축대칭 부유구조물을 가지는 부유식 해양구조물의 3차 원 지진 ... · 용에...

145

ISSN 1226-525X / eISSN 2234-1099한국지진공학회 논문집 19권 4호 (통권 제104호) EESK J Earthquake Eng Vol. 19 No. 4, 145-1592015년 7월 http://dx.doi.org/10.5000/EESK.2015.19.4.145

축대칭 부유구조물을 가지는 부유식 해양구조물의 3차

원 지진응답 해석기법 개발

Analysis of Three-dimensional Earthquake Responses of a Floating

Offshores Structure with an Axisymmetric Floating Structure

이진호1)

* ･ 김재관2)

Jin Ho Lee1)

* ･ Jae Kwan Kim2)

1)한국철도기술연구원 자기부상철도연구팀,

2)서울대학교 건설환경공학부

1)Korea Railroad Research Institute, Maglev Train Research Team,

2)Seoul National University, Department Civil and Environmental Engineering

/ A B S T R A C T /

A seismic response analysis method for three-dimensional floating offshore structures due to seaquakes is developed. The hydrodynamic

pressure exerted on the structure is calculated taking into account the compressibility of the sea water, the fluid-structure interaction, the

energy absorption by the seabed, and the energy radiation into infinity. To validate developed method, the hydrodynamic pressure induced

by the vibration of a floating massless rigid circular disk is calculated and compared with an exact analytical solution. The developed

method is applied to seismic analysis of a support structure for a floating offshore wind turbine subjected to the hydrodynamic pressures

induced from a seaquake. Analysis results show that earthquake response of a floating offshore structure can be greatly influenced by the

compressibility of fluid, the depth (natural frequencies) of the fluid domain, and the energy absorption capacity of the seabed.

Key words: Floating offshore structure; Floating offshore wind turbine; Fluid-structure interaction; Seaquake; Compressible fluid;

Flexible ground

*Corresponding author: Jin Ho Lee

E-mail: [email protected])

(Received March 24, 2015; Revised May 11, 2015; Accepted May 18, 2015)

1. 서 론

인류에게 해양은 다양한 가능성이 열려있는 미개척 공간이다. 해양에너

지, 풍력에너지와 같은 청정에너지의 활용이 활발히 연구되고 있고, 초대형

부유식 구조물을 이용하여 인류의 활동 공간을 해양으로까지 확대하려고

하고 있다. 이로 인해 다양한 형식의 해양구조물에 대한 수요가 계속적으로

증가하고 있다. 한편, 해양구조물에는 다양한 환경하중이 가해지고 있다.

여기에는 풍하중, 파랑하중, 해류하중과 같은 상시 하중과 지진하중, 태풍

하중과 같은 일시적 하중이 있다. 이러한 다양한 환경하중 조건 하에서의 해

양구조물의 안전성 확보는 꾸준히 연구되어 온 주제이다.

고정식 해양구조물은 지진하중을 반드시 고려하여야 한다. 그러나 부유

식 해양구조물은 지반의 진동이 구조물에 직접적으로 전달되지 않는다고

보기 때문에 지진의 영향에 대해서 충분한 연구가 이루어지지 않았다. 해저

지진의 위험은 과도한 동수압, 지진해일, landslide로 요약할 수 있다[1]. 이

중 과도한 동수압은 해저면과 해수가 상호작용하여 발생하게 되는데, 선박

과 해양구조물의 파괴를 충분히 유발시킬 수 있음이 실제 사례 보고를 통해

확인되었다[2]. 그러므로, 지진이 발생할 수 있는 지역에 해양구조물을 건

설할 때는 이러한 사실을 인지하고 있어야 한다. 특히, 유체의 압축성으로

인해 동수압이 더욱 증폭될 가능성이 있음이 기존의 유체-구조물 상호작

용에 관한 연구에서 확인되었고[3-5], 최근에 이러한 물리적 현상을 고려

하여 해저지진의 수직운동에 의해 발생한 동수압이 작용하는 부유식 해양

구조물의 동적 응답해석기법이 개발되었고 그 거동 특성 분석에 사용되었

다[6, 7].

이 연구에서는 해저지진에 의한 부유식 해양구조물의 축대칭 거동만 고

려할 수 있는 기존의 개발된 해석기법[6, 7]을 확장하여 구조물의 일반적인

3차원 거동까지 모사할 수 있는 지진응답 해석기법을 개발하고자 한다.

Fig. 1(a)는 이 연구에서 대상으로 하는 3차원 부유식 해양구조물 시스템을

묘사하고 있다. 부유식 해양구조물은 상부구조물과 이를 부유시키기 위한

바지(barge) 등과 같은 구조물로 이루어져 있다. 단, 이 연구에서는 해수와

접하고 있는 바지는 축대칭 형상을 가지고 있다고 가정한다. 한편, 해수는

한국지진공학회 논문집 | 19권 4호 (통권 제104호) | July 2015

146

압축성 비점성 이상 유체로 가정한다. 단, 해수면에서 표면파의 영향은 무

시하고, 유체로부터 유연한 해저 지반으로 입사되는 파가 흡수되는 것을 고

려한다. 이와 같은 가정 하에 해수에 의해서 구조물에 가해지는 유체의 동수

압을 유체 원역으로의 에너지 방사를 고려하여 산정한다. 이와 같이 산정한

동수압을 부유식 해양구조물에 가하여 전체 시스템의 지진 응답 해석을 수

행한다. 이와 같이 개발된 해석 기법을 활용하여 해저지진에 대한 부유식 해

양구조물의 3차원 지진 응답의 특성을 분석하고자 한다. 특히, 유체의 압축

성, 유연한 해저지반의 에너지 흡수 능력 등이 부유식 해양구조물의 지진응

답 특성에 어떠한 영향을 미치는지 파악하고자 한다.

2. 부유식 해양구조물의 3차원 운동에 대한 지배

방정식

부유식 해양구조물의 3차원 운동에 대한 지배 방정식과 구조물에 가해

지는 유체의 동수압에 대해 2장과 3장에서 상술한 후, 이를 결합하여 전체

시스템의 지배 운동방정식을 4장에서 유도한다.

Fig. 1(a)의 부유식 해양구조물의 3차원 운동에 대한 방정식은 일반적인

유한요소기법[8]을 사용하여 주파수영역에서 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

hyd

weq

w

eq

s

w

s

hys

wwww

hys

wsws

hys

swsw

hys

ssss

wwws

swss

wwws

swssi

f

0

f

f

u

u

KKKK

KKKK

CC

CC

MM

MMωω2

(1)

여기서 아래첨자 w는 구조물의 절점 중 유체와 접하고 있는 부분에 위치한

절점을 의미하고, 아래첨자 s는 나머지 구조물의 절점을 의미한다. M, C,

K는 각각 구조물의 질량행렬, 감쇠행렬, 강성행렬을 의미하고, u(ω )는 해

저지진의 지반운동에 대한 구조물의 상대변위를 나타낸다. 식 (1)에서 Khys

은 구조물에 작용하는 정수압에 의해 발생하는 유체 정역학 강성행렬[9]을

나타내고, feq

(ω ) 와 fhyd

(ω ) 는 각각 구조물에 작용하는 유효 지진력과 유

체의 동수압 절점력을 의미한다. 유효 지진력 feq

(ω ) =-ω 2M(rxugx + ryugy

+ rzugz)로 주어지는데, ugx(ω ), ugy(ω ), ugz(ω )는 각각 해저지진 지반운동

의 x축, y축, z축 방향 성분을 의미하고, rx, ry, rz는 이에 해당하는 영향벡터

(influence vector)를 나타낸다.

3. 구조물에 작용하는 유체의 동수압

압축성 비점성 이상유체로 가정한 해수에 의해 구조물에 작용하는 동수

압 절점력 fhyd

을 도출한다. 이 연구에서는 구조물이 유체와 접하고 있는 부

분은 축대칭 형태를 가지고 있다고 가정한다. 그러므로, 유체의 운동은 원

통형 좌표계에서 서술이 가능하다. 원통형 좌표계에서 모든 물리량은 θ =0

인 평면에 대하여 대칭인 성분과 반대칭 성분으로 분리할 수 있고, 각 성분

은 θ 방향으로 cosnθ 또는 sinnθ로 변동하는 n차 조화함수(harmonic)의

조합으로 표현할 수 있다[8]. 여기서 n=0,1,2,… 인 정수이다. 각각의 조화

함수는 연계되어 있지 않으므로, 여기서는 n차 조화함수만 사용하여 운동

방정식을 서술할 것이다. 또한, n차 조화함수의 대칭 성분과 반대칭 성분은

동일한 시스템 행렬을 가지므로 대칭 성분의 영향만 고려할 것이다. 해저지

진에 의해 지반운동이 발생하면, x축, y축, z축 방향으로 각각 n = 1인 대칭

성분, n = 1인 반대칭 성분, n = 0인 대칭 성분만 생겨난다.

해수의 동수압을 산정할 때, 해수면에서 표면파의 영향은 무시하고, 회

절파(diffraction wave)와 방사파(radiation wave)의 합으로 표현되는 유

체로부터의 입사파가 유연한 해저지반에 의해 흡수되는 것을 고려한다. 이

와 같은 가정 하에 유체 영역을 근역과 원역의 두 부분으로 분리하여 유체의

동수압을 산정한다.

3.1 유체 근역의 운동방정식

Fig. 1(b)와 같이 유체의 근역은 구조물과 인접하여 불규칙한 기하학적

형상을 가진다. θ 방향으로 cosnθ의 형태로 변동하는 유체 근역의 동수압

에 대한 지배방정식은 주파수영역에서 식 (2)와 같이 주어진다[10,11].

01

2

2

2

2

2

2

2

2

=+∂∂+−

∂∂+

∂∂

pCz

pp

r

n

r

p

rr

p

w

ωin

nΩ (2)

여기서 p(r, z, w)는 해수 근역의 동수압, Cw는 해수에서의 압축파 속도, Ωn

은 유체 근역의 영역을 의미한다. 유체 근역의 동수압에 대한 경계조건은 다

음과 같이 주어진다.

ijijpδσ −= on

n

wΩ∂ (3a)

t

nwu

n

pq

ˆ

2

ˆ

ρω=∂∂= on

n

wΩ∂ (3b)

n = 0 또는 n = 1인 성분에 대하여

ngwucpi

n

pq

ˆ

2

ˆ

ρωω +−=∂∂= on

n

gΩ∂ (3c)

나머지 성분에 대하여

cpin

pq ω−=

∂∂=ˆ

onn

gΩ∂ (3d)

fpp = on

n

fΩ∂ (3e)

0=+ fqq on

n

fΩ∂ (3f)

0=p onn

0Ω∂ (3g)

식 (3a)는 경계면 n

wΩ∂ 에서 구조물 응력 σ ij 와 유체 동수압 p의 평형조건

을 의미하고, 식 (3b)는 유체 선다발(flux) q와 구조물 운동 t

nu

ˆ 간의 관계를

의미한다. 이 식에서 변위의 위첨자 t는 전체 변위를 나타내고, 아래첨자

은 유체 근역의 외향 법선 방향을 의미한다. 식 (3c)와 (3d)는 해저지반에

축대칭 부유구조물을 가지는 부유식 해양구조물의 3차원 지진응답 해석기법 개발

147

의한 에너지 흡수를 고려할 때 해저지반면 n

gΩ∂ 에서 유체 선다발(flux)과

유체 동수압 및 해저지진에 의한 지반운동 간의 관계를 의미한다. 이 식에서

c는 에너지 흡수에 의한 감쇠 계수를 의미하는데, 다음과 같이 표현된다.

bb

w

wCC

cρρ

αα =

+−=

1

11(4)

여기서, α 는 반사 계수, ρ b와 Cb는 각각 유연한 해저지반의 밀도와 압축파

속도를 의미한다[12]. 계수 α 는 입사파를 모두 반사하는 강체 지반에 대해

서는 1의 값을 가지고, 입사파를 모두 흡수하는 경우에는 0의 값을 가진다.

비압축성 유체에 대해서 압축파 속도 Cw는 무한대의 값을 가지므로, 이 경

우에 대해 감쇠 계수 c는 0이 된다. 그러므로, 해수의 압축성을 무시하면 유

연한 해저지반에 의한 에너지 흡수는 해수의 동수압에 아무런 영향을 주지

않게 된다. 한편, 식 (3c)에서 )(ˆ

ωng

u 은 외향 법선 방향으로의 지반운동

을 나타낸다. 식 (3e)와 (3f)는 유체 근역과 원역의 경계면 n

fΩ∂ 에서 동수

압 연속 조건과 선다발(flux) 평형 조건을 의미하는데, pf와 q

f는 각각 유체

원역의 동수압이다. 식 (3g)는 해수면 n

0Ω∂ 에서의 표면파의 영향을 고려

하지 않은 자유 표면 조건을 의미한다. 일반적으로 해저지진을 포함한 지진

운동의 우세한 진동수 영역은 표면파의 영향이 미미한 상대적으로 고진동

수 영역이기 때문에 이 연구에서는 표면파의 영향을 고려하지 않았다. 식

(3)의 경계조건을 만족하도록 지배방정식 (2)의 해를 유체에 대한 일반적

인 유한요소기법[8]을 사용하여 얻을 수 있다. 유한요소기법을 적용한 유체

근역의 운동방정식은 식 (5)와 같이 주어진다.

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

∫Ω∂

f

ng

T

wn

w

f

g

n

w

fffgfnfw

gfgggngw

nfngnnnw

wfwgwnww

gg

fffgfnfw

gfgggngw

nfngnnnw

wfwgwnww

n

g

rdlu

i

q

N

0

q

p

p

p

p

HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

0000

0C00

0000

0000

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

ˆ

2

0

2

)1( ρπωδ

ωω

(5a)

∫ ∫+

= rdrdzC

T

w

nNNG

2

0)1( πδ

(5b)

∫ Ω∂+=

n

g

rdlcT

ngg NNC πδ )1(0 (5c)

∫ ∫+= rdrdzT

nBBH πδ )1(

0 (5d)

T

zr

n

r⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂= N

NN

B (5e)

여기서 N은 근역의 형상함수이고, δ n0는 Kronecker delta이다. 식 (5a)와

(5c)의 dl은 θ =0인 평면 상에 놓인 경계면 n

gΩ∂ 의 미소길이요소를 의미한

다. 식 (5)에서 아래첨자 w, g, f는 각각 경계면 n

wΩ∂ ,

n

gΩ∂ ,

n

fΩ∂ 에 위치

한 근역의 절점을 의미하고, 아래첨자 n은 나머지 절점을 의미한다. 단, 경

계조건 (3g)에 의해 n

0Ω∂ 상의 절점은 포함하지 않는다.

3.2 유체 원역의 지배 운동방정식

유체의 원역은 Fig. 1(b)에 보인 바와 같이 그 깊이가 일정하게 반경 방

향으로 무한한 영역이다. 근역과의 경계면 f

nΩ∂ (n

fΩ∂= )은 r = R에 위치

하고 z 축과 평행하다. θ 방향으로 cosnθ의 형태로 변동하는 유체 원역의

동수압에 대한 지배방정식과 경계조건은 각각 주파수영역에서 식 (6), (7)

과 같이 주어진다.

01

2

2

2

2

2

2

2

2

=+∂

∂+−∂

∂+∂

∂ f

w

ff

ff

pCz

pp

r

n

r

p

rr

p ωin fΩ (6)

여기서 pf(r, z, ω )는 해수 원역의 동수압, fΩ 는 유체 원역의 영역을 의미

한다.

ppf = on

f

nΩ∂ (7a)

0=+ qqf

onf

nΩ∂ (7b)

n = 0인 대칭 성분에 대하여 (z축 방향 지반운동)

gzw

f

ngw

ff

fucpiucpi

z

pq ρωωρωω 2

ˆ

2 −−=+−=∂

∂−= onf

gΩ∂ (7c)

나머지 성분에 대하여

ff

fcpi

z

pq ω−=

∂∂−= on

f

gΩ∂ (7d)

*

ppf = as ∞→r (7e)

0=fp on

f

0Ω∂ (7f)

식 (7a)와 (7b)는 각각 유체 원역과 근역의 경계면 f

nΩ∂ 에서 동수압 연속

조건과 flux 평형 조건을 의미하고, 이 경계조건은 식 (3e), (3f)와 같은 의미

를 가진다. 식 (7c)와 (7d)는 해저지반면 f

gΩ∂ 에서 유체 선다발(flux)과 유

체 동수압 및 해저지진에 의한 지반운동 간의 관계를 의미하는데, 유체 원역

의 깊이는 일정하므로 지반운동은 수직지반운동 성분 ugz(ω )만이 사용된

다. 식 (7e)에서 p*는 구조물과 유체 근역이 없는 자유장에서 해저지진의

지반운동에 의해서 발생하는 동수압이다. r → ∞ 일 때 구조물과 근역의

영향은 없어지므로 식 (7e)와 같은 조건이 성립하는 것이다. 식 (7f)는 해수

면 f

0Ω∂ 에서의 표면파를 고려하지 않는 자유표면조건이다.

Fig. 1(c)에 보인 바와 같이 식 (6)과 (7)에 의해서 서술되는 문제는 자유

장 문제와 파의 방사 문제의 중첩으로 표현할 수 있다. 즉, p f= p* + p

r로 표

현할 수 있다. 그러므로, 각각의 문제의 해를 중첩하여 유체 원역의 동수압

을 결정할 수 있다. 단, 경계조건 (7c)와 (7d)에 의해서 자유장 문제는 n = 0

인 대칭 성분, 즉 z축 방향 지반운동에 대해서만 영향을 미친다.


148

(a) Schematic view

(b) Near- and far-field regions for the fluid domain

(c) Free field and wave radiation problems for the far-field region

Fig. 1. Floating offshore structure

3.3 유체 원역의 자유장 문제

수직으로 입사하는 지반운동에 의한 유체 원역의 자유장 문제는 1차원

파전파 문제이다. 자유장 동수압 p*(z, ω ) 에 대한 지배방정식과 경계조건

은 각각 식 (8), (9)와 같이 주어진다.

0*

2

2

2

*2

=+ pCdz

pd

w

ωin fΩ (8)

gzwucpi

dz

dpq ρωω 2*

*

* −−=−= onf

gΩ∂ (9a)

0* =p on

f

0Ω∂ (9b)

식 (8)에 유한요소기법을 적용하여 다음과 같은 이산화된 방정식을 얻

을 수 있다.

( ) qpHCG =++− *2 f

ff

f

ff

f

ff iωω (10a)

( )∫=H

fTf

w

f

ff dzC 0

2

1NNG (10b)

( )∫=H

fTff

ff dz0

BBH (10c)

dz

df

f NB = (10d)

여기서 Nf(z)는 원역의 동수압에 대한 형상함수이다. 식 (10a)에서 행렬

Cfff와 벡터 q는 경계

f

gΩ∂ 상에 놓인 절점에 대해서만 각각 대각 성분 c와

-ω 2ρ wugz 성분을 가지고, 나머지 성분은 0이다. 자유장 문제에 대한 해는

식 (10a)로부터 얻을 수 있다.

3.4 유체 원역의 파 방사 문제

θ 방향으로 cosnθ의 형태로 변동하는 유체 원역의 파 방사 문제의 동수

압에 대한 지배방정식과 경계조건은 주파수영역에서 각각 식 (11), (12)와

같이 주어진다.

01

2

2

2

2

2

2

2

2

=+∂

∂+−∂

∂+∂

∂r

w

r

r

rr

pCz

pp

r

n

r

p

rr

p ωin fΩ (11)

*

pppfr −= on

f

nΩ∂ (12a)

*

qqr

pq

fr

r −=∂

∂−= onf

nΩ∂ (12b)

r

r

r

cpiz

pq ω−=

∂∂−= on

f

gΩ∂ (12c)


149

0=r

p as ∞→r (12d)

0=r

p onf

0Ω∂ (12e)

변수분리법을 사용해서 지배방정식 (11)의 해를 다음과 같이 표현할 수

있다.

),(),(),,( ωψωρω zrzrpr = (13)

식 (13)의 표현을 사용하면 식 (11)로부터 다음과 같은 분리된 방정식을

얻을 수 있다.

01

2

2

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++ ρρρr

nk

dr

d

rdr

d(14a)

02

2

2

2

2

2

2

2

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ ψλψψωψ

dz

dk

Cdz

d

w

(14b)

여기서 λ 2= ω 2

/C2w - k

2이다. 식 (14b)는 경계조건 (12c), (12e)와 함께 고

유값 문제를 구성하는데, 유한요소개념을 적용하여 다음과 같은 이산화된

고유값 문제를 얻을 수 있다.

( ) 0ψHCG =++− f

ff

f

ff

f

ffw iC ωλ 22

(15)

식 (15)로부터 m번째 고유값 λ m과 고유벡터 mψ 을 얻을 수 있다. 이

고유값과 고유벡터는 진동수 ω 에 의존하는 복소수이고, 고유벡터는 다음

의 직교조건을 만족한다.

2

w

lmm

f

ff

T

lC

δ=ψGψ (16a)

( ) 2

mlmm

f

ff

f

ff

T

l i λδω =+ ψHCψ (16b)

방사조건 (12d)를 만족시키는 Bessel 방정식 (14a)의 m번째 모드의 해

는 다음과 같다.

)(),( )2(rkHr

mnm=ωρ (17)

여기서 Hn[2](kmr)는 제2종 제n차 Hankel 함수이고, km = (ω 2/Cw

2-λ 2

m)1/2

는 양의 실수이거나 음의 허수부를 가지는 복소수이어야 한다. 각 모드를 중

첩하면 식 (15b)와 (17)로부터 유체의 동수압과 이의 미분에 관한 식을 다

음과 같이 얻을 수 있다.

ΨEΓNfr

zrp =),,( ω (18a)

ΓEΨN ′=∂

∂ fr

zrr

p),,( ω (18b)

여기서 E(r, ω )와 E'

(r, ω )은 각각 Hn[2](kmr)과

을 m번

째 대각성분으로 가지는 대각행렬이고, Γ은 모드참여계수 벡터이다. 식

(16a)와 (16b)의 직교조건을 이용하여 식 (18a)와 (18b)에서 모드참여계

수를 소거할 수 있고, 동수압 pr과 이의 선다발(flux) q

r 간의 관계를 얻을

수 있다.

( )∫=H

rTfTfr dzpzq0

),( NΨDΨNω (19)

여기서 D(ω )는 m번째 대각요소

를 가진 대각

행렬이다. 식 (19)에 식 (12a)와 (12b)의 경계조건을 적용하면, 유체 근역

과의 경계면 f

nΩ∂ 에서 유체 원역의 동수압 pf와 선다발(flux) q

f 간의 관

계를 얻을 수 있다.

( ) ( ) *

0

*

0

),( qdzpdzpzqH TfTf

HfTfTff +−= ∫∫ NΨDΨNNΨDΨNω

(20)

식 (20)에서 동수압 pf를 보간하고 일관 절점 선다발 q

ff 를 구한다. 단, 이

때 원역의 형상함수 N f(z) 는 근역의 유한요소와 일관성(consistency)을

유지하도록 선택한다. 이와 같이 하면 근역의 유한요소와 결합할 수 있는 원

역의 이산화된 수치모형을 다음과 같이 얻을 수 있다.

( ) **

00)1( qpRpRNq +−=+= ∫

f

ff

f

f

f

ff

HfTf

n

f

f dzqRπδ (21a)

DCCRT

n

f

ff Rπδ )1(0

+= (21b)

( ) f

ff

T

w

HfTfT

Cdz GΨNNΨC2

0

== ∫ (21c)

( )∫+=H Tf

n dzqR0

*

0

* )1( Nq πδ (21d)

식 (21a)에서 pff는 동수압 p

f의 절점 벡터이다.

3.5 구조물에 작용하는 동수압

식 (3e)와 (3f)에 의해 유체의 근역과 원역의 경계면 n

fΩ∂ 에서 p f = pff

와 q f + qff = 0 의 관계를 얻을 수 있다. 이 관계를 이용하여 근역의 유한요

소와 원역의 전달경계를 결합할 수 있고, 구조물에 작용하는 동수압에 관한

표현을 얻을 수 있다.


