Estadística Administrativa II2014-3

Análisis de Varianza

Distribución F

› Prueba de dos muestras con varianzas iguales

› Comparación de varias medias poblacionales en forma simultánea

› Análisis de Varianza (ANOVA)

› Distribución normal

› Datos en escala de intervalos

𝑃𝑎𝑟 á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 :𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

Distribución F

Características

› Distribución continua

› Distribución no negativa

› Sesgo positivo

› Asintótica

La hipótesis se prueba a través de las varianzas

Comparación de dos varianzas poblacionales

Estadístico de prueba para comparar dos varianzas

𝐹=𝑠12

𝑠22

Análisis para 2 colas

Ejemplo 1 . . .

Lammers Co. ofrece servicio de limusina de Toledo, Ohio al aeropuerto metropolitano de Detroit; el recorrido se hace por 2 rutas; la carretera 25 y la autopista I-75. Se desea estudiar el tiempo que tardaría en conducir al aeropuerto por cada una de las rutas. Usando el nivel de significancia de 0.10. ¿Hay alguna diferencia entre las variaciones de los tiempos de manejo por las dos rutas.

El tiempo medio por la carretera 25 es de 58.29 minutos y por la autopista I-75 es de 59 minutos. Los tiempos de variación de la muestra entre cada recorrido es una desviación estándar de 8.9947’ para la carretera 25 y 4.3753 para la autopista I-75.

. . . Ejemplo 1

La distancia por la autopista I-75 es más larga que por la carretera 24. Es importante que el servicio sea tanto puntual como consistente, por lo que se realizará una prueba estadística para determinar si existe una diferencia en las variaciones entre ambas rutas. Para lo cual se tomó una muestra de 7 recorridos por la carretera 25 y 8 por la autopista I-75.

𝐹=𝑠12

𝑠22

. . . Ejemplo 1

› Regla de decisión2 colas

𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑙𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑑𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖 ó𝑛

𝑓 =3.87

. . . Ejemplo 1› Toma de decisión con los datos de la muestra

La hipótesis nula no se acepta.

Se concluye que existe una diferencia entre las variaciones de los tiempos recorridos por las dos rutas.

Población 1 = C-25Población 2 = I-75

Comparación de dos varianzas poblacionales

Estadístico de prueba para comparar dos varianzas

𝐹=𝑠12

𝑠22

Análisis para 1 cola

Ejemplo . . .

Steele Electric Products, ensambla componentes electricos para teléfonos celulares. Durante los últimos 10 días Mark Nagy ha promediado 9 productos rechazados, con una desviación estándar de 2 rechazos por día. Debbie Richmond promedio 8.5 productos rechazados, con una desviación estándar de 1.5 rechazos durante el mismo periodo. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿podría concluir que hay mas variación en el numero de productos rechazados por día en la muestra de Mark?

. . . Ejemplo

›

› Regla de decisión

𝐹=3.18

. . . Ejemplo

› Con los datos de la muestra tomar la decisión

La hipótesis nula no se rechazaLa variación es la misma para ambos empleados

Análisis de varianza(ANOVA)

Múltiples medias poblacionales 𝐹=𝑠12

𝑠22

ANOVA se desarrolló para aplicaciones en agricultura, y aún se emplean muchos de los términos relacionados con ese contexto. En particular, con el termino tratamiento se identifican las poblaciones diferentes que se examinan.

Por ejemplo, el tratamiento se refiere a cómo una extensión de terreno se trató con un tipo particular de fertilizante.

ANOVA

Características de ANOVA

› Poblaciones distribuidas normalmente

› Desviación estándar iguales

› Poblaciones independientes

› Posibilidad de error tipo I si se utiliza la comparación de medias poblacionales

Cálculos ANOVA1. Media Global

Calcular la media de todas las muestras extraídas ()

2. Variación totalResta de cada dato y la media global (, elevar al cuadrado y sumar los resultados

3. Variación de tratamientoResta de cada media de la muestra y la media global, una por cada dato, elevar al cuadrado y sumar los resultados

4. Variación aleatoriaResta de cada dato a su respectiva media, elevar al cuadrado y sumar los resultados

∑ (𝑥𝑖−𝑋𝑔 )2

∑ 𝑥 𝑖

∑𝑛𝑖 (𝑋 𝑖− 𝑋𝑔)2

∑ (𝑥𝑖−𝑋 𝑗 )2

Cálculos ANOVA5. Varianza 1

6. Varianza 2

7. Distribución F

𝐹=𝑠𝑡2

𝑠𝑎2=

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑑𝑒𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

Ejemplo 1 . . .

Joan Kulman es la gerente de un centro financiero y desea comparar la productividad de los empleados en su atención al cliente, Toma de base 3 empleados y revisa el número de clientes que atendieron durante 4 días. Los resultados de las muestras son:

LOBO BLANCO COREA55 66 4754 76 5159 67 4656 71 48

Media global

𝑋𝑔=55+54+59+56+66+76+67+71+47+51+46+48

12=58

. . . Ejemplo 1Variación Total

Variación Tratamiento

LOBO BLANCO COREA55 66 4754 76 5159 67 4656 71 4856 70 48

. . . Ejemplo 1Variación Aleatoria

LOBO BLANCO COREA55 66 4754 76 5159 67 4656 71 4856 70 48

Varianzas

𝑠𝑡2=9923−1

=9922

=496 𝑠𝑎2=

9012−3

=909

=10

𝐹=49610

=49.6

Prueba de hipótesisANOVA

Ejemplo . . .

