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Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1
1
Ementa Sistemas de forças aplicadas equivalentes. Equilíbrio da partícula. Equilíbrio de corpos rígidos. Centróide e centro de gravidade. Carregamento distribuído.
Guia Curricular
1 Introdução 1.1. VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES. 1.2. VERSORES. NORMALIZAÇÃO. 1.3. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES. 1.4. SISTEMAS DE UNIDADES
2 EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA 2.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 2.2. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 2.3. SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES. 2.4. SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS.
3 RESULTANTES DE UM SISTEMA DE FORÇAS.
3.1. MOMENTO DE UMA FORÇA. FORMULAÇÕES ESCALAR E VETORIAL. 3.2. O PRINCÍPIO DOS MOMENTOS. 3.3. BINÁRIOS. 3.4. REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO SIMPLES.
4. EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS
4.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 4.2. DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE. 4.3. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO.
Bibliografia
BIBLIOGRAFIA Básica
1. BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.
Mecânica vetorial para engenheiros:
cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo:
Makron, 1994.
2. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para
Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall
Brasil, 2004.
3. KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica:
dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004. 4. FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica
Geral.Edgar Blucher, 2005.
5. GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2003
6. KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros.
Edgar Blucher, 2000.
7. SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica.
Addison Wesley, 2008.
Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 2
2
1 Introdução
1.1. VETORES – DEFINIÇÃO E
OPERAÇÕES.
1.2. VERSORES. NORMALIZAÇÃO.
1.3. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES.
1.4. SISTEMAS DE UNIDADES
Norma ou módulo de um vetor
A norma ou módulo de um vetor ( , , )v x y z
, denotado por ou v v é definida por:
2 2 2
v x y z
z
z
v ( , , )v x y z
y y
0
x
x
Normalização de um vetor:
Dado um vetor u
qualquer, o vetor de
módulo 1 que aponta na mesma direção e sentido de
u
é dado por:
u
un
ˆ
u
n̂
Ou:
2 2 2
ˆˆ ˆˆ u u u
u u u
x i y j z kn
x y z
ˆˆ ˆˆ cos cos cosn i j k
Dessa relação, obtém-se: 2 2 2cos cos cos 1
Importante:
v
é um vetor, por tanto possui módulo
direção e sentido.
v
é o módulo do vetor v
, sendo portanto
um número.
Determinação de forças
Para determinar uma força no espaço R3
devemos:
1. Localizar o ponto de aplicação A.
2. Encontrar o vetor na direção da
força.
AB B A 3. Normalizar o vetor.
ˆAB
ABn
AB
4. Encontrar a força:
ˆAB ABÂB
F F n
Vetor Unitário e Versores.
Um vetor unitário é aquele que possui norma ou
módulo 1:
1v
Dado um vetor ( , , )v x y z , para
encontrarmos o vetor unitário de mesma direção de
v , denomina-se versor de v . Representaremos o
versor de v por v̂ :
ˆv
vv
O versor é um vetor unitário, pois:
1ˆ 1
vv v
v v
Chamamos de base no espaço R3 um conjunto de
três vetores linearmente independente (LI), ou seja,
nenhum deles pode ser obtido por uma combinação
linear dos outros dois.
1 2 3, ,v v v
Um caso particular e de interesse na Geometria
são as bases em que os vetores são unitários e
perpendiculares entre si. Essas bases denominam-se
bases canônicas. Dizemos que tais vetores são
ortonormais.
No espaço R3, a base canônica é representada
por:
ˆˆ ˆ, ,i j k
Onde:
0,0,1ˆ i
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 3
3
0,1,0ˆ j
1,0,0ˆ k
Definido os versores, podemos escrever um
vetor ( , , )v x y z como sendo:
kvjvivv zyxˆˆˆ
Produto Escalar entre dois vetores:
Definição: O produto escalar dos vetores
ˆˆ ˆu u uu x i y j z k
ˆˆ ˆv v vv x i y j z k
representado por u v e é dado por:
u v u v u vu v x x y y z z
Propriedades do produto escalar:
i. u v v u
ii. u v w u v u w
iii. u v u v u v
iv. 0 0 e 0 0u u u u u u
v. 2
u u u
Observações:
1. u u é chamado de quadrado escalar do
vetor u
2. 2 2 2
2u v u u v v
3. 2 2
u v u v u v
Definição Geométrica do produto escalar:
Dados dois vetores e u v e o ângulo entre
eles definimos o produto escalar como sendo:
cosu v u v
Aplicando a Lei dos cossenos:
2 2 2
cos2
v u v u
v u
2 2 22 cosv u v u v u
Utilizando a propriedade 2:
2 2 2
2u v u u v v
2 2 2 22 2 cosu u v v v u v u
2 2 cosu v v u
cosu v v u
Ângulos diretores e cossenos diretores de
um vetor.
