待ち行列の数理とその応用

宮　沢　政　清

まえがき

本書は待ち行列理論について解説したものである．待ち行列理論は 20世紀の初めに電話交換機の必要台数を計算するために生まれたが，現在では，情報通信，計算機などのネットワーク，在庫，生産システムの設計や運用などに幅広く使われている．これらは不確定な要因を含むため，偶然現象の理論である確率論に基づいた数理モデルとして表すことができる．この数理モデルの特性を解明するために生まれた手法は待ち行列理論としてまとめられ，偶然現象を含むさまざまな現象の数理的な解析に大きな影響を与えてきた．本書は 3部から構成されている．第 I部では，待ち行列とはどのような現象

で，待ち行列理論の目的はどこにあるのかを確率論を使わずに初等的な数学だけを使って解説した．この部分は予備知識のない読者が理解できるように配慮した．確率論が応用されるどの分野も，分野に固有の問題意識があり，これは待ち行列理論にも当てはまる．この問題意識を論じるためには，確率論を使わない方がよいと考えた．第 I部が待ち行列が目指すものに重点をおいたのに対して，第 II部では確率

論に基づいた理論展開を行う．確率を使った説明になるが，理論の背後にある考え方を説明するよう試みた．大学 2, 3年生程度の確率と確率過程理論（主にマルコフ連鎖）の基礎的な知識を仮定しているが，できる限り最小の前提知識で理解できるよう心がけた．確率について不案内な読者が第 II部を読む際には，やさしい確率の本を手元におくことをお薦めする．第 III部は確率測度を複数同時に使うモデル化の方法について論じる．従来の

待ち行列理論ではあまり意識されていない方法であるが，実際には形を変えて使われてきたものである．このモデルを意識的に使うことにより，モデルの解析が数学的に簡単になり，計算の見通しがよくなることを示す．数学的表現が多く抽象的でわかりにくい部分もあるが，内容は簡単であり，一度この考え方に慣れると，直感的な計算を厳密な計算に置き換え，理論を発展させることができる．

ii まえがき

本書は待ち行列理論の数理的な方法をなるべく広く扱うよう心がけたが，扱

うことができなかった分野もある．特に，最近の待ち行列理論で研究が進められ

ている確率過程の列に関する極限定理は数学的に難しいことから省いた．例え

ば，流体モデルや拡散過程モデルがこれらの極限過程として得られる．これら

は，複雑な問題を単純化する方法であり，システムの最適な運用を論じる上で重

要になりつつある．

本書の第 I部と第 II部の一部については，著者が東京理科大学理工学部情報

科学科で行った学部３年生を対象とした講義に基づいている．また第 II部の主

要な部分は同学科の大学院における講義を発展させたものとなっている．なお，

内容の理解を確認するためにすべての章に演習問題を付け，解答を著者のホーム

ページに掲載した．アドレスは以下の通りである．

http://queue3.is.noda.tus.ac.jp/miyazawa/jbook/

本書は学部でも大学院でも，また，単に待ち行列に興味がある方にも読んでいた

だけるように心がけた．間口を広くした分，内容に無理があるところがあるかも

しれない．読者の批判を仰ぎたい．

最後に，本書を執筆する際に有益な助言をいただくと共に，長い間温かく見

守っていただいた牧野書店の牧野末喜氏に心から感謝したい．

2006年 2月 著者しるす

目 次

まえがき i

第 I部 待ち行列の問題 1

第 1章 待ち行列の目的 3

1.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 待ちの発生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 公平なサービスとは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 割り込み型と優先権付きサービス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 サービス規律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 性能評価とモデリング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

　　　演習問題 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

第 2章 リトルの公式と保存則 19

2.1 リトルの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 安定性と平衡状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 リトルの公式の拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

　　　演習問題 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

第 3章 待ち行列ネットワークの基礎 33

3.1 単一ノードモデルとネットワークモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 開放型ネットワークの到着率とトラヒック方程式 . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 閉鎖型ネットワークの場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 ノードの相互干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

　　　演習問題 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

第 4章 スケジューリングと計算モデル 43

4.1 スケジューリング問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 ジョブショップとフローショップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 データ駆動型モデルとネットワーク算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

　　　演習問題 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iv 目次

第 II部 標準的確率モデル 55

第 5章 確率モデルとは 57

5.1 確率空間と確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 確率過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 分布と確率順序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4 客の到着と計数過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.5 ポアソン過程の必然性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.6 単一ノードモデルとケンドールの記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.7 確率的シミュレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

