Zadatak 1.

U elipsu  upisan je kvadrat tako da su mu stranice paralelene sa koordinatnim osima. Kolika je njegova dijagonala?

A.                 B.                 C.                  D. 2                      E. 1

Rješenje:

 

Vrhovi kvadrata su u točkama gdje pravci  y x  i  y - x  sijeku elipsu.

Uzmimo pravac  y x  i nađimo sjecišta sa elipsom. Uvrštavamo u jednadžbu elipse:

Zadatak 2. (udžbenik: Dakić-Elezović, Matematika 3; str. 140. zadtak 33.)

Paraboli upisan je jednakokračan pravokutni trokut s hipotenuzom duljine 8. Napiši jednadžbu parabole.

Nadopunimo li crtež kao na slici primjećujemo da je udaljenost točaka T i O upravo duplo manja od hipotenuze ( radi se o dijagonalama kvadrata) te iznosi 4, odn. dobijemo vrijednosti koordinata točaka A, B i T.

Iz toga slijedi da su kordinate točke A(4,4), B(4,-4) te T(4,0).Uvrstimo li točku A ili točku B u jednadžbu parabole dobijemo:

Iz toga proizlazi da je jednadžba parabole: .

Zadatak 3. (udžbenik: Dakić-Elezović, Matematika 3; str. 140. zadtak 54.)Kolika je površina trokuta što ga zatvaraju asimptote hiperbole i ravnalica parabole ?

Označiti ćemo trokut na slici .

Iz jednadžbe hiperbole

čitam

o da je odn. da su asimptote hiperbole zadane jednadžbama

.

Iz jednadžbe parabole čitamo

da je ravnalica

parabole.

Tražimo presjek asimptota i ravnalice odn. rješavamo

sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice kako bismo dobili koordinate točaka B i C. Točke B i C su simetrične – dovoljno je dobiti samo jednu od njih.

Sustav: dati će nam traženu koordinatu točke B : y=3.

To znači da su koordinate točaka: B(-9/2,3), C(-9/2,-3), O(0,0).

Površina trokuta je: .

Zadatak 4. Na paraboli odredi točke koje su od njezinog žarišta udaljene za 4.

Iz jednadžbe parabole čitamo da je 2p=8 odn. p=4.To znači da je žarište parabole točka F(2,0).Također znači i da je ravnalica parabole pravac x=-2.Udaljenost svake točke parabole od žarišta jednaka je kao udaljenost te točke od ravnalice. Iz toga zaključujemo kako je udaljenost tražene točke od ravnalice 4.

Dakle koordinate točke B su B(2,y).Vridnosti y koordinate točke B dobiti će se iz jednadžbe parabole: .

Tražene točke su: B(2,4) i D(2,-4).

Zadatak 5. Parabola prolazi točkom A(4,4). Kolika je udaljenost točke A od žarišta parabole?

( A je

točka na paraboli) Uvrstimo li koordinate točke A dobiti

ćemo:

To znači da je fokus parabole F(1,0), a ravnalica x=-1.

Udaljenost točke A od ravnalice ista je kao udaljenost A od fokusa:

.

Zadatak 6.Kolika je udaljenost ortogonalnih projekcija žarišta hiperbole na pravac ?

U našem slučaju (iz skice) traži se udaljenost točaka A i B.

Jednadžbu hiperbole napisati ćemo kao:

odn. a=3, b=1.Također

Iz toga proizlazi da su F1(-2,0), F2(2,0).

Sada tražimo pravac koji je okomit na pravac y=x i prolazi fokusima. Pravac koji je okomit na y=x ima koeficijent smjera k=-1 (suprotan i recipročan od koeficijenta pravca y=x).

Jednadžba pravca kroz F1 je dakle: y-0=-1(x+2)y=-x-2......p1

Analogno jednadžba pravca kroz F2 : y-0=-1(x-2)y=-x+2......p2

Presjekom pravaca y=x i p1 dobivamo : y=-y-22y=-2y=-1 odn. x=-1

Time smo dobili koordinate točke A(-1,-1)

Slično dobivamo i koordinate točke B. Presjekom pravaca y=x i p2 :2y=2 odn. y=1

x=1 tj. koordinate točke B(1,1).Udaljenost dvije točke A i B jest:

.

Zadatak 7.

Odredi točke na hiperboli kojima su radijvektori međusobno okomiti.

Iz jednadžbe hiperbole čitamo:

Tražimo presjek hiperbole i kružnice sa središtem u ishodištu radijusa (jer je kut nad promjerom pravi).

Nakon rješavanja sustava jednadžbi dobiti ćemo: