ELEC-C1110 AUTOMAATIO- JA SYSTEEMITEKNIIKAN PERUSTEET

Opetusmoniste

Arto Visala

Aarne Halme

ALKUSANAT

Tämä materiaali on kursseille AS-84.1128 Automaatio- ja säätötekniikan perusteet ja AS-84.1132 Automaatio- ja

säätötekniikka tehty opetusmoniste. Tämä toimii ELEC-C1110 Automaatio- ja systeemitekniikan perusteet -kurssin

oheismateriaalina. Sisältö uudella kurssilla ei ole aivan sama kuin vanhoilla. Kurssin MyCourses-sivulla Materiaalit-

kohdassa on tiedosto (kurssin aiheet), jossa mainitaan, mitkä luennot liittyvät mihinkin osaan opetusmonisteesta.

1

SISÄLLYSLUETTELO 1. JOHDANTO

1.1 Mitä automaatio on? 1.2 Automaatiolle asetettavat yleiset tavoitteet 1.3 Automaation teknistaloudellinen hyöty 1.4 Automaation lyhyt historia 1.5 Automaation teoreettiset perusteet 1.6 Automaation poikkitekninen luonne 1.7 Automaation laajentuminen teollisuuden ulkopuolelle

2. TIETOKONEPERUSTEINEN AUTOMAATIO TEKNISENÄ JÄRJESTELMÄNÄ

2.1 Toimintotasot 2.2 Laitteiston järjestelmärakenne 2.3 Ohjelmiston arkkitehtuuri

3. DYNAMIIKAN MERKITYS AUTOMAATIOSSA

3.1 Ohjaus dynaamisessa tilassa 3.2 Siirtofunktion käsite

4. PROSESSIEN JA KONEIDEN INSTRUMENTOINTI

4.1 Instrumentoinnin merkitseminen 4.2 Anturit 4.3 Toimilaitteet 4.4 Tietokoneliitännät 4.5 Näytteenoton vaikutus

5. OHJAUS JA SÄÄTÖTOIMINNOT

5.1 Binäärilogiikka (ohjelmoitavat logiikat) 5.2 Sumea logiikka (Fuzzy Logic) 5.3. Säädöt 5.4. Dynaamisten järjestelmien mallit

1 Dynaamiset järjestelmät 2 Signaalien kausaalisuus ja lohkokaaviot 3 Siirtofunktiomallit 4 Tilaesitys 5 Epälineaarisen järjestelmän linearisointi

5.5. Dynaamisten järjestelmien ominaisuudet 1 Stabiilisuus 2 Navat & nollat ja askelvasteen karakterisointi 3 Taajuusvasteen karakterisointi

5.6. Säätäjien suunnittelu 1 Kompensaattorit ja säätäjät 2 Säätäjätyypit 3 Suunnittelu juuriuran avulla 4 Suunnittelu taajuustasossa 5 Monimuuttujasäätäjät

5.7 Ohjausten ja säätöjen toteutus ohjelmistossa 6. AUTOMAATIOJÄRJESTELMÄ TIETOJÄRJESTELMÄNÄ

6.1 Arkkitehtuurit ja systeemirakenteet 6.2 Käyttöjärjestelmät 6.3 Sovellutusohjelmisto

2

1. JOHDANTO 1.1 Mitä automaatio on? Automaatio tulee kreikan kielen sanasta “automatos”, joka tarkoittaa itsetoimivaa. Automaatiolla tarkoitetaan yleisesti toimintaa, joka tapahtuu ilman ihmisen suoranaista myötävaikutusta. Tekniikassa automaatio tai automatisointi liittyy yleensä jatkovaiheena mekanisointiin, jolla ymmärretään toimintojen suorittamista koneellisia apuvälineitä käyttäen. Esimerkiksi vanhanaikaisen kirjoituskoneen käyttö mekanisoi kirjoittamisen, kun PC:n ja sanojenkäsittelyjärjestelmän käyttö automatisoi sen monelta osin. Automatisointi ei ulotu kuitenkaan koko kirjoitusprosessiin - tilanne, joka on varsin usein yleistettävissä myös muihin toimintoihin. Automatisointi on usein miten ainoastaan väline toteuttaa tietty toiminto tehokkaammin, nopeammin tai laadullisesti paremmin. Tämä opintojakso keskittyy teollisuusautomaatioon ja sen menetelmiin. Teollisuusautomaation käsitteen määrittely lähtee automaation käsitteestä:

AUTOMAATIO = Koneiden ja laitteiden toimintaa ilman ihmisen suoranaista vaikutusta

Oleellista edellä on suoranaista - sana. On nykyisin varsin epätavallista ja tulevaisuudessakin harvinaista, että koneet ja laitteet suunnitellaan toimimaan täysin ilman ihmistä. Yleensä ihminen vähintään valvoo niiden toimintaa ja tavallisimmin myös vaikuttaa siihen. Automaatio esiintyy siten teknisissä ratkaisuissa eri asteisena. Teollisuusautomaatiolla tarkoitetaan

• teollisuuden tuotantoprosessien • energiahuollon tuotantoprosessien ja jakelujärjestelmien

sekä yksittäisten tuotannollisessa tai vastaavassa toiminnassa käytettävien

• koneiden ja laitteiden toiminnan

• valvontaa • ohjausta • optimointia ohjausteknisin menetelmin

sekä tarvittavien automaatiolaitteiden ja -järjestelmien kehitystä ja valmistusta.

3

Teollisuuden tuotantoprosessit jaetaan kahteen pääryhmään: • jatkuvan tuotannon eli prosessiteollisuuden prosessit • kappaletavarateollisuuden prosessit

Tärkeimmät prosessiteollisuuden alat ovat:

• puunjalostus • kemian teollisuus • kaivosteollisuus • metallien perusteollisuus • elintarviketeollisuus

Tärkeimmät kappaletavarateollisuuden alat ovat vastaavasti:

• konepajateollisuus • sähkö- ja elektroniikkateollisuus • mekaaninen puunjalostus • tekstiiliteollisuus • graafinen teollisuus

Energiahuollon prosessit ja laitteistot sisältävät:

• sähkö- ja lämpölaitokset • sähkön jakelujärjestelmät • lämpö- ja kaasuverkostot • öljyntuotantolaitteistot • energian paikalliseen käyttöön liittyvät järjestelmät

Yksittäiset koneet ja laitteet muodostavat laajan ryhmän. Esimerkkejä ovat

• työstö- ja työkoneet teollisuudessa • yksittäislaitteet prosessiteollisuudessa, kuten kuljettimet, varastosäiliöt,

jauhimet, reaktorit jne. • rakennus- ja maataloustyökoneet • kaivostyökoneet • liikennevälineet • asejärjestelmät • avaruuslaitteet

Automaation ohella puhutaan mekatroniikasta, jolla tarkoitetaan koneiden ja laitteiden yhteensulautettua mekaanista sekä elektronista ja tietoteknistä suunnittelua ja toteutusta. Mekatronisia koneita ja laitteita on totuttu näkemään kulutustavaroiden massahyödykkeissä (esimerkiksi cd-soitin, videokamera, jne.). Ne ovat kuitenkin enenevässä määrin tulossa myös teollisuuden piiriin. Seuraavissa kuvissa on esitetty muutamia havainnollisia esimerkkejä automaatiosta teollisuudessa em. osa-alueisiin liittyen. Automaation merkitys on nykyisin varsin keskeinen tuotannon tai tuotteiden kilpailukyvyn kannalta Suomessa. Lisäksi automaation järjestelmä- ja laitetekniikka muodostavat huomattavan tekijän sähkö-, elektroniikka- ja informaatioteollisuuden viennissä.

4

KUVA 1 Erään pitkälle automatisoidun voimalaitoksen valvomo (Meripori). Kuva saattaisi olla myös prosessiteollisuuden valvomosta.

KUVA 2. Kappaletavaratuotannossa, tyypillisesti konepajoissa, käytetään valmistuksessa nykyisin joustavia tuotantosoluja ja –järjestelmiä, jotka ovat pitkälle automatisoituja. Kuvassa eräs koneenosia valmistava joustava tuotantosolu (Valmet Oy), jossa automaattiset työkoneet on ryhmitelty keskusvaraston ympärille. Valmistettavat osat kulkevat työkoneilta toiselle ja varastoon paleteilla.

5

KUVA 3. Kuvassa maanalaisessa kaivostoiminnassa käytetty malminkuljetuskone (Sandvik-Tamrock Oy). Koneesta on olemassa versio, joka on tietokoneistettu ja siirretty kauko-ohjaukseen maan päältä. Erityisesti työtehtävissä, joissa tapaturmariskit ovat suuria tai työolosuhteet ihmiselle epäterveellisiä, voidaan työkoneita automatisoimalla saavuttaa huomattavia etuja. Automaation kohde voi olla käytännössä hyvin monenlainen tekninen kone, prosessi tai järjestelmä. Automaation yleisistä ominaisuuksista puhuttaessa kohdetta ei tarvitse useinkaan määritellä tarkemmin. Tällöin on tapana puhua yleisesti (kohde)prosessista, jolla siis ei tarkoiteta tässä tapauksessa prosessiteollisuuteen liittyvää tuotantoprosessia. 1.2 Automaatiolle asetettavat yleiset tavoitteet Pitkälle viety automaatio saattaa olla joissakin teknisissä ratkaisuissa välttämätön toiminnan kannalta. Useimmissa tapauksissa sillä pyritään kuitenkin parantamaan kohdeprosessin ominaisuuksia, kuten

• käytön joustavuutta • taloudellisuutta • tuotteiden laatua • käyttöturvallisuutta

Lisäksi automaatiolla voidaan usein edistää tuotantoon liittyviä ympäristötekijöitä:

• työympäristön viihtyisyyttä • prosessien ympäristövaikutusten valvontaa ja vähentämistä

Tietyn asteinen automaatio on useimmiten välttämätöntä

• prosessien tai laitteiden toimivuuden kannalta • jotta käytettävyys täyttäisi minimivaatimukset

Automaation syvyyttä kuvattaessa puhutaan sen asteesta eli automaatioasteesta. Automaatioastetta on vaikea määritellä yksiselitteisesti yleisellä tasolla. Kuitenkin voidaan todeta seuraavaa:

6

• Matalan automaatioasteen järjestelmille on ominaista se, että ihmisen osuus

ohjaus-toiminnoissa on suuri yksittäisten toimintojen tasolla. • korkean automaatioasteen järjestelmissä ihmisen osuus keskittyy valvontaan

ja kokonaisvaltaisten tehtävätyyppisten ohjaustoimintojen antoon. Saman prosessin kahta eri automaatioratkaisua voidaan verrata automaatioasteen osalta suhteellisen helposti. Sen sijaan kahden eri prosessin automaatioratkaisuiden vertaaminen on vaikeaa, koska prosessien toiminnat saattavat erota huomattavasti. Pyrkiminen mahdollisimman korkeaan automaatioasteeseen ei ole teknologinen itsetarkoitus, vaan lähtökohdan muodostaa yleensä teknis-taloudellinen tarkastelu.

1.3 Automaation teknistaloudellinen hyöty Tyypillisen tuotantoprosessin toimivuus vaatii nykyisin yleensä tietyn minimiautomaation, jonka kustannus on osa prosessin suunnittelu- ja rakennuskustannuksia. Minimiautomaation taso määräytyy usein ns. yleisen käytännön ja vallitsevan teknologiatason mukaan. Minimiautomaation astetta voidaan usein nostaa optionaalisella osalla, jonka kustannus joudutaan kuitenkin perustelemaan tuottolaskelmilla. Automaation taloudellinen tuotto voi tyypillisesti kertyä

• parantuneesta laadusta • energian ja raaka-aineiden säästöstä • tuotteiden läpimenoaikojen lyhennyksistä • materiaalien varastokiertojen lyhennyksistä • työvoimakustannusten säästöistä • koneiden ja laitteiden parantuneesta suorituskyvystä ja käyttövarmuudesta

sekä sitä kautta parantuneesta kilpailukyvystä 1.4 Automaation lyhyt historia Automaation historia ulottuu pitkälle ihmiskunnan teknologisen kehityksen historiaan. Automaattisia toimintoja keksittiin ja kehitettiin jo vanhoissa assyrialaisissa ja egyptiläisissä kulttuureissa. Kohteena olivat eräät aikaa mittaavat laitteet (vesikello) ja kastelujärjestelmät. Näissä ns. takaisinkytkennän ideaa, joka tulee myöhemmin tarkemmin esille, hyödynnettiin jo hyvin varhain lähinnä parantamaan toimivuutta ja vähentämään ihmistyön tarvetta. Keskiajalla kehitettiin useita vastaavia sovelluksia. Teollisuusautomaation kehitys sai alkunsa kuitenkin vasta 1700-luvulla ja se liittyi kiinteästi teolliseen vallankumoukseen sekä sen perustalla olevan uuden teknologian syntyyn. Voidaan mainita kaksi tärkeää keksintöä, jotka molemmat ajoittuvat hieman vuosisadan puolen välin jälkeen. Höyrykoneen teolliseen käyttöön liittyi aluksi huomattavia vaikeuksia siksi, että koneen akselin pyörimisnopeus vaihteli paljon hetkittäisestä kuormituksesta riippuen. Tämä vaikeutti siihen liitettyjen tuotantokoneiden, esimerkiksi kutomakoneiden

7

toimintaa. Ihmisen suorittama koneen höyryventtiilin kuormituksen mukainen säätö ei ottanut toimiakseen. Itse herra Watt työtovereineen kehittikin ns. “kuvernöörin” (kuva 4), joka on keskipakovoimaa hyväksikäyttävä pyörimisnopeuden säädin. Siinä sovellettiin takaisinkytkennän periaatetta mittaamalla koneen pyörimisnopeus pyörivän kuulamekanismin avulla. Mekanismi avaa tai sulkee höyrynpainetta sylintereihin säätelevää luistiventtiiliä sen mukaan onko koneen hetkittäinen nopeus alle vai yli kuulilla asetellun “asetusarvon”. Höyrykoneen kuormituksen vaihdellessa “kuvernööri” (engl. governor) pitää koneen pyörimisnopeuden liki asetusarvossa. Samalle perusperiaatteelle rakennettuja nopeudensäätäjiä löytää nykyistä polttomoottoreista, tyypillisesti dieselmoottoreista. Toinen tuon ajan merkittävä automaatiokeksintö oli laivojen ruorikoneistojen tehokäyttöjen asennonsäätäjä. Laivojen tullessa suuremmiksi ja erityisesti höyryvoiman astuessa mukaan kuvaan ohjailussa tarvittava ruorikoneisto muuttui vastaavasti raskaampikäyttöiseksi ja sitä keventämään kehitettiin ensimmäiset hydrauliset kevennysjärjestelmät. Näissä oleellinen merkitys oli ruorikulman asennoittimella, joka takasi oikean asetetun ruorikulman toteutumisen peräsimessä automaattisesti riippumatta tuuli-, nopeus- ym. vaihtelevien kuormitusten aiheuttamista vaihtelevista voimista. Lentotekniikan kehittyessä tämän vuosisadan alkupuolella vastaavalla hallintalaitteella, joka otti myös huomioon mm. lentokorkeuden, oli ratkaiseva merkitys lentotekniikan alkuaikojen kehityksessä. Teollisen vallankumouksen aikoihin panostettiin myös itse tuotantoprosessin automatisointiin, mutta ei siinä määrin kuin nykyisin voitaisiin kuvitella. Oheisessa kuvassa on 1790-luvulta peräisin oleva pitkälle mekanisoitu mylly Yhdysvalloista. Vaikka sen toiminta on lähes automaattista, sen automaatioaste on nykyisen käsityksen mukaan varsin alhainen, koska lähes kaikki toiminnot on toteutettu mekanismeilla, joiden muuttaminen toisille asetuksille vaatii huomattavan määrän käsityötä. Nykyisen käsityksen mukaan sen mekanisointiaste on korkea, mutta automaatioaste kuitenkin matala. Tuotannollisiin järjestelmiin laajemmin automaatio alkoi levitä laajemmin vasta 1950-luvulla. Ennen tätä teknologia, erityisesti sähköisten ja sähköhydraulisen servotekniikan (käsite tulee tarkemmin esille myöhemmin) teknologia kehittyi harppauksenomaisesti toisen maailman sodan aseteknologian kehityksen myötä. Seuraavan vuosikymmenen kuluessa erityisesti prosessiteollisuuden automaatio kehittyi pitkin harppauksin ja tehtaisiin ilmestyi valvomot, joista prosesseja pääosin käytettiin. Ensimmäinen valmistusprosessin (polymeerireaktori) tietokoneohjaus toteutettiin koemielessä 1957 Yhdysvalloissa. Sen aikainen tietokoneteknologia oli vielä lapsen kengissä ja kokeilu tehtiin noin kymmenen vuotta ennen kuin ensimmäiset tietokoneohjaukset alkoivat tulla teollisuuteen 1960-luvun lopulla. Tällöinkin kokemukset olivat vielä pitkään ristiriitaisia ja automaation kehitys eteni vielä erillisten elektroniikkaan ja osin pneumatiikkaan perustuvien ratkaisuiden varassa. Pahin ongelma liittyi luotettavuuteen. Vasta mikroprosessoritekniikan kehityksen myötä 1970-luvun lopulla tietotekniikan luotettavuus ylitti kriittisen rajan ja automaation teknologia muuttui nykyisen kaltaiseksi digitaaliseen tietotekniikkaan perustuvaksi.

8

KUVA 4. Höyrykoneen “kuvernööri”

KUVA 5. Philadelphiassa 1790-luvulla käyttöön otettu teollinen mylly, jonka toiminnat olivat varsin pitkälle mekanisoituja.

9

1.5 Automaation teoreettiset perusteet Automaatiolla on varsin laaja teoreettinen pohja, joka antaa menetelmiä ja teorioita erilaisten ominaisuuksien tarkasteluun ja suunnittelun tueksi. Teoria on osiltaan peräisin jo viime vuosisadalta, mutta pääosin se on kehitetty vasta toisen maailmansodan jälkeen. Teoriassa tarkastellaan mm. seuraavia peruskysymyksiä:

• dynaamisten ilmiöiden ja prosessien hallinta • ohjaus- ja säätöperiaatteita • mittaussignaalien käsittelyä • parametrien ja suureiden estimointia datasta • päätöksentekoperiaatteita • optimointia ohjausteknisin menetelmin

Kaikissa edellä mainituissa teorioissa yhteisenä tarkastelun lähtökohtana on dynaamisuus (ajan mukana muuttuva luonne), ts. toimintaa ja ratkaisumenetelmiä tarkastellaan dynaamisina ongelmina. Tämä johtuu siitä, että automaatiojärjestelmä ohjaa prosesseja aina dynaamisessa tilassa. Dynaamisten ilmiöiden ymmärtäminen ja hallinta on siten keskeisen tärkeää. Teoreettisesti ja matemaattisesti tämä merkitsee usein vaativampaa ja vaikeampaa käsittelyä kuin vastaavien staattisten ilmiöiden tarkastelu. 1.6 Automaation poikkitekninen luonne Eräs keskeisiä seikkoja on tiedostaa se tosiasia, että, automaatio liittyy aina kiinteästi kohdeprosessiinsa. Sovellutuksesta riippumatta automaatiojärjestelmä ja kohdeprosessi muodostavat kuvan 6 havainnollistaman kokonaisuuden:

• kohdeprosessi • automaatiojärjestelmä • liitäntä mittausinformaatiolle • liitäntä ohjaukselle

Automaatiosuunnittelu edellyttää kohdeprosessin ominaisuuksien riittävää hallintaa. Tästä syystä automaatioinsinööri joutuu perehtymään usein verraten laajasti eri sovellusalueiden teknologiaan ja ajattelutapoihin. Siten esimerkiksi paperiteollisuuden sovellutuksia suunniteltaessa on tunnettava puunjalostuksen ja erityisesti paperikoneen toimintaperiaatteet. Samoin on tunnettava kemian teollisuudessa monien yksikköprosessien ja kappaletavarateollisuudessa asianomaisten valmistusprosessien toimintaperiaatteet näiden prosessien automaatiota suunniteltaessa. Kyseessä ei ole kuitenkaan sellainen syvällinen tuntemus, joka vaaditaan näitä prosesseja suunniteltaessa ja se on useimmiten saavutettavissa kohtuullisella opiskelulla kun tarvittavat perustiedot luonnontieteissä ovat olemassa.

10

KUVA 6. Automaation ja prosessin välinen yhteys on kiinteä. Automaatiojärjestelmä ja sen ohjaama prosessi muodostavat kokonaisuuden, jossa automaatiojärjestelmä usein sulautuu “läpinäkyväksi” osaksi prosessin käyttöliittymää. Automaation toteuttava “kova” teknologia on nykyisin valtaosaltaan elektroniikkaa ja sähkötekniikkaa. Kuitenkin myös aikoinaan paljon sovellettua pneumatiikkaa käytetään edelleen (vanhemmat installaatiot, räjähdysvaaralliset tilat) ja hydrauliikka on varsin tavallista kun hallitaan suuritehoisia toimilaitteita koneohjauksissa. Tietotekniikka ja ohjelmistot ovat keskeisessä asemassa toimintojen toteutuksen osalta. 1.7. Automaation laajentuminen teollisuuden ulkopuolelle Automaatiolla on ollut perinteisesti oma sijansa myös teollisuuden ulkopuolisissa sovellutuksissa. Jos tarkastelusta jätetään pois konttoreiden ja hallinnollisten järjestelmien automaatio, joka on oma lukunsa, niin teollisuusautomaation kaltaista automaatiotekniikkaa löytyy paljon rakennusten LVI-järjestelmistä ja kunnallisesta vesihuollosta sekä jätteiden käsittelyprosesseista. Näiden merkitys on viime aikoina korostunut, koska rakennuksiin ja yhdyskuntatekniikan prosesseihin on haluttu uusia energiaa ja ympäristöä säästäviä toimintoja. Samalla automaatiotekniikka tekee tuloaan myös tavallisiin asuntoihin, joissa esimerkiksi seniorikansalaisten tai vammaisten elämää voidaan helpottaa erilaisilla automaatioratkaisuilla. Näyttäisi myös siltä, että osa huolto- ja kunnossapitotöistä voidaan lähitulevaisuudessa tehdä näitä tarkoituksia varten kehitetyillä roboteilla. Näiden lisäksi monissa terveyden-huollon prosesseissa, erityisesti sairaaloissa, otetaan käyttöön automaation hoitamia toimintoja tehokkuutta lisättäessä. Teollisuuden ulkopuolisen sektorin liiketaloudellinen merkitys ei ole vielä kovin suuri, mutta alue kasvaa voimakkaasti tällä hetkellä ja sille ennakoidaan merkittävää roolia automaation tulevassa kehityksessä.

11

2. TIETOKONEPERUSTEINEN AUTOMAATIO TEKNISENÄ JÄRJESTELMÄNÄ Tietokoneperusteinen automaatiosovellutus muodostuu alla olevan kuvan 1 havain-nollistamista teknisistä peruselementeistä. Nämä elementit ovat: Automaatiojärjestelmä (ns. riviliitintasolta järjestelmään päin):

• I/O-liitännät • automaatiotoiminnot (logiikka, ohjaus- ja säätötoiminnot, laskenta,

raportointi...) • Ihminen/kone –liitäntä (valvonta, ohjaustoimenpiteiden suoritus,

konfigurointi...) Kenttälaitetaso:

• anturit, rajakytkimet • muut mittalaitteet (esimerkiksi erilliset analysaattorit ja mittausjärjestelmät) • toimilaitteet • kaapelointi, sähköistys

KUVA 1. Automaatiojärjestelmän fyysiset perusosat. Riviliitintaso viittaa teknisessä kielenkäytössä kytkentään (usein fyysisesti ns. riviliitin), jossa antureiden ja toimilaitteiden signaalit kytketään automaatiojärjestelmän tietotekniseen osaan. Teollisuusautomaatiossa sovellutukset ovat lähes poikkeuksetta järjestelmiä siinä mielessä, että ne koostuvat useasta erillisestä komponentista, joilla voi olla eri valmistaja tai toimittaja. Hyvin pienimuotoisissa sovellutuksissa se saatetaan kuitenkin rakentaa yhden elektroniikkakortin ja siihen suoraan liitettyjen antureiden varaan. Automaatiojärjestelmien laajuutta mitataan usein yksinkertaisesti liitäntöjen kokonaislukumäärällä:

12

Järjestelmäkoko Liitäntöjä

Pieni 10...100 Keskikokoinen 100...500 Suuri 500...5000...

Luvut ovat suhteellisen mielivaltaisia ja ainoastaan suuntaa antavia. Liitäntöjen luku- määrä on kuitenkin ainoastaan eräs mitta järjestelmien laajuudelle. Se ei välttämättä kerro juuri mitään toimintojen monimutkaisuudesta tai automaation asteesta. Muita mittoja voi olla esimerkiksi ohjelmistojen kokonaislaajuus, itsenäisten operointi-asemien lukumäärä, toimintojen monipuolisuus jne. Valmistusprosessin yksittäisen erillisen osaprosessin tai työkoneen automaatiojärjestelmä on tyypillisesti laajuudeltaan pieni. Vastaavasti kokonaisen valmistusprosessin tai -linjan (esimerkiksi paperikone) automaatiojärjestelmän on usein keskikokoa. Suuret järjestelmät ovat yleensä laajojen tuotantolaitosten tai tehdaskompleksien järjestelmiä. Automaatiojärjestelmissä voidaan erottaa eri järjestelmärakenteita. Järjestelmä-rakennetta voidaan tarkastella eri lähtökohdista:

• toiminnoissa • laitteistossa • ohjelmistossa

Järjestelmärakenne on useimmiten käytännössä hierarkkinen, mikä tarkoittaa eri tasoille vertikaalisesti rakentuvaa kommunikointi- ja komentosuhdetta. Yksi vaihtoehto hierarkkiselle järjestelmälle on heterarkkinen järjestelmä, jossa osat toimivat itsenäisesti tiettyjä sääntöjä noudattaen. Tietynkaltaisissa erityissovel-lutuksissa myös tällaiset "järjestäytymättömät" järjestelmärakenteet ovat käyttö-kelpoisia. Pitkälle hajautettujen “agenttipohjaisten” järjestelmien yleistyminen on tuonut tällaiset järjestelmärakenteet yleisemmän kiinnostuksen kohteeksi viime aikoina. Ne ovat kuitenkin vasta pääsääntöisesti tutkimuksen ja kehityksen kohteena. Hierarkkinen järjestelmärakenne on usein nähtävissä myös itse automatisoitavassa prosessissa. Laajemmat prosessit muodostavat usein varsin itsenäisesti toimivista osista ja osaprosesseista. 2.1 Toimintotasot Automaatiotoiminnot jaetaan tavallisesti alla olevan kuvan 2 mukaisiin kolmeen hierarkkiseen tasoon. Kaavio on hyvin pelkistetty. Se kuvaa lähinnä prosessiteollisuuden tuotantolaitoksen automaatiota. Toiminnan aikajänne-luvut ovat esimerkiksi paperitehtaalle ominaisia. Soveltaen sitä voidaan kuitenkin käyttää kuvaamaan lähes kaikkea automaatiota.

13

KUVA 2. Automaatiotoimintojen jako kolmeen hierarkkiseen tasoon tyypillisessä tuotantoprosessin (esimerkiksi paperitehdas) automaatiossa. Informaatiovirta kulkee tasolta toiselle ylöspäin ja vastaavasti ohjaustoimenpiteiden vuo alaspäin. Toiminnan aikajännettä kuvaavat luvut tarkoittavat tyypillistä aikajaksoa, jolla tason toiminnot osallistuvat tuotantoprosessin ohjaukseen. Perusautomaatio sisältää tyypillisesti seuraavat toiminnot:

• mittausautomaatio • logiikkatoiminnot • säätöpiirit • toimilaiteohjaukset • valvomotoiminnot kuten

o mittausten ja tilatietojen näyttö o hälytystoiminnot o käsiohjaukset o parametrimuutosten anto o tuntiraportit (kiinnostavien suureiden keskiarvot)

Perusautomaatio-tason tehtävänä on huolehtia prosessin käynnissä pitävistä ja suoranaiseen ohjaukseen liittyvistä automaatiotoiminnoista. Vastaavasti muut tasot sisältävät seuraavia toimintoja:

14

Prosessiohjaus ja optimointi (kokonaisohjaus): • prosessi- tai tuotantolinjan kokonaisohjaus • optimaalisen tuotantotilan ylläpitäminen • tuotantotilan vaihtaminen • vuoro- ja vuorokausiraportit (käynti- ja tuotantotilanne)

Lyhyesti ilmaistuna prosessin ohjaus ja optimointi -taso pitää prosessin toiminnan suunnitellussa optimaalisessa toimintapisteessä tai siirtää toimintapisteen johonkin tuotannon vaatimaan toiseen pisteeseen. Tuotannonohjaus:

• ohjaus tavoitetuotannon mukaisesti • raaka-aine ja energiaresurssien koordinointi • varastojen kokojen ja läpimenoaikojen (kappaletavaratuotanto) minimointi

Lyhyesti ilmaistuna tuotannon ohjaus laskee edullisimman tuotantokoneiston käyttötilan ja ohjaa prosessia sen mukaisesti kun tilauskanta on tiedossa. Tuotannon suunnittelu: Tuotannon suunnittelu ei koske enää varsinaisesti automaatiota. Sen tehtävänä on vastata periaatteessa kysymykseen:

• mitä ja millä resursseilla (koneilla, raaka-aineilla, työvoimalla) tuotetaan, kun markkinatilanne on tiedossa?

Nykyisin prosessista saatavat tiedot kerätään usein suoraan tuotannon suunnittelua tukeviin tietojärjestelmiin koko tehtaan yhdistävää tietoverkkoa käyttäen. Kun edellä mainitut kaikki tasot ovat saman tietojärjestelmän piirissä, puhutaan usein käsitteestä CIM (Computer Integrated Manufacturing). Käytännössä täydellisiä CIM-järjestelmiä ei esiinny, mutta niiden kehittämistä kohtaan tunnetaan suurta kiinnostusta ja monilla aloilla on edistytty jo varsin pitkälle, Suomessa hyvänä esimerkkinä puunjalostus-teollisuus ja elektroniikan sarjavalmistus. Edellä esitetty toiminnallinen hierarkia näkyy yleensä myös laitetasolla. Tätä tarkastellaan tarkemmin seuraavassa luvussa. Usein paikallisautomaatio, prosessin kokonaisohjaus ja tuotannonohjaus hoidetaan kukin omissa tietokonejärjestelmissään, jotka kuitenkin ovat yhteydessä toisiinsa tehtaanlaajuisen paikallisverkon kautta. Pienemmissä järjestelmissä ja erityisesti koneautomaatiossa edellä mainitut tasot ja hierarkiarakenne saattavat hämärtyä. Samoja piirteitä on kuitenkin useimmiten löydettävissä, kuten seuraava esimerkki osoittaa. Teollisuusrobotti ( kuva 3) on moninivelinen servo-ohjattu laite, jolla suoritetaan kappaletavarateollisuudessa yksittäisiä työtehtäviä, kuten

• kappaleenkäsittelyä • työtehtäviä työkaluilla (maalaus, hitsaus, hionta, jne.) • kokoonpanoja

15

KUVA 3. Kuusi-vapausasteinen teollisuusrobotti. Käsivarren liikkeiden ohjaus suoritetaan kääntämällä nivelien asentoja moottoreilla. Moottoreiden ohjaus tapahtuu tietokoneen ja elektronisen ohjainkortin avulla. Käsivarren päähän kiinnitetään työkalu tai tarttuja. Kuvassa robotti suorittaa valukappaleen jäysteiden poistoa hiontatyökalulla. Teollisuusrobotin automaatiojärjestelmässä voidaan erottaa seuraavat tasot: Yksittäisten nivelliikkeiden (servo-)ohjaus Rataliikkeen toteutus

• nivelkohtaisten servojen liikkeiden koordinointi, jotta annettu rataliike voidaan toteuttaa (saattaa sisältää liikkeen optimoinnin)

Työtehtävän toteutus

• esimerkiksi siirto- tai hiontatehtävän toteutus. Tasot vastaavat edellä mainittuja kolmea hierarkia-tasoa, vaikka tässä tapauksessa ne ovatkin yksittäisen laitteen automaatioon kuuluvia. Alimmalla tasolla ohjataan nivelmoottoreita ja ylimmällä tasolla toteutetaan työtehtävän edellyttämä liikesarja, joka saattaa olla varsin mutkikas. Liikeratojen toteutus sekä robotin ns. ympäristökytkimet (tavallisesti joukko binäärisiä I/O-linjoja) implementoidaan yleensä omaan tietokonelaitteeseen (moniprosessori-järjestelmä). Tällä tasolla robottia voidaan myös ohjata käsin sekä robottikielen yksittäisillä komennoilla. Kaksi ylempää tasoa suoritetaan tavallisesti

16

omassa erillisessä tietokonelaitteessa, joka on kytketty tietoliikenneyhteydellä robotin tietokoneeseen. Robottia käytetään usein osana laajempaa tuotantojärjestelmää, esimerkkinä kuvassa 1.2 esitetty joustava tuotantosolu. Toinen esimerkki pienemmästä osaprosessista olkoon kuvan 4 mukainen kemian reaktori, johon annostellaan raaka-aineita ja energiaa (lämmitys, sekoitus) ja jossa tuotanto-olosuhteet vaihtelevat. Perusautomaation tasolla toteutetaan pinnan ja lämpötilan asetusarvosäädöt ja toisen raaka-ainekomponentin suhdesäätö (kuvan PI-kaavion merkinnät tulevat paremmin tutuiksi luvussa 4). Korkeammalla tasolla optimoidaan toimintapiste asettelemalla annostusmäärä ja sekoitusteho mitattujen sekä laboratoriosta saatujen analyysitietojen perusteella.

KUVA 4. Kemiallinen valmistusreaktori (periaatekuva), johon syötetään raaka-aineita ja energiaa. Reaktori on tyypillisesti jonkin laajemman valmistusprosessin osavaihe. 2.2 Laitteiston järjestelmärakenne Laitteistolla ymmärretään tässä koko sitä fyysistä laitteistoa, jonka varaan automaatiotoiminnot rakentuvat. Sen pääkomponentit ovat: Kenttälaitteet:

• rajakytkimet • anturit • käytönohjaimet • toimilaitteet

Prosessiliityntä:

• liityntäkortit ja asemat

17

Tietokonelaitteet:

• järjestelmän osana olevat tietokonelaitteet Ihminen/kone liityntä:

• näytöt, piirturit, kaaviot, hälytysvalot, ohjauspainikkeistot , käyttökytkimet, jne.

