estructuras algebraicas trabajo nal teor a de representaci...

Estructuras algebraicas

Trabajo final

Teorıa de representacion de grupos

C. Eugenio EchagueFacultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

10 de mayo de 2008

Resumen

En matematica la palabra representacion basicamente significa ¨funcion que preserva es-tructuras¨. Luego, en teorıa de grupos y anillos, una representacion es un homomorfismo.Mas especıficamente, deberıa ser un homomorfismo desde un objeto (grupo o anillo) que unoesta tratando de estudiar hacia otro que es mas facil de entender. Los dos tipos de gruposmas simples son el grupo de permutaciones y el grupo de todas las transformaciones linealesinvertibles en un espacio vectorial. Luego, para grupos, las representaciones mas comunmenteestudiadas son representaciones por permutaciones y representaciones lineales.

1

Estructuras Algebraicas Teorıa de representacion de grupos

Indice

1. Representaciones por permutacion y acciones 3

2. Representaciones, acciones lineales y modulos 4

3. Representaciones y representaciones matriciales 53.1. Cuatro representaciones matriciales del grupo simetrico de orden 3 . . . . . . . . . . 6

4. Matrices interventoras 8

5. Modulos cocientes 9

6. Modulos indescomponibles y modulos irreducibles 11

7. Relaciones de ortogonalidad 17

8. La representacion regular 21

9. El espacio coordinado de una representacion 23

10.Funciones de clase 25

11.Funciones caracterısticas 27

12.Caracterizacion de caracterısticas de representaciones complejas irreducibles deun grupo finito 29

Departamento de matematica - UNLP Hoja 2 de 30

Estructuras algebraicas Teorıa de representacion de grupos

1. Representaciones por permutacion y acciones

Definicion 1. Una representacion por permutacion de un grupo G en un conjunto S un un ho-momorfismo de G en el conjunto de todas las permutaciones de S.

Definicion 2. Una representacion lineal de un grupo G en un espacio vectorial V es un homo-morfismo de G en el grupo de todas las transformaciones lineales inversibles en V.

A menos que los califiquemos con algun otro adjetivo, representacion significara en este trabajorepresentacion lineal.Restringiremos nuestra atencion en grupos finitos y espacios vectoriales sobreel cuerpo complejo.

Definicion 3. Una accion de un grupo G en un conjunto S es una funcion (g, s) 7→ gs de G× Sen S tal que

i (gh)s = g(hs) ∀ g,h ∈ G y ∀s ∈ S

ii 1s = s ∀s ∈ S, donde 1 es la unidad de G.

Observacion 1. Notar que una accion de G en S puede ser vista como una regla para multiplicarelementos de S por elementos de G, tal que el resultado es otro elemento de S.

Hemos definido el concepto de accion de un grupo G en un conjunto S y el de representacionpor permutacion de G en S. De hecho, estos dos conceptos son equivalentes.

Supongamos que φ : G → Sym(S) es una representacion por permutaciones de G. Luego φges una permutacion en S para g en G y para cada x ∈ S podemos definir gx ∈ S por la formulagx = (φg)x. Como φ es un homomorfismo, tenemos que φ(gh) = (φg)(φh) para todos g, h ∈ G ycomo el producto de dos permutaciones es su composicion tenemos que para todo x ∈ S

(gh)x = (φ(gh))x = ((φg)(φh))x = (φg)((φh)x) = (φg)(hx) = g(hx)

Esto muestra que la primer propiedad en la definicion de accion de grupo se satisaface. Masaun, como un homomorfismo de grupos mapea elemento identidad en elemento identidad, tenemosque φ1 = Id y por tanto para todo x ∈ S

1x = (φ1)x = Id(x) = x

Como se satisfacen todas las propiedades, tenemos una accion de G en S.Recıprocamente, si tenemos una accion de G en S, para cada g en G podemos definir una

funcion φg : S→ S por (φg)x = gx. Luego, para todos g,h ∈ G y x ∈ S tenemos que

((φg)(φh))x = (φg)((φh)x) = (φg)(hx) = g(hx) = (gh)x = (φ(gh))x

y luego (φg)(φh) = φ(gh). Mas aun, φ1 = Id, dado que para todo x ∈ S

(φ1)x = 1x = x = Id(x)

Se sigue que (φg)(φ(g−1)) = Id = (φ(g−1))(φg), y por tanto las funciones φg y φ(g−1) son inver-sas una de la otra, lo cual dice que ambas son biyectivas. Luego φ es una funcion de G en Sym(S),y como hemos demostrado que preserva multiplicaciones, se sigue que φ es una representacion porpermutacion de G en S.



2. Representaciones, acciones lineales y modulos

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y G un grupo.

Definicion 4. Una accion de G en V es una funcion (g, v) 7→ gv de G×V en V tal que

1. (gh)v = g(hv) ∀ g,h ∈ G y v ∈ V.

2. 1v = v ∀ v ∈ V, donde 1 es elemento identidad en G.

3. g(u+v) = gu + gv ∀ g ∈ G y u,v ∈ V.

4. g(λv) = λ(gv) ∀ g ∈ G,v ∈ V y ∀ λ en F.

Observacion 2. Por nuestras definiciones, una accion de G en el espacio vectorial V no es lomismo que una accion de G en un conjunto V: los items 3. y 4. no son requeridos en un conjunto.Esta terminologıa puede llevar a confusiones, y sera mejor referirnos a una accion de G en Vque satisface 3. y 4. como una accion lineal. De todos modos, en este trabajo solo encontraremosacciones de grupos sobre espacios vectoriales.

Proposicion 1. Dada una accion de un grupo G en un espacio vectorial V, para cada g en Gdefinimos una funcion ρg : V → V dada por (ρg)v = gv para todo v ∈ V. Luego ρg es unatransformacion lineal inversible, y la funcion ρ definida por g 7→ ρ g es un homomorfismo deG en el grupo de todas las transformaciones lineales invertibles en V. Recıprocamente, dado unhomomorfismo ρ de G en el grupo de todas las tranformaciones lineales inversibles en V, la formulagv = (ρg)v, define una accion de G en V.

Demostracion. Supongamos que la accion esta dada. Veamos que ρg es una transformacion lineal.Sean v, w ∈ V, λ ∈ F

(ρg)(v+w) = g(v+w) = gv + gw = (ρg)v + (ρg)w(ρg)(λv) = g(λv) = λ(gv) = λ((ρg)v)Veamos ahora que es inversible. Como G es un grupo, existe g−1 ∈ G.((ρg)(ρg−1))v = (ρg)((ρg−1)v) = (ρg)(g−1v) = g(g−1v) = (gg−1)v = v = Id(v) .((ρg−1)(ρg))v = (ρg−1)((ρg)v) = (ρg−1)(gv) = g−1(gv) = (g−1g)v = v = Id(v).Por tanto ∀ g ∈ G ρg es una transformacion lineal inversible.

Ahora bien, veamos que ρ es un homomorfismo. Sean g, h ∈ G(ρ(gh))v = (gh)v = g(hv) = g((ρh)v) = (ρg)((ρh)v) = (ρg ◦ ρh)vLuego ρ(gh) = ρg ◦ ρh y ρ es un homomorfismo.

Veamos ahora la recıproca.

Supongamos que el homomorfismo ρ esta dado. Si ignoramos el hecho que las funciones ρg sonlineales y nos enfocamos en el hecho de que son funciones biyectivas sobre V, luego g 7→ ρg puedenser considerada como una representacion por permutacionees de G en el conjunto V y se sigue quegv = ρ g define una accion de G en el conjunto V. Luego solo debemos mostrar que la accion eslineal, que es exactamente lo que nos da la linealidad de ρg. Sean v,w ∈ V y λ ∈ F

g(v + w) = (ρg)(v + w) = (ρg)v + (ρg)w = gv + gw

g(λv) = (ρg)(λv) = λ((ρg)v) = λ(gv)�



Luego, una representacion de un grupo en un espacio vecotrial es equivalente a una accion delgrupo en el espacio vecotrial.

Definicion 5. Un espacio vectorial V en el cual un grupo G tiene una accion se llama G-modulo

Definicion 6. Un submodulo de un G-modulo V es un subespacio vectorial U de V tal que gu ∈U para todo g ∈ G y u ∈ U

Definicion 7. Si U y V son G-modulos un G-homomorfismo de U en V es una transformacionlineal f : U→ V tal que f(gu) = g(fu) para todo g ∈ G y u ∈ U.

3. Representaciones y representaciones matriciales

Sean U y W, F-espacios vectoriales de dimension finita m y n respectivamente. Sea f:U →Wuna aplicacion lineal. Si B es una base de U y C una base de W, la matriz de f relativa a B y Ces la matriz de n×m MCB(f) cuya entrada (i j) es el escalar aij donde

f(uj) =∑n

i=1 aijwi j=1,2,...,m

donde B = {u1, ...; um} y C = {w1, ...,wn}Hemos definido una representacion de G en el espacio vectorial V como un morfismo

ρ: G → Aut(V) = GL(V)

De manera similar, una representacion matricial de G en el espacio vectorial V es un morfismo

R:G→ GL(d,F)

donde d es la dimension de V como F-espacio vectorial. Si ρ es una reprentacion de G en un espaciovectorial V de dimension d y si C es una base de V, obtenemos una representacion matricial definidapor

R(g) =MCC(ρ(g))

La aplicacion R:G → GL(d,F) es un morfismo ya que es la composicion del morfismo ρ de Gen GL(V) y el isomorfismo f 7→ MCC(f) de GL(V) en GL(d, F). Luego R es una representacionmatricial.

Recıprocamente, dada una representacion matricial R:G → GL(d,F) podemos obtener unarepresentacion ρ→ GL(V) definiendo ρ(g) como la transformacion lineal cuya matriz relativa a labase C es R(g). Notar que dim (V)=d, con lo cual d es el grado de la representacion.

Dado que la eleccion de la base para un espacio vectorial es arbitraria, es natural investigarla relacion entre dos representaciones matriciales derivadas de la misma representacion ρ : G →GL(V) eligiendo dos bases distintas. Supongamos que B y C son bases distintas de V y sean R,S:G→ GL(d,F) definidas por R(g) = MCC(ρ(g)) S(g) = MBB(ρ(g)) ∀ g ∈ G. Si T = MBC(Id),

T(R(g)) = MBC(Id)MCC(ρ(g))= MBC(Id ◦ ρ(g))= MBC(ρ(g) ◦ Id)= MBB(ρ(g))MBC(Id)= S(g)T

Como MBC(Id) MCB(Id) = Id, MCB(Id) MBC(Id) = Id, T es inversible y S(g) = T R(g) T−1.