150

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

+=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+∫ Ω∂

**

ˆ

2

0)1(

ff

f

ff

ng

T

wn

w

f

g

n

w

f

fffffgfnfw

gfgggngw

nfngnnnw

wfwgwnww

n

g

rdlu

qpR

N

0

q

p

p

p

p

RRRRR

RRRR

RRRR

RRRR

ρπωδ

(22a)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

fffgfnfw

gfgggngw

nfngnnnw

wfwgwnww

gg

fffgfnfw

gfgggngw

nfngnnnw

wfwgwnww

fffgfnfw

gfgggngw

nfngnnnw

wfwgwnww

i

HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

0000

0C00

0000

0000

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

RRRR

RRRR

RRRR

RRRR

ωω2

(22b)

식 (22a)에서 동수압 pn, pg, p f 에 대해 응축(condensation)을 시행하면

구조물에 작용하는 동수압 pw에 관한 표현을 얻을 수 있다.

wwwwwpqRp ~

~ 1 += −(23a)

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

−

fw

gw

nw

f

fffffgfn

gfgggn

nfngnn

wfwgwnwwww

R

R

R

RRRR

RRR

RRR

RRRRR

1

~

(23b)

{ } [ ] [ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−= ∫Ω∂

−

−

**

ˆ

2

0

1

1

)1(~~

ff

f

ff

ng

T

wn

f

fffffgfn

gfgggn

nfngnn

wfwgwnwww n

g

rdlu

qpR

N

0

RRRR

RRR

RRR

RRRRp ρπωδ

(23c)

4. 부유식 해양구조물 시스템의 지배 운동방정식

앞에서 유도된 유체의 동수압을 구조물에 작용시켜, 유체-구조물 상호

작용을 엄밀히 고려한 부유식 해양구조물의 운동방정식을 도출할 수 있다.

구조물과 유체 간의 상호작용은 식 (3a), (3b)와 같이 표현된다. 식 (3a)에

의하여 유체 동수압 pw로부터 3차원 직교 좌표계에서의 동수압 절점력 fwhyd

를 도출할 수 있다.

wp

T

wwwp

T

wp

Thyd

w pTTqRTTpTTf ~

~ 1 −−=−= −(24)

여기서 행렬 Tp는 원통형 좌표계에서 유체 동수압을 절점력으로 변환하여

주는 행렬이고, 행렬 T는 3차원 직교 좌표계의 변위를 원통형 좌표계의 변

위로 변환하여 주는 행렬이다. 한편, 유체 일관 절점 선다발 qw는 식 (3b)에

의하여 구조물의 운동 utw 와 연관된다.

t

w

T

pww TuTq ρω 2−= (25)

식 (24)와 (25)로부터 구조물에 작용하는 유체의 동수압 절점력 fwhyd

를

다음과 같이 유도할 수 있다.

hyd

w

t

w

add

wwwp

Tt

w

T

pwwp

T

w

hyd

w fuMpTTTuTRTTf~

~

~ 12 +−=−= −&&ρω (26a)

TTRTTMT

pwwp

T

w

add

ww

1~ −= ρ (26b)

wp

Thyd

w pTTf ~

~ −= (26c)

식 (1)과 식 (26a)로부터 부유식 해양구조물의 최종 운동방정식을 다음

과 같이 얻을 수 있다.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

hyd

weq

w

eq

s

w

s

hys

wwww

hys

wsws

hys

swsw

hys

ssss

wwws

swss

add

wwwwws

swssi

f

0

f

f

u

u

KKKK

KKKK

CC

CC

MMM

MM

~

2 ωω

(27)

5. 검증 및 적용 예제

5.1 무질량 강체 원형판의 강제진동 해석

이 연구에서 개발된 해석기법의 검증을 위하여 부유 중인 무질량 강체

원형판(Fig. 2)의 조화 rocking 운동 (또는 pitch 운동)으로 인해 유체에서

발생하는 동수압을 부록에 유도된 해석해(analytical solution)와 비교하였

다. 원형판은 y축에 대하여 의 조화 운동을 하고 있다. 원형판의 반

지름은 Rs이고, 해수의 깊이 H = 5Rs로 가정하였다. 수치 계산 시 유체의 근

역과 원역의 경계면은 r = R = Rs에 설정하였고, 유체의 감쇠비는 0.5%를

가정하였다. r = 0.5Rs 의 위치에 작용하는 동수압의 전달함수를 Fig. 3에

비교하였다. 단, Fig. 3의 전달함수는 ω = 0의 값(해석해 0.007306004, 수

치해 0.007559825)으로 정규화하였다. 또한, ω H/ 2πCw = 1/4일 때 유체

근역에서 발생한 동수압의 분포를 Fig. 4에 비교하였다. Fig. 3과 Fig. 4에

서 확인할 수 있듯이 수치해석 결과는 해석해와 잘 일치한다.

또한, 유체의 압축성을 무시하였을 때의 전달함수와 동수압 분포도 각각

Fig. 3에 비교하였다. 이전의 연구[6,7]에서 관찰된 것처럼, 부유식 구조물

에 작용하는 유체의 동수압은 유체의 압축성에 의해서 크게 변화할 수 있음

을 다시 확인할 수 있다.

앞에서 설명한 바와 같이 구조물에 작용하는 동수압은 자유장 문제와 파

방사 문제의 해를 조합하여 얻을 수 있다. 자유장 문제의 해에 대한 정확성

은 참고문헌 6과 7에서 검증되었고, 앞의 간단한 예제를 통하여 일반적인 3

차원 거동에 대한 파 방사 문제의 해도 정확하게 얻을 수 있음을 확인할 수

있다. 즉, 이 연구에서 개발한 해석기법을 사용하여 해저지진의 지반운동에

의해 부유식 해양구조물에 작용하는 동수압을 정확히 계산할 수 있음을 확

인할 수 있다. 그리고, 이 동수압이 가해진 부유식 해양구조물의 동해석을

수행하여, 이 시스템의 지진거동을 정확히 예측할 수 있다.


151

(a) Schematic view

(b) Numerical model

Fig. 2. Rocking vibration of a massless rigid circular plate

Fig. 3. Transfer functions of hydrodynamic pressure

Fig. 4. Distributions of hydrodynamic pressure in a near-field

region

5.2 부유식 해양구조물의 지진응답 해석

이 연구에서 개발된 해석기법을 활용하여 해수면에 부유하고 있는 해양

구조물(Fig. 5)의 지진응답 거동 특성을 파악하였다. 이 예제에서 고려한

구조물은 5 MW 급 부유식 해상풍력발전기의 타워(tower) 구조물[13,14]

이다. 타워 구조물의 3차원 거동을 모사하기 위해 3차원 보요소를 사용하여

수치 모형을 구성하였다. 타워 보요소에 대한 절점과 요소 정보는 Table 1

에 주어져 있다. 보요소의 유체 정역학 강성행렬에 대한 명시적 표현이 부록

2에 주어져 있다. 타워 상부에 설치된 rotor-nacelle assembly(RNA)는 집

중 질량과 회전관성으로 근사하였다. 단, RNA의 비대칭적 질량 분포 등에

의한 집중 질량의 편심을 수치 모형에 포함하였다. RNA 집중 질량과 관성

모멘트의 크기와 편심에 대한 정보도 Table 1에 주어져 있다. 타워 구조물

의 감쇠는 1%를 가정하였다.

타워 구조물은 원형의 강체 바지(barge) 위에 설치되었다고 가정하였다.

바지의 두께 Hb = 10 m, 반지름 Rb = 20 m, 밀도 ρb = 563.1 kg/m3이다.

해수의 밀도 ρw= 1031 kg/m3, 압축파 속도 Cw = 1439 m/sec이다. 그러므

로, 타워 구조물을 포함한 바지는 6 m 높이까지 물에 잠겨있다. 타워 하단과

만나는 바지 상면 중심의 6자유도 강체 운동에 대한 원형 강체 바지의 유체

정역학 강성행렬이 부록 2에 주어져 있다.

수치 해석을 위해 유체의 근역과 원역의 경계면은 r = R = 30 m에 설정

하였다. 해수의 깊이에 따른 응답 특성의 변화를 살펴보기 위하여 H = 50 m,

100 m, 200 m 의 세가지 경우에 대하여 수치 해석을 수행하였다. 또한, 해

저지반에 의한 에너지 흡수 능력의 영향을 알아보기 위하여 해저지반의 반

사계수 α =1.0 (강체 지반), 0.5, 0.1인 경우를 고려하였다. 해석 시 유체의

감쇠비는 0.5%로 가정하였다.

해저지진에 의해서 수직지반운동이 해저지반에 작용하였을 때, 바지에

대한 타워 구조물 최상단의 수평방향 상대변위, 타워 구조물 하단의 휨모멘

트, 바지의 수직방향 가속도, 바지의 하면의 (x, y)=(10 m, 0 m) 위치에 발

생하는 동수압의 전달함수를 각각 Figs. 6 ~ 8에 도시하였다. 깊이가 H인

해수의 고유진동수 fH

w,n = (2n-1)Cw/4H로 주어지는데, Figs. 6 ~ 8의 전

달함수에서 이 고유진동수를 확인할 수 있다. 또한, Figs. 6 ~ 8의 전달함수

중 상대변위와 휨모멘트에 대한 전달함수에서는 상부구조물의 고유진동수

도 확인할 수 있다. 이 중 0.543 Hz, 2.295 Hz, 5.255 Hz, 11.633 Hz,


152

(a) Schematic view (b) Numerical model

Fig. 5. Floating offshore wind turbine

Table 1. Properties of tower for a floating offshore wind turbine

Node Elevation (m) Element Node 1 Node 2 Mass density (kg/m) Bending stiffness (GNm2)

1 0 1 1 2 5411.65 574.58

2 8.76 2 2 3 5059.10 499.05

3 17.52 3 3 4 4718.32 431.20

4 26.28 4 4 5 4389.31 370.51

5 35.04 5 5 6 4072.08 316.45

6 43.80 6 6 7 3766.62 268.52

7 52.56 7 7 8 3472.93 226.25

8 61.32 8 8 9 3191.02 189.16

9 70.08 9 9 10 2920.88 156.82

10 78.84 10 10 11 2662.51 128.80

11 87.60

Lumped mass 350,000 kg

Moment of inertia about x axis 43,700,000 kg·m2

Moment of inertia about y axis 23,500,000 kg·m2

Moment of inertia about z axis 25,400,000 kg·m2

Eccentricity in x direction 0.41 m

Eccentricity in z direction 1.97 m

21.991 Hz 의 고유진동수는 상부구조물의 x-z 평면 내에서의 휨 변형에 대

응하고, 8.008 Hz, 30.316 Hz 의 고유진동수는 상부구조물의 축방향 변형

에 대응한다. 이 고유진동수들은 참고문헌 14의 결과와 잘 일치함을 확인할

수 있다. 해저지진에 의한 수직지반운동만 해저지반에 작용하였지만, 타원

상단 RNA의 편심으로 인해 상부구조물에서는 휨 변형도 발생하게 된다.

Figs. 6 ~ 8의 전달함수로부터 부유식 해양구조물의 지진 거동은 해수의 깊


153

(a) Relative horizontal displacement at the tower top with respect to

the barge

(b) Bending moment at the tower base

(c) Vertical acceleration of the barge (d) Hydrodynamic pressure on the barge

Fig. 6. Transfer functions of responses of a floating offshore structure: H=50 m


the barge





154


the barge




Fig. 9. Input ground motion: 1994 Northridge earthquake at Rinaldi Receiving Station

이(고유진동수)와 해저지반의 에너지 흡수 능력에 의해 많은 영향을 받는

것을 확인할 수 있다.

유체의 압축성에 의한 영향을 살펴보기 위해, 해수를 비압축성 유체로

가정하였을 때의 전달함수도 Figs. 6 ~ 8에 함께 도시하였다. 유체의 압축

성을 고려하지 않으면 시스템 응답의 증폭이 크게 발생하지 않음을 전달함

수에서 확인할 수 있다.

실제 지진에 의한 거동 특성을 파악하기 위하여 Fig. 9에 주어진

Northridge 지진의 수직지반운동을 입력운동으로 사용하여 예제 부유식

해양구조물의 지진응답을 계산하였다. 바지에 대한 타워 구조물 최상단의

수평방향 상대변위, 타워 구조물 하단의 휨모멘트, 바지의 수직방향 가속

도, 바지의 하면의 (x, y)=(10 m, 0 m) 위치에 발생하는 동수압의 시간이력

을 각각 Figs. 10 ~ 12에 도시하였다. 유체의 압축성에 의한 영향을 살펴보

기 위해, 해수를 비압축성 유체로 가정하였을 때의 시간이력도 함께 도시하

였다. 비압축성 유체와 비교하였을 때, 해저지진에 의한 부유식 해양구조물

의 지진 거동은 유체의 압축성에 의해 크게 영향을 받음을 확인할 수 있다.

또한, 해수의 깊이(고유진동수)와 해저지반의 에너지 흡수 능력에 따른 변

화가 상당함을 확인할 수 있다. 그러므로, 해저지진에 의한 부유식 해양구

조물 시스템의 지진 거동을 정확히 산정하기 위해서는 압축성 유체와 구조

물의 상호작용과 유연한 해저지반에 의한 에너지 흡수 현상을 고려하여야

할 것이다.


155


the barge



Fig. 10. Time histories of responses of a floating offshore structure: H=50 m


the barge





the barge





156

6. 결 론

이 연구에서는 해저지진에 의한 3차원 부유식 해양구조물의 동적거동

해석기법을 유체-구조물 상호작용을 고려하여 개발하였다. 이때, 유체의

압축성과 유연한 해저지반에 의한 에너지 흡수, 반경 방향으로 무한한 영역

으로의 에너지 방사를 고려하였다. 부유 중인 무질량 강체 원형판의 조화

rocking 운동으로 인해 발생하는 동수압을 해석해와 비교하여 개발된 해석

기법의 정확성을 검증하였다. 개발된 해석기법을 활용하여 부유식 해상풍

력발전 구조물의 지진응답 해석을 수행하였다. 해석 결과로부터 해수의 압

축성, 해수의 깊이(고유진동수), 해저지반의 에너지 흡수 능력 등이 부유식

해양구조물의 지진 거동에 영향을 끼침을 확인할 수 있었다.

이 연구에서는 구조물이 유체와 접하는 부분은 축대칭 형상을 가진다고

가정하였다. 이러한 제한은 3차원 유한요소를 사용하여 유체 근역의 수치

모형을 구성하면 쉽게 해결이 가능하다. 이때, 유체의 원역은 각 n차 조화함

수의 대칭 성분과 반대칭 성분을 조합한 3차원 전달경계를 사용하여 수치

모형을 구성하여야 한다. 또한, 이 연구에서는 계류선의 영향은 고려하지

않았다. 이는 계류선의 강성이 장주기 운동에 주로 영향을 미치고 지진 지반

운동은 이러한 장주기 운동성분을 거의 가지고 있지 않기 때문에 그 영향을

고려하지 않았다. 계류선의 강성은 비선형이기 때문에 그 영향을 고려하고

자 한다면, 반복 계산이나 비선형 강성을 선형화하여 그 영향을 고려할 수

있을 것이다[15,16].

/ 감사의 글 /

본 연구는 해양수산부 산하 한국해양과학기술진흥원의 첨단항만건설

기술개발사업 연구비 지원(과제명: 해상풍력 지지구조 설계기준 및 콘크리

트 지지구조물 기술 개발/20120093)을 받아 수행되었습니다.

/ REFERENCES /

1. Gerwick BC, Jr. Construction of Marine and Offshore Structures.

3rd ed. CRC Press;c2007.

2. Ambraseys N. A damaging seaquake. Earthquake Engineering and

Structural Dynamics. 1985;13:421-424.

3. Chopra AK. Earthquake Response Analysis of Concrete Dams. Advanced

Dam Engineering for Design, Construction and Rehabilitation. Springer;

c1988. p. 416-465.

4. Fenves G, Chopra AK. Effects of Reservoir Bottom Absorption on

Earthquake Response of Concrete Gravity Dams. Earthquake Engineering

and Structural Dynamics. 1983;11(6):809-829.

5. Fenves G, Chopra AK. Effects of Reservoir Bottom Absorption and

Dam-Water-Foundation Rock Interaction on Frequency Response

Functions for Concrete Gravity Dams. Earthquake Engineering and

Structural Dynamics. 1985;13(1):13-31.

6. Lee JH, Kim JK, Jin BM. Analysis of Earthquake Responses of a

Floating Offshore Structure Subjected to a Vertical Ground Motion.

Journal of the Earthquake Engineering Society of Korea. 2014;

18(6):279-289.

7. Lee JH, Kim JK. Dynamic Response Analysis of a Floating Offshore

Structure Subjected the Hydrodynamic Pressures Induced from

Seaquakes. Ocean Engineering. 2015;101:25-39.

8. Cook RD, Malkus DS, Plesha ME, Witt RJ. Concepts and Appli-

cations of Finite Element Analysis. 4th ed. John Wiley & Sons

Inc.;c2002.

9. Senjanović I, Tomić M, Tomašević S. An explicit formulation for

restoring stiffness and its performance in ship hydroelasticity.

Ocean Engineering. 2008;35:1322-1338.

10. Fung YC. A First Course in Continuum Mechanics. 3rd ed. Prentice

Hall;c1994.

11. Malvern LE. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium.

Prentice Hall;c1969.

12. Hall JF, Chopra AK. Two-dimensional dynamic analysis of concrete

gravity and embankment dams including hydrodynamic effects.

Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 1982;10:305-332.

13. Jonkman J, Butterfield S, Musial W, Scott, G. Definition of a 5-MW

Reference Wind Turbine for Offshore System Development. NREL/

TP-500-38060. National Renewable Energy Laboratory;c2009.

14. Bir G, Jonkman J. Modal Dynamics of Large Wind Turbines with

Different Support Structures. NREL/CP-500-43045. National Renewable

Energy Laboratory;c2008.

15. Jonkman JM. Dynamic Modeling and Loads Analysis of an Offshore

Floating Wind Turbine. NREL/TP-500-41958. National Renewable

Energy Laboratory;c2007.

16. Wilson JF. Dynamics of Offshore Structures. 2nd Edition. Hoboken:

John Wiley & Sons Inc.;c2003.

부록

1) 무질량 강체 원형판의 강제진동에 대한 해석해

Fig. 2와 같이 해수면에 부유하고 있는 반지름 Rs 의 무질량 강체 원형판

이 y축에 대하여 의 조화 rocking 운동 (또는 pitch 운동)을 하고 있

을 때, 해수에서 발생하는 동수압에 대한 해석해를 유도하였다. 단, 해저지

반의 유연성은 고려하지 않았다.

강체 원형판의 rocking 운동으로 인해 발생하는 해수의 동수압은 θ 방

향으로 cosθ 의 형태로 변동한다. 그러므로, 주파수영역에서 동수압은

p(r, z, ω )cosθ 와 같은 형태로 나타낼 수 있고, p(r, z, ω )에 대한 지배방정

식과 경계조건은 각각 식 (A1), (A2)와 같이 주어진다.

01

2

2

2

2

22

2

=+∂∂+−

∂∂+

∂∂

pCz

p

r

p

r

p

rr

p

w

ω(A1)

θρ &&rz

p

w=

∂∂

at Rr ≤≤0 and Hz = (A2a)

0=p at Rr ≥ and Hz = (A2b)


157

0=∂∂z

pat 0=z (A2c)

변수분리법에 의해 경계조건 (A2)를 만족시키는 지배방정식 (A1)의 해

를 0 ≤ r≤ R인 내부 영역과 r≥ R인 외부 영역에서 각각 얻을 수 있다.

우선, 0 ≤ r≤ R인 내부 영역에서의 해를 얻는다. 구하고자 해는 z = H

에서의 homogeneous boundary condition 0/ =∂∂ zp 을 만족시키는

homogeneous solution ph(r, z, ω ) 과 식 (A2a)의 경계조건을 만족시키는

particular solution pp(r, z, ω )의 합으로 표현된다. Homogeneous

solution ph(r, z, ω )은 다음과 같이 주어진다.

∑∞

=

=0

1cos)(),,(

m

mmm

h zrkJAzrp λω (A3)

여기서 J1(kmr) 은 제1차 Bessel 함수, km = (ω 2/ C

2w - λ 2

m)1/2

,

(m = 0, 1, 2, …), Am은 모드참여계수이다.

Fourier-Bessel series를 이용하여 particular solution pp(r, z, ω )를 다

음과 같이 얻을 수 있다.

∑∞

=

−=1

,1,11

,1,1

,1cos)(

sin),,(

n

nn

nn

np zrkJH

gzrp λ

λλω (A4a)

)(

2

,12,1

,1RkRJk

Rg

nn

w

n

θρ &&

= (A4b)

여기서 k1,nR은 Bessel 함수 J1(x)의 n번째 zero, 즉 J1(k1,nR) = 0을 만족하

고, λ 1,n = (ω 2/ C

2w - k

21,n)

1/2이다. 그러므로, homogeneous solution과

particular solution의 조합에 의해 내부 영역에서의 동수압은 다음과 같이

주어진다.

∑∑∞

=

∞

=

−=1

,1,11

,1,1

,1

0

1cos)(

sincos)(),,(

n

nn

nn

n

m

mmmzrkJ

H

gzrkJAzrp λ

λλλω

(A5)

r ≥ Rr인 외부 영역에서의 해는 다음과 같이 주어진다.

∑∞

=

=1

,,

)2(

1 cos)(),,(l

lelelzrkHEzrp λω (A6)

여기서

(l = 1, 2, …), ke,l = (ω 2

/ C2w - λ 2

e,l)1/2

, El은

모드참여계수이다.

경계면 r = R에서 내외부 동수압의 연속 조건과 flux의 평형 조건을 만

족하도록 식 (A5)와 (A6)의 모드참여계수 Am과 El을 결정한다. 동수압의

연속 조건은 다음과 같다.

∑∑∞

=

∞

=

=1

,,

)2(

1

0

1 cos)(cos)(l

lelel

m

mmmzRkHEzRkJA λλ (A7)

모드참여계수를 결정할 수 있는 첫번째 식을 cosλ mz의 직교조건을 활

용하여 얻을 수 있다.

0coscos)()()1(

2

10

,,

)2(

1

10

=+

− ∑ ∫∞

=l

H

lemlel

mm

mzdzzRkHE

RkHJA λλ

δ

(A8)

Flux의 평형 조건은 다음과 같다.

∑

∑∑

∞

= =

∞

= =

∞

= =

=

−

1

,

,

,

)2(

1

,

1

,1

,1

,11

,1

,1,1

,1

0

1

cos)(

)(

cos)(

)(

sincos

)(

)(

l

le

Rrle

le

lel

n

n

Rrn

n

n

nn

n

m

m

Rrm

m

mm

zrkd

rkdHkE

zrkd

rkdJk

H

gz

rkd

rkdJkA

λ

λλλ

λ

(A9)

모드참여계수를 결정할 수 있는 두번째 식을 cosλ e,lz의 직교조건을 활

용하여 얻을 수 있다.

∑ ∫

∑ ∫

∞

= =

=

∞

= =

=

−=

−

10

,1,

,1

,11

,1

,1,1

,1

,

,

)2(

1

,

00

,1

,

,

)2(

1

,

coscos)(

)(

sin

)(

)(

2

coscos)(

)(

)(

)(

2

n

H

nle

Rrn

n

n

nn

n

Rrle

le

le

m

H

mle

Rrm

m

mm

Rrle

le

le

l

zdzrkd

rkdJk

H

g

rkd

rkdHHk

zdzrkd

rkdJkA

rkd

rkdHHk

E

λλλλ

λλ

(A10)

식 (A8)과 (A10)을 연립하여 모드참여계수 Am과 El을 결정할 수 있고,

이로부터 내부와 외부 영역에서의 동수압을 식 (A5)와 (A6)으로부터 결정

할 수 있다.

2) 유체 정역학 강성 행렬

보요소로 나타낸 상부구조물과 이를 부유시키기 위한 강체 바지의 유체

정역학 강성 행렬[9]의 명시적 표현은 다음과 같이 주어진다. 단, 구조물의

축력에 의한 유체 정역학 기하 강성(hydrostatic geometric stiffness)은 고

려하지 않았다.

Fig. A1의 보요소에 대한 유체 정역학 강성 행렬은 식 (A11)과 같이 주

어진다.


158

(A11)

(A12)

여기서 ρ s, A, L은 각각 보요소의 밀도, 단면적, 길이이고,

,

,

,

,

, g

는 중력가속도이다.

Fig. A2의 강체 바지의 유체 정역학 강성 행렬은 식 (A12)와 같이 주어

진다. 단, 강체 바지의 자유도는 C(xc, yc, zc) 의 6자유도 강체 운동으로 주어

진다.

여기서 ρ s, A, V는 각각 바지의 밀도, 단면적, 체적이고, (x0, y0, z0)는 바지

의 무게중심, ρ w는 유체의 밀도, Vw는 유체에 잠겨있는 바지의 체적이다.

식 (A12)에서

,

,

,

,

,

,

,

이다.


159

Fig. A1. Beam element

Fig. A2. Rigid barge

축대칭 부유구조물을 가지는 부유식 해양구조물의 3차 원 지진 ... · 용에...

Documents