สถิตยศาสตร (statics) บทที่ 5...

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 1/27

สถตยศาสตร (Statics)

บทท 5 แรงกระจาย

51 บทนา ในบทกอนๆ จะพจารณาใหแรงกระทาตามแนวเสนแรงกระทา และมตาแหนงทแรงกระทากบวตถเปนจดๆ เดยว เรยกแรงลกษณะนวา Concentrated force การพจารณาแบบนชวยใหการคานวณลดความซบซอนลงอยางมาก อยางไรกตามในความเปนจรงแลว ไมมแรงๆ ใดกระทาทจดๆ เดยว แตตาแหนงแรงกระทาจะเปนพนท แรงกระทาทกระจายทวทงพนทน เรยกวา แรงกระจาย พจารณารปท 1(a) ซงแสดงแรงทพนถนนกระทากบลอรถ จะเหนวายางจะไมสมผสกบพนถนนเพยงแคจดเดยว แตจะสมผสเปนพนท เนองจากยางเกดการเสยรปเนองจากนาหนกของรถ จากรปมความกวางของผวสมผส b แรงทพนถนนกระทากบลอรถจะกระจายตลอดทงพนทน โดยแรงกระจายอาจจะไมสมาเสมอตลอดทงพนทกได จากรปจะเหนวาบรเวณตรงกลางแรงทพนกระทาจะมขนาดมากกวาแรงทกระทาทบรเวณขอบๆ ของพนทสมผส ลกศรเสนประแสดงถงแรงลพธทเกดจากการรวมแรงกระจายน รปท 1(b) แสดงการสมผสของลกบอลแขง กบพนผวแขง ในกรณนบรเวณสมผสจะเปนเพยงพนทเลกๆ แตอยางไรกตามเนองจากบรเวณสมผสเปนพนท แรงทพนกระทากบบอลจงเปนแรงกระจายเชนกน

รปท 1 ตวอยางแรงกระจาย


รปท 1(c) แสดงแรงทกระทากบชนสวนกลซงรบแรงกด C อกดานหนงของชนสวนกลถกเจาะรแลวยดดวยหมด จะเหนวาแรงทเกดในชนสวนกลไมไดเกดทจดๆ เดยว แตกระจายอยางสมาเสมอตลอดพนทหนาตดของชนสวนกล สาหรบแรงทหมดกระทากบชนสวนกลนนกจะกระจายตลอดพนทสมผสระหวางผวหมดและผวชนสวนกล อยางไรกตามขนาดของแรงจะเปลยนแปลงตามตาแหนงทสมผส แรงกระจายสามารถแบงเปน 3 ชนดดงน

1. แรงกระจายตามเสน (Line Distribution) ตวอยางของแรงกระจายชนดนแสดงดงรปท 2(a) แรงทมวลดงเคเบลไวกระทากระจายตลอดความยาวเคเบล หนวยของแรงกระจายตามเสนคอ N/m

2. แรงกระจายตามพนท (Area Distribution) เมอแรงกระทาทวทงพนท จะเรยกแรงนวาแรงกระจายตามพนท ตวอยางของแรงกระจายชนดนคอแรงดนนาทกระทากบเขอน ดงแสดงในรปท 2(b) แรงดนนกระทาตลอดทงพนท แตขนาดของแรงดนทแตละความลกจะไมเทากน ลกศรสแดงในรปแสดงถงแรงกระจายทแตละระดบความลก หนวยของแรงกระจายตามพนทคอ N/m2 หรอ Pa ซงกคอความดนนนเอง

3. แรงกระจายตลอดปรมาตร (Volume Distribution) แรงกระจายตลอดปรมาตรอาจเรยกอกอยางวา Body force ตวอยางของแรงชนดนคอ แรงดงดดเนองจากแรงโนมถวงของโลก เนองจากแรงนกระทากบทกๆ สวนของมวล จงเรยกวาเปนแรงกระจายตลอดปรมาตร หนวยของแรงกระจายชนดนคอ N/m3

รปท 2 แรงกระจายชนดตางๆ


5/2 จดศนยกลางมวล เนองจากนาหนกของวตถถอเปนแรงกระจายตลอดทงเนอปรมาตร การคานวณแรงกระจายนนยงยากกวาการคานวณแรงทกระทาเปนจดมาก ดงนนเพอใหงายตอการพจารณา มกจะสมมตใหมวลของวตถทงกอนรวมอยทจดๆ เดยว และจดนจะเปนตวแทนของมวลทงกอน เรยกจดนวาจดศนยกลางมวล (Center of mass) และหากถอวาแรงดงดดของโลกมคาคงทตลอดวตถจะไดวาจดศนยกลางมวลจะเปนจดเดยวกบจดศนยถวง (Center of gravity) ดวย สาหรบวตถชนหนงๆ จะมจดศนยกลางมวลเพยงจดเดยวเทานน และจดนจะอยในหรอนอกเนอวตถกได วธหาจดศนยกลางมวลดวยวธทดลองแสดงดงในรปท 3 และมขนตอนดงน 1. ผกวตถใหหอยลงอยางอสระ ดงแสดงในรปท 3(a)

เมอพจารณาใหนาหนกของวตถรวมทจดศนยถวงเพยงจดเดยว จะสามารถเขยนแผนผงแรงไดดงแสดงในรปท 3(d) จากแผนผงแรงพบวามแรงเพยง 2 แรงททากระทากบวตถ และทาใหวตถอยในสภาพสมดล นนคอนาหนกของวตถ W และแรงตงเชอก T เนองจากเปนการสมดลจากแรงเพยงสองแรง ดงนนแรงทงสองจงตองมขนาดเทากนและอยในแนวเสนตรงเดยวกน เพราะวาแรงจากนาหนกของวตถจะผานจดศนยถวงเสมอ ดงนนจงทราบวาจดศนยถวงตองเปนจดใดจดหนงบนเสนแนวดง หรออยในแนวเสนเชอก 2. เปลยนตาแหนงผกเชอกหอยวตถ เปนจด B ดงแสดงในรปท 3(b)

ทานองเดยวกบขนตอนท 1 จากขนตอนนจะทราบวาจดศนยถวงตองเปนจดใดจดหนงบนเสนแนวดง (B-G) เชนกน จากผลของการผกวตถทงสองครงจะไดวา จดตดของเสนตรงทงสองกรณจะเปนจดศนยถวง G และหากหอยวตถทจด C กจะพบวาจด G กจะอยบนแนวเสนเชอกเชนกน

T

(d)

FBD

T

(d)

FBD

รปท 3 การหาจดศนยถวงดวยวธการทดลอง


การหาตาแหนงจดศนยถวงและจดศนยกลางมวล เพอทใหการพจารณาใหนาหนกรวมของวตถรวมเปนจดเดยวทจดศนยถวง สามารถใชทดแทนการพจารณานาหนกของมวลยอยๆ ทกๆ สวนของวตถได คณสมบตทางดานโมเมนตของการพจารณาทงสองกรณตองเหมอนกน

พจารณารปท 4(a) วตถในรปมจดศนยถวงอยทจด G ซงยงไมรตาแหนงแนนอน โดยสมมตใหจดศนยถวงอยทพกด ),,( zyx หากหาโมเมนตของมวลกอนนรอบแกน y สามารถหาไดโดยแบงมวลเปนกอนยอยๆ dW หาโมเมนตเนองจากนาหนกของมวลยอยๆ แลวคอยนามารวมกน แตเนองจากวตถกอนนสามารถคดเสมอนวานาหนกทงหมดรวมกนทจด G ซงทาใหคณสมบตทางโมเมนตไมแตกตางจากเดมดวย ดงนนจงอาจหาโมเมนตไดโดยนาเอานาหนกรวมมาคณดวยแขนของโมเมนตซงวดจากแกน y มายงจด G การหาโมเมนตทง 2 วธสามารถแสดงไดดงสมการ (1)

ผลรวมโมเมนตของมวลยอยๆ = โมเมนตของนาหนกรวมทจดศนยถวง

∫ ∫ == WxdWxdWx)( (1)

โดย x คอระยะวดตามแกน x ไปยงมวลกอนยอยๆ (แขนของโมเมนตของมวลกอนยอยๆ) W คอนาหนกรวมของวตถ x คอตาแหนงจดศนยถวง วดตามแกน x จากสมการ (1) จะสามารถหาตาแหนงจดศนยถวงไดดงน

W

dWxx ∫=

)( (2)

ทานองเดยวกน ตาแหนงจดศนยถวงวดจากแกน y และ z สามารถหาไดดงน

W

dWyy ∫=

)(,

W

dWzz ∫=

)( (3)

รปท 4 การหาจดศนยกลางมวล


เนองจากนาหนกของวตถสมพนธกบมวลตามสมการ mgW = ถาคา g มคาคงท หรอสามารถประมาณใหคงทตลอดชนวตถแลว จะได

dmgdW )(= (4) แทนสมการ (4) ลงในสมการ (3) และ (2) จะไดสมการเพอหาจดศนยกลางมวลดงน

m

dmxx ∫=

)(,

m

dmyy ∫=

)(,

m

dmzz ∫=

)( (5)

เนองจากการบอกตาแหนงจดใดๆ อาจบอกเปนพกด (x,y,z) หรอบอกเปนเวคเตอรแสดงตาแหนง kzjyixr ˆˆˆ ++= กได ดงนนพกดทง 3 ในสมการ (5) อาจจะบอกรวมไดในรปเวคเตอร r ดงน

m

dmrr ∫=

)( (6)

5/3 Centroids of Lines, Areas, and Volumes ถาความหนาแนนของวตถ ρ สมาเสมอตลอดทงเนอวตถ สมการ (5) จะสามารถเขยนไดดงน

V

dVxx

ρ

ρ∫=)(

, V

dVyy

ρ

ρ∫=)(

, V

dVzz

ρ

ρ∫=)(

V

dVxx ∫=

)(,

V

dVyy ∫=

)(,

V

dVzz ∫=

)( (7)

โดย V คอปรมาตรของมวล จะพบวา x , y และ z จากสมการท (7) ขนอยกบรปรางของวตถเพยงอยางเดยว จด x , y และ z ในกรณนเรยกวาจดกลางรป (Centroid) การหาจด Centroid สามารถแบงออกไดเปน 3 รปแบบดงน 1 เสน การหาจด Centroid ในกรณนใชกบวตถทมความยาวมากกวาหนาตดมากๆ เชน เสนลวดเปนตน รปการหาจด Centroid แสดงในรปท 5(a) ถากาหนดให A คอหนาตดของลวด สมการ (7) จะเขยนไดดงน

Al

Adlxx ∫=

)(,

Al

Adlyy ∫=

)(,

Al

Adlzz ∫=

)(

l

dlxx ∫=

)(,

l

dlyy ∫=

)(,

l

dlzz ∫=

)( (8)

จากรปท 5(a) จะพบวาจด Centroid อาจจะไมอยในเสนลวดกได


(a) (b)(a) (b)

รปท 5 จดกลางรป 2 พนท การหาจด Centroid ในกรณนใชกบวตถบางทมความหนาเทากนตลอดแผน รปการหาจด Centroid แสดงในรปท 5(b) ถากาหนดให t คอหนาหนาของแผน สมการ (7) จะเขยนไดดงน

At

tdAxx ∫=

)(,

At

tdAyy ∫=

)(,

At

tdAzz ∫=

)(

A

dAxx ∫=

)(,

A

dAyy ∫=

)(,

A

dAzz ∫=

)( (9)

3 ปรมาตร การหาจด Centroid ในกรณนสามารถหาไดโดยสมการ (7) ตามทไดแสดงไวแลว ตารางท 1 แสดงตาแหนงของจด Centroid ของรปทรงเรขาคณตบางชนด


ตารางท 1 จด Centroid ของรปทรงเรขาคณตบางชนด


5/4 Composite body การหาจดศนยถวง หรอจดกลางรปตามทไดกลาวมาในหวขอกอนหนาสามารถใชหาไดในทกกรณ ไมวาวตถจะมรปรางใดๆ อยางไรกตามถาวตถนนมรปรางทเกดขนจากการประกอบกนของรปทรงเรขาคณตพนฐาน เชน วงกลม สามเหลยม สแหลยม ซงรตาแหนงจดศนยถวงอยแลวนน การคานวณหาจดศนยถวงจะสามารถหาไดงาย โดยการแบงสวนวตถกอนใหญใหเปนชนเรขาคณตยอยๆ ดงตวอยางในรปท 6

(a) (b)(a) (b)

รปท 6 การหาจดศนยถวงของ Composite body วตถทแสดงในรปท 6(a) เกดจากการประกอบกนของชนสวนยอยๆ ดงแสดงในรปท 6(b) โดยเกดจากชนสวนท 1 ประกอบกบชนท 2 และหกออกดวยชนสวนท 3 และชนสวนท 4 เนองจากชนสวนแตละชนในรป 6(b) เปนรปเรขาคณตพนฐานซงรจดศนยถวง (หรอจด Centroid) อยแลว การหาจดศนยถวงของวตถทงชนจงสามารถหาไดจากจดศนยถวงของชนสวนยอยๆ ดงน

โมเมนตวตถทงชน = ผลรวมโมเมนตของชนสวนยอย (ชน1 + ชน2 - ชน3 - ชน4)

443322114321 )( xAxAxAxAAAAAX −−+=−−+⋅

)( 4321

44332211

AAAAxAxAxAxA

X−−+−−+

=

โดย X คอจดกลางรปของวตถทงกอน x คอจดกลางรปของชนสวนยอย A คอพนทของชนสวนยอย


ขอสงเกต เนองจากวตถทงชนเกดจากการรวมชนท 1 และ 2 และหกออกดวยชนท 3 และ 4 ดงนนการหาจดกลางรป จงเปนการรวมของโมเมนตเนองจากชนท 1 และ 2 และตองลบดวยโมเมนตทเกดจากชนท 3 และ 4

สมการทใชในการหาจดศนยถวงหรอจดกลางรปของ Composite body สามารถเขยนในรปทวไปไดดงน

∑∑=

mxm

X , ∑∑=

mym

Y , ∑∑=

mzm

Z (10)

โดย m สามารถเปลยนเปน V หรอ A ไดแลวแตกรณ

5/5 ทฤษฎของ Pappus ทฤษฎของ Pappus ใชหาพนท หรอปรมาตร ซงเกดจากการหมน เสน หรอพนท รอบแกนหมน โดยทแกนหมนไมไดตดกบเสน หรอพนททนามาหมน 1. การหาพนททเกดจากการหมนของเสนรอบแกนหมน

รปท 7 การหาพนททเกดจากการหมนเสนรอบแกนหมน

รปท 7 แสดงพนททเกดจากการหมนเสนรอบแกนหมน โดยพนทวงแหวนยอยๆ หาไดจากเสนรอบวงคณดวยความหนายอยๆ ของวงแหวน และสามารถเขยนเปนสมการไดดงน

dLydA )2( π=

∫π= ydLA 2 (11)

เนองจาก LyydL ⋅=∫ แทนในสมการ (11) จะได

LyA π= 2 (12) โดย y คอตาแหนง Centroid ของเสนทนามาหมน โดยวดจากแกนหมน L คอความยาวของเสน


ถาหมนเสนรอบแกนไมครบ 2π เรเดยน จะสามารถหาพนทไดจากสมการ (13) LyA θ= (13)

โดย θ เปนมมในหนวยเรเดยน 2. การหาปรมาตรทเกดจากการหมนพนทรอบแกนหมน

รปท 8 การหาปรมาตรทเกดจากการหมนพนทรอบแกนหมน

รปท 8 แสดงปรมาตรทเกดจากการหมนพนทรอบแกนหมน โดยปรมาตรยอยๆ หาไดจากเสนรอบวงคณดวยพนทหนาตดยอยๆ พนทรวมทงหมด และสามารถเขยนเปนสมการไดดงน

dAydV )2( π=

∫π= ydAV 2 (14)

เนองจาก AyydA ⋅=∫ แทนในสมการ (14) จะได

AyV π= 2 (15) โดย y คอตาแหนง Centroid ของพนททนามาหมน โดยวดจากแกนหมน A คอพนทรวมทนามาหมน ถาหมนพนทรอบแกนไมครบ 2π เรเดยน จะสามารถหาปรมาตรทไดจากสมการ (16)

AyV θ= (16) โดย θ เปนมมในหนวยเรเดยน


5/29 The thickness of the triangle plate varies linearly with y from a value t0along its base y = 0 to 2t0 at y = h. Determine the y-coordinate of the center of mass of the plate.

วธทา

)1(000 hytt

hytt +=+=

หาความสมพนธของรปรางในรปสมการคณตศาสตรไดดงน 1.ความสมพนธระหวางพกด y กบความหนา

2.ความสมพนธของรปรางหนาตดสามเหลยม

hb

yx= y

hbx =

ปรมาตรของแผนสามเหลยมหาไดดงน

∫∫ −+=−+=hh

dyhbyb

hytdyxb

hytV

00

00 ))(1())(1(

b - x

∫ −=h

dyhybtV

02

2

0 )1(

จด Centroid หาไดจาก

โมเมนตของปรมาตรรวม = ผลรวมของโมเมนตของชนสวนยอยๆ

∫∫ −+=−⋅hh

dyxbhyytdy

hybtY

00

02

2

0 ))(1()1(

∫∫ +=−⋅hh

dyhyybtdy

hybtY

02

3

00

2

2

0 )()1(

83hY = Ans


5/81 The two circular arcs AB and BC are revolved about the vertical axis to obtain the surface of revolution shown. Compute the area A of the outside of this surface

วธทา

LyA θ=

หาพนทผวโดยใชทฤษฎของ Pappusแบงพนผวออกเปน 2 สวน สวนท 1 เกดจากการหมนเสนโคง AB รอบแกนในแนวดง สวนท 2 เกดจากการหมนเสนโคง BC รอบแกนในแนวดง

Ans

1

2

จากสมการของ Pappus

พนทสวนท 1 241 mm 103640.3)

4502)(502100(2 ×=⋅π

π⋅

−π=A

พนทสวนท 2 242 mm 105055.6)

4502)(502100(2 ×=⋅π

π⋅

+π=A

พนทรวม 24421 mm 1087.910)5055.63640.3( ×=×+=+ AA

1

2

จากตารางจะได π

=ry 2

1y

2y

)502100(1 π⋅

−=y

)502100(2 π⋅

+=y


5/9 Fluid statics ในบทกอนๆ เราพจารณาแรงทกระทาระหวางของแขง แตในบทนจะพจารณาถงแรงทกระทาเนองจากความดนของของไหล กอนจะศกษาแรงเนองจากความดนของของไหล จาเปนจะตองรสมบตของของไหลในสภาวะอยนงเสยกอนดงน สมบตของของไหลในสภาวะอยนง

1. ของไหลในสภาวะอยนงไมสามารถรบแรงเฉอนได 2. จากผลของขอ 1 จะไดวา แรงทกระทาโดยของไหลทอยนงจะเกดเฉพาะแรงใน

แนวตงฉากกบผวของไหลเทานน ความดนของของไหล จากกฎของปาสคาล (Pascal’s law) ทราบวา เมอพจารณาจดๆ หนงในของไหล ความดนทกระทากบจดๆ นไมวาจะเปนทศทางใดจะมขนาดเทากนตลอด กฎของปาสคาลนสามารถพสจนไดโดยพจารณาชนของไหลซงมขนาดเลกๆ (พจารณาเหมอนเปนจดๆ หนงในของไหล) ดงแสดงในรปท 9

รปท 9 แรงทกระทากบชนของไหลเลกๆ

จากรปความดนทกระทาทแตละผวของชนของไหล มคาเทากบ p1, p2, p3 และ p4

ตามลาดบ ดงนนจะสามารถหาแรงทกระทากบแตละพนผวไดโดยนาเอาความดนมาคณกบพนทหนาตด ดงแรงทแสดงในรปท 9 เนองจากของไหลอยนง แรงทกระทาในแตละทศทางจะอยในสภาวะสมดล ดงแสดงในสมการ (17) สมดลตามแนวแกน x θ⋅⋅⋅=⋅⋅ sin31 dzdspdzdyp

สมดลตามแนวแกน y 2

cos32dzdydxgdzdspdzdxp ⋅⋅

⋅ρ+θ⋅⋅⋅=⋅⋅ (17)


เนองจาก dyds =θ⋅ sin , dxds =θ⋅ cos และ คา 2

dzdydxg ⋅⋅⋅ρ มคานอยมากเมอเทยบ

กบเทอมอนๆ สามารถละทงได แทนความสมพนธเหลานลงในสมการ (17) จะได pppp === 321 (18) จากสมการ (18) จะไดวาความดนทกระทากบจดๆ หนงในของไหล (ชนของไหลเลกๆ ตามรป) จะมขนาดเทากน ไมวาจะกระทาในทศทางใด ซงสอดคลองกบกฎของปาสคาล ความดนของของไหลทระดบความลกตางกน ความดนของของไหลมความสมพนธกบระยะในแนวดง รปท 9 แสดงแรงในแนวดงทกระทากบชนของไหล

รปท 9 แรงในแนวดงทกระทากบชนของไหล

เนองจากของไหลอยในสภาวะสมดล จะเขยนสมการสมดลในแนวดงไดดงน

0)( =+−⋅⋅⋅ρ+⋅ dAdppdhdAgdAp dhgdp ⋅⋅ρ= (19)

จากสมการท (19) จะเหนวาความดนของไหลจะเพมขนเมอระยะ h หรอความลกมากขน เมอของไหลเปนของเหลว ซงมคาความหนาแนน ρ คงท สมการท (19) จะเขยนไดดงน

ghpp ρ+= 0 (20) โดย 0p เปนความดนทผวของของเหลว (h = 0) หนวยของความดน คอ N/m2 หรอ Pa ถาผวของของเหลวเปดสบรรยากาศ สมการ (20) จะเขยนไดดงน

ghpp a ρ+= (21) โดย ap เปนความดนบรรยากาศ มคาเทากบ 101.3 kPa เครองมอวดความดนโดยทวไปจะวดความแตกตางระหวางความดนของของไหล กบความดนบรรยากาศ หรอกลาวอกอยางหนงวา วดความดนทเพมขนขนจากความดนบรรยากาศ ความดนทเครองมอวดวดไดเรยกวา ความดนเกจ gp และมความสมพนธตามสมการ (22)

ghpg ρ= (22)


ความดนของเหลวทกระทาตอแผนสเหลยมจมในของเหลว ปญหาแผนสเหลยมจมในของเหลวพบไดทวไปในงานวศวกรรม ตวอยางปญหาประเภทนไดแก ปญหาแรงดนทกระทากบผนงเขอน หรอ ผนงแทงกนา เปนตน

pa

pa

pg

pa

(a) (b)

pa

pa

pg

pa

pa

pa

pg

pa

(a) (b)

รปท 10 แผนสเหลยมจมในของเหลว รปท 10 แสดงตวอยางของแผนสเหลยมจมในของเหลว ในรปท 10(a) เสนบางสแดงแสดงถงความดนของของเหลวทกระทากบแผนสเหลยม จะเหนวาทระดบความลกมากขน ความดนของของเหลวจะมากขนดวยตามสมการ dhgdp ⋅⋅ρ= และแสดงใหเหนดวยความยาวของเสนบางสแดงทยาวมากขน ความดนของของเหลวนจะกระทากระจายทวทงแผนสเหลยม

รปท 10(b) แสดงมมมองดานขางของแผนสเหลยม เนองจากระบบนเปนระบบเปดซงผวของเหลวเปดสบรรยากาศ แรงดนบรรยากาศ ap จะกระทาตอผวของแผนสเหลยมทกๆ ดาน ดงนนแรงลพธเนองจากแรงดนบรรยากาศจงหกลางกนไปหมด และมคาเทากบ 0 การคดแรงทกระทาในกรณระบบเปดสบรรยากาศจงคดเพยงแคความดนเกจ ซงแสดงโดยเสนสแดงเทานน เมอพจารณาเสนบางสแดงในรปท 10(a) กจะพบวาแสดงเฉพาะความดนเกจเชนกน โดยจะเหนไดจากทผวของเหลวมความดนเปนศนย เมอรวมแรงทเกดจากความดนนจะสามารถรวมไดเปนแรงลพธ R แสดงดวยเสนประทบสแดง


การหาขนาดของแรงลพธเนองจากความดนของของเหลว การหาขนาดของแรงลพธเนองจากความดนของของเหลวกระทาได 3 วธ ไดแกวธการ

อนทเกรตโดยตรง วธการหาโดยใชหลกการหาจด Centroid และวธหาปรมาตรของปรซมความดน 1.วธการอนทเกรต พจารณาการหาแรงกระทากบแผนสเหลยมจมในของเหลว แสดงดงรปท 11

รปท 11 การหาแรงกระทากบแผนสเหลยมจมในของเหลว แรงลพธ ∫ ∫== pdAdRR

∫ ∫ θρ=ρ=1

2

)cos()(y

y

bdygydAghR

2))((cos)

2(cos 2121

22

21 yyyygbyygbR −+

θρ=−

θρ=

22)coscos( 2121 hhgbLyygbLR +

ρ=θ+θ

ρ= (23-1)

โดย h เปนความลกจากผวของเหลว b คอความกวางของแผนสเหลยม (ลกลงไปในกระดาษ) L คอความยาวของแผน แรงลพธสามารถเขยนในรปความดนไดดงน

bLpphhgbLR22

2121 +=

+ρ= (23-2)


2. การหาแรงลพธอาจจะพจารณาโดยใชความรเกยวกบการหาจด Centroid AhghdAgdAghR ρ=ρ=ρ= ∫∫ )( (24-1)

โดย AhhdA =∫

h คอความลกทจด Centroid ของแผนสเหลยม ซงในกรณแผนสเหลยม คานจะเทากบความลกเฉลย การหาแรงลพธสามารถเขยนในรปความดนไดดงน ApAhgR ⋅=ρ= (24-2) โดย p คอความดนทจด Centroid ของแผนสเหลยม ซงในกรณแผนสเหลยม คานจะเทากบความดนเฉลย 3. วธหาปรมาตรของปรซมความดน พจารณารปท 11 เชนเดยวกบการหาโดยวธการอนทเกรต แรงลพธ ∫ ∫== pdAdRR

∫∫∫ ′=== AbdbpdypbdyR (25)

โดย ∫=′ pdyAd คอพนททแรเงาสแดงในรปท 11

ดงนน ผลคณของ b กบ Ad ′ จงเปนปรมาตรสวนยอยๆ และแรงลพธ R จงเปนปรมาตรรวมของปรซมความดน ซงมหนาตดเปนจด 1-2-6-5 และมความหนาเขาไปในกระดาษ b เมอพจารณาในรปท 10 แรงลพธ R สามารถหาไดปรมาตรของปรซมความดน ซงลอมรอบดวยจด 1-2-3-4-5-6-7-8 การหาตาแหนงของแรงลพธ

การหาตาแหนงของแรงลพธเนองจากความดนของของเหลวใชหลกการของโมเมนต โดยผลรวมโมเมนตเนองจากแรงยอยๆ จากความดนของเหลว มคาเทากบโมเมนตซงเกดจากแรงลพธรวม การหาตาแหนงของแรงลพธกระทาได 2 วธ ไดแกวธการอนทเกรตโดยตรง และวธหาตาแหนงของแรงลพธรวมจากตาแหนงแรงยอยๆ 1.วธการอนทเกรต พจารณารปท 11 แรงลพธ R กระทาผานจด C ซงหางจากจด B ตามแนวแกน y เปนระยะ Y

โมเมนตเนองจากแรงลพธ = ผลรวมโมเมนตเนองจากแรงยอยๆ

∫∫ ==⋅ ypbdyypdARY

∫∫ =⋅ ypbdypbdyY

∫∫=

pbdy

ypbdyY (26)


กรณแผนสเหลยม b มคาคงท ดงนนสมการท (26) จะกลายเปน

∫∫

∫∫

′

′==

Ad

Ayd

pdy

ypdyY (27)

ซงจะพบวา Y คอตาแหนงจด Centroid ของพนทสเหลยมคางหม 1-2-6-5 ในรปท 11 นนเอง 2. วธหาตาแหนงแรงลพธรวมจากตาแหนงแรงยอยๆ

รปท 12 การหาตาแหนงแรงลพธจากแรงยอยๆ

เนองจากแรงลพธหาไดจากปรมาตรของปรซมความดนซงมหนาตดสเหลยมคางหม 1-2-6-5 และตาแหนงของแรงลพธเปนตาแหนงจด Centroid ของรปสเหลยม 1-2-6-5 ดงนนจะสามารถหาตาแหนงจด Centroid ของสเหลยมคางหมไดโดยแบงสเหลยมคางหมออกเปนสองสวนคอ สวนทเปนสามเหลยม และสวนทเปนสเหลยมผนผาดงแสดงในรปท 12

โมเมนตเนองจากแรงลพธ = โมเมนตเนองจากชนสามเหลยม + โมเมนตจากสเหลยม 2211 RyRyRY +=⋅ (28)

,, 1yY และ 2y อาจจะวดจากตาแหนงอางองตามรปท 11 กได หรอจะวดจากตาแหนงอนกได เชนถาวดจากจด 2 สามารถหาตาแหนงจดแรงลพธกระทาไดดงน

2121 232)( RLRLRRY +=+⋅ (29)

โดย Y จะวดจากจด 2 ดานบนของแผนสเหลยม ความดนของเหลวทกระทาบนแผนสเหลยมโคงจมในของเหลว พจารณาแรงทกระทากบแผนสเหลยมโคงจมในของเหลวแสดงดงรปท 12 จากรปจะพบวาความดนทกระทากบแผนโคงจะมทศทางตงฉากกบผวโคงเสมอ อยางไรกตามทศทางของความดนและแรงทกระทาแตละจด จะเปลยนแปลงไปตลอดแนวโคง การหาแรงลพธ R ซงเปน


ปรมาณเวคเตอร และตาแหนงทแรงลพธกระทา จงจาเปนตองคานงถงทศทางแรงกระทาดวย ดงจะเหนไดจากสมการ (30) ดงน

∫∫ == pdybpdLbR xx )( และ ∫∫ == pdxbpdLbR yy )( (30)

การพจารณาหาแรงและตาแหนงของแรงทกระทากบผวโคงยงสามารถทาไดอกวธหนง โดยใชหลกการของสมดล พจารณารปท 13 ซงแสดง FBD ของระบบทจะพจารณา

รปท 12 แผนสเหลยมโคงจมในของเหลว

รปท 13 ระบบทพจารณาเพอหาแรงทกระทากบแผนสเหลยมโคง

การหาแรงทกระทา R กบแผนสเหลยมโคงในรปท 12(b) โดยวธของสมดลจะพจารณาโดยตดของเหลวซงตดกบแผนโคง (สวนสเขยว ABC ในรปท 13) มาคดแทน และแรงทแผนสเหลยมโคงกระทากบสวนของเหลว R จะมคาเทากบแรงทของเหลวกระทากบแผนสเหลยมโคงในรป 12(b) โดยเปนแรง action-reaction กนตามกฎของท 3 ของนวตน แรงนเปนแรงทไมทราบคาและตองการจะหา สาหรบแรงอนๆ ทกระทากบของเหลวไดแก แรงทผว Px และ Py


ซงสามารถหาไดโดยงายตามวธทไดกลาวมาแลว และแรงเนองจากนาหนกของของเหลว W ซงกสามารถหาคาไดเชนกน เมอทราบคา Px, Py และ W แลวกใชสมการสมดลจะสามารถหาคา R ออกมาได ตาแหนงของแรงลพธ R กสามารถหาคาไดโดยใชหลกการสมดลของโมเมนตกบ FBD ทแสดงในรปท 13 ความดนของเหลวทกระทาบนแผนเรยบจมในของเหลว พจารณาแรงทกระทากบแผนเรยบรปรางใดๆ ซงจมในของเหลวแสดงดงรปท 14 การหาแรงทกระทากบแผนเรยบสามารถพจารณาไดหลายรปแบบดงน

รปท 14 แรงทกระทากบแผนเรยบจมในของเหลว

1. การหาขนาดของแรงลพธในกรณนทาโดยวธการอนทเกรต ∫∫ ρ== hxdygpdAR (31)

เนองจาก x เปนฟงกชนของ y ถารความสมพนธของ x กบ y จะสามารถอนทเกรตสมการ (31) โดยตรงเพอหาแรงลพธออกมาได 2. การหาขนาดของแรงลพธอาจจะใชหลกการของการหาจด Centroid

∫∫ ρ== hdAgpdAR

เนองจาก AhhdA =∫ ดงนน

AhgR ρ= (32) โดย h คอความลกทจด Centroid ของพนท A


3. ใชหลกการหาปรมาตรของรปทรงความดน VVdpdAR ′=′== ∫∫ (33)

โดย V ′ คอปรมาตรของรปทรงทลอมรอบดวยแผนเรยบสเขยว และเสนบางสแดงแสดงในรปท 14(b) การหาตาแหนงของแรงลพธ การหาตาแหนงของแรงลพธในกรณแผนเรยบซงมรปรางใดๆ ใชหลกการของโมเมนตเชนเดยวกบกรณของแผนสเหลยม ดงน

∫=⋅ ydRYR

∫∫ =⋅ ypxdypxdyY

∫∫

∫∫

′

′==

Vd

Vyd

pxdy

ypxdyY (34)

จากสมการท (34) พบวาตาแหนงของแรงลพธจะผานจด Centroil ของรปทรงทลอมรอบดวยแผนเรยบสเขยว และเสนบางสแดง สรปการหาแรงลพธและตาแหนงของแรงลพธ การหาแรงลพธ และตาแหนงของแรงลพธสามารถสรป และมขอแนะนาดงน

1. การหาโดยวธการอนทเกรตอาจจะดยาก แตถาเขาใจแลวทาไดทกกรณไมวาจะหาขนาดแรง หรอตาแหนงของแรงลพธโดยไมเกดความสบสน

2. กรณแผนสเหลยมเรยบ หาขนาดแรงโดยการหาปรมาตรของปรซมความดนทาไดงายทสด สวนตาแหนงของแรงลพธคอตาแหนง Centroid ของปรมาตรปรซมความดน ซงทาไดโดยแบงปรซมเปนรปทรงเรขาคณตทรตาแหนงจด Centroid และใชหลกการของโมเมนต

3. กรณแผนสเหลยมโคง ใชวธการตดสวนของเหลว และใชสมการสมดลในการหาขนาดของแรงลพธ และตาแหนงของแรงลพธ

4. กรณแผนเรยบทมรปรางใดๆ ใชสตรการหาจะงายทสด โดย ขนาดของแรงลพธ AhgR ρ= โดย h คอความลกทจด Centroid ของพนทหนาตด ไมใชความลกเฉลย ตาแหนงของแรงลพธ เกดทตาแหนง Centroid ของปรมาตรรปทรงทเกดจากความดน โดยปกตมกจะตองใชการตงสมการอนทเกรตเพอหาตาแหนงแรงลพธ


แรงลอยตว (Buoyancy)

F

F

F

Mg

(d) (e) (f)

A

A

B

BC

F

F

F

Mg

(d) (e) (f)F

F

F

Mg

(d) (e) (f)

A

A

B

BC

รปท 15 แรงลอยตว

แรงลอยตวสามารถอธบายไดดงรปท 15 พจารณาของเหลวทอยนงดงรป 15(a) เมอตดชนของเหลวออกมาพจารณาแรงกระทา ของเหลวทตดมาเรยกวาของเหลว A สวนของเหลวเดมทเหลอจากการตดเรยกวาของเหลว B แรงทของเหลว A กระทากบของเหลว B แสดงในรปท 15(b) สวนแรงทของเหลว B กระทากบของเหลว A แสดงดวยลกศรสแดงในรปท 15(c) จะพบวาแรงทกระทาทผวของเหลวจะตงฉากกบผวของเหลว และกระจายตลอดผว พจารณารปท 15(c) เมอรวมแรงกระจายเขาดวยกนจะสามารถเขยนแรงททากบของเหลว A ไดดงรปท 15(e) เนองจากของเหลวอยนง (อยในสภาวะสมดล) และมแรงเพยงแค 2 แรงกระทากบของเหลว A แรงลพธจากแรงกระจาย F จงมคาเทากบนาหนกของของ-เหลว A ซงมคา mg และทศทางของแรงตองอยในแนวเสนตรงกบแรงเนองจากนาหนกของของเหลว หรออาจกลาวอกอยางวาแรง F ตองผานจงศนยถวงของของเหลว A ถาของเหลว A มเนอสมาเสมอ อาจกลาวไดวาแรง F ตองกระทาผานจด Centroid ของของเหลว A เมอพจารณาของเหลว B จะพบวามแรง F ทของเหลว A กระทากบของเหลว B ดงแสดงในรปท 15(d) แรงนเปนแรง action-reaction กบแรง F ในรป 15(e) นนเอง สมมตใหมวตถ C รปรางเหมอนของเหลว A ทกประการ วางแทนทของเหลว A ในของเหลว B จะพบวาแรงเนองวตถ C กระทากบของเหลว B จะยงมคา F เทาเดม เนองจากรปรางเหมอนเดม ดงนนเมอพจารณาทวตถ C แรงเนองจากของเหลว B ทกระทากบวตถ C จงมขนาด F เทาเดม และมทศทางชขน รวมถงตาแหนงของแรงเหมอนเดม เนองจากแรง F จะชขนเสมอ จงเรยก F วาแรงลอยตว และเนองจากขนาดของแรง F สมดลกบนาหนกของเหลว A ดงนนจงกลาวไดวา แรง F มขนาดเทากบนาหนกของเหลว A นนคอของเหลวทถกวตถ C แทนทนนเอง


จากทอธบายขางตนสามารถสรปไดดงน แรงลอยตวมขนาดเทากบนาหนกของเหลวทถกแทนท โดยทศทางของแรงจะชขนและผานจดศนยถวงของของเหลวทถกแทนท แรงลอยตวเขยนเปนสมการไดดงน

gVF fluidρ= (35) โดย fluidρ คอความหนาแนนของของเหลวทถกแทนท V คอปรมาตรของเหลวทถกแทนท

