equações algébricas e transcendentes - isolamento de raízes - @professorenan

Equações Algébricase

Transcendentes

Equações Algébricase

Transcendentes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zero Reais de Funções ReaisZero Reais de Funções Reais

O que é uma Equação Algébrica?



Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0.


Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x) .



As incógnitas são submetidas apenas às chamadas operações algébricas, ou seja, soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação, utilizando letras e números.

Por exemplo:

Um caso particular deste tipo de equações são as equações polinomiais.


O grau do polinômio, será também o grau da equação.

Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau.



Propriedades de uma equação algébrica


• Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes.

Exemplo:

A equação x3 - x = 0 possui 3 raízes, a saber:

x = 0 ou x = 1 ou x = -1.

Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.




• Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b.

Exemplo:

Para abaixar o grau de uma equação, divide-se P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini.

Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.




• Se o número complexo (a + bi) for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado (a – bi) também será raiz.

Exemplo:

Qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i?

Ora, por essa propriedade, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, pela primeira propriedade, conclui-se que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui, no mínimo, 5 raízes.




• Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k.

Exemplo:

A equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0, ou seja, três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).

A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos, então, que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.




• Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).

Exemplo:

O número 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero.




• Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .

Exemplo:

A equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas.

A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!




• Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada :

ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0

Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever:

(x+1).(x-2).(x-53)= 0 , que desenvolvida fica :

x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0

O que é uma Equação Transcendente?



Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares.



De modo geral, uma equação transcendente não possui uma solução exata expressa através de funções conhecidas, sendo necessário recorrer ao cálculo numérico para obter uma solução.



As equações transcendentes mais comuns que aparecem são:


• Equações logarítmicas com combinações do logaritmo e da incógnita.

• Equações trigonométricas em que a incógnita aparece tanto como argumento de uma função trigonométrica quanto independente. Ex.: Equação de Kepler, x - a sin(x) = b.

• Equações exponenciais em que a incógnita e sua exponencial são somadas. Ex: na modelagem de um circuito elétrico, um diodo e uma resistência.


Exemplos de Equações Transcendentes:


𝒆𝒙

ln 𝒙sin 𝒙


Exemplos de Equações Transcendentes:


Zeros de Funções Reais

1. Introdução

Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte circuito:


Kirchoff’s Law


1. Introdução


Estruturas Isostáticas


1. Introdução



1. Introdução

Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0.



1. Introdução




Como obter raízes reais de uma equação qualquer?


1. Introdução


Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às

equações polinomiais do segundo grau, existem fórmulas explicitas

que nos mostram as raízes em função dos coeficientes (Bháskara,

por exemplo).

No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no

caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se

achar zeros exatamente.


1. Introdução


A ideia central destes métodos numéricos é partir

de uma aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde

imaginamos a raiz estar contida) e em seguida refinar essa

aproximação através de um processo iterativo.


1. Introdução


Por isso, temos que encontrar aproximações para esses zeros

(soluções numéricas), mas isto não é uma limitação muito séria, pois,

com os métodos que veremos, vamos conseguir encontrar os zeros

de uma função com qualquer precisão prefixada.


1. Introdução


Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou

transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:

1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o

menor possível, que contenha a raiz;

2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até

o grau de exatidão requerido pelo problema.

Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da

seguinte maneira:

3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções

disponíveis em algumas calculadoras ou softwares

matemáticos.


1. Introdução



Fase I: Isolamento das Raízes


Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função

f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende

fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica,

usamos frequentemente o Teorema de Bolzano:

Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos deste intervalo, isto é, f ( a ) . f ( b ) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de f(x), (x = ), no intervalo [ a ; b ].

Pois (+)×(+) → (+), (-)×(-) → (+); (+)×(-) ou (-)×(+) → (-)




Graficamente, temos:




Se f(a) . f(b) > 0, pode-se ter outras situações no

intervalo estudado, como as mostradas abaixo:




Observação:

Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x)

existir, preservando sinal dentro de (a, b), então este

intervalo contém um único zero de f(x).

Graficamente, temos:




Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados

anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar

as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos

intervalos em que f(x) mudou de sinal.




Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são

e estão as raízes da função: 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3

Primeira análise: Construindo uma tabela de valores

para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:

𝜉1 𝜉2 𝜉3






Assim, f(x) é contínua para .

= [-5, -3]

= [0, 1]

= [2, 3]






Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar

que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim,

localizamos todas as raízes de f(x)=0.

Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua

derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista

sua trivialidade. Veja:


Fase I: Análise Gráfica


Pode-se utilizar um dos seguintes processos:





e estão as raízes da função:

𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3


Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i):


𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3


Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):


𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−9𝑥+3






-2





e estão as raízes da função (Método ii):

𝑓 (𝑥 )=𝑒𝑥− sin 𝑥−2

g (𝑥 )=h(𝑥 )

g (𝑥 )−h (𝑥 )=0𝑔 (𝑥 )=𝑒𝑥

h (𝑥 )=sin 𝑥+2

𝑒𝑥=sin 𝑥+2






𝑓 (𝑥 )=2𝑥 ²−cos 𝑥−1






g (𝑥 )=h(𝑥 )

g (𝑥 )−h (𝑥 )=0𝑔 (𝑥 )=2 𝑥 ²

h (𝑥 )=𝑐𝑜𝑠 𝑥+1

2 𝑥 ²=𝑐𝑜𝑠 𝑥+1

𝑓 (𝑥 )=2𝑥 ²−cos 𝑥−1






𝐼 1 𝐼 2

𝜉1 𝜉2






𝑓 (𝑥 )=2𝑒𝑥+ ln 𝑥






g (𝑥 )=h(𝑥 )

g (𝑥 )+h (𝑥 )=0

h (𝑥 )=− ln𝑥

2𝑒𝑥=− ln 𝑥

𝑓 (𝑥 )=2𝑒𝑥+ ln 𝑥






𝜉1

𝐼 1

Exercícios


Exercícios


1) Determinar quantas e em quais intervalos são e estão

as raízes das funções abaixo:

𝑑¿ 𝑓 (𝑥 )=𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑒 ¿ 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³+2 𝑥 ²−𝑐𝑜𝑠𝑥−1

c ¿ 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−2𝑥+1

b¿ 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ²−3 𝑥

a ¿ 𝑓 (𝑥 )=𝑥 ³−sin 𝑥

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