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INSTRUMENTOS TEÓRICO-PRÁCTICOS PARA EVALUAR EL

ACOPLAMIENTO - INTERACCIÓN

1.1 Introducción

El control descentralizado de sistemas multivariables normalmente se complica

debido a la interacción o el acoplamiento que existe entre las variables de los

procesos a controlar, así como debido a la direccionalidad de estos procesos, esto

es, a su tendencia a responder con una mayor o menor ganancia según sea la

relación entre las magnitudes de las entradas aplicadas.

En este capítulo se presentan los más importantes instrumentos matemáticos

utilizados para evaluar de una manera teórica-práctica el acoplamiento en los

sistemas de control. Entre estos elementos se encuentran: las Bandas de

Gershgorin, el Relative Gain Array (RGA), y el Condition Number.

Para la clara exposición de estos conceptos y las propiedades que se derivan de

ellos será necesario en algunos casos dar ciertas definiciones matemáticas

relacionadas a los mismos. En el caso específico del Condition Number se

dedicará previamente una sección a la Descomposición en Valores Singulares

(DVS) ya que es a partir de ésta que se llega a dicho concepto.

Se mostrarán también algunas de las aplicaciones de estas herramientas al estudio

de los sistemas multivariables y a la evaluación de los problemas que se presentan

en el control de los mismos.

30

1.2 Bandas de Gershgorin

Antes de definir las bandas de Gershgorin es necesario tener en claro el concepto

de dominancia diagonal[1]

y la definición de los Nyquist arrays[1]

los cuales se

presentan a continuación.

1.2.1 Dominancia diagonal

Una matriz racional sQ de dimensiones m x m es de fila diagonalmente

dominante si:

misqsqm

ijj

ijii ,,1)()(1

(1.1)

De igual manera, una matriz racional sQ de dimensiones m x m es de columna

diagonalmente dominante si:

misqsqm

ijj

jiii ,,1)()(1

(1.2)

Si denominamos sri a:

m

ijj

iji sqsr1

)()( o misqsrm

ijj

jii ,,1)()(1

(1.3)

Más diagonal es la matriz compleja sQ , cuanto menor sea sri .

1.2.2 Nyquist arrays

31

El Nyquist array de sG (no necesariamente cuadrada) es un conjunto de

gráficos, donde el (i, j)-ésimo gráfico es el lugar de Nyquist de sg ij ((i, j)-ésimo

elemento de sG ). Se hace uso también del inverse Nyquist array, el cual es el

conjunto de gráficos de los lugares de Nyquist, de los elementos de sG 1 ,

(claramente, el inverse Nyquist array está definido solamente cuando sG es

cuadrada).

1.2.3 Círculos y bandas de Gershgorin

La definición de los círculos y las bandas de Gershgoring se encuentra en el

enunciado del teorema de Gershgorin.

Teorema 1.1 (Teorema de Gershgorin): Asumimos que Z es una matriz

compleja

de dimensiones m x m. Los autovalores de Z están dentro de los m círculos, cada

uno con centro en zii y radio:

mizm

ijj

ij ,,1,1

(1.4)

que constituye la suma de los módulos de los elementos de la fila i.

Estos también están dentro de la unión de los círculos, cada uno con centro en zii y

radio:

32

mizm

ijj

ji ,,1,1

(1.5)

que constituye la suma de los módulos de los elementos de la columna i.

Luego tenemos que, considerando el Nyquist array de alguna G(s) cuadrada, si

para cada frecuencia , graficamos un círculo con centro en gii(j) (elemento de la

diagonal de G(s)), y de radio:

g jij

jj i

m

( )

1

o g jji

jj i

m

( )

1

(1.6)

A cada uno de estos círculos se les llama círculos de Gershgorin, y a la unión de

éstos, bandas de Gershgorin (ilustrados en la Figura 1.1).

Si las bandas de Gershgorin de sG excluyen el origen, diremos que sG es

diagonalmente dominante (fila dominante o columna dominante, ver Figura 1.2).