Tietosiirtoverkko Laitteiston toteutuksessa on nykyisin voimakas pyrkimys pitkälle hajautettuihin ratkaisuihin. Laajemmat tehdasjärjestelmät rakentuvat yleisesti tarkoitukseen suunniteltujen lähiverkkojen varaan. Tyypillinen tehdasautomaation arkkitehtuuri näyttää esimerkiksi kuvan 5 mukaiselta. Kuvassa on esitetty myös ns. prosessiväylä, jolle on toistaiseksi olemassa useita standardisointivaihtoehtoja (Profibus, Fieldbus, CAN-bus…). Prosessiväylä mahdollistaa siirtymisen prosessoriperusteisiin antureihin ja toimilaitteisiin sekä vähentää kentältä automaatiojärjestelmään tulevan johdotuksen tarvetta, koska tieto siirtyy tällöin kaikilta osin digitaalisena.

KUVA 5. Tehtaan automaatiojärjestelmän hajautettu arkkitehtuuri.

18

Pienemmässä mittakaavassa samanlainen hajautettu ratkaisu on kurssilla demonstraatiolaitteena tarkemmin esiteltävässä palvelurobotissa WorkPartner, kuvat 6a ja 6b. Robotti liikkuu sähköisellä hybridijärjestelmällä, jonka muodostavat neljä jalan ja pyörän yhdistelmää. Tämän lisäksi robotilla on ihmismäinen kahden käden manipulaattori. Kussakin jalassa on kolme lineaaritoimilaitteella ohjattavaa niveltä (vapausastetta) ja pyörän rumpuun asennetulla moottorilla ohjattava pyörän. Kummassakin manipulaattorin kädessä on kolme kääntyvää niveltä, joissa on moottorit vaihteineen. Kunkin moottorin ohjaus tapahtuu omalla virtasäätimellä, joita ohjataan yhdellä jalkakohtaisella mikrokontrollerikortilla alustan tapauksessa. Manipulaattorissa on kutakin niveltä kohden signaaliprosessorin ja H-sillan muodostama virtasäädin. Nämä kortit on kytketty hetkellisasentojen mittausta varten nivelten potentiometreihin ja pyörämoottoreiden pulssilaskureihin. Kortit ohjaavat nivelten tai jalkamodulin kaikkia perustoimintoja eri tilanteissa ja liikemoodeissa. Kuvan 5 tehdassovellutuksessa nämä kortit vastaavat yhtä prosessiasemaa. Korttien prosessorit on kytketty reaaliaikaisen tiedonsiirtoverkon (CAN-väylä) välityksellä keskusprosessoriin, jollaisena toimii PC104-korteista koottu Pentium II-prosessorilla varustettu tietokone. Keskuskoneen tehtävänä on robotin liikeohjaus, askeltamisen ohjaus, runkoon kiinnitettyjen asentoantureiden (inklinometrit, gyrot) lukeminen ja operaattoriliitynnän tietojenvaihto. Operaattoriliityntänä on tässä tapauksessa kauko-käyttöinen kannettava tietokone (liityntä radio-ethernet WLAN). Tiedonsiirtoverkko välittää reaaliaikaisia tietoja jalkaprosessoreiden ja keskuskoneen välillä. Siihen voidaan kytkeä helposti myös muita robotin laitteita, esimerkiksi myöhemmässä vaiheessa asennettava manipulaattori. WorkPartner-robotin automaatiojärjestelmän toiminnallinen hierarkia ja vastaava laitteistollinen hajautus vastaavat siten kokolailla toisiaan.

KUVA 6a. WorkPartner-robotti

19

KUVA 6b. WorkPartner-robotin automaatiojärjestelmän periaate. 2.3 Ohjelmiston arkkitehtuuri Automaatiojärjestelmän ohjelmisto toteuttaa suurimman osan sen toiminnoista. Ohjelmisto voidaan jakaa seuraaviin pääkomponentteihin: Varusohjelmisto

• käyttöjärjestelmä • laiteohjaimet • kääntäjät

Toiminto-ohjelmisto

• ns. konfigurointikielten rutiinit • konfiguroinnin tukiohjelmistot

Sovellutuskohtainen ohjelmisto

• prosessikohtaisia toimintoja toteuttava ohjelmisto Verkkorakenteesta riippuen tietoliikenneohjelmisto voidaan katsoa varusohjelmistoon tai toiminto-ohjelmistoon kuuluvaksi. Automaatiojärjestelmien ohjelmistojen erikoispiirre on reaaliaikaisuus. Reaaliaikaisuudella tarkoitetaan sitä, että toiminnan vaatimat vasteajat ovat kussakin tapauksessa sopusoinnussa prosessin vaatimusten kanssa, esimerkiksi mittausten ja ohjaustoimenpiteiden osalta. Reaaliaikaisuuden vaatimukset vasteaikojen suhteen saattavat olla huomattavan tiukkoja. Vaatimukset riippuvat kuitenkin huomattavasti siitä minkä tyyppinen prosessi on kyseessä. Esimerkiksi koneautomaatiossa, jossa on kyse nopeasti liikkuvista toiminnoista, ohjaustoiminnan on tapahduttava usein 1ms kuluttua siitä kun vastaava mittaus on luettu. Vastaavasti hitaissa kemiallisissa prosesseissa vastaava vasteaikavaatimus saattaa olla ainoastaan 10s...1min.

20

3. DYNAMIIKAN MERKITYS AUTOMAATIOSSA 3.1 Ohjaus dynaamisessa tilassa Kuten aiemmin jo todettiin dynaamisilla ilmiöillä on keskeinen asema automaatio-järjestelmien suunnittelussa. Ohjaus aiheuttaa aina kohdeprosessin tilan muutoksia, jotka fysiikan tai kemian lakien mukaan tapahtuvat ajan funktiona ts. dynaamisesti. Automaatiojärjestelmä joutuu hallitsemaan näitä muutoksia ja siten sen perus-toimintojen suunnittelussa signaalien dynaamisella käsittelyllä on keskeinen asema. Prosessien dynamiikka voidaan huomioida useilla tavoin. Peruslähtökohtana on joko matemaattinen tarkastelu tai kokemukseen perustuva loogispohjainen lähestymistapa. Seuraavassa esitettävä siirtofunktio kuuluu sellaiseen perustavaa laatua olevaan käsitteistöön, joka on hallittava kummassakin lähestymistavassa. Sen käyttö tulee jatkossa esiin useassa eri yhteydessä. Dynamiikan mallintamiseen palataan tarkemmin luvussa 5. 3.2 Siirtofunktion käsite Tarkastellaan prosessia tai sen osaa (esimerkiksi seuraavassa luvun alussa kuvattu lämpötila-anturi ja siihen liittyvä suojaus), jonka aikakäyttäytymistä voidaan kuvata lineaarisella differentiaaliyhtälöllä. Tällaiset prosessit muodostavat laajan perus-luokan, jolle voidaan rakentaa varsin kattava teoria automaattiohjausten ja säätöjen suunnittelua varten. Suunnittelussa käytetään hyväksi dynamiikan tuntemusta. Perusväline dynamiikan matemaattisessa kuvaamisessa on ns. siirtofunktio, jonka käytön ymmärtäminen on välttämätön edellytys jatkon kannalta. Siirtofunktion käsite ja sen käyttö selostetaan seuraavassa yksinkertaisen perusesimerkin avulla. Otetaan käyttöön aluksi seuraavat merkinnät:

x(t) jatkuvan ajan reaaliarvoinen signaali (ajan funktio) x i x i t( ) $ ( )= Δ signaalista x muodostettu diskreetin ajan reaaliarvoinen signaali, missä Δt on näyteväli

pddt

= derivaattaoperaattori, ( ) ( )px tddt

x t=

q siirto-operaattori, ( ) ( )1+= ixixq , ( ) ( )11 −=− ixixq

( )A p p a p an nn= + + +−

11 ...

( )~ ~ ... ~¨

A q q a q an nn= + + +−

11

Yleinen lineaarinen (matemaattinen) prosessi esitetään alla olevan kuvan mukaisella mallilla.

21

Malli kuvaa sisäänmenosignaalin u vaikutusta ulostulosignaaliin y, kun niiden välillä oleva dynaaminen prosessi on kuvattu lineaarisella differentiaali tai differenssi-yhtälöllä. Käytännön tapauksissa operaattoripolynomin B (tai B~ ) asteluku on pienempi tai korkeintaan yhtä suuri kuin A:n (tai A~ :n) asteluku. Operaattori-polynomeja käytetään tässä yhteydessä ainoastaan lyhentämään merkintöjä.

Laplace-muunnos määritellään

( )( )( ) ( )∫∞

−≡0

,dttxestxL st

missä s on kompleksimuuttuja. Muunnoksella on mm. seuraavat perusominaisuudet:

1. se on lineaarioperaattori ts. ( )( ) ( )( ) ( )( ).syLsxLsyxL βαβα +=+

2. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−−+−+−= −−− 0...00 1121 kkkkk xxsxssXssxpL ,

missä x(0+), x(1)(0+)... ovat funktion x ja sen derivaattojen oikeanpuoleisia raja-arvoja pisteessä 0. Edelleen

3) ( ) ( ) ( )sXs

sdxLT 1

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ ττ .

Nämä perusominaisuudet on helppo johtaa suoraan määritelmästä. Aikadiskreettejä signaaleja ja differenssiyhtälöitä käsiteltäessä käytetään ns. Z-muunnosta, joka määritellään:

( )( )( ) ( ) ( ) .0

k

k

zkxzXzkxZ −∞

=∑=≡

Z-muunnoksella on hyvin samankaltaiset perusominaisuudet kuin L-muunnoksella. On kuitenkin varottava yleistämästä suoraan L-muunnoksen kaavoja. Seuraavat ominaisuudet ovat voimassa:

22

1. muunnos on lineaarioperaattori, ts. ( )( ) ( )( ) ( )( ).zyZzxZzyxZ βαβα +=+

2. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1...10 1 −−−−−= − kzxxzxzzXzzxqZ kkkk

3. ( )( ) ( ).zXzzxqZ kk −− =

4. ( ) ( ) ( )zXz

zkxZi

k1

1 11

−= −

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∑

Molemmat muunnokset on taulukoitu tavallisimmille yksinkertaisille funktioille. Taulukoista löytyy myös lisää yleisiä ominaisuuksia. Tarkastellaan L- ja Z-muunnosten käyttämistä differentiaali- ja differenssiyhtälöiden ratkaisujen ominaisuuksien tutkimisessa. Tarkastellaan aluksi differentiaaliyhtälöä

A p y B p u( ) ( ) .= Muunnetaan yhtälö puolittain L-muunnoksella:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A s Y s P s B s U s P snA

mB− = − ,

missä Pn

A ja PmB ovat A:n ja B:n kertoimista muotoutuneita s:n polynomeja, jotka

keräävät yhteen alkuehtotermit y(0+), y(1)(0+),...,u(0+), u(1)(0+), ... Yleisesti kun ollaan kiinnostuneita ainoastaan ratkaisun dynaamisesta luonteesta, nämä alkuehdot voidaan olettaa = 0. Tällöin saadaan

( )( )( )

( )Y sB sA s

U s=

Kompleksimuuttuja funktiota

( ) ( )( )G s

B sA s

=

nimitetään siirtofunktioksi. Se karakterisoi signaalin u muuttumista prosessissa signaaliksi y ja siten prosessin dynaamisia ominaisuuksia. Siirtofunktiosta voidaan lukea suoraan useita dynamiikkaan liittyviä ominaisuuksia ilman, että vastaava differentiaaliyhtälö täytyy ratkaista. Sitä voidaan myös käyttää tehokkaasti prosessin ohjauksia ja säätöjä suunniteltaessa. Tästä syystä muunnosten ("muunnostason") käyttö on varsin yleistä automaatio- ja säätötekniikassa. Differenssiyhtälön käsittely tapahtuu vastaavalla tasolla. Yhtälö

( ) ( )~ ~A q y B q u=

23

muunnetaan puolittain, jolloin saadaan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~ ,~ ~

A z Y z P z B z U z P znA

mB− = −

( ) ( ) ( ) ( )

~ ~

... ... .

~ ~P P jos

y y y n u

nA

mB= =

= = − = = ≡

0

0 1 1 0 0

Ulostulon Z-muunnokseksi saadaan

( )( )( )

( )Y zB zA z

U z=~~

missä funktiota

( )( )( )

~~~G zB zA z

=

nimitetään Z-siirtofunktioiksi. Siirtofunktio esitetään usein myös muodossa

( ) ( )( ) ,

*** 1

1

−

−

=zAzBzG

koska vastaava differenssiyhtälö on laskennallisesti helpompi esittää rekursiivisessa muodossa

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),*...1***...2*1*

21

21

mkubkubkubakyakyaky

m

n

−++−++−−−−−−=

Esimerkki: Tarkastellaan kuvan mukaista vastus-kondensaattori piiriä (ns. RC-suodatin).

24

piiriin syötetään jännite u ja siitä mitataan jännite y (mittauksen oletetaan tapahtuvan piiriä kuormittamatta). Halutaan tietää kuinka jännite y vaihtelee ajan funktiona kun u vaihtelee tunnetulla tavalla. Piirille voidaan helposti kirjoittaa seuraavat yhtälöt

( ) ( ) ( )u t Ri t y t= + ,

( ) ( )∫=t

diC

ty0

.1 ττ

Oletetaan, että kondensaattorin alkujännite hetkellä t = 0 on nolla. L-muunnetaan yhtälöt puolittain, jolloin saadaan

( ) ( ) ( )

( ) ( )

U s RI s Y s

Y sC s

I s

= +

=

,

.1 1

Eliminoimalla I(s) ja ratkaisemalla Y(s) saadaan edelleen

( ) ( )Y ssT

U s=+1

1.

missä T = RC. Piirin siirtofunktio on siten

( )G ssT

=+1

1.

Parametria T kutsutaan aikavakioksi. Aikavakio karakterisoi piirin vasteen nopeutta. Se määrää myös piirin suodatusominaisuudet, kuten myöhemmin todetaan. Vasteen nopeutta tutkitaan ns. askelvasteen avulla. Oletetaan, että u on muotoa (ns. yksikköaskel)

( )u tkun tkun t

=≥<

⎧⎨⎩

1 00 0

Vastaava L-muunnos on

( )U ss

=1

.

Piirin ulostulon L-muunnos on

( )Y ss sT

=+

1 11

.

Tästä saadaan vastaava aikatason signaali y helposti käänteismuuntamalla (tai katsomalla taulukosta)

25

( )y t etT= −

−1

Vasteen muoto ja aikavakion merkitys näkyy alla olevasta kuvasta

Tarkastellaan sitten tapausta, jossa u:n oletetaan vaihtelevan kuvan mukaisen porras-funktion muotoisesti.

Signaali muuttaa arvoaan ainoastaan pisteissä { }t i t i= ∈Δ , , , ... ,0 1 2 missä Δt on ns. näyteväli. Signaalin määrittelee siten yksikäsitteisesti lukujono u i u i t( ) ( )≡ Δ . Tämä on tyypillistä tietokoneohjauksessa, jossa ohjauksia "päivitetään" kellon ohjaamana määrävälein. Mikäli ulostulosta y otetaan näytteet samoina ajanhetkinä saadaan lukujono y i y i t( ) ( )≡ Δ . Käytännössä näin tapahtuu tietokoneen ohjaamassa mittaus-tapahtumassa, jossa mittausviestiä luetaan määrävälein kellon ohjaamossa. Siten, jos RC-piiriä käsitellään tietokoneella, on varsin luonnollista tarkastella differentiaali-yhtälön sijasta differenssiyhtälöä, joka esittää piirin dynamiikkaa. Tarkastellaan differenssiyhtälön muodostamista. Alkuperäisistä yhtälöistä saadaan helposti differen-tiaaliyhtälö

26

( ) ( ) ( )y tT

y tT

u t' = − +1 1

Puolittain integroimalla saadaan edelleen

( ) ( ) ( ) ,11

0

τττ duT

yT

tyt

∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

ja tästä edelleen pisteessä t i t= Δ

( ) ( ) ( ) ( )( )

,1111

τττ duT

yT

iyiyti

ti∫Δ

Δ−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−=

Näytevälin yli otettu integraali voidaan approksimoida usealla eri tavalla, jotka kaikki johtaisivat jatkossa hiukan eri tuloksiin. Yksinkertainen menettely on esim. seuraava (eteenpäin suorakaide)

( ) ( )( )

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−Δ≈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−∫

Δ

Δ−

111111

1

iuT

iyT

tduT

yT

ti

ti

τττ

Sijoitetaan tämä yhtälöön ja muunnetaan molemmat puolet Z-muunnoksella. Saadaan

( ) ( ) ( ) ( )[ ]Y z z Y zt

Tz Y z z U z= + − +− − −1 1 1Δ

Tästä edelleen ratkaisemalla ( )Y z

( )( )

( )zU

Ttz

TzY111

1

+Δ

−=

Z-tason siirtofunktio on siis

( )( )

~G z T

zt T

=− +

1

11 1

Δ

Jos halutaan määrätä askelvaste samalle yksikköaskeleelle kuin aiemmin, se on yhtä helppoa. Tässä tapauksessa

27

⎩⎨⎧

≥<

=0100

)(ii

iu

( )U zz

=− −

11 1 ,

( )( )

Y zz

Tt

z=

− + − −

1

1 1

11 1

Δ

Vastaava aikatason signaali saadaan esimerkiksi kehittämällä ( )zY 1−z :n potenssin sarjaksi, jolloin sarjan kertoimista nähdään suoraan arvot ( )0y , ( )1y , ... Käytännössä ne tulevat olemaan liki samansuuruisia kuin jatkuvasta astevastesignaalista y poimitut arvot pisteissä t = iΔt. Kuitenkin suoritettu approksimointi differenssiyhtälöä muodos-tettaessa aiheuttaa sen, että täsmälleen samaa vastetta ei saada. Siirtofunktion muodostamista ja sillä operointia harjoitellaan lisää harjoituksissa.

28

4. PROSESSIEN JA KONEIDEN INSTRUMENTOINTI Instrumentointi on yleisnimike sille fysikaaliselle laitteistolle, joka muodostaa liityntäpinnan automaatiojärjestelmän ja sen ohjattavana olevan prosessin välillä. Se sisältää:

• Anturit ja muut mittauslaitteet, joilla tieto prosessin tilasta tuodaan automaatiojärjestelmän tietoon

• Toimilaitteet, joilla automaatiojärjestelmän komennot muutetaan prosessissa

vaikuttaviksi suureiksi 4.1 Instrumentoinnin merkitseminen Instrumentointiin liittyvät toiminnat on tapana esittää – varsinkin laajojen tuotanto-prosessien automaatiossa – ns. PI-kaavion (prosessi-instrumentointi –kaavio) avulla. Kaaviossa esitetään prosessin toiminta karkealla tasolla ja siihen liitetty instrumentointi määriteltyjen ominaisuuksien tarkkuudella (esittämisessä on käytössä eri tarkkuusasteita). Kuvassa 1 on esitetty eräs PI-kaavio, joka kuvaa kaasua käyttävän energialaitoksen erään osaprosessin automaatiota. PI-kaaviota käytetään suunnittelutyössä muiden vastaavien teknisten piirustusten tapaan kuvaamaan pelkistetyssä ja mahdollisimman yksiselitteisessä muodossa automaatiosuunnittelun tulosta. Sen avulla siirretään tieto suunnitelmasta toiselle osapuolelle ja sitä käytetään dokumentoinnissa kuvaamaan automaatiojärjestelmän perustoimintoja. PI-kaavio piirretään nykyisin yleisesti itsedokumentoivan CAD-ohjelmiston tukemana.

KUVA 1. Tyypillinen PI-kaavio (erään kaasua polttavan energialaitoksen osaprosessi).

29

PI-kaavioissa käytettävistä päämerkinnöistä on olemassa SFS-standardit, jonka lisäksi eri automaatioalan yhdistykset julkaisevat suosituksiaan (esim. SAS = Suomen Automaatioseura on julkaissut omat tarkennukset). Koneautomaatiossa (lukuun ottamatta hydrauliikkaa) ei vastaavia yleisiä piirrosmerkkejä ole käytössä. PI-kaaviossa käytettävät standardin mukaiset merkinnät ja esimerkkejä kaavioista jaetaan harjoitusten yhteydessä. 4.2 Anturit Erilaisten prosessissa esiintyvien suureiden mittaaminen on oleellinen osa automaatiotekniikkaa. Automaatiotekniikka ei kuitenkaan kehitä mittaustekniikka kuin poikkeustapauksissa. Yleensä anturit valitaan kaupallisesti tarjolla olevista tuotteista. Teollisuusautomaatiossa valtaosa mittauksia koskee seuraavia perus-suureita:

• lämpötila • virtaus • paine • pinnankorkeus • asema, asento • nopeus • sähköiset suureet (virta, jännite...)

Tämän lisäksi on lukumääräisesti pieni mutta mittausmenetelmien suhteen laaja joukko erilaisia analyysisuureita, kuten konsentraatioita, pH-arvo jne. Standardiantureita käytettäessä niihin liittyy aina lähetinosa (yleensä fyysisesti anturin yhteydessä), joka antaa standardialueella olevan viestin:

sähköisellä viestillä 4-20 mA pneumaattisella viestillä 0-1 at (tekninen ilmakehä)

Kenttäväylien yleistyessä myös ns. älykkäät lähetinosat ovat yleistyneet. Tällöin anturin analoginen viestisignaali digitalisoidaan ja se liitetään suoraan kenttäväylään asianomaista liikennöintistandardia käyttäen. Automaatiosuunnittelussa anturiratkaisuun vaikuttaa seuraavat perustekijät:

• vaadittava tarkkuus/erottelutarkkuus • ympäristöolosuhteiden kesto:

o lämpö o kosteus o tärinä o kemiallisesti aktiivit aineet

• hinta Vaikka anturi ja lähetin yleensä voidaan olettaa nopeaksi prosessin aikavakioihin nähden, "dynaamista virhettä" saattaa syntyä asennuksen mukanaan tuomista lisätekijöistä. Esimerkki tästä on heti seuraavassa kappaleessa.

30

4.2.1 Lämpötilan mittaus Lämpötilan mittaus suoritetaan teollisuudessa yleisemmin joko termoelementillä tai vastusanturilla. Korkeat lämpötilat esim. uuneissa tai masuuneissa mitataan optisesti pyrometrilla (tai infrapunamittarilla kun kyse on suhteellisen matalista lämpö-tiloista). Mielenkiintoinen uusi tulokas alueella on ns. kuituanturit. Lämpötilamittaus on itsessään yleensä nopea. Huomattavakin dynaaminen virhe saattaa kuitenkin aiheutua asennuksesta suojataskuun. Tarkastellaan tätä tilannetta seuraavassa lähemmin, koska sen tiedostaminen on käytännön automaatio-sovellutusten kannalta varsin tärkeää. Kuvassa 2 on havainnollistettu suojataskun periaate.

KUVA 2. Lämpötila-anturi suojataskussa

Tietyin yksinkertaistavin oletuksin voidaan johtaa siirtofunktio mitattavan aineen lämpötilan (�) ja anturin tunteman lämpötilan (�a) välille:

)1)(1(1

))(())((

21 sTsTsLsL a

++=

νν

T1 + T2 = Ru'mpCp + (Rv + Ru')maCa

T1T2 = RvRu'mpCpmaCa

7.0v1'

kRRR

u

uu +=

missä

31

mp suojataskun kuoren massa Cp suojataskun kuoren ominaislämpö ma tuntoelimen massa Ca tuntoelimen ominaislämpö v aineen virtausnopeus suojataskun ohi k konvektiokerroin

UR suojataskun ulkopuolinen lämpövastus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== intymiskerrolämmönsiir;ulkopinta,1

uuuu

kAAk

Rv suojataskun ja tuntoelimen välitilan lämpövastus. Käytännössä T1 ja T2 halutaan mahdollisimman pieniksi. Tämä saadaan aikaan

• tekemällä taskun ja tuntoelimen massat mahdollisimman pieniksi • tekemällä lämpövastukset mahdollisimman pieniksi (erikoisesti Rv:n voidaan

vaikuttaa installoimalla anturi tiukasti käyttämällä esimerkiksi kuparitahnaa suojaputkeen)

• valitsemalla mittauspiste siten, että mitattavan aineen nopeus anturin suhteen tulee mahdollisimman suureksi

Kuvassa 3 on havainnollistettu lähinnä lämpötilan mittauskohdan valintaa eri käytän-nön tilanteissa.

32

KUVA 3. Lämpötila-anturi tulee sijoittaa kohtaan, jossa virtaus anturin ohi on mah-dollisimman suuri. Vastusmittaus:

• perustuu lämpötilakertoimeen

CRRRo1000

0100 −=α CRCR oo 100vastus,0vastus 1000 ==

Käytännössä yleisin vastusmittaus on Pt 100 DIN , jolle

α = (3,85 ± 0,01) · 10-3 oC

ja vastusarvo 0oC on 100Ω. Käytännön lämpötila-alue -220 ... +850oC.

Muita käytettyjä Ni 100 DIN ja Cu 100 DIN.

33

Termoelementtimittaus Termoelementtimittaus perustuu termoparin generoiman sähkö motorisen voiman mittaamiseen. Mittauskytkentä sisältää yleensä vertailuelementin (tunnetussa lämpö-tilassa, usein 0oC tai +50o°C). Kytkentä on tällöin kuvan 4 mukainen.

KUVA 4. Termoparin kytkentä. Termopareissa käytetyt materiaalit jaetaan kahteen ryhmään: I jalometallit ja jalometalliseokset II epäjalometallit ja seokset Esimerkkejä standardoiduista seoksista: I ryhmä: PtRh - Pt DIN II " : Fe - CuNi DIN, NiCr - Ni DIN II-ryhmän elementeillä on 5-7 kertaa korkeampi termojännite (~0,4mV/10 oC) kuin I-ryhmän elementeillä (�0,07mV/10 oC). I-ryhmän elementeillä on taas korkeampi sulamispiste, suurempi korroosiokesto ja parempi tarkkuus. Koska termoelementtien smv on ei-standardilla alueella, on automaatiojärjestelmien valmistajilla tapana tarjota erikoisliitäntäkortteja, joihin voi liittää 10-50 mittausta. Näin mittausta kohden tulevaa kustannusta voidaan pienentää. Pyrometrit ja infrapuna-anturit perustuvat säteilyn aallonpituuden muuttumiseen lämpötilan mukana. Infrapuna-alueella voidaan havaita matalia lämpötiloja. Pyrometrit soveltuvat lähinnä korkeiden (luokkaa 800-1000oC olevien lämpötilojen mittaukseen). Optisia pyrometrisia mittauksia käytetään usein uunien lämpötilan mittaukseen. Tällöin asennus saattaa olla hankalaa. Jos mitataan esim. materiaalin lämpötilaa uunissa, joudutaan järjestelmään asentamaan erillinen säteilyn kohdistava putki, johon johdetaan paineilmaa jäähdytystä ja savun poistoa varten kuvan 5 mukaisesti. Viime aikoina yleistyneen valokaapelin käyttö tarjoaa mahdollisuuden viedä keskusosa

34

etäämmälle optiikasta kuvan mukaisesti. Alimmassa kuvassa kaupallinen kannettava pyrometrilaite.

KUVA 5. Uunin lämpötilan mittaus pyrometrisesti.

Lämpötilaa mittaavat kuituanturit perustuvat esimerkiksi kuvan 6 mukaiseen ideaan. UV-pulssit virittävät fosforipalan, jonka lähettämän valopulssin pituus riippuu lämpötilasta. Kuituanturin etuja ovat pieni tilantarve ja lähes pistemäinen mittaus. Anturi on lisäksi nopea ja se voidaan tehdä kestämään kovia ympäristöolosuhteita.

35

KUVA 6. Lämpötilan mittaus kuituantturilla (eräs käytössä oleva periaate). 4.2.2 Virtausmittaus Teollisuudessa tavallisimmat virtausmittaukset ovat:

• kuristuslaippa ja venturi • rotametri • turbiini • magneettinen virtausmittaus

Muita vähemmän käytettyjä tapoja ovat esimerkiksi:

• vortex • äänikaikumittaus

Kuvassa 7 on havainnollistettu yleiskuvalla kaikkia näitä mittaustapaoja.

36

KUVA 7. Virtausmittauksen tavallisimmat toteutustavat. Kuristuslaippa- ja venturimittaukset perustuvat paine-eron mittaukseen tunnetun virtaushaitan yli. Paine-erosta saadaan massavirtaus Bernoullin lain perusteella

37

,2 pq ΔΑ= γαε missä

α virtauskerroin ε ns. paisuntakerroin A aukon pinta-ala γ virtaavan aineen tiheys Δp mitattu paine-ero

Virtauskerroin riippuu suhteesta d/D sekä kuristuksen muodosta (arvot löytyvät taulukoituina käsikirjoista). Paisuntakerroin ε = 1,000 nesteille ja ε = 0,95 .... 1,000 kaasuille. Paisuntakertoimen arvo saattaa riippua melko voimakkaasti lämpötilasta (arvot löytyvät taulukoituina käsikirjoista). Siten kuristuslaippa- tai venturimittaus joudutaan usein korjaamaan lämpötilan suhteen. Mikroprosessoripohjaisia järjestelmiä käytettäessä tarpeelliset laskennat paine-erosta lähtien on helppo suorittaa automaatiojärjestelmässä (tai älykästä lähetintä käytettäessä lähettimen prosessorissa). Vaikka paine-eron ja virtauksen muutokset ovat ajallisesti toisiinsa läheisesti sidottuja, saattaa dynaamista virhettä muodostua lämpötilamittauksen kaltaisesti mittausjärjestelyistä, joissa paine-eromittaus joudutaan viemään etäälle mittaus-kohdasta ns. impulssiputkia käyttäen (kuva 8).

38

KUVA 8. Paine-eron mittaus impulssiputkia käyttäen.

Tietyin oletuksin, joista tärkein on se, että impulssiputkessa virtaavan aineen virtausnopeus oletetaan suoraan verrannolliseksi paine-ero -näyttämän derivaattaan (pitää yleensä kohtuullisen hyvin paikkansa eri mittarityypeillä), voidaan johtaa seuraava linearisoitu yhtälö paine-erojen pienille muutoksille (siitä ΔΔ):

1)(1

)()(

212

21 +++=

ΔΔΔΔ

sTTsTTK

pLpL m

missä

221

21

m

xL

LTT

aaTT

=

=+

aL 2 kL qm (suureet kuvassa 8) ax mittarille ominainen vakio Lm impulssiputken pneumaattinen induktanssi (pituus/poikkipinta)

Käytännössä tämän siirtofunktion navat (l. nimittäjän nollakohdat) eivät useinkaan ole reaalisia. Kompleksiset navat merkitsevät käytännössä värähtelevää askelvastetta (luvussa 5 asiaan palataan tarkemmin). Siirtofunktio on muotoa

mm

XL

LLaa

ssKsC 1,

2missä,

21)( 22 ==

++= ως

ωςω

Vaimennusvakio ς (0 < ς < 1) ilmaisee vaimennuksen voimakkuuden ja kulmataajuus ω värähtelyn taajuuden. Käytännössä ς pyritään saamaan niin suureksi kuin mahdollista, lähelle ns. kriittistä vaimennusta 1, asettamalla kuristusventtiilin kL sopivasti. Tällöin askelvaste muuttuu ei-värähteleväksi yhden aikavakion piirin tyyppiseksi.

39

Aikavakioon voidaan vaikuttaa pienentävästi

• valitsemalla mittari, jossa ax mahdollisimman pieni • suunnittelemalla impulssiputki siten, että Lm on mahdollisimman pieni (lyhyet

johtimet). Muut virtausmittaukset (ks. kuva 7) Rotametrit ovat käyttökelpoisia varsinkin pienten virtausten mittauksissa. Soveltuvat myös kaasuille. Turbiinimittauksia on lukuisa joukko erilaisia. Kyseessä on periaatteessa tarkka mittaus myös ns. määrämittauksena (virtauksen integrointi). Virtaavan aineen ominaisuudet ja ympäristötekijät vaikuttavat kuitenkin huomattavasti. Magneettinen virtausmittaus on varsin tarkka ja tunteeton esim. virtaavan nesteen kiintoainepitoisuuksille. Se edellyttää kuitenkin nesteen olevan sähköä johtavaa ja ei siten sovellu kaikkiin tapauksiin (esimerkiksi voimalaitoksen kiertovesi on liian puhdasta). Vortex ja äänikaikumittausten suurimpina etuina on mahdollisuus mitata putken seinämän läpi tietyin edellytyksin. Hyviä tarkkuuksia ei ole kuitenkaan toistaiseksi saavutettu ja anturit ovat kalliita. 4.2.3 Paineen mittaus Tavallisimmat anturit painemittauksessa ovat

• kalvorasia • paljeputki • painekaari (Bourdon putki)

Viime aikoina on yleistynyt myös puolijohteiden (painetransistori) käyttö. Kalvorasioita tai vastaavia käytettäessä dynaamista virhettä saattaa syntyä samoin kuin virtausmittauksen yhteydessä mittausjärjestelystä. Tätä kuvaamaan voidaan johtaa samanlainen toisen asteen siirtofunktio kuin edellisessä kohdassa.

40

4.2.4 Pinnankorkeus Pinnankorkeuden mittaukseen löytyy lukuisia eri tapoja, jotka voidaan ryhmitellä:

• uimurityyppiset mittaukset • paine-eroon palautuvat mittaukset • kapasitiiviset mittaukset • vastuslankamittaukset • tutkaperiaatteella toimivat mittaukset

o äänikaiku o valopulssin kulkuaika

• säteilymittaukset Paine-eroon perustuvia mittausperiaatteita on havainnollistettu kuvassa 9 ja muita periaatteita kuvassa 10.

KUVA 9. Paine-eroon perustuvia pinnankorkeuden mittausperiaatteita.

41

KUVA 10. Muita pinnankorkeuden mittausperiaatteita.

42

4.2.5 Asema, asento, pyörimisnopeus Asema ja asento ovat varsin tavallisia suureita varsinkin kappaletavara- ja koneautomaatiossa. Vaatimuksena on usein suuri tarkkuus varsinkin silloin kun kappaleille suoritetaan työstö- tai kokoonpanotehtäviä automaattisessa tuotannossa. Myös useat muut mittaukset (esimerkiksi useimmat edellä tarkastellut mittaukset) palautuvat tavallisesti jonkin sondin, männän, bourdonkaaren, kalvon tms. aseman mittaukseksi. Tavallisesti asema halutaan muuttaa sähköviestiksi. Klassisia menetelmiä ovat

• potentiometrit ja kosketinanturit • venymäliuskat • puolijohdinsauvat • kapasitiiviset anturit • induktiiviset anturit ja differentiaalimuuntimet

Näitä mittaustapoja käytetään edelleen runsaasti. Kuvassa 11 esitetty taulukko vetää yhteen pääominaisuudet.

KUVA 11. Aseman ja asennon klassiset mittaustavat.

43

Uudemmassa mittaustekniikassa pyritään hyödyntämään tehokkaasti optisia mittauksia. Näitä ovat mm.

• valokytkimet • optiset enkooderit kulmamittauksissa • laserin käyttö etäisyyden mittauksessa • laserin ja kameran yhdistelmät paikannuksissa ja muotojen mittauksissa.

Optiset menetelmät ovat yleistymässä voimakkaasti. Etuina on mm.

• aineeseen koskematon mittaustapa • nopeus • kuituoptiikka mahdollistaa asennukset, jotka mekaanisilla ratkaisuilla

vaikeita, esimerkiksi kuumat, tärinälliset ja kemialliset aktiivisia aineita sisältävät ympäristöt

• tunteettomuus sähkömagneettisille häiriöille • peruskomponentit hinnaltaan edullisia

Varsinaisia haittoja vaikea löytää. Likaiset ja valoa huonosti läpäisemättömät ympäristöt (pöly, savu) aiheuttavat kuitenkin ongelmia soveltamisessa. Useissa sovellutuksissa asema tarvitaan ainoastaan binäärisenä tietona. Tällöin käytetään yleisesti valokytkimiä. Valokytkimet perustuvat valolähteen (lamppu, LED, jne.) lähettämän fokusoidun valosäteen katkaisun havaitsemiseen detektorilla (tavallisesti puolijohdedetektori). Laseria käytetään harvoin. Kuvassa 12 on esitetty valokytkin, jossa on valokuidut ja mikrolinssit. Viimeksi mainitut mahdollistavat kytkimen asentamisen etäälle varsinaisesta mittauspaikasta, jossa saattaa esimerkiksi lämpötilan vuoksi olla hankala ympäristö kytkimen elektroniikkaosalla.

KUVA 12. Valokuidulla ja mikrolinssillä varustettu valokytkin. Kuva 13 havainnollistaa valokytkimen käyttöä eri tilanteissa kun kappale halutaan esimerkiksi pysäyttää tiettyyn asemaan sitä kuljettavalla hihnalla.

44

KUVA 13. Valokytkimen eri käyttötapoja. Useissa sovellutuksissa asema halutaan mitata pyörivän akselin kulma-asemana (esimerkiksi robotin pyörivän nivelen asento). Akselin kulma-aseman mittaukseen käytetyimpiä laitteita ovat kiertopotentiometrit, resolverit ja optiset enkooderit. Kiertopotentiometrit ovat halvimpia ja yksinkertaisimpia. Heikkoina puolina kulumi-nen ja tarkoissa mittauksissa epälineaarisuuksien korjaus.

45

Resolverit ovat luotettavia ja kulutusta kestäviä, mutta suhteellisen kalliita ja hankalia käyttää. Resolveri on periaatteessa pienen moottorin tai generaattorin muotoon käämitty muuntaja, jonka staattoriin syötetään vaihtojännite ja jonka navoista mitattu amplitudi tai vaihe-ero (kytkennästä riippuen) on verrannollinen roottorin kääntymiskulmaan (akseli, jonka kääntymiskulma mitataan, kiinnitetään roottoriin). Optiset enkooderit ovat tarkkoja, kulutusta kestäviä ja suhteellisen halpoja. Ympäristökestoisuus (tärinä ja kosteus) on kuitenkin heikompi kuin resolvereilla. Optisia enkoodereita käytetään nykyisin varsin paljon erityisesti robotiikassa. Mittausmenetelmä perustuu akselin mukana pyörivään levyyn, johon on tehty valon läpäiseviä uria. Valon kulku mitataan valokytkimissä ja muutetaan asentotiedoksi. Levyn urituksella voidaan vaikuttaa asentomittauksen tarkkuuteen ja siihen saadaanko tieto absoluuttiasemasta suoraan (ns. absoluuttienkooderi) vai ainoastaan laskemalla pulsseja tietystä nolla-asennosta (ns. inkrementtienkooderi). Periaate on esitetty kuvassa 14.

KUVA 14. Optisen enkooderin periaate. Lineaariliikkeen tarkassa asemamittauksessa käytetään yleensä sähkömagneettista pulssilaskijaa (esimerkiksi työstökoneen karan asento). Peruselementtinä on hienojakoisesti hammastettu tanko, jonka urat tunnistetaan asentoa mittaavalla liukuvalla magneettipäällä. Kuvassa 15 on esimerkki eräästä kaupallisesta anturista, jonka mittaustarkkuus on mikrometri-luokkaa.

46

KUVA 15. Lineaariliikkeen mittausanturi. Nopeus liittyy lähinnä koneautomaation eri sovellutuksiin. Pyörimisnopeus on varsin tavallinen suure myös prosessiautomaatiossa (erilaiset laitteiden moottorikäytöt). Nopeus saadaan periaatteessa derivoimalla paikka. Käytännössä derivointi kuitenkin vahvistaa häiriöitä ja tulos joudutaan siten yleensä suodattamaan. Suodatus puolestaan saattaa aiheuttaa vaihevirhettä, joka näkyy viiveen luonteisena virheenä mittaus-signaalissa. Varsin usein ei-pyörivän liikkeen nopeus pyritään siksi palauttamaan pyörivän liikkeen nopeudeksi sopivalla välitysjärjestelmällä. Pyörivän liikkeen nopeus voidaan mitata suoraan tarkasti takogeneraattorilla, pulssilaskijoilla ja useilla optisilla menetelmillä. KIRJOJA AUTOMAATIOSTA JA MEKATRONIIKASTA C.J. Johnson, Process Control Instrumentation Technology (Third edition), Prentice Hall International Editions, 1988 J.G. Bollinger & N.A. Duffie, Computer Control of Machines and Processes, Addison Wesley, 1988 D.A. Bradley, D. Dawson, N.C. Burd and A.J. Loader, Mechatronics, Chapman and Hall, 1991

47

4.3. Toimilaitteet Yleisin toimilaite teollisuusautomaatiossa on venttiili. Varsin yleisiä ovat myös erityyppiset moottorikäytöt. Näiden lisäksi on lukuisa joukko muita toimilaitteita, joiden läpikäynti tässä ei ole mahdollista. 4.3.1 Prosessiventtiilit Prosessiautomaatiossa venttiili on tavallisin toimilaite. Venttiileitä löytyy runsaasti eri tyyppejä eri sovellutuksiin. Tavallisimpia ovat

• yksi- ja kaksi-istukkaventtiilit • kaksi- ja kolmitieventtiilit • läppäventtiilit • palloventtiilit

Kuvassa 16 on esitetty tyypillinen prosessiventtiili.

KUVA 16. Tyypillinen yksi-istukkainen prosessiventtiili. Venttiilin toimimoottorina on pneumaattinen kalvomoottori. Venttiili avautuu jousivoiman vaikutuksesta käyttöpaineen hävitessä. Venttiilin ominaisuudet määrää ominaiskäyrä, joka ilmoittaa virtauksen riippu-vuuden karan asennosta vakiopaine-erolla. Alla oleva kuva havainnollistaa asiaa.

48

Venttiilin läpivirtaus noudattaa Bernoullin lakia q C x p= ( ) Δ

ominaiskäyrä C(x):

• lineaarinen C(x) = Cx

• neliöllinen C(x) = Cx2

• tasaprosenttinen dxqdq α= → C(x) = eαx

Käytännön tilanne on alla olevan kuvan 17 mukainen. Venttiili on aina kytketty virtauspiiriin, jossa sen lisäksi on painelähde ja kuorma (esimerkiksi lämmönvaihdin tai hydraulinen sylinteri). Piirille pätee yhtälö

P = Δpv + Δpk

49

KUVA 17. Säätöventtiili virtauspiirissä. Kun virtaus muuttuu paine-ero Δpv ei pysy vakiona. Tästä johtuu, että lineaarinen venttiili ei ole käytössä useinkaan lineaarinen toimilaite. Tilanne on kuvan 18 mukainen. Riippuen suhteen Δpv / p suuruudesta lineaarinen venttiili käyttäytyy hyvin eri tavoin, ppp vR /min=Δ . Yleensä mainittu suhde halutaan pitää pienenä energiahäviöiden välttämiseksi. Kuten kuvasta huomataan lineaarinen venttiili käyttäytyy tällöin hyvin epälineaarisesti. Samassa tilanteessa tasaprosenttisen venttiili on kuitenkin suhteellisen lineaarinen.

KUVA 18. Lineaarinen ja tasaprosenttinen venttiili eri käyttötilanteissa. Periaatteessa venttiilin ominaiskäyrä voidaan työstää minkälaiseksi tahansa. Erikoisvalmistus on kuitenkin kallista, mistä syystä standardiominaiskäyrillä varustettuja venttiileitä pyritään yleensä käyttämään. Yleensä tavoitteena on alhainen ΔPR –arvo, koska painehäviö säätöventtiilin yli lisää energian kulutusta. Tällöin käytännössä lineaarisin venttiili saadaan tasaprosenttisella ominaiskäyrällä. Mikäli syystä tai toisesta käytetään korkeaa Δpv:tä on syytä varata neliöllinen tai lineaarinen venttiili.

50

Venttiilien toimimoottorina käytetään yleensä sähkömoottoreita, pneumaattisia kalvomoottoreita tai sähkömagneetteja. Toimimoottorin dynamiikka, jota voi yksinkertaisesti yleensä kuvata siirtofunktiolla

aikavakio,viivemissä,1

)( ==+

=−

VvV

st

v TtsT

esCV

voi olla huomattava dynaamista virhettä aiheuttava tekijä. 4.3.2 Hydrauliikkaventtiilit

KUVA 19. Tyypillinen hydraulinen servoventtiili. Hydraulisissa käytöissä tavallisin toimilaite on venttiilillä ohjattu sylinteri. Yleensä sylinterin halutaan liikkuvan molempiin suuntiin, jolloin venttiilissä on suunnanvaihto mahdollisuus. Venttiilit ovat joko proportionaalisia tai servotyyppisiä. Venttiilit ovat lisäksi yleensä luistityyppiä, missä suunnanvaihto on mahdollinen. Proportionaaliventtiileissä ohjaus antaa suoraan (mahdollisen esiohjauksen kautta) karan asennon. Servoventtiileissä on esiohjattu asennoitin, joka asettaa venttiilin

51

karan tarkasti haluttuun asentoon huolimatta karaan vaikuttavista vaihtelevista voimista. Kuvassa 19 on esitetty tyypillinen servoventtiilin toimintaperiaate. Kummatkin venttiilityypit voivat olla painekompensoituja, mikä tarkoittaa sitä, että käyttöpaineen vaihteluista huolimatta venttiilin yli pidetään tietty vakiopaine (yleensä säätämällä ohivirtausta). Hydrauliventtiilit ovat yleensä nopeita toimilaitteita, koska niillä pyritään ohjaamaan suhteellisen nopeita liikkeitä. Ohjattavien liikkeiden nopeudesta riippuen joudutaan hydraulipiirin dynaaminen käyttäytyminen analysoimaan usein hyvinkin huolellisesti. Seuraavaksi on esitetty siirtofunktioanalyysi tyypillisestä venttiili-sylinteri –yhdistelmästä, jota esittää alla oleva piirros.

Kuva 20 Venttiili-sylinteri –yhdistelmälle voidaan johtaa siirtofunktio. Yhdistelmä on tyypillinen toimilaitekokonaisuus esimerkiksi raskaiden työkoneiden liikkeiden ohjauksessa. Elektronista ohjausta käytettäessä sylinterin liikettä ohjataan ohjaamalla venttiilin karan paikkaa virtaohjauksella vahvistinkortin ja magneettisen toimilaitteen kautta. Fyysinen koneen liikkeitä ohjaava toimisuure on siis hydraulisylinterin männän varren tai karan asento. Suunnittelussa tarvitaan siirtofunktio ohjausvirrasta sylinterin männänvarren asentoon. Alla on esitetty lyhyesti kuinka tämä saadaan johdettua. Analyysi palvelee samalla esimerkkinä tyypillisestä käytännön tilanteesta, jossa siirtofunktio joudutaan määräämään periaatteessa epälineaariselle prosessille ns. pienten muutosten linearisointimenettelyn kautta. Määrätään aluksi siirtofunktio hydraulinesteen tilavuusvirtauksesta Q sylinterin männänvarren asentoon x

52

Kuva 21

paine ,vuotovakio,ssäaikayksikömuutosudenöljytilavusylinterin,

virtaustinenekvivalentaiheuttamastuksenkokoonpurivuotovirta,virtausenefektiivinjossa,

====

===++=

PLPLQxAQ

QQQQQQQ

L

m

c

LmcLm

&

roinstuvuuskerkokoonpuri,21

== BdtdP

BVQc

Kuormalle saadaan liikeyhtälö Newtonin perusyhtälön avulla

)akiovaimennusvkitkanviskoosin(, =++== fFxfxMAPF L&&& Laplace-muuntamalla molemmat yhtälöt saadaan

[ ])()()(1)(

)(2

)()()(

2 sFsfsXsXMsA

sP

ssPB

VLsPsAsXsQ

L++=

++=

Paine P eliminoimalla saadaan siirtofunktio virtauksesta sylinterin karan asentoon (kun kuormavoima FL = 0).

sA

LfAsA

MLAB

VfsABVMsQ

sX

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

22

1)()(

2

Venttiiliä voidaan karakterisoida alla olevan piirroksen mukaisella ominaiskäyrästöllä. Sylinterin työpaine P vaihtelee hitausvoimien ja normaalitilanteessa kuormavoimien takia. Yllä oletettiin kuormavoima nollaksi.

53

Kuva 22 Venttiilin karan asento, ohjaus i, määrää öljyn virtauksen maksimimäärän venttiilin läpi. Kun tietyllä hetkellä hitaus ym. voimat liikettä vastaan ovat pienet, on paine P pieni verrattuna hydraulipumpun tuottamaan paineeseen PS ; liike on nopeaa ja öljy virtaa vilkkaammin. Jos taas voimat liikettä vastaan ovat raskaat, nousee paine P lähemmäksi PS:ää ja öljyn virtaus on hitaampaa. Öljy ei virtaa ollenkaan tasa-painotilassa P = PS karan asennosta riippumatta. Approksimoidaan Bernoullin lain perusteella )( PPiKQ sv −=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ...

81

21

2

ssv P

PPPiK

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈ P

PiK

sv 2

11

Dynaamisessa tilassa i ja P muuttuvat. Muutokset voidaan olettaa nopeiksi siten, että virtauksen arvo vastaa kunakin hetkenä tasapainotilassa saatavaa arvoa ominais-käyrällä ),( PiQQ = Tarkastellaan pieniä muutoksia toimintapisteessä, tasapainotilassa ),( Pi

PKiKPPiP

QiPii

QQ qv Δ−Δ=Δ+Δ=Δ),(),( ∂

∂∂∂

54

jossa iP

KKs

vq 2=

Dynaamista tilaa voidaan nyt tarkastella olettamalla, että Δi -muutos vaikuttaa esimerkiksi ensimmäisen kertaluvun aikavakion hitaudella ja ΔP välittömästi (miksi?).

)()(1

)( sPKsIsT

KsQ qv

v Δ−Δ+

=Δ=

Sylinterin siirtofunktio pätee myös pienille muutoksille, jolloin yhtälön vasen puoli saadaan siirtofunktiosta; yhtälön oikealla puolella voidaan hyödyntää paineen ja voiman välistä riippuvuutta yllä P=F/A, jolloin saadaan

=Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ )(

222 sXs

ALfAs

AML

ABVfs

ABVM

( ) ⇒Δ+−Δ+

= )(1)(1

2 sXfsMsA

KsIsT

Kq

v

v

sTK

fA

KA

LfAsMA

KA

MLAB

VfsABVMs

sIsX

v

v

qq+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

=ΔΔ

11122

1)()(

2

Siirtofunktio ohjausventtiilin ohjaussuureen muutoksesta toimisylinterin karan tai männän varren asentoon on siis melko mutkikas 4:nen kertaluvun funktio. Huomaa, että siinä on termi 1/s, mikä merkitsee käytännössä sitä, että kara liikkuu aina kun venttiili on auki (selitä tämä itsellesi!). 4.3.3 Muut toimilaitteet Toisen suuren toimilaiteryhmän muodostavat erityyppiset sähkömoottorikäytöt. Teollisuudessa käytetään sekä tasa- että vaihtovirtamoottoreita. Sovellutuksesta riippuen kokoluokka saattaa olla muutaman watin tehosta usean megawatin tehoon. Sähkömoottoreiden ohjauksessa tavanomaisia teknisiä ratkaisuja ovat tyristorisillat, invertterit ja pulssiohjaimet (pulssimoottorit). Nämä ovat yleensä nopeita ja helppokäyttöisiä toimilaitteita. Suurten moottoreiden tapauksessa vasteajoissa saattaa kuitenkin esiintyä suhteellisesti pitkiäkin viiveitä (esim. paperikoneen perälaatikon painesäätö kiertovesipumpulla, jonka teho on useita megawatteja). Seuraava kuva esittää sähköistä lineaarista toimilaitetta, jota käytetään demonstraatioissa esitellyn WorkPartner-robotin nivelliikkeiden ohjauksessa. Sen peruselementtejä ovat moottori (tässä tapauksessa ns. harjaton tasavirtamoottori eli EC-moottori), vaihde (ns. planeettavaihde) ja kuularuuvi, jonka avulla varsinainen lineaariliike aikaansaadaan. Kuularuuvin karaan on porattu pieni reikä, johon on liimattu voimaa mittaava venymäliuska-anturi (force sensor). Vaihde on taitettu 90-asteen kulmaan, jotta koko toimilaite saadaan pieneen tilaan. Tasavirtamoottorille esitetään dynaaminen malli myöhemmin luvun 5 yhteydessä.

55

Kuva 23: WorkPartner-robotin sähkömoottorikäyttöinen lineaaritoimilaite 4.4 Tietokoneliitännät Liitännöillä tarkoitetaan tässä tulo- ja lähtösignaalien liittämistä tietokoneelle. 4.4.1 Tuloliitännät Informaatiota tietokoneelle välittävät signaalit voidaan jakaa kolmeen ryhmään: Analogiasignaalit

• galvaaninen erotus o yleensä optoerotus o vanhemmissa laitteissa "lentävä kapasitanssi"

• esisuodatus • A/D-muunnos

Galvaanista erotusta ja A/D-muunnoksen periaatteita on havainnollistettu kuvassa 24. Binäärisignaalit

• galvaaninen erotus (yleensä optoerotus) • on/off –tilan tunnistus

56

KUVA 24a) Galvaanisen erotuksen periaatteita

A/D muunnos takaisinkytkemällä D/A-muunnos D/A-muunnos

KUVA 24b). Analogia-digitaali- ja digitaali-analogiamuunnoksen periaatteita. Digitaalisignaalit

• pulssilaskenta • sarja- tai rinnakkaismuotoisen tiedon vastaanotto väylältä.

57

Digitaalisessa automaatiossa näytteenottovälin valinta muodostaa erään perustavaa laatua olevan ongelman. Näytteenottoon liittyvää teoriaa ja ns. Shannonin lausetta on tarkasteltu erikseen myöhemmin kohdassa 4.5. 4.4.2 Lähtöliitännät Tietokoneelta toimilaitteille välittävät ohjaussignaalit voidaan jakaa neljään ryhmään: Analogialähdöt

• D/A –muunnos + pito • tukiasematoiminta

o viimeisen arvon pito ja käsiohjaus tai

o automaattivaihto varmistuksena olevalle erilliselle säätöpiirille Binäärilähdöt

• on/off –signaalin asetus tietyllä maksimivirtaotolla • käsiohjauskytkimet

Pulssilähdöt

• pulssin pituusmoduloitu signaali (esimerkiksi moottoriohjauksen tai pneumaattisten laitteiden ohjaus)

• pulssilukumäärä, esimerkiksi askelmoottoriohjaus Digitaaliset lähdöt

• sarja- ja rinnakkaismuotoiset väylät. Signaalien periaatteellista kulkua tietokoneen I/O-liitännässä ja sisäisessä arkkiteh-tuurissa on havainnollistettu kuvassa 25.

KUVA 25. Signaalin kulku digitaalisessa automaatiojärjestelmässä 4.5 Näytteenoton vaikutus

58

Näytteenotossa ajan suhteen jatkuvasta signaalista muodostetaan numerojono, joka kuvaa fyysistä signaalia digitaalilaitteen sisällä. Näytteenotto on tavallisesti tasavälinen, mutta näytteenottoväli voi myös vaihdella ajan suhteen, jolloin puhutaan vaihtuvavälisestä näytteenotosta. Näytteenotossa aiheutuu virhettä (informaation menetystä) periaatteessa kahdella tavalla:

• signaalin arvo tunnetaan ainoastaan diskreeteissä aikapisteissä • A/D-muuntimen epätarkkuus aiheuttaa kvantisointivirheen

59

4.5.1 SHANNONIN näyteteoreema Signaali x(t), jonka F-muunnos on nolla äärellisen välin (-ω0 ,ω0) ulkopuolella, voidaan esittää yksikäsitteisesti tasavälisesti otettujen näytteiden avulla jos näytteenottotaajuus ωs ≥ 2ω0. Signaali voidaan laskea ("rekonstruoida") näytteistä seuraavasti

∑∞

−∞= ΔΔ−Δ−

Δ=k

s

ttkttkttkxtx/)(

2/)(sin)()(πω

missä Δt on näyteväli ja ts Δ

=12πω .

Shannonin teoreemaa ei todisteta tässä yhteydessä. Todistus lähtee signaalin Fourier-muunnoksesta X(ω) ja käyttää hyväksi siitä edelleen muodostettua jaksollista muunnosta XS(ω), joka yhtyy siihen (1/Δt:llä kerrottuna) ko. äärellisellä välillä. Kun edellinen muunnos esittää alkuperäisen signaalin spektriä niin jälkimmäinen esittää siitä muodostetun näytejonon spektriä. Yllä mainittu signaalin rekonstruktio tunnetaan Shannonin rekonstruktiona. Huomaa, että se ei ole kausaalinen (ts. x(t) riippuu arvoista x(kΔt), kun kΔt > t. Rekonstruktiolla ei ole siten käytännön merkitystä. Itse teoreemalla on kuitenkin huomattava periaatteellinen merkitys, koska se antaa alarajan näytetaajuudelle, jonka yläpuolella jatkuvaan signaaliin sisältyvä informaatio säilyy täydellisenä näytejonossa. Kulmataajuutta ωS = 2ω0 kutsutaan kutsutaan Nyquist-taajuudeksi ja se siis antaa pienimmän näytetaajuuden, jolla informaatio säilyy. 4.5.2 Laskostusilmiö (aliasing) Signaalin ja sen näytejonon spektri suhtautuvat toisiinsa kuvan mukaisesti

60

Nähdään, että varjostetulla alueella olevilla taajuuksilla, esimerkiksi ω1, näytejonon spektri

∑∞

∞−

+= )()( ss kXX ωωω muodostuu siten, että

)()()( 211 ωωω XXX s += ,

missä

0,2212 ≥−

Δ= ωωπω

t

Spektri siten "laskostuu" näytteenotossa. Laskostumista ei tapahdu mikäli ωs ≥ 2ω eli Shannonin näyteteoreeman ehto toteutuu. Näytejonon spektri on tällöin alla olevan kuvan mukainen.

Nähdään myös, että mikäli em. ehto ei ole voimassa ja signaalin spektri näytteenoton jälkeen "puhdistetaan" korkeimmista taajuuksista kuin ω0, ei silti vältytä alku-peräisen spektrin vääristymältä. Tästä syystä yleensä ehto ωs ≥ 2ω halutaan voimaan joko suodattamalla alkuperäistä signaalia alipäästösuotimella tai käyttämällä riittävän korkeata näytetaajuutta. Laskostusilmiö ja näytejonosignaalin spektrin jaksollisuus näkyy myös aikatasossa siten, että kahden eri taajuisen signaalin näytejono saattaa olla täsmälleen sama, kuten alla oleva kuva havainnollistaa.

Näytetaajuus korkeampitaajuiselle signaalille ω ei ole riittävä vaan se "laskostuu" taajuudeksi ω�(alempi taajuus), joka on

122 ωπω −Δ

=t

.

61

5. OHJAUS- JA SÄÄTÖTOIMINNOT Automaatiotoiminnat toteutetaan käytännössä asettamalla lähtöjä

• ainoastaan aikaan sidotusti • huomioimalla ajan lisäksi myös tuloja • ainoastaan tulojen perusteella

Jos käytetään pelkästään binäärisiä tuloja ja lähtöjä, puhutaan loogisesta ohjauksesta (logiikkaohjauksesta). Jos tulot ovat jatkuvia analogisia tai digitaalisia signaaleita puhutaan jatkuvasta ohjauksesta tai säädöstä (huom! lähtösignaalien ei tarvitse olla jatkuvia). Ohjauksen toteutus voi perustua joko myötä- tai takaisinkytkentään tai näiden yhdistelmään. 5.1 Binäärilogiikka (ohjelmoitavat logiikat) Logiikkaohjauksen etuna on

• yksinkertaisuus • toiminnan nopeus • toteutuksen suhteellinen edullisuus.

Logiikkaohjaukset soveltuvat hyvin seuraaviin tehtäviin:

• vaiheittain etenevien prosessien ohjaus • prosessin toimintatilan loogiseen ilmaisuun • varmistustoimintojen, kuten suojausten ja turvalukitusten toteutukseen.

Logiikkaohjaukset sen sijaan eivät sovellu hyvin

• prosessisuureiden tarkkoihin asetteluihin • servotyyppisiin toimintoihin (ts. toimintoihin, joissa ohjattavien suureiden

asetusarvoja muutetaan jatkuvasti) Logiikkaohjaukset voidaan toteuttaa

• releistöllä tai ns. kiinteästi langoitetuilla logiikoilla • ohjelmoitavilla logiikoilla • yleiskäyttöisiin automaatiojärjestelmiin sisältyvillä logiikka-ohjelmistoilla.

Ohjelmoitavien logiikkojen nopea kehittyminen on tehnyt niistä varsin tärkeän peruselementin teollisuusautomaatiossa. Releistöt ja kiinteästi langoitettavat logiikat ovat väistymässä eräitä erikoisalueita (sähkönjakelu, kriittiset koneohjaukset, jne.) lukuun ottamatta. Yleiskäyttöisiin automaatiojärjestelmiin sisältyviä logiikkatoimintoja on edullista käyttää silloin kun näitä järjestelmiä käytetään muutenkin toteutuksessa. Mikäli toteutetaan lähes ainoastaan logiikkatoimintoja ohjelmoitava logiikka on yleensä paras vaihtoehto.

62

Logiikka-toiminnot jaetaan käytännössä kahteen perustyyppiin: • kombinaatiologiikat • sekvenssi (l. askeltavat) logiikat.

Kombinaatioloogisissa toiminnoissa lähtöjen tila määräytyy suoraan tuloista johdettujen loogisten ehtojen perusteella. Kunkin lähdön hetkittäinen tila muuttuu tulojen hetkittäisten tilojen mukaan tietyn loogisen lausekkeen (Boolen funktion) perusteella. Sekvenssiloogisessa toiminnossa tulot saavat aikaan joukon toisiaan seuraavia toimintoja, jotka saattavat logiikkajärjestelmän eri tiloihin. Kussakin tilassa (askeleessa) voi olla oma kombinaatiolooginen ehto lähtöjen asetukselle. Teollisuuden automaatiosovellutukset sisältävät useimmiten tarpeen kummankin laatuisiin logiikkatoimintoihin. Ohjelmoitavat logiikat tukevatkin yleensä molempia toimintoja. Tyypillinen teollisuudessa käytettävä ohjelmoitava logiikka koostuu logiikkakorteista ja niiden ohjelmointivälineistä, esimerkkinä Siemens SIMATIC. Vasemmassa kuvassa on logiikkakortteja ja oikeanpuoleisessa niiden ohjelmointivälineitä. Yksi logiikkakortti sisältää yleensä useita (16-32) I/O-liityntää, niiden suojaukset ja prosessorin. Ohjelmointi tapahtuu yleisesti PC:n tai varta vasten kehitetyn työaseman avulla graafista käyttöliityntää käyttäen.

Seuraavassa tarkastellaan esimerkkinä yksinkertaista, puhtaasti logiikkaohjauksella automatisoitua prosessia. Prosessi on valmistusreaktori, jossa suoritetaan seuraava valmistusoperaatio:

• kahdesta aineesta koostuvan panoksen muodostus 100°C:sta • panoksen lämpötilan nosto 300°C:sta • sekoitus 1200s • panoksen purku kuljetussäiliöön

63

Toiminnat voidaan esittää vuokaaviona seuraavan kuvan mukaisesti.

64

Yksittäiset toiminnot voidaan edelleen purkaa logiikkakaavioksi (ainoastaan osa alla; merkinnät ns. amerikkalaisen standardin mukaisia).

65

Ohjelmointi tapahtuu määrittelemällä aluksi I/O-osoitteet esimerkiksi seuraavasti

Vastaavasti sisäiset muuttujat

Ohjelmointi ns. relekaavioesitystä (ladder scheme) käyttäen näyttää seuraavalta (merkinnät itseselkoisia).

66

Ohjelma jatkuu...

67

5.2 Sumea logiikka (Fuzzy Logic) Viime aikoina perinteisen binäärisen logiikan rinnalle on noussut ns. sumea logiikka (Fuzzy Logic), joka on saanut nopeasti laajenevaa suosiota käytännön sovellutuksissa ja automaatiolaitteiden valmistajat ovat alkaneet valmistaa myös sitä tukevaa erityistä laitteistoa (elektroniikkakortteja). Seuraavan esityksen tarkoituksena on antaa lyhyesti kuva siitä mistä on kysymys. Aihepiiri sinänsä on suhteellisen laaja ja teoreettisesti vaativa. Sitä käsitellään perusteellisemmin jatkokursseilla. Sumean logiikan perusajatuksena on käsitellä suureita tavalla, joka muistuttaa ihmisen luonnollista tapaa käsitellä niitä. Ihminenhän ei tyypillisesti itse käsittele suureita ensisijaisesti tarkkoina numeerisina arvoina (esimerkiksi lämpötila on 57,5oC), vaan vertailevasti ja symbolisesti (esimerkiksi lämpötila on "melko korkea"). Sumean logiikan formalismilla tämän tapainen käsittelytapa saadaan matemaattisesti eksaktiksi ja sitä voidaan soveltaa myös automaattisessa ohjauksessa. Ohjaus on tällöin tyypillistä loogista ohjausta, joka ei kuitenkaan ole luonteeltaan binääristä, kuten edellä, vaan moniarvoista, mutta perustuu kuitenkin samoista loogisista päättelysäännöistä (tyyppiä jos A ja B niin C muuten D...) laadittuihin rakenteisiin kuten logiikkaohjaukset edellä. Sumean logiikan peruslähtökohtana on sumean joukon käsite. Sumeassa joukossa alkion kuuluminen joukkoon ei ole binäärinen käsite (kuuluu – ei kuulu), vaan sille määritellään kuulumisaste ns. jäsenyysfunktion avulla. Tämä funktio, joka saa arvoja [0, 1], on määritelty periaatteessa kaikille perusjoukon alkioille. Niillä alkioilla, joilla arvo = 0 voidaan sanoa, että ne eivät kuulu varmasti joukkoon ja niillä alkioilla, joilla arvo = 1 vastaavasti, että ne kuuluvat joukkoon. Kaikilla muilla alkioilla kuuluminen on eri asteista. Seuraava esitys, joka on lainattu kirjasta Kaufman & Gupta, Fuzzy Mathematical Models in Engineering and Management Science, Elsevier Science (1991), käy läpi matemaattisen joukko-opillisen perusmäärittelyn havainnollisessa muodossa.

68

Sumeilla suureilla voidaan operoida myös loogisesti käyttäen normaalin lauselogiikan konnektiiveja. Tällöin yksinkertaisin ja yleisemmin käytetty tapa (myös muita tapoja on olemassa) on määritellä konnektiivien "totuusarvot" käyttäen jäsenyysfunktioiden max- ja min- operaatioita (vastaten tai- ja ja-konnektiiveja) sekä rajoittaen implikaation (jos ... niin) tulospuolella olevan muuttujan jäsenyysfunktion maksimi lähtöpuolella olevan muuttujan jäsenyysfunktion maksimiin. Kun sumeaa logiikkaa käytetään ohjaamaan prosesseja on lähtösuure "normalisoitava" ennen sen muuttamista esimerkiksi toimilaitteelle meneväksi jännitteeksi. Tätä prosessia kutsutaan selkeytykseksi (defuzzification). Sumealle suureelle valitaan tällöin edustaja, joka on normaali lukusuure. Edustajan valitseminen voi tapahtua periaatteessa usealla eri tavalla. Käytännössä käytetään yleensä kahta tapaa, joko jäsenyysfunktion maksimikohdan tai painopisteen määräävää arvoa. Seuraava esitys on lainattu Omron-yhtiön esitteestä, jossa yksinkertaisen havaintoesimerkin avulla esitetään kahden säännön logiikkaan perustuva auton automaattijarrutuksen sumea ohjaus. Mittaussuureena on autojen välinen etäisyys, joka voidaan mitata esimerkiksi millimetri-aaltoalueen tutka-anturilla (eräissä kalliissa autoissa jo käytössä). Japanilainen Omron-yhtiö on ensimmäisenä tuonut markkinoille sumeaa logiikkaa tukevia erikoisprosessoreita. Yhteenvedon omaisesti ja yleisimmin voidaan todeta, että sumea ohjaus ja säätö toteutetaan käyttäen päättelysääntöjä ja seuraavan kaavion mukaista "sumeutus"-"selkeytys" –kaavioita. Sumeutuksessa muodostetaan analogiselle numeeriselle suureelle kielellinen symboleja hyväksikäyttävä sumea vastine. Sääntöjen käsittely suoritetaan sumean relaation periaatteita käyttäen. Selkeytyksessä etsitään sumealle suureelle jälleen analoginen numeerinen vastine hakemalla edustaja kullekin suureen sumealle joukolle. Tämä voi tapahtua usealla eri tavalla. Tavallisimpia tapoja ovat kuulumisfunktion painopisteen tai mediaanin määrittäminen ja kyseisen kohdan valitseminen joukon edustajaksi numeerisessa maailmassa. Lisätietoa voi hakea esimerkiksi kirjasta C.J. Harris, C.G. Moore and M. Brown, Intelligent Control, Aspects of Fuzzy Logic and Neural Nets, World Scientific, 1993.

CHAPTER 2

THEORY OF FUZZY SETS

A act is a collection of objects that arc well spceificd and pwscss some cornmoll

propah. T h a objects may rcplcfmt some abstract amccpt, or may be a wIlcction of some physical popatics. It can be 6nik or infinite, m m b I c or non-enumerable.. This is an intuitive delinition of a set, dthough mathcmatici prefer to use mom sophisticated de6nitim. However, for problems in applied mathematics and the model- ling problems in englneaing and management science discussed in this book thc de6nition given above la s u f k b t .

2.1 Theory of B i i Seta

and for an infinite en-bIc rct,

E = (a1, a* "'.a,,. "'I.

In thc case of an infinite nonmumerabk sct, rcal numbua are usually rcplcfmted by a symbol tikc R (14 numben), R* (mu negative real numbers), R: Witive rcal numbers), N (natural numbas), Z (inkgem), ctc.

Inasctanelemmt~uchasa~ h(2.1)1)(22)inR,ircallcdthemcmberofthcscr

A subsct is a collation of some mmkn from a sCT FOP example, given a set E,

E=(a ,b ,c ,d ,e . f ,g l (2.3)

2. Thcory of Fuzzy Sets

a b c d c f g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Set Opefatloas

2. I Theory of e m Sets

We shall now give ~ r m c examples fcr finite nfnential s*s.

Example 2.1

a b c d e f g

0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1

a b c d e f e

The intersc*im, union and cokplcmcntation on thesc subsets arc given by

and

a b c d c f g

'T - 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

'where A means 'ndnimurri ad V 'maximum'. lkac opentiom arc shown below in a tabulnrfolm

2.2 Theory of Fuzzy Sets

where [O, 11 is the segment a clad iatsrval from 0 to 1. A subset in (2.21) is a fullzy subset (or f i s*). Thus, a fuxy subset has a membership fundon with rmt only valucsofO(dcumtbelmgto)or1 (bclongsto),butanynumbaovp.thtintavPlOsnd 1. Forex&npk, 0.3,0.512,0.99. -.

coasidcr now tht fonowing exalkplr..

Example 22 (v) Exclusim:

A nz=+

with a subset A given by

(vii) Involution - (A)=A.

llc s* in Pigun 2 1 npnrents an adiaary set in R while that in Figme 2.2 npra~sltsafuxysetinR

2. Theow of Fuzzy Sets

0 ' XE R

Figure 2.1 An ordiaary set in R

2.2 Theory of Fuzzy Sets

The intascction (maximum), union (maximum) and complcmcntation operators defined csrlia csn be used Plso for fuzzy ~ k . We will show this by means of an exam- ple.

a b c d e f

. 7 I A 1 0 1 . 5 ) .21 1

and

ThmthcintersectionofAandBisdclincdas

a b c d e f

a b c d c f

The union of A and B is dc6ued as

a b c d c f

B -

Finally, the complc~nt of A is given by

.31 1 1 A 1 .91 0 1 1

X E R

a b c d c f

Figure 2.2 A fuzzy set in R

- A = .31 . 6 l 1 1 . 5 ] .81 0

2. Theory of Fuzzy Seh

a b c d e f A n X - ( .3 / . 4 ) 0 1 5 1 2 0 l Z O

a b c d c f

Figm 3 ihom how thc fuay set A-old ia modified by mch modi&n as ' I d and ' v q ' .

The Roduet Set

2.2 Theory of Fuzzy set8 1:

AftzEyrcfatiwbetwemElandE2caobc~bythercfatiwmpcrixgivenby

"Fuzzy" Made Clear What is "Fuzzy?"

Originally stemming from the fun which covers baby chicks. the term "fuzW" in Englii means "indistind, bhmed, not mly delineated or focused." This term is 'flou" in French and pro- nounced "alrnai" In Japanese. In the academic and techndogi- cal worlds, "fuzzy" is a technical term. Fuzziness in this sense represents ambiguity or vagueness based on human intuitions rather than being based on probability. Twenty six years ago, Professor L d A. Zadeh introduced "fuzzy sets" to adapt the concepts of fuzzy boundaries to science. Fuzzy theory was de- vised amund the fuzzy sets and a new field of engineering known as "fuzzy engineering" was bom. Although "fuzzy sets" may sound vey mathematical, the basic concept can be explained &ply.

How Fuzzy Theoly Works Fuezy -

Let's take an example of the concept 'mkldle age." When we hear the term "middle age," a certain image comes to mind. But, it is a concept with fuzzy boundaries which cannot be handled by conventional computers using the b i i system. This is where fuzzy theoy comes in. Let's suppose that we haw concluded that middle age is 45. However, people 35 or 55 years of age cannot be said to be "defiteiy not middle- aged." There is a feeling, harrever, that the implication of "middle

age" is somewhat different inside th& boundaries. n the contrary, thase younger than 30 or older than 60 can be considered "definitely

not middle-aged." Such a concept can be represented in a gmph (Fig. 1). or

a characteristic function called the "membership function" having a grade between 0 and 1. A fuzzy set is represented by this mem bership fundion. However, note that the Qrade within the mem- bership function can be continu- ously varied between 0 and 1. This makes possible the quanti- tative representation of an a b stmct intention.

Fig. 1 Fupy SBts

Grade

a p Sets In conhast, the Mnary system employed in conventional com-

puters works by first specifying a fixed range, so that "middle age" represents the age range from 35 to 55 years old. Thii is represented by the graph shown in Rg. 2.

Fig. 2 crisp Sets

Grade

According to this graph, people who are 34 and 56 years old are not 'middle-aged." Unfortunately, someone who is now considered young at 34 will suddenly enter middle age as soon as their next birthday anives! This sort of unnatumlness is dw to inflexible value.&gnments. Such concepts with diitinct val- ues of 0 or 1 are called "crisp sek" as opposed to the "fuzzy sets."

Fumy neory in Action Fuzzy Algorithm One example of fuzzy theoy applications is the handling of

approximate numbers as shown in Fig. 3.

Flg. 3 Fuzzy Algorithm

2 + 6 - 8 ( U n d e h d numben show furry numbers, - 2 x 6 - 4 - 8 meaning they are approximate &.)

If approximately 2 is added to approximately 6, the result will be something around 8. People often make this sort of calcula- tion. For instance, we frequently estimate the result when per- forming a calculation such as "118 + 204." We would say that adding a number slightly over 100 to another slightly m r 200 equals a number slightly greater than 300. This sort of dab tion comes easily to human beings but cannot be so well handled by conventional computers, which must have crisp data wfth which to work.

The Logic in Fuzzy Logic Another field that applies fuzzy theoy concerns artJfMal intel-

ligence, termed "fuzzy logic." As shown in Fig. 4, one of the differences between fuzzy logic and conventional binary logic is thatthetruthvalueinfuzzylogiccanbeanyvaluebetween0 and 1, while that in binary logic is either 0 or 1. Another difference is that the fuzzy proposition indudes "fuzziness" as expressed in ordinaiy spoken language, in contrast to the aisp proposition which must be defined distinctly, and is not subject to human intuition.

"Nearly true" Fuzzy truth value

(0 - 1)

Fig. 4 Fuzzy Logic vs. Binary Logic

E!d??&& "It is vey doudy today." "It is doudy today." Funy proposition

r w u Y J a "Earth is a planet." "Earth is a planet." Crisp proposition

Common Sense Fuzzy "Fuzzy Inference" Is a reasoning method using fuzzy theoy,

whereby human kndedge is expressed using linguistic lules (,"If A is B, then C is D") with variables B and D. As shown in Fig. 5 (21, fuzzy inference is also called "daily infmce" or "common sense inference" since it is performed by odinay people. How ever, conventional computers that employ binay logic cannot handle this reasoning. The use of fuzzy theoy enables the de- dopment of an expert system that can handle sophiicated IvwMge and rich human experience through direct program- ming in an ahnost natuml language.

Binay logk-based inference is possible only when data coin- ddes exactly with the premise input. On the other hand, fuzzy inference is possible even when the meaning of the fact differs slightly from the given knowledge. hawing a conclusion like "Add a little co!d water," fuzzy Inference matches the conclusion based on human experience, intuition, or possibly even reality.

The 'knowledge" part of fuzzy inference has the structure "if A is B, then C is D." In the example shown in Fig. 5 (2). the concepts of "wry hot" and 'plenty of cold water" are subjective and thus reprewnted by fuzzy sets.

AS you may know, fuzzy theory was devised for'the purpose of enabling machines to handle subjectiw human ideas and opemte based on advanced howl* as well as applications of human beings' intricate experienca. In other words, fuzzy theoy allows for the development of buly user-friendly machines.

Fig. 5 Comparison of Inference Methods

Binay logic inference (Syllogism: A is B; B is C; therefore A

Premise 1: Socrates is human. Premise 2: AU humans are mortal. Conclusion: Socrates is mortal.

Fuzzy inference

Knowledge: If the water is vey hot, add plenty of cold water.

Fad: The water is moderately hot.

Conclusion: Add a little cold water.

The shapes dlffer depending upon the chamcbMks of the machine to be controlled. Normally, there are three (hge, me durn, =& five fiva, moderately high, normal, modemtely l o w , l o w ) , o r ~ ( l a r g e , m e d h p n a n d d b o t h i n ~ and negative directions, centering around approximately 0) la- b& m. 10). Many fuzzy contrdlers use sevenlab&, as in the OMRON R13000 fuzzy controller, for example.

Fig. 10 An Example of Triangukr Fuay Variables

Label , NL NM NS ZR PS PM PL

Gmde

0

(3) Replace linguisttc production rules wlth ccdes for simpler expreslon.

Although production rules can be expressed wlth ecresyday bgage, ccdes are used to simplify the input to the actual fuzzy controuers.

(Mstance between two can: X,; sped X.J 03rakiw strength: Y) (Labels - small, medium, large: S, M, JJ

Let's express the above rules using these codes.

Rule 2: If X, - M and X, - L, then Y - M. (ng. 11-2)

(4) Execute fuzzy inference control.

WhentherulesareprogrammedintothefuzzycontroUerand it is put into opemtion, the controller will output the most valid control value based on the variable input conditions.

1) Establish gmdes (validity) of input in relation to the fuzzy sets detetmined by the rules.

As for the fuzzy set (S: short distance) ddetermined by rule 1, the grade @ ) of the input distance "30m" k 0.4. Similarly, the grade @,J orthe input speed '40kmAY k 0.2 amding to the fuzzy set (M: moderately high speed). As for rule 2, gmde &,) and @n) can be determined as 0.7 and 0.6, respectiwly.

3 De* the grade of each antecedent part.

The gmde of antecedent parts can be determined by selecting the smaller due of the grades of inputs. This process is called 'determining MIN o."

Rule 1: As g = 0.4 and g,, = 0.2, -the grade (MIN d e j ' o f antecedent part ( g ~ - 0.2

Rule 2: As , - 0.7 and g, = 0.6, the grade (MIN valu$of antecedent part (gJ - 0.6.

3) Adjust the membership fundion of the consequent part.

The consecplent patt'of rule 1 is fuzzy set 0 representing hard bmking, while that of rule 2 is fuzzy set 0 representing medium (modemtely hard) bmldng. The gmdes (amplitudes) of these fuzzy membership functions are then adjusted to match the grades of their respecthre antecedent parts. As a result, the consequent parts of luleJ 1 and 2 are reqectkly shaped as shown by the diagonal Unes in Figs. 11-3 and 11-4.

Brake moderately ha& medium level.

4) Total evaluation of condusions based on these rules (determination of control amounts).

When the condusions are derived ttucugh inference based on each of thew rules (adjusted fuazy sets of the consequent parts), the fiial conclusion is then determined by summing the fuzzy sets of the conclusions for each rule. This process is called "detaminii MAX (maximum)." Fg. 11-5 shows the membership functlon (fuzzy sets) of the

final condusion. No control can be performed since the control amount &ding strength) has a wide range from hard to light. To determine the control amcunt at a certain point, the summed area of the fuzzy sets is W e d in huo. In other words, the center of gravity is determined. In this case, the center of gravity is located at a position moderately harder than medium strength, as indicated by the arrow. (Fi. 11-5)

This process considers several variable factors, and is thus vey similar to the human thinking process.

With fuzzy control, steps (1) through (4) are performed con- tinuously. In contrast, with information processing, these proce- dures are only executed each time the input data varies.

The Advantages of Fuzzy Inference Control - Conmtional contrd based on modern scientific analysis de-

termines the control amount in relation to a number of data inputs using a single set of equations to express the entire con- trol process. Expressing human experience in the form of'a mathematical formula is vety difficult, perhaps impossible. In conbast, fuzzy inference control has the foUowing advantages over conventional control:

Expression of control is easy as it need only derive local- ized control rules for each location. (or event) in the con- trol range. It therefore handles complex input/output by using many control rules, each of which is effective over a specific location. Operations can be conducted in pamllel (or simultaneously) withii fuzzy inference by executing mious rules. This results in speedy operation, regardless of the total num- ber of rules.

Loaid Control Funy inference control rules are expressed logically using

simple IhguMc rules ("If A is B, then C is D) . Because every- day language can be used, huzy inference control proves ideal for expressing the sophisticated knowledge of experts and incor- porating valuable intuition (or a "sixth sense").

1) Multiple conditions can be included as the antecedent part of the mles. fe.a.IfX. =A.X-=BandX.=C.thenY =DI

2) kulkules c& be &p&ssed with si mat regardless of normal or tions.

v Fuzzy rules can be expressed using ewryday

language, gMng the foUowing advanbges:

1) Funy control is easy to understand the machine operator or o h m .

2) The operator can eanly interpret the effect or outcome of each rule.

79

5.3 Säädöt Koneita ja prosesseja automaattisesti ohjattaessa säätöä tarvitaan pitämään toiminnan kannalta olennaisia suureita riittävän tarkasti halutuissa asetusarvoissa. Jos asetusarvoja muutetaan suhteellisen harvoin voidaan säätäjä virittää erityisesti eliminoimaan erilaisten häiriöiden vaikutukset, jolloin voidaan puhua asetus-arvosäädöstä. Esimerkiksi jatkuvatoimisissa kemian ja metsäteollisuuden prosesseissa on paljon asetusarvosäätöjä. Jos taas asetusarvoja muutetaan toistuvasti ja suureiden pitää pystyä seuraamaan asetusarvomuutoksia mahdollisimman tarkasti, puhutaan servosäädöstä. Esimerkiksi robotin liikkeiden ohjaus ja työstökoneen työkalun ohjaus ovat tyypillistä servosäätöä. Alla käytetään säädettävästä kohteesta yleisnimikkeitä prosessi tai järjestelmä. Jatkuva-arvoisten suureiden tarkka säätö häiriöisessä ympäristössä perustuu käytännössä aina takaisinkytkentään (feedback), kuva 5.3.1. Kullakin ajanhetkellä lasketaan säädettävän suureen senhetkistä mitatun arvon ja halutun arvon ero, jonka perusteella lasketaan uusi ohjaus siten että ero saadaan pienenemään eli säädettävä suure lähestyy asetusarvoa. Jos säädettävän kohteen toimintaan vaikuttavat häiriösuureet pystytään mittaamaan, voi niiden vaikutuksen ainakin osaksi kompensoida myötäkytketyllä (feedforward) kompensaattorilla. Hyvin suunniteltu myötäkytketty kompensaattori eliminoi häiriöiden vaikutuksen siten, että takaisinkytketylle säädölle jää häiriötilanteissa vain hienosäätö. myötäkytketty häiriö(t) kompensaattori asetusarvo(t) + takaisinkytketty + toimilaitteet + säädettävät säätäjä prosessi suureet _ + mittalaitteet Kuva 5.3.1 Säädön periaatekaavio Säätöjen suunnittelussa otetaan huomioon säädettävän prosessin dynaamiset ominaisuudet. Logiikkaohjausten suunnittelussa prosessin dynamiikka ei voida eikä tarvitse huomioida johtuen tulojen (mittausten) karkeasta luonteesta. Seuraavassa esitetään säätöteorian perusteet. Teoria pyritään esittämään käsittelemällä rinnakkain jatkuvan ajan ja diskreetin ajan tapaukset. Fysikaaliset signaalit ja prosessit ovat aina perusluonteeltaan jatkuva-aikaisia. Tietokoneella suoritettava digitaalinen säätö vaatii kuitenkin periaatteessa diskreetin ajan näytejonojen käsittelyä, koska kaikki informaatio tietokoneen sisällä on näytearvoihin perustuvaa ja sen käsittely tapahtuu algoritmisessa muodossa. Jatkuvan ajan tapauksen käsittely antaa kuitenkin käytännössä fysikaalisesti selkeämmän kuvan ja tästä syystä sitä käytetään usein

