

Eksempel 4:

Beregning af K0…

Priserne på varer er her i Danmark steget med 4,95 % om året i gennemsnit.Hvad kostede en liter mælk i 1944, når den i 2011 koster 7,80 kr pr liter?

Kn = 7,80r = 4,95 % årligtN = 2011-1944 = 67 år

1 liter sødmælk kostede 0,31 kr i 1944.

K0 = Kn·(1+r/100) n

K0 = Kn·(1+r/100)–n

K0 = 7,80·(1+4,95/100)–67


7,80·(1+4,95/100) –67=

K0 = 0,31

Beregning af r

De 4 indgange…

Vi skal nu ændre formlen, idet r (procentsatsen) skal isoleres:

Beregning af r…

Kn = K0·(1+r/100)n


Dette gøres ved at dividere med K0 på begge sider, altså…

Beregning af r…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn K0

= (1+r/100)n



En potens fjernes ved at tage den n’te rod på begge sider, altså…

Beregning af r…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn K0

= (1+r/100)n

Kn

K0

= 1+r/100n




Herefter trækkes 1 fra på begge sider…

Beregning af r…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn K0

= (1+r/100)n

Kn

K0

= 1+r/100n

Kn

K0

1 = r/100n




Herefter trækkes 1 fra på begge sider…

inden r (i procent) findes ved at gange med 100.Herefter har vi formlen:

Beregning af r…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn K0

= (1+r/100)n

Kn

K0

= 1+r/100n

Kn

K0

1 = r/100n

Kn

K0

-1)·100r = ( n

Eksempel 1:

Beregning af r…

Hvilken rentesats får man i en bank, hvis 820 kr på 9 år vokser til 980 kr?

Kn

K0

-1)·100r = ( n

Eksempel 1:

Beregning af r…


K0 = 820Kn = 980N = 9 år

Kn

K0

-1)·100r = ( n

Kn

K0

-1)·100r = ( n

Eksempel 1:

Beregning af r…


K0 = 820Kn = 980N = 9 år

Kn

K0

-1)·100r = ( n

980 820

-1)·100r = ( 9

Kn

K0

-1)·100r = ( n

Eksempel 1:

Beregning af r…


K0 = 820Kn = 980N = 9 år

Kn

K0

-1)·100r = ( n

980 820

-1)·100r = ( 9

Kn

K0

-1)·100r = ( n


(9 (980/820)-1)·100=x

Eksempel 1:

Beregning af r…


K0 = 820Kn = 980N = 9 år

Kn

K0

-1)·100r = ( n

980 820

-1)·100r = ( 9

Kn

K0

-1)·100r = ( n


(9 (980/820)-1)·100=

r = 2,00

x

Eksempel 1:

Beregning af r…


K0 = 820Kn = 980N = 9 år

Kn

K0

-1)·100r = ( n

980 820

-1)·100r = ( 9

Kn

K0

-1)·100r = ( n

Man får 2,00 % årligt i rente.


(9 (980/820)-1)·100=

r = 2,00

x

Eksempel 2:

Beregning af r…

I 1999 kørte 6,9 mio biler over Storebæltsbroen, og i 2007 var det steget til 10,7 mio. Hvor mange procent stiger trafikken med årligt?

K0 = 6,9 mio.Kn = 10,7 mio.N = 8 år

Trafikken stiger 5,64 % årligt.

Kn

K0

-1)·100r = ( n

10,7 6,9

-1)·100r = ( 8

Kn

K0

-1)·100r = ( n


(8 (10,7/6,9)-1)·100=

r = 5,637

x

Eksempel 3:

Beregning af r…

Danmarks samlede el-forbrug var i 1980 på 25,6 mia. kWh.Hvilken årlig procentvis stigning er der i forbruget, når forbruget i 2007 var på 123,5 mia. kWh?

K0 = 25,6 mia.Kn = 123,5 mia.N = 2007-1980 = 27 år

El-forbruget stiger 6 % årligt.

Kn

K0

-1)·100r = ( n

123,5 25,6 -1)·100r = ( 27

Kn

K0

-1)·100r = ( n


(27 (123,5/25,6)-1)·100=

r = 6,00

x

Eksempel 4:

Beregning af r…

Verdens befolkning var 1.1.78 på 3,97 mia. mennesker. 1.1.2008 var befolkningstallet steget til 6,68 mia.Find den årlige, procentvise stigning i befolkningstallet.

K0 = 3,97 mia.Kn = 6,68 mia.N = 2008-1978 = 30 år

Befolkningstallet stiger i gennemsnit 1,75 % årligt.

Kn

K0

-1)·100r = ( n

6,68 3,97

-1)·100r = ( 30

Kn

K0

-1)·100r = ( n


(30 (6,68/3,97)-1)·100=

r = 1,75

x

Beregning af n

De 4 indgange…

Vi skal nu ændre formlen, idet n (tiden) skal isoleres:

Beregning af n…

Kn = K0·(1+r/100)n



Beregning af n…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn K0

= (1+r/100)n

Kn K0

= (1+r/100)n



Beregning af n…

Kn = K0·(1+r/100)nStort problem: Vi kan ikke – med vores nuværende matematiske viden – løse en ligning, hvor den ubekendte (her n) står oppe i luften – som eksponent!



