ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és

Kollégium – Hatévfolyamos képzés

Matematika 9. osztály

IV. rész: Algebra és számelmélet

Készítette: Balázs Ádám

Budapest, 2020. február 18.

2. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

IV. rész: Algebra és számelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

45. Algebrai kifejezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

46. Nevezetes azonosságok ismétlése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

47. További nevezetes azonosságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

48. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

49. Szorzattá alakítás módszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

50. Műveletek algebrai törtkifejezésekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

51. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

52. Az oszthatóság fogalma, tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

53. Oszthatósági szabályok, a prímszám fogalma . . . . . . . . . . . . . . 12

54. A számelmélet alaptétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

55. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös . . . . . . . . 14

56. Oszthatósági feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

57. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

58. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

59. Számrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

60. Vegyes gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Tartalomjegyzék 3.

61. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

62. Diofantoszi egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

63. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

64. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. 45. óra. Algebrai kifejezések

45. óra Algebrai kifejezések

Def (Betű). Változó, más néven ismeretlen, vagy határozatlan. Számot, vagy szá-mokat jelöl, melyeket nem ismerünk, vagy nem írunk le. Pl: x, y, z, t, a, b, c

Def (Alaphalmaz). Meg kell adni, hogy egy betű mely számhalmaz elemeit jelöli,ezt a halmazt nevezzük alaphalmaznak1.

Def (Algebrai kifejezés). A négy alapműveletet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás)betűkre és számokra véges sokszor alkalmazzuk2. Például:

5 · x3 − y + 1

zahol x, y ∈ N és z ∈ R+

Def (Egytagú kifejezés, monom). Betűk és számok szorzással összekapcsolva. Pl:

4, a, −4x, 3

2· y, x2

9, 42a2b3c4

Megjegyzés. Azt a számot, amivel a betűt (betűket) szorzunk, együtthatónak hívjuk.

Def (Többtagú algebrai kifejezés, polinom). Monomokat összeadunk. Például:

4 + a− 4x+3

2· y + x2

9+ 42a2b3c4

Def (Egyváltozós algebrai kifejezés). Csak egyféle betűt tartalmaz: x2 + 2x+ 4

Def (Többváltozós algebrai kifejezés). Több betű szerepel benne: x2 + y2 + z2

Def (Algebrai egész kifejezések). Nincs a tört nevezőjében betű: 5a,3

2x

Def (Algebrai törtkifejezések). A tört nevezőjében van betű:5a+ 3b

a− 3ahol a 6= 3

45. Házi feladat. Írjunk algebrai kifejezéseket, melyek megfelelnek a feltételeknek!

a.) Egyváltozós háromtagú algebrai egész, a változók valós számok.

b.) Háromváltozós egytagú algebrai tört, a változók racionális számok.

c.) Négyváltozós háromtagú algebrai tört, a változók egész számok.

45. Szorgalmi. Alkoss egy nem algebrai kifejezést!

1Ha ez nincs konkrétan megadva, akkor az alaphalmaz automatikusan a valós számok halmaza,ám ez bizonyos esetekben hibákhoz vezethet, pl. nullával kellene osztani.

2Al-Hvárizmi (780-845) arabul alkotó perzsa matematikus Kitáb al-dzsabr val-mukábala címűkönyvéből származik az algebra kifejezés, mely szó szerint egyesítést jelent. Az egyenletmegoldássorán a számok másik oldalra való átvitelének műveletét jelenti ez a kifejezés.

46. óra. Nevezetes azonosságok ismétlése 5.

46. óra Nevezetes azonosságok ismétlése

1. Feladat.

46. Házi feladat.

46. Szorgalmi.

6. 47. óra. További nevezetes azonosságok

47. óra További nevezetes azonosságok

2. Feladat.

47. Házi feladat.

47. Szorgalmi.

48. óra. Gyakorlás 7.

48. óra Gyakorlás

3. Feladat.

48. Házi feladat.

48. Szorgalmi.

8. 49. óra. Szorzattá alakítás módszerei

49. óra Szorzattá alakítás módszerei

4. Feladat. Alkalmazzunk nevezetes azonosságokat!

a.) 4a4 − 9

b.) (a+ 2b)2 − (c+ 3d)2

c.) a2 − 6a+ 9

d.) p3 + 6p2q + 12pq2 + 8q3

e.)9x2 − 6x+ 1

9x2 − 1

5. Feladat. Emeljünk ki közös tényezőket!

a.) 15x3y2z4 + 20x2y3z5

b.) 18x6 − 24x4

c.) ak + ak+2

d.) 10a4b3 − 15a4b2 + 20a3b4

e.)ax+ ay + bx+ by

a+ b

6. Feladat. Emeljünk ki csoportosítással!

a.) a2 + ab+ ac+ bc

b.) x3 + 3x2 + 3x+ 9

c.) 12a2 − 6ab+ 3b2 − 6ab

d.) x2 + 5x+ 6

e.) a2 − 2a− 15

f.) x2 − 6x+ 8

49. Házi feladat. Alakítsuk szorzattá!

25x4 − 10x2y2 + y4

49. Szorgalmi. Alakítsuk szorzattá!

x3 + 6x2 + 11x+ 6

50. óra. Műveletek algebrai törtkifejezésekkel 9.

50. óra Műveletek algebrai törtkifejezésekkel

7. Feladat. Egyszerűsítsük az alábbi algebrai törteket!

a.)8ax

12ay=

b.)a2 − b2

a− b=

c.)a4 − b4

a2 − b2=

d.)25a2 − 25b2

(5a− 5b)2=

e.)a3 − a2 − a+ 1

a4 − 2a2 + 1=

8. Feladat. Szorozzuk össze az alábbi algebrai törteket!

a.)a2

10· 5a=

b.)3a2

x2· a3

18x3=

c.)a− b4b3

:a2 − ab8b4

=

d.)a3 − 8

5a+ 15· 7a+ 21

a2 + 2a+ 4=

e.)ax+ ay

x2 − 2xy + y2:ax2 + 2axy + ay2

2x− 2y=

9. Feladat. Adjuk össze az alábbi algebrai törteket!

a.)2

x+ 2+

x+ 3

x2 − 4− 3x+ 1

x2 − 4x+ 4=

b.)5

x− 3− x− 2

x2 − 9+

x− 1

2x+ 6=

50. Házi feladat. Kimaradt feladatokat befejezni!

50. Szorgalmi. Egyszerűsítsük a következő törtet!

x2 + 3x+ 2

x2 + 4x+ 3

10. 51. óra. Gyakorlás

51. óra Gyakorlás

10. Feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket!

a.)

(1

a− 1+

1

a+ 1

):

(1

a− 1− 1

a+ 1

)=

b.)

(a+

1

a− 1

)·(a+

1

a+ 1

)=

c.)

(a

2b+

2b

a

)2

−(a

2b− 2b

a

)2

=

d.)

(3a

1− 3a+

2a

1 + 3a

):

6a2 + 10a

1− 6a+ 9a2=

e.)a2 − 6a+ 8

a2 + 4a+ 3:a2 − 4a+ 4

5a+ 15=

51. Házi feladat. Hozzuk egyszerűbb alakra!

1− 1

1 +1

1− 1

x

=

51. Szorgalmi. Igazold, hogy ha (a+ b) · (b+ c) = 0 és abc 6= 0, akkor

1

a+

1

b+

1

c=

1

a+ b+ c

52. óra. Az oszthatóság fogalma, tulajdonságai 11.

52. óra Az oszthatóság fogalma, tulajdonságai

Def. Legyen a, b ∈ Z. Az a szám osztója b számnak, ha létezik olyan c egész szám,hogy a · c = b. Jele: a|b

Áll. Az oszthatóság tulajdonságai minden a, b, c egész szám esetén:

1. a|a

2. 1|a

3. a|0

4. a|b =⇒ a|bc

5. a|b és b|c =⇒ a|c

6. a|b és a|c =⇒ a|b+ c

7. a|b+ c és a|b =⇒ a|c

8. a|b és a - c =⇒ a - b+ c

Áll. Az oszthatóság tulajdonságai minden a, b pozitív egész szám esetén:

1. a|b és b|a =⇒ a = b 2. a|b =⇒ a ≤ b

11. Feladat. Tudjuk, hogy

92 = 81

992 = 9801

9992 = 998001

99992 = 99980001

Igazoljuk, hogy ∀n ∈ N esetén négyzetszám az alábbi szám!

99999...9︸ ︷︷ ︸n db

800000...0︸ ︷︷ ︸n db

1

12. Feladat. Igazoljuk az alábbi állításokat!

a.) 2|n2 − n

b.) 30|n5 − n

c.) 360|n6 − 5n4 + 4n2

d.) 57|7n+2 + 7n+1 + 7n

52. Házi feladat. Tudjuk, hogy 121 négyzetszám. Vajon 10201 is négyzetszám?

52. Szorgalmi. Általánosítsuk a házi feladatot!

12. 53. óra. Oszthatósági szabályok, a prímszám fogalma

53. óra Oszthatósági szabályok, a prímszám fogalma

Megjegyzés. Ismételjük át az oszthatósági szabályokat 0-tól 20-ig! Link

Def. Azokat a pozitív egész számokat, melyeknek pontosan két pozitív osztója van,prímszámoknak nevezzük. P = {2; 3; 5; 7...}

Tétel. Végtelen sok prímszám van.

Def. Azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek több, mint két pozitív osztójukvan, összetett számoknak nevezzük.

Megjegyzés. Az 1 nem prímszám és nem is összetett szám.

Def. Ikerprímnek két olyan prímszám együttesét nevezzük, amelyek 2-vel térnek elegymástól. Pl.: 3 és 5 1

Sejtés (Ikerprím-sejtés). Végtelen sok ikerprím pár létezik.

13. Feladat. Mi kerülhet az ismeretlenek helyére?

a.) 9|2a3

b.) 3|5b31

c.) 6|6b42

d.) 5|4x3y

e.) 12|5x3y4

f.) 45|6x53y

g.) 30|52x3y

h.) 15|3x4y

i.) 36|3c72d

53. Házi feladat. A 100! végén hány 0 áll?

53. Szorgalmi. 45|A = 3a72b és 36|B = 3c72d, lehet-e, hogy A = B?

1További ikerprím párok: (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101,103), (107, 109), (137, 139). A jelenleg ismert legnagyobb ikerprímek: 16869987339975 ·2171960+1és 16869987339975 · 2171960 − 1.

54. óra. A számelmélet alaptétele 13.

54. óra A számelmélet alaptétele

Def (Általános kanonikus alak). Egy N pozitív egész számot számot felírunk egy-mást követő prímszámok hatványának szorzataként.

N = pα11 · pα2

2 · pα33 · ... pi ∈ P és αi ∈ N

Megjegyzés. Az általános kanonikus alak végtelen hosszúságú, és nulladik hatványontartalmazza azokat a prímeket is, amikkel az adott szám nem osztható, például:

126 = 21 · 32 · 50 · 71 · 110 · 130 · ...

Tétel (A számelmélet alaptétele:). Minden pozitív egész szám felírható általánoskanonikus alakban és csak egyféleképpen. Tehát a pozitív egész számok felbonthatók- a szorzótényezők sorrendjétől eltekintve - egyértelműen prímszámok szorzatára.

Bizonyítás. Elsőként a felbonthatóság létezését kell belátni, melyet teljes indukcióvaligazolunk. Hogy a felirás egyértelmű, azt indirekten kell belátni. Részletek itt.

Áll. Legyen adott n ∈ Z+ szám, melynek általános kanonikus alakja:

n = pα11 · pα2

2 · pα33 · ...

Ekkor az n szám összes pozitív osztóinak száma:

d(n) = (α1 + 1) · (α2 + 1) · (α3 + 1) · ...

14. Feladat. Határozzuk meg a következő számok osztóinak számát!

a.) 1

b.) 12

c.) 360

d.) 90

e.) 85

f.) 1388280

g.) 2625

h.) 323

i.) 391

j.) 1840

k.) 3400

l.) 100000

54. Házi feladat. Befejezni az órai feladatokat!

54. Szorgalmi. Mondjuk ki a számelmélet alaptételét egész számokra!

14. 55. óra. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

55. óra Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

15. Feladat. Egyszerűsítsük az alábbi törtet!

1750

1500=

Def (LNKO). Az a és b pozitív szám közös osztói közül a legnagyobbat az a és blegnagyobb közös osztójának nevezzük. Jele: (a; b)

Áll. A legnagyobb közös osztó meghatározásakor a számok általános kanonikus alak-jából a prímtényezőket a kisebbik kitevőn véve összeszorozzuk.

Def (Relatív prím). Azokat a számokat, melyeknek legnagyobb közös osztójuk 1,relatív prímeknek nevezzük. Jele: (a; b) = 1

16. Feladat. A busz 15 percenként, a vonat 20 percenként indul. Reggel 6-kor egybusz és egy vonat elindult egyszerre. Hány perc múlva indulnak ismét egyszerre?

Def (LKKT). Az a és b pozitív szám közös többszörösei közül a legkisebbet az a ésb legkisebb közös többszörösének nevezzük. Jele: [a; b]

Áll. A legkisebb közös többszörös meghatározásakor a számok általános kanonikusalakjából a prímtényezőket a nagyobbik kitevőn véve összeszorozzuk.

Áll. Legyenek a és b pozitív egész számok. Ekkor teljesül az alábbi összefüggés:

(a, b) · [a, b] = a · b

17. Feladat. Írjuk fel az alábbi számok LNKO-ját és LKKT-jét és ellenőrizzük!

a.) 16; 28

b.) 45; 150

c.) 105; 180

d.) 12; 24

e.) 42; 1

f.) 7; 13

g.) 30; 75; 630

h.) 187; 323; 391

i.) 6; 10; 15

55. Házi feladat. Befejezni a maradék feladatokat!

55. Szorgalmi. Keress olyan a és b számokat, amelyre [a; b] = a+ b

56. óra. Oszthatósági feladatok 15.

56. óra Oszthatósági feladatok

18. Feladat. A törtek egyszerűsítése után végezzük el a műveleteket!

a.)81

972+

32

640=

b.)112

5040− 297

13365=

c.)135

26460− 144

63504=

19. Feladat. Határozzuk meg az a értékét!

a.) (a; 80) = 80

b.) (a; 60) = 15

c.) [a; 16] = 48

d.) (a; 20) = 1

e.) [a; 18] = 90

f.) (a; 18) = 9

20. Feladat. Igazak, vagy hamisak az alábbi állítások?

a.) 9|102018 + 8

b.) 3|102018 − 1

c.) 6|1031 + 2

d.) 25|102009 − 52

e.) 6|1052 + 8

f.) 8|1052 + 8

g.) 9|1052 + 8

h.) 24|1052 + 8

i.) 72|1052 + 8

j.) 10|19562010 + 19821982

k.) 5|20012007 + 20022006

l.) 3|20012008 + 18482007 − 17042006

56. Házi feladat. A kimaradt feladatokat befejezni.

56. Szorgalmi. Hasonló feladatokat kitalálni!

16. 57. óra. Feladatok

57. óra Feladatok

Teljes indukció: A természetes számokra kimondott állítás ha igaz az első termé-szetes számra és igazolni tudjuk, hogy tetszőleges természetes számra ha igaz, akkora rákövetkezendőre is igaz, akkor az állítás minden természetes számra igaz.

Megjegyzés. Az állítást igazoljuk n = 0 esetén, majd feltesszük, hogy n = k ∈ N-raigaz (ezt nevezzük indukciós feltevésnek), majd bizonyítjuk, hogy ekkor n = k+1-reis igaz. Az is megtörténhet, hogy nem n = 0 a legkisebb szám amire az állításteljesül, hanem egy nagyobb természetes számtól kezdve lesz az állítás csak igaz.

21. Feladat. Igazoljuk teljes indukcióval az alábbi állításokat ∀n ∈ N esetén!

a.) 81|10n − 9n− 1

b.) 6|n3 − n

c.) 6|(n2 + 5) · n

d.) 5|24n+1 + 3

e.) 33|46n − 13n

22. Feladat. Igazoljuk teljes indukcióval az alábbi állításokat ∀n ∈ N+ esetén!

a.) 6|n3 + 11n

b.) 27|10n + 18n− 1

c.) 16|9n+1 − 8n− 9

d.) 9|52n + 3n− 1

e.) 8|5n + 2 · 3n−1 + 1

f.) 17|3 · 52n+1 + 23n+1

57. Házi feladat. A kimaradt feladatokat befejezni.

57. Szorgalmi. Saját példát készíteni. (tipp: módosítani egy meglévőt)

58. óra. Feladatok 17.

58. óra Feladatok

23. Feladat. Igazoljuk teljes indukcióval az alábbi állításokat ∀n ∈ N+ esetén!

a.)1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ ...+

1

n · (n+ 1)=

n

n+ 1

b.) 1 + 2 + 3 + ...+ n =n · (n+ 1)

2

c.) 12 + 22 + 32 + ...+ n2 =n · (n+ 1) · (2n+ 1)

6

d.) 13 + 23 + 33 + ...+ n3 =n2 · (n+ 1)2

4

e.) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5 + ...+ n(n+ 1) =n · (n+ 1) · (n+ 2)

3

58. Házi feladat. Igazold az alábbi állítást teljes indukcióval ∀n ∈ N+ esetén!

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + 4 · 6 + 5 · 7 + ...+ n · (n+ 2) =n · (n+ 1) · (2n+ 7)

6

58. Szorgalmi. Igazold az alábbi állítást!

1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + ...+ (2n− 1) · (2n+ 1) =n · (4n2 + 6n− 1)

3

18. 59. óra. Számrendszerek

59. óra Számrendszerek

Az n-alapú számrendszer: n ∈ N+ egész kitevőjű hatványaiból rakjuk össze aszámokat. Pl. ötös számrendszer esetén:

625 125 25 5 13 2 4 1 3

59.1. táblázat. A 324135 szám értékének értelmezése.

A tízes számrendszer tíz hatványok segítségével írjuk fel a számokat, így vannakegyesek, tízesek, százasok, stb. Ötös számrendszerben öt hatványaival írjuk fel aszámokat, így vannak egyesek, ötösök, huszonötösök, stb. Az ötös számrendszerbenfelírt 324135 szám tízes számrendszerben:

3 · 625 + 2 · 125 + 4 · 25 + 1 · 5 + 3 · 1 = 223310

24. Feladat. Váltsuk át az alábbi számokat tízes számrendszerbe!

a.) 3528

b.) ABC16

c.) 1010111012

25. Feladat. Váltsuk át az alábbi tízes számrendszerben megadott számokat kettes,nyolcas, tizenhatos számrendszerbe!

a.) 42

b.) 137

c.) 2048

59. Házi feladat. Vajon a 66668 és a 333316 számok egyenlők?

59. Szorgalmi. Melyik szám a nagyobb: 1313224 vagy 372428?

60. óra. Vegyes gyakorlati feladatok 19.

60. óra Vegyes gyakorlati feladatok

26. Feladat. Írjunk fel 3 olyan számot, melyek relatív prímek, de páronként nem.

27. Feladat. Hány olyan négyjegyű szám van, ami osztható a négy legkisebb prím-számmal és a négy legkisebb összetett számmal is?

28. Feladat. Melyik az x számrendszer, melyben 12415 így írható fel: 304x?

29. Feladat. Egy háromjegyű számnak tízes számrendszerben felírva minden szám-jegye megegyezik. Bizonyítsuk be, hogy osztható 37-tel!

30. Feladat. Van-e olyan számrendszer, amiben 46a és 50a egymást követő egészek?

31. Feladat. Józsi az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek egyszeri felhasználásval hatjegyűszámokat alkotott, de nem talált közöttük egyetlen prímszámot sem. Miért?

60. Házi feladat. Milyen alapú számrendszerben igazak az következő egyenlőségek?

a.) 12x + 12x = 30x

b.) 17x + 38x = 54x

c.) 89x + 69x = 103x

d.) 100x − 1x = 11x

e.) 12x · 7x = 80x

f.) 55x : 13x = 4x

60. Szorgalmi. Milyen alapú számrendszerben igaz az az alábbi művelet?

13x · 22x = 1012x

20. 61. óra. Gyakorlás

61. óra Gyakorlás

32. Feladat. Keressük meg a hiányzó számjegyeket!

a.) 18|3438x

b.) 36|35x1y

c.) 36|351xx

d.) 45|15x67y

e.) 56|1xy358

f.) 72|x554y

33. Feladat. Milyen számjegyek állnak az a és b helyén, ha tudjuk, hogy

35! = 10333147966386144929ab6651337523200000000

34. Feladat. Egy különböző számjegyekből álló hatjegyű szám számjegyei (vala-milyen sorrendben) 1, 2, 3, 4, 5, 6. Az első két számjegyből álló kétjegyű számosztható 2-vel, az első három számjegyből álló háromjegyű szám osztható 3-mal ésígy tovább, maga a szám osztható 6-tal. Melyik ez a szám?

35. Feladat. Igazoljuk, hogy ∀n ∈ N esetén:

35|36n − 26n

36. Feladat. Van-e olyan természetes szám, amelynek az értéke megötszöröződik,ha az első számjegyét az elejéről elvesszük, és a végére írjuk?

37. Feladat. Melyik számrendszerben írható fel a 418 szám 201x alakban?

61. Házi feladat. Keressük meg a hiányzó számjegyeket ha 987x6 osztható

a.) 3-mal

b.) 4-gyel

c.) 5-tel

d.) 6-tal

e.) 7-tel

f.) 8-cal

g.) 9-cel

h.) 11-gyel

i.) 12-vel

j.) 24-gyel

k.) 36-tal

l.) 72-vel

61. Szorgalmi. Igazoljuk, hogy ∀n ∈ N-re:

n+ 4 - 6n2 + 8n+ 15

62. óra. Diofantoszi egyenletek 21.

62. óra Diofantoszi egyenletek

Def (Diofantoszi egyenlet). Egész együtthatós, többismeretlenes algebrai egyenlet,amelynek megoldásait az egész számok körében keressük. Például:

ax+ by = c w3 + x3 = y3 + z3 xn + yn = zn

Tétel. Az ax+by = c lineáris diofantikus egyenletnek akkor és csak akkor van egészmegoldása, ha (a; b)|c. Ekkor az x0, y0 megoldáson kívül végtelen sok megoldás van:

x = x0 +b

(a; b)· t; y = y0 −

a

(a; b)· t; ahol t ∈ Z

38. Feladat. Döntsük el, hogy az alábbi diofantoszi egyenletek megoldhatók-e, ésha igen keressük meg a megoldásokat!

a.) 2x+ 3y = 13

b.) 3x+ 7y = 21

c.) 8x− 14y = 21

d.) 3x+ 6y = 12

e.) 2(3x− y) = 0

39. Feladat. Egy országban csak 5 Ft-os és 9 Ft-os érmék vannak.

a.) Kerülhet-e egy termék 101 forintba?

b.) Hányféleképp fizethető ki az a termék?

c.) Létezik-e olyan termék, melynek az ára természetes szám, és nem fizethető kie kétféle pénzérmével? (tudnak visszaadni)

62. Házi feladat. Egy jármű kiállításon személygépkocsikat és motorkerékpárokatmutattak be. Egy látogató összesen 302 darab kereket számolt meg. Hány motor-kerékpárt állítottak ki?

62. Szorgalmi. Melyek azok a természetes számok, melyek hármas maradéka 2 ésötös maradéka 4?

22. 63. óra. Gyakorlás

63. óra Gyakorlás

40. Feladat. Melyik szám a nagyobb?

a.) 3a2 − 2a+ 5 kifejezés a = 23helyen?

b.)b− 1

b+ 1+

16

b+ 7kifejezés b = −3 helyen?

c.)1− cc− 4

:0, 5 · cc− 5

kifejezés c = −5 helyen?

41. Feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket!

a.)2

1 + a− 3a+ 6

(a+ 1)(a+ 3)+

3

3 + a=

b.)

[−x+ 1

x− 2− x− 3

x+ 2+

2x2 − 6x

x2 − 4

]· (x− 2) =

42. Feladat. Határozzuk meg a 65-nek azt a legkisebb többszörösét, amely:

a.) osztható 10-zel;

b.) osztható 30-cal;

c.) egy pozitív szám harmadik hatványa;

d.) többszöröse 94-nek is;

43. Feladat. Mi lehet az x = abc5 szám értéke, ha tudjuk, hogy:

x+ 1235 = 2245 és x+ 1115 = 2125

63. Házi feladat. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amellyel a 21600-atelosztva hányadosként négyzetszámot kapunk?

63. Szorgalmi. Van-e olyan négyzetszám, ami 40-re végződik?

64. óra. Összefoglalás 23.

64. óra Összefoglalás

44. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy hét négyzetszám között mindig van kettő, melyekkülönbsége osztható 10-zel.

45. Feladat. Mi lehet az ismeretlenek értéke, ha tudjuk, hogy 88|x2012y ?

46. Feladat. Írj egy-egy számjegyet az 2020 elé és után is úgy, hogy a kapott 6-jegyűszám osztható legyen 18-cal!

47. Feladat. Írd fel a legkisebb olyan 36-tal osztható számot, mely számban minda tíz számjegy pontosan egyszer szerepel.

48. Feladat. Osztható-e tízzel a 7373 + 3737 szám?

64. Házi feladat. A szultán születésnapján néhány rabot szabadon akar bocsátani.A 100 cellás börtönben 100 börtönőr van és az első őr minden ajtót kinyit. Mivelmindenkit nem akar kiengedni, ezért a 2. őr minden 2. ajtót bezár. Utána viszont3. őr minden harmadik ajtót ismét kinyit, ha zárva volt, és bezár, ha nyitva volt.Hasonlóképpen jár el az összes többi őr is. Mely cellák maradnak nyitva?

64. Szorgalmi. Legfeljebb hány nullára végződik a 9n+1 alakú szám, ahol n ∈ N+?

24. Irodalomjegyzék

Irodalomjegyzék

[1] Nagy András: Számelméleti feladatgyűjtemény 2009

[2] http://www.bbap-vasvar.sulinet.hu/iskola/kiegeszitesek/f-sze.pdf

[3] Tuzson Zoltán: A Venn-diagram és a logikai szita és alkalmazásai. Polygon XXII/1–2. szám2014. május

[4] Bartha Gábor, Bogdán Zoltán, Duró Lajosné dr., Dr. Gyapjas Ferencné, Hack Frigyes, Dr.Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I.

[5] Fazekas oktatási portál

[6] Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Dr. Urbán János:Sokszínű matematika 2009 Szeged, Mozaik kiadó.

[7] Simó Orsolya: Diofantikus egyenletek megoldása elemi módszerekkel

[8] Tóth Enikő: Oszthatóság a középiskolában

[9] Attila Máder: Oszthatósági feladatok

[10] Számelméleti feladatok