Figura 1.1: Un Nyquist array con los círculos de Gershgorin[1]

33

Figura 1.2: Bandas de Gershgorin para un sistema que: (a) es diagonalmente

dominante, (b) no es diagonalmente dominante[1]

1.3 ( A estudiarse luego)

( en lo que sigue el orden de las ecuaciones y figuras no esta correlativo)

1.4 Descomposición en Valores Singulares

Los valores singulares[5]

, y el condition number como veremos después, también

son instrumentos teóricos de gran utilidad en la evaluación del acoplamiento y la

direccionalidad de los sistemas multivariables.

En esta sección se presentarán de manera general la definición de la

descomposición en valores singulares y sus propiedades desde un punto de vista

meramente matemático y aplicable tanto a matrices cuadradas como no cuadradas.

Definición 1.1: Matriz unitaria

Una matriz compleja U es unitaria si:

1 UU (1.41)

Donde U es la transpuesta compleja conjugada de U.

Todos los autovalores de una matriz unitaria tienen valor absoluto igual a 1, y

todos sus valores singulares (como veremos más adelante) son iguales a 1.

1.4.1 Descomposición en Valores Singulares

34

Cualquier matriz compleja A de dimensiones l x m puede ser factorizada en una

descomposición en valores singulares o DVS

VUA (1.42)

donde la matriz U de dimensiones l x l y la matriz V de dimensiones m x m son

unitarias, y la matriz de dimensiones l x m contienen una matriz diagonal 1 de

valores singulares reales y no negativos, i, ordenados en orden descendente,

como se muestra a continuación

ml

;

0

1 (1.43)

o

ml ;01 (1.44)

donde

1 diag mlkk ,mín;,,, 21 (1.45)

y

k21 (1.46)

Los vectores columna de V, simbolizados por vi, son llamados vectores singulares

derechos o de entrada y los vectores columna de U, simbolizados por ui, son

llamados vectores singulares izquierdos o de salida.

Definimos kuuvvuu ,, 11 y kvv .

35

Nótese que la descomposición indicada en la ecuación (1.42) no es única ya que

'' VUA , donde 1',' VSVUSU y S diag ije

, siendo i cualquier

número real, es también una DVS de A. Sin embargo, los valores singulares, i,

son únicos.

Consideremos las siguientes relaciones, para deducir como calcular los valores

singulares y las matrices unitarias

UUUVVUVUVUAA (1.47)

dado que 1 UU , podemos escribir

UUAA (1.48)

vemos entonces que U es la matriz de autovectores de AA y 2

i son sus

autovalores.

De modo similar

VVVUUVVUVUAA (1.49)

dado que 1 VV , podemos escribir

VVAA (1.50)

vemos entonces que U es la matriz de autovectores de AA y 2

i son sus

autovalores.

Los valores singulares son entonces las raíces positivas de los mlk ,mín

autovalores más grandes de AA y AA . Esto es

AAAAA iii (1.51)

36

Además, las columnas de U y V son autovectores unitarios de AA y AA ,

respectivamente.

Definición 1.2. Rango de una matriz: El rango de una matriz es igual al

número

de valores singulares diferentes de cero de la matriz. Siendo rank rA , entonces

la matriz A es deficiente de rango si mlkr ,mín , y tiene valores singulares

i = 0 para kri ,,1 . Una matriz cuadrada deficiente de rango es una matriz

singular (una matriz no cuadrada es siempre una matriz singular).

1.4.2 Valores singulares de una matriz de 2 x 2

En general, los valores singulares tienen que ser calculados numéricamente. Sin

embargo, para matrices de 2 x 2, se puede deducir fácilmente una expresión

analítica. Establezcamos las siguientes igualdades

b tr AAcaAAji

ij

det,,

2

(1.52)

Ahora, la suma de los autovalores de una matriz es igual a su trazo y el producto

es igual a su determinante, por tanto

cb 2121 , (1.53)

Resolviendo 1 y 2 en función de b y c, y utilizando la ecuación (1.51)

obtenemos

2

4;

2

4 22 cbbA

cbbA

(1.54)

37

Por ejemplo, para

43

21A tenemos 3016941

2

ijab ,

42det22 Ac , y encontramos que 465.5A y 366.0A .

1.4.2 DVS de una matriz inversa

Dado que VUA tenemos que, siempre y cuando la matriz A de dimensiones

m x m sea no singular

UVA 11 (1.55)

esta es la DVS de A-1

pero con el orden de los valores singulares invertido. Sea

j = m – i + 1. Entonces de la ecuación (1.55) se tiene que

AuAvAvAuAA jijiji 111 ,,1 (1.56)

y en particular

AA 11 (1.57)

1.4.4 Desigualdades de los valores singulares

Los valores singulares limitan la magnitud de los autovalores:

AAA i (1.58)

Por la definición de DVS es obvio que:

AA y AA (1.59)

Hay un límite superior para el valor singular máximo del producto de dos

matrices:

38

BAAB (1.60)

Si A o B son no singulares, también existe un límite inferior para AB :

ABBA o ABBA (1.61)

También tenemos un límite inferior para el valor singular mínimo:

ABBA (1.62)

Las siguientes desigualdades son de utilidad para una matriz particionada:

BAB

ABA ,máx2,máx

(1.63)

BAB

A

(1.64)

La siguiente igualdad es usada para una matriz diagonal a bloques:

BAB

A ,máx

0

0

(1.65)

Otro resultado interesante es el teorema de Fan[5]

:

BABABA iii (1.66)

Dos casos especiales de la ecuación (1.66) son:

BABABA (1.67)

BABABA (1.68)

1.4.5 DVS como una suma de matrices de rango 1

Llamemos r al rango de una matriz A de dimensiones l x m. Podemos considerar

la DVS como una descomposición de A en r l x m, cada una de rango 1. Tenemos

39

r

i

iii vuVUA1

(1.69)

Los términos restantes, de r + 1 a mlk ,mín , tienen valores singulares iguales

a 0 y no contribuyen a la suma. La primera y más importante submatriz está dada

por 1111 vuA . Si ahora consideramos la matriz residual

1111

1 vuAAAA (1.70)

entonces

AA 2

1

1 (1.71)

Esto es, el valor singular más grande de A1 es igual al segundo valor singular de la

matriz original. Esto muestra que la dirección correspondiente a A2 es

la

segunda dirección más importante, y así sucesivamente.

1.5 Condition Number

El condition number[5]

de una matriz de dimensiones l x m se define como el

cociente

A

A

A

AA

k

1 (1.72)

donde mlk ,mín . Se dice que una matriz con un condition number grande es

una matriz mal condicionada. Según esta definición una matriz deficiente de rango

tiene un condition number infinito.

Según la ecuación (1.57) tenemos que para una matriz no singular

40

1 AAA (1.73)

De las ecuaciones (1.60) y (1.73) se tiene que para matrices no singulares

BAAB (1.74)

1.6 Aplicación de la DVS al estudio de sistemas de control multivariables

Habiendo definido ya la descomposición en valores singulares y teniendo en claro

qué son los valores singulares, cómo calcularlos y cuáles son sus principales

propiedades; podemos pasar ahora a explicar de qué manera se pueden aplicar al

estudio de sistemas de control multivariables.

En esta sección hablaremos de la utilización de los valores singulares en el cálculo

de las ganancias de los sistemas MIMO y en la evaluación de la direccionalidad de

dichos sistemas.

1.6.1 Direccionalidad de los sistemas multivariables

En un sistema SISO, y = Gd, la ganancia en una frecuencia dada es simplemente

jG

d

djG

d

y

La ganancia depende de la frecuencia , pero debido a que el sistema es lineal, es

independiente de la magnitud de la entrada d

Las cosas no son tan simples en los sistemas MIMO, porque en estos sistemas las

señales de entrada y de salida son vectores, y necesitamos considerar las

magnitudes de los elementos de cada vector utilizando la norma del vector.

41

Entonces para una frecuencia dada la magnitud de la señal de entrada vectorial

sería

2

2

2

1

2

ddddj

j (1.75)

y la magnitud de la señal de salida vectorial sería

2

2

2

1

2yyyy

i

i (1.76)

La ganancia de un sistema sG para una señal de entrada particular d viene

entonces dada por la relación

2

2

2

1

2

2

2

1

dd

yy

d

djG

d

y

(1.77)

Nuevamente la ganancia depende de la frecuencia , y nuevamente es

independiente de la magnitud de la entrada d . Sin embargo, en un sistema

MIMO hay más grados de libertad y la ganancia también depende de la dirección

de la entrada d.

Para ilustrar esto consideremos, por ejemplo, un sistema de dos entradas y dos

salidas. En este caso,

2

1

d

dd , la ganancia es en general diferente para los cinco

siguientes vectores entrada:

8.0

6.0,

707.0

707.0,

707.0

707.0,

1

0,

0

10504030201 ddddd

42

Todas las cuales tienen la misma magnitud d = 1 pero diferentes

direcciones. Sea el sistema:

23

451G (1.78)

Si calculamos los vectores salida correspondientes obtenemos

2.0

2.0,

707.0

707.0,

54.3

36.6,

2

4,

3

50504030201 yyyyy

y las normas de estos cinco vectores salida, iguales a las

correspondientes

ganancias, son

28.0,1,3.7,47.4,83.5 104030201 yyyyy

Esta dependencia de la ganancia de la dirección de entrada se ilustra gráficamente

en la Figura 1.5 donde se ha usado el cociente 12 dd como una variable

independiente para representar la dirección de la entrada. Podemos ver que,

dependiendo del cociente 12 dd , la ganancia varía entre 0.272 y 7.343.

Figura 1.5.- Ganancia ddG1 como función de 12 dd para G1 en (3.27)[5]

43

El valor máximo de la ganancia definida por la ecuación (1.77) cuando se varía la

dirección de la entrada es 7.343, que es igual al valor singular máximo de G,

GGdd

Gd

dd

10máxmáx (1.79)

mientras que la ganancia mínima es 0.272, que es igual al valor singular mínimo

de G,

GGdd

Gd

dd

10mínmín (1.80)

Las primeras igualdades en las ecuaciones (1.79) y (1.80) se deben a que la

ganancia es independiente de la magnitud de la entrada en un sistema lineal. Más

adelante veremos porqué las ganancias máxima y mínima son iguales a los

valores

singulares máximo y mínimo respectivamente.

1.6.2 Deficiencia de la medición de la ganancia de sistemas multivariables

mediante los autovalores

Antes de profundizar más en la utilidad de los valores singulares, vamos a probar

que las magnitudes de los autovalores de una matriz de transferencia, jGi ,

no proveen una manera eficiente de medir la ganancia de los sistemas MIMO. El

uso de los autovalores para la medición de la ganancia pueden causar mucha

confusión y llevar a conclusiones erróneas. Para ilustrar esto, consideremos el

sistema y = Gd en donde

44

00

1000G

la cual tiene ambos autovalores i iguales a cero. Sin embargo, sería obviamente

equivocado concluir a partir de los autovalores que la ganancia del sistema es

cero. Por ejemplo, con un vector de entrada 10d obtenemos un vector de

salida 0100d .

El problema es que los autovalores miden la ganancia en el caso especial en que

las entradas y las salidas están en la misma dirección, esto es, en la dirección de

los autovectores. Para ver esto supongamos que ti es un autovector de G y

consideremos una vector entrada d = ti. Entonces la salida será y = G ti = i ti

donde i es el correspondiente autovalor. Luego obtenemos

I

i

iI

t

t

d

y

por lo tanto i mide la ganancia en la dirección de ti. Esto puede ser útil para el

análisis de estabilidad pero no para analizar el comportamiento del sistema.

1.6.3 Uso de la DVS para medir la ganancia

Vamos ahora a dar una interpretación física de la DVS cuando esta se aplica a la

respuesta en frecuencia de un sistema MIMO sG con m entradas y l salidas.

Consideremos una frecuencia fija en la que jG una matriz compleja constante

de dimensiones l x m, y representemos a jG por G para simplificar las

expresiones. A Cualquier matriz G se le puede aplicar la DVS; por tanto

45

VUG (1.81)

donde:

es matriz de dimensiones l x m con mlk ,mín valores singulares no

negativos, i, ordenados de manera descendente en la diagonal principal; los otros

elementos son cero. Los valores singulares son las raíces cuadradas positivas de

los autovalores de GG .

U es una matriz unitaria de dimensiones l x l de vectores de salida singulares, ui.

V es una matriz unitaria de dimensiones m x m de vectores de entrada singulares,

vi.

Podemos ilustrar esto con la DVS de una matriz real de 2 x 2, la cual siempre

puede ser escrita de la forma

VU

G22

21

2

1

11

11

cossen

sencos

0

0

cossen

sencos

(1.82)

donde los ángulos 1 y 2 dependen de la matriz dada. De la ecuación (1.82)

vemos que las matrices U y V tienen columnas ortonormales.

Los valores singulares son llamados también valores principales o ganancias

principales, y las direcciones asociadas a ellos se llaman direcciones principales.

Direcciones de entrada y de salida. Los vectores columna de U, simbolizados

por ui, representan las direcciones de salida de la planta. Son ortogonales y de

longitud unitaria (ortonormales), es decir

46

122

2

2

1 iliii uuuu (1.83)

jiuuuu jiii ,0,1 (1.84)

De igual manera, los vectores columna de V, simbolizados por vi, son

ortonormales y de longitud unitaria, y representan las direcciones de entrada.

Estas direccones de entrada y de salida se relacionan a través de los valores

singulares. Para aclarar esto, recordemos que V es unitaria y por tanto IVV ,

entonces podemos escribir UGV , con lo cual al considerar la columna i

tenemos

iii uGv (1.85)

donde vi y ui son vectores y i es un escalar. Es decir, si aplicamos una entrada en

la dirección vi, entonces obtendremos una salida en la dirección ui. Además, dado

que 1iv y 1iu podemos ver que el i-ésimo valor singular i nos da

directamente la ganancia de la matriz G en esta dirección. En otras palabras:

i

i

iiv

GvGvG (1.86)

Algunas ventajas de la DVS frente a la descomposición en autovalores para el

análisis de las ganancias y la direccionalidad de plantas multivariables son:

1.- Los valores singulares proporcionan mejor información acerca de las

ganancias de la planta.

2.- Las direcciones obtenidas de la DVS son ortogonales.

3.- La DVS también se aplica directamente a plantas no cuadradas.

47

Valores singulares máximo y mínimo. Como ya se ha dicho, se puede mostrar

que la ganancia más grande en cualquier dirección es igual al valor singular

máximo

1

1

01 máx

v

Gv

d

GdGG

d

(1.87)

y la ganancia más pequeña en cualquier dirección es igual al valor singular

mínimo

k

k

dk

v

Gv

d

GdGG

0mín (1.88)

donde mlk ,mín . Así, para cualquier vector d tenemos que

Gd

GdG (1.89)

Definimos kuuvvuu ,, 11 y kvv . Luego

uvGuvG , (1.90)

El vector v corresponde a la dirección de la entrada con la mayor amplificación, y

u es la correspondiente dirección de salida en la cual las entradas son más

efectivas. Las direcciones asociadas a v y u son llamadas algunas veces las

direcciones “más fuertes”, “de alta ganancia”, o “más importantes”. Las siguientes

direcciones más importantes estás asociadas con v2 y u2, y así sucesivamente hasta

las direcciones “menos importantes”, “más débiles” o “de baja ganancia” que

están asociadas con v y u .

48

Para ilustrar todo lo que hemos dicho acerca de la descomposición en valores

singulares en esta sección, consideremos primero el mismo ejemplo que en la

sección 1.6.1,

23

451G

La descomposición en valores singulares de G1 es

VU

G794.0608.0

608.0794.0

272.00

0343.7

872.0490.0

490.0872.01

La ganancia más grande es 7.343 y se obtiene para una entrada en la

dirección

608.0

794.0v , y la ganancia más pequeña es 0.272 y se obtiene para una entrada en

la dirección

794.0

608.0v . Esto confirma lo encontrado anteriormente.

Dado que en la planta G1 ambas entradas afectan ambas salidas, se dice que el

sistema es interactivo. Adicionalmente, el sistema es mal condicionado, es decir,

algunas combinaciones de las entradas tienen un efecto fuerte en las salidas,

mientras que otras combinaciones tienen un efecto débil en las salidas. Esto se

puede cuantificar mediante el condition number, que para el sistema considerado

es 27272.0343.7 .

49

Proceso de destilación. Consideremos ahora el siguiente modelo de una columna

de destilación

6.1092.108

4.868.87

175

1

ssG (1.91)

Para analizar el modelo en el estado estacionario hagamos s = 0, y llamemos G a

0G

6.1092.108

4.868.87G

Los las magnitudes de los elementos de la matriz de transferencia son mucho

mayores que 1, lo que indica que no se tendrán problemas de restricción en las

entradas. Sin embargo, esto no es totalmente cierto ya que la ganancia en la

dirección más débil (correspondiente al valor singular más pequeño) es en

realidad

sólo u poco mayor que 1. Podemos observar esto en la DVS de G.

VU

G707.0708.0

708.0707.0

39.10

02.197

625.0781.0

781.0625.0

A partir del primer vector singular de entrada, 708.0707.0v , se puede ver

Que la ganancia es 197.2 cuando aumentamos una entrada y disminuimos la

otra

50

entrada en una cantidad similar. Por el otro lado, a partir del segundo vector

singular de entrada, 707.0708.0v , se puede ver que si aumentamos

ambas entradas en una cantidad similar, la ganancia es solamente 1.39. La razón

de esto es que la interacción en la planta es tal que los de las dos entradas se

contrarrestan. Por tanto, según este modelo, el proceso de está mal condicionado,

al menos en el estado estacionario, y el condition number es 7.14139.12.197 .

Figura 1.6.- Diagrama de Bode de los valores singulares del proceso de

destilación en (1.91)[5]

En sistemas dinámicos los valores singulares y sus direcciones asociadas varían

con la frecuencia, y para propósitos de control el rango de frecuencia de mayor

interés es el correspondiente al ancho de banda a lazo cerrado. Los valores

singulares usualmente se dibujan como una función de la frecuencia en un

diagrama de Bode de magnitud con una escala logarítmica para le frecuencia y

51

para la magnitud. En la Figura 1.6 se muestran los trazos típicos de los valores

singulares del proceso de destilación considerado en el ejemplo anterior.

1.6.4 Ganancias principales y lugares característicos

Hemos visto que la descomposición en valores singulares presenta varias ventajas

sobre los autovalores en lo que se refiere a la medición de las ganancias y la

evaluación de la direccionalidad en los sistemas MIMO. Existe sin embargo una

relación entre los lugares geométricos de los módulos de los autovalores o lugares

característicos, y los lugares geométricos de los valores singulares. En esta sección

presentamos esta relación, la misma que es útil para manipular la información,

acerca del comportamiento del sistema, proporcionada por los lugares

característicos, la cual como habíamos dicho puede ser incierta bajo algunas

circunstancias.

Definición 1.3. Matriz normal: Sea sQ una matriz cuadrada. Entonces la

matriz sQ es normal si

sQsQsQsQ (1.92)

Si además

sWssWsQ 1 (1.93)

donde s diag si y cada i es una función autovalor de sQ , entonces

sWsW 1 (1.94)

52

es decir los autovectores de una matriz normal forman un conjunto ortonormal.

Teorema 1.2: Sea sQ una matriz normal, con autovalores si y ganancias

principales si . Entonces podemos ordenar los autovalores i de manera que

miss ii ,,2,1, (1.95)

Demostración: Sea s diag si y s diag si . Entonces

sWssWsQ 1

por la propiedad de la matriz normal reemplazamos según la ecuación (1.94)

sWssWsQ

m

i

iii swswssQ1

Ahora digamos que

0,,exp iiiii sjss

y

sjswsy iii exp

Entonces

m

i

iii swsyssQ1

sYsQ diag si sW

donde

sWsY diag sj iexp

53

Por tanto

sYsY diag sj iexp sWsW diag sj iexp I

y de manera similar

IsYsY H

Por lo tanto sYsQ diag si sW es una descomposición en valores

singulares de sQ . Pero los valores singulares de sQ son únicos, entonces

diag ssi

es decir,

ss ii

Este resultado es importante para el diseño de sistemas de control, porque el

diseñador puede conseguir visualizar más fácilmente las ganancias principales de

cualquier diseño propuesto. Una conclusión que se puede sacar de este teorema es

que si uno quiere conseguir unas particulares ganancias principales, una manera de

hacerlo es diseñar el controlador C para la planta G tal que la razón de retorno GC

sea normal y tenga unas particulares ganancias características.

Otra razón para desear que la razón de retorno sea normal es que la sensibilidad de

los autovalores de una matriz a las perturbaciones de sus elementos se minimiza si

la matriz es normal[3]

. Sabiendo que el modelo que se tiene de la planta es

probablemente impreciso, se espera que el uso de un controlador que produzca

una razón de retorno normal, también reduzca la posibilidad de que el sistema a

54

lazo cerrado sea inestable cuando el compensador se use con la planta real, ya

que la

estabilidad está determinada por los lugares característicos.

Aun cuando la razón de retorno no es exactamente normal, las ganancias

características son aproximadamente iguales a las ganancias principales siempre y

cuando las autovectores estén cerca de ser ortogonales. Cuando este no es el caso,

se dice que la razón de retorno es oblicua.

La siguiente medida de la oblicuidad de una matriz cuadrada G ha sido propuesta

por Hung y MacFarlane (1982). Primero se obtiene una descomposición de G,

llamada descomposición Schur.

STDSG

donde D es diagonal, T es triangular y S es unitaria. Entonces una medida

adecuada de la oblicuidad es

ms F

F

G

TG (1.96)

donde F

simboliza la norma de Frobenius

ji

ijFaA

,

2

(1.97)

Esta medida tiene la propiedad de que

0 ms 1G (1.98)

donde 0 significa completa normalidad y 1 significa completa oblicuidad.

55

Hung y MacFarlane (1982) muestran que ms G se puede relacionar con la

sensibilidad de los lugares característicos de G, mientras que Pang y MacFarlane

(1986) muestran que se le puede relacionar con la divergencia entre las ganancias

principales y las ganancias características como se indica a continuación

(considerando la misma simbología que en la demostración del Teorema 1.2):

ms

m

i

i

m

i i

iiG

1

2

12

2

2 1

(1.99)

Cuando la oblicuidad de una matriz es apreciable, sólo podemos afirmar que

mii ,,2,1, (1.100)

lo que quiere decir que el valor de cada ganancia característica se encuentra entre

la ganancia principal más pequeña y la más grande. (Este resultando se obtiene

igualando d a un autovector en la ecuación (1.89)).

control de la planta.