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라플라스 변환


1. 라플라스 변환의 정의

임의의 시간함수 f(t)에 대한 라플라스 변환의 정의는 다음과 같다.


2. 간단한 함수의 라플라스 변환


3. 라플라스 변환에 사용되는 정리


4. 간단한 파형의 라플라스 변환


James W. Nilsson, et. al., Electric Circuits 9/e, Pearson Education, 2011

4. 간단한 파형의 라플라스 변환


5. 라플라스 변환에 의한 미분 방정식의 해

다음 미분 방정식의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구해보자.


5. 라플라스 변환에 의한 미분 방정식의 해


6. 과도현상의 해석

직류 RL 직렬회로의 해석

i(0)=0




00 i 일 때,

EdtdiLRi

sEisILRI 0

ssLiELi

sEIsLR 00

sLRssLiEI

0

LRss

LARsBA

LRs

BsA

LRss

LEsi

sLRssLiEI

00

REiB

REA

0

LRsR

EisR

EI

101

tLRt

LRt

LR

eieREe

REi

REti

010




tLR

eREi

REti

0



직류 RC 직렬회로의 해석

vC(0)=0




i(t)에 대해서 직접 풀어보면,




vC(t)에 대해서 풀어보면,



직류 RLC 직렬회로의 해석




i(0)나 vC(0)가 0이어도, i’(0)를 쉽게 결정하기 어려움.

1di tRi t L i t dt E

dt C

미분방정식을 이용한 경우와 같은 결과

1차 미분과 1차 적분만 포함한 다음 식을 사용하면,

10I s ERI s L sI s i

C s s 1 0EI s R sL i L

sC s

2 1 0R EI s s s i sL LC L

2

0

1

Ei sLI s Rs s

L LC

i’(0) 없이 풀이 가능.




다음 미분 방정식의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구해보자.

96 5 128 6

s sF s

s s s

6 8120 48 72t tf t e e

1) 서로 다른 실근

2) 서로 다른 복소근

2

100 36 6 25

sF s

s s s

6 312 20 cos 4 53.13t tf t e e t

3) 다중 실근

2

24 7 1

1s sF ss s

1 3 2t tf t e te




E=160V

R=4.8Ω

L=4H

C=0.25F

vC(0)=0, i(0)=0

i(t)를 구하시오.

2

0

1

Ei sLI s Rs s

L LC

2 1

ELI s Rs s

L LC

E/L=40

R/L=1.2

1/LC=1.0

2

401.2 1.0

400.6 0.8 0.6 0.8

25 90 25 900.6 0.8 0.6 0.8

I ss s

s j s j

s j s j

0.650 cos 0.8 90ti t e t



간단한 교류회로의 해석

v(t)=Emsinωt

i(0)=0




부호의 통일을 위해, 1tan LR




2 2 2 2 2 2

sin sinRtm mLE Ei t e t

R L R L

13장과 같은 결과


7. 일반화된 임피던스와 라플라스 변환

초기값이 0인 경우, 미분방정식을 거치지 않고 바로 라플라스 변환된 방정식 구하기

R R

L sL

C 1/sC




초기값이 0인 교류회로에도 적용 가능하다.

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