ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és

Kollégium – Hat évfolyamos képzés

Matematika 7. osztály

III. rész: Számelmélet

Készítette: Balázs Ádám

Budapest, 2018

2. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

III. rész: Számelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

20. Osztó, többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

21. Oszthatóság tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

22. Oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

23. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

24. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

25. Prímtényezős felbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

26. Prímtényezős felbontás alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

27. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . 11

28. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

29. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

30. Műveletek maradékokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

31. Műveletek maradékokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

32. Számrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

33. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

34. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

35. Vegyes gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

36. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

37. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

38. Dolgozatírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

20. óra. Osztó, többszörös 3.

20. óra Osztó, többszörös

Megjegyzés. Mostantól csak az egész számok halmazával foglalkozunk.

Def. Legyen a, b ∈ Z. Az a szám osztója b számnak, ha létezik olyan c egész szám,hogy a · c = b. Jele: a|b

Megjegyzés. a|b⇐⇒ ∃c ∈ Z, hogy a · c = b.

1. Feladat. Igaz, vagy hamis?

a.) 1|42

b.) 2|6

c.) 3|12

d.) 2|5

e.) 3|10

f.) 4|2

g.) 23|23

h.) 2 - 6

i.) 3 - 7

Def. Egy szám többszöröseit egy c ∈ Z számmal történő szorzással kapjuk.

2. Feladat. Határozzuk meg 3 többszöröseit.

Állítás. A b többszöröse a-nak, az pont ugyanazt jelenti, mint hogy a osztója b-nek.

3. Feladat. Írjuk fel 10 hatványainak többszörösei segítségével az alábbi számokat:

400, 2424, 56413, 31252

Def. Azokat a pozitív egész számokat, melyeknek pontosan két pozitív osztója van,prímszámoknak nevezzük. P = {2; 3; 5; 7...}

Def. Azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek több, mint két pozitív osztójukvan, összetett számoknak nevezzük.

Megjegyzés. Az 1 nem prímszám és nem is összetett szám.

Def. Ikerprímnek két olyan prímszám együttesét nevezzük, amelyek 2-vel térnek elegymástól: például 5 és 7.

4. Feladat. Határozzuk meg azokat a különböző p, q, r prímszámokat, amelyekre tel-jesül, hogy p+ r + q = 30

20. Házi feladat. Határozzuk meg 3n+2 értékét attól függően, hogy n melyik szám-halmazból való!

20. Szorgalmi. Van-e olyan prím, amire p+2; p+15 vagy p+19 is prím?

4. 21. óra. Oszthatóság tulajdonságai

21. óra Oszthatóság tulajdonságai

Állítás. Az oszthatóság tulajdonságai minden a, b, c egész szám esetén:

1. a|a

2. 1|a

3. a|0

4. a|b =⇒ a|bc

5. a|b és b|c =⇒ a|c

6. a|b és a|c =⇒ a|b+ c

7. a|b+ c és a|b =⇒ a|c

8. a|b és a - c =⇒ a - b+ c

Állítás. Az oszthatóság tulajdonságai minden a, b pozitív egész szám esetén:

1. a|b és b|a =⇒ a = b

2. a|b =⇒ a ≤ b

5. Feladat. Tudjuk, hogy a|b és a|bc. Igaz-e, hogy a|c?

21. Házi feladat. 4 különböző egész szám összege osztható 4-gyel. Lehet-e, hogy

a.) egyik sem osztható 4-gyel.

b.) egyik osztható 4-gyel, a többi nem.

c.) kettő osztható 4-gyel, a többi nem.

d.) három osztható 4-gyel, a többi nem.

e.) mind a négy osztható 4-gyel.

21. Szorgalmi. Döntsük el azt, hogy az alábbi számok közül melyik melyiknek osztója.Találjunk ki egy hatékony jelölést is!

0; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 24; 32; 128; 256; 342; 4032; 5472

22. óra. Oszthatósági szabályok 5.

22. óra Oszthatósági szabályok

Állítás. Az oszthatósági szabályok 0-tól 20-ig.

• A nulla egyedül a nullának osztója.

• Az 1 minden számnak osztója.

• 2-vel azok a számok oszthatók, amelyeknek utolsó számjegye 0; 2; 4; 8 vagy 8.

• A 3-mal számok osztható számok számjegyeinek összege osztható 3-mal.

