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Universidad de Murcia - Facultad de Matematicas

TRABAJO FIN DE GRADO

EL TEOREMA DE HINDMAN Y EL

TEOREMA DE VAN DER WAERDEN

Realizado por:Javier Villaescusa Almagro

Tutores:Antonio Aviles LopezJose Rodrıguez Ruiz

Curso 2019-2020

Declaracion de originalidad

Javier Villaescusa Almagro, autor del TFG “El teorema de Hindman yel teorema de van der Waerden”, bajo la tutela de los profesores AntonioAviles Lopez y Jose Rodrıguez Ruiz, declara que el trabajo que presenta esoriginal, en el sentido de que ha puesto el mayor empeno en citar debidamentetodas las fuentes utilizadas, y que la obra no infringe el copyright de ningunapersona. 1

En Murcia, a 22 de junio de 2020.

1Se ha enviado a la Facultad de Matematicas de la Universidad de Murcia una copiafirmada de esta declaracion de originalidad.

III

Resumen

La teorıa de Ramsey es un campo de la combinatoria que trata de encon-trar grandes estructuras dentro de las piezas de una particion de un conjunto.El objetivo principal de este trabajo es demostrar dos teoremas que formanparte de ella, el teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden. Comoocurre con frecuencia en el marco de esta teorıa, se trata de dos resultadoscuyos enunciados son faciles de comprender y relativamente intuitivos, perosus demostraciones son de una considerable complejidad.

El teorema de Hindman afirma que para cualquier particion finita de N,existe una sucesion infinita en N tal que las sumas finitas de elementos dis-tintos de esa sucesion pertenecen siempre al mismo elemento de la particion.Este teorema aparecio en 1971 como una conjetura de Graham y Rothschild[5], pero fue en 1974 cuando N. Hindman dio una demostracion de naturalezacombinatoria del teorema que puede consultarse en [6]. Un ano mas tarde, en1975, Galvin y Glazer proporcionaron otra prueba de naturaleza topologicay algebraica, pero esta nunca fue publicada. Sin embargo, ha aparecido ennumerosos artıculos y libros, el primero de los cuales fue [3]. La demostracionque daremos aquı se basa en esta ultima prueba.

El teorema de van der Waerden, por su parte, establece que para cual-quier particion finita de N, existe un elemento de la particion que contieneprogresiones aritmeticas de longitud arbitraria. El teorema fue probado en1927 por van der Waerden [15] utilizando unicamente resultados de combi-natoria. Mas tarde, en 1989, Bergelson, Furstenberg, Hindman y Katznelsonpresentaron en [1] una prueba del teorema, utilizando resultados de topologıay algebra, que es la que vamos a exponer aquı. Ademas, propondremos otraforma de demostrar el teorema que simplificara algunos razonamientos.

V

RESUMEN VI

Las demostraciones que daremos de ambos teoremas se realizan a partirde considerar el conjunto de los ultrafiltros sobre N y definir en el una sumaque extiende la suma natural en N. Debido a la similitud de los preliminaresnecesarios para ambas demostraciones, el cuerpo del trabajo esta constituidopor cinco capıtulos, siendo el Capıtulo 5 el capıtulo central del trabajo enel cual se exponen las demostraciones de estos dos teoremas, mientras queen los primeros cuatro capıtulos se exponen todos los conceptos y resultadosnecesarios para despues desarrollar dichas demostraciones.

A lo largo del trabajo haremos uso de diversos conceptos y propiedadesbasicas de topologıa que seran imprescindibles para obtener y entender losresultados que se expondran, por lo que dedicaremos el Capıtulo 1 a intro-ducirlos, pero sin entrar en detalles debido a que han sido estudiados en elgrado.

Por otro lado, asumiendo los axiomas de la teorıa de Zermelo-Fraenkel(ZF), el axioma de eleccion (AC) es equivalente a un gran numero de propo-siciones. Una de ellas es el lema de Zorn que sera utilizado en varias ocasionesdurante el trabajo para obtener importantes resultados, necesarios en las de-mostraciones del teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden.Esto quiere decir que dichas demostraciones son en ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). En el capıtulo 2 probaremos la equivalencia del lema de Zorn y elaxioma de eleccion. Para ello, haremos uso de los numeros ordinales y la re-cursion transfinita, pero debido a que estos no son el tema central del capıtulono profundizaremos en su estudio.

Los semigrupos jugaran un papel importante en el trabajo, pues en el ulti-mo capıtulo trabajaremos en todo momento con ellos. En concreto, trabaja-remos con un tipo de semigrupos, los semigrupos topologicos por la izquierdaHausdorff compactos. El Capıtulo 3 estara dedicado a estudiar todas las pro-piedades de estos semigrupos que seran necesarias despues. Estas propiedadesestan relacionadas mayoritariamente con sus elementos idempotentes y susideales por la derecha minimales. Ademas, tambien veremos ciertas propie-dades de sus ideales bilateros minimales, ya que seran utilizadas para dar unasegunda demostracion del teorema de van der Waerden. Los dos resultadosmas importantes de este capıtulo son el teorema de Auslander-Ellis (Teore-ma 3.27) y otro teorema que se sigue de este (Teorema 3.28), a partir de loscuales se garantiza que todo ideal por la derecha contiene un ideal por laderecha minimal y cada ideal por la derecha minimal posee un idempotente.

RESUMEN VII

El capıtulo 4 estara dedicado a la introduccion de los ultrafiltros y alestudio de todas sus propiedades necesarias para las demostraciones de losteoremas centrales del quinto capıtulo. Sera importante la distincion entredos clases de ultrafiltros, los principales y los no principales; mientras la exis-tencia de los primeros esta garantizada sobre todo conjunto y cada uno deellos esta generado por un elemento del conjunto, la existencia de los segun-dos esta garantizada solo sobre conjuntos infinitos y no es posible definirlosexplıcitamente.

En la ultima seccion de este capıtulo, consideraremos el conjunto de todoslos ultrafiltros sobre un espacio topologico discreto D, que denotaremos porβD, para finalmente ver que βD, con una cierta topologıa, es una compacti-ficacion Hausdorff de D, tomando como embebimiento la funcion que asociaa cada elemento de D el ultrafiltro principal que genera.

Finalmente, en el Capıtulo 5, haciendo uso de todo lo visto en los capıtu-los anteriores, expondremos las demostraciones del teorema de Hindman y elteorema de van der Waerden. En ambas demostraciones se dota de estruc-tura algebraica al conjunto de todos los ultrafiltros sobre N, βN, definiendouna suma que extiende la suma ordinaria en N. Es por ello que dedicaremosla Seccion 5.1 a esto. Veremos que βN con esta suma es un semigrupo to-pologico por la izquierda Hausdorff compacto, ası como que el conjunto delos ultrafiltros no principales forma un subsemigrupo Hausdorff compacto deβN. Ademas, la suma definida sera conmutativa si uno de los dos sumandoses un ultrafiltro principal.

En la Seccion 5.2 desarrollaremos la demostracion del teorema de Hind-man (Corolario 5.10). La clave sera probar que, dado un ultrafiltro no princi-pal idempotente (cuya existencia se basa en aplicar el teorema de Auslander-Ellis al subsemigrupo de los ultrafiltros no principales), para todo subcon-junto de N perteneciente a dicho ultrafiltro, existe una sucesion infinita enN tal que las sumas finitas de elementos distintos de esa sucesion pertenecena tal subconjunto. El teorema de Hindman se sigue automaticamente de loanterior debido a que, dada una particion finita de N, cualquier ultrafiltrocontiene un elemento de dicha particion.

RESUMEN VIII

En la Seccion 5.3 expondremos la prueba del teorema de van der Waerden(Corolario 5.15). En este caso, consideraremos el producto cartesiano (βN)k,siendo k la longitud arbitraria de la progresion aritmetica del enunciado, quesera tambien un semigrupo topologico por la izquierda Hausdorff compacto.La prueba la presentaremos de una forma similar a como puede encontrarseen [14], que a su vez es semejante a la que dieron Bergelson, Furstenberg,Hindman y Katznelson en [1]. Pero expondremos ademas una segunda de-mostracion alternativa del teorema principal de la seccion (Teorema 5.14), apartir del cual se prueba de forma casi inmediata el teorema de van der Waer-den, que simplificara los razonamientos. La demostracion de este teorema en[14] hace uso principalmente de ideales por la derecha minimales y elementosidempotentes, tanto del semigrupo βN como de su producto cartesiano (βN)k

y de algunos subsemigrupos de este; mientras que la demostracion alternativaque proponemos hace uso ademas de ideales bilateros minimales.

Como mencionamos anteriormente, las demostraciones que expondremosde los dos teoremas centrales del trabajo son demostraciones en ZFC. Sinembargo, para finalizar el trabajo, veremos en la Seccion 5.4 que estos dosteoremas son ciertos tambien en ZF. No daremos una nueva demostracionevitando el axioma de eleccion, sino que apelaremos a un resultado generalde logica que nos dice que si una sentencia Σ1

3 es cierta en ZFC, entonceses cierta en ZF; y probaremos que el teorema de Hindman y el teorema devan der Waerden son sentencias Σ1

3. Este resultado es una consecuencia delconocido como teorema de Shoenfield [13] y la teorıa que hay detras de eles de una considerable complejidad. Por falta de tiempo y de espacio, nosera posible entrar en ella detalladamente. El merito de ser el primero quese dio cuenta que el teorema de Hindman es cierto en ZF por el teoremade Shoenfield se le puede atribuir a Baumgartner, pues Comfort cuenta en[2] que le escribio a este para preguntarle si el teorema de Hindman eracierto en ZF, y que Baumgartner le contesto con el argumento que nosotrosutilizaremos.

Abstract

Ramsey theory is a branch of combinatorics that is concerned with findinglarge structures inside the pieces of a set partition. The main aim of this workis to prove two theorems which are part of it, Hindman’s Theorem and vander Waerden’s Theorem. As it frequently happens within the framework ofthis theory, these are two results whose statements are easy to understandand relatively intuitive, but their proofs are considerably complex.

Hindman’s theorem states that for any finite partition of N, there is aninfinite sequence in N such that finite sums of different elements of the se-quence always belong to the same element of the partition. This theoremappeared in 1971 as a conjecture of Graham and Rothschild [5], but it was in1974 when N. Hindman gave a proof of combinatorial nature of the theoremwhich can be found in [6]. A year later, in 1975, Galvin and Glazer providedanother proof of topological and algebraic nature, but this one was neverpublished. However, it has appeared in several articles and books, the firstof which was [3]. The proof we will give here is based on this last proof.

Van der Waerden’s theorem, for its part, states that for any finite partitionof N, there exists an element of the partition containing arbitrarily longarithmetic progressions. The theorem was proved in 1927 by van der Waerden[15] using only combinatorial results. Later, in 1989, Bergelson, Furstenberg,Hindman and Katznelson gave in [1] a proof of the theorem, using resultsfrom topology and algebra, which is the one we are going to present here.Furthermore, we will propose another way to prove the theorem that willsimplify some reasoning.

The proofs that we will give of both theorems are made by considering theset of ultrafilters on N and defining on it a sum extending the usual sum on N.Due to the similarity of the necessary preliminaries for both proofs, the bodyof the work is made up of five chapters, being Chapter 5 the central chapter

IX

ABSTRACT X

of the work in which the proofs of these two theorems are presented. All theconcepts and results required to later develop such proofs are presented inthe first four chapters.

Throughout the work we will make use of several basic concepts andproperties of topology that will be essential to obtain and understand theresults that will be presented. We will dedicate Chapter 1 to introduce them,but without going into details due to the fact that they have been studiedduring the degree.

On the other hand, assuming the axioms of the Zermelo-Fraenkel theory(ZF), the Axiom of Choice (AC) is equivalent to a large number of proposi-tions. One of them is Zorn’s lemma which will be used several times duringthe work to obtain important results, which will be necessary in the proofs ofHindman’s theorem and van der Waerden’s theorem. That means that theseproofs are in ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). In Chapter 2 we will prove theequivalence between Zorn’s lemma and the axiom of choice. To do that, wewill make use of ordinal numbers and transfinite recursion, but since theseare not the central subject of the chapter, we will not study them in depth.

Semigroups will play an important role in the work, because in the lastchapter we will constantly deal with them. In particular, we will use a typeof semigroups, the compact Hausdorff left topological semigroups. Chapter 3will be focused on studying all the properties of these semigroups that will berequired later. These properties are mostly related to their idempotent ele-ments and their minimal right ideals. In addition, we will also discuss certainproperties of their minimal two sided ideals, since they will be used to give asecond proof of van der Waerden’s theorem. The two most important resultsof this chapter are the Auslander-Ellis theorem (Theorem 3.27) and anothertheorem that follows from this one (Theorem 3.28), from which it followsthat every right ideal contains an minimal right ideal and each minimal rightideal has an idempotent.

Chapter 4 will be devoted to the introduction of ultrafilters and the studyof all their properties needed for the proofs of the central theorems of the fifthchapter. The distinction between two classes of ultrafilters will be important,the principal and the nonprincipal ones; while the existence of the first onesis guaranteed on every set and each of them is generated by one element ofthe set, the existence of the second ones is guaranteed only on infinite setsand it is not possible to define them explicitly.

ABSTRACT XI

In the last section of this chapter, we will consider the set of all ultrafilterson a discrete topological space D, which we will denote by βD. We will finallysee that βD, with a certain topology, is a Hausdorff compactification of D,taking as an embedding the function which maps each element of D to theprincipal ultrafilter that it generates.

Finally, in Chapter 5, making use of everything that we have seen inthe previous chapters, we will develop the proofs of Hindman’s theorem andvan der Waerden’s theorem. In both proofs, the set of all ultrafilters on N,βN, is equipped with an algebraic structure defining a sum that extends theordinary sum in N. That is why we will devote Section 5.1 to that. We willsee that βN with this sum is a compact Hausdorff left topological semigroup,and also that the set of nonprincipal ultrafilters forms a compact Hausdorffsubsemigroup of βN. Furthermore, the sum will be commutative if one of thetwo addends is a principal ultrafilter.

In Section 5.2 we will develop the proof of Hindman’s theorem (Corollary5.10). The key will be to prove that, given a nonprincipal idempotent ultrafil-ter (whose existence is based on applying the Auslander-Ellis theorem to thesubsemigroup of nonprincipal ultrafilters), for every subset of N belonging tosuch an ultrafilter, there is an infinite sequence in N such that finite sums ofdifferent elements of the sequence belong to that subset. Hindman’s theoremfollows automatically from the above because, given a finite partition of N,any ultrafilter contains an element from that partition.

In Section 5.3 we will present the proof of van der Waerden’s theorem(Corollary 5.15). In this case, we will consider the Cartesian product (βN)k,with k being the arbitrary length of the arithmetic progression of the sta-tement, which will also be a compact Hausdorff left topological semigroup.The proof will be presented in a similar way as can be found in [14], whichin turn is similar to the one given by Bergelson, Furstenberg, Hindman andKatznelson in [1]. But we will also give a second alternative proof of themain theorem of this section (Theorem 5.14), from which van der Waerden’stheorem is proved almost immediately, that will simplify the reasoning. Theproof of this theorem in [14] mainly makes use of minimal right ideals andidempotent elements, both of the semigroup βN and of their Cartesian pro-duct (βN)k and some subsemigroups of it; while the alternative proof thatwe propose also makes use of minimal two sided ideals.

ABSTRACT XII

As we mentioned before, the proof that we will present of the two centraltheorems are proofs in ZFC. However, to finish the work, we will see in Section5.4 that these two theorems are also true in ZF. We will not give a new proofavoiding the axiom of choice, but we will appeal to a general result from logicwhich tells us that if a Σ1

3-sentence is true in ZFC, then it is true in ZF; andwe will prove that Hindman’s theorem and van der Waerden’s theorem areΣ1

3-sentences. This result is a consequence of what is known as Shoenfield’stheorem [13] and the theory behind it is of considerable complexity. Due tolack of time and space, it will not be possible to get into it in detail. The meritof being the first to realize that Hindman’s theorem is true in ZF because ofShoenfield’s theorem can be attributed to Baumgartner, since Comfort tellsin [2] that he wrote to him, asking if Hindman’s theorem was true in ZF, andBaumgartner answered him with the argument that we will use.

Indice general

Resumen V

Abstract IX

1. Conceptos previos de topologıa 11.1. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Propiedad Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Compactificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Espacio producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. El axioma de eleccion 10

3. Semigrupos 163.1. Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Ideales minimales y elementos idempotentes . . . . . . . . . . 183.3. Semigrupos topologicos por la izquierda Hausdorff compactos . 25

4. El espacio de los ultrafiltros sobre un espacio discreto 284.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3. βD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Teorema de Hindman y teorema de van der Waerden 405.1. La suma de ultrafiltros en βN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2. Teorema de Hindman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Teorema de van der Waerden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4. Independencia del axioma del eleccion . . . . . . . . . . . . . . 51

Bibliografıa 57

XIII

Capıtulo 1

Conceptos previos de topologıa

Durante gran parte del trabajo haremos uso de multiples conceptos ypropiedades basicas de topologıa que seran imprescindibles para obtener yentender los resultados que se expondran. Este capıtulo estara dedicado aintroducirlos, pero sin profundizar en ellos, puesto que se han estudiado enel Grado de Matematicas. Eso sı, cada resultado ira acompanado de unareferencia al lugar donde se puede consulta su prueba. Ademas, se puedeencontrar una descripcion mas detallada de lo que en este capıtulo se exponeen [4] y [12].

Comencemos revisando la definicion de topologıa y de espacio topologico.

Definicion 1.1. Sea X un conjunto. Una topologıa sobre X es una colec-cion T de subconjuntos de X con las siguientes propiedades:

1. ∅, X ∈ T .

2. La union de los elementos de cualquier subcoleccion de T esta en T .

3. La interseccion de los elementos de cualquier subcoleccion finita de Testa en T .

Un espacio topologico es un par ordenado (X, T ), formado por un con-junto X y una topologıa T sobre X. Cuando no exista lugar a confusion,omitiremos hacer mencion especıfica de T .

Si X es un espacio topologico con una topologıa T , se dice que un sub-conjunto U de X es un conjunto abierto de X si pertenece a la coleccion

1

Capıtulo 1. Conceptos previos de topologıa 2

T . Ası mismo, diremos que U es un conjunto cerrado si X \ U es abierto.

Daremos un ejemplo concreto de espacio topologico que sera utilizado encapıtulos posteriores.

Ejemplo 1.2. Si X es un conjunto cualquiera, la coleccion T de todos lossubconjuntos de X es una topologıa sobre X, y se denomina topologıa dis-creta. De este modo, el espacio topologico (X, T ) se dice que es discreto.

En general, es bastante complicado especificar la topologıa mediante ladescripcion de la coleccion completa T de conjuntos abiertos. En la mayorıade los casos, se especifica una coleccion mas pequena de subconjuntos de Xdenominada base de la topologıa, la cual define dicha topologıa.

Definicion 1.3. Si X es un conjunto, una base para una topologıa sobreX es una coleccion B de subconjuntos de X (llamados elementos basicos)tales que:

1. Para cada x ∈ X , hay al menos un elemento basico B que contiene ax, o equivalentemente, ∪B = X

2. Si x pertenece a la interseccion de dos elementos basicos B1 y B2,entonces existe un tercer elemento basico B3 tal que x ∈ B3 ⊆ B1∩B2.

Dada un base para una topologıa sobre X, se define la topologıa TB ge-nerada por B como sigue: un subconjunto U ⊆ X se dice que es abierto enX (esto es, U ∈ T ), si para cada x ∈ U , existe un elemento basico B ∈ B talque x ∈ B y B ⊆ U . Esto equivale a que U = ∪B′ para alguna subcoleccionB′ ⊆ B.

Por otro lado, el concepto de clausura sera muy utilizado en capıtulosposteriores, por lo que revisaremos su definicion y una propiedad que nossera util.

Definicion 1.4. Sea A un subconjunto del espacio topologico X. Se definela clausura de A, que sera denotada por A, como la interseccion de todos losconjuntos cerrados de X que contienen a A.

Teorema 1.5. Sea A un subconjunto del espacio topologico X.

1. Entonces x ∈ A si y solo si cada entorno abierto U de x interseca a A.


2. Suponiendo que la topologıa de X esta dada por una base, entoncesx ∈ A si y solo si cada entorno abierto basico B de x interseca a A.

Demostracion. Se puede consultar en [12, pag. 109].

Cabe mencionar que en topologıa un entorno abierto de x es un abiertoque contiene a x.

Durante el trabajo haremos tambien uso numerosas veces del concepto decontinuidad para funciones entre espacios topologicos, por lo que es necesariasu revision.

Definicion 1.6. Sean X e Y espacios topologicos. Una aplicacion f : X → Yes continua si para todo subconjunto abierto V ⊆ Y se cumple que f−1(V )es abierto en X.

En la anterior definicion, si B es una base para la topologıa de Y , comotodo abierto es union de elementos basicos, f es continua si y solo si, paratodo B ∈ B, se satisface que f−1(B) es abierto en X.

Otra caracterizacion de la continuidad en los espacios topologicos es lasiguiente:

Teorema 1.7. Sean X e Y espacios topologicos; sea f : X → Y . Entoncesson equivalentes:

1. f es continua.

2. Para cada conjunto cerrado B de Y , el conjunto f−1(B) es cerrado enX.

3. Para cada x ∈ X y cada entorno abierto V de f(x), existe un entornoabierto U de x tal que f(U) ⊆ V .

Dado un espacio topologico X, otro concepto del que haremos uso masadelante es el de subespacio topologico de X.

Definicion 1.8. Sea X un espacio topologico con topologıa T . Si Y es unsubconjunto de X, la coleccion

TY = {Y ∩ U : U ∈ T }


es una topologıa sobre Y , denominada topologıa de subespacio o topologıarelativa. Con esta topologıa, Y se denomina subespacio de X; sus conjuntosabiertos son todas las intersecciones de conjuntos abiertos de X con Y.

Como hemos mencionado antes, una topologıa se especifica frecuentemen-te mediante su base. Es por ello que la siguiente propiedad sera util.

Lema 1.9. En las condiciones de la Definicion 1.8, si B es una base para latopologıa de X, entonces la coleccion

BY = {Y ∩B : B ∈ B}

es una base para la topologıa de subespacio sobre Y .


1.1. Compacidad

La compacidad sera un concepto esencial en el trabajo, puesto que seranecesaria para obtener la mayorıa de los resultados mas importantes. En esteseccion vamos a revisar su definicion y ciertas propiedades.

Para hablar de compacidad es necesario definir el concepto de recubri-miento abierto de un espacio topologico.

Definicion 1.10. Un recubrimiento abierto de X es una coleccion A desubconjuntos abiertos de X cuya union es todo X. Un subrecubrimientode A es una subcoleccion A′ ⊆ A cuya union sigue siendo todo X.

Ahora podemos dar la definicion de espacio topologico compacto.

Definicion 1.11. Un espacio topologico X es compacto si todo recubri-miento abierto admite un subrecubrimiento finito.

Existe otra caracterizacion de los espacios compactos formulada en termi-nos de conjuntos cerrados en lugar de abiertos que nos sera de utilidad. Paradar esta caracterizacion, antes tenemos que introducir una propiedad de lasfamilias de conjuntos que sera ademas muy importante en el Capıtulo 4.

Definicion 1.12. Una familia A de subconjuntos de X se dice que tiene lapropiedad de la interseccion finita si, para cualquier subfamilia finitaA′ ⊆ A, se cumple que ∩A′ 6= ∅.


Pasamos a dar dicha caracterizacion.

Teorema 1.13. Sea X un espacio topologico. Entonces X es compacto si ysolo si para cada familia A de conjuntos cerrados en X con la propiedad dela interseccion finita, la interseccion de todos los elementos de la familia esno vacıa, es decir, ∩A 6= ∅.


Para finalizar esta seccion, vamos a ver algunas propiedades de los espa-cios compactos que nos seran utiles.

Proposicion 1.14. Si f : X → Y es continua y X es compacto, entoncesf(X) es compacto.

Demostracion. Puede consultarse en [4, pag. 48].

Teorema 1.15. Todo subespacio cerrado de un espacio compacto es tambiencompacto.

Demostracion. Puede ser consultada en [4, pag. 65].

1.2. Propiedad Hausdorff

La propiedad Hausdorff, tambien llamada segundo axioma de separacion,tambien sera utilizada en capıtulos posteriores. En esta seccion revisaremosla definicion, daremos algun ejemplo y veremos ciertas propiedades de losespacios que son Hausdorff. En particular, seran de nuestro interes las pro-piedades de los espacios que son Hausdorff y compactos simultaneamente,pues trabajaremos sobre espacios de esta forma en numerosas ocasiones du-rante el trabajo.

Empecemos con la definicion y un ejemplo.

Definicion 1.16. Se dice que un espacio topologico X es Hausdorff si paracada par x1, x2 de puntos distintos de X, existen entornos abiertos U1 y U2

de x1 y x2, respectivamente, que son disjuntos.

Ejemplo 1.17. Sea X un espacio topologico discreto. Entonces X es Haus-dorff, ya que los conjuntos unipuntuales de X son abiertos.


Veamos ahora un resultado a partir del cual se sigue una propiedad delos espacios Hausdorff que nos sera util.

Proposicion 1.18. Sea f : X → Y un aplicacion continua e inyectiva. SiY es un espacio Hausdorff, entonces X tambien lo es.


Pasamos a ver la propiedad referida antes.

Proposicion 1.19. Sea X un espacio topologico Hausdorff. Entonces cual-quier subconjunto Y ⊆ X es Hausdorff.

Demostracion. Basta considerar la aplicacion inclusion iY : Y → X, y aplicarla proposicion anterior.

Finalmente, enunciemos un teorema y dos corolarios de este que serantambien de gran utilidad.

Teorema 1.20. Todo subespacio compacto de un espacio Hausdorff es ce-rrado.


Corolario 1.21. Cada conjunto con un numero finito de puntos en un es-pacio de Hausdorff X es cerrado.

Demostracion. Puede ser consultado en [12, pag. 112].

Antes de citar el segundo corolario que se sigue del teorema anterior, esmenester recordar que una aplicacion de un espacio topologico X en otro Yes cerrada (abierta) si la imagen de cualquier conjunto cerrado (abierto)de X es cerrado (abierto) en Y .

Corolario 1.22. Toda aplicacion continua f : X → Y de un espacio com-pacto X en un espacio Hausdorff Y es cerrada.

Demostracion. Se sigue del Teorema 1.15, la Proposicion 1.14 y el teoremaanterior.


1.3. Compactificacion

En Topologıa habitualmente se trabaja con espacios no necesariamentecompactos, lo cual resulta en algunas ocasiones difıcil. Es por ello que sebusca como trasladar a estos espacios las propiedades validas para espacioscompactos. Una forma de conseguir esto es trabajando sobre la compactifi-cacion de un espacio, y esto es lo que haremos para probar los teoremas masimportantes del trabajo. No obstante, solo nos seran de utilidad su definiciony algunos conceptos previos que engloba esta. El objetivo de esta seccion esintroducir dichos conceptos y dar dicha definicion.

Para poder hablar de compactificacion, primero tenemos que revisar lasnociones de homeomorfismo y embebimiento.

Definicion 1.23. Una aplicacion f : X → Y es un homeomorfismo si esuna aplicacion biyectiva y continua, y su inversa f−1 : Y → X tambien escontinua. Se dice que X e Y son espacios homeomorfos.

Otra forma de caracterizar los homeomorfismos es la siguiente:

Proposicion 1.24. Sea f : X → Y una aplicacion biyectiva. Son equivalen-tes:

1. f es un homeomorfismo.

2. f es continua y abierta.

3. f es continua y cerrada.

Demostracion. Es trivial.

Definicion 1.25. Una aplicacion f : X → Y es un embebimiento si es unhomeomorfismo entre X y f(X).

Otra nocion que sera necesaria revisar antes de dar la definicion de com-pactificacion es la de densidad para subconjuntos de un espacio topologico.

Definicion 1.26. Sea X un espacio topologico. Un subconjunto Y ⊆ X sedice denso en X si Y = X.

Ahora podemos dar la definicion de compactificacion.


Definicion 1.27. Sea X un espacio topologico. Una compactificacion delespacio X es un par ordenado (X ′, h), donde X ′ es un espacio topologicocompacto, y h es un embebimiento de X en X ′ tal que h(X) es denso en X ′.

Por simplificacion, se dira que X ′ es una compactificacion de X. CuandoX ′ sea tambien Hausdorff se dira que X ′ es una compactificacion Haus-dorff de X.

Por otra parte, al ser X homeomorfo a su imagen h(X), se puede iden-tificar X con h(X) en el espacio X ′. Esto sera realmente util en capıtulosposteriores.

1.4. Espacio producto

Otro concepto topologico del que haremos uso en este trabajo es el espa-cio producto de un conjunto finito de espacios topologicos. En esta seccionintroduciremos la topologıa de este espacio y veremos algunas propiedadesque cumple este en funcion de si las cumplen o no los espacios que lo com-ponen.

Todas las definiciones y resultados que daremos aquı seran para el pro-ducto cartesiano de dos espacios topologicos para simplificar la notacion,pero se puede generalizar para el producto cartesiano de n espacios medianteinduccion de forma inmediata.

Empecemos con la definicion de la topologıa del espacio producto.

Definicion 1.28. Sean X e Y espacios topologicos. La topologıa produc-to sobre el producto cartesiano X × Y es la topologıa que tiene como basela coleccion B de todos los conjuntos de la forma U × V , donde U es unsubconjunto abierto de X y V es un subconjunto abierto de Y .

Otra caracterizacion de la topologıa producto que es mas practica es lasiguiente:

Teorema 1.29. Si B es una base para la topologıa de X y C es una basepara la topologıa de Y , entonces la coleccion

D = {B × C : B ∈ B y C ∈ C}


es una base para la topologıa producto sobre X × Y .


A continuacion, revisaremos las propiedades del espacio producto queantes mencionamos.

Teorema 1.30. Sean X, Y, Z espacios topologicos y sea f : X → Y ×Z dadapor f(x) = (f1(x), f2(x)) ∈ Y × Z. La aplicacion f es continua si y solo silas aplicaciones f1 : X → Y y f2 : X → Z son continuas.


Teorema 1.31 (Teorema de Tychonov). X × Y es un espacio compactosi y solo si X e Y son compactos.

Demostracion. Puede consultarse en [4, pag. 75].

Teorema 1.32. X × Y es un espacio Hausdorff si y solo si X e Y sonespacios Hausdorff.


Capıtulo 2

El axioma de eleccion

La teorıa de conjuntos se desarrolla principalmente a partir de los axio-mas de la teorıa de Zermelo-Fraenkel, abreviadamente ZF (se puede consultaruna descripcion detallada de estos axiomas en [8, pag. 1-12]). Los axiomas deZF junto con el axioma de eleccion (AC) forman la teorıa de ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice) que es generalmente tambien aceptada como una correctaformalizacion de aquellos principios que los matematicos aplican al tratarcon conjuntos. Sin embargo, es usual preguntarse si un teorema que ha sidoprobado en ZFC es tambien demostrable en ZF.

En capıtulos posteriores se hara uso en varias ocasiones del lema de Zornpara obtener resultados que seran utilizados en las demostraciones de losteoremas de Hindman y van der Waerden. En este capıtulo veremos que ellema de Zorn es equivalente al axioma de eleccion, por lo que en un principioparece ser que estos teoremas son demostrables solo en ZFC; no obstante, enla Seccion 5.4 veremos que sı es posible demostrarlos tambien en ZF.

Para probar la equivalencia entre el lema de Zorn y el axioma de eleccion,utilizaremos los numeros ordinales y la recursion transfinita, pero debido aque estos no son el tema central del capıtulo no profundizaremos en su estudio(para una descripcion mas detallada de ellos ver [8, pag. 12-22]). Con el fin deprobar esta equivalencia, empezaremos el capıtulo enunciando el axioma deeleccion, revisando algunas definiciones sobre orden y conjuntos ordenados,y enunciando asimismo el lema de Zorn. Acto seguido introduciremos losordinales y expondremos algunas de sus propiedades necesarias para despuesdemostrar la equivalencia en cuestion. Las fuentes utilizadas seran [8] y [9].

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Capıtulo 2. El axioma de eleccion 11

Definicion 2.1. Sea S familia de conjuntos no vacıos. Una funcion deeleccion sobre S es una funcion f : S → ∪S tal que f(X) ∈ X para todoX ∈ S.

Axioma de eleccion: Toda familia de conjuntos no vacıos tiene una funcionde eleccion.

Definicion 2.2. Una relacion binaria E sobre un conjunto P es un ordenparcial, o simplemente un orden, sobre P si:

1. pEp para todo p ∈ P ;

2. si pEq y qEr, entonces pEr;

3. si p 6= q y pEq, entonces no se tiene que qEp.

Se dice entonces que (P,E), o simplemente P , es un conjunto parcial-mente ordenado.

Definicion 2.3. Una relacion binaria E sobre un conjunto P es un ordentotal sobre P si es un una relacion de orden parcial y, para cada p, q ∈ P ,o bien pEq o bien qEp. En ese caso se dice que (P,E) es un conjuntototalmente ordenado.

Si (P,E) es un conjunto parcialmente ordenado y C ⊆ P , decimos que Ces una cadena si C esta totalmente ordenado por la relacion E.

Es usual, y ası lo haremos en lo que sigue, denotar la relacion E en unconjunto ordenado como ≤. En ese caso, escribimos x < y si x 6= y y x ≤ y.De este modo, si ≤ es un orden parcial (total) sobre un conjunto P , entoncesla relacion < se llama un orden parcial (total) estricto sobre P .

Definicion 2.4. Sea P un conjunto parcialmente ordenado. Si X es un sub-conjunto de P y a ∈ P se dice que

1. a es maximal (minimal) en X si a ∈ X y, para todo x ∈ X, se tieneque a 6< x (x 6< a);

2. a es un maximo (mınimo) de X si a ∈ X y, para todo x ∈ X, setiene que x ≤ a (a ≤ x);

3. a es una cota superior (cota inferior) de X si, para todo x ∈ X,se tiene que x ≤ a (a ≤ x).


Notese que si X esta totalmente ordenado por ≤, entonces un elementomaximal (minimal) en X es un maximo (mınimo) de X.

Lema de Zorn: Sea (P,≤) un conjunto parcialmente ordenado no vacıo.Si toda cadena en P tiene cota superior, entonces P posee algun elementomaximal.

Pasamos ahora a introducir los ordinales. Para ello, antes es necesario darla definicion de conjunto bien ordenado y de conjunto transitivo.

Definicion 2.5. Dada una relacion de orden total ≤ sobre un conjunto P ,se dice que ≤ es un buen orden si cada subconjunto no vacıo de P tiene unmınimo. En este caso se dice que (P,≤) es un conjunto bien ordenado.

Definicion 2.6. Si W es un conjunto bien ordenado y u ∈ W , diremos queSW (u) = {x ∈ W : x < u} es un segmento inicial de W (dado por u).

Definicion 2.7. Se dice que un conjunto T es transitivo si x ∈ T ⇒ x ⊆ T .

Definicion 2.8. Se dice que un conjunto es un numero ordinal, o simple-mente un ordinal, si es transitivo y esta bien ordenado (estrictamente) porla relacion: y < x si y solo si y ∈ x.

El conjunto vacıo es claramente un ordinal que denotaremos por 0. Asi-mismo, denotaremos a los ordinales con letras griegas minusculas α, β, γ, . . .La clase de todos los ordinales sera denotada por Ord.

Observacion 2.9. Por como esta definido el orden en un ordinal α, se sigueque, para cada x ∈ α, se tiene x = {y ∈ α : y < x}; es decir, x es el segmentoinicial Sα(x) del conjunto α.

Lema 2.10. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1. si α es un ordinal y β ∈ α, entonces β es un ordinal;

2. si α y β son ordinales y α ( β, entonces α ∈ β;

3. si α y β son ordinales, entonces α ⊆ β o β ⊆ α.

Demostracion. 1. Se tiene que β ⊆ α por la transitividad de α, luego βesta bien ordenado. Ademas, β = Sα(β) es transitivo, pues para cadax ∈ β, se tiene que x ∈ α, de donde se deduce x = Sα(x) ⊆ Sα(β) = β.


2. Si α ( β, entonces β \ α esta bien ordenado, luego existe el mınimo γde β \ α que es un ordinal por 1. Como α es transitivo, se debe tenerque α = Sβ(γ) = {ξ ∈ β : ξ < γ} = γ, lo que implica que α ∈ β.

3. Claramente γ := α ∩ β es un ordinal. Se debe tener que γ = α oγ = β, y ası se tiene el resultado; pues en otro caso se tendrıa por 2que γ ∈ α ∩ β = γ, lo que contradice la definicion de ordinal.

Observacion 2.11. Del lema anterior se siguen de forma inmediata lassiguientes propiedades:

1. < es un buen orden en Ord.

2. Para cada α ∈ Ord, α = {β : β < α}.

3. Si C es una clase no vacıa de ordinales, entonces ∩C es un ordinal y∩C = inf C.

4. Si X es un conjunto no vacıo de ordinales, entonces ∪X es un ordinaly ∪X = sup X.

5. Para cada α ∈ Ord, α+ 1 := α ∪ {α} es un ordinal y α+ 1 = inf{β :β > α}.

Notese que si C es una clase de ordinales, no tiene por que existir ∪C. Porejemplo, si existiese ∪Ord, se tendrıa que ∪Ord = sup(Ord) es un ordinal,pero entonces sup(Ord) + 1 ∈ Ord y Ord ∈ sup(Ord) + 1, lo que supone unacontradiccion. Esto significa que Ord no es un conjunto, pues no cumple elaxioma de regularidad de ZF .

Definicion 2.12. Si un ordinal α es de la forma α = β + 1, se dira que αes un ordinal sucesor. Si α no es un ordinal sucesor, se tendra entoncesque α = sup{β : β < α} =

⋃β<α β, y se dira que α es un ordinal lımite.

Con esta definicion se tiene 0 = ∅ = sup ∅ es un ordinal lımite. Ademas, sedefine a N como el menor ordinal lımite distinto de 0, y los ordinales menoresque N (pertenecientes a N) son de esta forma los numeros naturales, tambienllamados ordinales finitos. Veamos ahora que el proceso de induccion naturalse puede extender a todos los ordinales.


Teorema 2.13 (Induccion transfinita). Sea C una clase de ordinales ysupongamos que:

1. 0 ∈ C;

2. si α ∈ C, entonces α + 1 ∈ C;

3. si α es un ordinal lımite y β ∈ C para todo β < α, entonces α ∈ C.

Entonces C = Ord.

Demostracion. Supongamos por reduccion al absurdo que C 6= Ord, y sea αel menor ordinal tal que α /∈ C. Entonces α no puede ser un ordinal lımite por1 y 3. Luego α debe ser un ordinal sucesor, por lo que α = β + 1, con β ∈ Cpor hipotesis; pero entonces α ∈ C por 2 y llegamos a una contradiccion.

Pasamos a ver el teorema de recursion transfinita, para el cual es necesarioconsiderar la clase de todos los conjuntos que denotaremos por V .

Teorema 2.14 (Recursion transfinita). Sea G : V → V una funcion.Entonces existe una unica funcion F : Ord → V tal que F (α) = G(F |α)para cada α ∈ Ord. En otras palabras, si aα = F (α), entonces para cada α,aα = G((aξ : ξ < α)).

Demostracion. Definimos F (α) = x ⇔ existe una sucesion (aξ : ξ < α) talque:

1. ∀ξ < α, aξ = G((aη : η < ξ));

2. x = G((aξ : ξ < α)).

Para todo α, si existe una sucesion que satisface 1, entonces esta sucesion esunica. En efecto, si (aξ : ξ < α) y (bξ : ξ < α) son dos sucesiones satisfaciendo1, entonces por induccion transfinita sobre ξ, se obtiene que βξ = αξ paracada ξ < α. En consecuencia, F (α) esta determinada unıvocamente por 2,por lo que F es una funcion. Ademas, para todo α, es facil ver por inducciontransfinita que existe una sucesion satisfaciendo 1. Luego F esta definidapara todo α ∈ Ord y claramente cumple que F (α) = G(F |α). Ahora si F ′

es otra funcion en Ord que satisface F ′(α) = G(F ′|α), aplicando de nuevoinduccion sobre α se llega que F ′(α) = F (α) para todo α ∈ Ord.

Finalmente, vamos a demostrar el teorema principal del capıtulo.


Teorema 2.15. Axioma de eleccion ⇔ Lema de Zorn.

Demostracion. (⇒) Dado un conjunto parcialmente ordenado (P,≤) no vacıo,supongamos que toda cadena en P tiene una cota superior. Sea f unafuncion de eleccion sobre la familia de todos los subconjuntos no vacıosde P . Vamos a construir por recursion transfinita una sucesion estricta-mente creciente (aα)α<β de elementos de P y otra sucesion estrictamentedecreciente (Aα)α<β de subconjuntos de P , para algun ordinal β del si-guiente modo. Tomamos a0 ∈ P arbitrario y A0 = P . Ahora suponga-mos que ya hemos definido Aξ y aξ para todo ξ < α. Entonces definimosAα = {a ∈ P : aξ < a para todo ξ < α}; ademas, si Aα 6= ∅, elegimosaα = f(Aα).

La construccion se detendra entonces cuando, para algun ordinal α, el con-junto Aα sea vacıo. Veamos que en ese caso α debe ser un ordinal sucesor. Enefecto, si α es un ordinal lımite, como Cα = {aξ : ξ < α} es una cadena enP , existe por hipotesis a ∈ P tal que, para todo ξ < α, se tiene que aξ+1 ≤ ay, por consiguiente, aξ < a. Luego a ∈ Aα y Aα 6= ∅. Ası pues, sea θ + 1 elordinal sucesor para el cual Aθ+1 = ∅. Como (aα)α es estrictamente crecientepor construccion, se tiene que Aθ+1 = {a ∈ P : aθ < a} = ∅, lo que significaque aθ es un elemento maximal de P .

(⇐) Sea S una familia de conjuntos no vacıos, y sea

P = {f : f es una funcion de eleccion sobre algun Z ⊆ S}.

Si entendemos que una funcion f es formalmente igual al conjunto de pares{(x, f(x) : x ∈ dom(f)}, es claro que P esta parcialmente ordenado por larelacion de inclusion. Ahora sea C ⊆ P una cadena y sea C ′ = ∪C. ComoC esta totalmente ordenado, C ′ es una funcion de eleccion. En efecto, si(X, a) ∈ C ′, entonces (X, a) ∈ f para algun f ∈ C, por lo que C ′(X) =f(X) = a ∈ X debido a que f es una funcion de eleccion. Ademas, comodom(C ′) = ∪ dom(C) ⊆ S, se tiene que C ′ ∈ P y C ′ es una cota superior deC. Por el lema de Zorn, existe un elemento maximal g en P .

Finalmente, veamos que dom(g) = S. Supongamos por reduccion al absur-do que existe un X ∈ S tal que X /∈ dom(g), y sea a ∈ X. Entonces llamandoh = g ∪ (X, a), tenemos claramente que h ∈ P y g ⊂ h, lo cual contradice lamaximalidad de g. Por tanto, g es una funcion de eleccion sobre S.

Capıtulo 3

Semigrupos

Tanto en la demostracion del teorema de Hindman como en la del teoremade van der Waerden se trabajara en todo momento con semigrupos. Con-cretamente con una clase de semigrupos, los semigrupos topologicos por laizquierda Hausdorff compactos. Nuestro objetivo en este capıtulo es estudiartodas las propiedades de estos semigrupos que seran necesarias en dichasdemostraciones. Estas propiedades estan relacionadas mayoritariamente consus elementos idempotentes y sus ideales por la derecha minimales.

En la Seccion 3.1 se introduciran algunos conceptos basicos que seran utili-zados en las secciones siguientes. La seccion 3.2 estara dedicada a estudiar loselementos idempotentes y los ideales por la derecha minimales de un semi-grupo ordinario; ademas, tambien veremos ciertas propiedades de sus idealesbilateros minimales debido que seran utilizadas para dar una segunda de-mostracion del teorema de van der Waerden. Finalmente, en la Seccion 3.3nos centraremos en las propiedades exclusivas de los semigrupos topologicospor la izquierda Hausdorff compactos, y expondremos los dos resultados masimportantes de este capıtulo, el teorema de Auslander-Ellis y otro teoremaque se sigue de este. Los resultados que aquı se van a exponer se han obtenidode [7].

3.1. Semigrupos

Comencemos con la definicion de semigrupo y viendo algun ejemplo.

Definicion 3.1. Un semigrupo es un par (X, ∗), donde X es un conjunto

16

Capıtulo 3. Semigrupos 17

no vacıo y ∗ es una operacion binaria asociativa en X.

Recordemos que una operacion binaria enX es una funcion ∗ : X×X → X.Veamos ahora algunos ejemplos de semigrupos.

Ejemplo 3.2. Los siguientes pares son ejemplos de semigrupos.

1. (N,+).

2. (X, ∗), donde X es un conjunto no vacıo y x ∗ y = y, ∀x, y ∈ X.

3. (N,∨), donde x ∨ y = max{x, y}.

Definicion 3.3. Dado un semigrupo (X, ∗) y un subconjunto Y ⊆ X, sedice que Y es un subsemigrupo de X si es un semigrupo respecto de larestriccion de ∗ a Y . Esto equivale a que Y sea cerrado para la operacion ∗,es decir, para cualesquiera a, b ∈ Y , se satisface que a ∗ b ∈ Y .

Definicion 3.4. Sea (X, ∗) un semigrupo y sea a ∈ X. Se dice que

1. a es una identidad por la izquierda para X si a ∗ x = x para todox ∈ X.

2. a es una identidad por la derecha para X si x ∗ a = x para todox ∈ X.

3. a es una identidad para X si es una identidad por la izquierda y porla derecha.

Un semigrupo puede tener varias identidades por la derecha o varias iden-tidades por la izquierda. De hecho, en el semigrupo del Ejemplo 3.2(2), todoelemento es una identidad por la izquierda. Sin embargo, es facil ver que siun semigrupo tiene una identidad por la izquierda y una identidad por laderecha, ambas han de ser iguales. En particular, si un semigrupo posee unaidentidad, esta es unica, por lo que podemos llamarla la identidad del semi-grupo. Debido a ello, podemos definir los siguientes conceptos sin dar lugara confusion.

Definicion 3.5. Un monoide es un semigrupo (X, ∗) que posee elementoidentidad. Un subconjunto Y de X es un submonoide si es cerrado para laoperacion y ademas la identidad de X esta en Y .


Definicion 3.6. Sea (X, ∗) un monoide con identidad e ∈ X. Entonces sedice que:

1. El elemento c es un inverso por la izquierda de b si c ∗ b = e.

2. El elemento c es un inverso por la derecha de b si b ∗ c = e.

3. El elemento c es un inverso de b si c es un inverso por la derecha yun inverso por la izquierda de b.

Al igual que con las identidades, un elemento de un monoide puede tenermas de un inverso por la izquierda o mas de un inverso por la derecha. Pe-ro, si tiene un inverso por la derecha y un inverso por la izquierda, es facilver que ambos han de ser iguales. En particular, si un elemento tiene un in-verso, este es unico, por lo que podemos llamarle el inverso de dicho elemento.

A continuacion revisaremos la definicion de grupo debido a que sera utili-zada en alguna ocasion en este capıtulo.

Definicion 3.7. Un grupo es un monoide (X, ∗) tal que todo elemento deX tiene inverso.

Otra caracterizacion del concepto de grupo que nos sera de utilidad sesigue del siguiente lema:

Lema 3.8. Sea (X, ∗) un monoide con identidad e. Si todo elemento de Xtiene un inverso por la derecha, entonces (X, ∗) es un grupo.

Demostracion. Tenemos que ver que todo elemento de X tiene inverso. Paraello, dado a ∈ X, sea b un inverso por la derecha de a, y sea c un inverso porla derecha de b. Entonces

b ∗ a = (b ∗ a) ∗ e = (b ∗ a) ∗ (b ∗ c) = (b ∗ (a ∗ b)) ∗ c = (b ∗ e) ∗ c = b ∗ c = e

Luego, b es tambien un inverso por la izquierda de a y, por lo tanto, el inversode a.

3.2. Ideales minimales y elementos idempo-

tentes

Comencemos revisando la definicion de elemento idempotente para semi-grupos.


Definicion 3.9. Sea (X, ∗) un semigrupo. Se dice que un elemento a ∈ Xes idempotente si a ∗ a = a.

Con respecto a la notacion, a partir de ahora y en lo que resta de capıtu-lo, para cada semigrupo (X, ∗) que consideremos, se omitira hacer mencionexplıcita de su operacion ∗. De este modo, escribiremos ab en lugar de a ∗ b.Ası mismo, dados dos subconjuntos A,B de un semigrupo X, denotaremospor AB al conjunto {ab : a ∈ A y b ∈ B}. Utilizando esta notacion, intro-duzcamos los diferentes tipos de ideales de un semigrupo.

Definicion 3.10. Sea X un semigrupo. Se dice que:

1. Un subconjunto no vacıo L ⊆ X es un ideal por la izquierda de Xsi XL ⊆ L.

2. Un subconjunto no vacıo R ⊆ X es un ideal por la derecha de X siRX ⊆ R.

3. I es un ideal bilatero de X si es ideal por la izquierda y por la derechade X.

Habitualmente los ideales bilateros son llamados ideales, pero no haremosuso de esta denominacion para evitar confusiones.

Observacion 3.11. Dado un semigrupo X, es inmediato probar que todoideal, ya sea por la izquierda, por la derecha o bilatero, es un subsemigrupode X. El recıproco obviamente no es cierto, pues considerando, por ejemplo,el semigrupo (Z,+), se tiene que (N,+) es un subsemigrupo de (Z,+), perono es un ideal.

Pasamos a ver algunas propiedades relacionadas con los ideales y los ele-mentos idempotentes de un semigrupo.

Lema 3.12. Sea X un semigrupo.

1. Sea a ∈ X. Entonces aX es un ideal por la derecha, Xa es un ideal porla izquierda y XaX un ideal bilatero.

2. Sea e un idempotente en X. Entonces e es una identidad por la izquier-da para eX, una identidad por la derecha para Xe, y una identidad parael semigrupo eXe.


Demostracion.

1. aX es un ideal por la derecha, ya que (aX)X = a(XX) ⊆ aX. El restode las afirmaciones se demuestran de forma analoga.

2. Para ver que e es una identidad por la izquierda para eX, sea x ∈ eXy tomemos t ∈ X tal que x = et. Entonces ex = eet = et = x. Delmismo modo se prueban las demas afirmaciones.

Una nocion que sera de gran importancia en esta seccion y en el trabajoen general, es la de ideal por la derecha minimal. Decimos que un ideal de uncierto tipo es minimal si lo es con respecto a la relacion de inclusion dentrodel conjunto de los ideales de ese tipo. Veamos como estan relacionados todoslos ideales por la derecha minimales.

Teorema 3.13. Sea X un semigrupo, sea R un ideal por la derecha minimalde X, y sea A ⊆ X. Entonces A es un ideal por la derecha minimal de X siy solo si existe un a ∈ X tal que A = aR.

Demostracion. Supongamos que A es un ideal por la derecha minimal y to-memos a ∈ A. Por ser R ideal por la derecha, tenemos que RX ⊆ R y, porconsiguiente, aRX ⊆ aR, lo que significa que aR es un ideal por la dere-cha de X. Ası mismo, como tambien A es ideal por la derecha, se sigue queaR ⊆ aX ⊆ AX ⊆ A; por tanto, debido a la minimalidad de A, se llega aque A = aR.

Recıprocamente, supongamos que A = aR para algun a ∈ X. Por lo vistoen la implicacion recıproca, aR es un ideal por la derecha de X. Sea B unideal por la derecha arbitrario de X tal que B ⊆ aR. Veamos que B = aR,de donde se deduce que A es un ideal por la derecha minimal.

Para ello, consideremos el conjunto

P = {p ∈ R : ap ∈ B}.

Es evidente que P 6= ∅ y P ⊆ R. Dados p ∈ P y x ∈ X, como ap ∈ B, sesigue que apx ∈ B por ser B ideal por la derecha de X; ademas, se tiene quep ∈ R, luego px ∈ R. Por tanto, px ∈ P , lo que prueba que P es un ideal porla derecha de X. Entonces R = P por la minimalidad de R, lo que implicaque B = aR.


Como consecuencia se obtiene el siguiente corolario:

Corolario 3.14. Sea X un semigrupo. Si X tiene un ideal por la derechaminimal, entonces todo ideal por la derecha de X contiene un ideal por laderecha minimal.

Demostracion. Sea R un ideal por la derecha minimal de X, y sea A un idealpor la derecha de X. Tomando a ∈ A, es claro que aR ⊆ A, pues A es idealpor la derecha. Aplicando el teorema anterior, se tiene que aR es un idealpor la derecha minimal de X.

En cuanto a los ideales bilateros, se tiene lo siguiente:

Lema 3.15. Sea X un semigrupo y sea K un ideal bilatero minimal de X.Si I es un ideal bilatero de X, entonces K ⊆ I.

Demostracion. K∩I es no vacıo, ya que si k ∈ K y i ∈ I, entonces ki ∈ K∩I;ademas, es inmediato probar que es un ideal bilatero de X. Como K∩I ⊆ K,se tiene que K ∩ I = K y entonces K ⊆ I.

Del lema anterior se sigue que si un semigrupo tiene un un ideal bilaterominimal, este es unico. Por otra parte, observemos que la interseccion deideales por la derecha sı puede ser vacıa, por lo que puede existir mas de unideal por la derecha minimal.

Notacion 3.16. Sea X un semigrupo. Utilizaremos la siguiente notacion:

MX :=⋃{R ⊆ X : R es ideal por la derecha minimal de X}

Ademas, si X tiene un ideal bilatero minimal, lo denotaremos por K(X).

Notese que MX puede ser vacıo. En el siguiente teorema veremos que unacondicion suficiente para la existencia de K(X) es precisamente que MX seano vacıo. Ademas, si se cumple tal condicion, entonces MX = K(X). Parademostrar dicho teorema necesitamos un lema, el cual afirma que MX estacontenido en todo ideal bilatero.

Lema 3.17. Sea X un semigrupo y sea I un ideal bilatero de X. EntoncesMX ⊆ I.


Demostracion. Si MX es vacıo, esta contenido en cualquier subconjunto deX y se tiene el resultado. En caso contrario, sea x ∈ MX . Entonces existeun ideal por la derecha minimal R de X tal que x ∈ R. De eeste modo, paracualquier y ∈ I, se tiene que xy ∈ R∩ I, luego R∩ I 6= ∅ y es evidente que esun ideal por la derecha de X contenido en R. Por ser R minimal, R∩ I = R,lo que implica que x ∈ I.

Teorema 3.18. Sea X un semigrupo. Si X tiene un ideal por la derechaminimal, entonces K(X) existe y K(X) = MX .

Demostracion. Por hipotesis, MX 6= ∅. Ademas, MX esta contenido en todoideal bilatero de X por el lema anterior, por lo cual es suficiente probar queMX es un ideal bilatero de X.

Para ello, sea x ∈ X y r ∈MX . Tomemos un ideal por la derecha minimalR de X tal que r ∈ R. Entonces rx ∈ R ⊆ MX , lo que significa que MX esun ideal por la derecha. Ası mismo, por el Teorema 3.13, xR es un ideal porla derecha minimal de X, lo que implica que xr ∈ xR ⊆ MX , es decir, MX

es tambien un ideal por la izquierda de X.

A pesar de ello, muchos semigrupos comunes no tienen ideal bilatero mi-nimal y, por consiguiente, tampoco ideales por la derecha minimales. Porejemplo, el semigrupo (N,+), pues todo ideal bilatero de este semigrupo esde la forma mN para algun m ∈ N, y contiene a todo ideal bilatero lN con lmultiplo de m.

Una manera de caracterizar el ideal bilatero minimal y los ideales por laderecha minimales de un semigrupo es la siguiente:

Lema 3.19. Sea X un semigrupo.

1. Sea R un ideal por la derecha de X. Entonces R es minimal si y solosi aR = R para todo a ∈ R.

2. Sea I un ideal bilatero de X. Entonces I es el ideal bilatero minimal siy solo IaI = I para todo a ∈ I.

Demostracion. 1. Si R es minimal y a ∈ R, entonces aR es un ideal porla derecha de X y aR ⊆ aX ⊆ R, luego aR = R. Ahora supongamosque aR = R para todo a ∈ R, y sea S un ideal por la derecha deX tal que S ⊆ R. Entonces tomando cualquier a ∈ S, se tiene queR = aR ⊆ SR ⊆ S ⊆ R, por lo cual R = S.


2. Si I es el ideal bilatero minimal y a ∈ I, entonces IaI es claramenteun ideal bilatero de X, y IaI ⊆ XaI ⊆ II ⊆ I, luego IaI = I. Ahorasupongamos que IaI = I para todo a ∈ I, y sea J un ideal bilaterode X tal que J ⊆ I. Entonces tomando cualquier a ∈ J , se tiene queI = IaI ⊆ IJI ⊆ J ⊆ I, por lo cual I = J .

El siguiente lema sera utilizado para obtener otros resultados.

Lema 3.20. Sea X un semigrupo. Si R es un ideal por la derecha minimalde X que tiene un idempotente e, entonces eXe = Re y es un grupo conidentidad e.

Demostracion. Por ser R un ideal por la derecha, se tiene que eR ⊆ R.Ademas, como R es minimal, aplicando el Lema 3.19(a) se obtiene que eR =eX = R, de donde se deduce que Re = eXe. Ahora, por el Lema 3.12, setiene que e es una identidad para eXe y, por lo tanto, eXe es un monoide.Asimismo, dado a ∈ Re, como Re ⊆ R por ser R un ideal por la derecha,aplicando de nuevo el Lema 3.19(a) se obtiene que aR = R; por lo cual existeb ∈ R tal que ab = e. Ası pues, be ∈ Re y abe = ee = e, luego be es un inversopor la derecha de a. Finalmente, eXe es un grupo por el Lema 3.8.

Teorema 3.21. Sea X un semigrupo. Si existe un ideal por la derecha mi-nimal de X que posee un idempotente, entonces todo ideal por la derechaminimal de X tiene un idempotente.

Demostracion. Supongamos que existe un ideal por la derecha minimal R deX que tiene un idempotente e y sea A un ideal por la derecha minimal de X.Por el Teorema 3.13, existe a ∈ X tal que A = aR. Por otra parte, Re = eXees un grupo con identidad e segun el lema anterior, luego sea b = be el inversode eae en este grupo. Entonces ab ∈ aR = A y

abab = a(be)a(eb) = ab(eae)b = abe = ab,

lo que significa que ab es un idempotente de A.

Teorema 3.22. Sea X un semigrupo y sea A ⊆ X. Supongamos que existeun ideal por la derecha minimal de X que contiene un idempotente. EntoncesA es un ideal por la derecha minimal de X si y solo si existe un idempotentee ∈ K(X) tal que A = eX.


Demostracion. Supongamos que A es un ideal por la derecha minimal deX, y tomemos un ideal por la derecha minimal R de X que contiene unidempotente f , el cual existe por hipotesis. Por el Lema 3.20, Rf = fXf esun grupo con identidad f . Tomemos cualquier a ∈ A. Entonces faf ∈ fXf ,luego existe b = fbf ∈ fXf tal que (faf)b = f . De esta forma,

abab = a(fbf)a(bfb) = afb(fabf)b = afbff = a(fbf) = ab,

por lo que ab es un idempotente. Ademas, se tiene que ab ∈ A y, comoA ⊆ K(X) por el Teorema 3.18, ab ∈ K(X). Finalmente, abX es un idealpor la derecha de X contenido en A, luego A = abX.

Recıprocamente, supongamos que A = eX para algun idempotente e enK(X). Como K(X) = MX por el Teorema 3.18, existe un ideal por la derechaminimal S de X tal que e ∈ S. Ası, eX = A es un ideal por la derecha de Xcontenido en S, luego S = eX = A.

Teorema 3.23. Sea X un semigrupo y supongamos que existe un ideal por laderecha minimal de X que contiene un idempotente. Sea A un subsemigrupode X y supongamos que A tambien tiene un ideal por la derecha minimal conun idempotente. Si K(X) ∩ A 6= ∅, entonces K(A) = K(X) ∩ A.

Demostracion. En primer lugar, K(A) existe por el Teorema 3.18. Ademas,es evidente que K(X)∩A es un ideal bilatero de A, luego K(A) ⊆ K(X)∩A.

Para probar la inclusion contraria, sea z ∈ K(X)∩A arbitrario. EntonceszA es un ideal por la derecha de A; luego, por el Corolario 3.14 y el teoremaanterior, zA contiene un ideal por la derecha minimal eA de A para algunidempotente e ∈ K(A). Por otra parte, como z ∈ K(X) = MX , existe unideal por la derecha minimal R de X tal que z ∈ R. De esta manera, zX = Rpor el Lema 3.19(a), y e = ee ∈ eA ⊆ zA ⊆ zX = R; luego, utilizando denuevo la minimalidad de R se obtiene que R = eX. Ası pues, z ∈ eX y,debido a que e es una identidad por la izquierda para eX por el Lema 3.12,se sigue que z = ez ∈ eA ⊆ K(A).

Finalmente, es inmediato ver que el producto cartesiano de una familia desemigrupos es un semigrupo con la operacion coordenada a coordenada.

Proposicion 3.24. Sea (Xi)i∈I una familia de semigrupos y sea X =∏

i∈I Xi.Supongamos que, para cada i ∈ I, Xi tiene un ideal bilatero minimal. Enton-ces X tiene tambien un ideal bilatero minimal y K(X) =

∏i∈I K(Xi).


Demostracion. En primer lugar,∏

i∈I K(Xi) es un ideal de X, pues

X (∏i∈I

K(Xi))X =∏i∈I

(Xi K(Xi) Xi) ⊆∏i∈I

K(Xi).

Ahora sea −→u ∈∏

i∈I K(Xi). Entonces

(∏i∈I

K(Xi))−→u (

∏i∈I

K(Xi)) =∏i∈I

(K(Xi) ui K(Xi)) =∏i∈I

K(Xi).

En consecuencia, por el Lema 3.19, K(X) =∏

i∈I K(Xi).

3.3. Semigrupos topologicos por la izquierda

Hausdorff compactos

Si un semigrupo esta dotado de una topologıa, podemos estudiar la con-tinuidad de la operacion de este. En particular, fijando un elemento del se-migrupo, se puede estudiar la continuidad de la funcion de traslacion a laizquierda y a la derecha de un semigrupo en sı mismo, la cual pasamos adenotar.

Notacion 3.25. Sea X un semigrupo. Dado x ∈ X,

1. la traslacion a la izquierda que denotaremos por λx : X → X estadefinida por λx(y) = xy.

2. De manera analoga, la traslacion a la derecha que denotaremos porρx : X → X esta definida por ρx(y) = yx.

Definicion 3.26. Un semigrupo topologico por la izquierda es una terna(X, ∗, T ) donde (X, ∗) es un semigrupo, (X, T ) es un espacio topologico, ypara todo x ∈ X, la traslacion a la izquierda λx : X → X es continua.

A continuacion vamos a enunciar y demostrar dos teoremas que seranfundamentales en el 5.

Teorema 3.27 (Teorema de Auslander-Ellis). Sea X un semigrupo to-pologico por la izquierda Hausdorff compacto. Entonces X tiene un idempo-tente.


Demostracion. Sea

Z = {Z ⊆ X : Z 6= ∅, Z es compacto, y ZZ ⊆ Z}.

Es decir, Z es la familia de subsemigrupos compactos de X. Por el Teorema1.20, todo elemento de Z es tambien cerrado. Por otra parte, Z 6= ∅, puesX ∈ Z. Haciendo uso del lema de Zorn, probemos que Z tiene un elementominimal respecto a la relacion de inclusion. Para ello, tenemos que ver quetoda cadena de Z tiene una cota inferior.

En efecto, sea una cadena C ⊆ Z. Como C tiene la propiedad de la in-terseccion finita, y X es compacto, se tiene que ∩C 6= ∅ por el Teorema1.13. Ademas, Y := ∩C es cerrado por ser interseccion de cerrados y, porel Teorema 1.15, compacto. Asimismo, para todo Z ∈ C, se cumple queY Y ⊆ ZZ ⊆ Z, luego Y Y ⊆ ∩C = Y . En definitiva, ∩C ∈ Z y es evidente-mente una cota inferior de la cadena C.

Sea A un elemento minimal de Z y sea x ∈ A. Veamos que xx = x.Empecemos viendo que xA = A. Es evidente que xA 6= ∅. Ademas, comoxA = λx(A), xA es la imagen continua de un compacto, luego es compacto.Asimismo, se satisface que (xA)(xA) ⊆ x(AAA) ⊆ xA. Por tanto, xA ∈ Z.De este modo, como xA ⊆ AA ⊆ A, se debe cumplir que xA = A por laminimalidad de A.

Ahora consideremos el conjunto

B = {y ∈ A : xy = x}.

Como x ∈ A = xA, tenemos que B 6= ∅. Por otro lado, debido a que {x}es cerrado por el Corolario 1.21, λ−1x ({x}) es cerrado por la continuidad deλx; en consecuencia, al tenerse que B = A ∩ λ−1x ({x}), se sigue que B escerrado y, por consiguiente, compacto. Asimismo, dados y, z ∈ B, se cumpleque yz ∈ AA ⊆ A y xyz = xz = x, luego yz ∈ B y BB ⊆ B. Por lo tanto,B ∈ Z. Como B ⊆ A y A es minimal, llegamos a que B = A, por lo cualx ∈ B y entonces xx = x.

Teorema 3.28. Sea X un semigrupo topologico por la izquierda Hausdorffcompacto. Entonces todo ideal por la derecha de X contiene un ideal por laderecha minimal. Los ideales por la derecha minimales son compactos y cadaideal por la derecha minimal tiene un idempotente.


Demostracion. En primer lugar, veamos que todos los ideales por la derechaminimales de X son compactos. Para ello, sea R un ideal por la derechaminimal de X, y sea a ∈ R. Entonces aX = R por ser R un ideal por laderecha minimal, luego R = λa(X) es compacto por ser la imagen continuade un compacto.

Por otro lado, sea R ideal por la derecha minimal. Como acabamos de ver,R es compacto. Ademas, segun la Proposicion 1.19, R es tambien Hausdorff.Ası mismo, utilizando la Observacion 3.11, se sigue que R es un subsemigru-po Hausdorff compacto de X; por lo que aplicando el teorema anterior, Rtiene un idempotente.

Finalmente, para probar que todo ideal por la derecha de X contiene unideal por la derecha minimal, fijemos un ideal por la derecha A de X. Sea

Z = {R ⊆ A : R es un ideal por la derecha compacto de X}.

Dada una cadena C ⊆ Z, aplicando el mismo razonamiento que en la pruebadel teorema anterior, se llega a que Y := ∩C 6= ∅ y ∩C es compacto, para todoR ∈ C, se cumple que Y X ⊆ RX ⊆ R, luego Y X ⊆ ∩C = Y . En definitiva,∩C ∈ Z. Por el lema de Zorn, existe un elemento minimal R0 de Z. Tenemosahora que demostrar que R0 es un ideal por la derecha minimal. Para ello,sea S ⊆ R0 un ideal por la derecha, y tomemos a ∈ S. Entonces aX ∈ Z yaX ⊆ S ⊆ R0. Por la minimalidad de R0, se sigue que aX = S = R0.

En la seccion anterior dimos algunas proposiciones que tenıan como hipote-sis la existencia en un semigrupo de un ideal por la derecha minimal quecontuviera un elemente idempotente. Pues bien, gracias al teorema anterior,podemos aplicar todos esas proposiciones a los semigrupos topologicos porla izquierda Hausdorff compactos.

Capıtulo 4

El espacio de los ultrafiltrossobre un espacio discreto

Los ultrafiltros seran fundamentales en el Capıtulo 5, pues todos los resul-tados que se expondran en el se obtienen considerando el conjunto de todoslos ultrafiltros sobre N. Por esta razon, dedicaremos este capıtulo a introdu-cirlos y a exponer todos los resultados sobre ellos que seran necesarios en elcapıtulo siguiente.

Para poder hablar de ultrafiltros, primero hay que introducir el conceptode filtro, por lo que dedicaremos la Seccion 4.1 a ello, ası como a estudiarciertas propiedades de los filtros que nos seran de utilidad en las seccionesposteriores. En la Seccion 4.2 estudiaremos los ultrafiltros, sera importante ladistincion entre dos clases de ultrafiltros: los principales y los no principales;mientras la existencia de los primeros esta garantizada sobre todo conjunto ycada uno de ellos esta determinado por un elemento del conjunto, la existen-cia de los segundos no esta garantizada sobre todo conjunto y no es posibledefinirlos explıcitamente. Por ultimo, en la Seccion 4.3 aplicaremos todo lovisto en las secciones anteriores, y consideraremos el conjunto de todos losultrafiltros sobre un espacio topologico discreto D, para finalmente ver quedicho conjunto, con una topologıa asignada que definiremos, es una compac-tificacion Hausdorff de D. Los contenidos de este capıtulo estan basados enlas referencias [7], [8] y [16].

28

Capıtulo 4. El espacio de los ultrafiltros sobre un espacio discreto 29

4.1. Filtros

Un filtro sobre un conjunto X es una familia de subconjuntos de X quecumple ciertas propiedades. Utilizaremos la notacion P(X) para representara la familia de todos los subconjuntos de X. Empezaremos la seccion conla definicion de este concepto y viendo algunos ejemplos de filtros para darpaso a diversos resultados.

Definicion 4.1. Sea X un conjunto no vacıo y sea F ⊆ P(X). Se dice queF es un filtro sobre X si cumple las siguientes condiciones:

1. ∅ 6∈ F 6= ∅.

2. Si A,B ∈ F , entonces A ∩B ∈ F .

3. Si A ∈ F y A ⊆ B ∈ P(X), entonces B ∈ F .

Notese que P(X) no es un filtro sobre X, pues contiene a ∅. Es facil vertambien que si F es un filtro sobre X, entonces X ∈ F . Por otro lado, debidoa las condiciones 2 y 3 de la definicion anterior, se sigue de forma inmediatala siguiente observacion que sera de utilidad mas adelante.

Observacion 4.2. Dado F un filtro sobre X, entonces A,B ∈ F si y solosi A ∩B ∈ F para todo A,B ∈ P(X).

Ahora demos algunos ejemplos de filtros.

Ejemplo 4.3. Sea X un conjunto y sea A ⊆ X no vacıo. Entonces

FA := {B ⊆ X : A ⊆ B}

es un filtro sobre X, que se denomina filtro principal generado por A sobreX. En particular, FX = {X} es un filtro sobre X, llamado tambien filtrotrivial sobre X.

Cuando un filtro no sea de la forma del ejemplo anterior diremos que esno principal.

Tanto los filtros como los ultrafiltros, los cuales definiremos y estudiaremosproximamente, se pueden dividir en dos grandes grupos, los principales y losno principales. Veamos un ejemplo de estos ultimos.


Ejemplo 4.4. Si X es un conjunto infinito, la familia de subconjuntos

{A ⊆ X : X \ A es finito}

es un filtro sobre X, denominado filtro de Frechet sobre X.

Pasamos a estudiar algunas propiedades de los filtros.

Lema 4.5. Sea {Fi}i∈I una familia de filtros sobre X. Entonces la intersec-cion ∩

i∈IFi es un filtro sobre X.

Demostracion. Denotemos F ′ := ∩i∈IFi y comprobemos que cumple las pro-

piedades de la Definicion 4.1:

1. F ′ 6= ∅ debido a que X ∈ Fi, ∀i ∈ I. Ademas, ∅ 6∈ F ′, pues ∅ 6∈ Fi paracualquier i ∈ I.

2. Si A,B ∈ F ′, se tiene que A ∩ B ∈ Fi para todo i ∈ I. Por tanto,A ∩B ∈ F ′.

3. Si A ∈ F ′ y A ⊆ B, entonces B ∈ Fi para todo i ∈ I. Por consiguiente,B ∈ F ′.

En general, la union de filtros no es un filtro. Sin embargo, cuando lafamilia de filtros es una cadena con respecto al orden dado por la inclusion,su union si es un filtro, como veremos en el siguiente lema. A partir de ahora,cuando digamos que una familia de filtros es una cadena, sera con respectoa la relacion de orden dada por la inclusion.

Lema 4.6. Sea {Fi}i∈I una cadena de filtros sobre X. Entonces la union∪i∈IFi es un filtro sobre X.

Demostracion. Llamemos F ′ := ∪i∈IFi y veamos que cumple la definicionde filtro:

1. ∅ 6∈ F ′, ya que ∅ 6∈ Fi,∀i ∈ I.

2. Si A,B ∈ F ′, existen i, j ∈ I tal que A ∈ Fi y B ∈ Fj. Como Fi ⊆ Fjo viceversa, existe m ∈ {i, j} tal que A,B ∈ Fm. Luego A ∩B ∈ Fm yA ∩B ∈ F ′.


3. Si A ∈ F ′ y A ⊆ B, existe i ∈ I tal que A ∈ Fi. Por ello, B ∈ Fi yB ∈ F ′.

La propiedad de la interseccion finita (Definicion 1.12) es fundamental enla teorıa de Filtros. Es inmediato comprobar que todo filtro cumple estapropiedad. Ademas, existe una relacion entre las familias de conjuntos quecumplen dicha propiedad y los filtros, como vamos a ver en el siguiente lema:

Lema 4.7. Sea X un conjunto no vacıo y sea A ⊆ P(X) con la propiedadde la interseccion finita. Entonces existe un filtro F sobre X tal que A ⊆ F .

Demostracion. Consideremos la familia de subconjuntos

F = {B ⊆ X : ∃ A1, . . . , An ∈ A tal que A1 ∩ · · · ∩ An ⊆ B}.

Es claro que es no vacıo y cumple la condicion 3 de la definicion de filtro.La condicion 1 tambien la cumple, ya que al tener A la propiedad de la in-terseccion finita, para cualesquiera que sean A1, . . . , An ∈ A, se satisface queA1 ∩ · · · ∩ An 6= ∅, luego ∅ 6∈ F .

Veamos que satisface la condicion 2. Supongamos que B,B′ ∈ F . Entoncesexisten A1, . . . , An, A

′1, . . . , A

′m ∈ A de forma que A1 ∩ · · · ∩ An ⊆ B y

A′1 ∩ · · · ∩ A′n ⊆ B′. Como A1 ∩ · · · ∩ An ∩ A′1 ∩ · · · ∩ A′m ⊆ B ∩ B′, sesigue que B ∩B′ ∈ F .

4.2. Ultrafiltros

Comencemos introduciendo la nocion de ultrafiltro.

Definicion 4.8. Un filtro F sobre X es un ultrafiltro si ∀A ⊆ X, o bienA ∈ F o X \ A ∈ F .

Observese que esta ’o’ es exclusiva, pues si se tuviese que A,X \ A ∈ F ,se obtendrıa que A ∩ (X \ A) = ∅ ∈ F y esto no es posible por definicion.

Pasamos a dar un ejemplo de ultrafiltro.


Ejemplo 4.9. Sea X un conjunto. Para todo a ∈ X,

e(a) := {A ⊆ X : a ∈ A}

es un ultrafiltro, llamado ultrafiltro principal generado por a.

Es obvio que F{a} = e(a), pero utilizaremos la notacion dada en el ejem-plo anterior para poder diferenciar los ultrafiltros de los filtros que no sonultrafiltros, lo cual evitara confusiones en las secciones posteriores. Por otrolado, al igual que con los filtros, cuando un ultrafiltro no sea de este tipo sedira que es no principal.

Observemos la gran dificultad que existe para encontrar ultrafiltros noprincipales. En los siguientes ejemplos comprobamos que algunos ejemplosde filtros vistos antes no son ultrafiltros.

Ejemplo 4.10. Sea X un conjunto y sea A ⊆ X con mas de un elemento.Entonces FA no es un ultrafiltro, puesto que para cualquier x ∈ A, se tieneque x 6∈ FA y X \ {x} /∈ FA.

Ejemplo 4.11. Sea X un conjunto infinito. El filtro de Frechet (Ejemplo 4.4)no es un ultrafiltro. En efecto, denotando por F a dicho filtro, si tomamosA ⊆ X infinito tal que X \A es tambien infinito, tenemos que A,X \A 6∈ F .

Ahora se genera una cuestion:¿existen otros ultrafiltros sobre un conjuntoarbitrario X aparte de los principales? Intuitivamente parece que no. De he-cho, resulta imposible definir explıcitamente ultrafiltros no principales. Pero,mas adelante veremos que en todo conjunto infinito existen ultrafiltros noprincipales.

Por otra parte, una propiedad de los ultrafiltros que sera utilizada en lademostracion de los dos teoremas principales de este trabajo es la siguiente:

Lema 4.12. Sea U un ultrafiltro sobre X. Si A1 ∪ · · · ∪ An ∈ U , existe un ital que Ai ∈ U .

Demostracion. Procedamos por reduccion al absurdo. Supongamos que noexiste ningun i con Ai ∈ U . Entonces X \ A1, . . . , X \ An ∈ U . Como conse-cuencia, obtenemos que X \ (A1 ∪ · · · ∪An) = (X \A1)∩ · · · ∩ (X \An) ∈ Uy llegamos a una contradiccion.


Observacion 4.13. Notese que si en el enunciado anterior los A1 . . . Anfuesen disjuntos, existirıa un unico i cumpliendo la implicacion porque siexistiese otro j cumpliendola, se tendrıa que ∅ = Ai ∩ Aj ∈ U .

A continuacion definimos el concepto de maximal en cuanto a filtros serefiere. Como veremos en el Teorema 4.15, este concepto caracteriza a losultrafiltros.