Dado um vetor ˆˆ ˆu u uu x i y j z k não
nulo chama-se ângulo diretor aos ângulos que o
vetor u forma com os versores ˆˆ ˆ, ,i j k .
v u
y
x
z
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4
Determinação dos ângulos α, , :
cos arccosu ux x
u u
cos arccosu uy y
u u
cos arccosu uz z
u u
Ângulo entre dois vetores. Dados dois vetores:
ˆˆ ˆu u uu x i y j z k
ˆˆ ˆv v vv x i y j z k
Podemos encontrar o ângulo entre os
vetores por meio da equação:
cosx x y y z zu v u v u v
u v
arccosx x y y z zu v u v u v
u v
Projeção de um vetor sobre outro.
Dados dois vetores:
ˆˆ ˆu u uu x i y j z k
ˆˆ ˆv v vv x i y j z k
e o ângulo entre eles, chama-se de
projeção do vetor u sobre a direção do vetor v o
vetor dado por:
2v
u vproj u v
v
z
y
x
u
z
y
x
u
x
y
z
zu
u
yu
xu
v
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Interpretação Geométrica do produto
escalar de dois vetores.
Considerando o vetor v um vetor unitário (com
norma 1, 1v ), podemos fazer:
2
ˆ 1
1v
v
u v vproj u v u v
v vv
ˆvproj u u v v
Portanto, se tomarmos agora o módulo do vetor
projeção, teremos:
ˆv vproj u u v v proj u u v
Ou seja, o comprimento do vetor projeção
de u sobre a direção do vetor v sendo o vetor v
unitário, é igual ao módulo do produto escalar de u
com o vetor v .
Aplicações do Produto escalar na
Física:
Um conceito importante utilizado na Física
envolvendo a análise vetorial é o produto escalar de
dois vetores.
Considere um corpo que se desloca a uma
distância r ao longo de uma trajetória descrita pela
curva C. Em cada instante deste deslocamento há
uma força F atuando sobre o corpo de massa m.
Definimos o trabalho da força F ao longo da curva
C pela integral de linha:
C
W F dl
Aqui dl aponta no sentido da orientação da
curva, tem direção tangente à ela e representa um
deslocamento infinitesimal do corpo de massa m.
No caso da força ser constante:
cosW F r W F r
Onde r é o vetor que possui origem em O e
termina no ponto de aplicação de F e o ângulo
entre a força F e o vetor r .
cosW F d W F d
Outro conceito importante que envolve a o
produto escalar de dois vetores é a potência
instantânea de uma força. Como a potência é dada
por:
0 0lim lim
t t
W F dP P
t t
0lim
t
v
dP F
t
P F v
SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES DE MEDIDA (SI); 1971 – 14
a conferência geral de pesos e medidas –
Sistema Internacional de unidades (SI).
Quantidade
Fundamentais Nome da
unidade
Símbolo
Comprimento metro m
Massa kilograma kg
Tempo segundo s
Prefixos para o sistema SI:
Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbolo
1024
yotta Y 10-24
yocto y
1021
zetta Z 10-21
zepto z
1018
exa 10-18
Atto a
1015
peta P 10-15
femto f
1012
tera T 10-12
Pico p
109 giga G 10
-9 Nano n
106 mega M 10
-6 micro
103 kilo k 10
-3 Milli m
102 hecto h 10
-2 centi c
101 deka da 10
-1 Deci d
Prefixos mais usados:
Fator Prefix Símbolo
106 mega M
103 kilo k
10-2
centi c
10-3
Milli m
10-6
micro
10-9
Nano n
Alguns fatores de conversão:
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Massa Comprimento Volume
1kg=1000g=6.02.1023
u
1m=100cm=39.4in
=3.28ft
1m3=1000l=35,3ft3=
264gal
1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5280ft
Tempo
1u=1,66.10-27kg 1 in=2.54cm 1d=86400s
Densidade
1nm=10-9m=10
0
A 1year=
41365
d=3,16.107s
1kg/m3=10-3g/cm3 1 light-year=9,46.1015m
Medida Angular
1rad=57,30=0,159rev
rad=1800=1/2 rev
Velocidade Pressão Energia
1m/s=3,27ft/s=2.
24mi/h
1Pa= 1N/m2 1J=107erg=0,239cal=0.73
8ft-lb
1km/h=0.278m/s 1Pa=1dyne/cm2 1kWh=3,6.106J
1km/h=0.621mi/h
1Pa=1,45.10-
4lb/in2 1cal=4,19J
Força 1atm=1,01.105Pa 1eV=1,60.10-19J
1N=105dyne 1atm=14,7lb/pol2 Potência
1lb=4,45N 1atm=76cm-Hg=760mm-Hg
1 horsepower=746W=550 ft.lb/s
Observações:
inch: polegada
feet: pé
light-year: ano-luz, distância que a luz percorre em
um ano.
horsepower: hp
cavalovapor:cv
1 735 1 1.014cv W HP CV
Notação Científica:
Resultados obtidos em calculadoras ou
computadores , possuem formatos do tipo dos
exemplos abaixo:
Exemplo 1-
Visor:
126,096E+06=126,096.106
Escrito em notação científica:
1,26096.108
Exemplo 2-
Visor:
0,0108E-08=0,0108.10-8
Escrito em notação científica:
1,08.10-10
O SI também é conhecido como sistema
métrico.
As grandezas derivadas do SI são dadas em
termos das fundamentais.
As grandezas fundamentais são:
Metro: (m)
O metro foi definido, em 1792 na França,
como 1 décimo de milionésimo da distância do pólo
norte para o equador. Atualmente é definido como a
distância entre duas linhas finas gravadas em uma
barra de platina-irídio, mantida no International
Bureau of Weights and Measures próximo à Paris.
Em 1960 foi adotado um novo padrão para
o metro, baseado no comprimento de onda da luz.
Especificamente, o metro foi redefinido como
1650763,73 comprimentos de onda de uma
particular luz vermelho-alaranjada emitida por
átomos de Kriptônio-86.
COMPRIMENTOS TÍPICOS m
Distância ao mais afastado quasar (1990) 2.1026
Distância à galáxia de Andrômeda 2.1022
Distância à mais próxima estrela (Próxima Centauri)
4.1016
Distância ao mais afastado planeta (Plutão) 6.1012
Raio da Terra 6.106
Altura do monte Everest 9.102
Espessura dessa página 1.10-4
Comprimento de onda da luz 5.10-7
Comprimento de um vírus típico 1.10-8
Raio do átomo de hidrogênio 5.10-11
Raio de um próton 10-15
Tempo: (s)
Para medir tempo-padrão, os relógios
atômicos foram desenvolvidos em diversos países.
A 13a conferência geral de pesos e medidas
adotou o segundo padrão baseado no relógio
atômico de césio. (NIST- Colorado USA)
Em princípio, dois relógios de Césio
funcionando por 6000 anos não atrasariam 1s em
relação ao outro.
Intervalo de Tempo (s)
Tempo de vida de um próton 1039
Idade do universo 5.1017
Idade da pirâmide de Quéops 1.1011
Expectativa de vida humana (EUA) 2.109
Duração de um dia 9.104
Tempo entre duas batidas do coração
humano
8.10-1
Tempo de vida de um múon 2.10-6
Menor pulso luminoso no laboratório
(1989)
6.10-15
Tempo de vida da mais instável partícula 10-23
Constante de tempo de Planck 10-43
Massa: (kg)
A unidade padrão para a massa é um
cilindro de platina-irídio guardada no International
Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris,
França, como mostramos na figura
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7
7
abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo
internacional.
Algumas massas típicas:
Massa kg
Universo conhecido 1053
Nossa galáxia 2.1041
Sol 2.1030
Lua 7.1022
Asteróide Eros 5.1015
Pequena Montanha 1.1012
Periferia do Oceano 7.107
Elefante 5.103
Grampo 3.10-3
Grão de Areia 7.10-10
Molécula de Penicilina 5.10-17
Próton 2.10-27
Elétron 9.10-31
2 EQUILÍBRIO DA
PARTÍCULA 2.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO.
2.2. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
2.3. SISTEMAS DE FORÇAS
COPLANARES.
2.4. SISTEMAS DE FORÇAS
TRIDIMENSIONAIS.
Exemplos
Exemplo 1 – Encontre a decomposição de
cada força indicada, escrevendo na forma
ˆ ˆx yF F i F j :
(a)
1ˆ300 ( )F i lb
2ˆ173.2 ( )F j lb
3ˆ ˆ200 30 200cos30 ( )F sen i j lb
4ˆ ˆ400 30 400cos30 ( )F sen i j lb
(b) Encontre as tensões nos fios AB e AC.
ˆ ˆcos50 50AB AB ABT T i T sen j
ˆ ˆcos30 30AC AC ACT T i T sen j
ˆ736P j
0 cos50 cos30 0x AB ACR T T
0 50 30 0y AB ACR T sen T sen P
cos301.3473
cos50AB AC AB ACT T T T
0.766 736
0.5
1.3473 50 30AC ACT sen T sen P
1.532 736 480.4AC ACT T N
1.3473 480.4 647.25AB ABT T N
O mesmo problema pode ser resolvido pela
Lei dos senos.
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8
8
Lei dos Senos:
sen sen sen
F F F
0 0 060 80 40
736AB AC
sen sen sen
T T
0
0
60736 647.2
80AB AB
senT T N
sen
0
0
40736 480.4
80AC AC
senT T N
sen
(c) Um marinheiro está sendo resgatado
usando uma cadeira que está suspensa a partir de
uma roldana, que pode rolar livremente sobre o cabo
de suporte ACB e é puxada a uma velocidade
constante pelo cabo CD. Sabendo-se que = 300 e
= 100 e o peso da cadeira e do marinheiro juntos,
vale 900N, determine a tensão que suporta os cabos:
(c1) ACB.
(c2) CD.
Resolvendo o problema pela Lei dos seno:
0 090 90
CD CB
sen sensen
T P T
0 0 080 40 60
900CD CB
sen sen sen
T T
0
0
80900 1378.88
40CD CD
senT T N
sen
0
0
60900 1212.57
40CB CB
senT T N
sen
A resolução pelo método da decomposição
fica a cargo do leitor.
Exemplo 2 – Encontre cada uma das forças
indicadas na estrutura:
P CDT
CBT
090
090
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9
9
1ˆ ˆ491 344F i j N
2ˆ ˆ400 300F i j N
3ˆ ˆ358 716F i j N
Exemplo 3 - Encontre a resultante das
forças que atua na estrutura abaixo:
Solução Geométrica: 6 60
6 6 cos60
40.9
sen
BDtg
AC CD
Lei dos Cossenos:
2 2 2600 800 2 600 800 cos40.9R
524R lb
Usando a Lei dos Senos:
600 52448.6
40.9sen sen
Solução algébrica:
800 600 cos40.9ix x x
i
R F R
346xR lb
600 40.9iy y y
i
R F R sen
393yR lb
ˆ ˆx yR R i R j
ˆ ˆ346 393R i j lb
2 2
x yR R R
22346 393 524R R lb
y
x
Rarctg
R
39348.6
346arctg
Exemplo 4 - Encontre as componentes da
força indicada no sistema Oxy.
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10
10
ˆ ˆ250 433F i j N
Exemplo 5 – Encontre a resultante das
forças no ponto C da estrutura.
2 1 1 2ˆ ˆcos20 cos30 30 cos20RF F F i F sen F j N
1 2
2 1
30 cos20
cos20 cos30
F sen Ftg
F F
Exemplo 6 – Seja a estrutura abaixo:
C
(a)
Encontre os pontos A, B, C.
(b) Ache os vetores:
AB B A
CB B C
(c) Normalize os vetores:
ˆAB
ABn
AB
; ˆ
BC
BCn
BC
(d) Encontre as forças que atuam na
direção AB, sabendo que seus módulos são
2500AB
F N e ˆAB AB AB
F F n
(e) Encontre os ângulos que essa força
faz com os eixos.