• Egy szám osztható 4-gyel, ha utolsó 2 jegyéből képzett szám is osztható 4-gyel.

• Azok a számok oszthatók 5-tel, amelyeknek utolsó számjegye 0 vagy 5.

• Azok a számok oszthatók 6-tal, amelyek 2-vel és 3-mal is oszthatóak.

• A 7-tel való oszthatóság megállapításához a szám első számjegyétől utolsó előttiszámjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó jegy dupláját és ezt ismételjük.

• Azok a számok oszthatók 8-cal, amelyeknek az utolsó 3 számjegyéből képzett há-romjegyű szám is osztható 8-cal.

• Azok a számok oszthatók 9-cel, amelyeknek jegyeinek összege is osztható 9-cel.

• Azok a számok oszthatók 10-zel, amelyek 0-ra végződnek.

• 11-gyel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsóelőtti számjegyéig képzett számból kivonom az utolsó számjegyet.

• Azok a számok oszthatók 12-vel, amelyek 4-gyel és 3-mal is oszthatóak.

• 13-mal úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsóelőtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó jegy 4-szeresét.

• Azok a számok oszthatók 14-gyel, amelyek 2-vel és 7-tel is oszthatóak.

• Azok a számok oszthatók 15-tel, amelyek 3-mal és 5-tel is oszthatóak.

• Azok a számok oszthatók 16-tal, amelyeknek utolsó négy számjegyéből képzett négy-jegyű szám is osztható 16-tal

• 17-tel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől azutolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó számjegy ötszörösét.

• Azok a számok oszthatók 18-cal amelyek 2-vel és 9-cel is oszthatóak.

6. 22. óra. Oszthatósági szabályok

• 19-cel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől azutolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó jegy kétszeresét.

• Azok a számok oszthatók 20-szal, amelyeknek az utolsó két számjegyükből képzettkét jegyű szám is osztható 20-szal.

6. Feladat. Melyek oszthatók 2-vel, 3-mal, 5-tel, 6-tal vagy 11-gyel?

a.) 352

b.) 187565

c.) 32346714

d.) 3300540

e.) 2342625

f.) 177147

7. Feladat. Melyek oszthatók 4-gyel, 8-cal, 9-cel, 12-vel illetve 25-tel?

a.) 93366

b.) 28400

c.) 50820

d.) 4782969

e.) 19800

f.) 64512

22. Házi feladat. Írjuk fel logikusan rendezve a 8-cal osztható 3jegyű számokat!

22. Szorgalmi. Írjuk fel logikusan rendezve a 16-tal osztható négyjegyű számokat!Fogalmazzuk meg minél egyszerűbben a kapott számok tulajdonságait!

23. óra. Feladatok 7.

23. óra Feladatok

8. Feladat. Mi kerülhet az ismeretlenek helyére?

a.) 9|2a3

b.) 3|5b31

c.) 6|6b42

d.) 5|4x3y

e.) 12|5x3y4

f.) 45|6x53y

g.) 30|52x3y

h.) 15|3x4y

i.) 36|3c72d

23. Házi feladat. Határozzuk meg a következő számok esetén a 3-mal, 4-gyel, 5-telés 9-cel vett osztási maradékokat!

a.) 7

b.) b

c.) 14

d.) 216

e.) 1848

f.) 2009

g.) 521966

h.) 123456

i.) 654321

23. Szorgalmi. 45|A = 3a72b és 36|B = 3c72d, lehet-e, hogy A = B?

8. 24. óra. Feladatok

24. óra Feladatok

9. Feladat. Írjunk fel általános alakban öt egymást követő

a.) természetes számot;

b.) páros számot;

c.) páratlan számot.

10. Feladat. A 100! végén hány 0 áll?

11. Feladat. Milyen számjegyet írhatunk x helyére, hogy a 137 és a 34x számok összegeosztható legyen 9-cel?

12. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő pozitív egész szám szorzataosztható 6-tal.

13. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő pozitív egész szám szorzataosztható 24-gyel.

14. Feladat. Mutasd meg, hogy 9|1033 + 8 és 6|1010 + 14

15. Feladat. Hány olyan háaromjegyű száam van, melyben a számjegyek összege 15,és a szám osztható 15-tel?

24. Házi feladat. Mennyi nulla van az 1000! végén?

24. Szorgalmi. Milyen számjegyeket kell írni a X helyérére, hogy teljesüljön az alábbi:72|32X35717X

25. óra. Prímtényezős felbontás 9.

25. óra Prímtényezős felbontás

Def (Prímfaktorizáció). Egy módszer, melynek segítségével a számokat prímszámokszorzatára bontjuk. Lépései a következő:

• Ha a szám prímszám, akkor készen vagyunk.

• Összetett számnál: megnézzük osztható-e p1-gyel. Ha igen, akkor felvesszük p1-et a listára és megnézzük hányszorosa p1-nek a szám. Ez lesz az új számunk éskezdjük előről. Ha nem osztható lépünk p2-re míg 1-et nem kapunk.

16. Feladat. Bontsuk prímtényezők szorzatára 504-et, 1430-at és 10403-at!

Def (Kanonikus alak). A számokat prímtényezők szorzatára bontjuk és a prímszámokfelső indexébe beírjuk, hogy hányszor volt osztható a szám az adott prímmel.

N = pα11 · pα2

2 · pα33 · ...

Tétel (A számelmélet alaptétele:). Minden természetes számnak egyértelműen léte-zik kanonikus alakja. Tehát minden 1-nél nagyobb természetes szám felbontható - aszorzótényezők sorrendjétől eltekintve - egyféleképpen prímszámok szorzatára.

17. Feladat. Készítsük el az alábbi számok kanonikus alakját!

a.) 90

b.) 85

c.) 1388280

d.) 875

e.) 2625

f.) 187

g.) 323

h.) 391

i.) 1840

j.) 3400

25. Házi feladat. Befejezni és egy 6 jegyű szám kanonikus alakját felírni.

25. Szorgalmi. Elgondolkodni azon, hogy negatív számok esetén a kanonikus alakhogy nézhet ki. Milyen problémákkal szembesülünk?

10. 26. óra. Prímtényezős felbontás alkalmazásai

26. óra Prímtényezős felbontás alkalmazásai

18. Feladat. Határozzuk meg a 17. feladatban szereplő számok összes osztóját.

Állítás. Legyen adott N szám, melynek kanonikus alakja: N = pα11 · pα2

2 · pα33 · ...

Ekkor az N szám összes pozitív osztóinak száma:

d(N) = (α1 + 1) · (α2 + 1) · (α3 + 1) · ...

19. Feladat. Határozzuk meg az alábbi számok pozitív osztóinak számát!

26. Házi feladat.

26. Szorgalmi.

27. óra. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 11.

27. óra Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

20. Feladat. Egyszerűsítsük az alábbi törteket!

a.)7800

24750=

b.)875

2635=

c.)1512

1080=

Def (LNKO). Az a és b pozitív szám közös osztói közül a legnagyobbat az a és blegnagyobb közös osztójának nevezzük. Jele: (a; b)

Állítás. A legnagyobb közös osztó meghatározásakor a számok kanonikus alakjából aprímtényezőket a kisebbik kitevőn véve összeszorozzuk.

Def (Relatív prím). Azokat a számokat, melyeknek legnagyobb közös osztójuk 1, re-latív prímeknek nevezzük. Jele: (a; b) = 1

21. Feladat. A busz 15 percenként, a vonat 20 percenként indul. Reggel 6-kor egybusz és egy vonat elindult egyszerre. Hány perc múlva indulnak ismét egyszerre?

Def (LKKT). Az a és b pozitív szám közös többszörösei közül a legkisebbet az a és blegkisebb közös többszörösének nevezzük. Jele: [a; b]

Állítás. A legkisebb közös többszörös meghatározásakor a számok kanonikus alakjábóla prímtényezőket a nagyobbik kitevőn véve összeszorozzuk.

Állítás. Legyenek a és b pozitív egész számok. Ekkor teljesük az alábbi összefüggés:

(a, b) · [a, b] = a · b

22. Feladat. Írjuk fel az alábbi számok LNKO-ját és LKKT-jét és ellenőrizzük!

a.) 16; 28

b.) 45; 150

c.) 105; 180

d.) 12; 24

e.) 42; 1

f.) 7; 13

g.) 30; 75; 630

h.) 187; 323; 391

i.) 6; 10; 15

27. Házi feladat. Befejezni a maradék feladatokat!

27. Szorgalmi. Keress olyan a és b számokat, amelyre [a; b] = a+ b

12. 28. óra. Feladatok

28. óra Feladatok

23. Feladat. Egy kikötőben 2018. január 3-án együtt van 4 hajó. Az első négyhetente,a második nyolchetente, a harmadik 12 hetente és a negyedik 16 hetente tér vissza akikötőbe. Találkoznak-e még 2018-ban mind a négyen?

24. Feladat. Egy kerékpár nagyobb fogaskerekén 35 fog , a kisebbiken 15 fog van.Hányszor kell a pedált körbeforgatni, hogy mindkét fogaskerék a kiindulási helyzetbekerüljön vissza?

25. Feladat. Három futó egyszerre indul a versenypályán. Az első 62 s alatt, a második63 s, a harmadik 66 s alatt tesz meg egy kört. Voltak-e az indulás helyén egyszerre, hatudjuk, hogy a győztes 44 perc 6 másodperces idővel nyert?

26. Feladat. Az országút egyik oldalát fasor szegélyezi, a fák 12 méterenként állnak.A másik oldalon villanypóznák állnak 75 méterenként. Egy bizonyos helyen az út kétoldalán egymással szemben áll egy oszlop és egy fa. Milyen távolságonként ismétlődikmeg ez a találkozás?

27. Feladat. Tudjuk, hogy (a, b) = 1. Mi lehetett a és b, ha tudjuk, hogy:

a.) [a; b] = 2 · 3 · 5 · 7 b.) [a; b] = 32 · 52 · 7 c.) [a; b] = 180

28. Házi feladat. Milyen a, b ∈ N-re teljesül, hogy (a; b) = 26 és [a; b] = 4784?

28. Szorgalmi. Határozzuk meg az a, b, c > 0 számokat, melyekre teljesül, hogy:

(a; b; c) = 4 és [a; b; c] = 240

29. óra. Feladatok 13.

29. óra Feladatok

28. Feladat. Számítsuk ki az alábbiakat!

a.) [123; 126] =

b.) (899; 1147) =

c.) (945; 1386; 1701) =

d.) [1188; 1368] =

29. Feladat. Határozzuk meg az x értékét!

a.) (x; 80) = 80

b.) (x; 60) = 15

c.) [x; 16] = 48

d.) (x; 20) = 1

30. Feladat. Egyszerűsítsük az alábbi törteket!

a.)1800

840=

b.)1817

535=

c.)6061

3857=

d.)9860

7395=

29. Házi feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket számológép használata nélkül!

a.)1

24+

1

72=

b.)1

7920+

1

6300=

c.)1

1575+

1

1400+

1

840=

29. Szorgalmi. Határozzuk meg azokat az a és b természetes számokat, és azt a pprímszámot, melyre teljesül a következő egyenlőség:

[a; b] + (a; b) = a+ b+ p

14. 30. óra. Műveletek maradékokkal

30. óra Műveletek maradékokkal

31. Feladat. Hányan járhatnak az iskolába, ha tudjuk, hogy diákok hatosával, hete-sével, nyolcasával vagy tízesével állnak sorba, mindig 3 tanuló marad ki?

32. Feladat. Legyen a = 234567, b = 5032 és c = 12345. Határozzuk meg a következőszámok 2-es, 3-as, 5-ös és 11-es maradékait, a műveletek elvégzése nélkül!

a.) a+ b

b.) a+ b+ c

c.) c− b

d.) 3 · b

e.) a · b

f.) b · c

33. Feladat. Az n ∈ N szám 7-tel osztva 5 maradékot ad. A k ∈ N szám 7-tel osztva 3maradékot ad. Mennyi maradékot adnak 7-tel osztva a következő algebrai kifejezések:

a.) n+ k

b.) n− k

c.) 2 · n+ 3 · k

d.) 5 · n− 4 · k

e.) n · k

f.) n · (k + 3)

34. Feladat. Mennyi maradékot kapunk, ha az alábbi számokat elosztjuk 3-mal, ha akifejezésben szereplő betűk természetes számok?

a.) 3 · a+ 12

b.) 6 · a+ 20

c.) 9 · a+ 3 · b+ 2

d.) 6 · a+ 3 · b− 1

e.) (3 · a+ b)2− b(b+ 12)

f.) (2·a+3·b)2+a(2·a−3)

35. Feladat. Mi az utolsó számjegye az alábbi számoknak?

a.) 2100

b.) 3100

c.) 4112

d.) 52009

e.) 6123

f.) 7844

g.) 8421

h.) 9127

i.) 1013135

30. Házi feladat. Befejezni a kimaradt feladatokat!

30. Szorgalmi. Mutassuk meg, hogy a, b ∈ Z legkisebb közös többszöröse kifejezhetőaz a és b lineáris kombinációjaként, vagyis ax+ by alakban, ahol x, y ∈ Z.

31. óra. Műveletek maradékokkal 15.

31. óra Műveletek maradékokkal

36. Feladat. Mi az utolsó számjegye az alábbi számoknak?

a.) 220 + 320

b.) 412 + 512 + 612

c.) 1111 + 2222 + 3333

d.) 123123 + 124124 + 125125

e.) 12344321 + 43211234

f.) 8323123 + 3247127

g.) 3737 − 2323

h.) 152619 + 258

37. Feladat. Igazak, vagy hamisak az alábbi állítások?

a.) 9|102018 + 8

b.) 3|102018 − 1

c.) 6|1031 + 2

d.) 25|102009 − 52

e.) 6|1052 + 8

f.) 8|1052 + 8

g.) 9|1052 + 8

h.) 24|1052 + 8

i.) 72|1052 + 8

31. Házi feladat. Vajon a következő számok prímszámok, vagy összetett számok?

a.) 20092008 + 24 b.) 52018 + 7 c.) 102019 + 11

31. Szorgalmi. Igaz-e, hogy 8|(2k + 1)2 − 1, ahol k ∈ N?

16. 32. óra. Számrendszerek

32. óra Számrendszerek

38. Feladat. Váltsuk át az alábbi számokat tízes számrendszerbe!

a.) 10111012

b.) 101012

c.) 10002

d.) 11112

e.) 12034

f.) 123214

g.) 10004

h.) 33334

i.) 13025

j.) 42105

k.) 10005

l.) 44445

m.) 56028

n.) 47608

o.) 10008

p.) 77778

q.) 45716

r.) B4116

s.) 100016

t.) FFFF16

32. Házi feladat. Írj fel egy tetszőleges ötjegyű számot egy tetszőleges számrendszer-ben, mely nem a tízes és váltsd át tízes számrendszerbe!

32. Szorgalmi. Igaz-e, hogy 666616 = 33338?

33. óra. Feladatok 17.

33. óra Feladatok

39. Feladat. Írjuk át a számokat kettes, hármas, négyes és hetes számrendszerbe!

a.) 12

b.) 64

c.) 100

d.) 321

e.) 213

f.) 5221

33. Házi feladat. Írjuk fel a számokat négyes, nyolcas, tizenhatos számrendszerben!

a.) 11112

b.) 1001102

c.) 11100111012

d.) A0216

e.) 351616

f.) 2131616

33. Szorgalmi. Melyik szám a nagyobb: 2132304 vagy 110278?

18. 34. óra. Feladatok

34. óra Feladatok

40. Feladat. Az 12415 szám milyen alapú számrendszerben írható 304x alakban?

41. Feladat. Egy számrendszerben 42 = 20. Mennyi ebben a számrendszerben 52?

42. Feladat. Adjuk össze! 233346 + 330206 + 4446 + 123416

34. Házi feladat. Milyen alapú számrendszerekben igazak az következő egyenlőségek?

a.) 12x + 12x = 30x

b.) 17x + 38x = 54x

c.) 89x + 69x = 103x

d.) 100x− 1x = 11x

e.) 12x · 7x = 80x

f.) 55x : 13x = 4x

34. Szorgalmi. Hányszorosára nő egy hetes számrendszerbeli szám, ha a végére egynullát írtunk? Hányszorosára nő kettő vagy több nulla esetén?

35. óra. Vegyes gyakorlati feladatok 19.

35. óra Vegyes gyakorlati feladatok

43. Feladat. Írjunk fel három olyan számot, melyek relatív prímek, de páronként nem.

44. Feladat. Hány olyan négyjegyű szám van, ami osztható a négy legkisebb prím-számmal és a négy legkisebb összetett számmal is?

45. Feladat. Melyik számrendszerben írható fel az 12415 szám 304x alakban?

46. Feladat. Egy háromjegyű számnak tízes számrendszerben felírva minden számje-gye megegyezik. Bizonyítsuk be, hogy osztható 37-tel!

47. Feladat. Van-e olyan g alapú számrendszer, amiben 46g és 50g egymást követőegész számok?

48. Feladat. Növekvő sorrendbe raktuk az 5-ös számrendszerbeli háromjegyű számo-kat. Melyik szám a hetedik?

49. Feladat. Józsi az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek egyszeri felhasználásval hatjegyűszámokat alkotott, de nem talált közöttük egyetlen prímszámot sem. Miért?

35. Házi feladat. Melyik számrendszerben írható fel a 418 szám 201x alakban?

35. Szorgalmi. Milyen alapú számrendszerben igaz az az alábbi művelet?

13x · 22x = 1012x

20. 36. óra. Feladatok

36. óra Feladatok

50. Feladat. Adott a, b ∈ Z, amelyekre 13|2a+ b és 13|5a−4b. Igaz-e, hogy 13|a−6b?

51. Feladat. Milyen számjegyre végződik a 19395 + 375376 összeg?

52. Feladat. Igazoljuk, hogy minden n ∈ N esetén teljesülnek az alábbi azonosságok!

a.) 9|100n − 1

b.) 11|100n − 1

c.) 5|4 · 6n + 5n − 4, ahol n ≥ 1

d.) 5|24n − 1

e.) 2|n2 − n

f.) 2|2n4 − n3 + n2

g.) 57|7x+2 + 7x+1 + 7x

h.) 27|10n + 18n− 1

53. Feladat. 11 darab egyenként 1; 2; 3; 4; ...; 11 tömegű csomagot lehet-e egyenlőtömegű részekre bontani?

36. Házi feladat. Melyik szám a nagyobb: 213234 vagy 110278?

37. óra. Feladatok 21.

37. óra Feladatok

22. 38. óra. Dolgozatírás

38. óra Dolgozatírás

Irodalomjegyzék 23.

Irodalomjegyzék

[1] Bartha Gábor - Bogdán Zoltán - Duró Lajosné dr. - Dr. Gyapjas Ferencné - HackFrigyes - Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjte-mény I.

[2] Nagy András: Számelméleti feladatgyűjtemény

[3] Fazekas oktatási portál

24. Irodalomjegyzék

Algebrai kifejezések Alapfogalmak Műveletek betűs kifejezésekkel Feladatok He-lyettesítési érték Műveletek algebrai kifejezésekkel Műveletek algebrai kifejezésekkelFeladatok Feladatok Nevezetes azonosságok Nevezetes azonosságok Feladatok Felada-tok Geometriai példák Feladatok Dolgozatírás

EgyenletekAlapfogalmak Zárójel-felbontás Feladatok Ekvivalens átalakítások, mérleg-elv Fel-

adatok Elsőfokú egyenletek Elsőfokú egyenletek Feladatok Feladatok Szöveges felada-tok Szöveges feladatok Szöveges feladatok Vegyes feladatok Vegyes feladatok Összefog-lalás Dolgozatírás

Elemi geometria Geometriai alapfogalmak Szögek Szögpárok Feladatok FeladatokTávolság Feladatok Háromszögek Alapvető összefüggések Feladatok Feladatok Dolgo-zatírás Nevezetes vonalak, körök Nevezetes vonalak, körök Feladatok Thalesz-tétel Fel-adatok Négyszögek Négyszögek Feladatok Speciális négyszögek Feladatok SokszögekFeladatok Feladatok Dolgozatírás Geometriai transzformációk Geometriai transzfor-mációk Feladatok Geometriai szerkesztések (alapfogalmak, alapszerkesztések) Három-szögek szerkesztése Vegyes szerkesztési feladatok Négyszögek szerkesztése FeladatokDolgozatírás A terület fogalma Négyzet, téglalap területe Háromszög területe Felada-tok Egyéb alakzatok területe Feladatok Dolgozatírás

Kombinatorika Alapfogalmak Sorbarendezés, kiválasztás Vegyes feladatok Össze-számlálási módszerek Feladatok Vegyes feladatok Vegyes feladatok Összetett feladatokFeladatok Dolgozatírás

Statisztika, valószínűség Adatok rendszerezése Feladatok Grafikonok, diagramokFeladatok Adatsokaságok jellemzői Feladatok Relatív gyakoriság A valószínűség Fel-adatok Dolgozatírás

Függvények Alapfogalmak Sorozatok Feladatok Valós függvények, grafikon Lineárisfüggvény Feladatok Egyenes arányosság Feladatok Feladatok Dolgozatírás

Év végi rendszerezés Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Vegyes gyakorló il-letve versenyfeladatok Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Vegyes gyakorló illetveversenyfeladatok