Engineering Mechanics: Statics: Statics

정의정의◦ 물체에 작용하는 힘의 영향을 다루는 물리학의

한 분야외력을 받 있는 물체의 정지 는 운동 상태를 설명◦ 외력을 받고 있는 물체의 정지 또는 운동 상태를 설명하고 예측하는 과학

역학의 원리역학의 원리◦ 기본원리 공학적인 응용에 폭 넓게 적용◦ 수학식으로 표현분류분류◦ 정(靜)역학 : 힘을 받는 물체의 평형을 취급◦ 동(動)역학 : 물체의 운동을 취급동(動)역학 : 물체의 운동을 취급

강릉원주대학교 기계자동차공학부자동차공학전공 2

공간( )Z

공간(space)◦ 물체가 차지하는 기하학적인

영역

z

P (x y z)

7

P (3 5 7)

5

영역◦ 어떤 점 P의 위치를 표시하는

데 사용되는 것 Yy

P (x, y, z)

O

P (3, 5, 7)

5데 사용되는 것

X

Yxy

3

시간(time)어떤 사건(현상)의 연속에 대한 단위어떤 사건(현상)의 연속에 대한 단위

정역학에서는 포함하지 않음

3강릉원주대학교 기계자동차공학부

자동차공학전공

질량( )질량(mass)◦ 물체의 관성력에 대한 단위

서로 다른 물체끼리의 인력에 영향을 미친다◦ 서로 다른 물체끼리의 인력에 영향을 미친다◦ 기본적인 역학적 실험을 토대로 하여 물체들을 특징 지

우며 그 물체들을 서로 비교하기 위하여 사용우며, 그 물체들을 서로 비교하기 위하여 사용

질량이 같은 두 개의 물체들은

병진운동에서 방향을 변화시킬 때도 같은 저항을 나타내며,

같은 형태의 지구인력을 받는다같은 형태의 지구인력을 받는다

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힘(force)힘(force)◦ 다른 물체에 대한 한 물체의 작용

중력(gravitational force) 자력(magnetic force)의 경우와중력(gravitational force), 자력(magnetic force)의 경우와같이, 어떤 두 물체는 서로 접촉하여 있거나 떨어져 있어도힘은 작용한다.

작용방향 물체를 이동시키는 경향이 있다◦ 작용방향으로 물체를 이동시키는 경향이 있다◦ 크기, 방향, 작용점에 의하여 결정된다◦ 벡터로 표시◦ 벡터로 표시

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질점(particle)질점(particle)◦ 크기는 없고 질량만 있는 물체◦ 물체의 모든 질량이 한 점에 집중되어 그 비중이 무한◦ 물체의 모든 질량이 한 점에 집중되어 그 비중이 무한

대인 공상적인 점◦ 물체에 작용하는 모든 힘들은 이 한 점에 작용하는 것물체에 작용하는 모든 힘들은 이 한 점에 작용하는 것

으로 취급힘을 크기와 방향만으로 완전히 표현할 수 있다

강체(rigid body)◦ 물체 내의 상대적인 변형이 무시할 정도로 작을 때 강

체로 간주

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벡터의 분류벡터의 분류◦ 자유벡터(free vector)

운동이 공간에 있는 어떤 유일한 직선에 구속되거나 관련되운동이 공간에 있는 어떤 유일한 직선에 구속되거나 관련되지 않은 벡터

공간에서 자유롭게 이동시켜도 효과가 변하지 않는 벡터공간에서 자유롭게 이동시켜도 효과가 변하지 않는 벡터회전 없이 이동하는 물체의 변위우력(偶力, couple)

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V

Z

1V

O8kjiV 84 2 ++−=

2V

Y

O8

2

1V

X

42

2V

변위벡터 우력(coupled force)

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벡터의 분류벡터의 분류◦ 이동벡터(sliding vector)

공간에서 벡터의 운동이 반드시 유일한 직선에 속하고 유지공간에서 벡터의 운동이 반드시 유일한 직선에 속하고 유지되는 벡터

작용선상에서 같은 크기로 이동 가능한 벡터(작용선에 관련)강체에 작용하는 힘의 전달성 원리

A A≡강체강체

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벡터의 분류벡터의 분류◦ 고정벡터(fixed vector)

유일한 작용점이 있으며 공간에서 특정 위치를 차지유일한 작용점이 있으며, 공간에서 특정 위치를 차지작용점, 크기, 작용선에 관련

변형체변형체

A A!=

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벡터의 표현벡터의 표현◦ 방향(θ)을 갖고 크기에

비례하는 화살표비례하는 화살표

벡터의 합◦ 평행사변형 법칙에 따라 합성평행사변형 법칙에 따라 합성

21 VVV += 21 VVV −=

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벡터의 성분벡터의 성분◦ 합이 어떤 벡터 V와 같은 두 개 이상의 벡터

21 VVV += yx VVV += yx VVV ′′ +=

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벡터의 직각성분벡터의 직각성분◦ x, y 축 성분의 크기

cosθVV VV

sin

cos

θθ

VV

VV

y

x

==

VVxx

VVyy

VV

θ

xV

◦ Vx와 Vy의 합력 V의 크기222yx VVV += ′=x VV sinθ

VyV θ ′◦ x 축에 대한 벡터의 방향

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= − yVθ 1tan ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=′

′=

− x

y

V

VV

1tan

cos

θ

θ

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=xV

θ tan ⎟⎠

⎜⎝ yV

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단위벡터◦ 크기가 1인 벡터 : 방향을 나타낸다

n VV = V1

여기서, : 벡터 의 크기

VV=n

VV

◦ 직각 좌표계에서의 단위벡터를 이용한 표현

여기서, 벡터 의 기: 방향 단위벡터V

Vn n VV =n

x축 방향 단위벡터: y축 방향 단위벡터:

i j

yV V

yV j

j i yx

yx

VVV

VVV

+=

+=xV

V

i

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xV

3차원 문제에서 벡터 의 표현3차원 문제에서 벡터 의 표현◦ x, y, z 방향의 단위벡터 :◦ x, y, z 방향 성분벡터 합으로 표현

Vk , j , i

y

각 성분들의 크기

k j i zyx VVVV ++=

kji

k 1

zyx

z

VVVV

VVV

++=

+=

각 성분들의 크기

yy

xx

VVVV

θθ

coscos

==

k j i zyx VVVV ++=

벡터 V의 크기

zz VV θcos=

2222zyx VVVV ++=

j i 1 yx VVV +=

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1

제1법칙제1법칙◦ 한 질점에 작용하는 불평형 힘이 없다면, 그 질점은 정지해 있거나

일정한 속도로 직선상을 움직인다 (병진운동)

제2법칙◦ 한 질점의 가속도는 그 질점에 작용하는 힘의 합력에 비례하고, 그

방향은 힘의 합력 벡터 방향이다

aF m= ma

제3법칙◦ 물체 상호간에 작용하는 힘과 반작용 힘은 크기가 같고 방향이 서

로 반대이며 동일선상에 놓여 있다로 반대이며 동일선상에 놓여 있다

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SI 단위 U S 단위: 기본단위

물리량 차원의기호

SI 단위 U.S. 단위단위 기호 단위 기호

질량 M kilogram kg slug -

길이 L meter m foot ft

시간 T second s second sec

힘 F newton N pound lb힘 F newton N pound lb

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SI 단위(International System of Units)SI 단위(International System of Units)◦ 세계적으로 공인된 미터계◦ 절대 단위계

기본 단위인 질량 측정은 환경과 무관기본 단위인 질량 측정은 환경과 무관◦ 질량 : kg◦ 길이 : m

시간 : s(초) 기본단위◦ 시간 : s(초)◦ 힘 : N (newton)

1N = 1kg·m/s2 (∵F = ma)1N 1kg의 물체에 1m/s2의 가속도를 낼 수 있는 힘

기본단위

1N = 1kg의 물체에 1m/s2의 가속도를 낼 수 있는 힘

< 지표면 근처에 있는 질량이 m 인 물체가 자유낙하할 때의 중력 >

중력가속도 g 로 지구 중심을 향하여 떨어진다. W(N) = m(kg) x g(m/s2)

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U S 단위U.S. 단위◦ foot-pound-second 단위◦ 중력 단위계중력 단위계

특정 조건(해수면, 위도 45°)에서 표준 파운드(1 lbf)측정

◦ 질량 : slug질량 : slug1 lb의 힘이 작용할 때, 1 ft/sec2의 가속도를 내는 질량

seclb 2⋅

표준 파운드(1lbf)ft

seclb slug =

g=9.80665 m/s2

=32.1740 ft/s2

◦ 표준 파운드(1lbf)1lbm의 질량에 32.1740 ft/sec2의 가속도를 일으키는데 필요한 힘

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단위변환단위변환

U S SIU.S. SI

질량(M) 1 slug (lb·sec2/ft) 1.459 x 10 (kg)

1 pound mass (lbm) 4.54 x 10-1 (kg)

길이(L) 1 foot (ft) 3.05 x 10-1 (m)

힘(F) 1 pound force (lbf) 1.602 x 10 (N)

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공학 단위공학 단위◦ 공업 및 산업계에서 사용◦ 중량(힘, weight) : kgfg g◦ 길이 : m◦ 시간 : s(초)

각종 단위계의 비교단위계 길이 시간 질량 힘, 중량국제단위계

(SI)m s kg kg·m/s2 (N)

물리단위계 cm s g kg g·cm/s2 (dyn)물리단위계 cm s g, kg g cm/s (dyn)

공학단위계 m s kgf·s2/m kg·9.81m/s2 (kgf)

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중력법칙중력법칙

221mmGF =

지 의 중력

2311

2

10673.6: skgmGr

⋅× −

지구의 중력◦ 무게 W인 물체가 중력가속도 g로 낙하

281.9: smgmgW

=

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정의와 표현정의와 현◦ 근사값을 구할 때 반올림 등에 의하여 처리되지 않은 부분으로, 오차를 고려한다 해도 신뢰할

수 있는 숫자를 자리수로 나타낸 것

5997 6000 : 유효숫자 3 6411 6000 : 유효숫자 1

◦ 일반적으로 유효숫자의 부분을 따로 떼어서 정수 부분이 한 자리인 소수로 쓰고, 소수점의 위치는 10의 거듭제곱으로 나타낸다.

유효숫자의 판별

6000 6.00 x 103 : 유효숫자 3 6000 6 x 103 : 유효숫자 1

0.023 2.3 x 10-2 : 유효숫자 2

유효숫자의 판별◦ 0이 아닌 숫자는 모두 유효숫자이다. ex) 1950◦ 0이 아닌 숫자들 사이의 0은 유효숫자이다. ex) 5006◦ 소수점 아래의 끝자리에 있는 0은 유효숫자이다. ex) 19.300소수점 아래의 끝자리에 있는 0은 유효숫자이다 ) 9 300◦ 자리를 나타내기 위한 0은 유효숫자가 아니다. ex) 0.025◦ 자연수에서 끝의 0은 유효숫자인지 아닌지 알 수 없다. ex) 9500

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유효숫자의 자리수유효숫자의 자리수◦ 주어진 자료의 정확도에 의해 정의되는 유효숫자보다 크

면 않된다.면 않된다.◦ 공학문제에서 자료는 대개 0.2% 보다 작은 정확도를 갖

는다◦ “1”로 시작하는 숫자는 4개의 유효자리를 사용◦ “1” 이외로 시작하는 숫자는 3개의 유효자리를 사용

) 0 0 0 00ex) 40 N 40.0 N, 15 N 15.00 N

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라디안 (radian)라디안 (radian)◦ 각도를 나타내는 SI 보조단위◦ 1rad : 원주상에서 그 반지름과 같은 길

이의 원호를 끊어 이루어진 2개의 반지이의 원 를 끊어 이루어진 개의 반지름 사이의 평면각 (1rad ≒57.3°)

◦ 360° = 2∏㎭

작은 각도 다루기 :: = 각도호의호의길이각도원의원주길이작은 각도 다루기

2

2

:2:2

: :

==

==

RR

l

lR

θπθπ

θππ각도호의호의길이각도원의원주길이

( )1 12

=×= Rl Qθπ

1cossin =≅==≅R

ll θθθ

1costansin ≅≅≅ θθθθ , 1cos , sin =≅==≅

Rl

Rθθθ

θθθ ===≅ lR

lsintan

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R

정역학정역학◦ 평형상태에 있는 공학 구조물에 작용하는 힘의 정량적

인 문제제◦ 물리적 문제(현상)의 수학적 공식화이상화된 가정◦ 임의의 근사 주어진 공학문제를 이상화된 수학적 모

델로 구성그래픽 사용그래픽 사용◦ 물리적 계(system)를 표현(설명, 가시화)◦ 물리적 현상과 수학적 표현 사이의 전환에 용이물리적 현상과 수학적 표현 사이의 전환에 용이◦ 결과의 명확한 표현

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문제의 정식화문제의 정식화◦ 주어진 자료와◦ 원하는 결과를 기술하고◦ 가정을 기술◦ 가정을 기술

정답의 계산절차문제의 이해를 위하여 그림을 그리고◦ 문제의 이해를 위하여 그림을 그리고

◦ 해답을 얻기 위한 지배방정식을 세운 다음◦ 계산을 한다

계산된 해답이 정확 를 갖는지◦ 계산된 해답이 정확도를 갖는지◦ 모든 계산값이 유효숫자를 사용했는지 확인하고◦ 해답이 크기, 방향 등에 있어서 일반 상식으로 납득이 되는지

확인한 다음확인한 다음◦ 결론을 내린다.