　　　演習問題 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

第 6章 マルコフ連鎖と再生型確率過程 89

6.1 離散時間マルコフ連鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 極限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.3 定常測度と定常分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4 一時的状態と半不変測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.5 エルゴード性と標本平均 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.6 連続時間マルコフ連鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.7 再生型確率過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

　　　演習問題 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

第 7章 マルコフ型待ち行列とその拡張 131

7.1 M/M 型待ち行列モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.2 PASTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.3 M/G/1 待ち行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.4 GI 型到着モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.5 位相型モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.6 準出生死滅過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

　　　演習問題 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

第 8章 構造可逆性とネットワークモデル 175

8.1 マルコフ連鎖の拡張と逆時間過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2 ネットワークモデルと準可逆性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.3 積形式ネットワーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.4 積形式となるための条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.5 対称サービスネットワーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.6 閉鎖型ネットワーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

目次 v

8.7 構造可逆性と状態依存ネットワーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

　　　演習問題 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

第 9章 マルコフ加法過程によるモデル化 211

9.1 マルコフ加法過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.2 レベル到達確率と占有測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.3 RG 分解とウィーナー・ホップ分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.4 反射型マルコフ加法過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.5 反射型マルコフ加法過程の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.6 マルコフ加法過程の周期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

9.7 マルコフ再生過程とマルコフ再生定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.8 定常分布の裾の減少率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.9 連続時間・実数値マルコフ加法過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

　　　演習問題 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

第 10章 各種の待ち行列モデル 249

10.1 例外的サービスモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

10.2 優先権付きサービスモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

10.3 流体待ち行列モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

　　　演習問題 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

第 III部 複数の確率測度によるモデル解析 269

第 11章 計数過程とパルム分布 271

11.1 複数の確率測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

11.2 点過程とずらしの作用素群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

11.3 定常点過程とパルム分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11.4 時間平均と事象平均 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11.5 詳細パルム分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

　　　演習問題 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

第 12章 率保存則とその応用 293

12.1 微分型率保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

12.2 観測時点が異なる分布間の関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

12.3 区分確定マルコフ過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

12.4 定常分布と率保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

12.5 定常分布とコルモゴロフの微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

vi 目次

12.6 RGSMP の定常分布と積分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

　　　演習問題 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

付録 321

A 位相空間とベクトル空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

B 測度とランダム測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

C 凸集合と凸関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

あとがき 331

参考文献 334

索引 337

第I部

待ち行列の問題

概要

第 I部では，待ち行列とはどのようなもので，何が問題とされるかについて説

明する．数学だけでは説明できない問題の本質的な部分を論じるために，計算は

基本的に四則演算だけに限定する．基本的にと断っているのは，極限操作を使う

部分があるためである．平均や分散などの考えを除き，確率・統計について知ら

なくても理解できるように書いた．第 I部は待ち行列理論の目標を理解するため

に設けられたものであり，第 II部を読む前に是非読んで頂きたい．なお，待ち

行列の問題を知っていて，数学的な問題にのみ興味のある読者は第 II部から読

んでいただいても結構である．

引用について

本書では，煩雑さを避けるために，式番号では章番号を省いた．しかし，例，

定義，補題，定理，系などの項目は章をまたいで引用することも多いので，例

1.2.1のように，章番号.節番号.項目番号を付けた．また，節を引用する際には，

章番号.節番号により表す．例えば，1.2節は第 1章の第 2節である．

第 1 章

待ち行列の目的

1.1 はじめに

待ち行列とは文字通り待たされる現象である．これは 1990年代の半ばにあるアジアの国際空港で経験したことであるが，出国するためのパスポート検査窓口の前に乗客があふれていた．そこへ後から来た乗客が乗り遅れるので先に通してくれと次々に割り込んでくる．すさまじい光景であった．これも待ち行列であるが，極端な例である．しかし，待ち行列の問題を考える上で示唆に富んでいる．待ち行列は経済現象に似て極めて人間的な営みである．共通のルールを認め，尊重しないと普通の待ち行列はできない．待ち行列において待ち時間は損失であり，待ち行列に参加する人は待ち時間を最小にしようと行動する．時間は経済における損失と違い借りたり貯めたりすることができない．これらの点は根本的に異なるが，無秩序が全体の利益にならないこと，公平さが求められること，不特定多数の人を対象としていること，ランダムな，すなわち，前もって予測できない要因が含まれることなど経済現象と似ている点も多い．経済は私たちの生活に直結するものであり，古代から現代に至るまで経済は