Definicion 4.14. Se dice que un filtro F sobre X es maximal cuando esun elemento maximal del conjunto de los filtros sobre X en la relacion deorden dada por la inclusion. Es decir, si F ′ es un filtro arbitrario sobre X,F ⊆ F ′ implica que F = F ′.

Utilizando la definicion anterior, el siguiente teorema nos proporciona otradefinicion de ultrafiltro. Esta es utilizada en muchos libros para definirlosmientras la que hemos dado en el trabajo se presenta como un resultado.

Teorema 4.15. Un filtro F sobre X es un ultrafiltro si y solo si es maximal.

Demostracion. Supongamos que F es un ultrafiltro sobre X. Sea V un filtrocon F ⊆ V , supongamos por reduccion al absurdo que F 6= V . TomandoA ∈ V \F , por ser F ultrafiltro, tenemos que X \A ∈ F ⊆ V . Pero entoncesA ∩ (X \ A) = ∅ ∈ V , lo cual contradice que V sea filtro y prueba que F esmaximal.

Para probar el recıproco, procedamos de nuevo por reduccion al absurdo.Supongamos que F es maximal, pero no es un ultrafiltro. Entonces existeA ⊆ X tal que A,X \ A 6∈ F . Considerando la familia de subconjuntosF ′ = F ∪ {A}, veamos que F ′ tiene la propiedad de la interseccion finita.Si B ∈ F , se cumple que A ∩ B 6= ∅, ya que, en otro caso, se tendrıa queB ⊆ X \ A y X \ A ∈ F . De este modo, si B1, . . . , Bn ∈ F , tenemos queB1 ∩ · · · ∩Bn ∈ F y entonces A ∩B1 ∩ · · · ∩Bn 6= ∅. Aplicando el Lema 4.7,existe un filtro V de forma que F ′ ⊆ V . Desde luego, F ⊆ V . Pero, comoA ∈ V \ F , tenemos que F 6= V , lo cual es una contradiccion.

El siguiente teorema es fundamental para probar la existencia de ultrafil-tros no principales. Ademas, se usara en muchos de los resultados que vere-mos posteriormente debido a que es uno de los teoremas mas importantes encuanto a filtros se refiere. Se podrıa decir que es consecuencia del axioma deeleccion, ya que se hace uso del lema de Zorn para su demostracion.


Teorema 4.16 (Teorema del Ultrafiltro). Para todo filtro F sobre unconjunto X, existe un ultrafiltro U sobre X que lo contiene.

Demostracion. Sea

Γ = {G ⊆ P(X) : F ⊆ G y G es un filtro sobre X}.

Dada una cadena C ⊆ Γ, por el Lema 4.6, ∪C es un filtro y, en consecuen-cia, pertenecene a Γ. Debido a esto, ∪C es una cota superior de la cadena.Aplicando el lema de Zorn, obtenemos que Γ tiene un elemento maximal U .Por el Teorema 4.15, U es un ultrafiltro, con F ⊆ U .

Dado un conjunto X, en el Lema 4.7 vimos que toda familia de conjun-tos de X con la propiedad de la interseccion finita esta contenida en unfiltro; asimismo, como acabamos de ver en el teorema anterior, todo filtroesta contenido en un ultrafiltro. De esto se sigue de forma inmediata el si-guiente resultado, que tambien sera sumamente utilizado para probar otrosposteriores.

Corolario 4.17. Para toda familia de conjuntos de X con la propiedad dela interseccion finita, existe un ultrafiltro U sobre X que la contiene.

Observacion 4.18. Si U es un ultrafiltro sobre X y contiene un conjuntounipuntual, es decir, si {x} ∈ U para algun x ∈ X, entonces U es principal,pues se tiene que e(x) ⊆ U y, por ser e(x) ultrafiltro, e(x) = U .

En la siguiente proposicion veremos que sucede lo mismo si U contiene unconjunto finito.

Proposicion 4.19. Sea U un ultrafiltro no principal sobre X. Todo conjuntoA ∈ U es infinito.

Demostracion. Procedamos por reduccion al absurdo. Supongamos que exis-te un conjunto A ∈ U finito con n elementos, A = {a1, . . . , an}. Debido aque U es no principal, tenemos que {a1}, . . . , {an} 6∈ U y, como consecuencia,(X \ {a1}), . . . , (X \ {an}) ∈ U . Por ende,

X \ A = X \ {a1, . . . , an} = (X \ {a1}) ∩ · · · ∩ (X \ {an}) ∈ U

lo que supone una contradiccion.


Una consecuencia de este resultado es que los unicos ultrafiltros sobre unconjunto finito son los principales; por lo que si X es un conjunto con nelementos, existiran n ultrafiltros sobre X. Para conjuntos infinitos, esto noes ası, como se ve en la siguiente observacion.

Observacion 4.20. Si X es infinito y F el filtro de Frechet sobre X, apli-cando el Teorema del Ultrafiltro, se obtiene un ultrafiltro U ⊇ F no principalsobre X, pues X \{a} ∈ U , ya que X \{a} ∈ F para todo a ∈ X. De hecho elfiltro de Frechet es, como consecuencia del proximo teorema, la interseccionde los ultrafiltros que lo contienen, los cuales son no principales. De esto sesigue que existe mas de un ultrafiltro no principal sobre X.

Pasamos a ver otra relacion que existe entre filtros y ultrafiltros.

Teorema 4.21. Sea F un filtro sobre un conjunto X. Entonces F es lainterseccion de todos los ultrafiltros que lo contienen.

Demostracion. Sea

Γ = {U ⊆ P(X) : F ⊆ U y U es un ultrafiltro sobre X}.

Por el Teorema del Ultrafiltro, se tiene que Γ 6= ∅. Ademas, ∩Γ es un filtropor el Lema 4.5. Probemos que F = ∩Γ. Es claro que F ⊆ ∩Γ, pues F ⊆ Upara todo U ∈ Γ.

Ahora, supongamos por reduccion absurdo que F 6= ∩Γ. Entonces existeA ∈ ∩Γ con A 6∈ F . En consecuencia, para todo B ∈ F , tenemos queB 6⊆ A y, por consiguiente, B ∩ (X \ A) 6= ∅. Eso significa que F ∪ {X \ A}tiene la propiedad de la interseccion finita y, por el Corolario 4.17, existe unultrafiltro U que lo contiene. Debido a que evidentemente U ∈ Γ, se obtieneque ∩Γ ⊆ U . Por tanto, A ∈ U y llegamos a una contradiccion, dado quetambien X \ A ∈ U .

Corolario 4.22. Sea F un filtro sobre X. Si F esta contenido en un unicoultrafiltro, entonces F es un ultrafiltro.

Demostracion. Es consecuencia directa del teorema anterior.


4.3. βD

En este seccion fijaremos un conjunto D no vacıo que veremos tambiencomo un espacio topologico con la topologıa discreta. Vamos a considerarel conjunto de todos los ultrafiltros sobre D que denotaremos por βD, parafinalmente ver que βD es una compactificacion Hausdorff del espacio to-pologico D. Esto es un caso particular de una construccion mas general: laCompactificacion de Stone-Cech βX de un espacio topologico X (vease laseccion 3.3 de [7]).

Notacion 4.23.

1. βD = {U : U es un ultrafiltro sobre D}.

2. Dado A ⊆ D, denotamos A∗ = {U ∈ βD : A ∈ U}.

En primer lugar, vamos a ver algunas propiedades de los conjuntos A∗ quehemos definido, de las cuales deduciremos que la familia de todos los A∗, conA ⊆ D, es una base para una topologıa sobre βD.

Lema 4.24. Sean A,B ⊆ D. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1. (A ∩B)∗ = A∗ ∩B∗.

2. (A ∪B)∗ = A∗ ∪B∗.

3. βD = A∗ ∪ (D \ A)∗.

4. A∗ = ∅ si y solo si A = ∅.

5. A∗ = βD si y solo si A = D.

6. A∗ = B∗ si y solo si A = B.

Demostracion.

1. Si U ∈ (A ∩ B)∗, entonces A ∩ B ∈ U y, por ser U filtro, A,B ∈ U ; enconsecuencia, U ∈ A∗∩B∗, lo que implica que (A∩B)∗ ⊆ A∗∩B∗. Porotro lado , si U ∈ A∗∩B∗, se tiene que A,B ∈ U y, por la definicion defiltro, A ∩ B ∈ U ; por lo que U ∈ (A ∩ B)∗, y se satisface la inclusioncontraria.


2. Si U ∈ (A ∪ B)∗, entonces A ∪ B ∈ U . Segun el Lema 4.12, se debecumplir que A o B pertenecen a U ; es decir, U ∈ A∗ o U ∈ B∗, lo quesignifica que U ∈ A∗ ∪B∗. Por otra parte, si U ∈ A∗ ∪B∗, se tiene queA ∈ U o B ∈ U . Esto implica que A ∪ B ∈ U , de lo cual se sigue lainclusion contraria.

3. Es inmediato a partir de la definicion de ultrafiltro (Definicion 4.8).

4. Se sigue del hecho de que todo conjunto no vacıo pertenece a algunultrafiltro principal, y de que el conjunto vacıo no pertenece a ningunultrafiltro.

5. Es consecuencia de 3 y 4.

6. La necesidad se sigue de que un ultrafiltro principal e(x) ∈ A∗ (∈ B∗)si y solo si x ∈ A (∈ B). La suficiencia es obvia.

Proposicion 4.25. {A∗ : A ⊆ D} es una base para una topologıa sobre βD.

Demostracion. Veamos que cumple las condiciones de la Definicion 1.3. Lacondicion 1 la cumple debido a que βD = A∗∪(D\A)∗ para cualquier A ⊆ D.Ası mismo, como A∗ ∩B∗ = (A ∩B)∗, tambien cumple la condicion 2.

De aquı en adelante, βD tendra siempre asignada la topologıa generadapor esta base.

Observacion 4.26. Observemos que todo abierto basico A∗ es tambien ce-rrado en βD, ya que su complementario es otro abierto basico, concretamente(D \ A)∗ como vimos en el Lema 4.24(3).

Teorema 4.27. βD es un espacio topologico Hausdorff compacto.

Demostracion. Supongamos que U y V son elementos distintos de βD. SiA ∈ U \ V , entonces D \ A ∈ V . De este modo, A∗ y (D \ A)∗ son entor-nos abiertos disjuntos de U y V respectivamente. Por tanto, βD es Hausdorff.

Para probar que es compacto, procedamos por reduccion al absurdo. Su-pongamos que existe I ⊆ P(D) tal que {A∗ : A ∈ I} es un recubrimiento


abierto de βD, el cual no admite un subrecubrimiento finito. Consideremosla familia de subconjuntos

F = {D \ A : A ∈ I}.

Veamos que F posee la propiedad de la interseccion finita. Para ello, seaI ′ ⊆ I finito. Como

⋃A∈I′ A

∗ 6= βD, tenemos que⋃A∈I′ A 6= D por el Lema

4.24(2 y 5). Esto equivale a que⋂A∈I′ D \ A 6= ∅.

Ahora aplicando el Corolario 4.17, existe un ultrafiltro U sobre D quecontiene a F . Pero entonces U no esta en

⋃A∈I A

∗ debido a que D \ A ∈ Upara todo A ∈ I. Esto quiere decir que

⋃A∈I A

∗ 6= βD, lo cual es unacontradiccion.

Como cada elemento a ∈ D genera un ultrafiltro principal e(a) ∈ βD,podemos tratar a e como una funcion e : D → βD que asocia a cada elementode D el ultrafiltro que genera este. De esta forma, tenemos que si A ⊆ D,entonces su imagen es e(A) = {e(a) : a ∈ A}. Este conjunto es igual alconjunto de todos los ultrafiltros principales a los que pertenece A, es decir,e(A) = {U ∈ A∗ : U es principal}.

Observacion 4.28. Observemos que si A ⊆ D es finito, entonces e(A) = A∗

debido a la Proposicion 4.19.

Observacion 4.29. Es evidente que la funcion e es inyectiva, pues si a y bson elementos distintos de D, entonces {a} ∈ e(a) \ e(b) y e(a) 6= e(b).

Teorema 4.30. Para cada A ⊆ D, se cumple que e(A) = A∗. En particular,e(D) es denso en βD.

Demostracion. Como e(A) ⊆ A∗, tomando clausuras se sigue que e(A) ⊆A∗, pues A∗ es cerrado, como vimos en la Observacion 4.26. Para probar lainclusion contraria, sea U ∈ A∗. Si B∗ es un entorno abierto basico de U ,entonces A y B pertenecen a U , luego A∩B ∈ U . En particular, A∩B 6= ∅.Ahora tomamos cualquier a ∈ A ∩ B. Como e(a) ∈ e(A) ∩ B∗, se tiene quee(A) ∩ B∗ 6= ∅. Por tanto, U ∈ e(A) y se satisface la inclusion contraria. Elcaso particular se obtiene tomando A = D y aplicando el Lema 4.24(5).

Proposicion 4.31. Considerando D como un espacio topologico dotado dela topologıa discreta, (βD, e) es una compactificacion Hausdorff de D.


Demostracion. En primer lugar, veamos que e es un homeomorfismo de Den e(D). Es claro que e es continua, pues toda funcion de un espacio discretoen otro espacio topologico cualquiera es continua. Ası mismo, dado A ⊆ D,como e(A) =

⋃a∈A e(a) y, por lo visto en la Observacion 4.28, e(a) = {a}∗, se

tiene que e(A) es union de abiertos, luego es abierto. Ademas, e es inyectivacomo vimos en la Observacion 4.29.

Por lo que acabamos de ver, e es un embebimiento de D en βD. Ademas,e(D) es denso en βD segun el teorema anterior. En consecuencia, como βD esun espacio Hausdorff compacto por el Teorema 4.27, se tiene el resultado.

Como hemos mencionado al inicio de la seccion, esta compactificacion esla compactificacion de Stone-Cech de D, pero esto no sera objeto de estudioen este trabajo, puesto que no es influyente en la prueba de los teoremas masimportantes.

Capıtulo 5

Teorema de Hindman yteorema de van der Waerden

En este capıtulo, haciendo uso de todo lo que hemos visto en los capıtu-los anteriores, daremos una demostracion de los dos teoremas en los que secentra el trabajo, el teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden,los cuales forman parte de lo que se conoce como teorıa de Ramsey. El desa-rrollo de sus demostraciones se hara siguiendo la referencia [14] y anadiendoademas aportaciones del autor. En ambas demostraciones se dota de estruc-tura algebraica al conjunto de todos los ultrafiltros sobre N, βN, definiendouna suma que extiende la suma ordinaria en N. Es por ello que la primeraseccion de este capıtulo la dedicaremos a esto.

5.1. La suma de ultrafiltros en βNComo N es un espacio topologico discreto con la topologıa inducida, por

ejemplo, por la metrica euclıdea, βN es una compactificacion Hausdorff de N,como vimos en el capıtulo anterior. En esta seccion vamos a extender la sumade (N,+) a βN y veremos que βN con esta suma es un semigrupo topologicopor la izquierda Hausdorff compacto.

Empecemos definiendo una operacion de suma y resta entre los subcon-juntos y los elementos de N.

Definicion 5.1. Dado A ⊆ N y n ∈ N, definimos

A− n = {k ∈ N : k + n ∈ A},

40

Capıtulo 5. Teorema de Hindman y teorema de van der Waerden 41

A+ n = {k ∈ N : k − n ∈ A}.

Utilizando estas operaciones, pasamos a definir la suma de ultrafiltros enβN.

Definicion 5.2. Para U ,V ∈ βN, definimos la suma de ultrafiltros como

U + V = {A ⊆ N : {n ∈ N : A− n ∈ U} ∈ V}

En general no podemos afirmar que esta suma sea conmutativa. No obs-tante, veremos proximamente que si U o V es un ultrafiltro principal, sı secumple que U + V = V + U .

Veamos ahora que βN es cerrado bajo la operacion de suma, y ademas estasuma es asociativa.

Lema 5.3.

1. Para todo U ,V ∈ βN, U + V ∈ βN.

2. Para todo U ,V ,W ∈ βN, (U + V) +W = U + (V +W).

Demostracion.

1. En primer lugar, probemos que U + V es un filtro. Para ello, compro-bemos que cumple las condiciones de la Definicion 4.1.

a) Como ∅ − n = ∅ 6∈ U para todo n ∈ N, y ∅ 6∈ V , se satisface que∅ 6∈ U + V . Ademas, como N − n = N ∈ U para todo n ∈ N, yN ∈ V , se tiene que N ∈ U + V , luego U + V 6= ∅.

b) Supongamos que A,B ∈ U + V . Como

(A ∩B)− n = (A− n) ∩ (B − n)

para todo n ∈ N, se tiene que

{n ∈ N : (A ∩B)− n ∈ U} = {n ∈ N : (A− n) ∩ (B − n) ∈ U}

= {n ∈ N : A− n ∈ U} ∩ {n ∈ N : B − n ∈ U},donde la ultima igualdad se sigue de la Observacion 4.2. Ahorabien, dado que {n ∈ N : A − n ∈ U} y {n ∈ N : B − n ∈ U}pertenecen a V por hipotesis, su interseccion tambien pertenece aV . Por lo tanto, A ∩B ∈ U + V .


c) Supongamos que A ∈ U+V y A ⊆ B ∈ P(N). Entonces se cumpleque A − n ⊆ B − n para todo n ∈ N; por lo cual, si A − n ∈ U ,tambien se tiene que B − n ∈ U . En consecuencia,

{n ∈ N : A− n ∈ U} ⊆ {n ∈ N : B − n ∈ U}.

Debido a esto, como {n ∈ N : A − n ∈ U} ∈ V , se sigue que{n ∈ N : B − n ∈ U} ∈ V . Por lo tanto, B ∈ U + V .

Una vez visto que U+V es un filtro, comprobemos que es un ultrafiltro.Para ello, supongamos que A 6∈ U + V para algun A ⊆ N. Entonces{n ∈ N : A − n ∈ U} /∈ V , luego {n ∈ N : A − n /∈ U} ∈ V por ser Vun ultrafiltro. Ahora, como N \ (A − n) = (N \ A) − n, se sigue que,por ser U un ultrafiltro, {n ∈ N : (N \ A) − n ∈ U} ∈ V . Es decir,(N \ A) ∈ U + V .

2. Por definicion, A ∈ (U + V) +W significa que

{m ∈ N : A−m ∈ U + V} ∈ W ,

esto es,

{m ∈ N : {n ∈ N : (A−m)− n ∈ U} ∈ V} ∈ W ,

lo que equivale a

{m ∈ N : {n ∈ N : A− (m+ n) ∈ U} ∈ V} ∈ W .

Ahora si m ∈ N y llamamos

Bm = {n ∈ N : A− (m+ n) ∈ U},entonces Bm +m = {p ∈ N : p−m ∈ Bm}

= {p ∈ N : A− (m+ (p−m)) ∈ U}= {p ∈ N : A− p ∈ U},

luego Bm = {p ∈ N : A− p ∈ U} −m.

Por tanto, se tiene que

{m ∈ N : {n ∈ N : A− (m+ n) ∈ U} ∈ V} ∈ W


es equivalente a

{m ∈ N : {p ∈ N : A− p ∈ U} −m ∈ V} ∈ W ,

lo cual, a su vez, es equivalente a

{p ∈ N : A− p ∈ U} ∈ V +W .

Finalmente, debido a que esto ultimo significa que A ∈ U + (V +W),se tiene el resultado.

Como consecuencia de este lema, obtenemos que (βN,+) es un semigrupo,ya que la suma es una operacion binaria asociativa en βN. A partir de ahora,cuando digamos que βN es un semigrupo, se sobreentendera que su operaciones la suma que hemos definido.

Observacion 5.4. La suma de ultrafiltros principales de βN es un ultrafiltroprincipal. Es decir, dados m, k ∈ N, se cumple que e(m) + e(k) = e(m+ k).En efecto, debido a que {m+ k} − n ∈ e(m) si y solo si k=n, el conjunto

{n ∈ N : {m+ k} − n ∈ e(m)} = {k}.

Luego, como {k} ∈ e(k), se sigue que {m + k} ∈ e(m) + e(k). Dado quee(m+k) es el unico ultrafiltro que contiene a {m+k}, se cumple la igualdadque querıamos probar.

Esto significa que la suma de ultrafiltros en βN que hemos definido extien-de la suma suma ordinaria en N.

Por otra parte, como βN es un espacio topologico, podemos estudiar lacontinuidad de su operacion suma. En particular, vamos a ver que, fijandocualquier elemento en βN, la funcion de traslacion a la izquierda es continua.

Lema 5.5. Para todo U ∈ βN, la traslacion a la izquierda λU : βN → βNdada por λU(V) = U + V es continua.

Demostracion. Sea V ∈ βN y sea A∗ un entorno abierto basico de U + V .Si encontramos un entorno abierto basico B∗ de V tal que U + B∗ ⊆ A∗,habremos probado el resultado.


Tomamos B = {n ∈ N : A − n ∈ U}. Como A ∈ U + V , tenemos queB ∈ V , luego V ∈ B∗. Ahora, si V ′ ∈ B∗, entonces {n ∈ N : A−n ∈ U} ∈ V ′,lo cual significa que A ∈ U + V ′ y, por consiguiente, U + V ′ ∈ A∗. De estaforma hemos demostrado que U +B∗ ⊆ A∗.

Finalmente, esto que acabamos de ver, unido al hecho de que βN es Haus-dorff compacto como vimos en el capıtulo anterior, nos permite concluir queβN es un semigrupo topologico por la izquierda Hausdorff compacto.

Por otro lado, para U ∈ βN, la traslacion a la derecha no es en generalcontinua. Sin embargo, sı lo es cuando U es principal porque coincide con latraslacion a la izquierda, como vamos a ver en el siguiente lema.

Lema 5.6. Sean U ,V ∈ βN. Si U es un ultrafiltro principal y V es unultrafiltro cualquiera, entonces V + U = U + V.

Demostracion. Si U es principal, existe m ∈ N tal que U = e(m) = {m}∗.De este modo, se tiene que

V + {m}∗ = {A ⊆ N : {n ∈ N : A− n ∈ V} ∈ {m}∗}= {A ⊆ N : m ∈ {n ∈ N : A− n ∈ V}}= {A ⊆ N : A−m ∈ V}= {A ⊆ N : {n ∈ N : m+ n ∈ A} ∈ V}= {A ⊆ N : {n ∈ N : m ∈ A− n} ∈ V}= {A ⊆ N : {n ∈ N : A− n ∈ {m}∗} ∈ V}= {m}∗ + V .

Finalmente veremos que el conjunto de los ultrafiltros no principales sobreN, βN \ e(N), es un subsemigrupo de βN.

Lema 5.7. βN \ e(N) es un subsemigrupo Hausdorff compacto de βN. Enparticular, βN \ e(N) es un espacio topologico por la izquierda Hausdorffcompacto.

Demostracion. En primer lugar, observemos que βN \ e(N) es compacto. Es-to es debido a que, como e(N) es abierto por ser e una aplicacion abierta,se tiene que βN \ e(N) es cerrado y, en consecuencia, compacto. Asimismo,


βN \ e(N) es tambien Hausdorff por ser subespacio de un espacio Hausdorff.

Por otra parte, βN\e(N) es un subsemigrupo de βN. En efecto, sean U ,V ∈βN\e(N). Si k ∈ N, entonces {n ∈ N : {k}−n ∈ U} = ∅, ya que {k}−n tienea lo sumo un elemento y U es no principal; luego {n ∈ N : {k}−n ∈ U} /∈ V ,lo cual equivale a que {k} /∈ U + V . Por lo tanto, U + V /∈ {k}∗ para todok ∈ N, de donde se deduce que U + V /∈ e(N) =

⋃k∈N{k}∗.

Siguiendo un razonamiento similar al que hemos utilizado para ver queβN \ e(N) es un subsemigrupo de βN, se puede ver de manera inmediata queβN \ e(N) es, de hecho, un ideal bilatero de βN.

5.2. Teorema de Hindman

El teorema de Hindman afirma que para cualquier particion finita de N,existe una sucesion estrictamente creciente e infinita en N tal que las sumasfinitas de elementos distintos de esa sucesion pertenecen siempre al mismoelemento de la particion.

Este teorema aparecio en 1971 como una conjetura de Graham y Roths-child [5], pero fue en 1974 cuando N. Hindman dio una demostracion denaturaleza combinatoria del teorema que puede consultarse en [6]. Un anomas tarde, en 1975, Galvin y Glazer proporcionaron otra prueba de natura-leza topologica y algebraica, pero esta nunca fue publicada. Sin embargo, haaparecido en numerosos artıculos y libros, el primero de los cuales fue [3]. Lademostracion que daremos aquı se basa en esta ultima prueba.

Comenzaremos definiendo el conjunto de las sumas finitas de elementos deuna sucesion estrictamente creciente en N.

Notacion 5.8. Dada una sucesion estrictamente creciente (nk)∞k=0 en N,

denotamos

SF ((nk)∞k=0) =

{∑k∈F

nk : F ∈ P(N) y F es finito

}.

Observemos que las sumas finitas de elementos de la sucesion con terminosrepetidos, como por ejemplo n2 + n2 + n4, no se incluyen en la definicion de


este conjunto.

A continuacion, veremos un teorema a partir del cual se prueba de for-ma inmediata el teorema de Hindman. Este teorema asume la existenciade un ultrafiltro no principal idempotente sobre N. Aplicando el teoremade Auslander-Ellis (Teorema 3.27) a βN, existe un ultrafiltro idempotentesobre N; sin embargo, el ultrafiltro principal e(0) es idempotente, ya quee(0)+e(0) = e(0+0) por la Observacion 5.4; con lo cual esto no es suficientepara garantizar la existencia de dicho ultrafiltro no principal. No obstante,como vimos en el Lema 5.7, el conjunto de todos los ultrafiltros no principalessobre N, βN\e(N), es un subsemigrupo topologico por la izquierda Hausdorffcompacto de βN, por lo que podemos aplicarle el teorema de Auslander-Ellis.De este forma probamos la existencia de un ultrafiltro no principal idempo-tente U sobre N.

Teorema 5.9. Sea U un ultrafiltro no principal idempotente sobre N. En-tonces para todo A ∈ U , existe una sucesion estrictamente creciente (nk)

∞k=0

en N tal que SF ((nk)∞k=0) ⊆ A.

Demostracion. Para cada A ∈ U , definimos el conjunto

A′ = {n ∈ N : A− n ∈ U}.

Notemos que si A ∈ U , se tiene que A ∈ U + U y, por consiguiente A′ ∈ U .

Fijando un A ∈ U arbitrario y haciendo uso de lo anterior, construiremospor recursion una cadena decreciente de conjuntos A = A0 ⊆ A1 ⊆ A2 ⊆ · · ·con Ai ∈ U para todo i ≥ 0, y una sucesion n0 < n1 < n2 < · · · en N,de la siguiente forma. Elegimos n0 ∈ A0 ∩ A′0, el cual existe debido a queA0 ∩ A′0 6= ∅, pues A0 y A′0 pertenecen a U . Ahora supongamos que ya he-mos definido Ak ∈ U y nk−1. Entonces elegimos nk ∈ Ak ∩ A′k de modo quenk > nk−1; esta eleccion es posible porque todo conjunto perteneciente a unultrafiltro no principal es infinito, como vimos en la Proposicion 4.19. Asi-mismo, definimos Ak+1 = Ak ∩ (Ak − nk). Observemos que, como nk ∈ A′k,se sigue que Ak − nk ∈ U , de donde se deduce que Ak+1 ∈ U .

Veamos que la sucesion (nk)∞k=0 construida satisface la afirmacion del enun-

ciado. Para ello, tenemos que comprobar que si nk0 < nk1 < · · · < nkl es una

subsucesion finita de (nk)∞k=0, entonces

∑lj=0 nkj ∈ A. Esto lo haremos pro-

bando por induccion hacia abajo sobre i ≤ l que∑l

j=i nkj ∈ Aki para cada


i = 0, . . . , l. En primer lugar, se cumple que nkl ∈ Akl por definicion. Su-

pongamos ahora que∑l

j=i+1 nkj ∈ Aki+1para 0 ≤ i < l. Entonces, como

Aki+1⊆ Aki − nki , se cumple que

∑lj=i+1 nkj ∈ Aki − nki , lo cual equivale a∑l

j=i nkj ∈ Aki . Por lo tanto,∑l

j=0 nkj ∈ Ak0 ⊆ A.

Corolario 5.10 (Teorema de Hindman). Sea N =⋃ri=1Ai con los Ai dis-

juntos dos a dos. Entonces existe i ∈ {1, . . . , r} y una sucesion estrictamentecreciente (nk)

∞k=0 en N tal que SF ((nk)

∞k=0) ⊆ Ai.

Demostracion. Sea U un ultrafiltro no principal idempotente sobre N. Por elLema 4.12, existe i ∈ {1, . . . , r} tal que Ai ∈ U y el resultado se sigue delteorema anterior.

Observese que el teorema de Hindman tambien se cumple si los Ai delenunciado no son disjuntos, puesto que existirıa igualmente algun Ai perte-neciente a U por el Lema 4.12. Es decir, no es necesario que {Ai : i = 1, . . . , r}sea una particion, basta con que su union sea N.

5.3. Teorema de van der Waerden

El teorema de van der Waerden afirma que para cualquier particion finitade N, existe un elemento de la particion que contiene progresiones aritmeticasde longitud arbitraria.

Este teorema fue probado en 1927 por van der Waerden [15] utilizandounicamente resultados de combinatoria. Mas tarde, en 1989, Bergelson, Furs-tenberg, Hindman y Katznelson presentaron en [1] una prueba del teorema,utilizando resultados de topologıa y algebra, que es la que vamos a exponeraquı. Ademas, propondremos otra forma de demostrar el teorema que sim-plificara algunos razonamientos.

En dicha prueba se considera el producto cartesiano (βN)k =∏k

i=1 βN pa-ra algun entero k ≥ 1 fijo. Es inmediato ver que (βN)k es un semigrupo conla operacion definida coordenada a coordenada.

De este modo, dado−→U = (U1, . . . ,Uk) ∈ (βN)k, la funcion de traslacion a

la izquierda λ−→U : (βN)k → (βN)k esta definida por

λ−→U ((V1, . . . ,Vk)) = (λU1(V1), . . . , λUk(Vk)) = (U1 + V1, . . . ,Uk + Vk)


y es continua por el Teorema 1.30, puesto que cada λUi es continua. Asimismo,(βN)k es tambien un espacio Hausdorff compacto por el teorema de Tychonovy el Teorema 1.32. En definitiva, (βN)k es un semigrupo topologico por laizquierda Hausdorff compacto.

Observacion 5.11. Cabe destacar que para−→U = (U1, . . . ,Uk) ∈ (βN)k con

cada Ui principal, la traslacion a la derecha ρ−→U : (βN)k → (βN)k, definida deforma analoga a la traslacion izquierda, es continua debido a que cada ρUi escontinua, pues coincide con la traslacion izquierda λUi por el Lema 5.6.

Por otro lado, la aplicacion −→e : Nk → (e(N))k dada por

−→e (A1, . . . , Ak) = (e(A1), . . . , e(Ak))

es un homeomorfismo entre Nk y (e(N))k, pues aplicando de nuevo el Teore-ma 1.30, se sigue que −→e y (−→e )−1 son continuas; ademas, es inmediato verque (e(N))k es denso en (βN)k. De esto se deduce que (βN)k es una compac-tificacion de Nk.

