MARCO A. PEREZ B.Universidad Central de Venezuela.Escuela de Matematica.

TOPOLOGIA ALGEBRAICA

Notas de curso

S2 − N, S

S1 × RS1

∼=∼=

Julio, 2012.

Estas notas estan basadas en un curso dado por Fermın Dalmagro en la UCV entre finalesde 2006 y principios de 2007. Cualquier error u omision es responsabilidad del autor.

i

ii

TABLA DE CONTENIDOS

1 CATEGORIAS Y FUNTORES 1

1.1 Categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sucesiones en Mod−R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Los funtores Ext y Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 HOMOTOPIA 11

2.1 Grupo fundamental o de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Homotopıa de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Aplicaciones del grupo fundamental de S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Revestimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 HOMOLOGIA SINGULAR 25

3.1 Homologıa singular y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Sucesion exacta del par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Escision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Sucesion exacta de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Complejos CW y su homologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 VARIEDADES DIFERENCIABLES 41

4.1 Estructuras y aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Fibrados vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Fibrado tangente a una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Fibrado de formas sobre una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 Cohomologıa de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

BIBLIOGRAFIA 57

iii

iv

CAPITULO 1

CATEGORIAS Y FUNTORES

1.1 Categorıas

Una categorıa C es una clase de objetos Ob(C) tal que para cada par de objetos X e Y existe un conjuntode flechas o morfismos HomC(X,Y ) sujeto a las siguientes condiciones:

(1) Para todo X, Y y Z y morfismos f : X −→ Y y g : Y −→ Z, existe una flecha h : X −→ Z llamadacomposicion de f y g, que denotamos por g f . Dicha composicion es asociativa. En este caso, diremosque el siguiente triangulo es conmutativo:

X Y

Z

f

g f

g

(2) Para cada objeto X ∈ Ob(C) existe un morfismo idX ∈ HomC(X,X) tal que para todo Y ∈ Ob(C) ypara todo f : X −→ Y y g : Y −→ X se tiene f idX = f y idX = g.

Dadas dos categorıas C y D, diremos que C es una subcategorıa de D si cada objeto de C es un objeto deD, y para cada par de objetos X e Y en C se tiene HomC(X,Y ) ⊆ HomD(X,Y ).

Ejemplo 1.1.1. Los siguientes son ejemplos de categorıas:

(1) Conj, donde Ob(Conj) son los conjuntos, y HomConj(X,Y ) son las funciones de X en Y .

(2) Top, donde Ob(Top) son los espacios topologicos, y HomTop(X,Y ) son las funciones continuas de Xen Y .

(3) Top1, donde Ob(Top1) son los espacios topologicos (X,x0) con X ∈ Ob(Top) y x0 ∈ X, y losmorfismos HomTop1((X,x0), (Y, y0)) son las funciones continuas de X en Y tales que f(x0) = y0.

(4) Top2, donde Ob(Top2) son los espacios topologicos (X,A) con X ∈ Ob(Top) y A ⊆ X, y los morfismosHomTop2((X,A), (Y,B)) son las funciones continuas de X en Y tales que f(A) ⊆ B.

1

(5) Var, donde Ob(Var) son las variedades diferenciables, y HomVar(X,Y ) son las funciones diferenciablesde X en Y .

(6) Mod−R (resp. R−Mod), donde Ob(Mod−R) (resp. Ob(R−Mod) son los modulos por la derecha(resp. por la izquierda) sobre un anillo R, y HomMod−R(X,Y ) (resp. HomR−Mod(X,Y )) son loshomomorfismos de X en Y .

Mas adelante estudiaremos con mas detenimiento cada una de estas categorıas.

Recordemos que (R,+, ·) es un anillo conmutativo unitario si (R,+) es un grupo abeliano y si las siguientescondiciones se satisfacen para todo a, b, c ∈ R:

(1) a · b = b · a.

(2) (a · b) · c = a · (b · c).

(3) a · (b+ c) = a · b+ a · c.

(4) Existe un elemento 1 ∈ R tal que 1 · a, para todo a ∈ R.

Ejemplo 1.1.2. Z, Q y R son ejemplos de anillos.

Sea (M,+) un grupo abeliano y R un anillo conmutativo unitario. Diremos que M es un modulo sobre Rsi existe una operacion · : R×M −→M tal que las siguientes condiciones se satisfacen para todo a, b ∈ R yx, y ∈M :

(1) a · (x+ y) = a · x+ a · y.

(2) (a+ b) · x = a · x+ b · x.

Sean M y N R-modulos y f : M −→ N . Diremos que f es un homomorfismo de R-modulos si para todox, y ∈M y todo a ∈ R las siguientes condiciones se satisfacen:

(1) f(x+ y) = f(x) + f(y).

(2) f(a · x) = a · f(x).

Ejercicio 1.1.1. Pruebe que todo Z-modulo en un grupo abeliano. Recıcprocamente, todo grupo abelianopuede verse como un Z-modulo. Pruebe tambien que todo modulo sobre un cuerpo es un espacio vectorial.

Ejercicio 1.1.2. Estudiar la estructura anular de Zp := Z/p·Z. Si p es primo, demuestre que Zp es un cuerpo.

Dadas dos categorıas C y D, un funtor de C en D es una asignacion F : C −→ D tal que:

(1) A cada objeto X ∈ Ob(C) le asigna un objeto F (X) en D.

(2) A cada morfismo f ∈ HomC(X,Y ) le asigna un morfismo F (f) ∈ HomD(F (X), F (Y )) sujeto a lassiguientes condiciones:

2

(a) Para cada diagrama conmutativo en C

X Y

Z

f

g f

g

se tiene un diagrama conmutativo en D

F (X) F (Y )

F (Z)

F (f)

F (g f)F (g)

(b) Para cada X ∈ Ob(C) se tiene F (idX) = idF (X).

Un cofuntor o functor contravariante de C en D es una asignacion F : C −→ D tal que:

(1) A cada objeto X ∈ Ob(C) le asigna un objeto F (X) en D.

(2) A cada morfismo f ∈ HomC(X,Y ) le asigna un morfismo F (f) ∈ HomD(F (Y ), F (X)) sujeto a lassiguientes condiciones:

(a) Para cada diagrama conmutativo en C

X Y

Z

f

g f

g

se tiene un diagrama conmutativo en D

F (X) F (Y )

F (Z)

F (f)

F (g f)F (g)

(b) Para cada X ∈ Ob(C) se tiene F (idX) = idF (X).

Ejemplo 1.1.3. Sea H0 : Top −→ Conj el funtor que asigna a cada espacio topologico X el conjuntoH0(X) formado por todas las componentes conexas de X, y a toda funcion continua f : X −→ Y la funcionH0(f) : H0(X) −→ H0(Y ) definida por:

H0(f)(C) = componente conexa de f(C).

3

Este funcor distingue a R de Rn, para todo n ≥ 2. Si R y Rn son homeomorfos, entonces tambien lo sonR − 0 y Rn − (0, . . . , 0). Al aplicar H0, tenemos que H0(R − 0) es un conjunto de dos elementosy H0(Rn − (0, . . . , 0)) es un conjunto de un elemento. Por lo tanto, R y Rn, con n ≥ 2, no pueden serhomeomorfos.

Dada una categorıa C y f ∈ HomC(X,Y ), diremos que:

(1) f es un monomorfismo si para todo Z ∈ Ob(C) y h1, h2 ∈ HomC(Z,X), la igualdad f h1 = f h2

implica h1 = h2.

(2) f es un epimorfismo si para todo Z ∈ Ob(C) y g1, g2 ∈ HomC(Y, Z), la igualdad g1 f = g2 f implicag1 = g2.

(3) f es un isomorfismo si existe g ∈ HomC(Y,X) tal que g f = idX y f g = idY .

Ejercicio 1.1.3. Probar que en la categoria Conj, (1), (2) y (3) son equivalentes a inyectividad, sobreyec-tividad y biyectividad.

Ejercicio 1.1.4. Pruebe que los isomorfismos son invariantes por funtores y cofuntores.

Ejercicio 1.1.5. ¿Son invariantes los epimorfismos?

1.2 Sucesiones en Mod−R

Una sucesion semi-exacta (o complejo de cadena) en Mod−R es una sucesion de R-modulos y homo-morfismos

· · ·An−1∂n−1−→ An

∂n−→ An+1 −→ · · ·donde cada An es un R-modulo y cada ∂n es un homomorfismo de R-modulos, tales que ∂n ∂n−1 = 0, esdecir Im(∂n−1) ⊆ Ker(∂n).

Una sucesion exacta · · · −→ An−1∂n−1−→ An

∂n−→ An+1 −→ · · · es exacta si Ker(∂n) = Im(∂n−1). Recuerdeque para todo homomorfismo g : M −→ N , el nucleo Ker(g) y la imagen Im(g) se definen como

Ker(g) := x ∈M / g(x) = 0,Im(g) := y ∈ N / existe x ∈M tal que g(x) = y.

Un complejo de cadenas es una sucesion semiexacta

A = · · · −→ An+1∂n+1−→ An

∂n−→ An−1 −→ · · ·

4

Dados dos complejos de cadena A y C, una transformacion de cadena g : A −→ C es una sucesion dehomomorfismos de R-modulos (gn : An −→ Cn / n ∈ Z) tales que para cada n ∈ Z el siguiente cuadrado esconmutativo:

An An−1

Cn Cn−1

∂n

gn gn−1

δn

Ejercicio 1.2.1. Probar que los complejos de cadena y las transformaciones de cadena constituyen unacategorıa, a la cual denotaremos por Cad(R).

Ejercicio 1.2.2. Dado un R-modulo M y un submodulo N ⊆ M , diremos que x, y ∈ M son equivalentes(x ∼ y) si x − y ∈ N . Es facil ver que ∼ es una relacion de equivalencia. Denotamos por M/N el conjuntode clases de equivalencia M/N := x mod N : x ∈M. Probar que M/N es un R-modulo.

Ejercicio 1.2.3. Considere la asignacion Hn : Cad(R) −→Mod−R dada por

(1) Hn(A) := Ker(∂n)/Im(∂n+1) (n-esimo grupo de homologıa) para cada complejo de cadena A.

(2) Para cada transformacion de cadena g : A −→ C, sea Hn(g) : Hn(A) −→ Hn(C) el homomorfismodefinido por

Hn(g)(x+ Im(∂n+1)) := gn(x) + Im(δn+1).

Pruebe que Hn(g) esta bien definido. Luego demuestre que Hn es un funtor.

Un complejo de cocadenas es una sucesion semi-exacta

A = · · · −→ An−1∂n−1−→ An

∂n−→ An+1 −→ · · ·

Dados dos complejos de cocadena A y C, una transformacion de cocadenas g : A −→ C es una coleccionde homomorfismos de R-modulos (gn : An −→ Cn / n ∈ Z) tales que para cada n ∈ Z el siguiente cuadradoes conmutativo:

An−1 An

Cn−1 Cn

∂n−1

gn−1 gn

δn−1

Denotaremos por CoCad(R) la categorıa de los complejos de cocadena y las transformaciones de cocadena.

5

Ejercicio 1.2.4. Considere la asignacion Hn : CoCad(R) −→Mod−R dada por

(1) Hn(A) := Ker(∂n−1)/Im(∂n) (n-esimo grupo de cohomologıa) para cada complejo de cadena A.