政治の中心課題であり，実践と研究が積み重ねられてきた．しかし，経済は貨幣という数量化されたものを扱うにもかかわらず，経済現象を数理的に解明しようとする研究は歴史が比較的浅い．ましてや，ランダムな要因を数理的に扱う経済学の本格的研究は，数理ファイナンスという分野で比較的最近に始まったばかりである．これに比べ，待ち行列の研究は 1910年代に電話交換機の問題に端を発

索 引

A～Z

ηn-定常 273

ηn に連動 273

G/G/1 モデル 278, 282, 289

G/G/c/k 83

GI/G/1 待ち行列 152

GI/G/1 形式モデル 230

GI/M/1 待ち行列 149

GI/M/1 形式モデル 233

GSMP 305

Hausdorff 空間 323

M/G/1 139

M/G/1 形式モデル 234

M/M 型モデル 131

M/M/1 131

M/M/c 135

MX/G/1 147

NBUE 型分布 300

NWUE 301

OD 34

PASTA 137, 297

PERT 44

PH/PH/1 164

QoS 15

RGSMP 306

RG (R-matrix G-matrix) 分解 219

σ-集合体 58

θt-定常 273

θt に連動 275, 277

あ　行アーランの呼損式 137

アーラン分布 73

安全側の評価 145

安定 25

安定条件 25

イェンセン (Jensen) の不等式 72

位相型— 再生過程 158

— 分布 156

— 待ち行列 164

— モデル 155

位相空間 321

位相ベクトル空間 324

一時的 92

一様化 119

一様分布 62

一般化セミマルコフ過程 305

ウィーナー・ホップ (Wiener-Hopf) 分解 223

埋め込み時点マルコフ連鎖 116

エルゴード (ergod) 定理 287

エルゴード的 109, 122, 287

遅れのある再生型確率過程 124

か　行開核 321

開集合 321

開放型 182

開放型待ち行列ネットワーク 33, 187

可逆 179

拡張 M/G/1 待ち行列 147

拡張された推移率 176

確定分布 72

確定モデル 16

確率 59

— 過程 66

— 行列 108

— 空間 59

— 順序 70

338 索 引

— 測度 58

— ベクトル 97

— 変数 59, 60

— モデル 4, 16, 57

可測関数 60

可測空間 60

稼働期間 145

稼働サイト 305

可能なサービス処理量 26

可分 322

加法過程 75

加法成分の周期 238

危険側の評価 145

期待値 63

基本近傍系 322

基本再生定理 95

既約 92

客 4

逆変換公式 282

吸収的 92

境界 303

強マルコフ性 112

行列幾何形式 172, 231

行列母関数 213

局所平衡方程式 318

距離 323

近傍 322

区分確定マルコフ過程 304

クロネッカー積 (Kronecker product) 159

計数過程 75

計数時刻 275

系滞在時間 10

経路 33

経路選択 181

ケンドールの記号 83

格子型分布 77

後着順サービス 9

交通流 24

工程 43

コルモゴロフの— 後ろ向き微分方程式 117

— 微分方程式 313

— 前向き微分方程式 118

混合分布 73

コンパクト集合 321

さ　行サービス

— 位置モデル 13

— 規律 13

— 資源 13

— 品質 15

— 方法 4, 12

— 要求量 11, 195

サービス位置モデル 196

再帰的 92

サイクル公式 282

正再帰的 92

再生— 型確率過程 124

— 過程 76

— 関数 97

— 方程式 97

最大を和とする (max-plus) 算法 51

サイト 305

再入力ネットワーク 39

再配置型一般化セミマルコフ過程 306

作用素付き点過程 290

仕事量 11, 195

事象 58

指数行列 119

指数分布 62

自然なずらしの作用素 273

時分割サービス 10

ジャクソンネットワーク 183

周期 92

集団移動型ネットワーク 201

集団退去 209

集団到着 M/G/1 待ち行列 147

終端ノード 194

出生死滅過程 122

索 引 339

準可逆 185

準出生死滅過程 166

純累積流量 257

条件付き確率 66

条件付き期待値 66, 67

詳細パルム分布 291

状態 67

状態空間 67

ジョブショップ 45

ジョンソンのルール 45

新起動サイト 306

シンク 52

推移確率 90

— 行列 90

推移図 91

推移率行列 117

スカラー 324

スケジュール 44

ずらしの作用素群 272

スループット 16, 38, 200

生成作用素 307

正則 115

正方向マルコフ加法過程 240

積形式解 184

積分解可能 316

積率母関数 64

設定時間 249

セミマルコフ過程 304

線型— トラヒック方程式 204

— ネットワーク 204

— 半順序 69

センサー (censor) 過程 98

全順序 69

選択率データ 34

先着順サービス 7