Beregning af n…

Kn = K0·(1+r/100)nStort problem: Vi kan ikke – med vores nuværende matematiske viden – løse en ligning, hvor den ubekendte (her n) står oppe i luften – som eksponent!Imidlertid kan det lade sig gøre med de såkaldte logaritmer.

Kn K0

= (1+r/100)n



Beregning af n…

Kn = K0·(1+r/100)nStort problem: Vi kan ikke – med vores nuværende matematiske viden – løse en ligning, hvor den ubekendte (her n) står oppe i luften – som eksponent!Imidlertid kan det lade sig gøre med de såkaldte logaritmer.Ved hjælp af tasten ”Log” på din lommeregner, kan du omskrive et regneudtryk til logaritmer.

Kn K0

= (1+r/100)n



Beregning af n…


Der gælder for logaritmer, at Log(an) = n·Log(a).

Altså f.eks.: Log(203) = 3·Log(20)

Kn K0

= (1+r/100)n



Beregning af n…


Der gælder for logaritmer, atLog(an) = n·Log(a).

Altså f.eks.: Log(203) = 3·Log(20)

Vi tager nu logaritmen til tallene på hver side af lighedstegnet for at komme videre med udregningen!

Kn K0

= (1+r/100)n



Vi tager logaritmen på begge sider…

Beregning af n…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn K0

) = n·Log(1+r/100)Log(

Kn K0

= (1+r/100)n


Dette gøres ved at divideremed K0 på begge sider, altså…

Vi tager logaritmen på begge sider…

Inden vi til sidst på begge sider dividerer med hele størrelsen efter n, nemlig Log(1+r/100)

Beregning af n…

Kn = K0·(1+r/100)n

Kn K0

) = n·Log(1+r/100)Log(

Kn K0

= (1+r/100)n

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Eksempel 1:

Beregning af n…

Frankrig har i 2008 64,1 mio. indbyggere. Hvilket årstal vil der være 75 mio. indbyggere i Frankrig, når befolkningstallet stiger 0,57 % årligt?

Eksempel 1:

Beregning af n…


K0 = 64,1 mio.Kn = 75 mio.r = 0,57 % årligt

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Eksempel 1:

Beregning af n…



Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

75 64,1

)Log(

Log(1+0,57/100)n =

Eksempel 1:

Beregning af n…



Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =


Log(75/64,1)/Log(1+0,57/100)

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

75 64,1

)Log(

Log(1+0,57/100)n =

Eksempel 1:

Beregning af n…



Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =


Log(75/64,1)/Log(1+0,57/100)

n = 27,63

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

75 64,1

)Log(

Log(1+0,57/100)n =

Eksempel 1:

Beregning af n…



Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

75 64,1

)Log(

Log(1+0,57/100)n =

Befolkningstallet er 75 mio. om 27,63 år (i forhold til 2008), altså i år 2035


Log(75/64,1)/Log(1+0,57/100)

n = 27,63

Eksempel 2:

Beregning af n…

500 kr er indsat i en bank, der giver 2,85 % årligt i rente. Hvor mange år skal der gå, før der står 1.450 kr på denne konto?

K0 = 500Kn = 1.450r = 2,85 % årligt

Der skal gå 38 år før der er 1.450 kr på kontoen.

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

1.450 500

)Log(

Log(1+2,85/100)n =


Log(1450/500)/Log(1+2,85/100)

n = 37,888

Eksempel 3:

Beregning af n…

I 2007 kørte der 10,7 mio. biler over Storebæltsbroen. Når dette tal stiger 5,65 % årligt – hvornår vil der da køre 19 mio. biler over broen?


Om 10,45 år (i år 2017) vil der køre 19 mio. biler over broen.

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

19 10,7

)Log(

Log(1+5,65/100)n =


Log(19/10,7)/Log(1+5,65/100)

n = 10,447

Eksempel 4:

Beregning af n…

I en forretning kan man få et lån på 800 kr til en rente på 4 % pr. måned.Hvor mange måneder vil der gå, før man skylder 10.000 kr?

K0 = 800Kn = 10.000r = 4 % månedligt

Der vil gå 64,4 (65) måneder før gælden er på 10.000 kr.

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

Kn K0

)Log(

Log(1+r/100)n =

10.000 800

)Log(

Log(1+4/100)n =


Log(10000/800)/Log(1+4/100)

n = 64,398

På samme måde som vi kan arbejde med positiv vækst, kan man også arbejde med negativ vækst ved hjælp af vækstformlen – med en lille ændring, nemlig at væksten/”renten” nu ikke skal lægges til, men trækkes fra for hver måned.

Negativ vækst…

Hermed er vækstformlen for negativ vækst:

Kn = K0·(1-r/100)n



r = procentsatsen, der afskrives pr. år (eller periode)n = antallet af år (eller perioder), der går

Negativ vækst…

Eksempel:

Negativ vækst…

Kn = K0·(1-r/100)n

En mindre sydhavsø har 7.472 indbyggere, men hvert år udvandrer 3,7 % af folkene på øen.Hvor mange indbyggere vil der være på øen om 12 år?

K0 = 7.472r = 3,7 % årligtN = 12

Der vil være 4.753 indbyggere på øen om 12 år

Kn = K0·(1–r/100)n

Kn = 7.472·(1–3,7/100)12


7472·(1–3,7/100) 12=

Kn = 4752,8

Eksponentiel vækstEksponentiel vækst

Kn = K0·(1+p/100)n

Log(an) = n·Log(a)

eksponentiel vækst

Documents