80

perustana suunnittelussa, vaikka lopputoteutus tapahtuukin tietokoneohjelmassa algoritmisessa diskreetin ajan muodossa. Säätöteoria on matemaattisesti vaativaa ja perusasioitakaan ei voida esittää ilman riittävää matemaattista käsittelyä. Säätöosan sisällysluettelo Opetusmonisteen sisällysluettelossa näkyy ainoastaan säätöosan pääotsikot. Kokonaiskuvan saamiseksi seuraavassa tarkempi sisällysluettelo säätöosan sisällöstä. 5.3. Säädöt (Edellä jo esitettyä johdantoa) 5.4. Dynaamisten järjestelmien mallit

1 Dynaamiset järjestelmät 2 Signaalien kausaalisuus ja lohkokaaviot 3 Siirtofunktiomallit 4 Tilaesitys 5 Epälineaarisen järjestelmän linearisointi

5.5. Dynaamisten järjestelmien ominaisuudet 1 Stabiilisuus 2 Navat & nollat ja askelvasteen karakterisointi

Ensimmäisen kertaluvun järjestelmä Toisen kertaluvun järjestelmä Kolmannen ja korkeamman asteen järjestelmät Diskreetit järjestelmät Integrointiasteen vaikutus jatkuvuustilan virheeseen Tilaesityksen ominaisarvot ja siirtofunktion navat

3 Taajuusvasteen karakterisointi Jatkuvan ajan taajuusvaste Taajuusvaste diskreetin ajan tapauksessa Jatkuvamuotoisen siirtofunktion approksimointi diskreetillä Bode- ja Nyquist-diagrammit Spesifikaation suljetun järjestelmän taajuusvasteelle Stabiilisuus taajuustasossa Vaihevara ja vahvistusvara

5.6. Säätäjien suunnittelu 1 Kompensaattorit ja säätäjät 2 Säätäjätyypit

Epäjatkuvat säätäjät Jatkuvatoimiset standardisäätäjät

3 Suunnittelu juuriuran avulla 4 Suunnittelu taajuustasossa 5 Monimuuttujasäätäjät

5.7. Ohjausten ja säätöjen implementointi ohjelmistossa.

81

5.4 Dynaamisten järjestelmien mallit Säädön suunnittelu säädettävän prosessin matemaattisen dynaamisen mallin pohjalta on ollut vallitseva lähestymistapa säätöteoriassa viime vuosikymmeninä. Prosessi on ensiksi mallinnettava jollain tarkoituksenmukaisella tavalla. Malli voidaan joskus laatia pelkästään fysiikassa ja kemiassa käytettyjen mallien ja kirjallisuudesta löytyvien parametritietojen pohjalta. Useimmiten kuitenkin mallin rakenne kiinnitetään rakenteesta ja mekanismeista käytettävissä oleva a priori –tieto hyödyntäen ja mallin parametrit estimoidaan kohteesta kerätyn datan pohjalta. Mallin identifiointia ei käsitellä tarkemmin perusopintojakson yhteydessä. Sen sijaan alla esitellään dynaamisiin malleihin liittyviä peruskäsitteitä ja kaksi tärkeintä malli-tyyppiä: siirtofunktiomalli ja tilamalli. Viime vuosina on tullut esille lähinnä sumean ja neuroverkkopohjaisen säädön yhteydessä operaattorin toiminnan mallintamiseen perustuva säätäjien toteuttamistapa. Seurataan miten ihminen operoi prosessia ja toteutetaan ihmisoperaattorin toimintaa imitoiva säätö joko sumean logiikan sääntöjen tai neuroverkon avulla. Näitä aihepiirejä on jo lyhyesti käsitelty aiemmilla luennoilla. 5.4.1. Dynaamiset järjestelmät Dynaamisella tarkoitetaan järjestelmään liittyvien ilmiöiden ja signaalien aikariippuvuutta; säädettävällä prosessilla on itsessään ajan suhteen tietty dynamiikka ja säädön avulla dynamiikka pyritään muuttamaan halutunlaiseksi. Dynaamiset prosessit voidaan kuvata differentiaaliyhtälöillä. Säätöteoria on "valmis" erityisesti lineaarisilla tavallisilla differentiaaliyhtälöillä kuvattavien järjestelmien säädön osalta. Tarkastellaan järjestelmää, jonka dynamiikka voidaan kuvata seuraavalla tavallisella differentiaaliyhtälöllä. d y t

dta d y t

dta dy t

dta y t b d u t

dtb du t

dtb u t

n

n

n

n n n

n

n n n( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )+ + + = + +

−

− −

−

− −1

1

1 1 1

1

1 1 (1)

jossa y(t) on järjestelmän ulostulo ja u(t) on järjestelmän sisäänmeno. Tarkastellaan rinnalla myös vastaavanlaista diskreettiä järjestelmää, jonka dynamiikka voidaan kuvata seuraavalla differerenssiyhtälöllä. y k a y k a y k n a y t n b u k b u k n b u t nn n n n( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )+ − + − + + − = − + − + + −− −1 1 1 11 1 1 1

(1d) jossa y(k) on järjestelmän ulostulon näytejono ja u(k) on järjestelmän sisäänmenon näytejono. Näytevälillä on aina jokin arvo T, mutta lyhyen esityksen vuoksi mallissa operoidaan ainoastaan näytejonon indekseillä. Näytejonon indeksin arvoa k vastaa reaaliajan ajanhetki kT. 5.4.2 Signaalien kausaalisuus ja lohkokaaviot

82

Säädön suunnittelu perustuu säädettävän järjestelmän signaalien syy-seuraussuhteiden eli kausaalisten suhteiden analysointiin. Kausaalisuhteet voidaan kuvata alla esiteltyjen lohkokaavioiden avulla. Todelliset reaalimaailman prosessit ovat sinänsä aina ei-antisipatiivisia eli kausaalisia: reaaliaikaiset prosessimittaukset sisältävät informaatiota ainoastaan jo tehtyjen ohjausten vaikutuksista. Tulevaisuudessa tehtävien ohjausten vaikutukset eivät voi näkyä etukäteen prosessin tilassa ja ulostulossa. Siirtofunktiolla kuvattua lineaarista järjestelmää on tapana esittää muunnostasossa ns. siirtolohkolla. Siirtolohkon ulostulosignaali on sisäänmenosignaalin ja siirtolohkon määrittelemän siirtofunktion tulo. Alla olevat kuvat liittyvät Laplace-muotoisiin siirtofunktioihin, mutta esitystä voidaan käyttää tietysti myös z-muotoisten siirtofunktioiden yhteydessä. Laajempia järjestelmiä voidaan kuvata osakohtaisten siirtofunktioiden yhdistelminä eli lohkokaavioina, joita voidaan käsitellä tietyin säännöin. Esim. kokonaissiirtofunktiota määrättäessä kaavio pitää yksinkertaistaa ja tiettyjen säätökonfiguraatioiden soveltaminen edellyttää tietynmuotoista lohko-kaaviota. Seuraavassa on esitetty tämän ns. siirtofunktioalgebran perussäännöt. Lohkokaavion summa- ja haarautumispisteet on esitetty kuvissa 1. Siirtolohkojen sarjaan ja rinnankytkentään liittyvät säännöt on esitetty kuvassa 2 ja 3. Säätötekniikassa hyvin keskeisen takaisinkytketyn säädön lohkokaavio ja suljetun järjestelmän siirtofunktio on esitetty kuvassa 4. Kuvat 5 ja 6 liittyvät summa- ja haarautumispisteiden siirtoon lohkojen yli.

Kuva 1. Siirtolohkon määrittely, summa- ja haarautumispisteet.

Kuva 2. Siirtolohkojen sarjaankytkentä.

83

Kuva 3. Siirtolohkojen rinnankytkentä.

Kuva 4. Takaisinkytketyn säädön lohkokaavio ja suljetun järjestelmän siirtofunktio.

84

Kuva 5. Summauspisteen siirto lohkon yli.

Kuva 6. Haarautumispisteen siirto lohkon yli. 5.4.3 Siirtofunktiomallit Laplace-muunnos on hyvin käyttökelpoinen dynaamisten järjestelmien analyysissä, koska sen avulla lineaariset tavalliset differentiaaliyhtälöt voidaan muuntaa algebrallisiksi lausekkeiksi.

85

Kun tarkasteltavaa järjestelmää kuvaavan differentiaaliyhtälön (1) molemmat puolet Laplace-muunnetaan ja jätetään alkuarvoriippuvuudet huomioimatta, saadaan s Y s a s Y s a sY s a Y s b s U s b sU s b U sn n

n nn

n n( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )+ + + = + + ⇔−−

−−1

11 1

11

Y sU s

b s b s bs a s a s a

G sn

n nn n

n n

( )( )

.... . .

( )=+ +

+ + +=

−−

−−

11

1

11

1

(2)

jossa y(t) on järjestelmän ulostulo ja u(t) on järjestelmän sisäänmeno ja U(s) ja Y(s) näiden Laplace-muunnokset vastaavasti.. Kuten aiemmin on jo esitetty, funktiota G(s) kutsutaan järjestelmän siirtofunktioksi. Vastaavasti diskreetissä tapauksessa z-muunnoksen avulla lineaariset differenssi-yhtälöt voidaan muuntaa algebrallisiksi lausekkeiksi, joissa muuttujana on nyt z. Kun tarkasteltavaa diskreettiä järjestelmää kuvaavan differenssiyhtälön (1d) molemmat puolet z-muunnetaan ja jätetään alkuarvoriippuvuudet huomioimatta, saadaan Y z a z Y z a z Y z a z Y z b z U z b z U z b z U zn

nn

nn

nn

n( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )+ + + = + + ⇔−−

− + − −−

− + −1

11

11

11

1

Y zU z

b z b z b za z a z a z

H zb z b z b

z a z a z an

nn

n

nn

nn

nn n

n nn n

( )( )

......

( )...

...=

+ ++ + +

≡ =+ +

+ + +

−−

− + −

−−

− + −

−−

+

−−

+1

11

1

11

11

11

11

11

111

,

(2d) missä y(k) on järjestelmän ulostulo näytejono ja u(k) on järjestelmän sisäänmenon näytejono ja U(z) ja Y(z) näiden z-muunnokset vastaavasti. Funktiota H(z) kutsutaan myös järjestelmän siirtofunktioksi tai myös pulssinsiirto-funktioksi, syystä joka selviää hieman myöhemmin. 5.5.4 Tilaesitys Siirtofunktiot antavat hyvän apuvälineen käsitellä lineaaristen skalaaristen differentiaali- tai differenssiyhtälöiden määrittelemää dynamiikkaa muunnostasossa. Aikatasossa tapahtuvaa käsittelyä ja myös monimuuttujaisten sekä epälineaaristen järjestelmien käsittelyä varten on kehitetty ns. tilaesitys-menetelmä, jonka perusteet seuraavassa esitetään.

86

Jatkuvan ajan tapauksessa Tavallisella vakiokertoimisella lineaarisella differentiaaliyhtälöllä kuvattava järjes-telmä (1) voidaan aina esittää tilamuodossa.

dx tdt

x t Ax t Bu t

y t Cx t

( )&( ) ( ) ( )

( ) ( )

= = +

=

⎧⎨⎪

⎩⎪ (3)

Missä x(t) on tilavektori, u(t) sisäänmeno eli ohjaus ja y(t) ulostulo eli mittaus. Ylempää ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä kutsutaan tilayhtälöksi ja alempaa staattista yhtälöä mittausyhtälöksi. Matriisit A, B ja C ovat vakiomatriiseja. Nimitys tilavektori johtuu siitä, että siihen varastoituu kullakin aikahetkellä koko järjestelmän käyttäytymisen historia. Kuten myöhemmin nähdään, sen tunteminen tietyllä ajanhetkellä mahdollistaa järjestelmän käyttäytymisen ennustamisen yksiselitteisesti kun ohjaus tunnetaan tästä ajanhetkestä eteenpäin. Tilan x dimensio n on sama kuin järjestelmää kuvaavan differentiaaliyhtälön tai yhtälöryhmän asteluku. Tilaesitys ei ole yksikäsitteinen vaan sama dynaaminen järjestelmä voidaan kuvata periaatteessa äärettömän monella erilaisella samandimensioisella tilaesityksellä (siis tilaesityksellä, joka antaa samat sisäänmeno-ulostulosignaalien parit). Kun ohjauksen eli sisäänmenon u(t) dimensio on m ja ulostulon eli mittauksen y(t) dimensio vastaavasti p ovat matriisien A, B ja C dimensiot vastaavasti n x n, n x m ja p x n. Jos järjestelmällä on vain yksi sisäänmeno ja yksi ulostulo puhutaan SISO-(Single Input Single Output)-järjestelmästä . Tällöin m ja p = 1. Kun yhtälöryhmän (3) molemmat puolet Laplace-muunnetaan saadaan

sX s AX s BU sY s CX s

( ) ( ) ( )( ) ( )

= +=

⎧⎨⎩

Kun ylemmästä matriisiyhtälöstä ratkaistaan X(s) saadaan

( ) ( )sI A X s BU sY s CX s

X s sI A BU sY s CX s

− =

=⎧⎨⎩

⇔= −=

⎧⎨⎩

−( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

Sijoittamalla näin saatu X(s) alempaan yhtälöön saadaan laskettua tilaesitystä vastaava siirtofunktio.

( ) ( )⇔ = − = = −− −Y s C sI A BU s G s U s eli G s C sI A B( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 Käänteinen toimenpide siirtofunktiosta tilaesitykseen ei ole yhtä suoraviivainen mutta se on kuitenkin aina mahdollinen.

87

Diskreetin ajan tapauksessa Vastaavasti vakiokertoimisella lineaarisella differenssiyhtälöllä kuvattava järjestelmä (1d) voidaan aina esittää diskreetissä tilamuodossa.

x k Fx k Gu ky k Cx k( ) ( ) ( )( ) ( )

+ = +=

⎧⎨⎩

1 (3d)

Missä x(k) on tilavektori näytejono, u(k) sisäänmenon eli ohjauksen näytejono ja y(k) ulostulon eli mittauksen näytejono. Ylempää ensimmäisen kertaluvun differenssi-yhtälöä kutsutaan tilayhtälöksi ja alempaa staattista yhtälöä mittausyhtälöksi. Matriisit F, G ja C ovat vakiomatriiseja. Tilan x dimensio n on sama kuin järjestelmää kuvaavan differenssiyhtälön tai yhtälöryhmän asteluku. Tilaesitys ei ole yksikäsitteinen vaan sama dynaaminen järjestelmä voidaan kuvata äärettömän monella erilaisella samandimensioisella tilaesityksellä. Kun yhtälöryhmän (3d) molemmat puolet z-muunnetaan saadaan

zX z FX z GU zY z CX z

( ) ( ) ( )( ) ( )

= +=

⎧⎨⎩

Josta voidaan ratkaista kuten jatkuvassakin tapauksessa diskreettiä tilaesitystä vastaava pulssinsiirtofunktio.

( ) ( )⇔ = − = = −− −Y z C zI F GU z H z U z eli H z C zI F G( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 Muoto on siis sama kuin jatkuvassakin tapauksessa. Esimerkkejä dynaamisista järjestelmistä Alla on esitelty muutamia tavallisilla lineaarisilla differentiaaliyhtälöillä kuvattavissa olevia järjestelmiä. Näissä esimerkeissä malli johdetaan fysiikan ja kemian peruslaeista.

88

Sähköpiiri Tarkastellaan aluksi seuraavanlaista sähköpiiriä. Kondensaattoriin ja kelaan liittyy dynamiikkaa. y = uR uL R L u C uC i Kuva 7. Esimerkkisähköpiiri. Olkoon järjestelmän tulosuureena tulojännite u ja lähtösuureena jännite vastuksen yli y = iR. Tiedetään että kondensaattorin ja kelan osalta

LLC u

Li

dtdiLui

CdtduCi 1=ivastaavastja1uC =⇔=⇔= &&

Johdetaan ensin differentiaaliyhtälö tulosuureen u ja lähtösuureen y = Ri välille Kirchoffin jännite-ehdosta.

u u u u u Ri LiC

idt u Ri LiC

i

u y LR

yRC

y

R L C= + + ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒

= + +

∫& & & &&

& & &&

1 1

1

Siirtofunktio saadaan Laplace-muuntamalla

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

sU s sY s LR

s Y sRC

Y sRC

s LR

s Y s

Y sU s

s

RCs L

Rs

G s

= + + = + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇔

=+ +

=

2 2

2

1 1

1

89

Tilaesitys saadaan esimerkiksi seuraavasti. Valitaan tilavektoriksi

x txx

uiC( ) =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1

2

jolloin tilayhtälöksi saadaan

( ) ( )&( )

&

&

&

&

&

x txx

ui

Ci

Lu

Ci

Lu Ri u

Cx

Lu Rx x

x C

LRL

xL

u

C

L C

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⇔

=− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1

2

2

2 1

1

1

1

1

1

1

0 1

101

Mittausyhtälöksi saadaan

[ ]y t y R x( ) = = 0 (t) Tarkistetaan vielä saadaanko tilayhtälön pohjalta sama saman siirtofunktio kuin yllä.

( ) ( ) [ ]G s C sI A B Rs

C

Ls R

LL

RL

s

s s RL LC

sLR

s sRC

= − =−

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

=+ +

−

−

1

1

2

0

1

101

1 1

Sama näyttää olevan. Lämmitysreaktori Tarkastellaan kuvan mukaista veden lämmitykseen käytettävä jatkuvatoimista reaktoria.

90

qi, Ti

qo, To h T

Q Kuva 8. Lämmitysreaktori Säiliöön, jonka poikkipinta-ala on A tulee vettä (massa)virtausnopeudella qi. Tuloveden lämpötila on Ti. Säiliöstä poistuu vettä virtausnopeudella qo. Poistuvan veden lämpötila on To. Säiliössä olevaa vettä lämmitetään vastuksella, josta siirtyy veteen lämpömäärä Q aikayksikössä. Lämmön siirto ympäristöön oletetaan nollaksi. Säiliössä on jatkuva sekoitus, jonka oletetaan olevan täydellinen siten että veden lämpötila säiliön jokaisessa kohdassa on sama T, jolloin myös To = T. Veden ominaislämpöä merkitään C:llä ja tiheyttä ρ:lla. Reaktorin dynaamista käyttäytymistä hallitsevat tällöin seuraavat taseyhtälöt. Hetkittäinen lämpötase:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

C A dh t T tdt

C q t T t q t T t Q t

C A T t dh tdt

h t dT tdt

C q t T t q t T t Q t

i i o

i i o

ρ

ρ

( )

( ) ( )

= − + ⇔

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − +

Hetkittäinen massatase:

( ) ( )ρA dh tdt

q t q ti o( )

= −

Kun jälkimmäinen sijoitetaan edelliseen saadaan

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )C Ah t dT tdt

Cq t T t T t Q ti iρ ( ) = − +

Valitaan tilavektori x(t) ohjausvektori u(t) ja mittaus y(t) seuraavasti

x th tT t

( )( )( )

=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥ u t

q tq tT tQ t

i

o

i

( )

( )( )( )( )

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

[ ]y t T t( ) ( )=

91

Näillä valinnoilla saadaan tilayhtälöksi ja mittausyhtälöksi, kun vielä aikamuuttuja jätetään pois

( )

( ) ( )[ ][ ]

& ( , )x Au u

C AxCu u x u t

f x u

y x Cx

=−

− +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

= =

1

1

0 1

1 2

11 3 2 4

ρ

ρ

Nähdään että tilayhtälö on tässä tapauksessa epälineaarisia eikä lineaarinen tilaesitys (oikea puoli muotoa Ax+Bu) ole siten mahdollinen. Mittausyhtälö on tässäkin tapauk-sessa lineaarinen. Säätösuunnitteluun tarvitaan kuitenkin yleensä lineaarinen malli ja se saadaan linearisoimalla epälineaarinen tilamalli halutussa toimintapisteessä. Tähän palataan myöhemmin. Tasavirtamoottori Tarkastellaan alla olevassa kuvassa 9. esitettyä kestomagneetilla magnetoitua tasavirtamoottoria (tyypillinen esimerkiksi robottien nivelien toimilaitteena). Koneen akselin liikettä, jota kuvaa tietystä alkuasennosta mitattu kääntymiskulma θ, ohjataan ankkuripiirin jännitteellä ea. Tarkoituksena on saada koneen akseli esimerkiksi kääntymään asennosta toiseen tai pyörimään vakionopeudella. Akselilla olevan kuorman ja koneen pyörivien osien yhteistä hitausmomenttia merkitään J:llä ja vaikuttavan viskoosin kitkan kerrointa B:llä. Oletetaan edelleen, että koneen antama momentti on suoraan verrannollinen ankkurivirtaan ia verrannollisuuskertoimen ollessa KT.

R L

J B

Thetaebea

ia

Kuva 9. Kestomagnetoitu tasavirtamoottori Edelleen oletetaan, että ankkuripiiriin indusoituva koneen pyörimisestä johtuva vastasähkömotorinen voima on verrannollinen pyörimisnopeuteen ts e Kb b= &θ missä Kb on verrannollisuuskerroin. Näillä oletuksilla koneelle voidaan kirjoittaa seuraavat yhtälöt

92

J B K i

Li Ri K eT a

a a b a

&& &

& &

θ θ

θ

+ =

+ + =

Jälleen fysikaalisesta tilanteesta havaitaan helposti, että järjestelmän ajan mukaan muuttuvat suureet voidaan jakaa kahteen luokkaan: niihin jotka vaikuttavat järjestelmään ulkoapäin ja niihin joiden suuruus on seurausta järjestelmän toiminnasta. Edellisiin kuluu tässä tapauksessa vain yksi suure, nimittäin ankkuripiirin jännite ea. Kaikki muut suureet kuuluvat jälkimmäiseen luokkaan. Otetaan käyttöön seuraavat merkinnät:

[ ] [ ]x ttt

i tu t e t y t t

a

a( )( )& ( )

( ), ( ) ( ) , ( ) ( )=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= =θθ θ

Tila, ohjaus eli sisäänmeno ja mittaus eli ulostulo ovat kaikki ajan funktioita. Alla aikariippuvuutta ei kuitenkaan eksplisiittisesti enää merkitä. Fysikaaliset yhtälöt voidaan esittää seuraavassa ekvivalenttisessa muodossa

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡•

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

100

0

0010

xxx

y

u

Lxxx

LR

LK

JK

JB

xxx

b

T

Yhtälöt ovat siis lineaariset eli tilaesitys on muotoa

&x Ax Buy Cx

= +=

On tärkeää huomata että tilavektorin x valinta yllä esitetyllä tavalla ei ole ainoa mah-dollisuus. Toisena mahdollisuutena on esimerkiksi valinta

x tttt

( )( )&( )&&( )

=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

θθθ

Tilayhtälö muuttuu tällöin muotoon

93

xxx RB K K

LJLB RJ

LJ

xxx K

LJ

uT b T

1

2

3

1

2

3

0 1 00 0 10

00

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=−

+−

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

•

mittausyhtälön pysyessä muuttumattomana. Molemmista tilaesityksistä päädyttäisiin tietysti samaan siirtofunktioon. Tilaesitys ei siis ole yksikäsitteinen. Jatkuvan tilayhtälön ratkaisu ja järjestelmän diskretointi Voidaan osoittaa että jatkuvat tilaesityksen (3),

dx tdt

x t Ax t Bu t

y t Cx t

( )&( ) ( ) ( )

( ) ( )

= = +

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

ylemmän eli tilayhtälön analyyttinen ratkaisu on

( )x t e x t e Bu dA t t A t

t

t

( ) ( )( ) ( )= +− −∫0

0

0τ τ τ . (4)

Asia voidaan todeta sijoittamalla ratkaisu tilayhtälöön (3) ja käsittelemällä matriisitermiä eAt kuin tavallista skalaarista eksponenttifunktiota sekä muistelemalla miten määrätty integraali derivoidaan kun yläraja ja integroitava funktio ovat derivointimuuttujan funktioita. Saadaan

( )

( )

&( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x t Ae x t Bu t Ae Bu d

A e x t e Bu d Bu t Ax t Bu t

A t t A t

t

t

A t t A t

t

t

= + +

= +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ = +

− −

− −

∫

∫

0

0

0

0

0

0

τ

τ

τ τ

τ τ

Ratkaisun (4) ensimmäinen termi on tilan alkuarvo x(t0) toteuttava homogeenisen yhtälöt ratkaisu (ts. tilayhtälö nollaohjauksella) ja toinen termi eräs tilayhtälön erikoisratkaisu. Funktio eAt on matriisi, joka määritellään ex:n sarjaesityksen avulla.

e I tA t AAt = + + +12

2 2 ....

Sitä kutsutaan myös tilansiirtomatriisiksi. Tilansiirtomatriisi on siis homogeenisen tilayhtälön ratkaisu alkuarvolla x(0) = I (pystyvektori), mistä saadaan Laplace-muun-noksen avulla hyvä tapa laskea se käsin kun matriisi A tunnetaan:

94

( ) ( ) ( )

( ){ }

10 0

0 0

110

( ) (0) ( )( )

(0) (0)

( ) (0)At

x Ax sX s x AX ssI A X s x X s sI A x

x x x x

x t L sI A x e x

−

−−

= − =⎧ ⎧⇒ ⇔ − = ⇔ = − ⇒⎨ ⎨= =⎩ ⎩

= − =

&

Tilansiirtomatriisi voidaan siis laskea seuraavasti

( ){ }e L sI AAt = −− −1 1 (5) Matriisifunktion Laplace-muunnos saadaan kun lasketaan matriisin kaikkien elementtien Laplace-muunnos. On olemassa muitakin tapoja laskea tilansiirtomatriisi, mutta ne sivuutetaan tässä yhteydessä. Diagonaaliseen tilansiirtomatriisiin voidaan päästä, jos kerroinmatriisin A ominaisarvot ovat erilliset. Jos A:n erilliset ominaisarvot ja vastaavat ominaisvektorit ovat λ λ λ1 2, ,K n ja v v vn1 2, ,K (pystyvektoreita) voidaan ekvivalentti tilaesitys saada muunnoksella x=Tz, jossa [ ]T v v vn= 1 2 ... . & & & &x Ax Bu

y CxTz ATz Bu

y CTzz T ATz T Bu

y CTzz z T Bu

y CTz= +

=⎧⎨⎩

⇔= +

=⎧⎨⎩

⇔= +

=⎧⎨⎩

⇔= +

=⎧⎨⎩

− − −1 1 1Λ

Tällöin matriisilaskennasta tutun similariteettimuunnoksen perusteella saatu uusi järjestelmämatriisi Λ on diagonaalinen, siten että lävistäjällä on A:n ominaisarvot. Saatua ekvivalenttia tilaesitystä, tilamuuttuja z, vastaava tilansiirtomatriisi on nyt

( ){ }e L sI L

s

s

s

ee

e

t

n

t

t

tn

Λ Λ= − =

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

− − −1 1 1

1

2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 00 0

0 0

1

2

λ

λ

λ

λ

λ

λ

L

M O M

K

L

M O M

K

Lineaariselle tilayhtälöesitykselle löytyy aina yksikäsitteinen siirtofunktio, mutta annettua siirtofunktiota vastaavaa tilaesitys, ns. realisaatio, ei ole yksikäsitteinen. Eräs luonnollinen realisaatio siirtofunktiolle, jonka navat ovat erilliset, saadaan jakamalla siirtofunktio osamurtoihin

( )G sb

s pb

s pb

s pn

n

=−

+−

+ +−

1

1

2

2

... .

Kukin osamurtolauseke voidaan kuvata yhdellä tilakomponentilla siten, että

95

( ) ( ) ( )X sb

s pU s x p x b u Y s X s X s X si

i

ii i i i n=

−⇒ = + = + + +& ( ) ( ) ( ) ...1 2 ,

jolloin koko siirtofunktiolle G(s) saadaan helposti seuraava tilaesitys

[ ]

&

&

&

,

xx

x

pp

p

xx

x

bb

b

u y

xx

xn n n n n

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

0 00 0

0 0

1 1 1M

K

M O M

K

M ML

M

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Lineaariselle vakiokertoimiselle tilaesitykselle (3) saadaan ekvivalentti diskreetti tilaesitys (3d) jatkuvan tilayhtälön ratkaisun (4) pohjalta olettamalla ohjaus vakioksi näytevälin aikana. Oletetaan että tilan alkuarvo hetkellä kT on x(kT) = x(k) ja ohjaus u(t) pidetään vakiona u(kT) = u(k) koko näytevälin ts. hetkestä kT hetkeen (k+1)T tällöin saadaan

( )x k T e x kT e Bu d

x k e x k e dtB u kT

A k T kT A k T

kT

k T

AT AtT

(( ) ) ( )

( ) ( ) ( )

(( ) (( )(

+ = + ⇔

+ = +

+ − + −+

∫

∫

1

1

1) 1)1)

0

τ τ τ

Diskreetin tilaesityksen (3d) matriiseilla saadaan siis kaavat

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==⇔

⎩⎨⎧

=+=+ ∫

CC

dtBeGeFkCxky

kGukFxkxT

AtAT

0

,)()(

)()()1( (6)

Tilayhtälön kerroinmatriisit F ja G lasketaan siis muunnoskaavoilla. Mittausyhtälön kerroinmatriisi C on sama kuin jatkuvassa tilaesityksessä. Jatkuvan siirtofunktion G(s) diskreetti ekvivalentti pulssinsiirtofunktio H(z) voidaan johtaa monella tavalla. Eräs tapa on määrittää jatkuvaa siirtofunktiota vastaava jatkuva tilaesitys, laskea siitä yllä esitetyillä kaavoilla ekvivalentti diskreetti tilaesitys ja laskea tästä diskreetti pulssinsiirtofunktio aiemmin jo esitetyllä muunnoskaavalla

( )H z C zI F G( ) = − −1 Jossa G on siis ohjauksen kerroinmatriisi G eikä siirtofunktio G(s). Täysin samaan diskreettiin siirtofunktioon samoilla oletuksilla päädytään yhdistettyjä Laplace-z –muunnostaulukoita käyttäen kaavalla

H z zz

Z Ls

G s( ) ( )=− ⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−1 11 .

96

Käytännössä hyvän diskreetin ekvivalentin siirtofunktion jatkuvasta siirtofunktiosta G(s) saa ns. Tustin-approksimaatiolla

H z G ss

Tzz

( ) ( )==

−+

2 11

Eli G(s):n lausekkeessa muuttuja s korvataan lausekkeella 2 11T

zz

−+

. Hyvään

approksimaatioon tarvitaan kuitenkin riittävän lyhyt näyteväli. 5.4.5 Epälineaarisen järjestelmän linearisointi Säätöteoria perustuu suurelta osin lineaaristen mallien käyttöön. Reaalimaailman prosessit ovat kuitenkin monesti alun perin epälineaarisia. Järjestelmiä kuitenkin ajetaan yleensä tietyllä operointialueella, monesti jopa tietyn halutun toimintapisteen ympärillä. Säädön suunnittelun pohjaksi soveltuu tästä syystä käytännössä usein lineaarinen malli, joka voidaan johtaa linearisoimalla epälineaarinen malli toimintapisteessä. Tarkastellaan suoraan epälineaarista MIMO- (Multi-Input-Multi-Output)-tilaesitystä vakioarvoisen tasapainopisteen (u0, x0, y0) läheisyydessä. Tilan x dimensio on n, ohjauksen u dimensio on m ja mittauksen y dimensio p. Tasapainotilassa on tilan muutos eli derivaatta nolla.

& ( , )( )

& ( , )( )

,x f x uy g x

x f x uy g x

u x==

⎧⎨⎩

= ==

⎧⎨⎩

0 00 0 0

0 0

Tasapainopisteen lähietäisyydellä pätee Taylorin sarjan perusteella

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Δ+=Δ+=Δ+=

yyyxxxuuu

0

0

0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Δ+≈Δ+=

Δ+Δ+≈Δ=Δ+=Δ+=

xxxgxgyyy

uuxufxux

xfuxfxxxxx

T

TT

)()(

),(),(),(0

000

0000000

δδ

δδ

δδ

&&&&&

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=Δ≈Δ

=Δ+Δ≈Δ

000

000000

)(koska)(

0),(koska),(),(

yxgxxxgy

uxfuuxufxux

xfx

T

TT

δδ

δδ

δδ

&

97

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=Δ≈Δ

==Δ+Δ=Δ⇒

)(jossa

),(,),(jossa

0

0000

xxgCxCy

uxufBux

xfAuBxAx

T

TT

δδ

δδ

δδ

&

On tärkeää huomata että vakiomatriisit A (n x n), B (n x m) ja C (p x n) saadaan laskemalla vastaavien Jacobin matriisien arvot toimintapisteessä eli linearisointi-pisteessä, joka on myös tasapainopiste. Jacobin matriisien sisällöstä esimerkkinä

A fx

x u

fx

x ufx

x ufx

x u

fx

x ufx

x ufx

x u

fx

x ufx

x ufx

x u

T

n

n

n n n

n

= =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

0 0

1

10 0

1

20 0

10 0

2

10 0

2

20 0

20 0

10 0

20 0 0 0

K

M O

Muut linearisoidun tilamallin matriisit saadaan vastaavalla tavalla. Dimensioiden kanssa on syytä olla tarkkana.

98 5.5 Dynaamisten järjestelmien ominaisuudet 5.5.1 Stabiilisuus Kun mietitään säädölle asetettavia kriteereitä, tärkeintä lienee että säädetty järjestelmä pysyy stabiilina, ei karkaa käsistä tai räjähdä niin kuin Tshernobylin grafiittireaktori. Järjestelmän pitää pysyä stabiilina kaikissa olosuhteissa. Tshernobylin räjähdys tapahtui, koska reaktori ajettiin vaaraa tiedostamatta kokeen yhteydessä epästabiilille alueelle. Hätäjäähdytysjärjestelmät oli kytketty pois päältä ettei koe häiriintyisi! Stabiilisuuden käsitteelle on olemassa erilaisia määritelmiä varsinkin epälineaaristen järjestelmien osalta. Yhteisenä piirteenä on kuitenkin se että käsitteellä pyritään kuvaamaan järjestelmän suhtautumista erilaisiin häiriöihin. Tällöin stabiili järjestelmä on sellainen, joka on "epäherkkä" tai "hyvin käyttäytyvä" häiriöiden suhteen ja epästabiili järjestelmä vastaavasti "herkkä" tai "huonosti käyttäytyvä". Klassisen mekaniikan käsitteestä yleistämällä saadussa stabiilisuudessa tarkastellaan häiriöitä, jotka vaikuttavat järjestelmän tilaan siten, että tila eräänä hetkenä ajatellaan häirityksi (mahdollisesta tasapainoarvosta) ja tarkastellaan sen käyttäytymistä tämän hetken jälkeen ilman uusia häiriöitä. Stabiili järjestelmä on tällöin sellainen, jonka tilan liike ajan kasvaessa lähestyy tiettyä raja-arvoa ts. järjestelmä "asettuu" (asymptoottisesti stabiili). Toisen tyyppinen stabiilisuus saadaan tarkastelemalla järjestelmän sisäänmeno-ulostulo käyttäytymistä. Tällöin stabiilisuuden perusvaatimukseksi asetetaan se että rajoitetut sisäänmenosignaalit saavat aikaan rajoitettuja ulostulosignaaleja (Bounded-Input-Bounded-Output-stabiili). Usein vaatimuksiin myös lisätään vaatimus, että pienet muutokset sisäänmenosignaaleissa aiheuttavat vastaavasti pieniä muutoksia ulostulosignaaleissa. Lineaaristen järjestelmien yhteydessä stabiilisuus voidaan todeta varsin suora-viivaisesti. Erilaiset stabiilisuuden määritelmät johtavat lähes samoihin stabiilisuuden toteamissääntöihin. Tarkastellaan ensin lineaarisen tilaesityksen stabiilisuutta kun järjestelmämatriisin A ominaisarvot on erillisiä ja arvoltaan λ1, λ2... λn. Tilaesityksen yhteydessä jo aiemmin esitetyn perusteella A:n ominaisvektoreista muodostetun muunnoksen x = Tz avulla tilaesitys voidaan saattaa seuraavaan ekvivalenttiin muotoon:

& & &x Ax Buy Cx

z T ATz T Buy CTz

z z T Buy CTz

= +=

⎧⎨⎩

⇔= +

=⎧⎨⎩

⇔= +

=⎧⎨⎩

− − −1 1 1Λ,

jossa matriisi Λ on diagonaalimatriisi jonka lävistäjällä on ominaisarvot. Voidaan helposti todeta että x = z = 0 on tasapainotila. Nollaohjauksella (u = 0) yhtälö

&z z= Λ on suoraan ratkaistavissa, kun alkuarvona on z(0) = z0. Ratkaisuksi saadaan uuden tilan z komponenteittain

( ) { } { }( ) { }( )( )z t e z t j tit

i i ii= +Re cos Im sin Imλ λ λ0

99 Todetaan että z(t) pysyy rajoitettuna, jos z0 on rajoitettu, jos ja vain jos kunkin ominaisarvon reaaliosa on ei-positiivinen. Edelleen z(t) lähestyy nollaa jos ja vain jos kunkin ominaisarvon reaaliosa on aidosti negatiivinen eli < 0. Päädytään siis tulokseen.

Jatkuva-aikamuotoisen lineaarisen järjestelmän tasapainotila x = z = 0 on stabiili, jos ja vain jos tilayhtälön tilavektorin kerroinmatriisin ominaisarvot (l. siirtofunktion navat) ovat reaaliosaltaan ei-positiivisia. Se on asymptoottisesti stabiili jos ja vain jos ominaisarvot ovat vasemmassa puolitasossa eli aidosti negatiivisia.

Diskreetin lineaarisen järjestelmän stabiilisuus voidaan myös testata diskreetin tilayhtälön vastaavan kerroinmatriisin F ominaisarvojen perusteella. Tällöin kuitenkin peruskriteerinä stabiilisuudelle on ominaisarvojen (l. pulssinsiirtofunktion napojen) sijainti yksikköympyrän sisäpuolella. Tämä nähdään seuraavasti. Tilayhtälön homogeeninen osa on

