engineering mechanics : statics - 국립강릉원주대학교...

구조물(Structures)

Engineering Mechanics

: Statics

서론

구조물 (Structures) 하중을 지지하거나 전달하기 위하여 또는 작용하는 하중을 안전하게 견디어 내기 위하여 만들어진 부재들의 조립체

정정 구조물 평형상태를 유지하는 데 필요한 수 이상의 지지조건을 갖지 않는 구조물

단순 강체, 단순한 강체로 간주할 수 있는 조립체의 평형문제 자유물체도

힘과 모멘트에 관한 평형방정식 적용

연결된 부재간의 힘의 작용과 반작용(부재의 내력)을 결정하는 방법 각각의 부재 또는 조립체에 대한 자유물체도 해석

작용과 반작용의 법칙 적용

평형방정식을 이용하여 미지의 반력 결정

강릉원주대학교 자동차공학전공 2

작용과 반작용, 인장과 압축

3 강릉원주대학교 자동차공학전공

인장 (Tension)

인장 인장

절단경계의 오른쪽 면이 오른쪽으로

당김

절단경계의 왼쪽 면이 왼쪽으로 당김

인장

인장

부재가 지지점을 부재쪽으로 당김

지지점이 부재를 지지점 쪽으로 당김

평면 트러스

트러스 전체적으로 강체 구조물을 형성하기 위하여 부재의 끝단이 연결된 프레임

평면트러스 (plane truss) 트러스의 부재들이 하나의 평면에 놓여 있는 트러스

하중의 전달 종방향 부재 횡방향 부재 두 평면 트러스의 상부 격점


격점(joint)

단순트러스

강체 부서지지 않는다 내력으로 인한 변형이 없다

3각형으로 구성된 프레임

강체 프레임

단순트러스 (simple truss) 기본적인 삼각형으로 구성된 구조물

부정정 (statically indeterminate)

붕괴를 방지하기 위해 필요한 수보다 더 많은 부재를 갖는 경우

잉여(redundant) 부재, 잉여지지 평형상태를 유지하는데 불필요한 추가 부재 또는 추가 지지점이 있을 경우


강체 프레임

비강체 프레임

강체 프레임

단순트러스

트러스의 설계 다양한 부재에 작용하는 힘을 결정

힘을 지지할 수 있는 부재의 크기와 형태를 결정

해석을 위한 가정 모든 부재는 축하중 부재(two-force members)로 가정

단지 2개의 힘의 작용에 의해서 평형을 유지하는 부재

트러스의 부재는 인장 또는 압축 상태에 있다

부재의 단면에 작용하는 인장력(T) 또는 압축력(C)은 모든 단면에서 그 크기가 같다

구조물이 지지하고 있는 외력에 비해서 부재의 자중은 충분히 작다

자중을 무시할 수 없는 경우, W/2 씩 양단에 작용하는 등가의 하중으로 치환


트러스의 연결과 지지

핀 연결 각 부재의 중심선이 한 점에서 만날 경우, 핀으로 연결된 것으로 가정

외력의 작용 모든 외력은 핀 연결부에 작용한다고 가정

지지점 중 한 곳에서는 롤러 혹은 슬립이음 사용 정정 구조

단순 트러스의 해석

전체 구조물에 대한 반력을 먼저 결정한 후, 각 부재들의 내력을 결정


필요만

않으므로발생시키지모멘트를힘들이

0 , 0

yx FF

격점법 (method of joint)

격점법

트러스의 각 부재에 작용하는 내력을 결정

“각 격점의 연결핀에 작용되는 힘이 평형상태에 있어야 한다” 2개의 독립적인 평형방정식을 포함

최소 1개의 힘이 주어지고 미지력이 2개를 초과하지 않는 격점에서 해석을 시작


00 yx FF ,

격점법

격점에 관한 자유물체도 힘의 정의

양단의 문자로 표현

힘의 작용방향 표현 (작용 반작용)

격점으로부터 멀어지는 힘 : 인장력 (T, AB 부재)

격점을 향하는 힘 : 압축력 (C, AF 부재)

미지력의 계산 평형방정식 적용 :


00 yx FF ,

격점법

2개 이하의 미지력을 갖는 격점을 찾아가며 해석을 수행한다

AFBCE

격점 D에서, 가장먼저 계산된 반력 R2는 두 인접한 격점으로부터 결정된 힘 CD, ED와 평형상태에 있어야 한다. (해석의 정확도 확인)


내.외적 잉여상태

외적 잉여상태 (부정정) 안정 평형상태를 유지하는 데 필요한 수보다 많은 지지조건을 갖는 경우

내적 잉여상태 (부정정) 트러스를 제거해도 구조물의 붕괴가 발생하지 않는 부재를 가지고 있을 경우

정정구조물의 부재수와 격점수 사이의 관계식

m: 부재의 개수, j: 격점의 수 2j: 각 격점에서의 독립적인 평형방정식 수 M+3: 미지의 반력이 최대 3개일 경우 전체 미지력


jm 23

특별조건

동일 직선상의 두 압축부재의 위치 유지와 압축으로 인한 좌굴 방지를 위한 제3부재가 있고 격점에 외력이 작용하지 않는 경우


특별조건

동일 직선상에 놓이지 않게 부재가 연결되어 있고, 격점에

외력이 작용하지 않을 경우


특별조건

한 점에서 만나는 힘

2쌍이 있을 경우

각 쌍의 힘은 크기가

같고 방향은 반대이어야 한다


예제 4.1


1) 지지점에서의 반력

예제 4.1


2) Joint A

예제 4.1


3) Joint B

예제 4.1


4) Joint C

예제 4.1


5) Joint E

예제 4.1


)(55.11

)(5.63

)(7.57

)(6.34

)(6.34

)(32.17

)(6.34

00.10

3.69

0.80

CkNDE

CkNCE

TkNCD

TkNBD

CkNBC

CkNAC

TkNAB

kNE

kNE

kNT

y

x

Ref. 4.2

각 부재에 가해지는 하중을 결정하시오.


연습문제 4.4

Determine the force in each member of the truss.

Note the presence of any zero-force members.


연습문제 4.4

자유물체도

지지점 반력


Ax

Ay

Dx

5kN

1m

2m

3m

D C

B A

x

y

0 )1 AM

0 )3 yF

0 )2 xF

kNDD xx 00.15 0)3(5)1(

kNAAD xxx 00.15 0

kNAA yy 00.5 05-

연습문제 4.4

Joint B


C

A

x

y )( 5

045sin

TkNAB

BCAB

0 )1 yF

0 )2 xF

(C) kN 07.7

045cos5

BC

BC

5kN

45

B

θ

1m

1m

연습문제 4.4

Joint C


BC

=7.07 kN

D

C

A

0 )1 yF

0 )2 xF

(T) kN 17.11AC

kN 17.116.26sin

45sin07.7

045sin6.26sin

AC

BCAC

B

45 , 6.262

1tan 2

1

1 (C) kN 99.14

45cos07.76.26cos17.11

045cos6.26cos

CD

CD

CDBCAC

x

y

θ 1 θ 2

1m

1m 1m

2m

연습문제 4.4

Joint D


Dx

=15 kN D C

A

x

y

만족

01.099.1415

0

CDDx

0 )1 yF

0 )2 xF

kNAD 0

CD

=14.99 kN

연습문제 4.4


kNAD

TkNAC

CkNCD

CkNBC

TkNAB

kNA

kNA

kND

y

x

x

0

)(17.11

)(99.14

)(07.7

)(00.5

00.5

00.15

00.15

Ax

Ay

Dx

Ref.

각 부재에 가해지는 하중을 결정하시오. 트러스의 삼각형은 이등변 삼각형이다.


단면법 (method of section)

격점법 각 격점에서 그 격점에 작용하는 힘만을 나타내고 있으므로 2개의 평형방정식만을 사용

단면법 힘이 한 점에만 작용하지 않는, 평형상태에 있는 자유물체에 대해 트러스의 전단면을 선택하여 모멘트 평형방정식을 포함하는 3개의 평형방정식을 사용한다.

구하고자 하는 부재를 통과하여 절단함으로써 원하는 부재의 내력을 직접 구할 수 있다

원하는 부재에 도달할 때까지 격점에서 격점으로의 계산을 반복할 필요가 없다

내력이 미지수인 부재는 3개를 초과하지 않는 것이 일반적이다


단면법

부재 BE에 작용하는 힘

고려하는 부재를 포함하는 절단면 선택 (미지력 3개)