Solução:
(a) Pontos:
A(40, 0, -30); B(0, 80, 0); C(0, 0, 0)
(b) 40,80,30AB B A
0,80,0CB B C
(c) ˆAB
ABn
AB
2 2 2
x y z
AB AB AB AB
2 2 240 80 30AB
;
8900AB
40 80 30 ˆˆ ˆˆ8900 8900 8900AB
ABn i j k
AB
ˆCB
CBn
CB
2 2 2
x y z
CB CB CB CB
2 2 20 80 0CB
80CB
ˆˆ ˆ0 80 0 ˆˆ
80CB
CB i j kn j
CB
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11
11
(d) 2500AB
F N
ˆAB AB AB
F F n
40 80 30 ˆˆ ˆ25008900 8900 8900AB
F i j k
40 80 30 ˆˆ ˆ25008900 8900 8900AB
F i j k
ˆˆ ˆ1059.99 2119.99 794.99AB
F i j k N
40 40cos arccos
8900 8900x x
115,1 2,00x x rad
80 80cos arccos
8900 8900y y
32 0,558y y rad
30 30cos arccos
8900 8900z z
`
71,45 1,247z y rad
Exemplo 7 – Nos exemplos abaixo,
encontre os vetores indicados:
(a) ED e EC
(b) AB
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12
12
(c) P
(d) CA e FC
(e) AB e AC.
(f) CD e AB.
(g) AO e OB.
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 13
13
Exercícios
1. Determine a força resultante no ponto B
da figura.
2. Determine a força resultante no pino da
figura.
3. Sabendo que a tensão no cabo BA é
250N, determine a tensão no cabo AD.
4. Na figura, a força F2 vale 150N. Encontre
a tensão F1 para que a articulação AB fique em
repouso.
5. Decomponha os vetores força indicados,
sabendo que: ˆ ˆx yF F i F j
(a)
(b)
(c)
6. Para o pino A, encontre a resultante das
forças, utilizando:
(a) A decomposição dos vetores.
(b) A Lei dos senos.
(c) A regra do paralelogramo.
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 14
14
1i
N
x x
i
R F
;
1i
N
y y
i
R F
ˆ ˆx yR R i R j
y
x
Rarctg
R
7. São dados os vetores:
jiu ˆˆ3
jiv ˆ5ˆ2
kjir ˆˆ3ˆ2
kjis ˆ8ˆ2ˆ4
Determine:
(a) vu
3 (b) vu
3
(c) sr
(d) rvu
32
(e) rvu
32 (f) rvs
5
(g) rvs
5
8. Dados os vetores:
jiu ˆ3ˆ2
jiv ˆ6ˆ4
kjir ˆ3ˆ6ˆ
(a) Encontre os módulos desses vetores e os
ângulos que eles formam com os eixos coordenados.
(b) Determine os ângulos formado pelo
vetor rvu
com os eixos coordenados.
9. Dados os vetores:
kjiu ˆ6ˆ3ˆ4
jiv ˆˆ2
kjir ˆ8ˆ2ˆ4
(a) Encontre os módulos desses vetores e os
ângulos que eles formam com os eixos coordenados.
(b) Determine os ângulos formado pelo
vetor rvu
642 com os eixos coordenados.
10. O ângulo formado por um vetor de
módulo 5 e o eixo Ox é de 450. Escreva esse vetor.
11. O ângulo formado por um vetor de
módulo 10 e o eixo Ox é de 1350. Escreva esse vetor.
12. Os ângulos formado por um vetor de
módulo 10 e os eixos Ox, Oz são, respectivamente,
300, 120
0. Encontre:
(a) A componente y desse vetor.
(b) Seu ângulo com o eixo Oy.
13. Os ângulos formados por um vetor de
módulo 20 e os eixos Oy, Oz são, respectivamente,
600, 145
0. Encontre:
(a)A componente y desse vetor.
(b) Seu ângulo com o eixo Oy.
14. Dois vetores u
e v
possuem módulos
3 e 4, respectivamente. Encontre os vetores
vuS
e vuD
quando o ângulo entre
eles for de:
(a) = 450(b) = 0
0 (c) = 90
0.
(d) = 1450 (e) = 180
0
(e) = 2250
(f) = 3000
Faça a representação gráfica.
vuS
u
vuD
v
15. Dois vetores u
e v
possuem módulos
8 e 12, respectivamente. Encontre os vetores
vuS
e vuD
quando o ângulo entre
eles for de:
(a) = 1 rad (b) = 00
(c) = 900 (d) =
(e) = 1800 (f) = 225
0
(g) = 3000
Faça a representação gráfica.
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 15
15
Apêndice I
Regra do Paralelogramo: Demonstração:
y vu
u
vu
uy
u
v v
vy
x
ux vx
Observe que:
uy
ux
uu
uu
cos
cos
e
vy
vx
vv
vv
cos
cos
jsenuiuu uuˆˆcos
jsenvivv vvˆˆcos
jsenvsenuivuvu vuvuˆˆcoscos
22coscos vuvu senvsenuvuvu
)cos(cos2)(cos)(cos 222222
vuvuuuuu sensenvusenvsenuvu
Como:
vuvuvu sensen coscos)cos(cos
Teremos:
cos222
vuvuvu
Analogamente, podemos provar que:
cos222
vuvuvu
Relações trigonométricas
asenbbsenabasen coscos)(
senasenbbaba coscos)cos(
1cos 22 sen
sensensen 2)2(
22cos)2cos( sen
Lei dos Cosenos:
cos222 babac
cos222 cacab
cos222 bcbca
a c
b
Lei dos Senos:
sen
c
sen
b
sen
a
Prova:
Observe que:
1
2
a h c
m n
b
senaha
hsen {1}
senchc
hsen {2}
11 coscos aha
h
11 coscos aha
h
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 16
16
22 coscos chc
h
11 senama
msen
22 sencnc
nsen
122121 coscos)( sensensensen
ac
bh
ac
hnm
a
h
c
n
c
h
a
msen
)(
1
1
Portanto: senb
ach {3}; Reunindo {1},
{2} e {3}:
senb
acsencsenah
Dividindo os membros por a.c:
b
sen
a
sen
c
sen
Ou:
sen
c
sen
b
sen
a
Lei dos Cosenos:
cos222 babac
cos222 cacab
cos222 bcbca
a c
b
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 17
17
Apêndice 2:
Modo Estatístico das calculadoras. Casio fx-82MS
Comando Função
on Liga
Mode 2 Entra no modo sd
(statistical data)
Shift CLR 1 = Limpa memórias
Dado 1 M+ Inseri dado 1
Shift 2 Entra no s-var
Shift 2 1 = Dá a média
Shift 2 2 = Dá o DPP
Shift 2 3 = Dá o DPA
Shift CLR 3 = Limpa tudo
Mode 3 Entra no modo
reg 1 (regressão
linear)
x1,y1 M+ Inseri ponto
(x1,y1)
Exemplo:
1.879EXP(-
)5,2.456EXP4 M+
Insere o ponto
(1.879.10-5
,
2.46.104)
Shift 2 1 = Dá a média de x
Shift 2 2 = Dá o DPP de x
Shift 2 3 = Dá o DPA de x
Shift 2 1 = Dá a média de x
Shift 2 2 = Dá o DPP de x
Shift 2 3 = Dá o DPA de x
Shift 2 1 = Dá o coeficiente
linear A
Shift 2 2 = Dá o coeficiente
angular B
Shift 2 3 = Dá a correlação r
Série HP
Recursos estatísticos:
Σx, Σx2, Σy, Σy
2, Σxy
Desvio padrão de amostra, média
Desvio padrão de população
Regressão linear
Combinações, permutações
Média ponderada
Editar, gravar, nomear, listar
Ajuste de curva ( LIN, LOG, EXP, POW )
Plotagem de dados estatísticos
Testes de hipóteses
Intervalos de confiança
Comando Função
Single-var
Entra no modo estatístico
Edit Entra no modo de edição.
Escolha a coluna que
inserirá os dados
population Dpp
sample Dpa
chk Marque para mostrar o
valor
Fit data
Entra no modo de ajuste de
curvas
Edit Insira os dados (x,y) nas
colunas 1 e 2, por exemplo
Valeu,
carinha ?
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 18
18
Problemas
1.Determinar a força para que o corpo se
mantenha em equilíbrio.
2. A caixa da figura possui peso de 735 N.
Determinar as tensões nos cabos de sustentações.
3. Uma torre está ancorada pelo cabo AB
como mostra a figura. A tensão no cabo vale 2500
N. Encontre as componentes Fx, Fy e Fz da força de
tensão no cabo e os ângulos x, y e z que essa força
faz com os eixos coordenados.
4. Um muro está sustentado por estacas e
cabos como mostra a figura. Se as tensões nos cabos
AB e AC valem, respectivamente, 840 lb e 1200 lb,
determine o vetor força resultante (módulo, direção
e sentido) que atua na estaca A
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 19
19
Pontos x(ft) y(ft) z(ft)
A 16 0 -11
B 0 8 0
C 0 8 -27
Vetores
AB B A -16 8 11
AC C A -16 8 -16
ˆˆ ˆ16 8 11AB B A AB i j k ft
2 2 216 8 11 21AB AB ft
16 8 11 ˆˆ ˆˆ ˆ21 21 21AB AB
ABn n i j k
AB
ˆAB AB
AB
T T n
16 8 11 ˆˆ ˆ84021 21 21
ABT i j k
ˆˆ ˆ640 320 440ABT i j k
ˆˆ ˆ16 8 16AC C A AC i j k ft
2 2216 8 16 24AC AC ft
16 8 16 ˆˆ ˆˆ ˆ24 24 24AC AC
ACn n i j k
AC
ˆAC AC
AC
T T n
16 8 16 ˆˆ ˆ120024 24 24
ACT i j k
ˆˆ ˆ800 400 800ACT i j k
A AB ACR T T
ˆˆ ˆ1440 720 360AR i j k lb
1650AR lb
0arccos 150.8xA
x x
A
R
R
0arccos 64.1yA
y y
A
R
R
0arccos 102.6zA
z z
A
R
R
5. Determine a força resultante que atua no
ponto O da figura.
6. Um balde A e um bloco C estão ligados por um cabo que passa ao longo
da roldana B. Sabendo que a roldana B gira
para a esquerda lentamente e que os
coeficientes de atrito entre as superfícies são
E = 0.35 e c = 0.25, determinar a menor massa m do
balde e seu conteúdo para o qual bloco C
estará:
(a) em repouso,
(b) começando a subir a ladeira,
(c) subindo a ladeira a uma velocidade
constante.
7. Na figura, o plano inclinado possui ajuste
variável no ângulo . Os coeficientes de atrito
estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado
valem, respectivamente s = 0.40 e C = 0.35. A
massa do bloco vale m = 25 kg. Adote g = 10 m/s².
(a) Determine a aceleração do bloco para = 300.
(b) Determine a força de atrito para = 50.
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 20
20
(c) Encontre o ângulo onde ocorrerá a iminência
de movimento.
8. Na figura, os coeficientes de atrito
estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado
valem, respectivamente s = 0.30 e C = 0.25. A
massa do bloco vale é 100 kg. Adote g = 10 m/s².
Determine o valor de m0 para o qual haverá
iminência de movimento.
9. Na figura, os coeficientes de atrito
estático e dinâmico entre o bloco e o plano inclinado
valem, respectivamente s = 0.20 e C = 0.17. A
massa do bloco vale é 100 kg. Adote g = 10 m/s².
Determine o valor da força de atrito e da aceleração
do bloco.
10. Nas figuras, os coeficientes de atrito
estático e dinâmico entre o bloco e o plano estão
indicados. Adote g = 10 m/s². Determine o valor da
força de atrito e da aceleração do bloco.
(a)
(b) P = 600 N
(c)
11. Determine o módulo, a direção e o
sentido e escreva o vetor força resultante que atua no
pino na figura: (1 lb = 0.455N).
(a)
Mecânica Geral 1 – Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 21
21
(b)
12. A tensão no cabo AB é 525 lb e no cabo
AD 315 lb. Encontre a força resultante no ponto A da
estrutura.
13. Determine o momento da força de
200N aplicada no ponto C da dobradiça em relação
ao ponto A.
14. Determine o ângulo formado pelos
cabos de sustentação da rede:
(a) AC e AD (b) AC e AB. Use:
cosu v u v