占有測度 98

占有測度母関数行列 215

相互干渉 38

双対

— 過程 203, 221

— システム 186

— マルコフ加法過程 221

ソース 52

測度ベクトル 97

損失モデル 136

損失率 24

た　行退去率 16

滞在時間 10

対称サービス 197

大数の法則 69

滞留量過程 257

たたみ込み 95

単一ノード待ち行列 83

単一ノードモデル 33

単純 79

— 一般化セミマルコフ過程 307

— 化された点過程 291

— 点過程 275, 326

— マルコフランダムウォーク 213

— ランダムウォーク 90

単調凸順序 70

中心極限定理 69

超指数分布 73

超平面 325

直接リーマン積分可能 126

詰め込みルール 14

定義関数 21, 63

定常— 確率過程 68

— 確率ベクトル 120

— 性 79

— 測度 97

— 測度ベクトル 120

— 点過程 275

— 分布 97

— 分布の裾の減少率 265

— 方程式 97

340 索 引

データ駆動型モデル 48

点過程 275, 326

到達可能 91, 119

到達時刻 214

到着率 16, 19, 76

トークン 52

特性関数 64

独立 59, 63

独立増分 79

凸関数 70, 329

凸集合 327

凸順序 70

トラヒック方程式 35

トラヒック密度 24

な　行内積 324

内部推移 181

二項分布 61

入力密度 24

ネットワーク 33

ノード型待ち行列 180

残り寿命量 305

は　行背後過程 163, 166

爆発的 115

発火 52

バッファー 257

パルム（Palm）分布 280

反射型マルコフ加法過程 224

半順序 69

半不変測度（subinvariant measure） 104

半不変ベクトル 106

非格子型分布 77

非周期的 92

左シフト 14

左微分係数 330

微分型率保存則 296

標準的ノード 194

標本 57

— 関数 67

— 空間 16

— 標本空間 57

— 平均 68

比率行列 170, 231

非割り込み 12, 251

フォスター (Foster) の定理 110

部分空間 324

不変 319

不変な σ-集合体 286

不変ベクトル 106

負方向マルコフ加法過程 240

ブラックウエル (Brackwell) の再生定理 77

フローショップ 45

プロジェクト 44

プロセッサーシェアリング 12

分散 64

分布 60

分布関数 60

平均（確定モデル）— 応答時間 12

— 系内人数 16, 19

— 滞在時間 16, 19

— 待ち時間 7, 16

平衡状態 27

平衡方程式 98

閉鎖型待ち行列ネットワーク 37, 199

閉集合 92, 321

閉包 321

ベクトル空間 323

ペトリネット 52

ペロン・フロベニウス (Perron-Frobenius) の定理 244

ポアソン— 過程 78

— 分布 61

— 方程式 168

母関数 64

ボトルネック 34, 41

索 引 341

ボトルネックノード 41

ポラチェック・ヒンチン（Pollaczeck-Khinchine）の公式 142, 302

ボレル集合体 60, 323

ま　行マーク付き点過程 277

マクロ状態 305

待ち 4

待ち行列ネットワーク 33

待ち時間 4

窓口 4

マルコフ— 型待ち行列 131

— 加法過程 212

— 計数過程 163

— 再生過程 241, 304

— 再生方程式 242

— 時刻 112

— 到着過程 163

— 変調ポアソン過程 163

— 変調流体待ち行列 261

— 連鎖 89

マルチンゲール 67

右シフト 14

右微分係数 329

無記憶性 84

モーメント 64

や　行有界収束定理 65

ユークリッド空間 324

ユークリッドノルム 324

有限回線流体モデル 259

有限測度 326

有向グラフ 52

優先権付きサービス 12, 251

優先サービス 251

ら　行ラプラス変換 65

ランダム 3

— ウォーク 103

— 測度 275, 326

離散位相 323

離散型加法過程 212

離散時間— 確率過程 67

— 再生過程 212

— ジャクソンネットワーク 205

— 準出生死滅過程 167, 230

— マルコフ過程 152

— マルコフ連鎖 89

離散事象システム 52

離散状態ネットワーク過程 182

率行列 117

率保存則 296

リトルの公式 20

リヤプノフ (Lyapunov) 関数 111

流体近似モデル 35

流体待ち行列 257

リンドレー（Lindley）の積分方程式 154

ルベーグ・スティルチェス積分 64

例外的サービスモデル 249

零再帰的 92

劣確率行列 108

劣勾配 (subgradient) 330

レベル 212

レベル過程 166

連続 322

連続時間— 確率過程 66

— 実数値マルコフ加法過程 247

— マルコフ連鎖 114

連動する 273

わ　行割り込み

— 型 10, 12

— 再開型 251

— 新規やり直し型 251