Pasamos ahora a definir dos conjuntos sobre los cuales se basa esta pruebadel teorema de van der Waerden. A partir de ahora, para hacer la notacionmenos engorrosa, identificaremos el ultrafiltro principal e(n) con n, y a e(N)con N.

Notacion 5.12. Denotaremos

S = {(n, n+ d, n+ 2d, . . . , n+ (k − 1)d) : n ∈ N, d ∈ N},

I = {(n, n+ d, n+ 2d, . . . , n+ (k − 1)d) : n ∈ N, d ∈ N \ {0}}.

Notemos que S es un subsemigrupo de Nk y, por consiguiente, de (βN)k;ademas, I es un ideal bilatero de S. Veamos que se cumple lo mismo paralas clausuras de ambos conjuntos.

Lema 5.13. S es un subsemigrupo de (βN)k e I es un ideal bilatero de S.

Demostracion. Sea−→U ,−→V ∈ S. Si comprobamos que

−→U +

−→V ∈ S y que−→

U +−→V ∈ I si

−→U o

−→V esta en I, habremos probado el resultado.

Para comprobarlo, haremos uso del Teorema 1.5. Sea un entorno abierto

basico−→A∗ = A∗1 × · · · × A∗k de

−→U +

−→V . Por la continuidad de λ−→U , existe un


entorno abierto basico−→B∗ = B∗1 × · · · × B∗k de

−→V tal que

−→U +

−→B∗ ⊆

−→A∗;

ademas, como−→V ∈ S, existen naturales n y d (con d 6= 0 si

−→V ∈ I) tales que

−→x = (n, n+ d, . . . , n+ (k − 1)d)

esta en−→B∗. Luego, U +−→x ∈

−→A∗.

De la misma forma, por la continuidad de ρ−→x que se sigue de la Observacion

5.11, existe un entorno abierto basico−→C∗ = C∗1 × · · · × C∗k de

−→U tal que

−→C∗ + −→x ⊆

−→A∗; ademas, como

−→U ∈ S, existen naturales m y e (con e 6= 0 si

−→U ∈ I) tales que

−→y = (m,m+ e, . . . ,m+ (k − 1)e)

pertenece a−→C∗. En consecuencia,

−→y +−→x = (m+ n,m+ n+ (e+ d), . . . ,m+ n+ (k − 1)(e+ d))

pertenece a−→A∗, y como tambien pertenece a S, se tiene que

−→A∗ ∩ S 6= ∅.

Luego−→U +

−→V ∈ S. Ası mismo, si

−→U o

−→V pertenece a I, entonces e 6= 0 o

d 6= 0; por consiguiente, −→y + −→x ∈ I, luego−→A∗ ∩ I 6= ∅, de donde se deduce

que−→U +

−→V ∈ I.

Como S es compacta por ser cerrada, del lema anterior se sigue que S esun subsemigrupo topologico por la izquierda Hausdorff compacto de (βN)k.

Pasamos ahora a mostrar el teorema mas importante de esta seccion, apartir del cual se prueba de manera casi inmediata el teorema de van derWaerden, dando su demostracion de la forma en la que Bergelson, Fursten-berg, Hindman y Katznelson la dieron. Esta demostracion hace uso princi-palmente de ideales por la derecha minimales y elementos idempotentes. Conrespecto a la notacion, es menester recordar que, dado un semigrupo X, conMX denotamos la union de todos los ideales por la derecha minimales de X.

Teorema 5.14 (Bergelson, Furstenberg, Hindman, Katznelson). Sea

U ∈MβN y−→U = (U , . . . ,U) ∈ (βN)k. Entonces

−→U ∈ I.

Demostracion. En primer lugar, sea−→A∗ = A∗1 × · · · × A∗k un entorno abierto

basico de−→U . Entonces, como N es denso en βN y

⋂ki=1A

∗i es un abierto no


vacıo debido a que contiene−→U , existe n ∈ N tal que n ∈

⋂ki=1A

∗i . Llamando

−→n = (n, . . . , n) ∈ Nk, se tiene que −→n ∈ S y −→n ∈−→A∗, luego S ∩

−→A∗ 6= ∅. Por

el Teorema 1.5, se llega a que−→U ∈ S.

Por otra parte, claramente−→U + S es un ideal por la derecha de S y S es

un semigrupo topologico por la izquierda Hausdorff compacto por el lemaanterior. Luego, segun el Teorema 3.28, existe en S un ideal por la derecha

minimal K ⊆−→U + S, y un idempotente

−→W = (W1, . . . ,Wk) ∈ K. Podemos

entonces elegir−→V = (V1, . . . ,Vk) ∈ S tal que

−→U +

−→V =

−→W .

Veamos que−→U =

−→W +

−→U . Sea 1 ≤ i ≤ k, tenemos que probar que

U = Wi + U . Sabemos que U + Vi = Wi. Ahora tomemos un ideal porla derecha minimal R de βN tal que U ∈ R. Por ser R un ideal por la dere-cha, Wi ∈ R, luego Wi +βN ⊆ R y, por la minimalidad de R, Wi +βN = R.Por ello, existe Zi ∈ βN tal que Wi + Zi = U . En consecuencia, Wi + U =Wi +Wi + Zi =Wi + Zi = U .

De este modo,−→U =

−→W +

−→U ∈

−→W + S ⊆ K, ya que K es un ideal por la

derecha y−→W ∈ K. De esto se sigue que

−→U ∈ MS por ser K minimal. Como

I es un ideal bilatero de S debido al lema anterior, aplicando ahora el Lema

3.17, tenemos que MS ⊆ I. Por tanto,−→U ∈ I.

A continuacion vamos a ver que la demostracion se puede simplificar, uti-lizando un razonamiento distinto. En el capıtulo de semigrupos estudiamosvarias propiedades de los ideales bilateros minimales y el lector habra notadoque hasta ahora no han sido utilizadas. Pues bien, el motivo de su estudiose debe a que ahora daremos una demostracion diferente y mas directa delteorema anterior haciendo uso de estas propiedades. Recordemos que, dadoun semigrupo X, denotamos con K(X) el ideal bilatero minimal de X si esteexiste.

Otra demostracion del Teorema 5.14. Aplicando el mismo razonamiento que

en el principio de la demostracion original, se llega a que−→U ∈ S. Ahora

por el Corolario 3.28 y por el Teorema 3.18, se tiene que K(βN) existe yMβN = K(βN); ademas, K((βN)k) = (K(βN))k por la Proposicion 3.24. Deeste modo, como S es un subsemigrupo Hausdorff compacto de (βN)k por el

Lema 5.13 y (K(βN))k∩S 6= ∅ debido a que−→U pertenece a ambos conjuntos,


se sigue que K(S) existe por el Corolario 3.28 y K(S) = (K(βN))k ∩ S por

el Teorema 3.23. Luego−→U ∈ K(S) = MS, donde la igualdad se deduce de

nuevo del Teorema 3.18. Finalmente, aplicando el mismo razonamiento que

en el final de la demostracion original, se obtiene que−→U ∈ I.

Para finalizar, enunciemos formalmente y demostremos el teorema de vander Waerden utilizando todo lo que acabamos de ver.

Corolario 5.15 (Teorema de van der Waerden). Sea N =⋃ri=1Ai con

los Ai disjuntos dos a dos. Existe i ∈ {1, . . . , r} tal que, para cada enterok ≥ 1, existen n, d ∈ N, con d 6= 0, tales que {n, n+d, . . . , n+(k−1)d} ⊆ Ai.

Demostracion. Tomemos U ∈MβN, lo cual es posible debido a que MβN 6= ∅por el Teorema 3.28. Utilizando el Lema 4.12, existe i ∈ {1, . . . , r} tal queAi ∈ U . Llamemos A = Ai y sea un entero k ≥ 1 dado. Consideremos lovisto anteriormente para este k dado. Como vimos en el teorema anterior,−→U = (U , . . . ,U) ∈ I. Luego, I ∩ A∗ × · · · × A∗ 6= ∅, ya que A∗ × · · · × A∗ es

un entorno abierto de−→U . Podemos entonces tomar

−→x = (n, n+ d, n+ 2d, . . . , n+ (k − 1)d) ∈ I ∩ A∗ × · · · × A∗

para ciertos n, d ∈ N con d 6= 0. De esta forma,

{n, n+ d, n+ 2d, . . . , n+ (k − 1)d} ⊆ A.

Al igual que en el teorema de Hindman, es facil ver que el teorema de vander Waerden se satisface si los Ai del enunciado son no disjuntos.

5.4. Independencia del axioma del eleccion

Para probar el teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden hasido necesario utilizar el axioma de eleccion, en la forma del lema de Zorn,en varias ocasiones; lo que significa que las demostraciones que hemos dadode ambos son demostraciones en ZFC. Sin embargo, en esta seccion vamosa ver que estos teoremas son ciertos en ZF sin la necesidad del axioma deeleccion. Cabe destacar que no vamos a dar una nueva demostracion evitan-do el axioma de eleccion, sino que vamos a apelar a un resultado general de


logica que nos dice que si un teorema de cierta forma se puede demostrarusando el axioma de eleccion, entonces tambien se puede demostrar sin el; yvamos a probar que los teoremas de Hindman y van der Waerden son de esaforma. La teorıa que hay detras de este resultado de logica es de una grancomplejidad, y no es posible entrar en ella por falta de tiempo y de espacio.Es por ello que vamos a introducirla de una breve forma propuesta por lostutores sin entrar en detalles. Estas cuestiones se han tratado tambien en[10] de una forma mas detallada.

Empecemos describiendo algunos elementos basicos del lenguaje de la logi-ca que utilizaremos.

Las conectivas ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔: conjuncion, disyuncion, negacion, im-plicacion y doble implicacion, respectivamente.

Los cuantificadores existencial (∃) y universal (∀).

Las variables que seran denotadas por letras minusculas.

A continuacion daremos algunas definiciones necesarias.

Definicion 5.16. Una formula es aritmetica si cumple las siguientes pro-piedades:

1. Todos los cuantificadores son sobre los naturales. Es decir, cada vezque encontremos ∀ o ∃ debe aparecer en la forma ∀n ∈ N o ∃n ∈ N,pudiendo ser n un nombre cualquiera para una variable.

2. Ademas de cuantificadores, solo aparecen conectores logicos y relacionesaritmeticas elementales entre naturales como sumas, productos, igual-dades, desigualdades...

Ejemplo 5.17. La formula ”p es un numero primo” es una formula aritmeti-ca, pues puede escribirse como

∀n ∈ N ∀m ∈ N(n > 1 ∧m > 1)⇒ ¬(p = m · n)

La formula del ejemplo anterior diremos que es una formula aritmetica enla variable p, pues p es una variable libre en la formula, no esta afectada porningun cuantificador (como si lo estan n y m). De una formula sin variableslibres diremos que es una sentencia.


Definicion 5.18. Se dice que una formula es una sentencia Σ1n, con n ≥ 1,

si puede escribirse en la forma:

∃f1 : N→ N ∀f2 : N→ N ∃f3 : N→ N · · · fn : N→ N P,

con n cuantificadores ∃ y ∀ alternados empezando por ∃, donde P es unaformula aritmetica en las variables

f1(1), f1(2), f1(3) . . . , f2(1), f2(2), . . . , fn(1), fn(2), . . . .

Definicion 5.19. Se dice que una formula es una sentencia Π1n, con n ≥ 1,

si puede escribirse en la forma:

∀f1 : N→ N ∃f2 : N→ N ∀f3 : N→ N · · · fn : N→ N P,

con n cuantificadores ∃ y ∀ alternados empezando por ∀, donde P es unaformula aritmetica en las variables

f1(1), f1(2), f1(3) . . . , f2(1), f2(2), . . . , fn(1), fn(2), . . . .

Esto forma parte de la jerarquıa analıtica de formulas, o de la logica desegundo orden respecto a la aritmetica. El superındice 1 de la notacion Σ1

n (oΠ1n) viene de que hemos usado cuantificadores sobres funciones, 0 serıa para

cuantificadores sobre naturales (jerarquıa aritmetica), 2 para cuantificadoressobre funciones NN → N, etc.

La prueba de la no necesidad del axioma de eleccion para demostrar losteoremas centrales del trabajo se basa en el teorema de absoluticidad deShoenfield (ver [13]). Aquı utilizaremos un resultado que es consecuencia deeste teorema. La forma en que se suele encontrar este resultado es difıcil decomprender para los no expertos, y esta mas alla de las posibilidades de es-te trabajo explicarlo, como hemos mencionado antes. Se puede encontrar enesta forma en [2, pag. 39]. La forma en la que lo presentaremos aquı serıa uncorolario inmediato del teorema de Shoenfield para quien este familiarizadocon nociones como el universo constructible, submodelos internos, absoluti-cidad y otros, forma parte del folklore del campo. En esta forma se puedeencontrar en [11, pag. 28].

Teorema 5.20 (Shoenfield). Si una sentencia Σ13 puede demostrarse en

ZFC, entonces tambien puede demostrarse en ZF.


Teorema 5.21. El teorema de Hindman es una sentencia Σ13.

Demostracion. En las condiciones de la Definicion 5.18, obviamos f1 porqueno nos hace falta, codificamos con f2 la particion para que sea de la formaN =

⋃∞i=1 f

−12 (i), y con f3 el elemento de la particion f3(0) y la subsucesion

f3(1), f3(2), . . . para los que se cumple el teorema. De esta forma, el teoremade Hindman equivale a

∃f1 : N→ N ∀f2 : N→ N ∃f3 : N→ N P,

siendo P

(∀p ∀q 0 < p < q ⇒ f3(p) < f3(q)) ∧ (∀u∃v v > u, f2(v) = f3(0)) ∧

((∃n∀m f2(m) < n)⇒ ∀i ∀j ∀r ∀s ∀t [(i 6= 0, f3(i) = r)∧(j 6= 0, f3(j) = s)∧

f2(r) = f2(s) = f3(0) ∧ r < s ∧ r + s = t]⇒ f2(t) = f3(0)),

donde todos los cuantificadores ∀ y ∃ son sobre variables en los numerosnaturales, aunque no se escriba.

El hecho de que hayamos podido prescindir de f nos dice que el Teoremade Hindman es de hecho una sentencia Π1

2.

Corolario 5.22. El teorema de Hindman puede demostrarse en ZF.

Demostracion. Es consecuencia directa del teorema anterior y el Teorema5.20.

Teorema 5.23. El teorema de van der Waerden es una sentencia Σ13.

Demostracion. En las condiciones de la Definicion 5.18, obviamos f1 y f3porque no nos hacen falta, y codificamos con f2 la particion para que sea dela forma N =

⋃∞i=1 f

−12 (i). De esta manera, el teorema de van der Waerden

es equivalente a

∃f1 : N→ N ∀f2 : N→ N ∃f3 : N→ N P,

siendo P

(∃r ∀s f2(s) < r)⇒∃i ∀k ∃n∃d [i < r ∧ d 6= 0 ∧ (∀l ∀m (l < k ∧ n+ d · l = m)⇒ f2(m) = i)],

donde r representa el numero de elementos de la particion, i representa elcorrespondiente elemento de la particion, k representa la longitud de lassucesiones aritmeticas, d la razon y n el inicio.


En este caso, el hecho de que hayamos podido prescindir de f y de h quieredecir que el Teorema de van der Waerden es realmente una sentencia Π1

1.

Corolario 5.24. El teorema de van der Waerden puede demostrarse en ZF.

Demostracion. Se sigue del teorema anterior y del Teorema 5.20.

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el teorema de hindman y el teorema de van ......el teorema de hindman a rma que para cualquier...

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