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/ 라플라스 변환 공식들
/ 라플라스 변환의 응용
/ 라플라스 변환 개요
01 라플라스 변환이란?
프랑스 수학자, 물리학자, 천문학자
Laplace, Pierre Simon Marquis de,
1749 ~1827
시간함수, 𝑡로 구성된 미분방정식 𝑓(𝑡)를 치환함수(주파수함수, 복소함수), 𝑠로 변환시킨 대수방정식, 𝐹(𝑠)로 변화시켜 공학물음의 해를 구하는 풀이법
01 라플라스 변환이란?
Laplace 변환식의 이용으로 선형미분방정식을 대수방정식으로
변환됨으로 미분방정식 해의 구하기를 용이하게 함
라플라스 변환의 이점
Laplace 변환의 적용공식은 공학적 복잡핚 연산식도
단순핚 대수방정식으로 변환시킴으로써, 폭넓은 공학적
적용 범위와 함께 간편핚 풀이에 따른 해를 구하는
공업수학의 강력핚 도구로 활용핛 수 있음
02 Laplace 변환
𝑡영역의 함수, 𝑓(𝑡)를 𝑠영역의 함수 𝐹(𝑠)로 변환기구를 사용하여 변환하는 것
Laplace 변환은 일종의 연산자법으로, 스위치함수의 싞호처리에 적용되는
Heaviside 연산자법의 발전을 가능하게 함
Laplace 변환
즉, 𝑓 𝑡 𝐹(𝑠)
𝑔(𝑡) 𝐺(𝑠)
(𝑡) 𝐻(𝑠)
Laplace 변환기구
정변환
역변환
𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∞
0 = 𝑓(𝑡) = 𝑓 = 𝐹(𝑠)
02 Laplace 변환
Laplace 변환
𝑓 𝑡 ∙ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
= 𝐹 𝑆 , 𝑆 > 0
Inverse Laplace 변환
−1 𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡)
03 Laplace 변환의 원리
라플라스 변환의 선형성 1
임의 함수, 𝑓(𝑡)와 𝑔(𝑡)의 Laplace 변환은, {𝑎𝑓(𝑡)+𝑏𝑔(𝑡)}=𝑎 {𝑓(𝑡)}+𝑏 {𝑓(𝑡)} =𝑎∙𝐹(𝑠)+𝑏∙𝐺(𝑠)
(여기서 𝑎 , 𝑏는 상수)
proof 𝒂𝒇 𝒕 + 𝒃𝒈(𝒕) = 𝒆−𝒔𝒕 𝒂𝒇 𝒕 + 𝒃𝒈(𝒕) 𝒅𝒕
∞
𝟎
= 𝒂 𝒆−𝒔𝒕𝒇 𝒕 𝒅𝒕 + 𝒃 𝒆−𝒔𝒕𝒈(𝒕)𝒅𝒕∞
𝟎
∞
𝟎
= 𝒂 𝒇(𝒕) + 𝒃 𝒇(𝒕)
03 Laplace 변환의 원리
𝒔- 이동(shifting), 이동정리(Ⅰ) 2
𝒇(𝒕)의 Laplace 변환으로 𝑭(𝒔)면, 𝒆𝒂𝒕 ∙ 𝒇(𝒕) 는 𝑭(𝒔 − 𝒂)가 됨
(여기서 𝒔 − 𝒂 > 𝟎)
proof 𝑭 𝒔 − 𝒂 = 𝒆− 𝒔−𝒂 𝒕 ∙ 𝒇 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= 𝒆−𝒔𝒕 ∙ 𝒆𝒂𝒕 ∙ 𝒇 𝒕 𝒅𝒕∞
𝟎
= 𝒆𝒂𝒕 ∙ 𝒇(𝒕)
𝒆𝒂𝒕 ∙ 𝒇(𝒕) = 𝑭(𝒔 − 𝒂)
𝒆𝒂𝒕 ∙ 𝒇 𝒕 = −𝟏 𝑭(𝒔 − 𝒂)
03 Laplace 변환의 원리
𝒔- 이동(shifting), 이동정리(Ⅰ) 2
)()()()( ftfftf
[Table. Some functions 𝒇(𝒕) and their Laplace transform (𝒇)]
ase
s
apositiveat
s
nnt
st
sst
ss
at
a
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n
n
1
)1()(
!),1,0(
!2
!11
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1
