Elliptiset jakaumat

Esitys 6

kpl 3.3-3.5

28.9.2011Tuomas Nikoskinen

Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Päivän teemat

• Pallosymmetriset jakaumat– Johdantona elliptisille jakaumille

• Elliptiset jakaumat

• Elliptisyyden testaaminen

Pallosymmetria

Jakauma Tasa-arvokäyriä

PallosymmetriaMääritelmiä 1

• Satunnaisvektori pallosymmetrisesti jakautunut1. Olemassa karakteristinen generaattori

ja merkitään

2. Lineaarikombinaatiot myös pallosymmetrisiä

3. Tiheysfunktio muotoa

PallosymmetriaMääritelmiä 2

• Jos X pallosymmetrinen, se voidaan esittää myös

– S tasajakautunut yksikköympyrälle– R radiaalinen satunnaismuuttuja (säteen pituus)– R ja S riippumattomia toisistaan

• Oletetaan , silloin

– Pohjana myöhemmin elliptisyyden numeeriselle testaamiselle

Pallosymmetriasta elliptisyyteen

Affiinimuunnos

Y u + AY

Pallosymmetriasta elliptisyyteen

Elliptiset jakaumatFormaalisti

• elliptisesti jakautunut, jos

• Karakteristinen funktio

• merkintä tapa

Elliptiset jakaumat

• Muistetaan , jolloin

(1)– S tasajakautunut yksikköympyrälle– R radiaalinen satunnaismuuttuja

• Ratkaisemalla yhtälöstä (1)

– Elliptisyyden testaaminen pallosymmetrian avulla– Yleinen tiheysfunktion muoto elliptiselle

Elliptiset jakaumat

• Elliptiselle :• Pallosymmetrisesti jakautuneen tiheysfunktio muotoa

• Yleinen muoto elliptisen jakauman tiheysfunktiolle

Data elliptistä?

• Onko havaittu data X elliptistä?– Tarvitaan estimaattorit , ja – Testataan

Elliptiset jakaumatParametrien estimointi: M-estimaattorit

• Yksinkertainen iteratiivinen prosessi, tuloksena robustit estimaattorit ja

• Jokaiselle havainnolle Xi lasketaan suure

• Estimaattoreiden päivitys painotettuna otoskeskiarvona ja kovarianssimatriisina– Painot ja pienentävät suuren arvon

saaneiden havaintojen merkitystä

Elliptiset jakaumatParametrien estimointi: Kendall’s tau

• Keino estimoida korrelaatio kahden satunnaismuuttujan välille

– Tämä muoto elliptisesti jakautuneille – teoreettinen korrelaatio, joka voidaan laskea

standardi estimaattorilla (kirja 5.50)

• Muunnetaan kovarianssimatriisiksi esim.

Elliptiset jakaumatEstimaattoreiden robustisuus - esimerkki

• Elliptisestä 2 muuttujan t-jakaumasta estimoitu korrelaatiota, (kirja ex. 3.31)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-1.0

0.0

0.5

1.0

Index

Pe

ars

on

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-1.0

0.0

0.5

1.0

Index

Ke

nd

all-

Tra

nsf

orm

Elliptisyyden testaaminen

• Onko datakun on estimoitu ja

• 3 lähestymistapaa1. Vakio korrelaatio

2. Kvantiili-Kvantiili tarkastelu

3. Numeerinen testaus

• Estimoidaan korrelaatio annettuna ellipsi

• Jos data elliptistä, korrelaation tulisi pysyä vakiona c arvoa kasvatettaessa

• ”Elliptiset tasa-arvokäyrät samanmuotoiset, vain skaala muuttuu”

• Tulokset tulkitaan graafisesti piirtämällä korrelaatioestimaatti määrätyn ellipsin ulkopuolelle jääneiden pisteiden funktiona

Elliptisyyden testaaminenVakio korrelaatio

• Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä

• Toteutetaan vertaamalla testisuureen T(Y)

ja Y:n kvantiili-kvantiili kuvaajaa (QQplot)• Kun , voidaan T(Y) valita esim s.e.

• Tästä helppo laskea teoreettiset kvantiilit ja verrata niitä empiiriisiin datasta laskeuttuihin

Elliptisyyden testaaminenKvantiili-Kvantiili

Elliptisyyden testaaminenNumeerinen testaus

• Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä

• Merkitään ja ja selvitetään1. Onko S tasajakautunut yksikköympyrälle?

• Kolmogorov-Smirnov test

2. Ovat R ja S riippumattomia?• Spearman’s rank correlation coefficient

• Jos vastaus yllä oleviin kysymyksiin 1 ja 2 on kyllä, data on elliptisesti jakautunut

KotitehtäväOnko havaittu data elliptisesti jakautunut?

• Generoi elliptisesti jakautunut 2 ulotteinen datajoukko X– (esim. t-jakaumasta, ks. ?rmt)

• Estimoi ja (tyyli vapaa)• Ota X:stä muunnos Y (ks. kalvo 18)• Testaa X:n elliptisyys (siis Y:n pallosymmetrisyys)

numeerisesti– Kalvon 18:n testi

• Raportoi käyttämäsi koodi ja sopivat kuvaajat• HUOM! R:ssä matriisi potenssi hankala, lataa paketti

”expm”, jolle: %^% ottaa matriisi potenssin