절단되어 나간 부재가 가하고 있던 힘을 절단된 부재에 적용

인장력이나 압축력은 항상 부재의

축방향으로 작용

부재의 평형관계를 짐작하여 부재에

걸리는 힘의 작용방향을 적절히 결정

평형방정식 적용


단면법

추가 고려사항 반드시 트러스의 모든 부재를 평형상태로 있는 하나의 물체로 고려해야 한다

단면 내부의 부재들에 걸리는 힘은 전체 단면해석에 포함되지 않는다

절단면은 격점이 아닌 부재를 통과하는 것이 좋다

계산을 간단히 하기 위하여 절단면을 기준으로 나타나는 힘의 수가 적은 쪽을 선택하여 해석한다

격점법과 단면법을 함께 사용하면 더 효과적일 수 있다

모멘트 방정식을 최대한 잘 이용한다

가능한 한 많은 미지력이 통과하는 점을 모멘트 중심점으로 선택한다

힘의 방향을 임의로 가정하고 계산한 후, 그 값의 부호로 인장과 압축을 결정한다.


단면법


경계의 안쪽을 향한다 : 압축(C)

경계의 바깥쪽을 향한다 : 인장(T)

단면법 – 부재 BE의 해석과정 예


R1 R2

(1)전체 구조물의 반력을 구한다

절단된 면의 왼쪽 부분은 L, R1, 절단된 오른쪽 부분을 제거함으로써 유발되는 3가지 힘에 의해 평형상태에 있다.

(2) 부재 BE를 포함하는 절단면 선택

(3) 부재의 평형관계를 짐작하여 부재에 걸리는 힘의 방향을 적절히 결정

예제 4.3 KL, CL, CB 해석

부재 KL, CL, CB 에 발생하는 힘


(1) L 점에 관한 모멘트 CB에 가해지는 힘의 방향 결정 (압축)

(2) C 점에 관한 모멘트 KL에 가해지는 힘의 방향 결정 (인장)

(3) P 점에 관한 모멘트 CL에 가해지는 힘의 방향 결정 (압축)



0)3)(5(200

0

BLCB

M L

P

)(57125.5245.64 CkNCBmBL

5 x 3

BL



P

kN571

0)4(cos)3)(4(200

0

KL

MC

)(650

5.66cos

5.665.2 22

TkNKL

mKM

4 x 3



P kNCB 571

kNKL 650

0)(cos)12(200

0

PCCLPC

M P

)(6.57

7.2925.53tantan

6.95.264 5.2:4:

11

CkNCL

BLCB

mPCCAPC

PC

4 x 3


38

)(6.57 0)6.9(cos)6.912(200

0

)(650 0)4(cos)3)(4(200

0

)(571 0)25.5()3)(5(200

0

7.29325.5tantan

6.95.264 5.2:4:

5.66cos

5.665.2

25.5245.64

11

22

CkNCLCL

M

TkNKLKL

M

CkNCBCB

M

BLCB

mPCCAPC

mKM

mBL

P

C

L

P

θ

β

연습문제 4.36 - BC, CF, EF


(1) 절단면 선택 및 힘의 방향 결정




(a)

(b)

(c)


42

)(53.2

010cos

CLEF

CEEFLdMC

dd

ddCE

401.010tan30tan

10tan30tan

30

10 10tand30tand

CE

1) Joint C

30tan

30tan

dDH

CHDH

H


43

)(32.4

030cos)2(

TLBC

BFBCdLLdM F

2) Joint F

CEBF

CEBFdd

2

::2


44

66.1210tan

tan

and

401.0

1

d

dCE

dCE

)(278.1

0)(sin)30tan(cos

CLCF

dCFdCFLdM D

3) Joint D

10tand

30tand

Ref. 4.35 - AE


Ref. 4.35 - AE



G

Ref. 4.35 - AE

47

(2) 평형조건식 적용

G

α

4m

1.5m

)(kN 67.5

0)6(sin)5.1(cos)6(4.2)4(2.3

9.362

5.1tan 1

TAE

AEAEMG

α

프레임과 기계

프레임(frame), 기계(machine) 구조물의 각 부재 중 적어도 하나의 부재가 다중하중(multi-

force)을 받는 구조물

프레임 : 일반적으로 고정된 위치에서 주어진 하중을 지지하도록 설계된 구조물

다중하중 부재 3개 이상의 힘 혹은 우력(couple)이 작용하는 부재

프레임 및 기계의 해석 다중하중 부재를 포함하므로 부재에 걸리는 힘은 부재의 방향과 일치하지 않을 수 있다

힘이 부재방향으로만 작용하는 단순 트러스에 대한 해석방법으로는 구조물을 해석할 수 없다.


다중하중 부재들로 만들어진 강체

다중하중 부재들로 조립된 강체의 평형 자유물체도

작용-반작용의 원리를 이용하여 힘들의 상호작용을 표현

프레임 자체가 하나의 강체 단위로 구성된 경우

하나의 강체로 취급되는 구조물에 작용하는 모든 외력을 설정

구조물을 분해하고 각 부분의 평형을 고려하여 해석

일부의 평형방정식은 상호작용하는 힘을 포함하는 항을 통하여 연계된다.

강성이 외부 지지점에 의존하는 경우

구조물을 분해하여 각 부재들을 해석할 때까지 외부 지지반력을 계산할 수 없다.


힘의 표현방법과 자유물체도

힘의 표현 힘을 직각좌표계 상의 분력으로 표현

각 부분의 치수가 서로 수직인 방향으로 주어졌을 경우 유용 모멘트 팔의 계산이 용이

힘의 방향 설정 미지의 힘은 임의의 방향으로 결정할 수 있다 계산결과 힘의 부호가 음(-)이면 가정된 힘의 방향과 반대방향인 것으로 판단

표시의 일관성 유지 모멘트 축의 선정

방정식에서 미지 항을 소거할 수 있는 모멘트 축을 선정하면 연립방정식 계산을 최소화할 수 있다


작용-반작용을 고려하여 힘을 일관성 있게 표시

예제 4.6

51

1) 지지반력 결정

2) 각 부재에 대한 자유물체도 작성

지지점을 제거했을 때 프레임 자체가 강체

지지반력


kNNA

AF

y

yy

92.33920

0)81.9)(400(

kNND

DM A

32.44320

0581.94005.5

kNNA

ADF

x

xx

32.44320

0

자유물체도


1) 각 부재의 상대적 위치가 비슷하도록 배치

2) 반력 표시

kNAx 32.4

kNAy 92.3

kND 32.4

3) 알려진 힘(외력) 표시

kN92.3

kN92.3

kN92.3

4) 미지력 표시 3.92 kN

3.92 kN

3.92 kN

3.92 kN

2 1

Ex

Ex/2

Cx/2

Cx

Ex/2

Ex

By

By

Bx

Bx

Cx

Cx/2


kNAx 32.4

kNAy 92.3

kND 32.4

kN92.3

kN92.3

kN92.33.92 kN

3.92 kN

3.92 kN

3.92 kN

2 1

Ex

Ex/2

Cx/2

Cx

Ex/2

Ex

By

By

Bx

Bx

Cx

Cx/2

1) BF 부재에 대한 평형방정식 적용

kNBBF

kNBBF

kNEEM

xxx

yyy

xxB

15.9092.308.13

62.2092.3208.13

08.130592.332

1

kNEC

and

xx 08.13

3m 2m


kNAx 32.4

kNAy 92.3

kND 32.4

kN92.3

kN92.3

kN92.33.92 kN

3.92 kN

3.92 kN

3.92 kN

2 1

6.54 kN

13.08 kN

6.54 kN

13.08 kN

13.08 kN

6.54 kN 6.54 kN

13.08 kN

9.15 kN 2.62 kN

2.62 kN

예제 4.7


지지점을 제거했을 때 프레임 자체가 강체가 아님

NCCF

NAAM

yyy

yyC

4000240)9.36cos(200

2400750.011203.0200

9.36

1000

750tan 1

예제 4.6


N120

N200

NAy 120 NCy 400

xA xC

F

F

E

E

D

D

Bx Bx

By By

예제 4.7


N120

N200

NAy 120 NCy 400

xA xC

F

F

E

E

D

D

Bx Bx

B

y B

y

1) ED 부재

NDDF

NEEM D

4000200200

20003.02003.0

2) EF 부재

힘 F는 E와 크기가 같고 방향이 반대

예제 4.7


N120

N200

NAy 120 NCy 400

xA xC

F=200

F

E=200

E

D=400

D

Bx Bx

By B

y

3) AB 부재

NB

BF

NA

AF

NB

BM

y

yy

x

xx

x

xA

80

02409.36cos200

60

09.36sin20060

60

00.15.09.36sin200

θ

예제 4.7


N120

N200

NAy 120 NCy 400

xA xC

F=200

F

E=200

E

D=400

D=400

Bx Bx=60

By=-80

4) BC 부재

00.16012075.080

09.36cos40080400

300

0609.36sin400120

C

y

x

xx

M

F

NC

CF

검토

θ

By=-80

연습문제 4.77


Ref.


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