(2) Para cada transformacion de cocadena g : A −→ C, sea Hn(g) : Hn(A) −→ Hn(C) el homomorfismodefinido por

Hn(g)(x+ Im(∂n)) := gn(x) + Im(δn).

Pruebe que Hn(g) esta bien definido. Luego demuestre que Hn es un funtor.

Un R-modulo P se dice proyectivo si para todo diagrama

P

M N 0

g

f

existe un homomorfismo h : P −→M tal que f h = g. En otras palabras, tenemos un diagrama conmutativo

P

M N 0

g

f

∃ h

Un R-modulo L se dice libre si existe un conjunto B tal que todo elemento de L es combinacion lineal finitade elementos de B, y dicha combinacion es unica.

Ejercicio 1.2.5. Dada una familia de R-modulos (Mα : α ∈ Λ), consideremos el conjunto

M =∏α∈Λ

Mα =

f : Λ −→

⋃α∈Λ

Mα, f(α) ∈Mα

,

al cual denominaremos producto de R-modulos. Demuestre que M tiene estructura de R-modulo. Probarlo mismo para el conjunto

⊕α∈Λ

Mα :=

f ∈

∏α∈Λ

Mα / f(α) = 0, salvo para un numero finito de ındices α

.

Este R-modulo se conoce como suma directa.

Note que si Λ = 1, 2, . . . , n entonces∏ni=1Mi =

⊕ni=1Mi.

6

Una sucesion exacta corta es un diagrama

0 −→M ′′f−→M ′

g−→M −→ 0

tal que Ker(g) = Im(f), f es inyectivo y g es sobreyectivo.

Ejemplo 1.2.1. Si M y N son R-modulos, 0 −→MiM−→M ⊕N pN−→ N −→ 0 es una sucesion exacta corta,

donde iM (x) = (x, 0) y pN (x, y) = y. Note que pM iM = idM y pN iN = idN .

Ejercicio 1.2.6. Probar que todo modulo libre es proyectivo.

Ejercicio 1.2.7. Sea 0 −→ M ′′f−→ M ′

g−→ M −→ 0 una sucesion exacta. Las siguientes condiciones sonequivalentes:

(1) Existe h : M −→M ′ tal que g h = idM .

(2) Existe k : M ′ −→M ′′ tal que k f = idM ′′

(3) Existe h : M −→M ′ y k : M ′ −→M ′′ tal que g h+ k f = idM ′ .

(4) M ′ ∼= M ⊕M ′′.

1.3 Los funtores Ext y Tor

Dado un R-modulo M , denotaremos por Hom(M,−) al funtor Mod−R −→Mod−R definido de la siguientemanera:

(1) Hom(M,N) = homomorfismos de M en N, para cada N ∈Mod−R.

(2) Para cada homomorfismo f : N −→ N ′, Hom(M,f) : Hom(M,N) −→ Hom(M,N ′) es el homomorfismodado por

Hom(M,f)(g) = f g, para todo g ∈ Hom(M,N).

Dado un R-modulo N , consideramos la sucesion exacta

0 −→ N ′′β−→ N ′

α−→ N −→ 0,

donde N ′ es el R-modulo generado por N :

α(r1 · x1 + · · ·+ rn · xn) = r1 · x1 + · · ·+ rn · xn,

donde la suma de la izquierda es una suma formal y la de la derecha es la suma en N , N ′′ = Ker(α) y β esla inclusion.

Proposicion 1.3.1. La sucesion

0 −→ Hom(M,N ′′)Hom(M,β)−→ Hom(M,N ′)

Hom(M,α)−→ Hom(M,N)

es exacta.

7

Se define Ext1(M,N) como

Ext1(M,N) := CoKer(Hom(M,α)) = Hom(M,N)/Im(Hom(M,α)).

Si N es proyectivo entonces Hom(M,α) es un epimorfismo. Entonces Ext1(M,N) = 0 si N es proyectivo.En cierta forma, Ext mide la proyectividad de N .

Ejercicio 1.3.1. Defina el funtor Ext1 : Mod−R −→Mod−R.

Repasemos el producto tensorial de modulos. Dados dos R-modulos M y N , existe un R-modulo K y unaaplicacion bilineal α : M ⊕N −→ K que satisface la siguiente propiedad universal: para todo R-modulo K ′

y toda aplicacion bilineal β : M ⊕ N −→ K ′ existe una unica aplicacion lineal β′ : K −→ K ′ que hace elsiguiente diagrama conmutativo:

M ⊕N K

K ′

α

ββ′

Se puede probar que dicho modulo K es unico salvo isomorfismos.

Damos la construccion de dicho K. Sea D el grupo libre generado por M ⊕N = M ×N ,

D = r1 · (x1, y1) + · · ·+ rn · (xn, yn) : ri ∈ R, xi ∈M, yi ∈ N, ∀ 1 ≤ i ≤ n, con n ∈ N.

Sea H el submodulo de D generado por

(x1 + x2, y)− (x1, y)− (x2, y), (x, y1 + y2)− (x, y1)− (x, y2), (a · x, y)− a · (x, y), (x, b · y)− b · (x, y).

El modulo K se define por K = M ⊗N := D/H, y la aplicacion bilineal α : M ×N −→ K viene dada porα(x, y) = [(x, y)] = x⊗ y.

Dado un R-modulo M y un homomorfismo f : N −→ N ′, M ⊗ f : M ⊗ N −→ M ⊗ N ′ es el unicohomomorfismo que hace conmutativo al siguiente diagrama:

M ×N M ⊗N

M ×N ′ M ⊗N ′

α

M × f M ⊗ f

α′

Ejercicio 1.3.2. Pruebe que:

(1) M ⊗− es funtorial.

(2) M ⊗N ∼= N ⊗M .

8

Ejercicio 1.3.3. Pruebe que si 0 −→ N ′′ −→ N ′ −→ N −→ 0 es una sucesion exacta entonces

N ′′ ⊗M β⊗M−→ N ′ ⊗M α⊗M−→ N ⊗M −→ 0

es una sucesion exacta.

Sean M y N dos R-modulos y considere una resolucion libre de N :

0 −→ N ′′β−→ N ′

α−→ N −→ 0.

Sabemos que la sucesion

N ′′ ⊗M β⊗M−→ N ′ ⊗M α⊗M−→ N ⊗M −→ 0

es exacta. Se define Tor1(N,M) como

Tor1(N,M) := Ker(N,M).

Ejercicio 1.3.4. Demuestre que Tor1 es funtorial. ¿Es cierto que Tor1(M,N) = Tor1(N,M)?

9

10

CAPITULO 2

HOMOTOPIA

2.1 Grupo fundamental o de Poincare

Trabajaremos con la categorıa Top1 de los espacios punteados (X,x0). Dados dos puntos x0 y x1 en un espaciotopologico X, un camino σ que comienza en x0 y termina en x1 es una aplicacion continua σ : [0, 1] −→ Xtal que σ(0) = x1 y σ(1) = x1. Dados dos caminos σ y α que comienzan en x0 y terminan en x1, diremosque σ es homotopico a α si existe una aplicacion continua H : [0, 1]× [0, 1] −→ X tal que:

(1) H(0, t) = x0,

(2) H(1, t) = x1,

(3) H(s, 0) = σ(s),

(4) H(s, 1) = α(s).

Denotaremos por α ∼H σ si α es homotopico a σ.

x0 x1

↵

↵

x0

x1

Proposicion 2.1.1. ∼ es una relacion de equivalencia.

11

Demostracion: Veamos primero que ∼ es una relacion reflexiva. Basta considerar H(s, t) = α(s).Ahora veamos que ∼ es simetrica. Supongamos que α ∼H σ. Luego σ ∼H′ α, donde H ′(s, t) = H(1−s, t).Por ultimo, veamos que ∼ es transitiva. Supongamos que α ∼H σ y que σ ∼H′ β. Entonces α ∼H′′ β,donde

H ′′(s, t) =

H(2s, t), si s ∈ [0, 1/2)H(2s− 1, t), si s ∈ [1/2, 1].

Denotemos por Ω(X,x0) el conjunto de los caminos cerrados que comienzan y terminan en x0. Consideremosel conjunto cociente

π1(X,x0) := Ω(X,x0)/ ∼ .Veamos que este conjunto posee estructura de grupo. Dadas dos clases [α] y [σ], definimos

[σ] ∗ [α] := [σ α], donde σ α(s) :=

α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2,σ2s− 1, si 1/2 < s ≤ 1.

Con esta operacion, π1(X,x0) posee estructura de grupo. Primero verifiquemos que ∗ esta bien definida.Supongamos que σ1 ∼H1

σ2 y α1 ∼H2α2. Se tiene que σ1 α1 ∼H3

σ2 α2, donde

H3(s, t) =

H1(2s, t), si 0 ≤ s ≤ 1/2,H2(2s− 1, t), si 1/2 < s ≤ 1.

Por lo tanto, ∗ esta bien definida.

x0 x0 x0 x01

2 ↵2

↵1

H1 H2

H3

2 ↵2

1 ↵1

x0 x0

(1) Axioma del elemento neutro: Definamos el camino e(t) = x0. Es facil ver que [σ] ∗ [e] = [σ] y[e] ∗ [σ] = [σ]. En el case σ σ0 ∼H σ, la funcion H esta dada por

H(s, t) =

σ(s), si 0 ≤ s ≤ 2−t

2 ,x0, si 2−t

2 < s ≤ 1.

Considere las rectas L1 : y = 2x y L2 : y = −2x + 2. El siguiente diagrama explica el axioma delelemento neutro.

12

(1, 0)

L1

L2

0

(2) Dada una clase [σ], definamos [σ]−1 = [σop], donde σop(s) = σ(−s). Tenemos que [σ] ∗ [σop] = [e],donde σ σop ∼H e a traves de la funcion

H(s, t) =

σ(s), si 0 ≤ s ≤ t2 ,

x0, si t2 < s ≤ 2−t

2 ,σop(s), si 2−t

2 < s ≤ 1.

op

x0

x0 op

Ejercicio 2.1.1. Probar que el producto ∗ es asociativo.

Con la operacion ∗, el par (π1(X,x0), ∗) se conoce como el Grupo Fundamental (o de Poincare) de Xen x0.

Ejercicio 2.1.2. Dado un morfismo f : (X,x0) −→ (Y, y0) en Top1, sea π1(f) : π1(X,x0) −→ π1(Y, y0) laaplicacion dada por π1(f)([σ]) = [f σ], para todo [σ] ∈ π1(X,x0). Probar que π1(f) esta bien definida,es decir, si σ ∼ α en (X,x0), entonces f σ ∼ f α en (Y, y0). Probar ademas que π1(−) es un funtorTop1 −→ Grp.

13

2.2 Homotopıa de funciones

Dados dos morfismos f, g : (X,x0) −→ (Y, y0) en Top1, diremos que f es homotopica a g (denotado porf ≈ g) si existe una funcion continua H : I×X −→ Y tal que H(0, x) = f(x) y H(1, x) = g(x). Denotaremospor [f ] a la clase de equivalencia de f .

Proposicion 2.2.1. ≈ es una relacion de equivalencia.

Diremos que un morfismo f : (X,x0) −→ (Y, y0) en Top1 es una equivalencia de homotopıa si existe otromorfismo g : (Y, y0) −→ (X,x0) tal que f g ≈ idY y g f ≈ idX . En este caso, diremos que (X,x0) y (Y, y0)son homotopicos, y denotaremos esta condicion por (X,x0) ≈ (Y, y0). Diremos que un espacio (X,x0) escontractil si idX ≈ constante.

Proposicion 2.2.2. Sean f, g : (X,x0) −→ (Y, y0) dos morfismos en Top1. Si [f ] = [g] entoncesπ1(f) = π1(g).

Demostracion: Tenemos que probar que f σ ∼ g σ, para todo [σ] ∈ π1(X,x0). Sabemos que existeuna funcion continua H : I ×X −→ Y tal que H(0, x) = f(x) y H(1, x) = g(x). Definimos

H ′(s, t) =

H(2s, σ(t)), si 0 ≤ s ≤ 1/2,H(2s− 1, σ(t)), si 1/2 < s ≤ 1.

Note que H ′(0, σ(t)) = f σ(t) y H ′(1, σ(t)) = g σ(t).

Corolario 2.2.1. Si (X,x0) es contractil entonces π1(X,x0) = 0.

Demostracion: Tenemos que idX ≈ c0, donde c0 es la funcion constante x 7→ x0. Entonces π1(idX) =π(c0). Luego, para todo camino σ centrado x0, se tiene [σ] = π1(idX)([σ]) = π1(c0)([σ]) = [e].

Proposicion 2.2.3. Todo subespacio conexo de Rn es contractil.

Demostracion: Fijamos x0 ∈ X, donde X es un subespacio convexo de Rn. Sea H : I ×X −→ X lafuncion continua dada por H(s, x) = s · x + (1 − s) · x0. Tenemos H(0, x) = x0 (contante) y H(1, x) =x = idX(x).

14

Ejercicio 2.2.1. Sea (X,x0) un espacio topologico contractil. Entonces todo par de funcionesf, g : (X,x0) −→ (X,x0) son homotopicas.

Diremos que un espacio X es simplemente conexo si π1(X,x0) = 0, para todo x0 ∈ X.

Proposicion 2.2.4. Sea U, V un cubrimiento abierto de X. Si U y V son subespacios simplementeconexos de X y U ∩ V es conexo por arcos, entonces X es simplemente conexo.

Demostracion: Consideremos solo el caso no trivial en el que U ∩ V 6= ∅. Consideremos un camino σen X, debemos probar que σ es homotopico a e. Los casos σ ⊆ U y σ ⊆ V son triviales. Consideremosel caso no trivial.

U Vx0

Tenemos que σ−1(U), σ−1(V ) es un cubrimiento abierto de [0, 1]. Por el Lema del Cubrimiento deLebesgue, existe λ > 0 tal que para todo x ∈ [0, 1], B(x, λ) ⊆ σ−1(U) o σ(x, λ) ⊆ σ−1(V ). Como I esun espacio compacto, existe una particion x0 = 0 < x1 < · · · < xn = 1 tal que para todo intervalo de laparticion [xj−1, xj ] ⊆ σ−1(U) o [xj−1, xj ] ⊆ σ−1(V ). Podemos suponer sin perdida de generalidad quepara todo i = 1, . . . , n− 1, σ(xi) ∈ Ui ∩ Uj , donde Ui = σ([xi−1, xi]). Hagamos una prueba para n = 2,tenemos el siguiente grafico:

U Vx0 (x1)

(x2)

Los caminos β y la parte derecha de σ son homotopicos porque β−1 σ ∼ σ(x1). Ademas, la parteizquierda de σ compuesta con β es homotopica a 0. De esto se sigue el resultado.

Corolario 2.2.2. La espera Sn es simplemente conexo, para todo n ≥ 2.

15

Demostracion: Sean N y S los polos Norte y Sur de la esfera, respectivamente. Como U = Sn − Ny V = Sn − S son simplemente conexos, y como U ∩ V = Sn − N,S es conexo por arcos, se tieneque Sn es simplemente conexo.

Ejercicio 2.2.2. Hacer la prueba para n 6= 2.

Ejercicio 2.2.3. Probar que si un espacio topologico es conexo por arcos, entonces π1(X,x0) no dependede la eleccion de x0.

Lema 2.2.1. π1(S1, 1) = Z.

Considere la funcion e(t) = exp(2πit). Considere el conjunto cociente R/Z, donde [t] = [t′] si 2πt− 2πt′ = npara algun n ∈ Z. Considere la aplicacion ρ(exp(2πit)) = [t]. Tenemos que ρ esta bien definida porque e esperiodica. Mas aun, ρ es un homeomorfismo porque ρ es biyectiva y S1 es un espacio compacto.

R

R/Z S1

e

ρ

Proposicion 2.2.5. Para todo camino σ : I −→ S1 tal que σ(0) = σ(1) = 1, se tiene:

(1) Existe σ′ : I −→ R tal que σ′(0) = 0 y e σ′ = σ.

(2) Si α : I −→ S1 es otro camino con α(0) = α(1) = 1 y H es una homotopıa de σ en α, entonces existeH ′ : I × I −→ R tal que σ′ ∼H′ α′.

R

I S1

eσ′

σ

Note que como e(σ′(1)) = 1, se tiene e−1(1) = Z, de donde σ′ termina en un entero. Sea Y = I o Y = I × I,luego 0 = 0 o 0 = (0, 0). Consideremos una funcion f : Y −→ S1. Busquemos una funcion f ′ : Y −→ R talque f ′(0) = 0, e f ′ = f . Note que la funcion e satisface e(−1/2, 1/2) ⊆ S1 − −1 (homeomorficamente).

R

Y S′

f′

f

e

16

Demostracion: Note que e es un homeomorfismo local, en particular (−1/2, 1/2) ∼=e S1 − −1.

(1) Si f(Y ) ⊆ S1 − −1 entonces f ′ = e−1|(−1/2,1/2) f .

(2) En caso contrario, sea Γ un cubrimiento abierto por arcos conexos de S1 de longitud menor que π.Luego, f−1(Y ) es un cubrimiento abierto de Y . Por el Lema del Cubrimiento de Lebesgue, existeλ > 0 tal que si |x− z| < λ entonces existe U ∈ Γ tal que x, z ∈ f−1(U) implica que f(x) 6= −f(z),

de donde se sigue que f(x)f(z) 6= −1. Sea N ∈ N tal que Y ⊆ B(0, Nλ). Definamos f ′. Sea y ∈ Y .

Notamos que

f(y) =

f(y)

f(

(N−1)N · y

) ·f(

(N−1)N · y

)f(N−2N · y

) · [f (N−2

N · y)

f(N−3N · y

)] · · ·[f ( yN )f(0)

].

Ademas ∣∣∣∣y − (N − 1)

N· y∣∣∣∣ =

∣∣∣ yN

∣∣∣ < ε,∣∣∣∣N − kN· y − N − (k + 1)

N· y∣∣∣∣ =

∣∣∣ yN

∣∣∣ < ε.

Sea ψ : S1 − −1 −→ (−1/2, 1/2) la inversa local de e. Tenemos

f ′(y) = ψ

f(y)

f(

(N−1)N · y

)+ ψ

f(

(N−1)N · y

)f(

(N−2)N · y

)+ · · ·+ ψ

(f(yN

)f(0)

),

f ′(0) = ψ(1) + · · ·+ ψ(1) = 0 + · · ·+ 0 = 0,

e f ′(y) = f(y).

Corolario 2.2.3. Si σ ∈ Ω(S1, 1) entonces σ1(1) ∈ Z y σ ∼ β =⇒ σ′(1) = β′(1).

Demostracion del Lema 2.2.1: Definamos la aplicacion χ : π1(S1, 1) −→ Z por χ([σ]) = σ′(1).Supongamos que χ([σ]) = m = σ′(1) y χ([β]) = n = β′(1). Tenemos

χ([σ] ∗ [β]) = χ([σ β]) = m+ n.

Se tiene que χ es un homomorfismo de grupos. Ahora, para cada n ∈ Z, se tiene que n es imagen deσ(t) = exp(2πint), es decir, que χ es un epimorfismo. Por ultimo, supongamos que χ([σ]) = 0. Entoncesσ′(1) = 0. De donde σ′ comienza y termina en 0. Se sigue que σ′ ∼ 0 y por tanto e σ′ ∼ e(0) = 1.Entonces, [σ] = 0. Por lo tanto, χ es tambien un monomorfismo.

17

2.3 Aplicaciones del grupo fundamental de S1

Sea A ⊆ X un subespacio de X. Se dice que A es un retracto de X si existe un diagrama conmutativo

A X

A

i

idA

r

Ejercicio 2.3.1. ¿Si X es un espacio de Hausdorff y A es un retracto de X, entonces A debe ser cerrado?

Si A es un retracto de X, tenemos el siguiente diagrama conmutativo en Grp:

π1(A, a) π1(X, a)

π1(A, a)

π1(i)

idπ1(A,a) = π1(idA)

π1(r)

De donde π(r) es un epimorfismo y π1(i) es un monomorfismo.

Un retracto r : X −→ A se dice retracto por deformacion si la composicion Xr−→ A

i−→ X es homotopicaa la identidad idX : X −→ X.

A X

A X

π1(A) π1(X)

π1(A) π1(X)

i

idA

ridX

i

π1(i)

idπ1(r)

id

π1(i)

De este diagrama se sigue que π1(r) es un monomorfismo. En efecto, sea b ∈ Ker(π1(r)), luego

i π1(r)(b) = 0 = id(b) = b =⇒ Ker(π1(r)) = 0.

Ejemplo 2.3.1.

(1) Sea X un subconjunto convexo de Rn y A = x0, para algun x0 ∈ X. Entonces A es retracto pordeformacion de X. Basta considerar la homotopıa

H(x, t) = (1− t) · x+ t · x0.

18

(2) El cırculo S1 es retracto de D2 − 0. Sea r : D2 − 0 −→ S1 la funcion dada por r(x) = x||x|| . La

funcion H : D2 − 0 × I −→ D2 − 0 dada por

H(x, t) = (1− t) · x+ t · x

||x||

es la homotopıa deseada.

Ejercicio 2.3.2. ¿Puede ser que S1 fuese retracto por deformacion del disco?

Teorema 2.3.1 (Teorema del Punto Fijo de Brower). Toda funcion continua de D2 en D2 tiene un punto fijo.

Demostracion: Sea f : D2 −→ D2 una funcion continua tal que f(x) 6= x, para todo x ∈ D2.Escribimos f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)). Existe t ∈ R tal que

||(1− t) · (f1(x, y), f2(x, y)) + t · (x, y)|| = 1.

Tal t (positivo) es unico y denotamos t := g(x, y). Se puede demostrar que g es una funcion continua.Podemos definir una retraccion

r(x, y) = (1− g(x, y)) · f(x, y) + g(x, y) · (x, y).

La funcionH((x, y), s) = (1− s) · (x, y) + s · r(x, y)

es la homotopıa deseada. De donde, D2 es retracto a S1, obteniendo ası una contradiccion, pues serompe la continuidad de f .

Ejercicio 2.3.3. Probar que r(x, y) en la prueba anterior es una retraccion.