Definicion 8. Dos representaciones matriciales R, S:G → GL(d,F) son equivalentes si existe T∈ GL(d,F) tal que S(g) = T R(g) T−1.

3.1. Cuatro representaciones matriciales del grupo simetrico de orden 3

Sea σ es una permutacion en {1, 2, ..., n}. Si V es un F-espacio vectorial con base v1,...,vn, hayuna transformacion lineal pσ: V→ V tal que vi → vσ(i) ∀ i ∈ {1, 2, ..., n}.

Esto es

pσ(vj) =∑n

i=1 δiσ(j)vi.

Luego, la matriz de pσ relativa a la base V es la matriz Pσ cuya entrada (i,j) es δiσ(j) . Llamamosa Pσ matriz de permutacion correspondiente a σ. Si σ y τ son permutaciones en {1, 2, ..., n}, pστ= pσ pτ , en efecto

pστ (vj) = vστ(j) = vσ(τ(j)) = pσ (vτ(j)) = pσ(pτ (vj)) = pσ pτ (vj).

Luego como ambas aplicaciones coinciden en una base y son lineales, son iguales.Como Sn es un grupo, ∀ σ ∈ Sn ∃ τ ∈ Sn: τ ◦ σ = σ ◦ τ = Id. Luego

vj = Id (vj) = (pστ ) (vj) = pσpτ (vj) ∀ vj ∈ B

vj = Id (vj) = (pτσ) (vj) = pτpσ(vj) ∀ vj ∈ B

Por tanto, ∀ pσ, ∃ pτ : pσpτ = pτ pσ = Id. Es decir, pσ es inversible ∀ pσ ∈ Sn y p : Sn → GL(V)definida por p σ = pσ es una representacion de Sn. Cualquier eleccion de una base de V, da lugara un representacion matricial Sn → GL(n,F) correspondiente a la representacion p.

Tomemos n = 3, V = R3, B = {e1, e2, e3}, la representacıon matricial sera

Id 7→

1 0 00 1 00 0 1

(1,3) 7→

0 0 10 1 01 0 0

(1,2) 7→

0 1 01 0 00 0 1

(2,3) 7→

1 0 00 0 10 1 0

(1,2,3) 7→

0 0 11 0 00 1 0

(1,3,2) 7→

0 1 00 0 11 0 0



Observacion 3. Como det(A B) = det(A) det (B), para todas las matrices de d×d, vemos quesi R : g → Rg es una representacion de grado d de cualquier grupo G, luego g 7→ det(Rg) es unarepresentacion de grado 1 del grupo G

Aplicando esta observacion a la representacion a la representacion anterior de S3 llegamos a larepresentacion dada por

id 7→ 1 (1,3) 7→ -1 (1,2,3) 7→ 1(1,2) 7→ -1 (2,3) 7→ -1 (1,2,3) 7→ 1

Esta representacion puede ser descripta alternativamente por la regla que permutaciones im-pares son mapeadas al -1 y permutaciones pares al 1.

Hay una representacion aun mas obvia de S3 de grado uno dada por σ 7→ 1 ∀σ ∈ S3. Claramente,esto puede hacerse de la misa manera para cualquier grupo G. La representacion dada por g 7→ 1para todo g en G se llama 1-representacion, o representacion principal, de G.

Haciendo uso de la terminologıa introducida en la seccion anterior llamaremos al 3-espaciovectorial V con base {v1,v2,v3} un S3-modulo. La S3-accion esta dada por σvj = vσj para todaσ ∈ S3 y toda j ∈ {1, 2, 3}.

Definimos

U={λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 : λ1 + λ2 + λ3 = 0}

U es un S3 submodulo de V. En efecto:

U 6= φ pues 0 ∈ U

Sean λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 ∈ U, λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 ∈ U, k ∈ F

• (λ1v1 +λ2v2 +λ3v3) + (λ1v1 + λ2v2 + λ3v3) = (λ1 + λ1)v1 + (λ2 + λ2)v2 + (λ3 + λ3)v3 ∈U, pues (λ1 + λ1) + (λ2 + λ2) + (λ3 + λ3) = (λ1 + λ2 + λ3) + (λ1 + λ2 + λ3) = 0 + 0 = 0

• k(λ1v1 + λ2v2 + λ3v3) = (kλ1)v1 + (kλ2)v2 + (kλ3)v3 ∈ U, pues kλ1 + kλ2 + kλ3 =k(λ1 + λ2 + λ3) = k0 = 0.Luego, U es un subespacio vectorial de V

Sean σ ∈ S3, λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 ∈ U

σ(λ1v1 + λ2v2 + λ3v3) = λ1vσ1 + λ2vσ2 + λ3vσ3 ∈ U, pues λ1 + λ2 + λ3 = 0.

Luego S3 actua en U.

Veamos que {u1 = v1 − v2, u2 = v2 − v3} es una base de U. u1, u2 ∈ U, pues 1+(-1)+0 = 0.Sea v ∈ U. Luego, existen k1, k2, k3 ∈ F tal que v = k1v1 + k2v2 + k3v3, con k1 + k2 + k3 = 0, oequivalentemente k2 = −k1 − k3.Luego v = k1v1 + (−k1 − k3)v2 + k3v3 = k1(v1 − v2) − k3(v2 −v3) = k1u1 − k3u2. Luego {u1, u2} genera U. Ademas son linelamente independientes pues sic1u1 + c2u2 = 0, entonces c1v1 + (c2 − c1)v2 − c2v3 = 0, como {v1, v2, v3} es una base de V,c1 = 0, c2 − c1 = 0,−c2 = 0 con lo cual c1 = 0, c2 = 0 y {u1, u2} es un conjunto linealmenteindependiente. Por tanto, este ultimo conjunto es una base de U.

Las matrices relativas a esta base de U correspondientes a cada elemento de S3 son las siguientes:

Id 7→(

1 00 1

)Departamento de matematica - UNLP Hoja 7 de 30


(1,3) 7→(

0 −1−1 0

)(1,2) 7→

(−1 10 1

)(2,3) 7→

(1 01 −1

)(1,2,3) 7→

(0 −11 −1

)(1,3,2) 7→

(−1 1−1 0

)Luego, hemos obtenido una representacion matricial de S3 de grado 2.Asumamos finalmente que el cuerpo F es C. Las dos representaciones de S3 de grado 1 y la

representacion de S3 de grado 2 que hemos descripto arriba son respresentaciones irreducibles deS3, en un sentido en el que hemos de definir. Mas aun, resulta que cualquier representacion com-pleja irreducible de S3 ha de ser equivalente a una de estas tres. Los teoremas mas importantesde la teorıa de representacion que discutiremos en este trabajo nos dicen en principio como unarepresentacion compleja arbritaria de un grupo finito G puede ser expresada en terminos de repre-sentaciones complejas irreducibles, y cuantas clases de equivalencia de representaciones complejasirreducibles tiene el grupo. No hay un metodo uniforme conocido para construir la representacionirreducible de un grupo finito arbritario, y por tanto, el problema practico principal de la teorıa derepresentacion es encontrar descripciones elegantes de las representaciones irreducibles de impor-tantes clases grupos finitos. Para ser sinceros, no hay muchas clases de grupos para los cuales sehaya conseguido esta meta, pero los grupos de simetrıa constituyen una clase para la cual la terorıacompleta ha sido descubierta.

4. Matrices interventoras

Sean U y V espacios vectoriales sobre C que son modulos del grupo G, y sea f : U → G unG-homomorfismo, es decir f es una aplicacion lineal que satisafce gf(u) = f(gu) para todo u ∈ Uy para todo g ∈ G. Sean ρ : G → GL(V) y σ : G → GL(U) representaciones de G en V y en Urespectivamente. Esto es, si g ∈ G ρg es una transformacion lineal en V dada por v 7→ gv, paratodo v ∈ V y σg es una transformacion lineal en U dado por u 7→ gu para todo u ∈ U. Sea u ∈ U

((ρg)f)u = (ρg)(fu) = g(fu) = f(gu) = f((σg)u) = (f(σg))u.

y por tanto (ρg)f = f(σg). Esto se verifica para todo g ∈ G. Una funcion f que satisaface(ρg)f = f(σg) se dice que interviene las representaciones ρ y σ. De nuevo aquı tenemos dospalabras usadas para describir el mismo concepto: una funcion interventora es lo mismo que unG-homomorfismo.

Supongamos que {u1,u2, ...,un} es una base de U y que {v1,v2, ...,vm} es una base de V. SeaA la matriz de f relativa a estas dos bases, es decir A es la matriz de m× n con entrada (i, j) aijsatisfaciendo f(uj) =

∑mi=1 aijvi. Para cada g ∈ G sea Rg ∈ GL(m,C) la matriz relativa a la base

{v1,v2, ...,vm} del operador en V dado por v 7→ gv y sea Sg ∈ GL(n,C) la matriz relativa a lasbase {u1,u2, ...,un} del operador en U dado por u 7→ gu. Luego la version matricial de la ecuacion(ρg)f = f(σg) es (Rg)A = ASg.



Definicion 9. Si R y S son representaciones matriciales del grupo G de grados m y n respecti-vamente, una matriz A de m × n, se dice que interviene R y S si (Rg)A = A(Sg) para todo g∈ G.

Luego una matriz interventora es la version matricial de un G-homomorfismo.Un G-homomorfismo de U en V se dice G-isomorfismo si es inversible. La version matricial

de este hecho es una matriz interventora que es inversible. Si A es inversible la ecuacion (Rg)A =A(Sg), puede ser escrita Rg = A(Sg)A−1, y por definicion, esto significa que las representacionesR y S son equivalentes. Recıprocamente, si R y S son equivalentes, existe una matriz interventoraA, y luego la aplicacion lineal f : U→ V cuya matriz relativa a las bases en cuestion es A, es unG-isomorfismo.

Por tanto, podemos decir que dos G-modulos son G-isomorfos si y solo si las correspondientesrepresentaciones matriciales (relativas a cualquier base) son equivalentes.

5. Modulos cocientes

Si S y T son subconjuntos arbritarios de un grupo G, definimos el producto ST por la regla

ST = {st : s ∈ S, t ∈ T}

Si H es un subgrupo normal de G, tal que gH = Hg ∀g ∈ G entonces (xH)(yH) = (xy)H ∀x, y ∈G. Esto conduce a una multiplicacion bien definida en el conjunto G/H = {gH : g ∈ G} y se puedechequear que bajo esta operacion G/H es un grupo. El grupo G/H es llamado cociente de G y H.

Si el grupo G es abeliano cada subgrupo de G es normal, y por tanto el grupo cociente siempreexiste. En particular si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo F, V es un grupo abeliano bajo laoperacion dee adicion vectorial, y como cada subespacio vectorial U de V es un subgrupo aditivode V, se sigue que el grupo cociente V/U existe. Claramente V/U es abeliano.

Como la operacion que dota a V de estructura de grupo se escribe +, el coset U que contiene av ∈ V lo escribiremos v + U, en lugar de escribirlo vU, y la operacion que hace de V/U un grupotambien la escribiremos +, asi tenemos

V/U = {v + U : v ∈ V}

y

(x+ U) + (y + U) = (x+ y) + U ∀x, y ∈ U

Ahora daremos a V/U una estructura extra, definiendo una multiplicacion por escalares en el.Lo hacemos ası

λ(v + U) = (λv) + U ∀v ∈ V, λ ∈ F

En efecto esta operacion esta bien definida pues si v1 + U = v2 + U entonces v1 − v2 ∈ U ycomo U es cerrado por multiplicacion escalar, λ(v1 − v2) ∈ U, luego λv1 − λv2 = λ(v1 − v2) ∈ U ypor tanto λv1 + U = λv2 + U.

Es sencillo chequear que con esta operacion extra, V/U tiene estructura de espacio vectorial.Llamos a V/U espacio vectorial cociente.

Asumamos ahora que V es un G-modulo y U es un G-submodulo de V. Luego, el espaciocociente V/U es tambien un G-modulo si definimos la accion



g(v + U) = (gv) + U ∀g ∈ G, v ∈ V

Es una operacion bien definida, pues si v1 + U = v2 + U entonces v1 − v2 ∈ U y como U escerrado por la accion de G se sigue que gv1− gv2 = g(v1− v2) ∈ U con lo cual gv1 + U = gv2 + U.Verifiquemos los axiomas de accion lineal. Seav g, h ∈ G, v, z ∈ V

i. (gh)(v + U) = (gh)v + U = g(hv) + U = g((hv) + U)

ii. 1(v + U) = (1v) + U = v + U

iii. g((v+U)+(z+U)) = g((v+z)+U) = (g(v+z))+U = (gv+gz)+U = (gv)+U+(gz)+U =g(v + U) + g(z + U)

iv. g(λ(v + U)) = g((λv) + U) = (g(λv)) + U = (λ(gv)) + U = λ((gv) + U) = λ(g(v + U))

Teorema 1. (Primer teorema del isomorfismo) Sean V y W G-modulos y sea f : V → W unG-homomorfismo. Entonces

Kerf = {v ∈ V : fv = 0}

es un G-submodulo de V,

Imf = {fv : v ∈ V}

es un G-submodulo de W, y hay un G-isomorfismo V/Kerf → Imf tal que v+ U 7→ gv paratodo v ∈ V.

Demostracion. Mostremos que Kerf es un G-submodulo de V. Como f es lineal f(0V) = 0W yluego 0V ∈ Kerf . Si v1, v2 ∈ Kerf entonces f(v1 + v2) = fv1 + fv2 = 0 + 0 = 0. Si v ∈ Kerf yλ ∈ F luego f(λv) = λ(fv) = λ0 = 0. Luego Kerf es un subespacio vectorial de V. Mas aun Kerfes cerrado por la accion de G, si v ∈ Kerf y g ∈ G tentonces f(gv) = gf(v) = g0 = 0 donde elultimo paso se sigue del hecho de que x 7→ gx es una aplicacion lineal en V y por tanto lleva el 0en el 0.

La prueba de que Imf es un G-submodulo de W es igual de sencilla. Como f(0V) = 0W,Imf 6= φ. Si w1, w2 ∈ Imf entonces w1 = fv1 y w2 = fv2 para ciertos v1, v2 ∈ V y w1 + w2 =fv1 + fv2 = f(v1 + v2). Si w ∈ W y λ ∈ F entonces existe v ∈ V tal que w = fv y ademasλw = λfv = f(λv). Mas aun, gw = g(fv) = f(gv). Luego, Imf es un G-submodulo.

Como Kerf es un G-submodulo de V el modulo cociente V/Kerf existe. Debemos mostrarque hay un mapeo bien definido ψ : V/Kerf → Imf tal que ψ(v+Kerf) = fv ∀v ∈ V. Es ciertoque fv ∈ Imf ∀v y por tanto solo debemos probar que si v1, v2 ∈ V con v1 +Kerf = v2 +Kerfentonces fv1 = fv2, pero esto es claro ya que si v1 +Kerf = v2 +Kerf entonces v1 − v2 ∈ Kerfy luego f(v1 − v2) = 0 y por tanto fv1 = fv2.

Habiendo establecido que ψ esta bien definido, debemos probar que es biyectivo y que respetaadicion, multiplicacion por escalares y la accion de G. Si u, v ∈ V y λ ∈ F entonces

ψ((u+Kerf)+(v+Kerf)) = ψ((u+v)+Kerf) = f(u+v) = fu+fv = ψ(u+Kerf)+ψ(v+Kerf)

y

ψ(λ(v +Kerf)) = ψ(λv +Kerf) = f(λv) = λ(fv) = λψ(v +Kerf)



Con lo cual ψ es una aplicacion lineal. Respeta la accion de G pues

ψ(g(v +Kerf) = ψ(gv +Kerf) = f(gv) = g(fv) = gψ(v +Kerf)

La suryectividad de ψ es obvia: por definicion, cada elemento de Imf es de la forma fv =ψ(v + Kerf), para cierto v ∈ V, y la inyectividad se da pues si ψ(v1 + Kerf) = ψ(v2 + Kerf)entonces fv1 = fv2, con lo cual f(v1 − v2) = 0, lo que nos dice que v1 − v2 ∈ Kerf y luegov1 +Kerf = v2 +Kerf .

�

6. Modulos indescomponibles y modulos irreducibles

Definicion 10. Un G-modulo V es suma directa de X e Y si X e Y son G-submodulos de Vy V = X ⊕Y como espacio vectorial. A X se lo suele llamar G-submodulo complentario de Y yrecıprocamente.

No es del todo claro que para un G-submoludo X de un G-modulo V exista un G-submoludocomplementario. Dado un G-modulo X de V, siempre exisitra un subespacio complementario, peronada garantiza que sea invariante bajo la accion de G.

En general, no es cierto que para cada grupo G y cada G-modulo V, cada subespacio G-invariante tenga un complemento G-invariante.

Consideremos el grupo multipicativo G de todas las matrices de 2× 2 sobre el cuerpo F de la

forma(

1 λ0 1

), donde λ es arbritario. De hecho G es isomorfo al grupo aditivo F a traves de la

aplicacion φ : λ 7→(

1 λ0 1

). Esta aplicacion es claramente biyectiva y

φ(λ+ µ) =(

1 λ+ µ0 1

)=(

1 λ0 1

) (1 µ0 1

)= (φλ)(φµ)

Sea V el espacio vectorial de todos los vectores columnas de dos componentes en el cuerpo.Veamos que G actua en V mediante la multiplicacion habitual de matrices

i)((

1 λ1

0 1

)(1 λ2

0 1

))(x1

x2

)=(

1 λ1 + λ2

0 1

)(x1

x2

)=(x1 + λ2x2 + λ1x2

x2

)(

1 λ1

0 1

)((1 λ2

0 1

)(x1

x2

))=(

1 λ1

0 1

)(x1 + λ2x2

x2

)=(x1 + λ2x2 + λ1x2

x2

)

ii)(

1 00 1

)(x1

x2

)=(x1

x2

)y la linealidad del producto de matrices es un hecho aceptado.

Por otra parte, el unico G-submodulo propio de V es el conjunto de todos los vectores de doscomponentes en el cuerpo con ultima componente nula. Supongamos que U es un submodulo no

nulo de V, entonces U tiene un vector no nulo(xy

). Como U es cerrado bajo la accion de G



(1 λ0 1

) (x+ λyy

)=(x+ λyy

)∈ U ∀λ ∈ F

y por cierre de U respecto a la adicion(x+ λyy

)-(x+ λyy

)=(λy0

)∈ U ∀λ ∈ F

En particular, si y 6= 0 tomamos λ = y−1 y deducimos que U contiene al(

10

)y luego (por

clausura de la multiplicacion escalar), a todos los vecotres con seunda componente nula. por otrolado si y = 0, x debe de ser no nulo y arribamos a la misma conclusion. Luego el G-submoduloU contiene al G-submodulo X de vectores con ultima componente nula. Si U no fuera X, deberıa

tener un vector cuya segunda componente no fuese cero, y este vector junto con el(

10

)formarıan

una base de V y por ser U subespacio de V, U = V. Luego, X es el unico G-submodulo propiode V y por tanto no puede tener un complementario.

Definicion 11. Un G-modulo V se dice indescomponible si no puede ser expresado como sumadirecta de dos G-submodulos no nulos.

Definicion 12. Un G-modulo V se dice irreducible si no tiene otros submodulos mas que el y elsubmodulo nulo.

Arriba hemos dado un ejemplo de un G-modulo V que es indescomponible pero no irreducible,ya que como nuestro espacio V es bidimensional y tiene un submodulo que es unodimensionalcomo espacio vectorial, no es irreducible. Pero V no tiene otros submodulos no triviales, no pudeser expresado como suma directa de dos submodulos no triviales y por tanto es indescomponible.

De ahora en adelante, al menos que se diga lo contrario, el cuerpo escalar para cada espaciovectorial sera C y los espacios vectoriales de dimension finita.

Teorema 2. (Teorema de Maschke) Sea G un grupo finito, V un G-modulo y U un G-submodulode V. Entonces existe un G-submodulo W de V tal que V = U⊕W.

De acuerdo a la definicion de irreducible, un G-modulo, para G finito, es reducible si tiene almenos un submodulo propio no nulo. Notar que en el ejemplo anterior el grupo no era finito.

Definicion 13. Un modulo se dice completamente irreducible si para cada G-submodulo hay unG-submodulo complementario.

El teorema de Maschke dice que cada G-modulo, con G finito, es completamente reducible ypor tanto es tambien conocido como el teorema de reducibilidad completa.

Demostracion. Notar que es posible definir un producto interno en V. Si {v1, v2, ..., vn} es una basede V, existe un producto interno tal que vivj = δij . Explicitamente si u =

∑ni=1 αivi, v =

∑ni=1 βivi

definimos u · v =∑n

i=1 αiβiVerifiquemos las propiedades que debe cumplir el procucto interno. Sean u, v, w ∈ V; α, β ∈ C.

Luego u =∑n

i=1 αivi, v =∑n

i=1 βivi w =∑n

i=1 λivi



i. u·(αv+βw) = (∑n

i=1 αivi)·(α(∑n

i=1 βivi)+β(∑n

i=1 λivi)) = (∑n

i=1 αivi)·(∑n

i=1 (αβi+βλi)vi) =∑ni=1 αi(αβi + βλi) = α(

∑ni=1 αiβi) + β(

∑ni=1 αiλi) = α((

∑ni=1 αivi) · (

∑ni=1 βivi)) +

β((∑n

i=1 αivi) · (∑n

i=1 λivi)) = α(u · v) + β(u · v)

ii. u · v = (∑n

i=1 αivi) · (∑n

i=1 βivi) =∑n

i=1 αiβi =∑n

i=1 αiβi =∑n

i=1 αiβi =∑n

i=1 αiβi =∑ni=1 βiαi = v · u

iii. u · u = (∑n

i=1 αivi) · (∑n

i=1 αivi) =∑n

i=1 αiαi =∑n

i=1 |αi|2 ≥ 0 y u · u = 0 ⇔ αi = 0∀i =

1, 2, ..., n⇔ u = 0

Con este producto interno, definimos otra funcion V × V → C dada por la formula u ∗ v =∑x∈G xu · xv Veamos que tambien ∗ es un producto interno. Sean u, v, w; α, β como antes

i. u ∗ (αv + βw) =∑

x∈G xu · x(αv + βw) =∑

x∈G xu · (α(xv) + β(xw)) =∑

x∈G α(xu · xv) +β(xu · xw) = α(

∑x∈G xu · xv) + β(

∑x∈G xu · xw) = α(u ∗ v) + β(u ∗ w)

ii. u ∗ v =∑

x∈G xu · xv =∑

x∈G xu · xv =∑

x∈G xu · xv =∑

x∈G xv · xu = v ∗ u

iii. u∗u =∑

x∈G xu ·xu =∑

x∈G ‖xu‖2 ≥ 0 y u∗u = 0⇔ ‖xu‖ = 0∀x ∈ G⇔ xu = 0∀x ∈ G(en

particular para x = 1) ⇔ u = 0

Mas aun, este producto es G-invariante, en el sentido que gu ∗ gv = u ∗ v para todos u, v ∈ Vy todo g ∈ G, pues

gu ∗ gv =∑

x∈G x(gu) · x(gv) =∑

x∈G(xg)u · (xg)v =∑

y∈G yu · yv = u ∗ v

Aquı hemos usado el hecho de que como x recorre todos los elemtos de G ası tambien lo hacey = xg, pues x 7→ xg es una bijeccion en G. Definimos ahora W como el complemento ortogonalde U relativo al producto interno ∗

W={v ∈ V : u ∗ v = 0 ∀u ∈ U}

Luego V = U⊕W. Debemos probar ahora que W es un G-submodulo de V, es decir que si w∈ W, g ∈ G entonces gw ∈W.

Si u ∈ U entonces u∗ gw = g−1u∗w = 0, pues g−1u ∈ U por ser U un G-submodulo y w ∈W.Luego, gw es ortogonal a cualquier vector de U, o equivalentemente gw ∈ W, como queriamosprobar. �

La idea principal de esta prueba es crear un objeto G-invariante (en este caso un productointerno). Ahora daremos una segunda prueba del teorema, para el caso de cualquier cuerpo. Laidea principal se mantiene.

Demostracion. Dado un G-modulo V y un G-submodulo U, elegimos un subespacio Z de V quees complementario de U. Es decir, como subespacios vectorailes, V = U⊕Z, que en general puedeno ser una descomposicion en G-modulos. Para cada z ∈ Z y g ∈ G gz ∈ V pude ser escrito demanera unica como

gz = τgz + σgz

Donde τg : Z → U σg : Z → Z son aplicaciones lineales. Notar que tomando g = 1, gz = z ypor tanto τ1z = 0 y σ1z = z.

Sea h ∈ G y aplicando h a ambos lados de la ecuacion



τhgz + σhgz = (hg)z = h(gz) = h(τgz + σgz) = h(τgz) + h(σgz) = h(τgz) + (τh(σgz) + σh(σgz))

Como τgz ∈ U y U es un G-modulo, h(τgz) ∈ U y comparando las componentes en U y en Z de(hg)z obtenemos

τhgz = h(τgz) + τh(σgz)

σhgz = σh(σgz)

Tomando h = g−1, σg−1 = σ−1g ya que σ1 = Id, y si reemplazamos z por σ−1

g z = Id(σ−1g z) =

Id(σg−1z) = σ−1hg (σhz) en las ecuaciones anteriores ponemos

τhg(σ−1hg (σhz)) = h(τg(σ−1

g z)) + τhz

Es en la ecuacion anterior que aplicamos la idea clave. Sumamos sobre los elementos de G∑g∈G τhg(σ−1

hg (σhz)) = h(∑

g∈G τg(σ−1g z)) + |G| τhz

dividiendo por |G|

η(σhz) = h(ηz) + τhz

donde definimos η : Z→ U por

ηz = 1|G|∑

g∈G τg(σ−1g z)

La parte crucial de esto es que si h ∈ G ηz = 1|G|∑

g∈G τhg(σ−1hg z) ∀ z, pues hg se mueve a lo

largo de todo G, al igual que lo hace g.Sea W = {z + ηz : z ∈ Z} y sea w ∈W arbritario, w = z + ηz, z ∈ Z. Luego, para todo h ∈ G

hw = σhz + η(σhz) ∈W

Como esto vale para todo w ∈W y h ∈ G hemos demostrado que W es cerrado bajo la accionde G. Tambien es un subespacio de V, pues es la imagen de la aplicacion lineal z 7→ z + ηz de Zen V. Por tanto, W es un G-submodulo de V. Si v ∈ V, para cierto u ∈ Uy z ∈ Z

v = u+ z = (u− ηz) + (z + ηz) ∈ U + W

Pues ηz ∈ U y z + ηz ∈Wmas aun, U ∩W = {0}, pues si u ∈ U y u = z + ηz, entonces

z = u− ηz ∈ U ∩ Z = {0}

Mostrando que z = 0 y luego u = 0. Luego el submodulo W es complementario a Z, como erarequerido.

En esta teorıa, siempre es posible reformular las pruebas en terminos de matrices. Comenzamoseligiendo una base {v1, v2, ..., vn} para el submodulo U de V, y extendiendola a una base de V{v1, v2, ..., vn+m}. Para g ∈ G sea Qg la matriz de (n+m)× (n+m) cuya entrada (i, j) Qijg estadefinida por

gvj =∑n+m

i=1 (Qijg)vi



Esto es, Qg es la matriz de la transformacion v 7→ gv relativa a la base que hemos elegido. Ob-servemos que si 1 ≤ j ≤ n, vj ∈ U y luego gvj ∈ U y se sigue que gvj es combinacion lineal dev1, v2, ..., vn. Luego los coeficientes Qijg son cero para n + 1 ≤ i ≤ n + m y 1 ≤ j ≤ n. Por tanto,tenemos un descomposicion de la matriz Qg en bloques

Qg =(Rg Tg0 Sg

)(1)

para todo g ∈ G, donde Rg y Sg son matrices de n × n y m × m respectivamente y Tg esuna matriz de n × m. Esto puede ser visto como la version matricial de la reducibilidad, masprecisamente, una representacion matricial de G es reducible si es equivalente a una representacionmatricial que tiene una estructura en bloques como la de la ecuacion anterior. Si el subespaciode V generado por {vn+1, vn+2, ..., vn+m} fuera un G-submodulo, luego gvn+j serıa combinacionlineal de vn+1, vn+2, ..., vn+m y los coeficientes Qijg serıan cero si i ≤ n y j ≥ n; la matriz Tgsera nula para todo g. Luego, una representacion matricial se puede descomponer a una de la forma

g 7→(Rg 00 Sg

)y la forma matricial del teorema de Maschke es que una representacion de la

forma dada por la ecuacion (1) es equivalente a una representacion de la misma forma con la matrizTg nula.

Como Rg tiene la entrada (i, j) Qijg para i, j ∈ {1, 2, ..., n} vemos que Rg es la matriz relativaa la base{v1, v2, ..., vn} de la transformacion u 7→ gu en U.

Notar tambien que {vn+1 + U, vn+2 + U, ..., vn+m + U} es una base para el modulo cocienteV/U, en efecto son linelamente independientes pues

λ1(vn+1 + U) + λ2(vn+2 + U) + ....+ λm(vn+m + U) = 0⇔ (λ1vn+1) + U + (λ2vn+2) + U + ....+ (λmvn+m) + U = 0⇔ (λ1vn+1 + λ2vn+2 + ....+ λmvn+m) + U = 0⇔ λ1vn+1 + λ2vn+2 + ....+ λmvn+m ∈ U⇔ λ1 = λ2 = ... = λm = 0

(pues vn+i ∈ Uc ∀i ∈ {1, 2, ...,m})

y generan, pues si v + U ∈ V/U

v + U = (λ1v1 + ...+ λnvn + λn+1vn+1 + ...+ λn+mvn+m) + U= ((λ1v1 + ...+ λnvn) + U) + ((λn+1vn+1 + ...+ λn+mvn+m) + U)= U + ((λn+1vn+1 + ...+ λn+mvn+m) + U)= (0 + U) + ((λn+1vn+1 + ...+ λn+mvn+m) + U)= (0 + λn+1vn+1 + ...+ λn+mvn+m) + U= (λn+1vn+1 + ...+ λn+mvn+m) + U= λn+1(vn+1 + U) + ...+ λn+m(vn+m + U)

Ademas, como

g(vn+j + U) = (∑n+m

i=1 (Qi,n+jg)vi) + U =∑m

i=1 (Qn+i,n+j)(vn+i + U),



y Qn+i,n+jg es la entrada (i, j) de Sg, vemos que Sg es la matriz de v + U 7→ g(v + U) relativaa la base anterior de V/U.

Como q 7→ Qg es una representacion matricial de G, la ecuacion (1) nos da(R(hg) T (hg)

0 S(hg)

)= Q(hg) = Q(g)Q(h)

=(Rh Th0 Sh

)(Rg Tg0 Sg

)=

((Rh)(Rg) (Rh)(Tg) + (Th)(Sg)

0 (Sh)(Sg)

)que confirma las formulas R(hg) = R(h)R(g) y S(hg) = (Sh)(Sg) (las cuales ya sabiamos pues Ry S son verisones matriciales de la representacion de G en U y en V/U) y tambien nos conducea deducir que T (hg) = (Rh)(Tg) + (Th)(Sg). Luego multiplicando por (Sg)−1 = S(hg)−1(Sh),deducimos que

(T (hg)S(hg))−1(Sh) = (Rh)((Tg)(Sg)−1) + Th (2)

que es la version matricial analoga a la ecuacion (2). Sumando sobre G y dividiendo por sucardinal

E(Sh) = (Rh)E + Th

para todo h ∈ G, donde definimos E = 1|G|∑

g∈G (Tg)(Sg)−1, lo que nos deriva a la ecuacionmatricial (

Rh Th0 Sh

)(I E0 I

)=(I E0 I

)(Rh 00 Sh

)para todo h ∈ G

Equivalentemente (I E0 I

)−1(Rh Th0 Sh

)(I E0 I

)=(Rh 00 Sh

)para todo h ∈ G luego la representacion Q es equivalente a la suma diagonal de las representa-

ciones R y S, como querıamos. �

Ahora bien, procederemos con otro de los teoremas principales de esta teorıa.

Lema 1. (Lema de Schur) Version 1. Sean U y V G-modulos irreducibles y φ : U → V unG-homomorfismo. Luego φ es un G-isomorfismo o bien la aplicacion nula.

Demostracion. Por parte del primer teorema del isomorfismo, Kerφ es un G-submodulo de U. PeroU es irreducible, y por tanto no tiene submodulos propios. Luego Kerφ = U o bien Kerφ = {0}.Si Kerφ = U, φ es la aplicacion nula, que es una de las posibilidades permitidas en la tesis. SiKerφ = {0}, φ es inyectiva. Otra parte del primer teorema del isomorfismo nos dice que Imφ es unsubmodulo de V, y luego la irreducibilidad de V nos conduce a que Imφ = {0}o bien Imφ = V. SiImφ = {0}, φ es nuevamente la aplicacion nula, y como este caso ya lo hemos excluıdo, deducimosde Imφ = V. Luego φ es inyectiva y surjectiva, esto es, un isomorfismo. �



Parecerıa que el Lema de Schur no es trascendental. Dedicaremos ahora parte de este trabajoa derivar consecuencias y reformulaciones de este resultado, muchas de las cuales son bastantepeculiares. La verdad es que la hipotesis de irreducibilidad es muy fuerte. Por eso, los modulosirreducibles son objetos especiales y, como veremos, tienen ciertas propiedades particulares.

Primero, derivaremos la forma matricial del lema.

Lema 2. (Lema de Schur) Version 2. Sea R : G→ GL(n,F) y S : G→ GL(m,F) representacionesmatriciales irreducibles de G, y sea X una matriz de n×m que interviene R y S. Luego, X = 0 obien X es invertible.

Demostracion. Este resultado se sigue inmediatmente de la Version 1, de acuerdo a la discusion en-tre G isomorfismos y matrices interventoras. Notar que, el caso X inversible puede darse solamentesi n = m �

Observacion 4. Notar que todo lo dicho en estos lemas es totalmente general. Nuestra suposicionde que F = C puede dejarse de lado, el grupo G puede no ser finito y los modulos U y V no tienenpor que ser finitos sobre F. Solo hemos usado el primer teorema del isomorfismo y la definicion deirreducibilidad. Para el siguiente resultado, usaremos F = C.

Lema 3. (Lema de Schur) Version 3. Sea R : G → GL(d,C) una representacion matricial irre-ducible de G, y supongamos que X es una matriz de d × d tal que (Rg)X = X(Rg) para todog ∈ G. Luego X = λI para cierto λ ∈ C.

Demostracion. Elijamos λ un autovalor de X. Como el cuerpo es C, y cada polinomio no constantecon coeficientes en C tiene una raız en C, el polinomio caracterıstico de X tiene al menos una raızλ ∈ C. Por definicion det(X − λI) = 0 y la matriz X − λI no es invertible. Para todo g ∈ G

(X − λI)(Rg) = X(Rg)− λ(Rg) = (Rg)X − λ(Rg) = (Rg)(X − λI),

dado que X conmuta con cada Rg. Luego, X − λI conmuta con cada Rg, y por la Version 2,X − λI es invertible o nula. Por eleccion de λ no es invertible, y por tanto X = λI. �

La version modular de este enunciado es que si V es un G-modulo irreducible finito-dimensionalsobre C y φ : V → V es un G-homomorfismo, φ es un multiplo escalar de la aplicacion identi-dad. La suposicion de que V es finito-dimensional es necesaria pues espacios vectoriales infinito-dimensionales admiten operadores lineales que no tienen valores propios. El cuerpo C podrıa serreemplazado por cualquier otro que sea algebraicamente cerrado.

7. Relaciones de ortogonalidad

Serıa natural, a esta altura, ser un poco escepticos acerca de la utilidad del lema de Schur. De-spues de todo, solo puede ser aplicado si tenemos un G-homomorfismo o una matriz que intervieneun par de representaciones irrreducibles. Y los homomorfismos son objetos especiales: pueden noser faciles de encontrar. Afortunadamente, el argumento de promediar sobre G, usado en la pruebadel teorema de Maschke nos da (para grupos finitos), un metodo general para construirlos.

Lema 4. Sea G un grupo finito, y sean R, S representaciones matriciales de G de grados n y mrespectivamente. Si X es cualquier matriz de n×m, entonces Y =

∑g∈G (Rg)X(S(g−1)) interviene

R y S.



Demostracion. Para todo h ∈ G

(Rh)Y =∑

g∈G (Rh)(Rg)X(S(g−1))=

∑g∈G (R(hg))X(S(g−1))(S(h−1))(Sh)

= (∑

g∈G (R(hg))X(S(g−1h−1)))(Sh)= (

∑k∈G (R(k))X(S(k−1)))(Sh)

= Y (Sh)

�

Supongamos ahora que R(1), R(2), ..., R(s) son representaciones matriciales irreducibles del grupofinito G, de grados d1, d2, ..., ds respectivamente. Asumamos que R(k) y R(l) no son equivalentes sik 6= l. Denotamos con R

(k)ij g a la entrada(i, j) de R(k)g.

Elegimos k y l arbritarios del conjunto {1, 2, ..., s} y para 1 ≤ m ≤ dk y 1 ≤ n ≤ dl sea X(k,l)m,n

la matriz de dk × dl cuya entrada (t, u) es cero, excepto cuando t = m y u = n, en cuyo caso es 1.En otras palabras, la entrada (t, u) de X(k,l)

m,n es δtmδun. El lema anterior nos dice que la matriz

Y(k,l)m,n = 1

|G|∑

g∈G (R(k)g)X(k,l)m,n (Rl(g−1))

interviene las representaciones R(k) y R(l). Luego, por el lema de Schur Y (k,l)m,n es cero si k 6= l,

ya que las dos representaciones no son equivalentes, mientras que Y (k,k)m,n debe ser un multiplo es

calat de I. Por tanto, la entrada (p, q) de Y (k,l)m,n es λ(k,m, n)δpqδkl para cierto λ(k,m, n) ∈ C.

Si calculamos la entrada (p, q) de Y (k,l)m,n directamente de la definicion encontramos que

λ(k,m, n)δpqδkl = 1|G|∑

g∈G (∑dk

t=1

∑dlu=1 (R(k)

pt g)δtmδun(R(l)uq(g−1)))

= 1|G|∑

g∈G (R(k)pmg)(R(l)

nq(g−1))

Considerando la entrada (n,m) de Y (l,k)q,p , motivados por el mismo calculo, obtenemos

λ(l, q, p)δnmδkl = 1|G|∑

g∈G(R(l)nqg)(R(k)

pm(g−1))

= 1|G|∑

g∈G (R(l)nq(g−1))(R(k)

pmg)

donde en el ultimo paso simplemente cambiamos la variable de suma g por g−1. Pero los ladosderechos de las dos ultimas formulas desarrolladas son iguales, y luego concluimos que para todoslos valorees de k, l,m, n, p y q,

λ(k,m, n)δpqδkl = λ(l, q, p)δnmδkl

Poniendo q = p y l = k, tenemos que λ(k,m, n) = λ(k, p, p)δnm, y haciendo m = n tenemos queλ(k, n, n) = λ(k, p, p) = µk depende solo de k y no de p o n. Luego λ(k,m, n) = µkδnm .

El calculo anterior nos muestra que

1|G|

∑g∈G

(R(k)pmg)(R(l)

nq(g−1)) = µkδnmδpqδkl (3)

donde las R(i) son representaciones matriciales irreducibles de G, que tomadas de a par no sonequivalentes. Notar que k, l,m, n, p y q son variables libres. Podemos calcular los valores de los



escalares µk de la siguiente manera. Ponemos l = k y m = n y sumamos las ecuaciones anterioressobre todos los valores de n desde 1 hasta dk (que es es el grado de la representacion R(k)). Despuesde intercambiar el orden de sumacion en el miembro izquierdo, obtenemos

1|G|∑

g∈G∑dk

n=1 (R(k)pn g)(R(l)

nq(g−1)) =∑dk

n=1 µkδpqδkl = µkdkδpq.

Pero como (R(k))(R(k)(g−1)) = R(k)(gg−1) = R(k)1 = I (para todos los valores de g) sabemosque ∑dk

n=1 (R(k)pn g)(R(l)

nq(g−1)) = Ipq = δpq,

y nuestra ecuacion de arriba se reduce a

1|G|∑

g∈G δpq = µkdkδpq

Luego µk = d−1k y la ecuacion (3) se transforma en

1|G|

∑g∈G

(R(k)pmg)(R(l)

nq(g−1)) = d−1

k δnmδpqδkl (4)

Este resultado basico es conocido como ortogonalidad de funciones coordendas.

Definicion 14. Sea R una representacion matricial de un grupo G. Diremos que es una repre-sentacion matricial unitaria si Rg es una matriz unitaria para cada g ∈ G

Veamos que toda representacion matricial de un grupo finito es equivalente a una representacionmatricial unitaria. Sea R una representacion matricial de un grupo finito G, R : G → GL(d,C).Consideremos el espacio vectorial V = Cn, como un G-modulo definiendo

gv = (Rg)v

El espacio vecotrial V es claramente un espacio producto interno, con el producto puntoλ1

λ2...λd

·

µ1

µ2...µd

= λ1µ1 + λ2µ2 + ...+ λdµd

y como en la primer prueba del teorema de Maschke, podemos obtener un producto internoG-invariante en V definiendo

v ∗ u =∑

g∈G (gv) · (gu) para todo g ∈ G y v, u ∈ V.