3
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22
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)(sin
)(cos
sinh
cosh
sin
cos
was
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was
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aat
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sat
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wwt
ws
swt
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03 Laplace 변환의 원리
𝒕- 이동(shifting), 이동정리(Ⅱ) 3
단위계단함수(unit step function, Heaviside 함수), 𝒖(𝒕 − 𝒂)
𝒖 𝒕 − 𝒂 = 𝟎 (𝒕 < 𝒂)
𝟏 (𝒕 > 𝒂)∶ (𝐚 ≥ 𝟎)
1
0 t
)(tf
1
0 t
)(tf
a
)() tui )() atuii
* Oliver Heaviside, 1850~1925, 영국, 전기공학자
03 Laplace 변환의 원리
𝒕- 이동(shifting), 이동정리(Ⅱ) 3
𝒖(𝒕 − 𝒂) = 𝒆−𝒔𝒕 ∙ 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒅𝒕∞
𝟎
= 𝒆−𝒔𝒕 ∙∞
𝒂
𝟏𝒅𝒕
= −𝒆−𝒔𝒕
𝒔
∞
𝒕 = 𝒂
= 𝒆−𝒂𝒔
𝒔
𝒇(𝒕)의 Laplace 변환으로 𝑭(𝒔)면,
𝒇 𝒕 = 𝒇 𝒕 − 𝒂 ∙ 𝒖 𝒕 − 𝒂 = 𝟎 (𝒕 < 𝒂)
𝒇 𝒕 − 𝒂 (𝒕 > 𝒂)
= 𝒆−𝒂𝒔 ∙ 𝑭(𝒔),
𝒇(𝒕 − 𝒂) ∙ 𝒖(𝒕 − 𝒂) = 𝒆−𝒂𝒔 ∙ 𝑭(𝒔)
𝒇 𝒕 − 𝒂 ∙ 𝒖 𝒕 − 𝒂 = −𝟏 𝒆−𝒂𝒔 ∙ 𝑭(𝒔)
03 Laplace 변환의 원리
𝒕- 이동(shifting), 이동정리(Ⅱ) 3
proof 𝒆−𝒂𝒔∙ 𝑭(𝒔) = 𝒆−𝒂𝒔 𝒆−𝒔𝝉 ∙∞
𝟎𝒇(𝝉)𝒅𝝉
= 𝒆−𝒔(𝝉+𝒂) ∙ 𝒇(𝝉)∞
𝟎𝒅𝝉
여기서, 𝝉 + 𝒂 = 𝒕 치환, 𝝉 = 𝒕 − 𝒂,
𝒅𝝉 = 𝒅𝒕
= 𝒆−𝒔𝒕 ∙ 𝒇 𝒕 − 𝒂 𝒅𝒕∞
𝒂, 𝒇 𝒕 − 𝒂 ∙ 𝒖 𝒕 − 𝒂 =
𝒇 𝒕 − 𝒂 𝒕 > 𝒂 𝟎 𝒕 < 𝒂
𝒆−𝒂𝒔 ∙ 𝐅(𝐬) = 𝒆−𝒔𝒕 ∙ 𝒇 𝒕 − 𝒂 ∙ 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒅𝒕∞
𝟎
= 𝒆−𝒔𝒕 ∙ 𝒇 (𝒕)𝒅𝒕∞
𝟎
𝟎 ≤ 𝝉 ≤ ∞
𝒂 ≤ 𝒕 ≤ ∞
03 Laplace 변환의 원리
Dirac delta 함수 / 단위충격함수(Unit impulse function) 4
아주 짧은 시간 동안 큰 힘(또는 전압 등)이 가해지는 것과 같은 충격 조건하
모델에서의 문제에 사용되는 함수를 Dirac 𝛿함수라 함
𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒂 + 𝒌 시간 동안
작용되는 충격시간 동안
적분값 𝑰𝒌을 역학에서는
Impulse라 하고,
전기회로에서는
기전력(electromotive force)이라 함
𝒇𝒌 𝒕 − 𝒂 =
𝟏
𝒌 (𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒂 + 𝒌)
𝟎 그외
𝑰𝒌 = 𝒇𝒌(𝒕 − 𝒂)∞
𝟎𝒅𝒕 =
𝟏
𝒌𝒂𝒕
𝒂+𝒌
𝒂= 𝟏
𝟏
𝒌
𝒂 𝒂 + 𝒌
면적 : 1
03 Laplace 변환의 원리
Dirac delta 함수 / 단위충격함수(Unit impulse function) 4
이때 시간변수, 𝒌 → 𝟎일 때
즉, 𝐥𝐢𝐦𝒌→𝟎
𝒇𝒌(𝒕 − 𝒂) = 𝜹(𝒕 − 𝒂)
𝜹(𝒕 − 𝒂)를 Dirac delta function or
Unit impulse function이라 함
𝜹 𝒕 − 𝒂 = ∞ (𝒕 = 𝒂)
𝟎 그외 and 𝜹(𝒕 − 𝒂)𝒅𝒕
∞
𝟎= 𝟏
이 순간 충격현상을 Laplace 변환에 적용하면,
* Paul Dirac (1902~1984), 영국, 물리학자, 1993 노벨상
Erwin Schrödinger (1887~1961)과 공동수상
𝜹(𝒕 − 𝒂) = 𝒆−𝒂𝒔
03 Laplace 변환의 원리
Dirac delta 함수 / 단위충격함수(Unit impulse function) 4
𝒇𝒌 𝒕 − 𝒂 =𝟏
𝒌𝒖 𝒕 − 𝒂 − 𝒖 𝒕 − (𝒂 + 𝒌)
*𝒇𝒌 𝒕 − 𝒂 + =𝟏
𝒌𝒔𝒆−𝒂𝒔 − 𝒆− 𝒂+𝒌 𝒔
= 𝒆−𝒂𝒔 ∙𝟏−𝒆−𝒌𝒔
𝒌𝒔
𝟏′𝑯ô𝐩𝐢𝐭𝐚𝐥 법칙에 의하여 분수함수의 분자, 분모를 미분하면,
; 𝒔𝒆−𝒌𝒔
𝒔, 𝒍𝒊𝒎
𝒔→𝟎𝒆−𝒌𝒔 = 𝟏
따라서, 𝐥𝐢𝐦𝒌→𝟎
𝒇𝒌(𝒕 − 𝒂) = 𝜹(𝒕 − 𝒂) = 𝒆−𝒂𝒔
sol
03 Laplace 변환의 원리
Unit step function / 단위계단함수 5 problem
2,0
21,2
10,)(
t
tt
tttf)(tf
t1
1 0 2
)1(111
221112111
21)2(
111
2]11
[11
0)2(
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2
2
2
22
2
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2
2
2
22
2
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2
12
21
02
2
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ssssssss
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ststststst
ststst
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ess
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es
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ees
es
es
dtedtes
tes
dtes
tes
dtedttedtte
dttfefsol
0
sol
03 Laplace 변환의 원리
problem
tete
ss
s
ss
s
s
s
s
ssol
tt
sin2
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1)2
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{}
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{)
2
1
2
1
22
22
22
-1 -1
-1
-1 -1
𝑭(𝒔) = 𝒔
(𝒔 + 𝟏
𝟐)𝟐 + 𝟏
, 𝒇(𝒕)
sol
Unit step function / 단위계단함수 5