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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN NO. 1

Semestre 2018-B Departamento de Formación Básica

Nombre: GR-CD: GR-CP: Calificación:

1. Encuentre la expansión en series de Fourier de la función que se muestra en la figura:

II I I6 7 8 9 10

1

(2.5pt)

2. A partir del desarrollo en series de Fourier de cosenos de la función f definida por:

f : [0, π] −→ R

x 7−→ x2,

calcule la suma de la serie:∞

∑n=1

(−1)n

n2 .

Hint: Halle el desarrollo en serie de Fourier cosenos de f , y evalúe f (x = 0). (2.5pt)

3. Determine la representación en integral de Fourier de la función:

f (x) =

0, si −∞ < x ≤ −π,

−1, si − π < x ≤ 0,

1, si 0 < x ≤ π,

0, si π < x ≤ ∞,

y a partir de esta, evalúe la integral impropia:ˆ ∞

0

1− cos(wπ)

wsen(wx)dw.

(2.5pt)

4. Utilice la representación en integral de Fourier de senos de la función:

f (x) = e−x sen(x), x > 0

para evaluar la integral impropia: ˆ ∞

0

w sen(π2 w)

w4 + 4dw.

(2.5pt)

Hojas entregadas: 1 2 3 4 Firma:

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1 SERIES DE FOURIER

Sea f : [−L, L] → R una función periódica con periodo p. La expansión en series de Fourier de f (x)está dada por:

f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

(am cos

(mπxL

)+ bm sen

(mπxL

)), −L ≤ x ≤ L,

donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:

a0 =1L

ˆ L

−Lf (x) dx, am =

1L

ˆ L

−Lf (x) cos

(mπxL

)dx, bm =

1L

ˆ L

−Lf (x) sen

(mπxL

)dx.

2 INTEGRAL DE FOURIER

Sea f : I ⊆ R→ R una función no necesariamente periódica y absolutamente integrable. La represen-tación en integral de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =ˆ ∞

0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw,

para cada w ≥ 0. Donde A(w) y B(w) están dados por:

A(w) =1π

ˆ ∞

−∞f (v) cos(wv) dv y B(w) =

1π

ˆ ∞

−∞f (v) sen(wv) dv.

3 INTEGRALES´x cos(kx)dx = x sen(kx)

k + cos(kx)k2 + C,´

x2 cos(kx)dx = x2 sen(kx)k − 2 sen(kx)

k3 + 2x cos(kx)k2 + C,

´e−x cos(kx)dx =

e−x(

k sen(kx)−cos(kx))

k2+1 + C, donde k y C son constantes.

4 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

sen(α) sen(β) = 12 [cos(α− β)− cos(α + β)].

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Nombre:

1. Considere una varilla metálica de longitud L = π, constante c = 2, aislada en sus bordes (es decir, sinflujo de calor en los extremos de la varilla) y cuyo perfil de temperatura al tiempo t = 0 está descritopor la función:

f (x) = cos(3x) +23

cos(4x) +35

cos(5x)

Si u(x, t) es la temperatura de la varilla:

a) Plantee la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales que describen este problema.

b) Utilice el método de separación de variables para determinar las EDO’s asociadas. Llame k a laconstante arbitraria.

c) Muestre que para k = 0 la solución es constante, que para k > 0 la solución es trivial y que parak < 0 es no-trivial y para este último caso, encuentre una expresión que describa la temperatura dela varilla u(x, t) para todo x ∈ [0, π] y t ≥ 0.

d) Determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a u(x, t). (1.5pt)

2. Considere una lámina rectangular metálica de base L y altura M. Los bordes inferior y derecho de lalámina se mantienen a una temperatura constante de 0C, el borde superior se mantiene aislado (no hayflujo de temperatura) y la temperatura del borde izquierdo puede ser descrita por la función:

f (y) = u0 sen(

7π

2My)

, 0 ≤ y ≤ M, u0 ∈ R.

Si u es la temperatura en el interior de la lámina, determine la temperatura en el estado estacionario dela lámina u(x, y). Para esto:


b) Utilice el método de separación de variables para encontrar las EDO’s asociadas al problema, yresuélvalas (puede asumir directamente la positividad o negatividad de la constante arbitraria queaparece en ellas). Hint: Para la EDO correspondiente a X(x) puede considerarse una solución de laforma X(x) = C cosh(ρz) + D sinh(ρx). Aplique la respectiva condición inicial y exprese la cons-tante C en función de la otra constante (y de la tanh(ρx)).

c) Encuentre una expresión que describa la temperatura en el interior de la lámina, para todo x ∈ [0, L]y y ∈ [0, M] y determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a u(x, y).