Ahora elegimos una base {v1, v2, ..., vd} de V que es ortonormal en terminos del producto internoanterior, y sea S la representacion matricial de G que produce esta nueva base

gvj =∑d

i=1(Sg)ijvi



para todo g ∈ G y j ∈ {1, 2, ..., d}. La representacion S es luego equivalente a la representacionR, en efecto, Sg = T−1(Rg)T para todo g ∈ G, donde T es la matriz de transicion de cambiode coordenadas relativa a la base {v1, v2, ..., vd} en las coordenadas estandar. Ademas S es unarepresentacion unitaria, por ser {v1, v2, ..., vd} una base ortonormal de V.

Volviendo a la ecuacion (4), supongamos que todas las representaciones R(i) son unitarias.Luego, para todo g ∈ G y para todo l

R(l)(g−1) = (R(l)g)−1 = R(l)gt,

y luego R(l)nq(g−1) = R

(l)qng y la ecuacion (4) se traduce a

1|G|∑


qng) = d−1k δnmδpqδkl

Tabulando las valores de la funcion R(k)pm : G → C da un vector fila, al que temporalmente

denominaremos xkpm, que tiene una entrada por cada elemento de G. La ecuacion anterior nos diceque el producto interno estandar de xkpm y xlqn es cero a menos que k, p y m son iguales a l, q y nrespectivamente, en cuyo caso el producto punto es |G|dk

. Para cada valor de k hay d2k posibilidades

de pares oredenados (p,m), y por tanto tenemos∑s

k=1 d2k vectores xkpm en total. Estos vectores

son linelamente independientes pues son no nulos y ortogonales de a pares, y por tanto generanun espacio de dimension

∑sk=1 d2

k. Como estan contenidos en el espacio de vectores filas con |G|componentes, que es |G|-dimensional, concluimos que

∑sk=1 d2

k ≤ |G|

siempre que G tenga representaciones no mutuamente equivalentes de grados d1, d2, ..., ds.Luego, s ≤ |G|, pues cada dk es al menos 1, y esto muestra que ningun grupo G puede tenermas de |G| representaciones que no sean equivalentes. En particular, salvo equivalencias, el numerode representaciones complejas irreducibles de un grupo finito es finita

Ejemplo 1. Ilustremos el resultado anterior para el grupo G = S3. Cononocemos tres representa-ciones irreducibles mutuamente no equivalentes de grado 1, 1 y 2. La suma de los cuadrados deestos grados es 6, que es igual al numero de elementos de S3, y viendo la desigualdad anterior,podemos concluir que no existe otra representacion irreducible que no sea equivalente a algunade estas tres. Las representaciones de grado 1 son necesariamente unitarias para un grupo finito,dado que por una parte la representacion debe ser equivalente a una representacion unitaria ypor otra parte una representacion de grado 1 no pude ser equivalente a otra cosa que no sea ellamisma, dado que las matrices de 1 × 1 conmutan. Si identificamos a S3 con el grupo de simetrıasen un triangulo equilatero, tomanos el centroide como el orıgen y la lınea que pasa por el orıgeny uno de los vertices como el eje x, obtenemos una representacion de S3 por matrices ortogonales.Debemos ahora calcular los valores de las funciones coordinadas de nuestras tres representacionesirreducibles, y obtenemos la siguiente tabla



g Id (1,2) (1,3) (2,3) (1,2,3) (1,3,2)R

(1)11 g 1 1 1 1 1 1

R(2)11 g 1 -1 -1 -1 1 1

R(3)11 g 1 -1

2 -12 1 -1

2 -12

R(3)12 g 0

√3

2 -√

32 0 -

√3

2

√3

2

R(3)21 g 0

√3

2 -√

32 0

√3

2 -√

32

R(3)22 g 1 1

212 -1 -1

2 -12

Aquı, por ejemplo, las ultimas cuatro entradas de la segunda columna dicen que la matriz

R(3)(1, 2) es(−1/2

√3/2√

3/2 1/2

), que es la matriz de reflexion con respecto a la lınea que pasa por

el orıgen con pendiente tan(π/3) ( los vertices 1,2 y 3 del triangulo son los puntos de coordenadas(xy

)dadas por

(10

),(−1/2√

3/2

)y(−1/2−√

3/2

)respectivamente.

Interpretando los valores de la tabla de arriba como entradas de una matriz de 6 × 6 que elproducto punto de dos filas distintas de la matriz es 0, mientras que el producto punto de unafilas consigo misma es 6 (para las primeras dos filas) o bien 3 (para las ultimas cuaro filas). Engeneral,la ecuacion (4) dice que la tabla de valores de las funciones coordinadas es una matriz confilas mutuamente ortogonales y que la longitud de cada vector fila esta dado por

√d/ |G|, donde d

es el grado ode la representacion en cuestion. Dividiendo cada fila por su longitud, obtenemosla matriz T (G) cuyas filas forman un conjunto ortonormal y que son indexadas por tripletas{(k, p,m) : 1 ≤ k ≤ s; p,m ∈ {1, 2, ..., dk}} y las columnas por elemementos de G, la ((k, p,m), g)entrada de esta matriz sera

√d/ |G|R(k)

p,mg. Para S3 encontramos

1/√

6 1/√

6 1/√

6 1/√

6 1/√

6 1/√

61/√

6 −1/√

6 −1/√

6 −1/√

6 1/√

6 1/√

61/√

3 −1/2√

3 −1/2√

3 1/√

3 −1/2√

3 −1/2√

30 1/2 −1/2 0 −1/2 1/20 1/2 −1/2 0 1/2 −1/2

1/√

3 1/2√

3 1/2√

3 −1/√

3 −1/2√

3 −1/2√

3

que es unitaria. Luego, sus columnas tambien son ortogonales

8. La representacion regular

Si un grupo G tiene una representacion a izquierda en un conjunto S asociamos a cada g ∈ Guna permutacion σg : S → S definida por σgs = gs ∀s ∈ S. Mas aun g 7→ σg es un homomorfismode G en el grupo de todas las permutaciones de S. Hemos visto tambien que las permutacionespueden asociarse a matrices de permutacion. Si S = {s1, s2, ..., sd} obtenemos un homomorfismog 7→ Rg de G en el grupo de todas las matrices de d × d de permutacion, donde la entrada(i, j) de Rg es 1 si vi = gvj y 0 se manera contraria. En otras palabras, una representacionpor permutacion se convierte en una representacion matricial si uno identifica permutaciones conmatrices de permutacion. El G-modulo asociado a esta representacion matricial es un espaciovecotrial con base en una correspondencia biyectiva con los elementos de S, y los elementos de Gactuan vıa transformaciones lineales que permutan la base.



Si consideramos en particular en particular la accıon de multiplicar a izquierda en el grupo G,obtenemos una representacion de G por |G|×|G| matrices de permutacion. Las matrices dependende un orden elegido para los elementos de G. Ilustremos lo que ocurre con el grupo S3, usando elmismo orden de elementos que usamos anteriormente

g1 = Id; g2 = (123) g3 = (132) g4 = (12) g5 = (13) g6 = (23)

Multiplicar a izquierda por (12) cambia g1 por g4( ya que (12)Id = (12) y (12)(12) = Id ycambia los pares g2y g6 y g3 y g5. La matriz que representa a (12) resulta ser

R(12) =

0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 01 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0

Similarmente

R(23) =

0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 00 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0

R(123) =

0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0

Las restantes, son iguales de faciles de calcular.La representacion R : G → GL(|G| ,C)construida de esta manera es llamada representacion

regular de G. De acuerdo al teorema de Maschke existe una matriz T tal que

T−1(Rg)T =

S1g 0 0 . . . 00 S2g 0 . . . 00 0 S3g . . . 0...

......

...0 0 0 . . . Smg

donde S1, S2, ..., Sm son representaciones irreducibles de G. notar que el orden en que aprecen

las representaciones irreducibles Si como sumandos diagonales puede ser cambiado alterando lamatriz T . Por ejemplo, S1 y S2 pueden ser cambiadas dado que

0 I . . . 0I 0 . . . 0...

......

0 0 . . . I

S1g 0 0 . . . 00 S2g 0 . . . 00 0 S3g . . . 0...

......

...0 0 0 . . . Smg

0 I . . . 0I 0 . . . 0...

......

0 0 . . . I

=

S2g 0 0 . . . 00 S1g 0 . . . 00 0 S3g . . . 0...

......

...0 0 0 . . . Smg

y claramente una secuencia de tales operaciones produce el reordenamiento deseado de los

sumandos diagonales. Mas aun, cada Si puede ser reemplazada por cualquier representacion a lacual sea equivalente, por ejemplo, si S1 = X−1S1X entonces



X O . . . 0O I . . . 0...

......

0 0 . . . I

S1g 0 0 . . . 00 S2g 0 . . . 00 0 S3g . . . 0...

......

...0 0 0 . . . Smg

X 0 . . . 00 I . . . 0...

......

0 0 . . . I

=

S1g 0 0 . . . 00 S1g 0 . . . 00 0 S3g . . . 0...

......

...0 0 0 . . . Smg

para todo g ∈ G. Luego, si elegimos representaciones irreducibles R(1), R(2), ..., R(s) tal que

cada representacion irreducible de G es equivalente a una de las R(k), podemos asumir que cadaSj coincide con alguna R(k). Claro esta que una dada R(k) pude aparecer varias veces. Vamos asuponer que las R(k) son representaciones unitarias que no son equivalentes.

9. El espacio coordinado de una representacion

En este trabajo Cn denota el espacio vectorial de vectores columna de n componentes sobreel cuerpo C. En otros trabajos pude ser definido como el espacio de vectores filas. Una terceraalternativa es identificar a Cn con el espacio de todas las funciones a valores complejos definidasen el conjunto {1, 2, ..., n}, dado que una funcion f : {1, 2, ..., n} → C no es mas que una n-upla devalores: f puede ser identificada con el vector de n componentes cuya i-esima componente es fi.La conclusion a la que llegamos luego de esta disgresion es que el conjunto de todas las funciones avalores complejos en un conjunto de n elementos es un espacio vectorial de diemension n. La sumay la multiplicacion escalar son definidas por las formulas

(f + g)s = (fs) + (gs) (λf)s = λ(fs)

Sea VG el espacio de todas las funciones a valores complejos |G|-dimensional en G. El espaciocoordinado de una representacion matricial S : G → GL(d,C)es el subespacio de VG que esgenerado por las funciones coordinadas de S. Estos es, para todo i, j ∈ {1, 2, ..., d} definimosSij : G → C tal que Sijg es la entrada (i, j) de Sg. Luego el espacio coordinado es el espaciogenerado por todas las funciones Sij

Proposicion 2. Representaciones equivalentes tienen el mismo espacio coordinado.

Demostracion. Sean R y S representaciones matriciales equivalentes de G de grado d. Luego existeuna matriz T inversible de d × d tal que T−1(Rg)T = Sg para todo g ∈ G. Sean Rij y Sij lasfunciones coordenadas de R y S respectivamente y denotemos las entradas (i, j) de T y de T−1 porTij y Uij respectivamente. Luego, para todo g ∈ G tenemos que

Sijg =∑d

k=1

∑dl=1 Uik(Rklg)Tlj

de lo que se sigue que

Sij =∑

k,l (UikTlj)Rkj

para todo i, j ∈ {1, 2, ..., d}. Como esta expresion muestra a cada funcion coordenada de S comouna combinacion lineal de las funciones coordenadas de R, se sigue que las funciones coordinadasde S estan todas contenidas en el espacio coordinado d R, y luego el espacio cordinada de Sesta contendido en el espacio coordinado de R. Pero la equivalencia de dos representacioews esuna relacion simetrica, y por tanto, el mismo argumento muetra que el espacio coordinado de Resta contendido en el espacio coordinado de S.

�



Proposicion 3. El espacio coordinado de la suma diagonal de dos representaciones R y Ses elespacio vectorial suma de los espacios coordinados de R y S.

Demostracion. Sea m el grado de R y n el grado de S y sea T la suma diagonal dada por

Tg =(Rg 00 Sg

)para todo g ∈ G. Denotemos a las funciones coordinadas de R por Rij y de manera sim-

ilar a las de T y S. Para i, j ∈ {1, 2, ...,m} vemos que Ti,j = Rij , mientras que para i, j ∈{m+ 1,m+ 2, ...,m+ n} tenemos que Tij = Si−m,j−m. Ademas, el resto de las funciones coorde-nadas de T son nulas. Luego, un elemento arbritario

∑i,j λijTij del espacio coordinado de T puede

ser expresado como ∑i≤m,j≤m λijRij +

∑i>m,j>m λijSi−m,j−m

Lo cual nos dice que el espacio coordinado de T es la suma de los espacios coordinados de S yR.

�

Por el teorema de Maschke sabemos que cada representacion compleja de un grupo finito esequivalente a la suma diagonal de representaciones irreducibles. Luego si, como arriba, fijamos unconjunto completo de representaciones irreducibles, una por cada clase de equivalencia de irre-ducibles, R(1), R(2), ..., R(s) el espacio coordinado de una representacion arbritaria esta contenidoen la suma de los espacios coordinados de las R(k). Probaremos ahora un resultado, que aunque essencillo de probar, es crucial en nuestra causa.

Proposicion 4. El espacio coordinado de la representacion regular es igual a VG, el espacio detodas las funciones a valores complejos en G.

Demostracion. El espacio coordinado de la representacion regualar esta claramente contenido enVG, luego solo debemos probar la contension inversa.

Sean g1, g2, ..., gn los elementos de G, con lo cual el grado de la representacion regular es n ysea g ∈ G arbritario. Podemos elegir i, j ∈ {1, 2, ..., n} tal que gi = ggj ; por ejemplo elejimos jtal que gj sea el elemento identidad e i tal que gi = g. Ahora la funcion coordenada Rij de larepresentacion regular R satisaface, para todo h ∈ G

Rijh =

{1 gi = hgj

0 cc=

{1 h = g

0 cc

La funcion Rij es luego el anaalogo a un vector fila que tiene una componente igual a 1 y elresto de la componentes 0. Mas aun, la posicion del 1 corresponde a la eleccion del elemento h, quefue arbritaria. El conjunto de todas las funciones de esta forma generan VG. Mas explicitamente,si f : G→ C es arbritaria, entonces

f =∑n

i=1 (fi)Rij

donde j es fijo, tal que gj es el elemento identidad.�



El espacio coordinado de la representacion irreducible R(k) esta generado por las d2k funciones

coordenadas R(k)pm, p,m ∈ {1, 2, ..., dk}, y la suma de los espacios corrdinados R(1), R(2), ..., R(s)

esta generado por el total de funciones coordinadas R(k)pm para (k, p,m) en el conjunto

S = {(k, p,m) : 1 ≤ k ≤ s; p,m ∈ {1, 2, ..., dk}}

Pero esta suma de espacios coordinados debe ser igual al espacio VG de funciones a valorescomplejos en G, dado que debe contener al espacio coordinado de la representacion regular, y portanto el numero de elementos en el generador S debe ser al menos |G| = dimVG. Luego concluimosque

∑sk=1 d2

k ≥ |G| lo cual implica∑s

k=1 d2k = |G|, dado que la inecuacion recıproca fue obtenida

previamente. Como esto tambien muestra que el numero de elementos en S es igual a la dimensionde VG, la cual genera, se sigue que los elementos de S son linealmente independientes.

10. Funciones de clase

Hemos descripto la representacion regular de G como la representacion lineal derivada de larepresentacion por permutacion de G en G correspondiente a la accion de multiplicar a izquierdaen G. Esto es, a cada elemento g ∈ G le asociamos una permutacion σg : G → G definidapor σgx = gx y en correspondencia con esta permutacion tenemos una matriz de permutacionRg. Luego g 7→ Rg es una representacion matricial. Una version no matricial de la representacionregular puede ser obtenida identificando los elementos de G con los elementos basicos de un espaciovectorial V, en otras palabras, sea V un espacio vectorial |G|-dimensional,elegimos cualquier basede V y una correspondencia 1 a 1 entre estos vectores basicos y los elementos de G, y asociamoscon cada elemento de G la transformacion lineal ρg : V→ V que permuta la base de acuerdo a lapermutacion σg definida antes. Luego, ρ : g 7→ ρg es una representacion de G por transformacioneslineales en el espacio V.

Mas aun, hemos notado que el conjunto VG de todas las funciones a valores complejos en G esun espacio vecotrial |G|-dimensional sobre C. Luego, podemos tomar como espacio V del parrafoanterior como VG. Si para todo x ∈ G definimos la funcion fx ∈ VG por la formula

fxh =

{1 h = x−1

0 h 6= x−1

con lo cual se ve claramente que las fx forman una base de VG que esta en correspondencia unoa uno con los elementos de G. Estas observaciones nos dicen que hay una accion de G en VGtalque gfx = fgx para todo x ∈ G y g ∈ G. Una manera alternativa de describir esta accion es lasiguiente: para cada g ∈ G y f ∈ VmG la funcion gf ∈ VG es dada por

(gf)h = f(hg) ∀h ∈ G

Hemos definido un G-modulo como un espacio vectorial con una G-accion. Hablando estric-tamente, deberıamos llamar a este objeto G-modulo a izquierda, dado que la accion de G es aizquierda. De manera similar, un G-modulo a derecha es un espacio vectorial dotado de una fun-cion (v, g) 7→ vg de V×G en V que satisface

i. (vg)h = v(gh) ∀g, h ∈ G y v ∈ V.



ii. v1 = v ∀v ∈ V, donde 1 es elemento identidad en G.

iii. (u+ v)g = ug + vg ∀g ∈ G y u, v ∈ V.

iv. (λv)g = λ(vg) ∀g ∈ G,v ∈ V y ∀λ ∈ F.

Hemos visto que VG se convierte en un G-modulo a izquierda vıa la accion a izquierda dadapor (gf)h = F (hg) para todo g, h ∈ G y toda funcion f ∈ VG. De hecho, tambien podemos hacerde VG un G-modulo a derecha definiendo fg : G→ C, para g ∈ G y f ∈ VmG por

(fg)(h) = f(gh) ∀h ∈ G

Una pregunta que nos podemos plantear a esta altura es la siguiente: ¿en que elementos de VG

coinciden las acciones a izquierda y derecha?

Definicion 15. Una funcion f : G → C se dice funcion de clase si es constante en clases deconjugacion.

Observacion 5. f es una funcion de clase si y solo si fx = fy siempre que x, y sean conjugadosen G

Proposicion 5. Una funcion f ∈ VG satisface gf = fg para todo g ∈ G si y solo si es una funcionde clase

Demostracion. Supongamos que gf = fg para todo g ∈ G y sean x, y elementos conjugados en G.luego, existe g ∈ G tal que g−1xg = y, y por tanto

fy = f(g−1xg) = (gf)(g−1x) = (fg)(g−1x) = f(g(g−1x)) = fx

donde hemos usado las definiciones de gf y fg y la hipotesis fg = gf . Luego, f es una funcionde clase.

Recıprocamente, supongamos que f es una funcion de clase, y sea g ∈ G arbritario. Notar quepara todo h ∈ G tenemos que

g−1(gh)g = hg

y por tanto gh y hg son conjugados, con lo cual f(gh) = f(hg), dado que f es una funcion declase. Luego

(gf)h = f(hg) = f(gh) = (fg)h ∀h ∈ G

mostrando que gf = fg ∀g ∈ G. �

Por ejemplo, el grupo S3 tiene tres clases por conjugacion. El elemento identidad constituye unaclase, ya que σ−11σ = 1 para todo σ. Tambien (23)−1(12)(23) = (13) y (13)−1(12)(13) = (23) conlo que vemos que (12), (2, 3) y (23) son conjugados y de manera similar (123) = (12)−1(132)(12)muesta que (123) y (132) son conjugados. Una funcion de clase f en S3 esta determinada por unatripleta (x, y, z) de numeros complejos donde

f(1) = xf(12) = f(13) = yf(123) = f(132) = z



Con lo que vemos que las funciones de clase en S3 forman un espacio vectorial de dimension 3.

Proposicion 6. El conjunto de todas las funciones de clase G→ C forman nu subespacio de VG

de diemsion igual al numero de clases de conjugacion en G.

Demostracion. La funcion nula es claramente constante en clases de conjugacion, y por tanto elconjunto de todas las funciones de clase es no vacıo. Si e y f son funciones de clases y si x e y soneleementos arbritarios conjugados de G, entonces fx = fy y ex = ey y luego

(e+ f)x = ex+ fx = ey + fy = (e+ f)y

Luego, e+ f es una funcion de clase y por tanto el conjunto de las funciones de clase es cerradobajo suma. De manera similar, si f es una funcion de clase y λ es un escalar, para cualquier parde elementos conjugados x, y ∈ G

(λf)x = λ(fx) = λ(fy) = (λf)y

lo que muestra que λf es una funcion de clase y consecuentemente el conjunto de todas lasfunciones de clase es cerrado bajo multiplicacion escalar.

Luego, es un subespacio vecotrial de VG.Sean C1,C2, ...,Ct las clases de conjugacion en G, y para cada i de 1 a t sea Fi la funcion

G→ C dada por Fi =∑

y∈Cify−1 , donde las funciones fx ∈ VG son las antes definidas. Luego

Fig =∑

y∈Cify−1g =

{1 g ∈ Ci

0 g /∈ Ci

dado que fy−1(g) es 1 si g = y y 0 de otra manera. toda funcion de clase en G puede serexpresada como combinacion lineal de las Fi, es decir, si f : G → C toma los valores λi enelemnentos de la clase Ci, f =

∑i λiFi. Luego las Fi generan el espacio de funciones de clase. Mas

aun, para cualquier eleccion de coeficientes λi la funcion∑

i λiFi toma el valor λi en los elementosde Ci, luego si

∑i λiFi = 0 entonces todos los coeficientes λi deben ser 0, con lo cual las Fi son

linealmentee independientes. Luego F1, F2, ..., Ft forman una base del espacio de funciones de clase,que tiene claramente diemension t, que es igual al numero de clases de conjugacion en G

�

11. Funciones caracterısticas

Las funciones fx para x ∈ G forman una base de VG. Pero vimos tambien que siR(1), R(2), ..., R(s)

son un conjunto completo de representaciones matriciales irreducibles de G que no son equivalentesde a pares el conjunto S de todas las funciones coordinadasde todas las R(k) tambien forman unabase de VG.Veamos ahora un resultado analogo.

Definicion 16. La caracterıstica de una representacion matricial R de G es la funcion χ : G→ Cdefinida por χ(g) = traza(Rg). Si el grado de R es d y Rij (1 ≤ i, j ≤ d) son las funcionescoordinadas de R entonces χ =

∑di=1 Rii

Veamos que la caracterıstica de una representacion es una funcion de clase. Sean x, g ∈ G

R(g−1xg) = (Rg)−1(Rx)(Rg)



con lo cual R(g−1xg) tiene la misma traza que Rx por ser matrices semejantes, lo cual muestraque χ el mismo valores en elementos cojugados, y por tanto es una funcion de clase.

Proposicion 7. Si χ(1), χ(2), ..., χ(s) son las caracterısticas de un conjunto completo de representa-ciones irreducibles de G entonces forman una base de el espacio de funciones de clase

Demostracion. La independencia lineal de la colecion S de todas las funciones coordenadas de R(k)

implica la independencia lineal de las caracterısticas χk pues si∑

k λkχk = 0 entonces

0 =∑

k λk(∑dk

i=1 R(k)ii ) =

∑i,k λkR

(k)ii

que implica que los coeficientes λk son nulos. Para probar que que las caracterısticas de rep-resentaciones irreducibles forman una base del espacio de funciones de clase queda probar que logeneran.

Sea f una funcion de clase en G, y para cada representacion irreducible R(h) consideramos lamatriz

Mh =∑

g∈G (fg)(R(h)g)

Veamos que Mh conmuta con R(h)x para toda x ∈ G. Tengamos en cuenta que por ser f unafuncion de clase entonces f(x−1gx) = fg para todo g ∈ G y luego

(R(h)x)−1Mh(R(h)x) = (R(h)x)−1(∑

g∈G f(x−1gx)(R(h)g)(R(h)x)=

∑g∈G f(x−1gx)(R(h)x)−1(R(h)g)(R(h)x)

=∑

g∈G f(x−1gx)R(h)(x−1gx)=

∑g∈G fgR(h)(x−1gx)

= Mh.

Luego Mh(R(h)x) = (R(h)x)Mh. Ahora bien, como Rh es irreducible el lema de schur nos diceque Mh = λhI, para cierto escalar λh. Tenendo en cuenta la entrada (i, j) de la matriz Mh notamosque ∑

g∈G (fg)(R(h)ij g) = λhδij

Para toda f1, f2 ∈ VG definimos f1 ∗ f2 ∈ C por

f1 ∗ f2 = 1|G|∑

g∈G (f1g)(f2g)

Ya hemos visto que R(k)pm ∗ R(l)

qn es cero a menos que k = l, p = q,m = n en cuyo caso es1/dk. Como las funciones R(k)

pm generan VG podemos escribir f =∑

k,p,m µkpmR(k)pm para ciertos

coeficientes µkpm ∈ C y esto da

R(h)ij ∗ f =

∑k,p,m µkpm(R(k)

ij ∗R(k)pm) =

∑k,p,m µkpm(1/dk)δhkδipδjm = 1/dhµhij .

De la ecuacion que derivamos del lema de Schur tenemos que R(h)ij ∗ f = λhδij/ |G|, con lo que

mostramos

µhij = dhλhδij|G|



de lo que se sigue que

f =∑

h,i,j µhijR(h)ij = 1

|G|∑

h,i,j dhλhδijR(h)ij = 1

|G|∑

h dhλh(∑

i R(h)ii ) = 1

|G|∑

h dhλhχ(h)

que es una combinacion lineal de las χ(h) como querıamos probar.�

12. Caracterizacion de caracterısticas de representaciones com-plejas irreducibles de un grupo finito

Dado un grupo finito G, elejimos representaciones complejas irreducibles R(1), R(2), ..., R(s) talque R(i) y R(j) no son equivalentes si i 6= j. Tambien hemos mostrado que

∑k d

2k ≤ |G| donde dk es

el grado de R(k). Esto limita el numero de representaciones irreducibles complejas no equivalentesdos a dos de G que podemos tener. Si ahora suponemos que hemos elegido la secuencia anteriorde representaciones de manera tal que incluimos tantas representaciones con las caracterısticasanteriores como sea posible, seguira siendo una secuencia finita, y cada representacion irreduciblecompleja de G sera equivalente a exactamente una de las R(i). Motivados en este hecho, decimosque R(1), R(2), ..., R(s) constituyen un conjunto completo de de representaciones irreducibles de G.

Dado un conjunto completo de representaciones irreducibles de G como el de arriba, sea χ(k)

la caracterıstica de R(k). Esto es, si las funciones coordinadas de R(k) son denotadas por Rkij ,

entonces χ(k) =∑dk

i=1 R(k)jj . Hemos visto que representaciones equivalentes tienen la misma funcion

caracterıstica. Luego, la caracterıstica de cualquier representacion compleja irreducible de G debeser igual a una de las caracterısticas χ(1), χ(2), ..., χ(s).

Tambien hemos probado la ortogonalidad de las funciones coordinadas

1|G|∑


nq(g−1)) = d−1k δnmδpqδkl

para todos los valores con sentido de k, l, p,m, n y q. Haciendo p = m y q = n y sumando sobrem desde 1 hasta dk y n desde 1 hasta dl tenemos

1|G|∑

g∈G (∑dk

m=1 R(k)mmg)(

∑dln=1 R

(l)nn(g−1)) = 1/dkδkl

∑m=1

∑n=1 δnmδmn

La cantidad a la derecha es 0 a menos que l = k en cuyo caso es 1/dk∑

m=1

∑n=1 δnmδmn

que iguala a dk, dado que los dk terminos con n = m contribuye cada uno con un 1 y los terminosrestantes son 0. Luego

1|G|∑

g∈G χ(k)(g)χ(l)(g−1) = δkl

Supongamos ahora que χ y φ son caracterısticas de representaciones complejas irreducibles Ry S. Como antes vimos, sabemos que R es equivalente a R(k) y S a R(l) para ciertos k, l. Por tantoχ = χ(k) y φ = χ(l). Como R(k) y R(l) son equivalentes si y solo si k = l, se sigue que R y S sonequivalentes si y solo si k = l. Si no son equivalentes, entonces

1|G|∑

g∈G χ(g)φ(g−1) = 1|G|∑

g∈G χ(k)(g)χ(l)(g−1) = 0

Si son equivalentes, entonces



1|G|∑

g∈G χ(g)φ(g−1) = 1|G|∑

g∈G χ(k)(g)χ(l)(g−1) = 1

Por tanto, hemos probado el siguiente teorema

Teorema 3. Si χ y φ son caracterısticas de representaciones complejas irreducibles de un grupofinito G, entonces R y S son equivalentes si y solo si χ = φ. Mas aun

1|G|∑

g∈G χ(g)φ(g−1) =

{1 χ = φ

0 χ 6= φ

Hemos visto que toda representacion compleja irreducible de un grupo finito G es equivalentea una representacion unitaria, luego cada caracterıstica de G es la caracterıstica de alguna repre-sentacion unitaria. Pero si R es unitaria entonces

Rij(g−1) = Rijg

para todo g ∈ G, donde Rij son las funciones coordenadas de R. Si χ es la caracterıstica sesigue que

χ(g−1) =∑

i Rii(g−1) =

∑i Riig = χ(g)

con lo cual deducimos que χ(g−1) = χ(g) para cada caracterıstica compleja de un grupo G. Otramanera de ver este resultado es observar que χ(g) = traza(Rg), que es la suma de los autovaloresde la matriz Rg, mientras que χ(g−1) es la suma de los autovalores de R(g−1) = (Rg)−1, que sonlos inversos de los autovalores de Rg. Pero gn = 1 para cierto n, luego (Rg)n = I, de lo que se sigueque los autovalores de Rg son raıces n-esimas de la unidad, y el inverso de una raız n-esima de launidad coincide con el complejo conjugado.

Para f1, f2 : G→ C definimos

(f1, f2) = 1|G|∑

g∈G (f1g)(f2g)

que es un producto interno en el espacio VG. Si χ y φ son caracterısticas de representacionesirreducibles, entonces (χ, φ) es 0 si χ 6= φ y es 1 si χ = φ. A este hecho lo denominamos ortogonalidadde las caracterısticas irreducibles. Si elegimos las representaciones R(1), R(2), ..., R(s) de manera talque sean todas unitarias, con lo cual la ortogonalidad de las funciones coorodinadas se tradue en

(Rkpm, R(l)qn) = (1/dk)δklδpqδmn

Hemos mostrado que estas funciones coordinadas forman una base de VG y las caracterısticasχ(1), χ(2), ..., χ(s) generan el espacio de funciones de clase en G, y dado a que la ortogonalidadde caracterısticas irreducibles nos dice que (χ(i), χ(j)) = δij , se sigue que χ(1), χ(2), ..., χ(s) formanuna base ortonormal del espacio de funciones de clase. Luego, el numero total de caracterısticascomplejas irreducibles de G, es igual al numero de clases por conjugacion en G.

Referencias

[1] W. Adkins,S. Weintraub; Algebra: an approach via module theory. Springer-Verlag New YorkInc., 1992.

[2] B. Howlett; Group representation theory. University of Sidney, 1997.


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