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자유물체도 (FBD Free Body Diagram)자유물체도 (FBD, Free-Body Diagram)◦ 관심의 대상인 물체를 다른 물체로부터 분리시켜 분리

된 물체에 작용하는 모든 힘들을 완전하고 정확하게 표된 물체에 작용하는 모든 힘들을 완전하고 정확하게 표현◦ 분리된 물체에 작용하는 모든 외력을 나타낸 선도분리된 물체에 작용하는 든 외력을 나타낸 선

수치적 값과 대수적 기호수치적 값과 대수적 기◦ 수치를 직접 사용◦ 대수 기호를 사용하여 해답을 공식으로 유도

차원적 동질성 유지

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단위벡터와 성분단위벡터와 성분벡터의 덧셈과 뺄셈운동에 대한 뉴턴의 법칙운동에 대한 뉴턴의 법칙SI단위, U.S. 단위

사값 법칙 적용근사값 법칙 적용정역학 문제의 풀이방법

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질량이 1400kg인 차의 무게를 Newton으로 표현하라. 이 차의 질량을질량이 g인 차의 무게를 현하라 이 차의 질량을slug로, 무게는 Ib로 표현하라.

1) 차의 무게 (Newton)

N 101.37 N 13730)81.9(1400 4×==== mgW

2) 차의 질량 ( l )2) 차의 질량 (slug)

slugs 10 9.59 slugs 9.9514.59kg

1slug kg 1400 ×==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=m

⎦⎣

3) 차의 무게 (Ib)

Ib103 09Ib3090232995 3×==×== mgWg=9.80665 m/s2

=32 1740 ft/s2Ib 103.09 Ib 30902.329.95 ×==×== mgW =32.1740 ft/s

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c aB

b

A C

Aa sin=

1) 사인법칙

Bb sin

2) 코사인법칙

Cabbac cos2222 −+=

강릉원주대학교 기계자동차공학부자동차공학전공 31

Determine the angle made by the vector V=-36i+15j with the g y jpositive x-andy-axes. Write the unit vector n in the direction of V.

y 36361 ⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

15

y

4.15790

15

36tan 67.4

15

36tan 1

=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −

o

Q

yx

yy

θθ

θθ

36 x

xθyθ

15 36 jiV +−=-36 x

0.385 -0.923 39

15

39

36

391536 22

jijiV

Vn

V

+=+−

==

=+=

0.385 -0.923 ,39

3939

jinV

V

+==∴

강릉원주대학교 기계자동차공학부자동차공학전공 32

Determine the magnitude of the vector sum V=V1+V2 and the angle h h k h h l b h h l d

xθg 1 2 gwhich V makes with the positive x-axis. Complete both graphical and algebraic solutions.

xθβ

30°

30°

β

21

32.2

αβ

30+θ ( )( ) 183cos272122721 222 +=V o

α 27

osin21 α

1.533

4tan 1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −β

30+=αθ x ( )( )( )( )

it232

2.32

1.83cos272122721

1.83cos272122721

22

=

−+=

−+=

V

V

V

V

o

oo

o

1.83sin2.32

21sin

1.83sin2.32

⎞⎛

=

=

α

units 2.32 =∴ V

o

o

370

3.70303.40

3.401.83sin2.32

21sin 1

∴

=+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

x

θ

θ

α

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3.70 =∴ xθ

A fore is specified by the vector F=160i+80j-120k N. Calculate p y jthe angles made by F with the positive x-, y- and z-axes.

kji VVVV ++=

2222

,

cos , coscos

kj i

zyx

zzyyxx

zyx

VVVV

VVVVVV

VVVV

++=

===++=

θθθ

80160

21512080160

11

222

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

=++=V

9.123120

cos

1.68215

80cos 9.41

215

160cos

1

11

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

−−

z

yx

θ

θθ

ooo 9.123 ,1.68 ,9.41

215

===∴

⎟⎠

⎜⎝

zyx

z

θθθ

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