el enfoque gráfico como alternativa para la solución de inecuaciones

El enfoque gráfico como alternativa para la solución de ecuaciones e inecuaciones

Angela E. Torres R.

Junio, 2010

( )3

9log 3x

≤−

Elementos que sustentan el enfoque

gráfico

Traslaciones Verticales y Horizontales

Ampliación y Reducción

Manejo adecuado de operaciones

algebraicas

Efecto del Valor Absoluto

Reflexión

:

Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones cuadráticas

Encuentre la solución de la siguiente inecuación

Planteamiento gráfico:

Solución:

Los puntos a y b se hallan resolviendo:

2 6 8 5− + >x x

( ) ( ), ,−∞ +∞a y b

5862 =+− xx

2

6 24 6 246 8 5, ,

2 2

+ −− + = = =14243 14243Punto b Punto a

x x es decir x y x

2 6 8 5− + = −x x (Esta última ecuación no tiene solución en los reales).

:

Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones cuadráticas



Solución: Los puntos se hallan a partir de:

22 10 21 8< − + <x x

( ) ( ) ( ), , ,∪ ∪a b c d e f

2 10 21 2− + =x x

2 10 21 2 (Esta ecuación arroja los puntos b y e)− + =x x

2 10 21 2 (Esta ecuación arroja los puntos c y d)− + = −x x

2 10 21 8− + =x x

2 10 21 8 (Esta ecuación arroja los puntos a y f)− + =x x

2 10 21 8 (Esta ecuación no tiene solución real)− + = −x x

:

Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones radicales



Solución:

12 5 5− − >x

( ) ( ], ,5−∞ ∪a b

12- 5 =5 44 (Punto b)− ⇒ = −x x12 5 5− − =x

12 5 =-5 284 (Punto a)− − ⇒ = −x x

Los puntos a y b se hallan resolviendo:

( )k

cf x

≥ ( )f x

c R∈ k R∈Tópico: Inecuaciones que presentan la forma , con

función radical; y constantes.

Encuentre la solución de la siguiente inecuación: 16

8 x≥

−

Solución: [ ),8a

El punto a se halla a partir de:

1 1 2876, es decir 8 , por lo que

6 368x x

x= = − =

−

Tópico: Inecuaciones que presentan la forma , con

es una función radical

Encuentre la solución de la siguiente inecuación:

Solución:

El punto a se halla a partir de:

( )1

cf x

>

donde

,c R∈)(xf

15

10 4 x>

− −

( )96,a−

15

10 4 x=

− −

15 95, 2016

10 4x

x= ⇒ = −

− −

( )15 no tiene solución

10 4 x= −

− −

Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con

reales y


Solución:

Los puntos se hallan a partir de:

kydcba ,,,( ) nk

d c eax b

< − <−

n par ó impar

( ) 5

34 1 6

2 7x− < − <

−

( ) ( ), ,b c−∞ ∪ +∞

( )( )

( )( )

5

5

31 4 Punto b

2 7

31 6 Punto c

2 7

x

x

− = −−

− =−


reales y


Solución:

Los puntos se determinan a partir de:

kydcba ,,, n par ó impar

( ) ( ), ,b c−∞ ∪ +∞

( ) nk

c dax b

− <+

( ) 7

31 10

4 6x− <

− +

( )( )7

31 10 Punto b

4 6x− =

− +

( ) 7

31 10

4 6x− =

− +

( )( )7

31 10 Punto c

4 6x− = −

− +


reales y


Solución:

Los puntos se determinan al resolver las ecuaciones:

kydcba ,,, n par ó impar( )

ecbax

kd

n≤−

+<

( )52

34

71

6≤−

−<

x

( ) ( ] [ ) ( ), , , ,c d e f g h−∞ ∪ ∪ ∪ +∞

( ) 6

72 1

4 3x− =

− ( ) 6

72 5

4 3x− =

− y


función logarítmica y


Solución:

Los puntos se determinan al resolver la ecuación:

)(xf

cxf ≥)(

c∈R

( )log 3 2 2x − ≥

( ] [ ), ,a b−∞ ∪ +∞

( )log 3 2 2x − =


función logarítmica y


Solución:


)(xf

cxf <)(

c∈R

( ) 223log5

1 <−x

( ) ( ), ,a b−∞ ∪ +∞

( )15

log 3 2 2x − =

Tópico: Inecuaciones que involucren funciones logarítmicas


Solución:


( )24log 3 18 5x x− − <

( ) ( ), 3 6,a b− ∪

2 5 23 18 4 , es decir, 3 1042 0x x x x− − = − − =

Tópico: Inecuaciones que involucren la raíz cuadrada de funciones logarítmicas


Solución:

El punto

( )1 10log 5 3x− ≥

( )1 10log 5 3x− =a se determina a partir de:

91

510

x = − ÷ Por lo que:

[ ),5a

( ) ( )1 10log 5f x x= −

a

( ) ( )1log loga ax x= −

Con el propósito de verificar el correcto trazado de la gráfica de

,así como la validez del valor del punto

, conviene introducir la relación siguiente:

Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones logarítmicas


Solución:


( )2log 6 4x − <

( ) ( ), ,a b c d∪

( )2log 6 4x − =


reales


Solución:

eydcba ,,,ax b c dx e+ − ≤ +

14 2 1

3x x− − ≤ +

[ ],a b

Punto a

:

( ){

Brazo IzquierdoRecta dada

14 2 1

3

3

4

x x

x

− − − = +

=

14243

Punto b

:

( ){

Brazo DerechoRecta dada

14 2 1

3

21

2

x x

x

− − = +

=

14243

Tópico: Inecuaciones que presentan la forma

donde todas las funciones son lineales


Solución:

Punto a

:

Punto b

( ) ( ) ( )a f x b g x h x+ ≤

3 1 2 5 14x x x− + + ≤ +

}2Recta Recta dada

11 14

2 3

3 2

y

x x

x

x

− + = +− =

= −

678 } }32Recta Recta dada

5 9 14

4 5

5 4

y

x x

x

x

+ = +==

[ ]ba,

Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico

Permite afianzar conceptos básicos y fortalecer el desarrollo de operaciones algebraicas.

Ofrece mecanismos alternativos para determinar la veracidad de los resultados.


Fortalece el hallazgo de los puntos característicos de una función, como lo son los puntos de corte con los ejes

)()( xfyxf −−

Permite diferenciar el efecto del signo “menos” y del valor absoluto, en los casos:

Así como:

)()( xfyxf


Permite efectuar un traslado fluido entre los registros gráfico y algebraico, afianzando conceptos como los de Dominio y Rango.

Brinda la oportunidad de contrastar el comportamiento de dos rectas, analizando su pendiente.


Permite introducir la noción de límite lateral y continuidad, así como las definiciones de asíntota vertical y horizontal.

Ofrece un mecanismo alternativo para evaluar las propiedades de las funciones, muy particularmente en el caso de la función logarítmica y la función exponencial.

El enfoque gráfico como alternativa para la solución de ecuaciones e inecuaciones

Angela E. Torres R.

Junio, 2010

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9log 3x

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