(1.5pt)

3. Considere una membrana (elástica, homogénea y flexible) rectangular de base L y altura H, fija en susbordes y de constante c = 1. Si se encuentra en reposo en la posición f (x, y) = x2 + y2 y luego se suelta:


b) Utilice el método de separación de variables para determinar las 3 EDO’s asociadas al problema ysus respectivas condiciones iniciales.

c) Determine las tres constantes arbitrarias asociadas a las EDO’s del literal b)

d) No resuelva el resto del problema. (1pt)

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1 ECUACIÓN DE LAPLACE

∆u = 0,

donde u = u(x) y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.

2 ECUACIÓN DEL CALOR

ut = c2∆u,

donde u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn y c ∈ R.

3 ECUACIÓN DE LA ONDA

utt = c2∆u,


El laplaciano de u está definido como:

∆u = ux1x1 + ux2x2 + ... + uxnxn .

Por favor coloque la ETIQUETA de su CD y CP en todas las hojas de respuestas. Por ejemplo, si suprofesor de CD es Marcelo y su profesor de CP es Byron, coloque M en el recuadro de la izquierda y B enel recuadro de la derecha. Las pruebas sin esta información no serán calificadas.

ETIQUETA CD AULA PROFESORE1 GR1 RME322 (9-11) GUEVARA ESTEBANE2 GR1E RME322 (7-9) GUEVARA ESTEBANA GR2 GEOA3 (9-11) CRUZ ANIBALM GR2E GEOA3 (7-11) ARIAS MARCELO

ETIQUETA CP AULA PROFESORC1 GR1S1 RME130 AJILA CARLOSC2 GR2S1E ICB406 AJILA CARLOSL1 GR2S2E CIVLABF03 MONTOYA LEONARDOL2 GR2S5E ICB310 MONTOYA LEONARDOB GR1S1E CIVLABF02 MONTENEGRO BYRONA GR1S2 RME130 CRUZ ANIBALM GR1S2E CIVLABF02 ARIAS MARCELOE GR1S5P RME126 GUEVARA ESTEBAN

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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •PRUEBA NO. 1


Nombre: GR: Calificación:

1. a) Encuentre la parte real e imaginaria del número:(4− 4i2 + 2i

)7

+

(4 + 4i2− 2i

)7

.

(0.5pt)

b) Determine si la serie:∞

∑n=1

3n2 + 3n + 2

es convergente o divergente y si converge calcule su suma. (0.5pt)


II I I6 7 8 9 10

1

(1.5pt)

3. En cada uno de los siguientes casos, la serie de Fourier correspondiente converge hacia f (x) en todoslos puntos en donde la función f es continua. Realice el gráfico para cada caso y determine:

a) La serie de Fourier de senos de la función:

f : ]0, π[ −→ R

x 7−→ f (x) = cos(x).

(0.75pt)

b) La serie de Fourier de cosenos de la función:

f : ]0, π[ −→ R

x 7−→ f (x) = | cos(x)|.(0.75pt)

Hojas entregadas: 1 2 3 Firma:

Página 1 de 1






)7

+

(4 + 4i2− 2i

)7

.

(0.5pt)


∑n=1

3n2 + 3n + 2


Solución. (4− 4i2 + 2i

)7

+

(4 + 4i2− 2i

)7

=

(2− 2i1 + i

)7

+

(2 + 2i1− i

)7

=

(√8e−

π4 i

√2e

π4 i

)7

+

( √8e

π4 i

√2e−

π4 i

)7

=(

2e−π2

)7+(

2eπ2

)7

= 27e−7π2 + 27e

7π2

= 27(

e−7π2 + e

7π2

)= 27

(e

π2 + e

3π2

)= 27 (i + (−i)) = 0

Entonces la parte real e imaginaria son 0.


II I I6 7 8 9 10

1

(1.5pt)


Página 1 de 2

| | Privacy | Flag as objectionable(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Therefore we have that . If then and so . If then and so .

Therefore:

And so it follows that:

Now consider the partial sum:

Therefore the sequence of partial sums . Taking the limit of this sequence we have that:

Therefore .

= + =3(n + 1)(n + 2)

A(n + 1)

B(n + 2)

A(n + 2) + B(n + 1)(n + 1)(n + 2)

3 = A(n + 2) + B(n + 1) n = −2 3 = 0A − B B = −3 n = −1 3 = A + 0B A = 3

= −3(n + 1)(n + 2)

3(n + 1)

3(n + 2)

= ( − )∑n=1

∞ 1+ 3n + 2n2 ∑

n=1

∞ 3(n + 1)

3(n + 2)

nth

= ( − ) = ( − ) + ( − ) + ( − )+. . . +( − )sn ∑i=1

n 3(i + 1)

3(i + 2)

32

33

33

34

34

35

3n + 1

3n + 2

= −sn32

3n + 2

= − sn32

3n+2

= ( − ) =limn→∞

sn limn→∞

32

3n + 2

32

=∑∞n=1

3+3n+2n2

32

Telescoping Series Examples 1 - Mathonline http://mathonline.wikidot.com/telescoping-serie...

2 of 2 11/6/18, 12:46 PM




Nombre:

1. Determine la transformada de Fourier de la función definida por:

f (t) =

0, si t < −2,

−t− 2, si − 2 ≤ t < −1,

t, si − 1 ≤ t ≤ 1,

2− t, si 1 < t ≤ 2,

0, si t > 2,

A partir de:

a) La definición de transformada de Fourier. (1pt)

b) La transformada de Fourier de la segunda derivada de f (t). (1pt)

2. Considere una cuerda elástica de longitud L = 2π y c = 2 fija en ambos extremos, la cual ha sidodesplazada de su posición de equilibrio y luego soltada. Si al tiempo t = 0, la posición de la cuerdapuede ser descrita por la función:

f (x) = sen( x

2

)+

13

sen(

3x2

)+

15

sen(

5x2

),

y si la cuerda parte del reposo:

a) Plantee la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales que describen este proble-ma (asumiendo que la masa de la cuerda es despreciable, y que no existen fuerzas externas o derozamiento).

b) Utilice el método de separación de variables para encontrar una expresión que describa las vibra-ciones transversales u(x, t) que experimenta la cuerda, para todo t ≥ 0 y para 0 ≤ x ≤ L.

c) Determine explicítamente los términos no nulos de la serie infinita que define a u(x, t). Hint: Loscoeficientes de la serie pueden ser determinados directamente de las condiciones iniciales sin usarlas relaciones:

An =2L

ˆ L

0u(x, 0) sen(

nπxL

)dx, Bn =2

λnL

ˆ L

0ut(x, 0) sen(

nπxL

)dx, n = 1, 2, 3, ...

con λn = nπcL .

(2pt)

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1 TRANSFORMADA DE FOURIER

Sea f : R → R una función absolutamente integrable y contínua a trozos en cada intervalo finito, en-tonces la transformada de Fourier F f (t) de f , con t ∈ R, existe y se define como:

F f (t) = 1√2π

ˆ ∞

−∞f (t)e−iwt dt.

La transformada de Fourier de la función f y la de su segunda derivada se relacionan por:

F f ′′(t) = (iw)2F f (t).

La transformada de Fourier de la función impulso δ(t− a) se define como:

Fδ(t− a) = 1√2π

e−awi.

2 INTEGRALES´x sen(kx)dx = sen(kx)

k2 − x cos(kx)k + C,´

x cos(kx)dx = x sen(kx)k + cos(kx)

k2 + C,´xekxdx = xekx

k −ekx

k2 + C,

3 RELACIONES ÚTILES

eiθ + e−iθ = 2 cos(θ)

eiθ − e−iθ = 2i sen(θ)




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Nombre: GR-CD: GR-CP: Calificación:


II I I6 7 8 9 10

1

(2.5pt)

2. A partir del desarrollo en series de Fourier de cosenos de la función f definida por:

f : [0, π] −→ R

x 7−→ x2,

calcule la suma de la serie:∞

∑n=1

(−1)n

n2 .

Hint: Halle el desarrollo en serie de Fourier cosenos de f , y evalúe f (x = 0). (2.5pt)

3. Determine la representación en integral de Fourier de la función:

f (x) =

0, si −∞ < x ≤ −π,

−1, si − π < x ≤ 0,

1, si 0 < x ≤ π,

0, si π < x ≤ ∞,

y a partir de esta, evalúe la integral impropia:ˆ ∞

0

1− cos(wπ)

wsen(wx)dw.

(2.5pt)

4. Utilice la representación en integral de Fourier de senos de la función:

f (x) = e−x sen(x), x > 0

para evaluar la integral impropia: ˆ ∞

0

w sen(π2 w)

w4 + 4dw.

(2.5pt)

Hojas entregadas: 1 2 3 4 Firma:

Página 1 de 2




1 SERIES DE FOURIER


f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

(am cos

(mπxL

)+ bm sen

(mπxL

)), −L ≤ x ≤ L,


a0 =1L

ˆ L

−Lf (x) dx, am =

1L

ˆ L

−Lf (x) cos

(mπxL

)dx, bm =

1L

ˆ L

−Lf (x) sen

(mπxL

)dx.


Sea f : I ⊆ R→ R una función no necesariamente periódica y absolutamente integrable. La represen-tación en integral de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =ˆ ∞



A(w) =1π

ˆ ∞


1π

ˆ ∞


3 INTEGRALES´x cos(kx)dx = x sen(kx)

k + cos(kx)k2 + C,´

x2 cos(kx)dx = x2 sen(kx)k − 2 sen(kx)

k3 + 2x cos(kx)k2 + C,

´e−x cos(kx)dx =

e−x(

k sen(kx)−cos(kx))

k2+1 + C, donde k y C son constantes.

4 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

sen(α) sen(β) = 12 [cos(α− β)− cos(α + β)].

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Nombre:

1. Considere una varilla metálica de longitud L = π, constante c = 2, aislada en sus bordes (es decir, sinflujo de calor en los extremos de la varilla) y cuyo perfil de temperatura al tiempo t = 0 está descritopor la función:

f (x) = cos(3x) +23

cos(4x) +35

cos(5x)

Si u(x, t) es la temperatura de la varilla:


b) Utilice el método de separación de variables para determinar las EDO’s asociadas. Llame k a laconstante arbitraria.

c) Muestre que para k = 0 la solución es constante, que para k > 0 la solución es trivial y que parak < 0 es no-trivial y para este último caso, encuentre una expresión que describa la temperatura dela varilla u(x, t) para todo x ∈ [0, π] y t ≥ 0.

d) Determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a u(x, t). (1.5pt)

2. Considere una lámina rectangular metálica de base L y altura M. Los bordes inferior y derecho de lalámina se mantienen a una temperatura constante de 0C, el borde superior se mantiene aislado (no hayflujo de temperatura) y la temperatura del borde izquierdo puede ser descrita por la función:

f (y) = u0 sen(

7π

2My)

, 0 ≤ y ≤ M, u0 ∈ R.



b) Utilice el método de separación de variables para encontrar las EDO’s asociadas al problema, yresuélvalas (puede asumir directamente la positividad o negatividad de la constante arbitraria queaparece en ellas). Hint: Para la EDO correspondiente a X(x) puede considerarse una solución de laforma X(x) = C cosh(ρz) + D sinh(ρx). Aplique la respectiva condición inicial y exprese la cons-tante C en función de la otra constante (y de la tanh(ρx)).

c) Encuentre una expresión que describa la temperatura en el interior de la lámina, para todo x ∈ [0, L]y y ∈ [0, M] y determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a u(x, y).

(1.5pt)

3. Considere una membrana (elástica, homogénea y flexible) rectangular de base L y altura H, fija en susbordes y de constante c = 1. Si se encuentra en reposo en la posición f (x, y) = x2 + y2 y luego se suelta:


b) Utilice el método de separación de variables para determinar las 3 EDO’s asociadas al problema ysus respectivas condiciones iniciales.

c) Determine las tres constantes arbitrarias asociadas a las EDO’s del literal b)

d) No resuelva el resto del problema. (1pt)

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1 ECUACIÓN DE LAPLACE

∆u = 0,

donde u = u(x) y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.

2 ECUACIÓN DEL CALOR

ut = c2∆u,


3 ECUACIÓN DE LA ONDA

utt = c2∆u,


El laplaciano de u está definido como:

∆u = ux1x1 + ux2x2 + ... + uxnxn .




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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN FINAL


1. Hallar el desarrollo en series de Fourier de la función que se muestra en la figura: (2pt)

1

2

1 2 3 4 5 6x

y

2. a) Encontrar la transformada de Fourier de: f (t) = e−|t|, con t ∈]−∞, ∞[ y a partir de su transformadainversa estime el valor de la integral impropia: (2pt)

ˆ ∞

0

dx1 + x2

b) Utilice la definición de transformada de Fourier para demostrar la propiedad:

F f (bt) (w) =1bF f (t)

(wb

)b ∈ R

3. Considere una varilla metálica de longitud L = 1, c = 1 y cuyos extremos izquierdo y derecho seencuentran (a todo tiempo) a las temperaturas constantes T1 y T2, respectivamente. La distribución detemperatura a lo largo de la varilla al tiempo t = 0 está descrita por la función:

f (x) =T2

Lx + T1, 0 ≤ x ≤ L

Si u(x, t) es la temperatura de la varilla en cualquier punto y para todo tiempo:


b) Utilice argumentos físicos para transformar este problema con condiciones de frontera no-homogéneasen uno con condiciones homogéneas. Hint: Considere que u(x, t) puede expresarse como la sumade una distribución transiente w(x, t) y una estacionaria v(x), es decir:

u(x, t) = w(x, t) + v(x), 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0

donde w(x, t) es la solución de un problema con condiciones homogéneas. Determine explícita-mente v(x) y plantee la ecuación diferencial y condiciones iniciales y/o de frontera para w(x, t).

c) Utilice el método de separación de variables para resolver el problema encontrado en el literalanterior y encuentre una expresión para w(x, t) para todo x ∈ [0, L] y t ≥ 0.

d) Determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a w(x, t).

e) Finalmente, construya la solución u(x, t) del problema original. (3pt)

4. Considere una lámina rectangular metálica de base B y altura H. Los bordes inferior e izquierdo de lalámina se mantienen a una temperatura constante de 0C, el borde superior se mantiene aislado (no hayflujo de temperatura) y la temperatura del borde derecho puede ser descrita por la función:

f (y) = a0 sen(

7π

2Hy)

, 0 ≤ y ≤ H, a0 ∈ R.

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b) Utilice el método de separación de variables para encontrar las EDO’s asociadas al problema, yresuélvalas (puede asumir directamente la positividad o negatividad de la constante arbitraria queaparece en ellas).

c) Encuentre una expresión que describa la temperatura en el interior de la lámina, para todo x ∈ [0, B]y y ∈ [0, H] y determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a u(x, y). (3pt)


ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN FINAL


1 SERIES DE FOURIER


f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

(am cos

(mπxL

)+ bm sen

(mπxL

)), −L ≤ x ≤ L,


a0 =1L

ˆ L

−Lf (x) dx, am =

1L

ˆ L

−Lf (x) cos

(mπxL

)dx, bm =

1L

ˆ L

−Lf (x) sen

(mπxL

)dx.



F f (t) =1√2π

ˆ ∞


Por otro lado, la transformada inversa de f (w) = F f (t) se define por:

f (t) =1√2π

ˆ ∞

−∞f (w)eiwt dw.

3 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

La ecuación de Laplace en 2D está dada por: uxx + uyy = 0, donde u = u(x, y) ∈ R2. La ecuación delcalor en 1D está dada por: ut = c2uxx, donde u = u(x, t) ∈ R2 y c ∈ R.


k2 − x cos(kx)k + C,

´x cos(kx)dx = x sen(kx)

k + cos(kx)k2 + C, C ∈ R

Por favor coloque la ETIQUETA de su CD y CP en todas las hojas de respuestas.

ETIQUETA CD AULA PROFESORE GR1/GR1E RME322 GUEVARA ESTEBANA GR2 GEOA3 (9-11) CRUZ ANIBALM GR2E GEOA3 (7-11) ARIAS MARCELO

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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN REMEDIAL


NOMBRE: ETIQUETA: CALIFICACIÓN:

ASIGNATURA:

1. Considere la función f , definida por:

f (x) =

√x, si 0 < x < 1,

−√

2 − x, si 1 < x < 2

y que se muestra en la figura. Determine los coeficientes a0, am y bm de la respresentación en Series deFourier de la extensión periódica de:

a) La función f utilizando CAMBIO DE INTERVALO. (1pt)

b) La EXTESIÓN PAR de f . (1pt)

c) La EXTESIÓN IMPAR de f . (1pt)

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d) La serie de Fourier de COSENOS de f : [0, 1] → R (1pt)

En cada caso esboce la (extensión periódica de la) función y determine su período. Importante: Planteelas integrales asociadas a cada problema y no las resuelva.

2. Los coeficientes de la Serie de Fourier de la función f , definida por:

f (x) =

0, si − L < x < 0,

L, si 0 < x < L

son: a0 = L, am = 0 y bm =

0, si m par,2Lmπ , si m impar

. Determine una aproximación de:

∞

∑n=1

12n − 1

sen(2n − 1)π

Lx

(1pt)

Página 2 de 7

3. Determine la representación en Integrales de Fourier de:

f (x) =

0, si |x| > 1

1, si |x| < 1.

(1pt)

Encuentre una estimación para: ˆ ∞

0

cos (wx) sen (w)

wdw

(1pt)

4. Determine la transformada de Fourier de la función:

f (t) =

5, si 3 ≤ t ≤ 11,

0, en otro caso .

(1pt)

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5. Sea f : R → R una función continua tal que lım|t|→∞ f (t) = 0 y f ′(t) es absolutamente integrable. Utilicela definición de transformada de Fourier para demostrar la propiedad:

F

f ′(t)= iwF f (t)

(1pt)

6. Considere una lámina rectangular metálica de base B y altura H. Los bordes inferior y derecho de lalámina se encuentran aislados mientras que el borde superior se mantiene a una temperatura constantede 0C, y la temperatura del borde izquierdo puede ser descrita por una cierta función f (y). Si u es latemperatura en el interior de la lámina, plantee la ecuación diferencial y las condiciones de frontera einiciales que describen este problema. (1pt)

7. Las ecuaciones diferenciales ordinarias asociadas a un cierto problema de conducción de calor son:

X′′(x)− kX(x) = 0, X′(0) = 0, X′(π) = 0

T′(t)− 4kT(t) = 0.

donde k es una constante arbitraria y la solución al problema se construye como u(x, t) = X(x)T(t).

a) Muestre que para k = 0 la solución u(x, t) es constante. (1pt)

Página 4 de 7

b) Muestre que para k > 0 la solución u(x, t) es trivial. (1pt)

c) Muestre que para k < 0, la solución u(x, t) es no-trivial. (1pt)

8. Sean a, b ∈ R y f , g : Ω = [0, L]× [0,+∞[→ R dos funciones y L > 0. Demuestre que toda solución udel problema:

(P)

utt = c2uxx (x, t) ∈ Ω,

u(0, t) = a, u(L, t) = b t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x) x ∈ [0, L].

puede escribirse en la forma:

u(x, t) = w(x, t) + a +b − a

Lx, (x, t) ∈ Ω,

donde w : Ω → R es solución de un problema con condiciones de frontera homogéneas. (1pt)

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9. La solución al problema:utt = c2(uxx + uyy), 0 < x < 2, 0 < y < 3

u∣∣∣∂R

= 0, t ≥ 0

u(x, y, 0) = x2 + y2, ut(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ R = (0, 2)× (0, 3)

está dada por:

u(x, y, t) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

[Anm cos (λnmt) + Bnm sen (λnmt)] sen (nπx

2) sen (

mπy3

)

Determine explícitamente y paso a paso los coeficientes Anm y Bnm. (2pt)

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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN REMEDIAL


1 SERIES DE FOURIER


f (x) =a0

2+

∞

∑m=1

(am cos

(mπxL

)+ bm sen

(mπxL

)), −L ≤ x ≤ L,


a0 =1L

ˆ L

−Lf (x) dx, am =

1L

ˆ L

−Lf (x) cos

(mπxL

)dx, bm =

1L

ˆ L

−Lf (x) sen

(mπxL

)dx.


Sea f : I ⊆ R → R una función no necesariamente periódica y absolutamente integrable. La represen-tación en integral de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =ˆ ∞



A(w) =1π

ˆ ∞


1π

ˆ ∞




F f (t) =1√2π

ˆ ∞


Por otro lado, la transformada inversa de f (w) = F f (t) se define por:

f (t) =1√2π

ˆ ∞

−∞f (w)eiwt dw.

4 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

La ecuación de Laplace en 2D está dada por: uxx + uyy = 0, donde u = u(x, y) ∈ R2. La ecuación delcalor en 1D está dada por: ut = c2uxx, donde u = u(x, t) ∈ R2 y c ∈ R.

Por favor coloque la ETIQUETA de su CD y CP en todas las hojas de respuestas.

ETIQUETA CD AULA PROFESORE GR1/GR1E RME322 GUEVARA ESTEBANA GR2 GEOA3 (9-11) CRUZ ANIBALM GR2E GEOA3 (7-11) ARIAS MARCELO

En ASIGNATURA coloque AF o MA dependiendo si está inscrito en Análisis de Fourier o MatemáticaAvanzada, y entre paréntesis el número de matrícula. Por ejemplo, AF(1), MA(2), etc.

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)7

+

(4 + 4i2− 2i

)7

.

(0.5pt)


∑n=1

3n2 + 3n + 2



II I I6 7 8 9 10

1

(1.5pt)


a) La serie de Fourier de senos de la función:

f : ]0, π[ −→ R

x 7−→ f (x) = cos(x).

(0.75pt)

b) La serie de Fourier de cosenos de la función:

f : ]0, π[ −→ R

x 7−→ f (x) = | cos(x)|.(0.75pt)

Hojas entregadas: 1 2 3 Firma:

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1 SERIES DE FOURIER

Sea f : [−L, L] → R una función periódica con f (x) = f (x + p). La expansión en series de Fourier def (x) está dada por:

f (x) =a0

2+

∞

∑n=1

(an cos

(nπxL

)+ bn sen

(nπxL

)), −L ≤ x ≤ L.

donde los coeficientes de Fourier an y bn están dados por:

a0 =1L

ˆ L

−Lf (x) dx, an =

1L

ˆ L

−Lf (x) cos

(nπxL

)dx, bn =

1L

ˆ L

−Lf (x) sen

(nπxL

)dx.


Sea f : I ⊆ R → R una función (no necesariamente periódica y ) absolutamente integrable. La repre-sentación en integral de Fourier de f (x) se define por,

f (x) =ˆ ∞



A(w) =1π

ˆ ∞


1π

ˆ ∞


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Nombre:

1. Determine la transformada de Fourier de la función definida por:

f (t) =

0, si t < −2,

−t− 2, si − 2 ≤ t < −1,

t, si − 1 ≤ t ≤ 1,

2− t, si 1 < t ≤ 2,

0, si t > 2,

A partir de:

a) La definición de transformada de Fourier. (1pt)

b) La transformada de Fourier de la segunda derivada de f (t). (1pt)

2. Considere una cuerda elástica de longitud L = 2π y c = 2 fija en ambos extremos, la cual ha sidodesplazada de su posición de equilibrio y luego soltada. Si al tiempo t = 0, la posición de la cuerdapuede ser descrita por la función:

f (x) = sen( x

2

)+

13

sen(

3x2

)+

15

sen(

5x2

),

y si la cuerda parte del reposo:

a) Plantee la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales que describen este proble-ma (asumiendo que la masa de la cuerda es despreciable, y que no existen fuerzas externas o derozamiento).

b) Utilice el método de separación de variables para encontrar una expresión que describa las vibra-ciones transversales u(x, t) que experimenta la cuerda, para todo t ≥ 0 y para 0 ≤ x ≤ L.

c) Determine explicítamente los términos no nulos de la serie infinita que define a u(x, t). Hint: Loscoeficientes de la serie pueden ser determinados directamente de las condiciones iniciales sin usarlas relaciones:

An =2L

ˆ L

0u(x, 0) sen(

nπxL

)dx, Bn =2

λnL

ˆ L

0ut(x, 0) sen(

nπxL

)dx, n = 1, 2, 3, ...

con λn = nπcL .

(2pt)

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F f (t) = 1√2π

ˆ ∞


La transformada de Fourier de la función f y la de su segunda derivada se relacionan por:

F f ′′(t) = (iw)2F f (t).

La transformada de Fourier de la función impulso δ(t− a) se define como:

Fδ(t− a) = 1√2π

e−awi.


k2 − x cos(kx)k + C,´

x cos(kx)dx = x sen(kx)k + cos(kx)

k2 + C,´xekxdx = xekx

k −ekx

k2 + C,

3 RELACIONES ÚTILES

eiθ + e−iθ = 2 cos(θ)

eiθ − e−iθ = 2i sen(θ)




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