Metroya es una empresa de investigación de mercados que analizó el comportamiento de los pasajeros de 4 aerolíneas. Diseñó una encuesta valorada en 100 puntos para medir la satisfacción de los clientes. Con un nivel de significancia de 0.01 procesar las 4 muestras obtenidas.

Eastern TWA TACA AA94 75 70 6890 68 73 7085 77 76 7280 83 78 65

88 80 7468 6565

Determinar si hay alguna diferencia en el nivel de satisfacción medio entre las 4 aerolíneas

. . . Ejemplo

› Estadístico

› Regla de decisión2 colas

Grados de libertad del numerador: muestras – 1 = 4 – 1 = 3

Grados de libertad del denominador:Total global – tratamientos = 22 – 4 = 18

Eastern TWA TACA AA94 75 70 6890 68 73 7085 77 76 7280 83 78 65

88 80 7468 6565

. . . Ejemplo

› Regla de decisión2 colas

› Toma de decisiónMedia global

Media de tratamientos

𝐹=5.09

𝑋𝑔=166422

=75.64

Eastern TWA TACA AA94 75 70 6890 68 73 7085 77 76 7280 83 78 65

88 80 7468 6565

Suma global = 1664

Eastern TWA TACA AA87.3 78.2 72.9 69.0

. . . Ejemplo

Variación TotalNOTA

Eastern 94 337.09 90 206.21 85 87.61 80 19.01

TWA 75 0.41 68 58.37 77 1.85 83 54.17 88 152.77

TACA 70 31.81 73 6.97 76 0.13 78 5.57 80 19.01 68 58.37 65 113.21

AA 68 58.37 70 31.81 72 13.25 65 113.21 74 2.69 65 113.21

Variación total : 1,485.09

െ��തݔ ଶVariación Tratamiento

Eastern TWA TACA AA87.3 78.2 72.9 69.0

𝑋𝑔=75.64𝑉 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=1485.09

Descripción Eastern TWA TACA AAMedia Tratamiento 87.3 78.2 72.9 69.0 Media global 75.64 75.64 75.64 75.64 Tamaño muestra 4 5 7 6

539 33 54 265

� �ത െ��ത ଶ

𝑉 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜=890.68

. . . Ejemplo

Variación Aleatoria𝑋𝑔=75.64

NOTA

Eastern 94 87.3 45.6 90 87.3 7.6 85 87.3 5.1 80 87.3 52.6

TWA 75 78.2 10.2 68 78.2 104.0 77 78.2 1.4 83 78.2 23.0 88 78.2 96.0

TACA 70 72.9 8.2 73 72.9 0.0 76 72.9 9.9 78 72.9 26.4 80 72.9 51.0 68 72.9 23.6 65 72.9 61.7

AA 68 69.0 1.0 70 69.0 1.0 72 69.0 9.0 65 69.0 16.0 74 69.0 25.0 65 69.0 16.0

Variación aleatoria 594.4

�തூ� െ��തݔ ଶ

Eastern TWA TACA AA87.3 78.2 72.9 69.0

𝑉 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎=594.4

. . . Ejemplo

Varianza 1

Varianza 2

𝑠𝑡2=

𝑉 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠−1=890 .684−1

=890 .683

=296 .9

𝑠𝑎2=

𝑉 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙−𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠=594 .422−4

=59418

=33 .0

𝐹=296 .933

=8 .99

Distribución F

Tratamiento e inferencia sobre pares de medias poblacionalesDistribución t

Tratamiento e inferencia sobre pares de medias poblacionales

› Análisis después de que una hipótesis ha sido rechazada o no aceptada.

› Se tiene sospecha que solo algunas de las muestras afectan el resultado

› Análisis sobre dos muestras a la vez

› Utilización de intervalos

› Error muestral calculado en base de la distribución t

Intervalo de confianza sobre pares de medias

𝐼𝐶=(𝑋 1− 𝑋 2 )±𝑡 √𝑠𝑎2( 1𝑛1 + 1𝑛2 )

Ejemplo . . .

Metroya rechazó la hipótesis de que las 4 muestras son iguales. Se va a hacer una revisión de la muestras de Eastern y AA para determinar si los clientes de estas empresas inciden en los resultados obtenidos. Calcular el intervalo de confianza utilizando un nivel de confianza del 95%

𝑡=2.101

. . . Ejemplo

Ambas están al mismo lado de la curva. Con un 95% de confianza las medias varían significativamente.

𝐼𝐶 95%={18.3−7.793=10.4618.3+7.793=26.04

33

Fin de lapresentación

Muchas gracias

Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill