DPS1037 – SISTEMAS DA QUALIDADE II

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – CT/UFSM

Morgana Pizzolato, Dra.

Aula 02 – Revisão de Estatística

Cronograma parcial – DPS1037

Data Aula Conteúdo

10/ago 1 Introdução à Engenharia da Qualidade

12/ago 2 Revisão de estatística

17/ago 3 Exercícios - Revisão de estatística

19/ago 4 Introdução ao controle estatístico da qualidade

24/ago 5 CC para variáveis (média e amplitude) e estudos de capacidade

26/ago 6 Exercícios - CC para variáveis (média e amplitude) e estudos de

capacidade

31/ago 7 CC para variáveis (média e desvio; mediana e amplitude; valores

individuais e amplitude)

2/set 8 Exercícios - CC para variáveis (média e desvio; mediana e

amplitude; valores individuais e amplitude)

7/set Feriado

9/set 9 CC para atributos

14/set 10 Exercícios - CC para atributos

16/set 11 Aplicativos computacionais para CEP

21/set 12 Prova 1

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TÓPICOS DESTA AULA

Revisão de Estatística

Coleta de dados

Análise de dados

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INTRODUÇÃO

Como tomar decisões num ambiente

industrial?

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COLETA DE DADOS

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DADOS

População

Amostra

Quantos ?

INFERÊNCIA

5

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µ

x

s

Amostra (x1, x2, ..., xn)

Estimação

População

Inferência

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ESTRATIFICAÇÃO DE DADOS

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TIPOS DE DADOS - ATRIBUTOS

características qualitativas

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8

TIPOS DE DADOS - VARIÁVEIS

Característica quantitativa

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ANÁLISE DE DADOS

1) Medidas de tendência central

2) Medidas de variabilidade

3) Histograma

4) Boxplot

5) Distribuição de probabilidade Normal

6) Gráfico de normalidade

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Moda

Mediana

Média aritmética

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MÉDIA ARITMÉTICA

Exemplo:

Anota-se a temperatura corporal de um indivíduo

de 1 em 1 hora, durante 8 horas. Qual a

temperatura média do indivíduo?

n = 8 (tamanho da amostra)

xi = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores

observados)

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n

i

ixn

x1

1

Cx 387

39393739383737

12

MEDIANA

Exemplo:

Qual a mediana da temperatura corporal do indivíduo?

n = 7 (tamanho da amostra é ímpar)

xi = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores

observados)

xi = 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39 em ºC (valores

observados ordenados)

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parn

ímparnxx

x

xnn

n

2

~)12/()2/(

)2/)1((

Cx 38~

13

MODA

Exemplo:

Qual a moda da temperatura corporal do indivíduo?

n = 7 (tamanho da amostra)

xi = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores observados)

xi = 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39 em ºC (valores observados

ordenados)

M = 37 e 39

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RELAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA

A mediana é mais robusta a dados atípicos

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Simétrica Forma de Sino

Assimétrica à Direita Assimetria Positiva

Assimétrica à Esquerda Assimetria Negativa

xx~

x~ x x x~

A Distribuição simétrica 10 12 14 16 18 14~ 14 xx

B Distribuição assimétrica à direita 10 12 14 16 23 14~ 15 xx

C Distribuição assimétrica à esquerda 05 12 14 16 18 14~ 13 xx

15

MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)

Observações individuais apresentam alguma

dispersão em torno do valor médio

Dispersão ou variabilidade das observações

Amplitude

Quartil

Variância e desvio-padrão

Coeficiente de Variação

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AMPLITUDE

R = Xmax - Xmin

Exemplo

xi = 8,5; 8,7; 8,9; 10,1; 10,5; 10,7; 11,5; 11,9

R = 11,9 - 8,5 = 3,4

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QUARTIL

É qualquer um dos três valores que divide o conjunto

ordenado de dados em quatro partes iguais

cada parte representa 1/4 da amostra ou população

1º quartil ou quartil inferior (Q1) = valor aos 25% da amostra

ordenada

2º quartil ou mediana (Q2) = valor até ao qual se encontra 50% da

amostra ordenada

3º quartil ou quartil superior (Q3) = valor a aos 75% da amostra

ordenada

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EXEMPLO DE CÁLCULO DOS QUARTIS

xi = 36, 40, 7, 41, 15, 39 (valores observados)

xi = 7, 15, 36, 39, 40, 41 (valores observados ordenados)

Q1 = 15

Q2 = (39+36)/2 = 37,5

Q3 = 40

Amplitude (intervalo) interquartílica: Q3-Q1 (40 - 15 = 25)

use a mediana para dividir os dados ordenados em duas metades, não inclua a mediana nas metades

o quartil inferior (ou superior) é a mediana da metade inferior (ou superior)

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VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

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2

2 1

2

2 1

( )

1

( )

n

i

i

n

i

i

x x

sn

x

n

2

1

2

1

( )

1

( )

n

i

i

n

i

i

x x

sn

x

n

20

EXEMPLO DE VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

xi = 10, 12, 14, 16, 18 (cm)

A média e o desvio padrão possuem a mesma unidade de medida

Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero pois a

média é o valor central

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14cmx

2 2 2 2 22 2(10 14) (12 14) (14 14) (16 14) (18 14)

9,98 cm5 1

s

29,98 3,16 cms

21

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Um desvio padrão pode ser considerado grande ou pequeno

dependendo da ordem de grandeza da média da variável

Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto de dados

Útil para comparar resultados de amostras cujas unidades

podem ser diferentes

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100s

CVx

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EXEMPLO DE COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Duas turmas de Sistemas da Qualidade II

obtiveram as seguintes notas nas avaliações:

Turma B: média = 60, desvio padrão = 5

Turma C: média = 70, desvio padrão = 10

Qual das duas turmas é relativamente mais

homogênea?

CV B = (5 / 60)*100 = 8,3%

CV C = (10 / 70)*100 = 14,3%

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HISTOGRAMA

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BOXPLOT

Gráfico que apresenta a variabilidade de um

conjunto de dados através de 6 medidas

Exemplo: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6

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0

1

2

3

4

5

6

7

Dim

en

são

Valor máximo = 6

Q3 = 5

x bar = média = 3,3

Q2 = Mediana = 3

Q1 = 2

Valor mínimo = 1

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BOXPLOT, MAIS UM EXEMPLO

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a b c

Q3 70 75 57

Max 100 110 90

Mediana 40 45 50

Média 40 40 50

Min 10 15 18

Q1 20 22 30

0

20

40

60

80

100

120

a b c

Q3

Max

Mediana

Média

Min

Q1

26

BOXPLOT NO EXCEL (2003)

A ordem deve ser Q3, Max, Mediana, Média, Min, Q1

Selecione todo o conjunto de dados

Selecione Inserir Gráfico, tipo Linha com marcadores exibidos a cada

valor de dado, clique Avançar

Selecione Séries em Linha, selecione Concluir

Selecione no gráfico uma série de dados, com o botão direito

selecione Formatar Série de Dados

Selecione a aba Padrões, na opção Linha selecione Nenhuma, repita

o procedimento para as demais séries

Selecione um dado e com botão direito selecione Formatar Série de

Dados, selecione a aba Opções, selecione Linhas max/min e Barras

superiores/inferiores

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27

BOXPLOT NO EXCEL (2007)

A ordem deve ser Q3, Max, Mediana, Média, Min, Q1

Selecione todo o conjunto de dados

Selecione Inserir Gráfico, tipo Linha com marcadores

Selecione uma seqüência, clique com botão direito, Selecionar

Dados, Alternar entre Linha/Coluna, OK

Selecione no gráfico uma série de dados, com o botão direito

selecione Formatar Série de Dados, Cor de Linha, Sem Linha, Fechar

Repita este procedimento com todas as seqüências de dados

Selecione um dado, na barra de ferramentas selecione Layout, em

Análise selecione Linhas, Linhas de Máximo e Mínimo e em Barras

Superiores e Inferiores selecione Barras Superiores e Inferiores

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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

É um modelo matemático que relaciona um certo valor da

variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência

Distribuições Discretas

quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos

valores, como por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc., por

exemplo, binomial, poisson

Distribuições Contínuas

quando a variável que está sendo medida é expressa em uma

escala contínua, como no caso de uma característica

dimensional, por exemplo, normal

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL

10/8/2010

21

21( )

2

1 1 1

xa

P x a F a e dx

a aP x a P z

a aP x a P x a P z

30

GENERALIZANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

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xxx

2x2x

3x3x

~ ( , )N x

31

QUANTIFICANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

10/8/2010

2,28%

99,73%

95,45%

68,27%

0 1

-z +z

-2z +2z

-3z +3z

2 3-3 -2 -1

0,13%

15,87%

50,00%

84,13%

97,72%

99,87%

2~ (0,1 )N

A tabela de distribuição

Normal reduzida

(média = 0 e variância =1)

dá as probabilidades

acumuladas de -∞ até a

a xz

32

EXEMPLO

A força de tensão de sacos plásticos de supermercado é

normalmente distribuída com média 40 lb/in2 com desvio

padrão de 2 lb/in2. O comprador exige que os sacos

tenham resistência de pelo menos 35 lb/in2. Qual a

probabilidade do produto atender a especificação?

10/8/2010

35 1 35

35 4035 2,5 ( 2,5) 0,0062

2

35 1 0,0062 0,9938

P x P x

P x P z P z

P x Função no Excel

DIST.NORMP( )

33

CONTINUANDO O EXEMPLO

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Distribuição para x (valores reais) Distribuição para Z (valores codificados)

2~ (40,2 )N2~ (0,1 )N

35 2,5 ( 2,5) 0,62%P x P z

34

ANALISANDO O COMPORTAMENTO DAS

DIFERENTES DISTRIBUIÇÕES NORMAIS

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A

C

B

x

f(x)

35

GRÁFICO DE NORMALIDADE

Muitos testes usados partem do princípio que os

dados amostrados são provenientes de uma

população normal

deve-se testar se um conjunto de dados tem uma

distribuição normal

Métodos quantitativos

Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors e Shapiro-Wilks

Método qualitativo:

Gráfico de normalidade (Normal Probability Plot)

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36

CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE NORMALIDADE

Ordenar os pontos amostrados de forma crescente (xj)

Calcular zj amostral

Calcular zj teórico

Graficar zj teórico (eixo das ordenadas) versus

amostral (eixo das abscissas)

10/8/2010

1/

1

1/

1 0,51

0,31752, 3, , 1

0,365

0,5

n

j

n

jj

teórico z j nn

j n

j

j

x xamostral z

Função no Excel

INV.NORMP( )

Probabilidade teórica

para a j-ésima

ordenação

n = número de elementos

j = posição na ordenação

37

10/8/2010j xj

zj

amostral

p

teórico zj teórico

1 30,1 -1,43 0,03 -1,82

2 30,6 -1,39 0,08 -1,39

3 34,0 -1,12 0,13 -1,12

4 38,6 -0,77 0,18 -0,91

5 40,1 -0,65 0,23 -0,74

6 40,2 -0,64 0,28 -0,59

7 40,6 -0,61 0,33 -0,45

8 40,7 -0,60 0,38 -0,31

9 45,4 -0,24 0,43 -0,19

10 45,9 -0,20 0,48 -0,06

11 47,1 -0,11 0,52 0,06

12 48,8 0,03 0,57 0,19

13 51,1 0,20 0,62 0,31

14 53,6 0,40 0,67 0,45

15 53,6 0,40 0,72 0,59

16 58,3 0,76 0,77 0,74

17 59,1 0,83 0,82 0,91

18 64,3 1,23 0,87 1,12

19 65,9 1,35 0,92 1,39

20 81,4 2,56 0,97 1,82

Gráfico de Normalidade

R2 = 0,9487

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

Zj teórico

Zj

am

ostr

al

Se os pontos do gráfico apresentarem

um padrão linear, então a distribuição

normal é um bom modelo para este

conjunto de dados

Dados amostrais ordenados 48,5 12,9x 38