รปท 16 แรงลอยตวกบการออกแบบเรอ

แรงลอยตวสามารถนาไปประยกตใชกบการออกแบบเรอไดดงแสดงในรปท 16 รปท

16(a) แสดงเรอขณะทไมเกดการโคลง นาหนกของเรอ mg กระทาผานจดศนยถวงของเรอ G สวนแรงลอยตว F กระทาผานจดศนยกลางของแรงลอยตว B ซงเปนจด Centroid ของปรมาตรสวนทจม (ซงกคอจดศนยถวงของของเหลวทถกแทนทนนเอง)

เมอเรอโคลงตามรปท 16(b) จะพบวาตาแหนงจด B ทแรงลอยตวผาน จะยายไปทตาแหนง B′ เนองจากเกดการเปลยนแปลงรปราง และปรมาตรของของเหลวสวนทจม ตาแหนงแรงลอยตวน จะมแนวโนมทาใหเกดโมเมนตหมนใหเรอกลบเขาสสภาวะทมเสถยรภาพได สวนรปท 16(c) เนองจากออกแบบรปรางเรอตางกน ตาแหนงทแรงลอยตวกระทาจะตางกน ในกรณนแขนของโมเมนตเนองจากแรงลอยตวจะนอยกวาแขนของโมเมนตเนองจากนาหนก ซงมแนวโนมทเรอจะพลกควาได เรยบเรยงจาก “Engineering Mechanics Statics fifth edition SI version” ของ J. L. Meriam และ L. G. Kraige เพอใชประกอบการเรยนการสอนวชา 2103213 Engineering Mechanics I โดย อ.ดร. ชนตต รตนสมาวงศ


5/179 The hydraulic cylinder operates the toggle which closes the vertical gate against the pressure of fresh water on the opposite side. The gate is rectangular with a horizontal width of 2 m perpendicular to the paper. For a depth h = 3 m of water, calculate the required oil pressure p which acts on the 150-mm-diameter piston of the hydraulic cylinder.

วธทา

)widthgate)()((21 hghR ρ=

เขยน FBD ของประตนาไดดงน

Ans

เนองจากระบบนเปนระบบเปดสบรรยากาศ ผลของความดนบรรยากาศทงสองดานของประตนาหกลางกนหมด จงไมตองคดความดนบรรยากาศ

แรงลพธ R หาโดยวธการปรซมความดน ดงน

N 88290)2)(3)(381.910(21 3 =⋅⋅=R

เนองจากลกษณะปรซมเปนรปสามเหลยม จงรวาแรง R กระทาทความสง 1/3 ของ h นบจากฐาน

Ax

Ay

mg

F R

ghp ρ=

0.51

x

yA

Ax

Ay

mg

F R

ghp ρ=

0.51

x

yA

[ ]∑ = 0AM CCW+ 03882902)5.01

1(22

=⋅−⋅+

⋅F

N 83.148066=F

พจารณาแรงกระทาทขอตอของกระบอกสบ

FF2

F3

[ ]∑ = 0xFθ 0coscos2 =θ−θ FF FF =2

[ ]∑ = 0yF 0sin23 =θ− FF

05.01

5.083.1480662223 =

+⋅⋅−F

N 1324353 =F

ความดนในกระบอกสบ Pa 10494.74)10150(

1324354

6232

3 ×=×π

=π

= −dFp


5/167 A deep-submersible diving chamber designed in the form of a spherical shell 1500 mm in diameter is ballasted with lead so that its weight slightly exceeds its buoyancy. Atmospheric pressure is maintained within the sphere during an ocean dive to a depth of 3 km. The thickness of the shell is 25 mm. For this depth calculate the compressive stress σ which acts on a diametralsection of the shell, as indicated in the right-hand view.

วธทา เนองจากวตถทพจารณามความโคง จงตองตด FBD สวนของนามาคด โดยตดใหเปนรปรางทสามารถพจารณาไดงายดงน

AhgR ρ=

C R

σ

σ

C R

σ

σ

R

σ

σx

y

ใน FBD ดานบนจะแสดงเพยงแคแรงในแนวแกน x เทานน และเนองจากระบบนเปนระบบเปดสบรรยากาศ และภายในเรอดานากมความดนเทากบความดนบรรยากาศ เพราะฉะนนผลของความดนบรรยากาศจงหกลางกนหมด จงไมตองคดผลของความดนบรรยากาศ

แรงลพธ R หาไดโดยพจารณาใหผวดานขางดานทมแรงดนนากระทา เปนเหมอนแผนเรยบทมหนาตดวงกลม ซงกรณนการใชสตรหาแรงลพธจะทาไดงายทสด

คอ ความลกทจด Centroid ของวงกลม ซงเทากบ 3 kmคอ พนททแรงดนนากระทา ในทนคอพนทวงกลม

hA


)4

5.1)(103)(81.9)(1030(2

3 ⋅π×=R

แรงในเนอวสด ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×−⋅π−

⋅πσ=

−

4)1050(

4

232 DDF

[ ]0=∑ xF 0=− FR

04

)10505.1(4

5.1)4

5.1)(103)(81.9)(1030(2322

3 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×−⋅π−

⋅πσ−

⋅π×

−

MPa 4.462=σ Ans


5/172 A block of wood in the form of a waterproofed 400 mm cube is floating in a tank of salt water with a 150 mm layer of oil floating on the water. Assume that the cube floats in the attitude shown, and calculate the height hof the block above the surface of the oil. The density of oil, salt water, and wood are 900, 1030, and 800 kg/m3, respectively.

วธทา เขยน FBD ไดดงน

x

y

mg

Boil

Bwater

[ ]0=∑ yF

0=++− wateroil BBmg

0=ρ+ρ+ρ− waterwateroiloilwoodwood gVgVgV

0)150400(1030)150(900)400(800 =−−++− hAAA

mm 39.70=h Ans

สถิตยศาสตร (statics) บทที่ 5...

Documents