( ) ( )x k Fx k+ =1 jonka ratkaisu on ( ) ( )x k F xk= 0 Ratkaisu suppenee kohti origoa vain jos F:n ominaisarvot on itseisarvoltaan pienempiä kuin yksi, ts. sijaitsevat yksikköympyrän sisäpuolella. Jos jotkut ominaisarvot sijaitsevat yksikköympyrän kehällä ratkaisu pysyy rajoitettuna mutta värähtelee jaksollisesti. Jatkuvaan tapaukseen verrattuna yksikköympyrän kehä vastaa siten imaginääriakselia. Stabiilisuutta sivutaan useaan otteeseen seuraavissa kappaleissa. 5.5.2 Navat & nollat ja askelvasteen karakterisointi Kun tarkastettavalle järjestelmälle on saatu muodostettua siirtofunktio tai pulssinsiirtofunktio joko suoraan tai lohkokaaviota operoimalla, on hyödyksi tietää miten ko. järjestelmä käyttäytyy ajan funktiona ja miten nämä dynaamiset ominaisuudet voidaan siirtofunktiosta todeta. Alla esitetyt napojen ja nollien määritelmät pätevät myös diskreetille siirtofunktiolle. On kuitenkin tärkeää huomata että tiettyyn käyttäytymiseen liittyvät napojen ja nollien sijainnit ovat täysin erilaiset jatkuvassa ja diskreetissä tapauksessa. Jatkuvat järjestelmät tarkastellaan ensin; lopuksi diskreetit. Oletetaan että järjestelmää kuvaa siirtofunktio G(s), joka on saatettu polynomimuotoon.

G s P sQ s

Q sQ s

( ) ( )( )

( )( )

==

⎧⎨⎩

jossakarakteristinen polynomi

karakteristinen yhtälö0

Siirtofunktion G(s) nimittäjän nollakohtia eli karakteristisen yhtälön ratkaisuja kutsutaan järjestelmän navoiksi (engl. poles). Siirtofunktion osoittajan nollakohtia

100 eli yhtälön P(s) = 0 ratkaisuja kutsutaan järjestelmän nolliksi (engl. zeros). Napojen sijainti määrää järjestelmän dynamiikan. Nollienkin sijainnilla on tietyssä tilanteissa vaikutusta, mutta napojen sijainti on yleensä tärkeämpää. Kun halutaan kuvata tietyllä siirtofunktiolla kuvatun järjestelmän käyttäytymistä aikatasossa, käytetään esimerkkisisäänmenona impulssifunktiota, jolloin ulostulona saadaan impulssivaste, tai askelfunktiota, jolloin ulostulo on puolestaan askelvaste. Joskus tarvitaan myös ramppifunktiota kun halutaan tarkastella dynaamisten tilan virheen käyttäytymistä, mutta alla tarkastellaan pääasiassa vain impulssivasteita ja askelvasteita. Ensimmäisen kertaluvun järjestelmä Tarkastellaan aluksi ensimmäisen kertaluvun järjestelmää, jossa K on vahvistus

ττ

τ101yhtälötinenkarakteris

1)( −=⇔=+⇒

+= ss

sKsG

Järjestelmän nimittäjäpolynomin asteluku on selvästi yksi eli karakteristisella yhtälöllä on yksi juuri eli siirtofunktiolla on yksi reaalinen napa, arvoltaan − 1

τ . Järjestelmän impulssivasteeksi saadaan Laplace-muunnostaulukon avulla:

{ }y t L G s U s L Ks

LK

sK e

t

( ) ( ) ( ) *= =+

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=− − − −1 1 1

11 1τ

τ

τ ττ

Nähdään että, jos järjestelmän aikavakio τ on positiivinen (eli napa on negatiivinen) on eksponentti negatiivinen ja impulssivaste menee nollaan ajan kasvaessa. Voidaan siis päätellä että järjestelmä on stabiili kun napa on negatiivinen. Jos taas napa on positiivinen, impulssivaste kasvaa rajatta eli järjestelmä on epästabiili. Järjestelmän askelvasteeksi saadaan Laplace-muunnostaulukon avulla

{ }y t L G s U s L Ks s

L As

Bs

L Ks s

K et

( ) ( ) ( ) *

( ) ( )

= =+

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ++

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= −+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= −

− − −

− −

1 1 1

1

11

1

1 11 1

τ τ

ττ

A ja B ovat määritettäviä apuvakioita, joita tarvitaan kun monimutkaisempi Laplace-lauseke pilkotaan Laplace-taulukosta suoraan löytyviin osamurtoihin. Olkoon vahvistus K = 1. Alla olevassa kuvassa 1 on ensimmäisen kertaluvun prosessin askelvasteet aikavakion arvoilla 1 ja 2, jolloin navat ovat vastaavasti -1 ja

101 -0,5 prosessin askelvasteet. Mitä pienempi aikavakio, sitä itseisarvoltaan suurempi napa ja nopeampi dynamiikka. Ensimmäisen kertaluvun prosessi ei värähtele.

Kuva 1 Ensimmäisen kertaluvun prosessien askelvasteita, aikavakiot 1 ja 2. Toisen kertaluvun järjestelmä Toisen kertaluvun järjestelmän siirtofunktion perusmuoto on

G s Ks s

s sn

n nn n( ) =

+ +⇒ + + =

ωξω ω

ξω ω2

2 22 2

22 0karakteristinen yhtälö

Vakiota ξ kutsutaan vaimennuskertoimeksi ja vakiota ωn ominaistaajuudeksi (positiivinen reaaliluku). Järjestelmän nimittäjäpolynomin asteluku on selvästi kaksi eli karakteristisella yhtälöllä on kaksi juurta, arvoiltaan

s n n= − ± −ξω ω ξ 2 1 Nähdään että navat ovat vasemmassa puolitasossa silloin kun 0>ξ (kun ωn > 0). Järjestelmä on silloin stabiili. Kun ξ ≥ 1 saadaan kaksi reaalista juurta eli järjestelmän impulssivaste ja askelvaste koostuu vaimenevista eksponenttifunktiotermien summasta joka ei värähtele. Kun 0 < ξ < 1 saadaan navoiksi kompleksinen napapari, joka on muotoa

p j d1 2& = − ±σ ω ω ω ζd n= −1 2 σ ζω= n

Napaparin reaaliosan itseisarvoa on merkitty symbolilla σ ja imaginääriosan itseisarvoa symbolilla ωd. Kuva 2 havainnollistaa napaparin sijaintia.

102

Kuva 2. Kompleksinen napapari Toisen asteen järjestelmän impulssivasteita kompleksisen juuriparin eri arvoilla on demonstroitu kuvassa 3. Kuvaan on piirretty vain toisen navan sijainti kompleksitason reaaliakselin yläpuolisessa osassa, koska napaparin toisen navan sijainti saadaan yläpuolisen navan peilikuvana reaaliakselin suhteen.

Kuvassa x-3: Toisen asteen järjestelmän impulssivasteita kompleksisen juuriparin eri arvoilla. Kun navat ovat oikeassa puolitasossa, eli reaaliosaltaan positiivisia, kasvaa impulssivaste rajatta eli järjestelmä on epästabiili. Impulssivaste värähtelee kun

103 juuripari on kompleksinen. Puhtaasti kompleksinen napapari (vaimennuskerroin

0=ξ ) tuottaa vakioamplitudilla värähtelevän impulssivasteen. Jos napaparin reaaliosa on negatiivinen on värähtelyn verhokäyrän eksponentti negatiivinen ja impulssivaste vaimenee nollaan ajan kasvaessa. Järjestelmä on asymptoottisesti stabiili kun napaparin reaaliosa on negatiivinen eli navat ovat kompleksitason vasemmassa puolitasossa. Järjestelmän askelvasteeksi saadaan Laplace-muunnostaulukon avulla, kun vaimen-nuskerroin 0 < ξ < 1 (välivaiheet on jätetty pois).

{ }

)sin(cos1

1*2

)()()( 22

211

tte

sssKLsUsGLty

dd

dt

nn

n

ωωσω

ωξωω

σ +−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++==

−

−−

(1)

Askelvaste siis värähtelee, mutta vaimenevasti, koska verhokäyrän eksponentti on negatiivinen. Askelvasteita eri vaimennuskertoimen arvoilla on esitetty kuvassa 4.

Kuva 4: Askelvasteita eri vaimennuskertoimen arvoilla. Vaimennuskertoimen arvolla yksi on järjestelmä kriittisesti vaimennettu eli vaste nopein mahdollinen ei-värähtelevä. Arvolla nolla vaste värähtelee vaimenematta. Säätäjän suunnittelua varten voidaan asettaa vaatimuksia suljetun eli säädetyn järjestelmän askelvasteelle. Tarkasteltaessa yksikköaskelvastetta käytetään kuvan 5 merkintöjä ja seuraavia nimityksiä:

104

Kuva 5: Järjestelmän askelvastetta karakterisoivat suureet.

• Järjestelmän nopeutta voidaan luonnehtia nousuajalla tr (rise time); vasteen nousuaika arvosta 0,1 arvoon 0,9 halutusta askeleesta.

• Nopeuteen pyrittäessä askelvaste heilahtaa usein yli. Tietyn suuruinen ylitys

Mp (peak magnitude, overshoot) voidaan sallia. Ylitys ilmaistaan suhdelukuna tai prosentteina halutusta askeleesta.

• Vasteen asettumisaikaa haluttuun loppuarvoon voidaan kuvata asettumisajalla

Ts (settling time): pienin aika askeleen alusta vasteen asettumiseen esimerkiksi 1%:n tai 5%:n "virheputkeen".

• Monesti vaste ei asetu askeleen haluttuun loppuarvoon ollenkaan vaan siihen

jää tietynsuuruinen asentovirhe eli pysyvän tilan poikkeama (steady state error), mistä on enemmän asiaa myöhemmin. Kuvan askelvasteessa ei jää asentovirhettä.

Toisen asteen järjestelmän askelvasteen analyyttisen lausekkeen (1)

y t e t ttd

dd( ) (cos sin )= − +−1 σ ω σ

ωω

ja yllä esitetyn napaparin analyyttisen ratkaisun avulla voidaan approksimoida suljetun eli säädetyn järjestelmän navoille halutun askelvasteen toteuttava alue, jonne säädetyn järjestelmän navat pyritään säädön avulla siirtämään. Askelvasteelle asetetut kriteerit voidaan siis muuntaa tietyin varauksin napaparin sijaintikriteereiksi. On huomattava että prosessin nollillakin on vaikutusta. Jos säädetyn järjestelmän asteluku on suurempi kuin kaksi antaa tarkastelu navoille ja erityisesti ns. dominoivalle napaparille ohjeellisen sallitun alueen, kuten myöhemmin nähdään. Halutaan suunnitella säätö järjestelmälle siten että säädetyn järjestelmän askelvaste toteuttaa seuraavat kriteerit: nousuajan halutaan olevan vähemmän kuin tietty tr, ylityksen korkeintaan tietty Mp ja asettumisajan vähemmän kuin tietty ts

Nousuajalle tr asetettu kriteeri voidaan konvertoida ehdoksi luonnolliselle taajuudelle ωn ja edelleen hyväksyttäväksi napa-alueeksi seuraavasti:

105

Tarkastellaan kuvaa 4, jonka vaaka-akselin skaalattu aikamuuttuja on ωnt. Kaikilla käyrillä on suurin piirtein sama nousuaika joten tarkastellaan käyrää, jonka vaimennuskerroin ξ on 0,5. Kuvasta nähdään, että nousuaika aikaskaalatulla akselilla = ωntr (arvosta 0,1 arvoon 0,9) on noin 1,8. Jos halutaan että nousuaika on enintäin tr saadaan ehdoksi luonnollisen värähtelyn taajuudelle

ttr n n

r

ω ω≈ ⇒ ≤18 18. .

Kompleksisen napaparin molempien napojen itseisarvo on p d n1 2

2 2& = + =σ ω ω kun jaω ω ζd n= −1 2

σ ζω= n Nousuaikakriteerin toteuttava alue on siis vasemmassa puolitasossa ωn-sätei-sen puoliympyrän vasemmalla puolella. K.o. alue on esitetty kuvassa 6 osakuvassa a). Ylitykselle Mp asetettu kriteeri voidaan konvertoida ehdoksi vaimennus-kertoimelle ξ ja edelleen halutuksi napa-alueeksi seuraavasti: Maksimi ylityksen ajanhetki tp saadaan analyyttisen askelvasteen derivaatan nollakohdasta.

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

πω

ωωωωωσ

ωσωωωωσωσ

σ

σσ

=⇒

=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇔

=+−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

−−

pd

ddddd

t

dddt

dd

dt

t

ttte

ttettety

0sin0sinsin

0cossinsincos)(

2

&

Kun tämä sijoitetaan askelvasteen yhtälöön saadaan

y t M e e

M e e

p pd

p

d d

d

( ) (cos sin )

.

= + = − + = +

⇔ = = < <

≅ − < <

− −

− −−

1 1 1

0 1

10 6

0 1

1 2

σ πω

σ πω

σπω

πξ

ξ

π σω

π

ξ

ξ ξ

kun

approksimaatio pätee välillä

Tästä saadaan ehto vaimennuskertoimelle

( )ξ ≥ −0 6 1. Mp

106

Tämä rajoittaa napa-alueen kuvassa 2 selviävällä tavalla. Origosta napaan piirretyn vektorin ja imaginaariakselin välinen kulma θ on

( )( )

sin θ σσ ω

ξϖ

ξ ω ω ξξ=

+=

+ −=

2 2 2 2 2 21d

n

n n

mikä määrittelee origosta lähtevän suoran. Toiseen napaan liittyvä suora saadaan peilikuvana reaaliakselin suhteen. Vaimennuskertoimeen kohdistuva ehdoksi voidaan konvertoida sallituksi alueeksi, joka on esitetty kuvan 6 osakuvassa b). Hyväksyttävä alue on siten kahden suoran vasemmalla puolella oleva alue. Mitä suurempi ylitys sen pienempi vaimennuskerroin ja sitä "pystymmät" suorat.

Kuva 6: Askelvastekriteerien rajaaman napa-alueet: a) nousuaikakriteeri, b) ylityskriteeri c) asettumisaikakriteeri ja d) edelliset askelvastekriteerit yhdistettynä. Kolmas askelmuutoksen aiheuttamaan transienttiin liittyvä kriteeri koski asettumisaikaa, jonka pitää olla maksimissaan tietty ts. Askelvasteen analyyttisestä ratkaisusta voidaan nähdään, että askelvasteen värähtelyn, sini-

107

ja kosinitermien summan, amplitudia rajoittaa vaimeneva verhokäyrä. Asettumisaika voidaan ilmaista tämän verhokäyrän avulla seuraavasti. Ajassa ts verhokäyrä on vaimentunut p:een osaan, esimerkiksi p = 0,01. Saadaan

⇒=⇒== −− 6.401.0 sntt tee sns ξωωξσ

sn t

6.4≥= σξω

Napaparin reaaliosan itseisarvo on juuri σ, joten asettumisaikakriteerin toteuttava alue on σ:n määrittelemän imaginääriakselin suuntaisen suoran vasemmalla puolella, mikä on havainnollistettu kuvassa 6c). Kun otetaan huomioon kaikki kolme kriteeriä saadaan kuvan 6d) mukainen tavoiteltava alue suljetun järjestelmän navoille. Hyväksyttävä alue on siis yhdistelmäkäyrän "länsipuolella".

Järjestelmän nollillakin eli osoittajan nollakohdilla voi on vaikutusta askelvasteen muotoon. Jos toisen asteen siirtofunktiolla on nolla, jonka sijaitsee kaukana vasemmalla kompleksisesta napaparista vasemmassa puolitasossa, on sen vaikutus askelvasteeseen merkityksetön. Jos taas nollan arvo on sama kuin kompleksisen napaparin reaaliosan, lisää se ylitystä Mp ja lyhentää nousuaikaa merkittävästi. Asettumisaikaan sillä ei ole juurikaan vaikutusta. Dramaattinen vaikutus nollalla on silloin kun se sijaitsee oikeassa puolitasossa, koska tällöin järjestelmä on ei-minimivaiheinen. Ei-minimivaiheisen järjestelmän askelvaste lähtee aluksi "väärään" suuntaan, mitä on havainnollistettu kuvassa 7.

Kuva 7. Toisen asteen "nollattoman" minimivaiheisen järjestelmän vaste h(t) ja sen derivaatta (jatkuvilla viivoilla). Katkoviivalla vastaavan ei-minimivaiheisen prosessin vaste (järjestelmällä on nolla oikeassa puolitasossa). Kolmannen ja korkeamman asteen järjestelmät Suljetun takaisinkytketyn järjestelmän siirtofunktio olkoon muotoa

108

( )

( )G s

K s z

s p s s

ii

m

j k k kk

n

j

q( )( )

=+

+ + +

=

==

∏

∏∏1

2 2

11

2ξ ω ω

missä -pj:t ovat reaalisia napoja ja kompleksiset napaparit on yhdistetty toisen asteen tekijöiksi nimittäjään (systeemin asteluku on siis q+2n) ja -zi:t ovat järjestelmän nollia. Yksikköaskelvaste voidaan kirjoittaa muotoon.

∑∑=

−−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −++=

n

kkkkkkk

ttpq

jj tctbeeaaty kkj 22

1

1sin1cos)( ξωξωωξ

Stabiilisuus edellyttää, että kaikki navat tai napaparit sijaitsevat kompleksitason vasemmassa puolitasossa. Nähdään että navan tai napaparin vaikutus vasteeseen katoaa sitä nopeammin mitä suurempia niiden reaaliosat ovat. Käytännössä on useimmiten niin että ainoastaan muutama napa tai yksi napapari määrää vasteen luonteen ja yleisesti muut spesifikaatiot. Järjestelmän nollien vaikutus on siinä että ne määräävät tarkemmin vasteen muodon (vakiot a, aj, bk ja ck yllä). Erityisasemassa on ns. dipoli, jollaisen muodostaa lähekkäin toisiaan sijaitsevat reaaliset nolla ja napa. On osoitettavissa että tällainen dipoli ei vaikuta askelvasteeseen juuri mitään. Oikeassa puolitasossa sijaitseva nolla aiheuttaa ei-minimivaiheisen vasteen kuten jo todettiin toisen asteen järjestelmän yhteydessä. Käytännössä päätelmät askelvasteen muodosta voidaan usein tehdä tarkastelemalla yhtä tai kahta napaa tai napaparia. Napaparille yllä kirjoitettua voidaan siten käyttää ohjeellisena myös korkeamman asteisten järjestelmien yhteydessä. Jos järjestelmän asteluku on korkea voi napojen laskeminen ainakin käsin olla hyvin työlästä. Stabiilisuuden toteamiseen tällaisessa tapauksessa voidaan käyttää ns. Routhin kaaviolla, jossa operoidaan pelkästään karakteristisen polynomin kertoimilla.

109

Kaksi kaavion ensimmäistä riviä ovat siis suoraan polynomin kertoimia. Kolmannesta rivistä alkaen alkioiden arvot lasketaan yllä olevalla kaavalla ko. riviä lähinnä yläpuolella olevien kahden rivin alkioiden arvoista.

1. Oikeassa puolitasossa olevien juurten (l. epästabiilien napojen) lukumäärä on

kaavion ensimmäisen sarakkeen merkinvaihtojen lukumäärä. 2. Jos polynomin jokin kerroin on negatiivinen, vähintään yksi juuri on oikeassa

puolitasossa tai imaginääriakselilla. 3. Jos polynomin jokin kerroin puuttuu eli on nolla, vähintään yksi juuri on

imaginaariakselilla. Esimerkiksi olkoon karakteristinen yhtälö

0812s6ss 23 =+++ s3 1 12 0 s2 6 8 0 s 64/6 0 s0 8

Ensimmäisessä pystysarakkeessa ei ole merkinvaihtoja, joten yhtälön kaikki juuret (eli karakteristisen yhtälön nollakohdat eli järjestelmän navat) ovat reaaliosaltaan negatiivisia. Eli järjestelmä jonka karakteristinen polynomi yllä on, olisi stabiili.

110 Jatkuvaa järjestelmää vastaavat diskreetit järjestelmät Kuten aiemmin todettiin navat ja nollat määritellään diskreettien järjestelmien yhteydessä samalla tavalla kuin jatkuvienkin järjestelmien yhteydessä. Navat ovat z-muotoisen (pulssin)siirtofunktion nimittäjän nollakohtia ja nollat osoittajan nolla-kohtia. Jatkuvia järjestelmiä vastaavia diskreettejä järjestelmiä käsiteltäessä menetellään yleensä siten, että niiden napojen sijainti kompleksitasossa tulkitaan suoraan sen jatkuvan ajan järjestelmän ominaisuuksina, josta otettuja näytteitä diskreetin ajan järjestelmä edustaa. Tällöin on syytä huomata seuraavat perusseikat. Toisiaan vastaavien järjestelmien napoja sitoo yhtälö

z esT= missä T on näyteväli. Tarkastellaan ensin ensimmäisen kertaluvun järjestelmää jolla on reaalinen negatiivinen napa -a (a > 0). Vastaava ensimmäisen kertaluvun diskreetin järjestel-män napa on

z ee

z aaTaT= = ⇒ < < − <− 1 0 1 0kun

Stabiilia ensimmäisen kertaluvun jatkuvaa järjestelmää vastaavan diskreetin järjestelmän napa on reaaliakselilla välillä (0, 1). Mitä nopeampi järjestelmä sen lähempänä napa on arvoa 0. Tarkastellaan toisen kertaluvun tapausta, jossa jatkuvalla järjestelmällä on kompleksinen napapari. Vastaavat navat diskreetissä järjestelmässä sijoittuvat pisteisiin

TjTj nnd eez )1()(2,1

2ξωξωωσ −±−±− == Stabiilia jatkuvaa järjestelmää vastaavan diskreetin järjestelmän navat ovat yksikköympyrän sisäpuolella alla olevan kuvan mukaisilla tasa-arvokäyrillä, jotka voidaan sitoa yksiselitteisesti suureisiin ωn, ξ ja ωnξ. Napojen sijainti z-tason yksikköympyrän sisäpuolella voidaan kuvata näille suureille käyttämällä kuvan 8 mukaista tasa-arvokäyrästöä (ωn = vakio, ξ = vakio ja ωnξ = vakio). Kuvassa on esitetty ainoastaan ylempi puoliympyrä, koska alempi on tämän peilikuva reaaliakselin suhteen.

111

Kuva 8. Toisen asteen diskreetille järjestelmän napaparille hyväksyttävä halutun askelvasteen spesifikaatiot toteuttava alue. Kuvassa 9 on esitetty erillisinä a) (ylityksen) vaimennuskertoimen ξ kannalta, b) (nousuajan) taajuuden ωn kannalta ja c) (asettumisajan) kokonaisvaimennus ωnξ kannalta hyväksyttävät alueet napaparille, jotka ovat viivoittamattomat alueet yksikköympyrän sisällä.

Kuva 9. (a) ξ > annettu vakio, (b) ja ωn > annettu vakio ja (c) ωnξ > annettu vakio. Integrointiasteen vaikutus jatkuvuustilan virheeseen Edellä tarkastelluissa askelvasteissa vaste on konvergoitunut haluttuun arvoon ajan kuluessa; transientin jälkeistä pysyvän tilan virhettä ei ole jäänyt. Monien järjestelmien yhteydessä virhettä kuitenkin jää. Tarkastellaan kuvan 10 mukaista takaisinkytkettyä säätöjärjestelmää. Myötähaaran lohko kuvaa säätäjää ja säädettävää prosessia, takaisinkytkentälohko mittausjärjestelmää.

112 sisäänmeno ulostulo R(s) + E(s) G(s) C(s) säädettävä säätäjä + prosessi suure - _ H(s) mittalaitteet Kuva 10.Säädön periaatekaavio Järjestelmän siirtofunktio sisäänmenosta virhesuureeseen on

E s R s H s G s E s E sR s H s G s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= − ⇒ =+

11

Säätöjärjestelmän hyvyyden eräänä mittana voidaan pitää erosuureen jatkuvuustilan arvoa. ts. raja-arvoa arvoa, kun aika lähestyy ääretöntä.

e t e ts

sE ss

s R sH s G s

( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )( ) ( )

∞ = →∞ =→

=→ +0 0 1

Ko. suuretta voidaan pitää mittana järjestelmän staattiselle tarkkuudelle (mikäli H(s) = 1 kyseessä on suoraan sisäänmenon ja ulostulon välinen ero). Tapana on tarkastella tässä yhteydessä askelta, pengertä ja parabolista sisäänmenosignaalia. Avoimen silmukan stabiilin siirtofunktion oletetaan olevan muotoa

H s G sK s

zsz

s s s sp

sp

k

n n

( ) ( )( )( )...

( )( )( )...=

+ +

+ + + +

1 22

21 2

1 1

2 1 1 1ω

ξω

Säätöjärjestelmää kutsutaan lajia k olevaksi järjestelmäksi.

a) Jos sisäänmenona on askel ts R s rs

( ) = 0 niin

es

s rs

H s G srKp

( ) lim( ) ( )

∞ =→ +

=+0 1 1

0

0

missä asentovirhekerroin Ks

H s G sK k

kp =→

==

∞ >⎧⎨⎩

lim ( ) ( )0

00

josjos

Askelmuutoksen yhteydessä erosuureeseen jää pysyvää virhettä eli jatkuvuustilan poikkeamaa jos avoimen järjestelmän siirtofunktiolla G(s)H(s) ei ole yhtäkään

113 puhdasta integraattoria (k = 0), ts napaa origossa. Jos sillä on yksikin konvergoi erosuure nollaan. Askelmuutokset ovat tyypillisiä prosessiteollisuudessa ja mekatronisissa paikkaohjauksissa.

b) Kun sisäänmenona on ramppi eli pengerfunktio { }R s L v tvs

( ) = =−10

02 niin

es

s vs

H s G s sv

s sH s G svKv

( ) lim( ) ( )

lim( ) ( )

∞ =→ +

=→ +

=0 1 0

02

0 0

missä nopeusvirhekerroin Ks

sH s G sk

K kk

v =→

===

∞ >

⎧

⎨⎪

⎩⎪lim ( ) ( )

0

0 011

josjosjos

Pengermuutoksen yhteydessä erosuure kasvaa rajatta jos avoimen järjestelmän siirtofunktiolla G(s)H(s) ei ole yhtään puhdasta integraattoria (k = 0) ts napaa nollassa. Erosuureeseen jää pysyvä virhe eli jatkuvuustilan poikkeama jos avoimen järjestelmän siirtofunktiolla G(s)H(s) on yksi puhdasta integraattori (k = 1). Jos sillä on kaksi tai enemmän napoja nollassa konvergoi erosuure nollaan. Pengermuutoksia voidaan käyttää mekatronisissa liikkeenohjauksissa. c) Edellisten tapaan kun sisäänmenona on parabolinen funktio ts.

R s L a t as

( ) = ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=−10

2 03

12

niin

aKv

sGsHssv

ssGsHsas

se 0

220

30

)()(0lim

)()(10lim)( =

+→=

+→=∞

missä kiihtyvyysvirhekerroin Ks

s H s G sk

K kk

a =→

==

=∞ >

⎧

⎨⎪

⎩⎪lim ( ) ( )

,

0

0 0 122

2

josjosjos

Parabolisen muutoksen yhteydessä erosuure eli virhe siis kasvaa rajatta jos avoimen järjestelmän siirtofunktiolla G(s)H(s) vähemmän kuin kaksi puhdasta integraattoria ( 1.0=k ) ts. napaa nollassa. Jos sillä on kaksi puhdasta integraattori jää erosuureeseen pysyvä poikkeama. Ainoastaan jos avoimen silmukan siirtofunktiolla on vähintään kolme puhdasta integraattoria konvergoi erosuure nollaan. Parabolisia muutoksia tarvitaan mekatronisissa liikeohjauksissa kiihdytystilanteissa. Erosuureelle voidaan laske muitakin tunnuslukuja kuten keskiarvoinen neliövirhe ja neliövirheen erilaiset integraalit, mutta ne voidaan sivuttaa tässä yhteydessä.

114 Tilaesityksen ominaisarvot ja siirtofunktion navat Jo aiemmin on käsitelty dynaamisten järjestelmien mallit -kappaleessa tilamalleja, siirtofunktiomalleja ja niiden välisiä muunnoksia sekä tämän kappaleen alussa lyhyesti lineaarisen tilamallin stabiilisuutta. Navoilla nähtiin edellä olevan siirtofunk-tioiden yhteydessä merkittävä rooli järjestelmän käyttäytymisen määrääjinä. Samoin tilamallin tilan kerroinmatriisin (A tai F) ominaisarvoilla on stabiilisuustarkastelun pohjalta tärkeä rooli dynamiikan määrääjinä. Herää kysymys mitkä ovat napojen ja ominaisarvojen väliset riippuvuudet? Lineaarinen tilamalli todettiin voitavan muuntaa ekvivalentti siirtofunktiomuotoon seuraavasti

dx tdt

x t Ax t Bu t

y t Cx t

( )&( ) ( ) ( )

( ) ( )

= = +

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

( ) ( )⇔ = − = = −− −Y s C sI A BU s G s U s eli G s C sI A B( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

Siirtofunktiossa olevalle käänteismatriisille pätee

( ) ( ))det(

1

AsIAsIadjAsI

T

−−

=− −

Nähdään että siirtofunktion navat ovat nimittäjässä oleva determinantin det(sI-A) määrittämän polynomin nollakohtia. Matriisilaskennasta tiedämme että matriisin ominaisarvot lasketaan karakteristisesta yhtälöstä

Av v I A v I A= ⇒ − = ⇒ − =λ λ λ( ) det( )0 0 Tilaesityksellä systeemimatriisin A ominaisarvot ovat siis systeemin napoja ja karakteristinen yhtälö saadaan kaavasta: ( ) 0det =− AsI . Systeemimatriisin A ominaisarvoja vastaan ominaisvektorit määrittelevät tilan liikkeen moodit. Tilamallin stabiilisuus ja muut dynaamiset ominaisuudet voidaan siis todeta ominaisarvoista, kuten edellä pääteltiin siirtofunktioiden napojen perusteella. Tämä pätee sekä jatkuviin että diskreetteihin tilamalleihin. Mikäli korkean asteluvun karakteristisen yhtälön kertoimet ovat numeroarvojen sijasta symboleja juurten lausekkeiden löytäminen on vaikeaa tai mahdotonta. Stabiilisuuden ehdot voidaan kuitenkin todeta helposti jo aiemmin esitellyn Routhin kaavion avulla ilmat, että juurten eksplisiittistä määräämistä.

115

5.5.3 Taajuusvasteen karakterisointi Jaksollisilla sini- ja kosinifunktioilla on perustavaa laatua oleva merkitys siksi, että Fourier-sarjan tai –muunnoksen avulla signaalit voidaan yleisesti esittää eri taajuuksien summana. Järjestelmien dynaamisia ominaisuuksia tarkasteltaessa tätä perusominaisuutta kannattaa käyttää hyväksi. Käytännössä seuraavana esitettävä taajuusvasteen käsite muodostaakin varsin tärkeän yleistyökalun eri ominaisuuksien analyysissä ja suunnittelussa. On syytä huomata, että jatkuvan ja diskreetin ajan tapaukset eroavat eräissä tärkeissä yksityiskohdissa huomattavasti. Jatkuvan ajan taajuusvaste Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi järjestelmää, jonka sisäänmeno ja ulostulo ovat yksidimensioisia. Oletetaan että järjestelmää ohjataan jaksollisella sisäänmenolla, joka on muotoa

( ) ( ) [ )( )⎩

⎨⎧

∞−∈∞∈

=0,kun0

,0kunsinttta

tuω

Oletetaan edelleen että järjestelmän siirtofunktion G osoittajan asteluku on korkeintaan nimittäjän asteluku ja että järjestelmällä ei ole napoja eli nimittäjäpolynomilla nollakohtia pisteissä s j= ± ω . Tällöin järjestelmän lähtiessä nollatilasta hetkellä t = 0, ulostulo voidaan kirjoittaa muotoon

( ) ( ){ }( )

Y s G s L a t G s as

aA

s pB

s jB

s jki

ki

i

n

k

r k

= =+

=−

++

+−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

==∑∑( ) sin ( )1

2 211

1 2ω ωω ω ω

Missä p1, ..., pr ovat siirtofunktion navat, joiden kertaluvut ovat n1, ..., nr. Kertoimien B1 ja B2 arvoiksi saadaan

( )jjG

ssGjsB js 2

)()(221

ωωωω ω

−−=

++= −=

( )B s j G ss

G jjs j2 2 2 2

= −+

==ω ωω

ωω

( ) ( )

Siten, kun lisäksi ( ) ( ) ( )G j K e jω ω ϕ ω=

( ) ( ) =−

++

−−=

−+

+ ωω

ωω

ωω jsjjG

jsjjG

jsB

jsB

2)(

2)(21

116

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )K e

j s jej s j

Ks e e j e e

j s

j j j j j j

ωω ω

ωω

ω

ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω

2 2 2 2 2−−

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

− + +

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− − −

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )=

−

++

+

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

− −

Ks e e

j s

j e e

j s

j j j j

ωω

ω

ω

ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω

2 22 2 2 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )Ks

se jjω

ϕ ω ω ϕ ωω

ϕ ω ϕ ωϕ ωsin coscos sin

++

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +

2 2kun

Y(s):n lauseke on siis muotoa

( ) ( ) ( )( ) ( )

Y s aKs

sa

As p

ki

ki

i

n

k

r k

( )sin cos

=++

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

−==∑∑ω

ϕ ω ω ϕ ωω2 2

11

Vastefunktio y(t)=L-1{Y(s)} voidaan siis kirjoittaa muotoon

( ) ( ) ( )y t y t y to ss= + missä

( )( ) ( )

y t L aA

s pa

Ai

t eki

ki

i

n

k

rki i p t

i

n

k

rki

k

01

11

1

11 1=

−

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

−−

==

−

==∑∑ ∑∑ !

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )y t L aK

ss

aK tss ( )sin cos

sin=++

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= +−1

2 2ω

ϕ ω ω ϕ ωω

ω ω ϕ ω

Jos nyt G:n navat p1,...,pr ovat kaikki reaaliosaltaan negatiivisia niin

( )lim y tt0 0→∞

=

Siten tarpeeksi suurilla t:n arvoilla

( ) ( )( )y t y t aK tss( ) ( ) sin≈ = +ω ω ϕ ω Järjestelmän sanotaan toimivan stationäärisessä vaihtotilassa (steady state). Kun stabiiliin lineaariseen dynamiikkaan syötetään sisään sinisignaali, ulos saadaan alkutransientin jälkeen samantajuinen sinisignaali, jonka amplitudi on vahvistunut kertoimella K(ω), lisäksi vaihe on siirtynyt ϕ(ω):n verran. Kompleksilukuarvoista funktiota joka määritellään siirtofunktion avulla

( ) ( ) ( ) ( )G G j K e jω ω ω ϕ ω= =

117

kutsutaan järjestelmän taajuusvasteeksi tai taajuusfunktioksi. Termiä K(ω) kutsutaan vahvistukseksi tai amplitudisuhteeksi ja termiä ϕ(ω) vaiheeksi Taajuusvastetta tarkasteltaessa voidaan todeta seuraava käytännön kannalta tärkeä seikka. Oletetaan että siirtofunktio on muotoa

( )G s b b s b sa a s a s

mm

nn=

+ + ++ + +

0 1

0 1

,...,,...,

. Tällöin ( )limω

ω→∞

=

∞ >

=

<

⎧

⎨⎪

⎩⎪

K

m nba

m n

m n

m

n

jos

jos

jos0

.

Fysikaalisilla järjestelmillä on oltava aina voimassa m < n koska ne eivät koskaan päästä läpi "äärettömän suuria taajuuksia". Taajuusvaste voidaan aina kirjoittaa kahden reaaliarvoisen funktion avulla muotoon

( ) ( ) ( )G j X jYω ω ω= + Tällöin ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

K X YYX

ω ω ω

ϕ ωωω

= +

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 2

arctan

Taajuusvastetta graafisesti esitettäessä käytetään yleensä joko Nyquist- tai Bode-diagrammia, jotka esitellään ja joilla spesifioidaan säädön tavoitteita taajuustasossa diskreetin taajuusvasteen käsittelyn jälkeen. Taajuusvaste diskreetin ajan tapauksessa Jo aiemmin on todettiin Shannonin lauseen käsittelyn yhteydessä, että näytteenotto vaikuttaa ratkaisevasti signaalin spektriin varsinkin taajuuksilla, jotka ovat korkeampia kuin puoli näytetaajuutta. Spektri muodostuu jaksolliseksi jaksona 2π kertaa näytteenottotaajuus 1/T. Samat ominaisuudet näkyvät myös periaatteessa myös lineaarisen järjestelmän taajuusvasteessa. Tarkastellaan tapausta, jossa järjestelmään jonka z-siirtofunktio on G(z) syötetään sinisignaalista muodostettua porrassignaalia. Signaalin kulmataajuus on ω ja näytteenottoväli T. Signaalin z-muunnos on

( ) ( ){ } ( )( )

U z Z a iT az Tz T z

= =− +

sin sincos

ω ωω2 2 1

ja sitten ulostulos z-muunnokseksi saadaan

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )Y z G z az T

z T zG z az T

z e z ej T j T=− +

=− − −

sincos

sinωω

ωω ω2 2 1

Oletetaan, että järjestelmä on stabiili ts. G(z):n navat yksikköympyrän sisällä. Vastaavasti kuin jatkuvassa tapauksessa todetaan että jatkuvuustilassa, kun aika

118

i → ∞ , ainoastaan napoja ejωT ja e-jωT (jotka siis sijaitsevat yksikköympyrän kehällä) vastaava osa vasteesta on jäljellä. Tämä osa on

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )y iT Z G eae Te e

G e ae Te ess

j Tj T

j T j Tj T

j T

j T j T( )sin sin

=−

+−

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪−

−−

−

−1 ω

ω

ω ωω

ω

ω ω

ω ω

Pienen laskutoimituksen jälkeen todetaan että

( ) ( )( )y iT y iT aK iTss( ) ( ) sin≈ = +ω ω ς ω missä ( ) ( ) ( )G e K ej T jω ς ωω= Tässä tapauksessa ulostulon näytejono on siis generoitunut sinisignaalista, jonka amplitudi ja vaihekulma saadaan diskreetin taajuusvasteen perusteella, joka saadaan diskreetistä z-siirtofunktiosta sijoittamalla z = ejωT. On huomattava erityisesti, että taajuusvaste on taajuuden suhteen jatkuva vaikka aikasignaalit ovat ajan suhteen diskreettejä. Vasteessa esiintyy jaksollisuus, joka toistuu näytteenottotaajuuden ωs = 2π/T:n välein. Laskostumisilmiöstä johtuen Shannonin näyteteoreeman mukaisen näytetaajuuden yläpuolella olevilla taajuuksilla vaste poikkeaa yleensä huomattavasti vastaavan aikajatkuvan järjestelmän aikavasteesta. Jatkuvamuotoisen siirtofunktion approksimointi diskreetillä Useissa käytännön tilanteissa tulee eteen seuraava perustehtävä: kuinka löydetään annettua jatkuvaa siirtofunktiota vastaava paras diskreetti siirtofunktio siten että se on vielä yksinkertaista polynomi/polynomi-tyyppiä. Seuraava ns. Tustin-approksimaatio antaa erään käytännön mahdollisuuden. Lähtökohtana on, että siirtofunktio voidaan realisoida integraattoreita ja vakiokertojia käyttäen. Diskretoidaan jokainen integraattori puolisuunnikassääntöä käyttäen jolloin integraattoreista saadaan seuraava digitaalinen esitys (u sisäänmeno, y ulostulo, T näyteväli).

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )y i y i u t dt y i u i u i TiT

i T

+ = + = + + ++

∫1 12

11

( ) ( ) z-muunnetaan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )1

12

1211

−+

=⇒+=−zzT

zUzYzXzTzYz

Koska vakiokerroinlohkojen siirtofunktio säilyy diskretoinnissa muuttumattomana voidaan intuitiivisesti todeta, että jatkuvaa siirtofunktiota G(s) vastaava diskreetti siirtofunktio G(z) saadaan suorittamalla sijoitus

( )( )

( )( )

12

11

2 11s

T zz

sT

zz

≈+−

⇒ ≈−+

Näin saatua diskreettiä siirtofunktiota G(z) kutsutaan Tustin-approksimaatioksi. Esimerkiksi siirtofunktio

119

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) 22

1112

1

112 −++

+=

++−+

=+

+−

=⇒+

=aTzaT

zaTzaTz

zaT

azz

T

azGas

asG

Bode- ja Nyquist-diagrammit Olkoon jatkuvamuotoinen siirtofunktio

( ) ( ) ( ) ( )G G j K e jω ω ω ϕ ω= = Boden diagrammissa järjestelmän taajuusvasteen itseisarvo eli vahvistus K(ω) (dB) ja vaihekulma ϕ(ω) esitetään graafisesti erillisinä käyrinä kulmataajuuden funktiona logaritmisella asteikolla. Nyquistin diagrammissa kompleksilukuarvoisen G(jω):n ura esitetään kompleksitasossa taajuuden ω kasvaessa 0 → ∞ . Boden ja Nyquistin diagrammien piirtämisessä käytetään nykyään valmiita piirto-ohjelmia. Diagrammien tulkinnan kannalta on kuitenkin hyödyllistä hallita yksinkertaiset piirtosäännöt varsinkin Boden diagrammille. Nyquist-diagrammin muodon tunteminen tietyissä perustapauksissa on hyödyksi. Tarkastellaan ensin Bode-diagrammia, piirtämissäännöt käsitellään harjoitusten yhteydessä tarkemmin. Mikäli taajuusfunktion osoittaja ja nimittäjä ovat usean yksinkertaisen tekijän tuloja, niin vahvistus- ja vaihekäyrien piirtämisessä voidaan hahmotella jokaisen tekijän vaikutus erikseen ja summata kaikki yhteen, jolloin saadaan koko taajuusfunktion Boden diagrammi. Jos siirtofunktio on muotoa

( )

( )G s

K s z

s s p s s

ii

m

kl k k k

k

n

l

q( )( )

=+

+ + +

=

==

∏

∏∏1

2 2

11

2ξ ω ω on vastaava taajuusvaste muotoa

( )

( )G j

K j z

s j p j j j j

ii

m

kl k dk k dk

k

n

l

q( )( )( )

ωω

ω ω σ ω ω σ ω=

+

+ + + + −

=

==

∏

∏∏1

11

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )∏ ∏

∏

= =

== q

l

n

k

jpk

jpl

jkk

m

i

jzi

pkpl

zi

ekeke

ekK

1 1

22

1

ωϕωϕπ

ωϕ

ωωω

ω polaarisessa muodossa

Kun tarkastellaan vahvistusta logaritmisena (dB) saadaan

120

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )∑∑∑

∏ ∏

∏

===

= =

=

−−−+

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

n

kpkpl

q

l

m

izi

q

l

n

kpkpl

k

m

izi

kkkkK

kk

kKjGK

111

1 1

2

1

lg40lg20lg20lg20lg20

lg2020lg20

ωωωω

ωωω

ωωω

Kukin termi voidaan approksimoida erikseen ja summata vaikutukset yhteen. Ensimmäisen kertaluvun termit voidaan approksimoida yhteen piirretyillä suorilla. Toisen asteen termiin tarvitaan vähän muutakin. Kaikki osatekijöiden vahvistustermit lg(k(ω)) yllä olevassa lausekkeessa, ts. yksinkertaisen nollan lg(kzi(ω), yksinkertaisen navan lg(kpl(ω)) ja napaparin lg(kpk(ω)) (huomaa kerroin 40) lähestyvät funktiota lg(ω) taajuuden kasvaessa. Logaritminen vaaka-akseli (taajuus) mahdollistaa siten termien approksimoinnin käsin piirrettäessä yhteenliitetyillä suorilla. Napaparien yhteydessä tarvitaan hieman tarkempaa tarkastelua resonanssitaajuuden kohdalla. Kun tarkastellaan vaihekulmaa voidaan suoraan todeta

( ) ( ) ( ) ( )∠ = − − −= = =∑ ∑ ∑G j kzii

m

pll

q

pkk

n

ω ϕ ω π ϕ ω ϕ ω1 1 12

Vaiheen käyttäytymistä voidaan luonnehtia seuraavilla säännöillä, jotka ovat hyödyllisiä myös Nyquistin diagrammin muodon hahmottelussa.

• Yksinkertainen nollan aiheuttama vaihesiirto asettuu arvoon +π/2 taajuuden kasvaessa

• Puhtaan integraattorin (napa origossa) aiheuttama vaihesiirto on vakio -π/2 • Yksinkertaisten navan aiheuttama vaihesiirto asettuu arvoon -π/2 taajuuden

kasvaessa. • Napaparin aiheuttama vaihesiirto asettuu arvoon -π taajuuden kasvaessa

Nyquistin diagrammissa taajuusfunktio esitetään kompleksitasossa, kun kulmataajuus ω muuttuu nollasta äärettömään. Monesti piirto-ohjelmat näyttävät myös negatiivisiin taajuuksiin liittyvän haaran, joka on peilikuva reaaliakselin suhteen. Prosessin vahvistus vastaa käyrän etäisyyttä origosta ja vaihe-ero kulmaa positiivisen reaaliakselin suhteen. Tarkastellaan esimerkkisiirtofunktion Bode- ja Nyquist diagrammeja, kuvat 11 ja 12. Vertaile vahvistuksen ja vaiheen vastaavuutta eri diagrammeissa. Koska siirtofunktio sisältää puhtaan integraattorin on vahvistus nollataajuudella ääretön; askelvaste kasvaa siis äärettömään, koska askeleen integraali kasvaa. Nollataajuuden vaihekulma on -π/2, koska nimittäjässä on puhdas integraattori. Kun taajuus kasvaa, vahvistus lähestyy nollaa (abs. eli miinus ääretöntä (dB)) ja vaihekulma arvoa -π.

121

10-1 100 101 102-100

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-1 100 101 102

-60

-90

-120

-150

-180

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

Kuva 11. Siirtofunktion ( ) ( )( )( )

G sK s

s s s=

++ +

31 2

jossa K = 1, Bode-diagrammi.

Kuva 12. Siirtofunktion ( ) ( )( )( )

G sK s

s s s=

++ +

31 2

jossa K = 1, Nyquist-diagrammi,

alempi haaraa liittyy taajuuksiin 0 → ∞ , ylempi haara taajuuksiin −∞→− 0 . Viiveiden käsittely taajuusalueessa on yksinkertaista. Viive voidaan Eulerin kaavalla muuttaa tavalliseksi kompleksiluvuksi. Diskreettien siirtofunktioiden osalta piirtäminen käsin ilman sopivaa ohjelmaa on hankalaa, koska esimerkiksi Bode-diagrammin osalta jatkuvan tapauksen kaltaisia

122

yksinkertaisia piirtosääntöjä ei ole diskreettiä tapausta varten. Taajuustason tarkasteluja voidaan tehdä myös diskreettien siirtofunktioiden yhteydessä, mutta tulkinta on hankalampaa ja johtopäätöksiä tehtäessä on oltava varovaisempi. Spesifikaation suljetun järjestelmän taajuusvasteelle Säätöjärjestelmän mitoituksessa voidaan asettaa tiettyjä vaatimuksia suljetun eli säädetyn eli takaisinkytketyn järjestelmän taajuusvasteelle. Taajuustasossa käytetään kuvassa 13 havainnollistettuja merkintöjä. Pystyakselilla on vahvistus eli amplitudi-suhde absoluuttisena vasemmalla ja desibeleinä (dB) oikealla.

Kuva 13. Spesifikaation suljetun järjestelmän taajuusvasteelle

• Kaistaleveys, ωBW, (bandwidth) taajuus, jolla amplitudi on pudonnut arvoon 1

2 0 707 3= ≡. dB .

• Resonanssipiikki, Mr, (resonant peak) amplitudikäyrän maksimiarvo, jonka suuruus annetaan yleensä dB-asteikolla.

• Resonanssitaajuus, ωr, (peak resonant frequency) taajuus jolla amplitudi-käyrä on maksimissaan.

• Amplitudikäyrän jyrkkyys, k, (slope) korkeilla taajuuksilla oletetaan ( )G j kω ω≈ − , mikä dB-asteikolla merkitsee laskevaa suoraa k*20 dB/dek.

Luonnollinen määrite järjestelmän suorituskyvylle taajuustasossa on kaistanleveys, joka määritellään maksimaaliseksi taajuudeksi, jolla järjestelmä pystyy seuraamaan sinimuotoista referenssisignaalia kohtuullisesti. Kaistanleveys on järjestelmän nopeuden mitta kuten aikatasossa nousuaikaa. Voidaan näyttää että kaistanleveys vastaa toisen asteen järjestelmän tapauksessa luonnollista taajuutta ωn, kun vaimennuskertoimen ξ arvo on 0,7. Resonanssipiikki Mr on verrannollinen systeemin vaimennusominaisuuksiin. Käytännössä resonanssipiikkiä ei yleensä käytetä säädön spesifikaationa vaan käytetään vahvistusvaraa ja vaihevaraa, jotka esitellään seuraavassa kappaleessa.

123

Stabiilisuus taajuustasossa Tarkastellaan kuvan 14 esittämää tavanomaista säätökaaviota sisäänmeno, ulostulo ohje- R(s) + E(s) G(s) C(s) säädettävä säätäjä + prosessi suure arvo - H(s) mittalaitteet Kuva 14. Säädön periaatekaavio Aluksi on syytä palauttaa mieleen muutamien keskeisten käsitteiden sisältö. Avoimen järjestelmän (tai avoimen silmukan) siirtofunktio GOL(s) ja suljetun järjestelmän (tai silmukan) siirtofunktio GC(s) eli takaisinkytketyn järjestelmän siirtofunktio määriteltiin seuraavasti.

( ) ( ) ( )G s G s H sOL = , ( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )sHsG

sGsG

sGsRsCsG

OLC +

=+

==11

Takaisinkytkettyä järjestelmää koskevia johtopäätöksiä voidaan tehdä avoimen järjestelmän siirtofunktion ominaisuuksien perusteella. Tarkastellaan ensin stabiilisuutta. Takaisinkytketyn järjestelmän karakteristinen yhtälö on:

( ) ( ) ( )1 0 1 0+ = ⇔ + =G s G s H sOL Stabiiliuden kannalta kriittinen piste on ( )G sOL = −1, mikä taajuusvasteen vahvistuk-sen ja vaiheen ilmaistuna on

( ) ( )( ) ( )

G j K jG j

OL OL

OL OL

ω ωω ϕ ω π

= =∠ = = ±

⎧⎨⎩

1

Stabiiliuden tutkiminen Boden diagrammin avulla onnistuu vain yksinkertaisissa tapauksissa: vaihekäyrän ja vahvistuskäyrän on leikattava stabiiliusrajat vain yhdellä taajuuden arvolla.

Prosessi on stabiili Bode-diagrammin perusteella, jos taajuudella, jolla vaihe on π eli 180 astetta, vahvistus on pienempi kuin 1 eli 0 dB.

Nyquistin stabiiliuskriteeriä voidaan käyttää myös monimutkaisilla järjestelmillä. Nyquist-testi

124

Nyquistin stabiilisuusdiagrammi tarkoittaa funktion GOL(s) uraa kompleksitasossa kun s kiertää myötäpäivään kuvan 15a) kaltaisen ison puoliympyrän, jonka R → ∞ (oikea puolitaso mukaan lukien imaginääriakseli). Imaginääriakselilla olevat GOL(s):n navat ohitetaan kuitenkin oikealta pienisäteistä ympyrää pitkin. Oletetaan että kuvan 14 mukaisessa järjestelmässä avoimen järjestelmän siirtofunktion GOL(s):n osoittajan asteluku on korkeintaan nimittäjän asteluku (nollia on korkeintaan yhtä paljon kuin napoja). Takaisinkytketyn järjestelmän siirtofunktio GC(s) on tällöin tarkasti stabiili jos ja vain jos Nyquistin stabiilisuusdiagrammi kiertää vastapäivään pisteen (-1, j0) täsmälleen yhtä monta kertaa kuin avoimen järjestelmän siirtofunktiolla GOL(s) on napoja kompleksitason avoimessa oikeassa puolitasossa.

Kuva 15 Nyquist stabiilisuus diagrammi kun ( ) ( )( )( )

G s G s H s Ks s sOL ( ) = =

+ +3 5

a) s:n kiertoura oikean puolitason ympäri, napa 0=s ohitetaan oikealta, b) vastaava GOL(s):n ura. Kuvan 15 avoimen järjestelmän siirtofunktiolla ei ole yhtään napaa oikeassa puolitasossa. Nyquist-stabiilisuusdiagrammista 15b) voidaan päätellä: koska avoimen järjestelmän siirtofunktion ura ei kierrä pistettä (-1, j0), on suljetun järjestelmän siirtofunktio stabiili. Nyquistin testi voidaan todistaa ns. argumentin periaatteen avulla, joka on tuttu kompleksiarvoisten funktioiden teoriasta. Argumentin periaate Olkoon C kompleksitason umpinainen yhdesti yhtenäinen käyrä. Olkoon kompleksiarvoinen F(z) kompleksitason analyyttinen funktio, joka on säännöllinen käyrällä C. Jos piste s kiertää myötäpäivään käyrän C niin F(s) kiertää myötäpäivään origon PZ − kertaa, missä:

( )sFZ = :n nollapisteiden (osoittajan nollakohtien) lukumäärä C:n sisäpuolella ( )sFP = :n napapisteiden (nimittäjän nollakohtien) lukumäärä C:n sisäpuolella

Nyquistin testin todistus:

125

Suljetun järjestelmän siirtofunktion GC(s):n navat ovat samat kuin funktion 1+GOL(s) nollakohdat. Edelleen funktion 1+GOL(s) navat ovat samat kuin GOL(s):n navat. Jos s kiertää kuvan 15a) kaltaisen käyrän myötäpäivää niin 1+GOL(s) kiertää origon myötäpäivään eli GOL(s) pisteen (-1, j0) myötäpäivään PZN −= kertaa, missä Z on 1+GOL(s):n avoimessa oikeassa puolitasossa olevien nollakohtien lukumäärä ja P GOL(s):n avoimessa oikeassa puolitasossa olevien napojen lukumäärä. Suljetun järjestelmän siirtofunktio GC(s) on siis tarkasti stabiili (ei napoja oikeassa puolitasossa eli 1+GOL(s):lla ei nollakohtia oikeassa puolitasossa) jos ja vain jos 0=Z eli

PN −= . Jos avoin järjestelmä on stabiili (varsin yleistä) eli GOL(s):llä ei napoja avoimessa oikeassa puolitasossa eli 0=P , yksinkertaistuu Nyquistin testi muotoon:

Jos avoin järjestelmä on stabiili, on suljettu järjestelmä stabiili jos ja vain jos taajuusvaste GOL(jω) kulkee pisteen (-1, j0) oikealta puolelta kun ω kasvaa 0 → ∞ .

Nyquistin testin etuna on että avoimen järjestelmän siirtofunktion GOL(s):n tarkkaa muotoa ei tarvitse tuntea, vaan käytännössä riittää useimmiten tuntea taajuusvaste GOL(jω) kun ω: 0 → ∞ . Tämä puolestaan voidaan usein mitata suoraan fysikaalisesta järjestelmästä. Nyquistin stabiilisuusdiagrammin käsin piirtämistä ja oikean puolitason kiertämistä myötäpäivään harjoitellaan laskuharjoitusten yhteydessä. Periaatteena on jakaa kierto sopiviin osiin ja tarkastella niihin liittyviä raja-arvoja:

Kuva 16. Tarkastellaan tapausta

( ) ( )33 1)()(,

11)(

+=⇒=

+=

sKsGKsH

ssG OL .

Kuvaan on piirretty Nyquistin diagrammi K:n arvolla 5 ja 20. Edellisessä tapauksessa suljetun järjestelmän siirtofunktion GC(s) on stabiili, jälkimmäisessä ei koska ura

126

kiertää pisteen (-1, j0). Tarkka K:n arvo, jolla suljetun järjestelmän stabiilisuus menetetään voidaan laskea esim Routhin kaaviolla.

100 101-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

100 101

-180

-270

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

100 101-40

-20

0

20

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

100 101

-180

-270

Frequency (rad/sec)P

hase

deg

a) b) Kuva 17. Tarkastellaan edelleen tapausta

( ) ( )G s

sH s K G s K

sOL( ) , ( ) ( )=+

= ⇒ =+

11 13 3

Kuvaan on piirretty GOL(s) :n Boden diagrammit K:n arvolla a) 5 ja b) 20. Kohdassa a) suljetun järjestelmän siirtofunktion GC(s) on stabiili eli koska GOL(s):n vahvistus on ainakin vähän alle 0dB kun vaihe on -180°, Kohdassa b) näin ei ole ja GC(s) on epästabiili. Aikadiskreetissä tapauksessa stabiilisuus voidaan testata periaatteessa kumpaakin edellä esiteltyä menetelmää käyttäen. Nyquistin testissä z kiertää kuitenkin avoimen yksikköympyrän ulkopuolisen alueen vastapäivään, koska siellä 1+GOL(z):lla ei saa olla nollia eli GC(z):lla napoja. Molempiin seikkoihin löytyy selitys vastaavuudesta z = esT. Vaihevara ja vahvistusvara Käytännön säätöjärjestelmässä on tärkeää, että stabiilisuus voidaan säilyttää vaikka järjestelmässä tapahtuisi esimerkiksi fysikaalisten parametrien muutoksia. Lähellä stabiilisuusrajaa järjestelmän vaimennusominaisuudet ovat myös yleensä heikot (värähtely askelvasteessa vaimenee hitaasti). Näistä syistä mitoitus pyritään suorittamaan tiettyjä varmuusrajoja käyttäen. Kaksi yleistä varmuusrajaa on ns. vahvistusvara GM ja vaihevara PM. Nämä määritellään kuvan 18 mukaisesti. Jos avoimen järjestelmän GOL(s) = G(s)H(s) taajuusvaste kulkee kuvan 18 mukaisesti niin suljettu järjestelmä GC(s) on stabiili. Jos nyt avoimen järjestelmän vahvistusta nostetaan vähintään määrällä GM niin ts. avoimen järjestelmän siirtofunktion on muotoa KGOL(s), jossa K > GM niin järjestelmä muuttuu epästabiiliksi. Vahvistusvara

127

siis ilmaisee sen maksimivahvistuksen, jonka puitteissa avoimen järjestelmän vahvistusta voidaan nostaa.

Kuva 18. Vahvistusvaran ja vaihevaran määritelmät. Jos avoimen järjestelmän siirtofunktioon lisätään tekijä jonka vaihe on pienempi kuin -PM ja vahvistus noin yksi vaihevaran tarkastelukohdan taajuusalueella niin takaisinkytketty järjestelmä muuttuu jälleen epästabiiliksi. Vaihevara siis ilmaisee sellaisen kulma-arvon, jonka ilmaiseman määrän avoimen järjestelmän vaihetta voidaan korkeintaan "jättää jälkeen", jotta järjestelmä vielä pysyisi stabiilina. Bode-diagrammista vaihe- ja vahvistusvara voidaan määrittää kuvan 19 esittämällä tavalla.

Kuva 19. Vaihe- ja vahvistusvara Bode-diagrammissa.

128

5.6 Säätäjien suunnittelu Säädön suunnittelu perustuu kriteereihin, jotka asetetaan tapauskohtaisesti Kriteereiden asettaminen seuraa vaatimuksista, jotka liittyvät

• Staattiseen ja dynaamiseen tarkkuuteen. • Staattiseen jäykkyyteen (esitellään vasta tässä kappaleessa). • Häiriöiden kompensointikykyyn. • "Robustisuuteen" ts. epäherkkyyteen suunnitteluparametrien muutoksille. • Adaptiivisuuteen ts. kykyyn seurata prosessin ja/tai ympäristön

parametrimuutoksia. Kriteerit annetaan yleensä sidottuna aika- ja taajuustasossa määriteltyihin ominaisuuksiin, joita eriteltiin edellisessä kappaleessa. Aikatason ominaisuuksia ovat:

• Askelvasteen nousuaika, ylitys ja asettumisaika, asentovirhe ja muut pysyvän tilan eli jatkuvuustilan virhesuureet.

• Erosuureen virheen tunnusluvut, keskiarvoinen neliövirhe ja virheen erilaiset integraalit IAE (integral of absolute error) ja ISE (…square…).

Taajuustason ominaisuuksia ovat:

• Kaistanleveys asetusarvon ja säädettävän suureen välillä eli takaisinkytketyn järjestelmän kaistanleveys.

• Vaihevara ja vahvistusvara. • Vaimennus häiriösuureiden ja säädettävän suureen välillä eri taajuuksilla. • Kaistan "nyppylä" (M-piikin) mataluus.

Monimuuttujasäädössä (ei ole vielä käsitelty) vielä lisäksi:

• Ristikkäisvaikutus eri säädettävien suureiden ja ohjaussuureiden välillä. Suunnittelumenetelmät muodostavat nykyisin laajan kokonaisuuden. Tämän opintojakson puitteissa niitä ei voida yksityiskohtaisesti käsitellä. Seuraavassa tarkastellaan käytännössä yleisimmin sovellettuja standardisäätäjiä, kuten PID-säätäjiä ja sen erilaisia variaatioita. Varsinaisista suunnittelutavoista esitellään lyhyesti vaiheenjohto- ja vaiheenjättökompensaattorien suunnittelu ensin aikatason kriteerien pohjalta käyttäen juurenuraa, ja sitten taajuustasossa. Tilaesitysmuotoisiin malleihin ja tilasäätöön liittyvät käsitteet ohjattavuus ja havaittavuus sekä tilasäätäjän sekä tilahavaitsijan suunnittelun periaatteet esitellään lyhyesti lopuksi. 5.6.1 Kompensaattorit ja säätäjät Takaisinkytketyssä säätöpiirissä säätäjä on laite, joka generoi toimilaitteelle menevän ohjaussignaalin referenssi- ja mittaussignaaleista. Aiemmin käsitellyissä lohkokaavio- ja siirtofunktiotarkasteluissa säätäjää ei ole yleensä erotettu omaksi lohkokseen vaan sen on oletettu sisältyvän myötähaaran siirtofunktioon G(s) tai G(z). Yksinker-taisimmillaan säätäjä on pelkkä vahvistus, jolloin ohjaussignaali on vahvistettu tai vaimennettu erosignaali. Pelkällä vahvistuksella ei aina saada aikaan haluttuja ominaisuuksia. Tällöin säätäjään on lisättävä dynamiikkaa, jonka avulla koko takaisinkytkennän dynaamiset ominaisuudet voidaan muuttaa. Dynamiikan muutta-mista haluttuun suuntaan aikataso- tai taajuuskriteereitä hyväksikäyttäen kutsutaan

129

yleisesti kompensoinniksi varsinkin klassisessa säätötekniikassa. Laitetta tai elintä, jonka avulla kompensointi suoritetaan, kutsutaan kompensaattoriksi. Säätäjä on siis myös kompensaattori. Toisaalta kompensaattori voidaan sijoittaa säätöpiiriin myös muihin osiin kuin varsinaiseen säätäjään. Varsinkin prosessiteollisuuden automaatiossa varsinaiset säätäjät ovat dynamiikaltaan yksinkertaisia ja standar-doituja. Seuraava esimerkki havainnollistaa muun kuin säätäjän yhteyteen sijoitetun kompensaattorin käyttöä. Erään pyörivän akselin asentosäätöjärjestelmän lohkokaavio on esitetty kuvassa 1, jossa TL on akseliin vaikuttava vaihteleva kuormitusmomentti. Tm = J/B, jossa J on kokonaishitausmomentti ja B viskoosin kitkan kerroin. Kuvan 1 malli on samanlainen kuin opetusmonisteessa aiemmin esitellyn DC-moottorin hitausdynamiikkaa kuvaava osamalli, jossa moottorin tuottama momentti on suoraan verrannollinen moottorin ankkurivirtaan ia. (Toista aiemman DC-moottoriesimerkin osamallia, moottorin sähköistä sijaiskytkentää eli ohjausjännitteen ea ja ankkurivirran ia välistä dynamiikkaa, ei oteta tässä huomioon.) TL(s) R(s) + E(s) + _ C(s)

KT ( )msTB +11

1s

_ Kuva 1. Pyörivän akselin asentosäätö (vakio KT = nK1K2G, joita ei tässä eritellä). Lineaaristen järjestelmien lohkokaaviomuunnoksia käyttämällä saadaan asetusarvo asennon ja kuormitusmomenttihäiriön välille seuraavat riippuvuudet

( ) ( ) )(11

1111

122

sTs

KTs

KKB

sRs

KTs

K

sC Lmm ++

−++

= missä BKK T /=

Jos vastaavat aikasignaalit r ja tL ovat vakioita niin jatkuvuustilassa myös aikasignaali c on vakio.

( ) ( ) ( ) 000011

LL tKB

cretKB

rc =∞−=∞−=∞

Kun ( ) 0=sTL saadaan ( )( )

G s C sR s

Ks T

Ks s s

Cm

n n

( ) = =+ +

=+ +

1

1 11

1 2 122

2ξω ω

missä m

n TK

=ω ja KTm2

1=ξ

130

Kuvasta nähdään suoraan että järjestelmä on lajia 1 ts. yksi puhdas integraattori avoimen järjestelmän siirtofunktiossa GOL(s). Järjestelmän nopeusvirhekertoimeksi tulee

( ) KB

KsTsB

KsssGK T

m

T

sOLsv ==+

==→→ 1

lim)(lim00

Arvosteltaessa järjestelmän hyvyyttä säätöjärjestelmänä voidaan tehdä seuraava yhteenveto:

1. Järjestelmän "jäykkyys", jonka mittana voidaan pitää sitä kuormitusmomenttia, joka aiheuttaa yksikön suuruisen virheen käskysuureen r ja säädettävän suureen c välille, on KB = KT

2. Takaisinkytketyn järjestelmän luonnollinen taajuus ωn, jonka suurentaminen lisää järjestelmän nopeutta, on verrannollinen K :n

3. Takaisinkytketyn järjestelmän vaimennus on verrannollinen 1K

4. Järjestelmä on tyyppiä 1 ja sen nopeusvirhekerroin Kv on verrannollinen K:hon (Kv:n suurentaminen pienentää erosuureen e jatkuvuustilan arvoa, kun käskysuure r on pengerfunktio eli ramppi)

Yhteenvedosta voidaan päätellä että kaikki muut järjestelmän hyvyyttä kuvaavat suureet, paitsi vaimennus, tulevat paremmiksi, jos avoimen järjestelmän vahvistusta K suurennetaan. Vaimennuksen pienentyminen johtuu siitä, että K:n suuretessa vaihe- ja vahvistusvarat pienenevät. Käytännössä tämä merkitsee sitä, että ulostulossa välittömästi muutostilanteiden jälkeen esiintyvä värähtely kasvaa kun K:ta suurennetaan. Huomaa, että jäykkyyttä ja vaimennusta voidaan suurentaa myös kitkakerrointa suurentamalla. Tämä tapa on kuitenkin harvoin teknisesti järkevä ratkaisu (miksi?). Tarkastellaan sitten samaa järjestelmää, kun siihen on lisätty kuvan 2 mukainen kompensointielin, joka on toiminnallisesti nopeustakaisinkytkentä. TL(s) R(s) + + + _ C(s)

KT ( )msTB +11

1s

_ _ K3 Kuva 2. Erään pyörivän akselin asentosäätö, jossa nopeustakaisinkytkentä. Säädettävälle asentokulmalle saadaan seuraava lauseke

131

( ) ( ) )(11

1111

12

32

3

sTs

KTs

KKKB

sRs

KTs

KK

sC Lmm +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

missä BKK T /= Suorittamalla samat tarkastelut kuin edellä (suorita) ja vertaamalla tuloksia havaitaan, että:

1. Jäykkyys ei ole muuttunut. 2. ωn ei ole muuttunut.

3. Vaimennukseksi tulee ξ =+1

23KK

T Km

.

4. Järjestelmän tyyppi on edelleen 1 ja nopeusvirhekerroin K KKKv =

+1 3

Nyt voidaan todeta että K:n suurentaminen parantaa järjestelmä "jäykkyyttä", kasvattaa sen nopeutta ja vaimennusta sekä lisäksi että nopeusvirhekerroin pysyy kaikilla K:n arvoilla pienempänä kuin 1/K3. Nopeustakaisinkytkentä on siis selvästi parantanut järjestelmän ominaisuuksia, Takaisinkytketyn järjestelmän siirtofunktiosta C(s)/R(s) nähdään että vakion K3 mukaantulo on siirtänyt napoja tuntuvasti vasemmalle (josta vaimennuksen kasvaminen juuri onkin seurauksena). Kun K ja K3 ovat positiivisia ovat siirtofunktion navat aina kompleksitason vasemmassa puolitasossa ja järjestelmä siten stabiili. Navat pysyvät vasemmassa puolitasossa myös ilman nopeustakaisinkytkentää, mutta lähestyvät nopeasti K:n kasvaessa imaginääriakselia, mikä merkitsee stabiilisuus-ominaisuuksien heikentymistä. Kompensoinnilla voidaan muuttaa myös järjestelmän lajilukua. Lajiluvun nostaminen tulee kysymykseen varsinkin seurantaservossa, joissa ulostulon on mahdollisimman tarkkaan seurattava käskysuureen muutoksia. Tarkasteltavan esimerkin tapauksessa tämä voidaan tehdä yksinkertaisesti lisäämällä kuvan 2 mukaiseen järjestelmään sarjakompensointielin niin kuin kuvassa 3 esitetään. TL(s) R(s) + + + _ C(s)

1 1

1

+sT

KT ( )msTB +11

1s

_ _ K3 Kuva 3. Erään pyörivän akselin asentosäätö, jossa nopeustakaisinkytkentä sekä lisäksi integroiva sarjakompensointielin.

132

Järjestelmä on nyt lajia kaksi ja ulostulo e siis seuraa jatkuvuustilassa vakionopeudella muuttuvaa käskysuuretta tarkasti. Järjestelmän siirtofunktio on nyt

( )( ) 3121

31

1

1

1

sKTT

sKT

KsT

sTsRsC

m+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+=

Koska siirtofunktio on kolmatta astetta, ei edellä olevan kaltaisia yksinkertaisia kriteereitä järjestelmän nopeuden ja vaimennuksen arvostelemiseksi voida soveltaa suoraan. Periaatteessa järjestelmän kolmesta juuresta kaksi määrittelee napaparin, joka määrää suurelta osin värähtelyominaisuudet ja siten nopeuden ja vaimennuksen. Napaparin symbolista lauseketta ei kuitenkaan voi johtaa, koska se riippuu parametrien numeroarvojen suuruussuhteista. “Jäykkyyttä” kuvaava luku voidaan kuitenkin määrittää. Tällöin havaitaan, että se on ääretön, mikä merkitsee sitä, että kuormittavat momentit eivät aiheuta pysyvää virhettä (ts. jatkuvuustilassa) käskysuureen ja ulostulon välille. Järjestelmän kiihtyvyysvirhekertoimeksi saadaan

KK

K

a =+

11

3

5.6.2 Säätäjätyypit Epäjatkuvat säätäjät Säädöissä, joissa ei vaadita suurta staattista tai dynaamista tarkkuutta, voidaan usein tulla toimeen reletyyppisillä säätäjillä. Reletyyppisissä säätäjissä ohjaussuure (säätäjän lähtösuure) riippuu erosuureesta 2- tai 3-asentoisen mallin mukaan. Kuvassa 4a on esitetty relesäätäjien perustyypit. Kuvasta 4b nähdään, että epäjatkuvissa säädöissä säädettävä suure vaeltaa jatkuvasti.

Kuva 4. Relesäätäjiä Kuva 5. Säädettävän suureen vaeltamista. Epäjatkuva säätö sopii toimilaitteille, jotka ovat luonnostaan on/off –tyyppisiä, kuten:

133

• Magneettiventtiilit • Lämmitysvastukset • Oikosulkumoottorit

Vastaavasti jatkuvatoimiseksi suunniteltua toimilaitetta epäjatkuva säätö saattaa rasittaa tarpeettomasti. Mikäli soveltaminen on mahdollista, epäjatkuva reletyyppinen säätö on yleensä halpa ja varmatoiminen sekä suhteellisen helppo virittää. Jatkuvatoimiset standardisäätäjät Standardisäätäjistä yleisin on PID-säätäjä, joka toteuttaa algoritmin

( )u t K e tT

e t dt Tde t

dtI

t

D( ) ( )( )

= + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∫

1

0

( )u t K e t K e t dt K de tdtP I

t

D( ) ( ) ( )= + +∫

0

PID-säätäjää käytetään käytännössä seuraavan periaatteiden mukaan P-säätäjänä (KI = KD = 0)

• kun asentovirhe voi olla nollasta eroava • kun prosessi sisältää puhtaan integroinnin (esimerkiksi hydraulisylinterillä

ohjattu mekanismi) PI-säätäjänä (KD = 0)

• kun asentovirhe on saatava nollaan, ja prosessi ei sisällä puhdasta integrointia

• kun säätöä ei ole tarpeen virittää erityisen nopeaksi (tyypillisesti prosessiteollisuuden säätöpiiri)

PID-säätäjänä

• kun PI-säätäjän nopeus ei riitä D-tekijä otetaan mukaan nopeutta lisäämään PD-säätäjänä (KI = 0)

• kun P-säätäjän nopeus ei riitä ja prosessi sisältää puhdasta integrointia (esimerkiksi monet servo-järjestelmät).

PID-säätäjä voidaan virittää ainakin alustavasti yksinkertaisilla Ziegler-Nichols nyrkkisäännöillä, jotka perustuvat joko askelvasteesta tai värähtelyraja-kokeesta määritettäviin tunnuslukuihin. J. G. Ziegler ja N. B: Nichols huomasivat (jo 1942-1943) että monien korkeampaakin astelukua olevia järjestelmiä voidaan approksimoida riittävän hyvin viiveellisellä ensimmäisen kertaluvun mallilla.

134

( )( ) 1+

=−

sKe

sUsY std

τ

Parametrit vahvistus K, aikavakio τ ja viive td voidaan määrittää prosessin yksikköaskelvasteesta seuraavasti. K on suoraan ulostulon loppuarvo. Kun kuvan 5a askelvastekäyrän käännepisteeseen piirretään tangentti, sen kulmakerroin on R = K/τ ja tangentin ja aika-akselin leikkauspisteestä saadaan viiveaika L = td

Kuva 5a: Prosessin askelvaste ja sen kuvaamiseen liittyvät tunnusluvut. Ziegler ja Nichols kehittivät kaksi menetelmää säätäjän virittämiseksi tällaiselle mallille. Ensimmäisessä tavassa säätäjän parametrit saadaan suoraan kuvan 5a tapaan askelvasteesta määritettyjen parametrien K, R ja L avulla taulukon I esittämän keittokirjaohjeen mukaan. Säädetyn järjestelmän vaimennusvakio on karkeasti

21.0=ξ , mikä vastaa käypää kompromissia nopean vasteen ja riittävän stabiilisuus-marginaalin välillä.

Taulukko I: Säätäjän ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ sT

sTK D

I

11 parametrit askelvasteen perusteella

Säätäjän tyyppi Parametrit P

RLK 1

=

PI 3.0

,9.0 LTRL

K I ==

PID LTLTRL

K DI 5.0,2,2.1===

Toisessa tavassa parametrien virittäminen perustuu prosessin käyttäytymiseen stabiilisuusrajalla. Säädetään prosessia kuvan 5b esittämällä tavalla pelkällä P-säätäjällä. Kasvatetaan hitaasti säätäjän vahvistusta Ku kunnes havaitaan että näin säädetty järjestelmä värähtelee jatkuvasti eli säädetty järjestelmä on saatu stabiilisuusrajalle. Näin saadun jatkuvan värähtelyn jaksonaika Pu määritetään, kuva 5c. Eri säätäjien parametrit voidaan nyt määrittää taulukon II keittokirjaohjeen avulla tilanneen aikaansaaneen vahvistuksen Ku ja värähtelyn jaksonajan Pu perusteella.

135

Kuva 5b. Prosessi värähtelyrajalla P-säätäjällä.

Kuva 5c. Jatkuvan värähtelyn jaksonajan määritys.

Taulukko II: Säätäjän ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ sT

sTK D

I

11 parametrit värähtelyrajan perusteella

Säätäjän tyyppi Parametrit P uKK 5.0= PI

uIu P

TKK2.11,45.0 ==

PID uDuIu PTPTKK

81,

21,6.0 ===

Ziegler-Nicholsin säännöillä saadut eri PID-säätäjien variaatiot toimivat ainakin hyvinä alkuarvoina tarkemmalle iteratiiviselle virittämiselle. Monesti ne toimivat sellaisenaankin riittävän hyvin. Toteutettaessa PID-säätäjää digitaalisena algoritmina on huomattava, että jatkuvan

algoritmin ( )u t K e tT

e t dt Tde t

dtI

t

D( ) ( )( )

= + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∫

1

0

diskretointi voidaan tehdä usealla eri

tavalla. Jos käytetään integrointia taaksepäin suorakaiteella ja integrointia puolisuun-nikassääntöä käyttäen päädytään samaan perusyhtälöön.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )u k u k P e k Pe k P e k= − + + − + −1 1 20 1 2

Mutta parametrien Pi riippuvuudet jatkuvan tapauksen parametreista ovat erilaiset. 1) Integrointi taaksepäin suorakaiteella eli

( )Tkedtte

TTie

Tdtte

T

kT

TkI

k

iI

kT

I

)()(1,)(1)(1

110

≈≈ ∫∑∫−=

antaa

136

TTKP

TTKKP

TTK

TTKKP

D

D

D

I

=

−−=

++=

2

1

0

2

2) Integrointi puolisuunnikassäännöllä

[ ]( )

[ ]TkekeT

dtteT

TieieT

dtteT I

kT

TkI

k

iI

kT

I

)1()(211)(1,)1()(

211)(1

110

−+≈−+≈ ∫∑∫−=

antaa

TTKP

TTK

TTKKP

TTK

TTKKP

D

D

I

D

I

=

−+−=

++=

2

1

0

22

2

Jatkuvaan muotoon nähden diskreetti säätäjä sisältää aina lisäparametrina näyte- tai säätövälin T. Yllä esitetyt kaavat diskreetin inkrementtimuotoisen PID-säätäjän parametreille P0, P1 ja P2:lle voi johtaa molemmissa tapauksissa kirjoittamalla jatkuvan PID-säätäjän diskreetti absoluuttinen approksimaatio säätäjän ulostulolle hetkille k ja 1−k eli ( )ku ja ( )1−ku , laskemalla ( ) ( )1−− kuku ja siirtämällä

( )1−ku oikealle puolelle. Muut standardisäätäjät PID-säädön ohella on olemassa myös muita yksinkertaisia säätöalgoritmeja, jotka joissakin tapauksessa soveltuvat paremminkin digitaaliseen säätöön. Tällaisia algoritmeja ovat:

• 3P-algoritmi • Dead-beat -algoritmi • Dahlin algoritmi

3P-algoritmin muoto on

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1211 2100 −++−−+−= kePkePkuPkuPku Erona PI-algoritmiiin on lähinnä ( )2−ku esiintyminen oikealla puolella. Tästä syystä algoritmi on usein parempi viiveellisissä prosesseissa. Viritysohjeet kertoimille P0, P1 ja P2 löytyvät kirjallisuudesta. Huomaa, että algoritmi on integroiva, koska u-kertoimien summa = 1 ja e-kertoimien summa ≠ 0. Dead-beat –algoritmilla askelvaste pyritään mahdollisimman lähelle viivästettyä askelta eli nopeimmaksi mahdolliseksi.

137

Voidaan osoittaa, että dead-beat –säätö voidaan toteuttaa siten, että minimiviive on järjestelmän kertaluvun määrä säätövälejä (oletus lineaarisesta säädöstä on luonnollisesti tehtävä). Säätöalgoritmin muoto riippuu säädettävän järjestelmän muodosta. Dahlin-algoritmilla on sama tavoite kuin dead-beat –säädöllä, mutta tavoitevaste pyöristetään eksponenttifunktion muotoiseksi. Kummassakin tapauksessa, kun käytetään esim. toisen asteen ja viiveen prosessimallia (riittää yleensä varsinkin prosessiteollisuudessa), säätöalgoritmi on muotoa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )u k A u k A u k B e k B e k= − + − + + + − +1 2 0 11 2 1K K Yleensä käytännössä A- ja B-kertoimien tarpeellinen määrä on 2-3. Integrointi-ominaisuus saadaan aikaan kun A-kertoimien summa = 1 ja B-kertoimien summa ≠ 0. 5.6.3 Suunnittelu juuriuran avulla Dynaamisten järjestelmien aikatason ominaisuuksia esiteltäessä ja analysoitaessa kehiteltiin rinnalla sääntöjä, joilla tavoitellut aikatason ominaisuudet pystyttiin konvertoimaan tavoitelluiksi tai hyväksyttäviksi alueiksi järjestelmän napojen tai ainakin dominoivan napaparin sijainnille. Askelvasteen nousuaika, ylitys ja asettumisaika olivat esillä tässä asiayhteydessä. Jos tarkastelun kohteena olevat järjestelmän navat ovat jo hyväksytyllä alueella, ei säätöä tarvita. Yleensä kuitenkin ne eivät siellä ole vaan pitää suunnitella säätäjä, jonka vaikutuksesta dynamiikka saadaan halutunlaiseksi eli takaisinkytketyn eli säädetyn järjestelmän navat tai dominoiva napapari saadaan halutulle alueelle ja/tai halutuille paikoille. Säätäjän suunnittelu pitää sisällään sopivan tyyppisen kompensaattorin valinnan ja sen sopivien parametrien etsimisen. Yleensä tehokkain suunnittelu on iteroivaa, mihin tarvitaan sopivat tietokoneavusteiset työkalut. Napojen sijaintiin perustuvassa suunnittelussa juuriura-menetelmä on tarjoaa tehokkaan välineen iteroivaan suunnitteluun. Oletetaan että säädetty järjestelmä on viety muotoon, jossa myötähaaraa kuvaa siirtofunktio G(s), joka sisältää säätäjän, toimilaitteen ja säädettävän prosessin ja vastahaaraa tai takaisinkytkentähaara kuvaa siirtofunktio H(s), joka sisältää mitta-anturin, lähettimen ja suodattimen. Kumpikin takaisinkytkentäsilmukassa oleva siirtofunktio esitetään polynomimuodossa (P1(s), P2(s), Q1(s) Q2(s) ovat polynomeja):

( ) ( )( )

( ) ( )( )

G s K P sQ s

H s K P sQ s

= =11

12

2

2

,

Avoimen järjestelmän siirtofunktio on tällöin

138

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

G s G s H s K K P sQ s

P sQ s

K P sQ sOL = = =1 2

1

1

2

2

Koko säädetyn järjestelmän siirtofunktio referenssistä lähtösuureeseen on:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

G s G sG s H s

G sG s

K P sQ s

K K P sQ s

P sQ s

K P s Q sQ s Q s K K P s P sC

OL

=+

=+

=+

=+1 1 1

11

1

1 21

1

2

2

1 1 2

1 2 1 2 1 2

Säädetyn järjestelmän karakteristinen yhtälö on siten: ( ) ( )Q s KP s+ = 0 Jokainen säädetyn järjestelmän napa sp toteuttaa karakteristisen yhtälön

( ) ( )1 0 1+ = ⇒ = −G s G sOL p OL p Tästä saadaan juuriuran perusehdot:

Itseisarvoehto: ( )G sOL p = 1

Kulmaehto: ( ) ( )∠ = ± +G s kOL p 1 2 π

Jokainen juuriuran piste toteuttaa itseisarvo- ja kulmaehdon. On mahdotonta tutkia kaikkia mahdollisia kompleksitason pisteitä. On kuitenkin mahdollista laskea juurten ura kun avoimen silmukan siirtofunktion vahvistus K kasvaa arvosta nolla positiiviseen suuntaan tietyin välein kohti jotain kiinnitettyä riittävän suurta K:n arvoa. Karakteristisesta yhtälöstä nähdään että juuriura alkaa avoimen järjestelmän navoista (K = 0) ja päättyy avoimen järjestelmän nolliin (K suuri) tai osa haaroista äärettömään. Juuriura on siis suljetun järjestelmän napojen ura avoimen järjestelmän vahvistuksen kasvavilla arvoilla. Tietokoneavusteisen juuriuran avulla on siis nopea kokeilla, minne suljetun järjestelmän navat voidaan kokeiltavalla kompensaattorirakenteella ja sen sopivan tuntuisilla parametreillä siirtää. Tiettyä hyvää sijaintia vastaa avoimen järjestelmän vahvistus K saadaan suoraan ohjelmasta ja se määrää myös säätäjän vahvistuksen, koska prosessin vahvistus on annettu. Kokemuksesta on luonnollisesti paljon hyötyä, koska sopivantyyppisen kompensaattorin osaa silloin päätellä ja arvioida sille sopivat parametrit, mikä vähentää kokeilujen määrää. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä demonstraatiomielessä. Säädettävän järjestelmän siirtofunktio on

( )G ss sp =

+1

1( )

139

Halutaan toteuttaa järjestelmän säätö, siten että säädetyn järjestelmän askelvasteella on tietty nousuaika ja ylitys. Näistä voidaan laskea dominoivalla napaparille arvot luonnolliselle taajuudelle ωn = 2 ja vaimennuskertoimelle ξ > 0,5. Kokeillaan ensin pelkkää takaisinkytkettyä P-säätöä, D(s) = K. Avoimen järjestelmän siirtofunktio on tällöin

( ) ( ) ( )G s D s G s Ks sOL p= =

+( )1

Tällä säätäjällä aikaansaatava säädetyn järjestelmän napojen ura eli karakteristisen yhtälön juurien ura on esitetty kuvassa 6. Suljetun järjestelmän asteluku on kaksi eli kutakin vahvistuksen arvoa vastaa kaksi navan sijaintia. Jos navat ovat kompleksisia muodostavat ne napaparin joka sijaitsee symmetrisesti reaaliakselin suhteen.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Imag

Axi

s

Kuva 6. Juuriura kun avoimen järjestelmän siirtofunktio on K

s s( )+1

Kuvan 6 juuriurasta nähdään, kun muistellaan nousuaikaan (ehto ωn ≥ 2) ja ylitykseen (ξ > 0,5) liittyvien hyväksyttyjen napa-alueiden muotoja, että ehto luonnolliselle taajuudelle voidaan täyttää tietyllä K:n arvolla, mutta tätä K:n arvoa vastaava vaimennuskertoimen arvo on liian pieni. Tulos ei ole riittävä. Kokeiluja täytyy jatkaa. Tietyllä säätäjällä, jota kutsutaan vaiheenjohtokompensaattoriksi tai vaiheenjohto-piiriksi, voidaan kasvattaa kaistanleveyttä ja lyhentää nousuaikaa sekä madaltaa ylitystä. Arvioidaan sille sopivat parametrit tietyillä nyrkkisäännöillä jolloin saadaan D1(s) ja kokeillaan.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

D s ss

G s D s G s K ss s sOL p1 1

220

220

11

=++

⇒ = =++ +( )

140

Saatu säädetyn järjestelmän napojen ura on esitetty kuvassa 7.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Real Axis

Imag

Axi

s

Kuva 7. Juuriura, kun vaiheenjohtopiiri kytketty. Säädetyn eli suljetun järjestelmän siirtofunktiolla on nyt kolme napaa. Juurenurasta nähdään että löytyy K:n arvoja joilla dominoiva napapari saadaan origokeskisen 2-säteisen puoliympyrän vasemmalle puolelle (ehto ωn ≥ 2) sekä tietyn sektorin sisäpuolelle (ξ > 0,5). Molemmat ehdot täyttyvät tietyllä välillä K:n arvoja. Säädetylle järjestelmälle asetetaan kuitenkin vielä lisäehto: säätöjärjestelmän pitää pystyä seuraamaan ramppimaista ohjearvoa siten että nopeusvirhekertoimella Kv määritetty erosuureen jatkuvuustilan poikkeama pysyy tiettyä rajaa pienempänä. Tämä vaatii riittävän suuren K:n arvon, joka ajaa äärimmäisenä vasemmalla olevan napaparin yli sallitun vaimennussektorin. Tarvitaan siis vielä lisäkompensointia. Tietyllä säätäjällä, jota kutsutaan vaiheenjättökompensaattoriksi tai vaiheenjättö-piiriksi, voidaan parantaa jatkuvuustilan tarkkuutta, tässä tapauksessa nopeusvirhe-kerrointa. Sen avulla voidaan lisätä napa lähelle origoa. Lisäksi tarvitaan lisänolla, jotta kokonaisuus ei häiriinny. Arvioidaan sille sopivat parametrit jälleen tietyillä nyrkkisäännöillä jolloin saadaan D2(s) ja kokeillaan.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

D s ss

G s D s D s G s K ss

ss s sOL p2 2 1

0 10 01

0 10 01

220

11

=+

+⇒ = =

++

++ +

..

.. ( )

Saatu säädetyn järjestelmän napojen ura origon läheisyydessä on esitetty kuvassa 8.

141

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Real Axis

Imag

Axi

s

Kuva 8. Juuriura, kun vaiheenjohtopiiri ja vaiheenjättöpiiri on kytketty. Juuriura on muuten melkein samanlainen kuin kuvassa 7 paitsi että vaiheenjättöpiiri tuo mukanaan neljännen navan, joka on reaalinen ja pisteen (-0.1, j0) vasemmalla puolella. K:n arvolla 31 lisänavan arvo on hyvin lähellä arvoa (-0.1, j0). Tämä neljäs napaa korjaa nopeusvirhekerrointa riittävästi. Dominoiva napapari saa tällä arvolla

31=K arvon − ±1 1.4 .4j , mikä juuri täyttää asetetut kriteerit luonnolliselle taajuudelle ja vaimennuskertoimelle. Neljäs napa on reaalinen ja niin kaukana vasemmalla ettei siitä ole haittaa. Suunnittelun lopputulos täyttää annetut kriteerit kaikilta osin. 5.6.4 Suunnittelu taajuustasossa Esillä on ollut seuraavia taajuustason ominaisuuksia, joilla voidaan määritellä säädön suunnittelulle tavoitteita

1. Kaistanleveys asetusarvon ja säädettävän suureen välillä eli takaisin-kytketyn järjestelmän kaistanleveys

2. Vaihevara ja vahvistusvara 3. Vaimennus häiriösuureiden ja säädettävän suureen välillä eri taajuuksilla 4. Kaistan "nyppylä" (M-piikin) mataluus

Kaistan "nyppylä"-kriteeriä käytetään harvemmin, koska vaihevaran avulla voidaan määritellä samat asiat. Suunnittelua taajuustasossa demonstroidaan samalla esimerkillä kuin edellä jo juuriuran yhteydessä. Myöskin taajuustason suunnittelu on iterointia, jossa hyvät tietokoneavusteiset työkalut ovat välttämättömät tehokkaassa työskentelyssä. Periaatteena on että tärkeitä kriteereitä kaistanleveys, vaihevara ja vahvistusvara voidaan muuttaa sopivilla kompensaattoreilla halutunlaisiksi. Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä demonstraatiomielessä. Säädettävän järjestelmän siirtofunktio on

142

( )G ss sp =

+1

1( )

Halutaan toteuttaa järjestelmän säätö, siten että säädetyn järjestelmän jatkuvuustilan virhe (steady state error) yksikköramppi-muotoiselle ohjeelle saadaan pienemmäksi kuin 0,1. Edelleen halutaan että askelvasteen ylitys Mp on pienempi kuin 25%. Jatkuvuustilan virhevaatimus voidaan johtaa muotoon

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )e sD s G s s s D s

sD

Ds

ps

∞ =+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

++

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

= = ⇒ =→ →

lim lim .0 2 0

11

1 11

1

10

0 1 0 10

Jotta virhekriteeri täyttyy pitää jatkuvuustilan vahvistuksen olla D(0) > 10. Valitaan säätäjän vahvistukseksi K = 10. Ylityskriteeri voidaan ilmaista vaihevaran PM avulla, vaihevara 45° on sopusoinnussa ylityskriteerin kanssa. Tarkastellaan rinnakkain tapausta, jossa säätötehtävä yritetään hoitaa P-säädöllä

( ) ( )( ) ( )

D s K G s Ks s s sOL= ⇒ =

+=

+110

1

ja tapausta, jossa käytetään sopivasti mitoitettua johtokompensaattoria, jossa α < 1, tässä α = 1/5

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

D s K TsTs

G s K TsTs s s

s

s s sOL=++

⇒ =++ +

=+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+11

11

11

10 21

101

11α α

Piirretään avointa järjestelmää kuvaavat Bode-diagrammi rinnakkain.

Kuvat 9. P-säätäjän tapauksessa (vasen) ja johtokompensaattorin tapauksessa (oikea). Pelkällä P-säätäjällä saatava vaihevara PM on noin 20°. Sitä käytettäessä ylityskriteeri ei täyty, vaan ylitys on huomattavasti suurempi. Tilanteeseen oikein mitoitetulla

143

vaihejohtopiirillä saadaan vaihevaraa sopivasti lisättyä ylityskriteeristä johdettuun vaadittuun PM = 45°, jolloin molemmat asetetut kriteerit täyttyvät. Asetetut kriteerit voi poikkeuksellisesti tässä tapauksessa täyttää myös sopivasti mitoitetulla jättökompensaattorilla, jossa α > 1, tässä α = 10.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

D s K TsTs

G s K TsTs s s

ss s sOL=

++

⇒ =++ +

=++ +

11

11

11

10 10 1100 1

11α α

Kuvassa 10 on piirretty rinnakkain avoimen järjestelmän Bode-diagrammi P-säätäjän tapauksessa ja jättökompensaattorin tapauksessa.

10-3 10-2 10-1 100 101 102-100

0

100

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-3 10-2 10-1 100 101 102

-60

-90

-120

-150

-180

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

10-3 10-2 10-1 100 101 102-100

0

100

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-3 10-2 10-1 100 101 102

-60

-90

-120

-150

-180

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

Kuvat 10. P-säätäjän tapauksessa (vasen) ja jättökompensaattorin tapauksessa (oikea). Jättökompensaattorin tapauksessa vaihevaraksi PM saadaan noin 50°, jolloin molem-mat kriteerin täyttyvät. Edellisessä poikkeuksellisessa esimerkissä johtokompensaattori ja jättökompensaat-tori täyttävät identtiset vaatimukset hyvin eri tavoin. Johtokompensaattorilla toteutetun tapauksen kaistanleveys on 5rad/s ja jättökompensaattorilla 1rad/s. Jos nousuaika tai kaistanleveys olisi ollut yhtenä kriteerinä, niin valinta ei olisi ollut mahdollinen vaan jompikumpi olisi sopinut tai sitten olisi tarvittu molemmat kompensaattorit. 5.6.5 Monimuuttujasäätäjät Monimuuttujasäätäjiä käytetään kun prosessin luonne on aidosti monimuuttujainen ts. esiintyy ohjaussuureiden ristikkäisvaikutusta ja/tai säädettävien suureiden vuoro-vaikutusta. Monimuuttujasäätäjän tehtävä voidaan toteuttaa vaihtoehtoisesti joukolla yksimuut-tujasäätäjiä, jolloin kuitenkin lopputulos saattaa olla heikompi. Ero toteutustavoissa on seuraavan kuvan 11 mukainen.

144

Kuva 11. Monimuuttujäsäädön periaate

Monimuuttujasäätöjen suunnittelumenetelmiä on useita

• tilasäätäjämenetelmä • napojen sijoittelu • modaalisäätö • taajuustasomenetelmät (INA eli Inverse Nyquist Array, karakterististen

juurten menetelmä) Monimuuttujasäätöjä käsitellään tarkemmin säätötekniikan jatkokursseilla. Koska kuitenkin tilayhtälömalleja on käsitelty opintojaksolla aika laajasti on perusteltua esittää peruskurssinkin yhteydessä tilasäädön keskeiset periaatteet. 5.6.6 Tilasäätäjä ja tilaestimaattori Alla tarkastellaan vain diskreettiä tilamuotoista yhtälöä, koska sen kautta on helpompi esitellä keskeiset ideat. Olkoon säädettävälle järjestelmälle laadittu diskreetti tilamalli

x k Fx k Gu ky k Cx k( ) ( ) ( )( ) ( )

+ = +=

⎧⎨⎩

1

Missä x(k) on tilavektori, u(k) sisäänmeno eli ohjaus ja y(k) ulostulo eli mittaus. Ylempää ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälöä kutsutaan tilayhtälöksi ja alempaa staattista yhtälöä mittausyhtälöksi. Matriisit F, G ja C ovat vakiomatriiseja. Tilasäätäjä Järjestelmän dynamiikan ominaispiirteet määrä järjestelmämatriisin F ominaisarvot, jotka ovat itse asiassa täsmälleen samat kuin tilaesitystä vastaavan siirtofunktion navat. Oletetaan että tila pystytään kokonaisuudessaan mittaamaa eli että matriisi C on yksikkömatriisi, jolloin ( ) ( )kxky = . Tilasäätäjällä halutaan muuttaa säädetyn

145

järjestelmän dynamiikka halutunlaiseksi eli halutaan muuttaa järjestelmän ominaisarvot toisenlaiseksi. Tilasäätäjä on muotoa

( ) [ ] ( )kTrkxkx

KKkTrkKxku +⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=+−=

M

)()(

...)()( 2

1

21

Nähdään että järjestelmän ohjaus ajanhetkellä k on suoraan lineaarinen kombinaatio järjestelmien tilan elementeistä hetkettä k, eli lineaarinen takaisinkytkentä tilasta. Toisen termi säätäjässä on asetusarvosta riippuva termi. Kun ohjaus sijoitetaan tilayhtälöön saadaan.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )kGTrkxGKFkGTrkGKxkFxkGukFxkx +−=+−=+=+ )(1 Säädetyn järjestelmän uusi järjestelmämatriisi ja mittausmatriisi ovat nyt

GKFF −=∗ GTG =∗

Jos järjestelmä on täysin ohjattava, voidaan säätäjän matriisilla K muuttaa säädetyn järjestelmän eli F*:n ominaisarvot minkälaisiksi halutaan. Siinä koko tilasäädön idea. Säätäjän matriisi voidaan valita myös muutenkin kuin yllä kuvatusti ominaisarvoja asettelemalla. Optimisäädössä säätäjän matriisi K saadaan dynaamisen minimointi-tehtävän ratkaisuna, jossa minimoitava kriteeri on esimerkiksi

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

+=ΙN

k

TT kuQkukxQkx0

2121

siten että diskreetti tilayhtälö on yhtälörajoituksena. Tällaisessa säätäjän suunnittelussa haetaan kompromissia säädön nopeuden, ensimmäinen termi, ja liian suurten ohjausten välillä, toinen termi, välillä valitsemalla painomatriisit Q1 ja Q2 sopivasti. Tilasäätöä voidaan käyttää vain jos järjestelmä on täysin ohjattava. Järjestelmä on ohjattava kun kaikkiin tilan elementtejä voidaan aktiivisesti muuttaa ohjausten avulla. Ohjattavuus voidaan todeta tarkastelemalla onko niin sanotun ohjattavuusmatriisin

[ ]GFFGGC n 1−= L rangi sama kuin tilan dimensio n. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä että virittävätkö viimeisten n:n ohjauksen kerroinmatriisit nykyhetkeen korjattuna tila-avaruuden kokonaan. Viimeisin ohjaus vaikuttaa G:n kautta, sitä edeltänyt FG:n kautta jne.

146

Tilaestimaattori Jos koko tila ei ole suoraan mitattavissa, mutta järjestelmä on niin sanotusti havaittava, voidaan konstruoida tilahavaitsija tai -estimaattori, jolla voidaan laskea tai estimoida järjestelmän tila käytettävissä olevista mittauksista ja ohjauksesta järjestel-män tilamallin perusteella seuraavasti. Tilaestimointisykli

Oletetaan että käytettävissä on tilan estimaatti )(ˆ kkx ja ohjaus )(ku edellisellä hetkellä k. Näiden perusteella voidaan laskea mallin avulla tilalle estimaatti seuraavalle ajanhetkelle k+1:

)()(ˆ)1(ˆ kGukkxFkkx +=+ Näin saatua ennakointi eli a priori estimaattia )1(ˆ kkx + (ennen mittausta) voidaan korjata mittauksen ja estimoidun mittauksen eron eli residuaalin perusteella, jolloin saadaan niin sanottu a posteriori estimaatti )11(ˆ ++ kkx

(mittauksen jälkeen) ajanhetkelle k+1:

( ) ( )[ ]kkxCkyLkkxkkx 1ˆ1)1(ˆ)11(ˆ +−+++=++ .

Vaiheet toistuvat seuraavalla kierroksella, ensin malliprediktio sitten mittaus-korjaus tai –päivitys, jne.

Matriisi L määrää kuinka paljon ja miten mittausinformaation perusteella korjataan ennakointiestimaattia. Matriisi L voidaan määrittää deterministisesti siten että havaitsijan virheen dynamiikka saadaan halutunlaiseksi. Ongelma on hyvin samanlainen kuin tilasäätäjän kerroinmatriisin määrittäminen ominaisarvojen asetta-misen kautta. Vahvistusmatriisi L voidaan myös laskea stokastisen tarkastelun kautta kuvaamalla mallin virheet ja mittauksen virheet kohinatermeillä, joiden kovarianssit kuvaavat informaatiolähteen luotettavuutta. Mitä pienempi kovarianssi sen tarkempi tietolähde. Näin voidaan johtaa niin kutsuttu Kalman-suodatin eli tilaestimaattori, joka osaa yhdistää optimaalisella tavalla malliennakointi-informaation ja mittaus-informaation. Kalman suodattimen kaavat ovat samantyyppisiä kuin optimaalisen tilasäätäjän laskentakaavat. Itse asiassa tapaukset ovat duaalisia. Kun järjestelmä on havaittava, saadaan mittausten kautta tietoa kaikista tilan elementeistä. Havaittavuus voidaan todeta havaittavuusmatriisin

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−1nCF

CFC

OM

147

rangin avulla. Jos rangi on sama kuin tilan dimensio n, on systeemi havaittava. Käytännössä tässäkin on kyseessä miten mittaukset rakenteellisesti kykenevät virittä-mään koko tila-avaruuden. Separoituvuusperiaate Kolmas tärkeä tulos tilasäädön ja estimoinnin alueella on se että tilasäätäjä ja tarvittaessa tilaestimaattori tai –havaitsija voidaan lineaaristen järjestelmien tapauk-sessa suunnitella toisistaan riippumatta ja käyttää sitten ongelmitta yhdessä, eli suunnittelu voidaan separoida. 5.7 Ohjausten ja säätöjen implementointi ohjelmistossa Digitaalisessa automaatiossa säätäjät toteutetaan yleensä ohjelmallisesti. Muita vaihtoehtoja on osittainen analogiaelektroniikka toteutus, jota käytetään joskus varsinkin nopeutta vaativissa servo-ohjauksissa koneautomaatiossa. Nykyisin toteutus signaaliprosessoreilla on syrjäyttänyt kovototeutuksen myös erittäin nopeissa servo-ohjauksissa. Mittausohjelma(t) toimii kellon ohjaamana ja päivittää ns. mittauspistetaulua (tietorakennetta, joka sisältää mittauspistekohtaisesti kunkin suureen käsittely-parametrit). Säätöohjelma toimii niinikään kellon ohjaamana ja päivittää ns. säätöpistetaulua eli tietorakennetta, joka sisältää ulostulokohtaisesti tiedot säätö-algoritmeista, käytettävistä mittaustiedoista sekä tarpeellisista parametreista. Päivityksen yhteydessä kunkin ulostulon arvo uusitaan säätövälein. Lähtöjen asetuksista huolehtii yleensä oma ohjelmansa, joka ottaa huomioon kunkin lähdön spesifisen tyypin. Mittausohjelman tyypillinen kulku on yleensä seuraavanlainen, kuva 12.

Kuva 12. Tyypillisen mittausohjelma kulku

148

Säätöohjelmiston perusarkkitehtuuri on esitetty kuvassa 13 ja säätöohjelman kulku kuvassa 14.

Kuva 13. Säätöohjelmiston perusarkkitehtuuri.

149

Kuva 14. Säätöohjelman kulku.

150

6. AUTOMAATIOJÄRJESTELMÄ TIETOJÄRJESTELMÄNÄ Automaatiojärjestelmillä tarkoitetaan teollisuuden automatisoinneissa käytettäviä standardityyppisiä järjestelmiä, jotka sisältävät tarvittavat perustoiminnot

• prosessiliitännät • mittausautomaation • loogiset toiminnot, ohjaukset ja säädöt • valvomotoiminnot, kuten

1. mittaus- ja säätökohtaiset näytöt 2. hälytysten ilmaisun 3. prosessikaaviot 4. ohjausten, asetusarvojen, parametrien yms. asetteluun tarvittavat

ohjaukset Järjestelmät ovat rakenteeltaan, laajuudeltaan ja toteutustavaltaan yksityiskohdissa hyvinkin erilaisia. Kuitenkin niiden perustoiminnot ovat yleensä hyvin samanlaisia. Yleiskäyttöisiksi (em. sovellutusalueella) tarkoitetut järjestelmät konfiguroidaan sovellutuksen yhteydessä, ts. kyseisessä sovellutuksessa tarpeelliset toiminnat ohjelmoidaan järjestelmään pääasiassa graafisesti, mutta osaksi myös varsin sovellutusorientoitua määrittelykieltä käyttäen. Digitaaliset automaatiojärjestelmät edustavat yleensä pitkälle vietyä rakenteellista hajautusta ja niissä käytetään hyväksi sopivaa lähiverkkoa yksiköiden välisessä tiedonsiirrossa. Seuraavassa tarkastellaan rakenteita lähemmin. 6.1 Arkkitehtuurit ja systeemirakenteet Automaatiojärjestelmän perusarkkitehtuuri voi olla hajautusasteeltaan erilainen. Puhutaan keskitetystä, osittain hajautetusta ja hajautetusta rakenteesta. Rakenteita on havainnollistettu seuraavissa kuvissa:

Keskitetty järjestelmä

151

Osittain hajautettu järjestelmä

(Melkein) hajautettu järjestelmä Rakenne, joka on hiljalleen yleistymässä kenttäväylien käyttöönoton myötä täydellisesti hajautettu järjestelmä. Se muodostuu melkein hajautetusta rakenteesta hajauttamalla osa prosessiaseman toiminnot älykkäisiin antureihin ja toimilaitteisiin seuraavan kuvan mukaisesti:

Täysin hajautettu järjestelmä

152

Automaatiojärjestelmä sisältää yleisesti seuraavat perusosat:

• prosessiasemat • valvomoasemat • liityntäasemat • erikoisasemat • verkko

Eri osien tehtävät ovat pääpiirteissään seuraavat: Prosessiasema

• mittaustiedon keruu ja peruskäsittely • hälytysten muodostus • säätötoiminnot • sekvenssitoiminnot • toimilaiteohjaukset

Tavallinen liitäntöjen lukumäärä

• analogia 8-60 • binääri 0-200

Valvomoasemat

• mittausten ja ohjausten positiokohtaiset tilanäytöt • hälytysten signalointi ja raportointi • operointiin liittyvät painikkeistot ja näytöt • prosessikaaviot • suoritusvaihekaaviot sekvenssiohjauksissa • aikatrendien näytöt • säätöpiirien viritykseen ja muihin parametriasetuksiin liittyvät näytöt • vikatarkistuksiin liittyvät näytöt ja operointi jne.

Järjestelmän operoinnissa tarvittavat toiminnot on yleisesti keskitetty valvomo-asemille. Liityntäasemat

• liitännät korkeamman tason järjestelmiin (esimerkiksi prosessitietokoneeseen) tai muihin osajärjestelmiin

Erikoisasemat

• raportointi • erikoislaskenta • konfigurointi

Verkko

• tiedon välitys järjestelmän sisällä Prosessiteollisuuden piirissä tietoliikennestandardien tilanne on vielä verrattain sekava. Erityisesti instrumentointia yhdistävälle kenttäväylälle on vielä useita

153

ehdotuksia lopulliseksi standardiksi. Kaikki ehdotukset lähtevät ISO:n OSI-mallista (kts. tietoliikennetekniikan perusteet), jossa 7-kerroksisesta mallista pyrittiin hyödyntämään osa ja määrittelemään niille reaaliaikavaatimukset täyttävät protokollat ja liityntämenettelyt. Voimassa oleva kenttäväylästandardi on hyväksytty ”nahkapäätöksellä” siten että se sisältää useita rinnakkaisia standardeja, kuten ”kansalliset” FIP (Factory Instrumentation Protocol, Ranska) ja PROFIBUS (PROcess FIeld BUS, Saksa). Tärkein hyväksytyistä kenttäväylästandardeista on kuitenkin Foundation Fieldbus, jonka soisi tulevan laajaan käyttöön. Ylempiä väylästandardeja on esimerkiksi OPC, OLE for Process Control. Valmistavassa teollisuudessa MAP (Manufacturing Automation Protocol) standardoitiin jo 80-luvun lopulla ja otettiin käyttöön. Käyttö jäi kuitenkin suppeaksi, lähinnä autoteollisuudessa eri valmistajien työstökoneita ja tuotantotason laitteistoja yhdistävänä väylänä. Koneautomaatiossa, erityisesti ajoneuvo- ja työkoneteollisuudessa CAN (Controller Area Network) on yleistynyt nopeasti ja saavuttanut vankan jalansijan. CAN-väylän suosio näyttää hyvältä ja sen käyttö on laajentunut automaation muillekin alueille. 6.2 Käyttöjärjestelmät Automaatiojärjestelmien käyttöjärjestelmät ovat yleensä tosiaikakäyttöjärjestelmiä (Real Time Operating Systems), jotka huolehtivat mm.

• keskeytysten käsittelystä • virhetilanteiden hoidosta • syöttö- ja tulostustoimintojen ohjauksesta ja valvonnasta • ohjelmien suoritusten organisoinnista • muistitilan varauksesta ja varauskirjanpidosta • ohjelmien (tehtävien) poistosta tai lisäyksestä järjestelmään

Tavallisessa tiedonkäsittelyssä käytetyt käyttöjärjestelmät kuten Unix, Linux ja Windows eivät ole reaaliaikakäyttöjärjestelmiä: Niitä kuitenkin käytetään myös automaatiojärjestelmissä, koska niihin on saatavissa reaaliaikaytimiä. Isompien yleiskäyttöisten automaatiojärjestelmien peruskäyttöjärjestelmäksi on viime aikoina vakiintunut NT. Kanadalaista QNX käyttöjärjestelmää käytettään myös jonkin verran. Mielenkiinnolla odotetaan mikä tulee olemaan Linuxin rooli automaatiojärjestelmissä Tosiaikakäyttöjärjestelmän alaisuudessa voidaan ajaa useita ohjelmia saman aikaisesti siten, että niiden suoritusta voidaan ohjata ulkoisten tai sisäisten eri tasoille priorisoitujen keskeytysten avulla. Eräs tavallinen keskeyttäjä on kello. Tehtävä (task) on joukko toimintoja, jotka suoritetaan peräkkäin ennalta määrätyssä järjestyksessä. Esimerkkejä:

• tiedon luku prosessiliitynnältä tai toisen tietokoneen liitynnältä • päivityslaskentakierros säätölenkissä

154

• mittaustiedon päivitys mittauspistetaulukkoon • tulostus tuloslaitteelle jne.

Tosiaikakäyttöjärjestelmissä tehtävät voivat olla eri tiloissa:

Esimerkkinä on automaatiotekniikan laboratoriossa käytettävä PC-koneissa pyörivä QNX, jota on käytetty mm. WorkPartner-robotin käyttöjärjestelmänä. Tehtäväkäsitteen lisäksi tunnetaan käsite prosessi. Prosessi on itsenäinen ohjelma, joka koostuu ohjelman koodista ja datasta. Prosessi on tyypillisesti taskia isompi kokonaisuus (esim. mittausohjelma, kommunikointiohjelma jne.), joka

• omaa tietyn ajoitusstrategian • voi kommunikoida muiden vastaavien prosessien tai ympäristön kanssa • omaa itsenäiset (käyttöjärjestelmän säätelemät) mahdollisuudet laiteresurssien

kuten levyn, tuloslaitteiden, RAM-muistin jne. käyttöön Mikrotietokoneille on saatavissa yleiskäyttöisiä tosiaikakäyttöjärjestelmiä, mutta usein käyttöjärjestelmä tehdään tietyn perusytimen ympärille sovellutuskohtaisesti. Esimerkiksi eräässä automaatiojärjestelmässä käytetään seuraavan rakenteen mukaista täysin synkronista käyttöjärjestelmää. Tehtävät sijoitetaan nauhoille, jotka ajetaan läpi kellon tahdittamana. Tehtävät ovat vakiopituisia, korkeintaan 20ms kestäviä.

155

Tyypillinen asynkroninen sovellutuskohtainen käyttöjärjestelmä on kuvan mukainen purkajarakenne

Purkaja on looppi, joka odottaa keskeytystä. Keskeytyksen (esim. kellokeskeytyksen tai käyttäjän napinpainalluksen) tultua se tulkitaan, suoritetaan ao. tehtäväryhmä ja palataan purkajaan. Automaatiojärjestelmän käyttöjärjestelmälle asetettavia perusvaatimuksia on ehdoton luotettavuus kaikissa tilanteissa. Tämä merkitsee käytännössä mm. sitä, että sen on pystyttävä selviytymään poikkeustilanteiden, esimerkiksi hälytysryöppyjen, aiheuttamista tehtäväkuormituksista ilman pysähtymistä tai tehtävien sivuuttamisia. Toinen tärkeä ominaisuus on riittävän vasteajan takaus tehtävien käsittelyssä. Tämä merkitsee käytännössä mm. sitä, että operaattori ei joudu toteamaan vaihtelevuutta tai epävarmuutta suorittamiensa ohjaustoimintojen perillemenossa. 6.3 Sovellutusohjelmisto Sovellutusohjelmistolla tarkoitetaan yleisesti sitä osaa ohjelmistosta, johon sovellutuksen toiminnot rakentuvat. Muu osa (käyttöjärjestelmä, kääntäjät, ajurit jne.) ohjelmistoa on varusohjelmistoa.

156

Sovellutusohjelmisto voidaan rakentaa periaatteessa kahdella eri tavalla: 1. Pääohjelma laaditaan korkean tason kielellä (esimerkiksi C tai C++). Ohjelma kutsuu aliohjelmia ja -prosseja, jotka toteuttavat erilaisia käyttöjärjestelmätoimintoja.

+ pääohjelmasta muodostuu selkeä ja suhteellisen helposti muunneltava + pärjätään standardi-kielten kääntäjillä − muuttaminen tai uudelleenkonfigurointi on työlästä

2. Tehdään sovellutusläheinen erikoisohjelmointikieli, jonka rakenteessa huomioidaan valmiiksi käyttöjärjestelmätoiminnot. Erikoistoimintoja voidaan edelleen ohjelmoida yleisillä ohjelmointikielillä.

+ ohjelmasta muodostuu käyttäjän kannalta selkeä ja rakenteeltaan yksin-kertainen

+ muuntaminen ja uudelleenkonfigurointi on helppoa − sovellutusta varten on laadittava oma kääntäjä, joka saattaa olla varsin

suuritöinen Automaatiojärjestelmissä on yleisenä trendinä noudattaa vaihtoehtoa 2. 6.3.1 Lohko-ohjelmointi Lohko-ohjelmoinnissa käytetään hyväksi valmistajan valmiiksi ohjelmoimia moduleja, jotka on suunniteltu automaatiojärjestelmän yksikkötoimintoja silmällä pitäen. Lohkoja voi olla esimerkiksi

• mittausten lukua varten • signaalinkäsittelyyn ja aritmeettisiin operaatioihin • toimilaiteohjauksia varten • viestien lähettämistä ja vastaanottoa varten • sekvenssitoimintoja varten • näyttötoimintojen rakentamiseen • jne.

157

Alla olevat esimerkit havainnollistavat lohko-ohjelmointia, joka usein tehdään graafisen käyttöliittymän kautta poimimalla ja yhdistelemällä toimilohkoja haluttujen toimintojen edellyttämällä tavalla.

x mittaussignaali Ala-aseman säätöpiirin konfigurointi a asetusarvosignaali y ulostulosignaali PID-säätölohko, joka sisältää viritysparametrit K, TI ja D.