Ejercicio 2.3.4. Probar el Teorema Fundamental del Algebra usando homotopıas.

Dados dos espacios topologicos X e Y , existe una manera sencilla de calcular el grupo fundamental de X×Y :

π1(X × Y, (x0, y0)) ∼= π1(X,x0)⊕ π1(Y, y0).

Para probar este isomorfismo, considere la sucesion

(Y, y0)i1−→ (X × Y, (x0, y0))

p2−→ (X,x0),

donde i1(y) = (x0, y) y p2(x, y) = x. Esta sucesion da lugar a una sucesion exacta en Grp:

0 −→ π1(Y )π1(i1)−→ π1(X × Y )

π1(p2)−→ π1(X) −→ 0,

19

la cual se parte, pues la funcion i2 : X −→ X×Y dada por x 7→ (x, y0) satisface la igualdad π1(p2)π1(i2) =idπ1(X). De esto se sigue que el isomorfismo anterior.

Ejercicio 2.3.5. Probar que la sucesion anterior es exacta.

2.4 Revestimientos

Una funcion continua p : (E, e0) −→ (B, b0) es un revestimiento si existe un cubrimiento abierto Γ de Btal que para todo U ∈ Γ existe una familia Vαα∈Λ de abiertos disjuntos de E tal que p−1(U) =

⋃α∈Λ Vα y

p|Vα : Vα ∼= U . El espacio B es conexo y localmente conexo por arcos. Los elementos de Γ se conocen comoabiertos distinguidos y para cada U ∈ Γ, los correspondientes Vα son laminas sobre U .

E

B

V↵1

V↵2

V↵3

...

Ejemplo 2.4.1.

(1) La funcion e : (R, 0) −→ (S1, 1) dada por e(i) = exp(2πit) es un revestimiento, tomando el cubrimientode abiertos distinguidos Γ = U1 = S1−1, U2 = S1−−1. Tenemos que e−1(U1) =

⋃n∈Z(n, n+1)

y e−1(U2) =⋃n∈Z

(n− 1

2 , n+ 12

).

(2) La funcion S1 −→ S1 dada por z 7→ zn es tambien un revestimiento, donde cada arco de longitud 2π/nes un abierto distinguido, y cada uno de estos arcos tiene n preimagenes.

(3) El Espacio Proyectivo Real de dimension n se define como el cociente de RPn := Rn+1 − 0/ ∼,donde y ∼ x si existe λ 6= 0 tal que y = λx. Note que en Sn, dos puntos son equivalentes si, y solo sison antipodales. Ademas, Sn/ ∼∼= RPn. La proyeccion canonica p : Sn −→ RPn es un revestimiento,en el que cada abierto tiene dos preimagenes. Notese ademas las siguientes igualdades:

RP1 = y = 1 ∪ ∗ = S1,

RP2 = z = 1 ∪ RP1 ⊆ R2 ∪ RP1,

...

20

Lema 2.4.1. Sea p : (E, e0) −→ (B, b0) un revestimiento y f : (Y, y0) −→ (B, b0) una funcion continua,donde (Y, y0) es un espacio conexo y localmente conexo por arcos. Si existe un levantamiento de f , entoncesdicho levantamiento es unico.

(E, e0)

(Y, y0) (B, b0)f

pf′

Demostracion: Suponemos que g, h : (Y, y0) −→ (E, e0) son dos levantamientos de f , por lo queph = pg = f . Sea A = y ∈ Y : h(y) = g(y). Note que A es un cerrado no vacıo. Ahora veamos queA es tambien abierto. Sea y ∈ A y sea U un abierto que contiene a y. Luego, g(y) pertenece a algunalamina de U , digamos Vα. De la misma manera, h(y) pertenece a alguna otra lamina de U , digamos Vβ .Tenemos y ∈ h−1(Vβ) ∩ g−1(Vα), por lo que h−1(Vβ) ∩ g−1(Vα) es un abierto no vacıo. Vamos a probarque h−1(Vβ) ∩ g−1(Vα) ⊆ A. Si z ∈ h−1(Vβ) ∩ g−1(Vα) entonces h(z) ∈ Vβ y g(z) ∈ Vα. De aquı, α = βporque Vβ y Vα son disjuntos. Ası se tiene

p|Vβ (h(z)) = f(z) = p|Vβ (g(z)) =⇒ h(z) = g(z), porque p|Vβ es un homeomorfismo.

Por lo tanto, z ∈ A. Como (Y, y0) es conexo, se tiene que A = Y , es decir g = h.

Proposicion 2.4.1 (Levantamiento de caminos). Si p : (E, e0) −→ (B, b0) es un revestimiento, entoncestodo camino en B que comienza en b0 se levanta a un unico camino en E que comienza en e0.

Demostracion: Sea σ : I −→ (B, b0) un camino que comienza en b0.

(1) Si σ esta enteramente contenido en un abierto distinguido, entonces σ se levanta a (E, e0).

E

BU

V↵

b0

e0

p|V↵

•

•

(p|V↵)1

0 1

21

(2) Si σ no esta enteramente contenido en un abierto distinguido, precedemos de la siguiente manera:σ−1(Γ) = σ−1(U) : U ∈ Γ es un cubrimiento abierto de [0, 1]. Por argumentos de compacidady por el Lema de Lebesgue, existe una particion 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 tal que para todo0 ≤ j < n existe Uj ∈ Γ tal que σ([tj , tj+1]) ⊆ Uj . Tenemos σ(tj) ∈ Uj ∩ Uj+1.

E

Bt0 t1 t2

V↵1 V↵2

p

El camino σ(0, t1) se levanta a un camino σ′0 en una lamina Vα0que contiene a e0. De forma

similar, σ(t1, t1) se levanta a un camino σ′1 en una lamina Vα1 que contiene a σ′0(t1), y asısucesivamente. Se puede probar que σ′ = σ′0 σ′1 · · · σ′n es un levantamiento de σ que comienzaen e0.

Ejercicio 2.4.1. Complete los detalles del caso (2) en la demostracion anterior.

Teorema 2.4.1. Si p : (E, e0) −→ (B, b0) es un revestimiento, toda homotopıa en B se levanta a una unicahomotoıa.

Demostracion: Sea H : (I × I, 0) −→ (B, b0) una homotopıa en B.

(E, e0)

(I × I, 0) (B, b0)H

H′

Si H(I× I) ⊆ U , donde U es un abierto distinguido que contiene a b0, elegimos una lamina Vα0 de U quecontiene a e0, entonces (p|V−α)−1 H es el levantamiento deseado de H. La prueba del caso no trivialse la dejamos al lector.

22

Ejercicio 2.4.2. Demuestre el caso (2) del teorema anterior.

Tenemos las siguientes consecuencias:

(1) Para todo revestimiento p : (E, e0) −→ (B, b0), el homomorfismo π1(p) : π1(E, e0) −→ π1(B, b0) es unmonomorfismo.

En efecto. sea σ un camino cerrado en (E, e0) tal que π1(p)([σ]) = 0. Tenemos que [p σ] = 0. Porunicidad de levantamientos, se tiene que σ es el unico levantamiento de p σ. Entonces tenemos

p σ ∼ b0 =⇒ σ ∼ e0 =⇒ [σ] = 0.

(2) Para todo b ∈ B, Card(p−1(b0)) = Card(p−1(b0)).

Sea h : p−1(b0) −→ p−1(b1) la funcion dada por h(e) = σ′e(1), donde σ′e es el levantamiento de σ quecomienza en e. Esta funcion resulta ser biyectiva.

(3) Considere el diagrama

(E, e0) (E, e0)

(B, b0)

h

pp

Sea G el conjunto de los homeomorfismos h levantados de p. Como

p (h1 h2) = (p h1) h2 = p h2 = p.

Entonces G es cerrado bajo la operacion de composicion. Se puede probar que G posee estructura degrupo.

Ejercicio 2.4.3. La aplicacion F : π1(B, b0) −→ G dada por [σ] 7→ h es un isomorfismo de grupos.

Teorema 2.4.2. Si π1(f)(π1(Y, y0)) ⊆ π1(p)(π1(E, e0)) entonces f se levanta.

23

24

CAPITULO 3

HOMOLOGIA SINGULAR

3.1 Homologıa singular y sus propiedades

Consideremos los siguientes puntos en el espacio Rn.

E0 = (0, 0, . . . , 0),

E1 = (1, 0, . . . , 0),

E2 = (0, 1, . . . , 0),

...

En = (0, 0, . . . , 1).

Sea 0 ≤ q ≤ n. El conjunto

∆q := λ1E1 + · · ·+ λqEq : λ1 + · · ·+ λq = 1

se denomina capsula convexa o q-simple de E0, E1, . . . , Eq. Note que ∆1, ∆2 y ∆3 tienen las siguientesformas en R3.

E0

E1

E2

E3

••

•

E0

E2

E1

E0

E1

1

2 3

Sea X un espacio topologico. Un q-simple singular es una aplicacion continua σ : ∆q −→ X. Note que un0-simple es un punto, los 1-simples son segmentos de rectas, y los 2-simples son triangulos en X.

25

Fijemos un anillo A y sea Sq(X) el A-modulo libre generado por los q-simples singulares. Definimos unaaplicacion ∇iq : ∆q −→ ∆q+1, con i = 0, 1, . . . , n por

∇iq(Ej) :=

Ej , si j < i,Ej+1, si j ≥ i.

y extendemos por linealidad. Por ejemplo, ∇02(E0) = E1, ∇0

2(E1) = E2, ∇02(E2) = E3, ∇1

2(E0) = E0,∇1

2(E1) = E2, ∇12(E2) = E3, etc.

E2

E3

E0

E1

E0

Definimos la aplicacion ∂q : Sq(X) −→ Sq−1(X) por

∂q(σ) :=

q∑i=0

(−1)iσ ∇iq−1.

Proposicion 3.1.1. La sucesion

S(X) : · · · −→ Sq(X)∂q−→ Sq−1(X) −→ · · · −→ S1(X) −→ S0(X) −→ 0

es un complejo de cadenas.

Primero probemos algunos lemas, antes de demostrar la proposicion anterior.

Lema 3.1.1. Para todo i < j, ∇iq ∇jq−1 = ∇jq ∇i−1q−1.

Demostracion: 0 < j < i: ∇iq ∇jq(E0) = E0 = ∇jq ∇i−1q−1(E0). Ahora supongamos que 0 < · · · < j <

· · · < i− 1 < i < · · · < n. Tenemos

∇iq ∇jq−1(Ej) = ∇iq(Ej+1) =

Ej+1, si i < j + 1,Ej+1, si i ≥ j + 1.

= ∇jq ∇i−1q−1(Ej).

26

Ahora probaremos que ∂q−1 ∂q(σ) = 0:

∂q−1

(q∑i=1

(−1)iσ ∇jq

)=

q∑j=0

(q∑i=0

(−1)i+jσ ∇iq ∇jq

)=∑j<i=1

(−1)i+jσ ∇iq ∇jq−1 +∑j≥i=1

(−1)i+jσ ∇iq ∇jq−1

∂q−1

(q∑i=1

(−1)iσ ∇jq

)=∑j<i=1

(−1)i+jσ ∇jq ∇i−1q−1 +

∑j≥i=1

(−1)i+jσ ∇iq ∇jq−1.

Haciendo i− 1 = j y j = i, se cancelan los sumandos.

Proposicion 3.1.2. S(−) : Top −→ Cad(R) define un functor de la categorıa de los espacios topologicosen la categorıa de los complejos de cadena.

Considere una funcion continua f : X −→ Y . Definimos S(f) := f∗ : Sq(X) −→ Sq(Y ) como la aplicacionσ 7→ f σ.

∆q X

Y

σ

f

Tenemos el siguiente diagrama de complejos de cadena:

S(X) : · · · Sq(X) Sq−1(X) · · · S1(X) S0(X) 0

S(Y ) : · · · Sq(Y ) Sq−1(Y ) · · · S1(Y ) S0(Y ) 0

∂q

f∗ f∗

∂1

f∗ f∗

∂q ∂1

Veamos que f∗ ∂q = ∂q f∗:

f∗ ∂q(σ) = f∗

(q∑i=0

(−1)iσ ∇iq−1

)=

q∑i=0

(−1)if σ ∇iq−1 = ∂q(f σ) = ∂q f∗(σ).

Tenemos que f∗ es una transformacion de cadenas. Ademas,

g∗ f∗(σ) = g∗(f σ) = g (f σ) = (g f) σ = (g f)∗(σ),

(idX)∗(σ) = idX σ = σ = idS(X)(σ).

Dado un espacio topologico X, denotaremos por Hq(X) el q-esimo grupo de homologıa del complejo S(X):

Hq(X) :=Ker(∂q : Sq(X) −→ Sq−1(X))

Im(∂q+1 : Sq+1(X) −→ Sq(X))

27

La sucesion de grupos H(X) := (Hq(X))q≥0 se conoce como la homologıa singular de X.

Proposicion 3.1.3. Si X es un espacio conexo por arcos, entonces H0(X) ∼= A.

Demostracion: Consideremos la aplicacion h : H0(X) = S0(X)Im(∂1) −→ A dada por

(λ1x1 + · · ·+ λnxn) + Im(∂1) 7→ λ1 + · · ·+ λn.

Esta aplicacion esta bien definida. En efecto,

λ1x1 + · · ·+ λnxn ∼ β1y1 + · · ·+ βmym ⇐⇒ λ1x1 + · · ·+ λnxn = β1y1 + · · ·+ βmym

+ ∂(γ1σ1 + · · ·+ γkσk)

⇐⇒ λ1x1 + · · ·+ λnxn = β1y1 + · · ·+ βmym

+ γ1(σ(E1)− σ(E0)) + · · ·+ γk(σ(E1)− σ(E0))

Ahora apliquemos h:

λ1 + · · ·+ λn = β1 + · · ·+ βm + γ1z1 − γ1z2 + γ2z1 − γ2z2 + · · · ,donde γ1z1 − γ1z2 + γ2z1 − γ2z2 + · · · = 0.

Entonces, h esta bien definida. Es claro que h es un epimorfismo. Para ver que h es un monomorfismo,supongamos que h((λ1x1 + · · · + λnxn) + Im(∂1)) = 0. Elegimos x0 ∈ X. Para cada xj , elegimos uncamino σj que comience en x0 y termine en xj . Sea λ1σ1 + · · ·+ λnσn ∈ S1(X). Tenemos

∂1(λ1σ1 + · · ·+ λnσn) = λ1∂1(σ1) + · · ·+ λn∂1(σn)

= λ1x1 + · · ·+ λnxn −

n∑i=j

λj

· x0

= λ1x1 + · · ·+ λnxn.

Por lo tanto, (λ1x1 + · · ·+ λnxn) + Im(∂1) = 0.

Si A = Z, se puede probar que H1(X) es el conmutador de π1(X). Si π1(X) es abeliano, entoncesH1(X) = π1(X).

Proposicion 3.1.4. Sea X un punto. Entonces

Hq(X) =

0 si q 6= 0,A si q = 0.

28

Demostracion: Note que Sq(X) = A.

· · · −→ A∂q−→ A −→ · · · −→ A ∂1−→ A −→ 0.

Tenemos

∂q(σ) =∼qi=0 (−1)iσ ∇iq−1 =

0 si q es par,1 si q es impar.

Luego, nos queda que Hq(X) =Ker(∂q)

Im(∂q+1) = AA = 0 si q es par y q > 0, y Hq(X) =

Ker(∂q)Im(∂q+1) = 0

0 = 0 si q

es impar. El caso q = 0 se sigue del la proposicion anterior.

Lema 3.1.2. Si f, g : X −→ Y son dos funciones continuas tales que f ∼H g, entonces f∗ = g∗ en cadaHq(X).

Demostracion: Existe una homotopıa H : X × I −→ Y . Considere las funciones α0, α1 : X −→ X × Idadas por α0(x) = (x, 0) y α1(x, 1). Tenemos que f = H α0 y g = H α1. Luego, f∗ = H∗ (α0)∗ yg∗ = H∗ (α1)∗. Entonces basta probar que (α0)∗ = (α1)∗. Como α0 y α1 son homotopicas, existe unafamilia de homomorfismos βq : Sq(X) −→ Sq+1(X) tal que en el diagrama

· · · Sq+1(X) Sq(X) Sq−1(X) · · ·

· · · Sq+1(X × I) Sq(X × I) Sq−1(X × I) · · ·

∂Xq+1

(α1)∗(α0)∗

∂Xq

(α0)∗(α1)∗ (α0)∗(α1)∗

∂X×Iq+1 ∂X×Iq

se cumple la relacicon βq−1 ∂Xq + ∂X×Iq+1 β1 = (α1)∗ − (α0)∗. Luego, para cada σ en Hq(X) tenemos:

βq−1 ∂Xq (σ) + ∂X×Iq+1 β1(σ) = (α1)∗(σ)− (α0)∗(σ)

0 + 0 = (α1)∗(σ)− (α0)∗(σ).

Entonces, (α1)∗ = (α0)∗.

Corolario 3.1.1. Si X es un espacio contractil entonces Hq(X) =

0 si q = 0,A si q = 0.

Demostracion: Como X es contractil, idX ∼ c, donde c es una constante. Por el lema previo, (idX)∗ =c∗ = 0. Se sigue que Hq(X) = 0 para cada q > 0. El caso q = 0 se sigue porque X es conexo por arcos.

29

Corolario 3.1.2. Sea A ⊆ X. Si A es un retracto por deformacion de X entonces Hq(X) = Hq(A), paracada q ≥ 0.

Demostracion: Consideremos el diagrama conmutativo

A X X

A

i

idA

idX

ri

Aplicando el funtor Hq(−), obtenemos el diagrama

Hq(A) Hq(X) Hq(X)

Hq(A)

i∗

idHq (A

)

idHq(X)

r∗i∗

Se sigue que r∗ es un isomorfismo.

Ejercicio 3.1.1. Dado un subespacio A ⊆ X, considere el cilindro A × I ⊆ X × I. Probar queHq(A× I) = Hq(A).

30

3.2 Sucesion exacta del par

Consideremos un par (X,A), donde X es un espacio topologico y A ⊆ X es un subespacio. La inclusioni : A −→ X induce una transformacion de cadenas i∗ : S(A) −→ S(X),

Sq(A) Sq−1(A)

Sq(X) Sq−1(X)

∂Aq

i∗ i∗

∂Xq

Tenemos la siguiente sucesion exacta corta

0 −→ S(A) −→ S(X) −→ S(X,A) :=S(X)

S(A)−→ 0.

Es decir, se tiene el siguiente diagrama conmutativo con columnas exactas:

0 0 0

S(A) : · · · Sq+1(A) Sq(A) Sq−1(A) · · ·

S(X) : · · · Sq+1(X) Sq(X) Sq−1(X) · · ·

S(X,A) : · · · Sq+1(X)Sq+1(A)

Sq(X)Sq(A)

Sq−1(X)Sq−1(A) · · ·

0 0 0

∂Aq+1

i

∂Aq

i i

∂Xq+1

p

∂Xq

p p

∂(X,A)q+1 ∂

(X,A)q

donde∂(X,A)q (σ + Sq(A)) = ∂Xq (σ) + Sq−1(A).

Teorema 3.2.1. Existe un homomorfismo de grupos, ∆ : Hq(X,A) −→ Hq−1(A), llamado homomorfismode conexion, tal que la sucesion

· · · −→ Hq(A)i∗−→ Hq(X)

p∗−→ Hq(X,A)∆−→ Hq−1(A) −→ · · ·

es exacta.

31

Ejercicio 3.2.1. Si A ⊆ X ′ ⊆ X entonces existe un homomorfismo de grupos ∆ : Hq(X,X′) −→

Hq−1(X ′, A) tal que la sucesion

· · · −→ Hq(X′, A)

i∗−→ Hq(X,A)i∗−→ Hq(X,X

′)∆−→ Hq−1(X ′, A) −→ · · ·

es exacta.

Como consecuencia de este ejercicio, se tiene Hq(Dn, Sn−1) ∼= Hq(S

n−1).

Un retracto por deformacion r : X −→ A (i r ∼H idX) es un retracto por deformacion fuerte si lahomotopıa H : X × I −→ X cumple:

(1) H(x, 0) = x, para todo x ∈ X.

(2) H(x, 1) = r(x), para todo x ∈ X.

(3) H(a, t) = a, para todo t ∈ I.

Ejemplo 3.2.1. La aplicacion r : Dn − 0 −→ Sn−1 dada por r(x) = x||x|| , es un retracto por deformacion

fuerte. En este caso, la homotopıa H : (Dn−0)×I −→ Dn−0 viene dada por H(x, t) = (1−t)·x+t·r(x).

Supongamos que X es la union disjunta de dos abiertos A y B, ambos conexos por arcos, entonces Hq(X) ∼=Hq(A)⊕Hq(B). Consideremos la sucesion exacta

0 −→ Sq(A)i∗−→ Sq(X)

p−→ Sq(B) −→ 0,

donde

p(σ) =

0 si σ(∆q) ⊆ A,σ si σ(∆q) ⊆ B.

Por exactitud, se tiene que Sq(B) ∼= Sq(X,A). Esta sucesion se parte, ya que i∗ : Sq(B) −→ Sq(X) es unainversa lateral de p. Luego, Sq(X) ∼= Sq(A)⊕ Sq(B). De esto se sigue que Hq(X) ∼= Hq(A)⊕Hq(B).

Proposicion 3.2.1. Si X es contractil, entonces Hq(X,A) ∼=∆ Hq−1(A), para todo q ≥ 1. En particular,H1(X,A) = 0 = H0(X,A).

Demostracion: Basta considerar la sucesion

0 = H1(X) −→ H1(X,A) −→ H0(A) ∼= A −→ H0(X) ∼= A −→ H0(X,A) −→ 0.

Proposicion 3.2.2. Si A es retracto por deformacion de X, entonces Hq(X,A) = 0.

32

3.3 Escision

Dado el triple U ⊆ A ⊆ X, diremos que U se puede escindir si Hq(X − U,A− U) ∼= Hq(X,A).

Hq(A− U) Hq(X − U) Hq(X − U,A− U) Hq−1(A− U) Hq−1(X − U)

Hq(A) Hq(X) Hq(X,A) Hq−1(A) Hq−1(X)

∆

∆

Teorema 3.3.1. Si U ⊆ int(A) entonces U se puede escindir.

Dadas las inclusiones B ⊆ A y Y ⊆ X, diremos que (Y,B) es un retracto por deformacion fuerte de(X,A) si existe un diagrama conmutativo

(Y,B) (X,A) (X,A)

(Y,B)

i

id

id

i

y una homotopıa H : (X,A)× I −→ (X,A) tal que:

(1) H(x, 1) = x, para todo x ∈ X.

(2) H(x, 0) = r(x), para todo x ∈ X.

(3) H(a, t) = a, para todo a ∈ Y .

Corolario 3.3.1. Sea V ⊆ U . Si (X −U,A−U) es un retracto por deformacion fuerte de (X − V,A− V ) yV se puede escindir, entonces tambien U .

Proposicion 3.3.1. Si (Y,B) es un retracto por deformacion de (X,A) entonces Hq(Y,B) ∼= Hq(X,A).

Demostracion: Tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Hq(B) Hq(Y ) Hq(Y,B) Hq−1(B) Hq−1(Y )

Hq(A) Hq(X) Hq(X,A) Hq−1(A) Hq−1(X)

∼= ∼= ∼= ∼=

Por el Lema de los Cinco, se tiene que Hq(Y,B) −→ Hq(X,A) es un isomomorfismo.

33

Consideremos el disco unitario Dn+1 de Rn+1. La esfera Sn es el borde de Dn+1. Considere los conjuntosE+n = y ∈ Sn : yn+1 ≥ 0 y E−n = y ∈ Sn : yn+1 ≤ 0. Pongamos

X = Sn, A = E−n , U = y ∈ Sn : yn+1 < 0 y V = y ∈ Sn : yn+1 ≤ −1/2.

Se tiene X−A = Sn−E−n . Por un lado, (A−U,X−U) es un retracto por deformacion fuerte de (X−V,A−V ).Por el otro, V se escinde de (X,A) porque V ⊆ int(A). Como consecuencia, U se escinde de (X,A). Se sigueque,

Hq−1(Sn−1) ∼= Hq(E+n , S

n−1) ∼= Hq(Sn, E−n ) ∼= Hq(S

n).

Ejercicio 3.3.1. Probar que Hq(Sn) =

A si q = 0, n, donde n > 0,0 en caso contrario.

Ejercicio 3.3.2. Probar que Hom(Rn,R) ∼= Rn. Sugerencia: Usar el hecho de que (M × N,R) =Hom(M,R)⊕Hom(N,R).

3.4 Sucesion exacta de Mayer-Vietoris

Lema 3.4.1 (Lema de Barrat-Whitehead). Dado el diagrama conmutativo

· · · An Bn Cn An−1 · · ·

· · · A′n B′n C ′n A′n−1 · · ·

fn

αn

gn

βn

hn

γn αn−1

f ′n g′n h′n

con filas exactas, donde cada γn es un isomorfismo. Entonces la sucesion

· · · −→ Anµn−→ Bn ⊕A′n

νn−→ B′n∆n−→ An−1 −→ · · · ,

donde

(1) µn(a) = (fn(a), αn(a)).

(2) νn(b, a′) = βn(b)− f ′n(a′).

(3) ∆n = hn γ−1n g′n.

Demostracion: Tenemos ν µn(a) = ν(fn(a), αn(a)) = βn fn(a) − f ′n αn(a) = 0. Por lo queIm(µn) ⊆ Ker(νn). Ahora, sea (b, a′) tal que νn(b, a′) = 0. Luego, βn(b) = f ′n(a′). Entonces, γn gn(b) =g′nβn(b) = g′nf ′n(a′) = 0. Por lo que gn(b) ∈ Ker(γn) = 0. Ası, b ∈ Ker(gn) = Im(fn), luego b = fn(a)para algun a ∈ An. Ahora, f ′n(αn(a)− a′) = 0. De donde existe c ∈ C ′n+1 tal que a′ − αn(a) = h′n+1(c).

34

Sea c ∈ Cn+1 tal que c′ = γn+1(c′), y considere hn+1(c) ∈ An. Tenemos

µ(a+ hn+1(c)) = (fn(a+ hn+1(c)), αn(a+ hn+1(c))) = (fn(a) + fn hn+1(c), αn(a) + αn hn+1(c))

= (b+ 0, αn(a) + h′n+1 γn+1(c)) = (b, αn(a) + h′n+1(c′)) = (b, αn(a) + a′ − αn(a))

= (b, a′).

Por lo tanto, Ker(νn) = Im(µn).

Ahora probemos que Ker(∆n) = Im(νn). Tenemos

∆n γn(b, a′) = ∆n(βn(b)− f ′n(a′)) = ∆n βn(b)−∆n f ′n(a′) = 0− 0 = 0.

Sea b′ ∈ Ker(∆n), es decir, hn γ−1n g′n(b′) = 0. Ası, γ−1

n g′n(b′) ∈ Ker(hn) = Im(gn), de donde existeb ∈ B tal que g′n(b′) = γn gn(b) = g′n βn(b). Luego, b′ − βn(b) ∈ Ker(g′n) = Im(f ′n). Ası existe a′ ∈ A′ntal que b′ = βn(b) + f ′n(a′) = νn(b, a′). Por lo tanto, Ker(∆n) = Im(νn).

Teorema 3.4.1 (Sucesion exacta de Mayer-Vietoris). Sea X un espacio topologico, U y V abiertos en X,entonces existe un homomorfismo de conexion ∆q : Hq(X) −→ Hq−1(U ∩ V ) y una sucesion exacta

· · · −→ Hq(U ∩ V )µq−→ Hq(U)⊕Hq(V )

νq−→ Hq(X)∆q−→ Hq−1(U ∩ V ) −→ · · · ,

donde

(1) µq(a) = ((iU )∗(a), (iV )∗(a)), iU : U ∩ V −→ U e iV : U ∩ V −→ V son inclusiones.

(2) νq(a, b) = (idU )∗(a)− (idV )∗(b).

Ejemplo 3.4.1. Sea U = S1 − N y V = S1 − S, donde N y S son los polos Norte y Sur de lacircunferencia, respectivamente. Por el Teorema de Mayer-Vietoris, se tiene una sucesion exacta

0 −→ H1(S1)α−→ A⊕ A β−→ A⊕ A γ−→ A −→ 0.

De donde H1(S1) = A.

Ejercicio 3.4.1. Probar, usando el Teorema de Mayer-Vietoris, que Hq(Sn) =

A si q = 0, n,0 en caso contrario.

Ejercicio 3.4.2. Probar que Sn−1 no es retracto por deformacion de Dn.

Ejercicio 3.4.3. Probar el Teorema del punto fijo de Brower.

Ejercicio 3.4.4. Calcular la homologıa de un ramo de esferas.

35

3.5 Complejos CW y su homologıa

Sea X un espacio topologico localmente compacto y segundo numerable, por ende paracompacto. Para cadan ∈ N, sea Jn una familia de ındices y Γn = enα : α ∈ Jn una familia de subconjuntos de X, llamadosn-celdas o celdas de dimension b, tales que Γ =

⋃n≥0 Γn es un cubrimiento de X. Por convencion,

Γ−1 = ∅, y para n lo suficientemente grande, se tiene Γn = ∅. El conjunto

Kn :=

n⋃j=0

ejα : α ∈ Jj y j = 0, 1, . . . , n

se denomina n-esqueleto. Se define el borde de enα ∈ Γn al la interseccion

enα := enα ∩Kn−1,

y al interior de enα comoe := enα − enα.

La familia Γn es una estructura celular de X (o X es un complejo celular) si:

(1)⋃n≥0 Γn es un cubrimiento de X.

(2) enα ∩ emβ 6= ∅ =⇒ α = β y n = m.

(3) Para todo enα existe una funcion continua fnα : (Dn, Sn−1) −→ (enα, enα) tal que la restriccion fnα |int(Dn) :

int(Dn) −→ enα es un homeomorfismo.

Una celda emβ es adyacente inmediata (o es una cara inmediata) de enα si emβ ∩ enα 6= ∅. Si emβ es ady-acente inmediata de enα entonces m ≤ n. En efecto, supongamos que m > n. Luego, emβ ⊆ Km −Km−1 yenα ⊆ Kn −Kn−1. Entonces emβ ∩ enα = ∅.

Una celda emβ es adyacente (o una cara) a enα si existe una secuencia emβ , em1

β1, . . . , emkβk de celdas tal que

emβ es adyacente inmediata a em1

β1, em1

β2es adyacente inmediata a em2

β2, y ası sucesivamente hasta que emkβk es

adyacente inmediata a emα .

Ejercicio 3.5.1. Si X es un complejo celular, entonces Γ0 6= ∅.

Ejercicio 3.5.2. Probar que una celda posee un numero finito de caras inmediatas si, y solo si, esta poseeun numero finito de caras.

Ejercicio 3.5.3. Si (X,Γ) es un complejo celular, entonces cada Kn es un complejo celular.

Ejemplo 3.5.1.

(1) La esfera Sn: Sabemos que Sn se puede escribir como el cociente Sn = Dn/ ∼, donde x ∼ y ⇐⇒x = y o x, y ∈ Sn−1. En este ejemplo, las 0-celdas son los puntos, Γ0 = N, Γm = ∅ si m 6= n, yΓn = Sn. La funcion fn : (Dn, Sn−1) −→ (Sn, N) es la aplicacion cociente.

36

(2) El espacio proyectivo real RPn: RPn es el conjunto de todas las rectas reales que pasan por el origenen Rn+1. Damos en Rn+1 − 0 la siguiente relacion de equivalencia: x ∼ y ⇐⇒ existe λ 6= 0real tal que x = λy. El conjunto de las clases de equivalencia de Rn+1 − 0 es precisamente RPn,RPn := (Rn+1 − 0)/ ∼. Damos a RPn la siguiente estructura celular:

R1 ⊆ R2 ⊆ R3 ⊆ · · · ⊆ Rn+1,

S0 ⊆ S1 ⊆ S2 ⊆ · · · ⊆ Sn,RP0 ⊆ RP1 ⊆ RP2 ⊆ · · · ⊆ RPn.

RP0

y = 1z

L

RP1 = RP0 [ y = 1 = RP0 [ RRP2 = RP1 [ Z = 1 = RP1 [ R2

Z = 1

Sea γm =

RPmp , si m ≤ n,∅ si m > n.

Tenemos Km = RPm, ´RPm = RPm ∩ RPm−1, ˙RPm = RPm − RPm−1 = Dm ∼= Rm.

La funcion fm : (Dm, Sm−1) −→ (RPm,RPm−1) es un homeomorfismo sobre el interior de Dm.

(3) Espacios proyectivos complejos CPn: Sea CPn el conjunto de las rectas complejas en Cn+1 que pasanpor el origen. Damos en Cn+1 − 0 la siguiente relacion de equivalencia: x ∼ y ⇐⇒ existe λ ∈ C∗tal que x = λy. El conjunto de clases de equivalencia de Cn+1 − 0 es precisamente CPn. Note queCn+1 ∼= R2n+2 ⊇ S2n+1.

CPn = (Cn+1 − 0)/ ∼= S2n+1/ ∼ .A la clase de (z0, . . . , zn) en Cn+1 − 0 la denotamos por [z0, . . . , zn]. Damos a CPn la siguienteestructura celular:

C1 ⊆ C2 ⊆ · · · ⊆ Cn+1,

S1 ⊆ S3 ⊆ S5 ⊆ · · · ⊆ S2n+1,

CP0 ⊆ CP1 ⊆ CP2 ⊆ · · · ⊆ CPn,CPm = CPn−1 ∪ Cm(union disjunta),

γm =

∅ si m es impar,

CPm/2 si m es par.

En este caso, las funciones f2m : (D2m, S2m−1) −→ (CPm,CPm−1) vienen dadas por

f2m(z0, . . . , zm) = [z0, . . . , zm,√

1− |z0|2 − · · · − |zm|2].

Ejercicio 3.5.4. Redactar con detalles los ejemplos anteriores.

37

Una complejo celular (X,Γn : n ≥ 0) es un complejo CW si verifica las siguientes condiciones:

W: La topologıa de X es la topologıa debil (weak) dada por la siguente definicion de conjunto cerrado:A es cerrado en X si, y solo si, A ∩ enα es cerrado en enα, para todo n ≥ 0 y para todo α ∈ Jn.

C: Cada celda posee una cantidad finita de caras (inmediatas). Es decir, la topologıa debil definida en Xes compacta.

Ejercicio 3.5.5. Si X es un complejo CW, entonces todo esqueleto es tambien un complejo CW.

Proposicion 3.5.1. enα es abierto en Kn.

Demostracion: Hay que probar que Kn − enα es cerrado. Tenemos que

(Kn − enα) ∩ emβ = emβ − enα ∩ emβ = emβ − ∅ = emβ es cerrado.

Proposicion 3.5.2. Si (X,Γ) es un complejo CW, entonces todo compacto en X intersecta solo a unnumero finito de interiores de celdas.

Demostracion: Sea C un subconjunto compacto de X. Sea Z el conjunto que resulta de elegir unpunto en cada interior de celda que intersecta a C. Para todo n y para todo α ∈ Jn, si enα ∩ C 6= ∅elegimos pnα ∈ enα ∩ C. Probemos que X es finito, para ello probaremos que Z es cerrado en C y que Zes discreto. Basta probar que todo subconjunto de Z es cerrado. Sea A ⊆ Z y sea enα una celda de Xtal que A ∩ enα 6= ∅. Tenemos

A ∩ enα = (A ∩ enα) ∪ (A ∩ enα).

Si A ∩ enα 6= ∅ entonces A ∩ enα es un punto. Ademas, A ∩ enα 6= ∅. De esto se sigue el resultado.

Ejercicio 3.5.6. Redactar los detalles de la prueba de la proposicion anterior.

Corolario 3.5.1. Si X es un complejo CW compacto, entonces X tiene un numero finito de celdas y portanto coincide con alguno de sus esqueletos.

Para calcular la homologıa de los complejos CW, comenzaremos calculando la homologıa de sus esqueletos.Como Kn−1 ⊆ Kn, podemos considerar la sucesion exacta larga del par (Kn,Kn−1):

· · · −→ Hq(Kn−1) −→ Hq(Kn) −→ Hq(Kn,Kn−1) −→ Hq−1(Kn−1) −→ · · · .

38

Teorema 3.5.1.

Hq(Kn,Kn−1) =

0, si q 6= n,⊕

α∈Jn (A-modulo libre con tantos generadores como n-celdas), si q = n.

Demostracion: Sea E el conjunto que resulta de elegir un punto en el interior de cada n-celda. TenemosKn−1 ⊆ E ⊆ Kn. Note que Kn−1 es un retracto por deformacion de Kn − E, luego Hq(Kn−1) =Hq(Kn − E).

Hq(Kn−1) Hq(Kn) Hq(Kn,Kn−1) Hq−1(Kn−1) Hq−1(Kn)

Hq(Kn − E) Hq(Kn) Hq(Kn,Kn − E) Hq−1(Kn − E) Hq−1(Kn)

∼= = ∼= =

Por el Lema de los Cinco, Hq(Kn,Kn−1) = Hq(Kn,Kn − E). Note que Kn − E es abierto en Kn porser discreto, entonces Kn−1 se puede escindir de Kn. Ası tenemos

Hq(Kn,Kn−1) = Hq(Kn,Kn − E) ∼= Hq(Kn −Kn−1,Kn − E −Kn−1)

= Hq

(⊔enα,⊔enα − E

)=⊕

Hq(enα, e

nα − p),

Hq(enα, e

nα − p) = Hq(int(Dn), Sn−1) ∼= Hq(Rn, Sn−1), debido al isomorfismo fnα |int(Dn) : int(Dn) ∼= enα.

Considerando la sucesion exacta

Hq(enα, e

nα − p) −→ Hq(Rn) −→ Hq(Rn, Sn−1) −→ Hq−1(Sn−1)

donde Hq(Rn) = 0, se tiene Hq(Rn, Sn−1) ∼= Hq(Sn−1). De donde Hq(e

nα, e

nα− p) =

0 si q 6= n,A si q = n.

De

esto se sigue el resultado.

Corolario 3.5.2. Hq(Kn) =

0 si q > n,Hq(X) si q < n.

Demostracion: Usaremos induccion. Tenemos que Hq(K0) = 0 para q > 0, porque K0 son puntosaislados de X. Supongamos ahora que Hq(Kn−1) = 0 para todo q > n−1. Tenemos una sucesion exactalarga

· · · −→ Hq(Kn−1) −→ Hq(Kn) −→ Hq(Kn,Kn−1) −→ · · ·donde Hq(Kn−1) = 0 y Hq(Kn,Kn−1) = 0. Entonces Hq(Kn) = 0. Resta probar el caso q < n.Tomamos la sucesion exacta del par (Kn+1,Kn):

Hq+1(Kn+1,Kn) −→ Hq(Kn) −→ Hq(Kn+1) −→ Hq(Kn+1,Kn) −→ · · ·

donde Hq+1(Kn+1,Kn) = Hq(Kn+1,Kn) = 0. Entonces Hq(Kn) ∼= Hq(Kn+1).

39

Ejercicio 3.5.7. Calcular la homologıa singular de CPn.

Ejercicio 3.5.8. Calcular la homologıa singular de RPn.

40

CAPITULO 4

VARIEDADES DIFERENCIABLES

4.1 Estructuras y aplicaciones diferenciables

Antes de dar a conocer la nocion de variedad diferenciable, repasemos algunas cosas de teorıa de conjuntos.Un conjunto (I,≤) se dice preordenado, o que ≤ es un orden parcial sobre I, si:

(1) ≤ es reflexiva: i ≤ i, para todo i ∈ I.

(2) ≤ es antisimetrica: Si i ≤ j y j ≤ i entonces i = j.

(3) ≤ es transitiva: Si i ≤ j y j ≤ k entonces i ≤ k.

Un elemento m ∈ I se dice maximal si para todo i ∈ I, m ≤ i implica que m = i. Dado un subconjuntoJ ⊆ I, diremos que p ∈ I es una cota superior de J si j ≤ p para todo j ∈ J . Diremos que J es unacadena en I (o un orden total) si para todo i, j ∈ J se tiene i ≤ j o j ≤ i.

Lema 4.1.1 (Lema de Zorn). Dado un conjunto preordenado (I,≤). Si toda cadena en I tiene cota superior,entonces I posee algun elemento maximal.

Ahora recordemos un poco de calculo en varias variables. Al estudiar la esfera S2 = x ∈ R3 : ||x|| = 1,se consideran varios subconjuntos particulares conocidos como hemisferios. Por ejemplo, E+

Z = x ∈S2 : x3 > 0 y E−Z = x ∈ S2 : x3 < 0 son los hemisferios norte y sur de S2, respectivamente. Demanera similar, se tienen los otros hemisferios E+

Y , E−Y , E+X y E−X . Estos hemisferios son homeomorfos al

disco abierto unitario de R2, D2 = (x, y) ∈ R2 : ||(x, y)|| < 1. Por ejemplo, la funcion ϕ+Z : E+

Z −→ D2

dada por ϕ+Z (x1, x2, x3) = (x1, x2) es un homeomorfismo, pues posee una inversa continua (ϕ+

Z )−1 : D2 −→E+Z dada por (ϕ+

Z )−1(x, y) = (x, y,√

1− x2 − y2). Si definimos homeomorfismos similares de los demashemisferios aD2, obtendremos una coleccion (E+

X , ϕ+X), (E−X , ϕ

−X), (E+

Y , ϕ+Y ), (E−Y , ϕ

−Y ), (E+

Z , ϕ+Z ), (E−Z , ϕ

−Z ).

Ahora consideremos, por ejemplo la interseccion E+Z ∩ E+

Y = (x1, x2, x3) ∈ S2 : x2, x3 > 0. Tenemos undiagrama

(x1, x2) ∈ D2 : x2 > 0 E+Z ∩ E+

Y (x1, x2) ∈ D2 : x2 > 0ϕ+Y ϕ+

Z

41

Notese que ϕ+Z (ϕ+

Y )−1 = id y ϕ+Z (ϕ−Y )−1(x, y) = (x,−y). Se puede probar de manera similar que

cualquiera de estas composiciones resulta siempre en una aplicacion infinitamente diferenciable. La coleccion(E+

X , ϕ+X), (E−X , ϕ

−X), (E+

Y , ϕ+Y ), (E−Y , ϕ

−Y ), (E+

Z , ϕ+Z ), (E−Z , ϕ

−Z ) es un ejemplo de lo que se conoce como es-

tructura diferenciable.

Sea X un espacio topologico, de Hausdorff, segundo numerable y localmente compacto. Sea n ∈ N. Unan-estructura diferenciable en X es una familia Γ = (U,ϕU ) tal que:

(1) U es un cubrimiento por abiertos conexos de X.

(2) ϕU : U −→ Rn es un homeomorfismo sobre un abierto de Rn.

(3) Para todo par de abiertos U y V en la coleccion tales que U ∩ V 6= ∅, se tiene que la composicion

Rn ⊇ ϕU (U ∩ V )ϕ−1U−→ U ∩ V ϕV−→ ϕV (U ∩ V ) ⊆ Rn

es un difeomorfismo.

Ejercicio 4.1.1. Probar que las proyecciones estereograficas de S2 constituyen una estructura diferenciable.

Ejercicio 4.1.2. Probar que Rm y Rn no son homeomorfos si n 6= m.

Ejercicio 4.1.3. Demuestre que si X posee una n-estructura diferenciable, entonces dicho n es unico.

Sean Γ1 = (U,ϕU ) y Γ2 = (V, ψV ) dos estructuras diferenciables. Diremos que Γ1 y Γ2 son compatiblessi para todo (U,ϕU ) ∈ Γ1 y (V, ψV ) ∈ Γ2, la composicion

ϕU (U ∩ V )ϕ−1U−→ U ∩ V ψV−→ ϕV (U ∩ V )

es un difeomorfismo.

Proposicion 4.1.1. Sean Γ1 y Γ2 dos estructuras direfenciables en X. Entonces Γ1 y Γ2 son compatiblessi, y solo si, Γ1 ∪ Γ2 es una estructura diferenciable.

Ejercicio 4.1.4. Probar que si Γ es una estructura diferenciable y V es un refinamiento abierto de U,entonces Γ′ = (V, ϕU |V ) es una estructura diferenciable compatible con Γ.

Ejercicio 4.1.5. Probar que las proyecciones estereograficas y las proyecciones coordenadas son estructurasdiferenciables compatibles en Sn.

Ejercicio 4.1.6. Probar que si Γ1 ⊆ Γ2 entonces Γ1 y Γ2 son compatibles.

42

Sea ΩΓ el conjunto de todas las estructuras diferenciables de X compatibles con Γ. Damos la siguienterelacion de orden en ΓΓ:

Γ1 ≤ Γ2 si, y solo si Γ1 ⊆ Γ2.

Veamos que ΩΓ tiene al menos un elemento maximal. Sea B una cadena en ΩΓ y sea Γ′ =⋃O∈B O. Entonces

Γ′ es una estructura diferenciable y por lo tanto cota superior de B. Por el Lema de Zorn, ΩΓ tiene al menosun elemento maximal.

Una variedad diferenciable es un espacio topologico X con una estructura diferenciable prefijada, o conuna estructura diferenciable maximal respecto a una estructura dada.

Sea M un espacio topologico, de Hausdorff, segundo numerable y localmente compacto. Una n-carta en Mes un par (U,ϕU ) donde U es un abierto conexo de M y ϕU : U −→ Rn es un encaje o encamamiento (esdecir, un homeomorfismo sobre su imagen abierta).

Dos n-cartas (U,ϕU ) y (V, ϕV ) son compatibles si U ∩ V 6= ∅ y las aplicaciones

ϕU (U ∩ V )ϕ−1U−→ U ∩ V ϕV−→ ϕV (U ∩ V ) y ϕV (U ∩ V )

ϕ−1V−→ U ∩ V ϕU−→ ϕU (U ∩ V )

son diferenciables.

Una n-estructura diferenciable es un sistema de n-cartas compatibles dos a dos tal que U es un cubrim-iento abierto de M .

Dadas Γ1 = (U,ϕU ) y Γ2 = (V, ψV ) dos estructuras diferenciables en M . Diremos que Γ1 y Γ2 soncompatibles si lo son miembro a miembro.

Observacicon 4.1.1.

(1) Si M posee una n-estructura diferenciable entonces n es unico. Tal n se denomina la dimension deM .

(2) Γ1 y Γ2 son compatibles si, y solo si Γ1 ∪ Γ2 es una estructura diferenciable.

(3) Todo refinamiento de una estructura diferenciable es una estructura diferenciable compatible.

Ejercicio 4.1.7. ¿Ser compatible es una relacion de equivalencia?

Una estructura diferenciable Γ = (U,ϕU ) es maximal si para toda carta (V, ψV ) de M , si (V, ψV ) escompatible con cada carta de Γ entonces (V, ψV ) ∈ Γ.

Teorema 4.1.1. Dada una estructura diferenciable Γ, existe una estructura diferenciable maximal que lacontiene.

43

Demostracion: Sea θ el conjunto de todas las estructuras diferenciables que contienen a Γ. Si orden-amos a θ por inclusion, el resultado se sigue del Lema de Zorn.

Una variedad diferenciable es un espacio topologico M de Hausdorff, segundo numerable, localmentecompacto, conexo, junto con una estructura diferenciable maximal.

U

V

U ∩ V

ϕU (U)

ϕU (U ∩ V ) ϕV (U ∩ V )

ϕV (V )

ϕV

ϕU

∼=

Observacicon 4.1.2. Dada una estructura diferenciable en M , siempre podemis asignar a M una estructurade variedad diferenciable.

Lema 4.1.2. Sea M una variedad diferenciable con estructura maximal Γ = (U,ϕU ), y sea N unsubconjunto abierto y conexo de M . Entonces (U ∩ N,ϕU |N ) determina una estructura diferenciable enN , y en consecuencia N es una variedad diferenciable. En resumen, todo subconjunto abierto y conexo deuna variedad diferenciable es tambien diferenciable.

Lema 4.1.3. Si M1 y M2 son dos variedades diferenciables, entonces M1 ×M2 tambien lo es.

Ejemplo 4.1.1.

(1) Los difeomorfismos locales de Rn determinan en Rn una estructura de variedad diferenciable.

(2) Sn es una variedad diferenciable. Basta dar la estructura diferenciable determinada por las proyeccionescoordenadas.

(3) Mn(R) ∼= R2n es una variedad diferenciable. Tambien lo es el subconjunto conocido como grupo linealgeneral GLn(R) = M ∈Mn(R) : det(M) 6= 0.

(4) RPn es una variedad diferenciable con las proyecciones ortogonales.

Sean M y N variedades diferenciables. Una aplicacion continua f : M −→ N es diferenciable en p ∈M sipara cada carta (U,ϕU ) en M con p ∈ U y cada carta (V, ϕV ) en N con f(p) ∈ V , la aplicacion

ϕU (U ∩ f−1(V ))ϕ−1U−→ U ∩ f−1(V )

f−→ VϕV−→ Rn

es diferenciable. Diremos que f es diferenciable si es diferenciable en cada punto.

44

V

N

f

U

M

f−1(V )p f(p)

ϕU

ϕU (p)

ϕU (U)ϕV (f(p))

ϕV (V )

ϕV

ϕV f ϕ−1U |ϕU (U∩f−1(V ))

Ejercicio 4.1.8. Probar que las variedades diferenciables junto con las aplicaciones diferenciables formanuna categorıa. Dicha categorıa la denotaremos por Var.

4.2 Fibrados vectoriales

Dados tres espacios topologicos E, B y F , un fibrado de E en B con fibra tıpica F es una aplicacion so-breyectiva p : E −→ B tal que para todo b ∈ B, p−1(b) ∼= F .

Ejemplo 4.2.1. La proyeccion B × F −→ B dada por (b, f) 7→ b es un fibrado, conocido como fibradotrivial.

Diremos que p : E −→ B es localmente trivial si para cada punto b ∈ B existe un entorno abierto U de by un homeomorfismo φU : U × F −→ p−1(U) tal que el siguiente diagrama conmuta:

U × F p−1(U)

U

φU∼=

π p

En este caso, diremos que (U, φU ) es una trivializacion local de p en b. Dadas dos trivializaciones locales(U, φU ) y (V, φV ) de p en b, tenemos la composicion

(U ∩ V )× F φU−→ p−1(U ∩ V )φ−1V−→ (U ∩ V )× F

(a, b) 7→ (a, g(a, b)),

donde la aplicacion g se conoce como cociclo, y el siguiente diagrama conmutativo:

(U ∩ V )× F p−1(U ∩ V ) (U ∩ V )× F

U ∩ V

φU

π

φV

pπ

45

Un fibrado vectorial es un fibrado localmente trivial de fibre Rn y tal que los cociclos gφU ,φV : (U∩V )×F −→F cumplen una relacion

gφU ,φV (a, v) = h(a) · v, donde h(a) ∈ GLn(R).

En estas condiciones, tenemos una aplicacion (U ∩ V ) × Rn −→ Rn dada por (a, v) 7→ h(a) · v, dondeh = hφU ,φV : U ∩ V −→ GLn(R).

E

B

U

U × F

πUpp−1(U)

φU

∼=

Ejercicio 4.2.1. Probar que:

(1) hφU ,φU (a) es la matriz identidad.

(2) hφU ,φV (a) = (hφV ,φU (a))−1.

(3) hφU ,φV hφV ,φW = hφU ,φW .

Note que p : E −→ B es un fibrado vectorial de fibra Rn, con p sobreyectiva, si:

(1) Existe un cubrimiento Uαα∈Λ y una familia de aplicaciones continuas Φα : Uα×Rn −→ p−1(U) talesque el siguiente diagrama conmuta:

Uα × Rn p−1(Uα)

U

Φα

π p

(2) Para todo α y β tales que Uα ∩ Uβ 6= ∅,

(Uα ∩ Uβ)× Rn Φα−→ p−1(Uα ∩ Uβ)Φ−1β−→ (Uα ∩ Uβ)× Rn

existe gαβ : Uα ∩ Uβ −→ GLn(R) tal que Φ−1β Φα(b, v) = (b, gαβ(b) · v).

Un fibrado vectorial p : E −→ B es diferenciable si B es una variedad diferenciable y los cociclos sonaplicaciones diferenciables.

46

Teorema 4.2.1. Si p : E −→ B es un fibrado diferenciable entonces E es una variedad diferenciable y p esuna aplicacion diferenciable.

Demostracion: Sea Uα,Φαα∈Λ una familia de trivializaciones locales de p. Podemos suponer que(Uα,Φα)α∈Λ es el sistema diferenciable maximal en B. Consideremos la composicion

p−1(Uα)Φ−1α−→ Uα × Rn ϕα×id−→ Rn × Rn = R2n.

Veamos que (ϕα× id) ϕ−1α : p−1(Uα) −→ R2n es una estructura diferenciable en E. Supongamos que

Uα ∩ Uβ 6= ∅:

R2n ϕ−1α ×id−→ (Uα ∩ Uβ)× Rn Φα−→ p−1(Uα ∩ Uβ)

Φ−1β−→ (Uα ∩ Uβ)× Rn

ϕβ×id−→ R2n.

La composicion

(ϕβ × id) (ϕ−1β Φα) (ϕ−1

α × id) = (ϕβ ϕ−1α , gαβ) (∗)

es una aplicacion diferenciable.

Ejercicio 4.2.2. Probar que la composicion (∗) es diferenciable.

Sean E1 y E2 dos fibrados vectoriales en B. Diremos que una aplicacion F : E1 −→ E2 es fibrada si eldiagrama

E1 E2

B

F

p1 p 2

conmuta, o equivalentemente, si F manda fibras en fibras.

Ejercicio 4.2.3. ¿Toda aplicacion fibrada es diferenciable?

4.3 Fibrado tangente a una variedad

Sea M una variedad diferenciable con estructura diferenciable (Uα, ϕα). Sea p ∈ M y sea F(M,p) elconjunto de todas las aplicaciones diferenciables de algun entorno de p en R. Es claro que F(M,p) 6= ∅, puescontiene alguna carta. Note que si f, g ∈ F(M,p) y λ ∈ R, entonces:

(1) λ · f ∈ F(M,p) y f + g ∈ F(M,p).

(2) f · g ∈ F(M,p).

47

De (1) y (2) se tiene que F(M,p) es un algebra.

Un vector tangente a M en p es una aplicacion lineal v : F(M,p) −→ R tal que v(f · g) = f(p) · v(g) +g(p) · v(f). Esta igualdad se conoce como derivacion o identidad de Jacobi. Denotaremos por Tp(M) elespacio vectorial de todos los vectores tangentes a M en p.

Ejemplo 4.3.1. Sea (U,ϕ) una carta de la estructura diferenciable de M tal que p ∈ U . Consideremos la

composicion xj : Uϕ−→ Rn

πj−→ R, para algun j. Tenemos que xj ∈ F(M,p). Sea x∗j = ∂∂Xj

∣∣∣p, donde

∂

∂xj

∣∣∣∣p

(f) =∂

∂rj

∣∣∣∣ϕ(p)

(f ϕ−1).

Se tiene que x∗j es un vector tangente.

Proposicion 4.3.1. Los vectores ∂∂X1

∣∣∣p, . . . , ∂

∂Xn

∣∣∣p

son linealmente independientes, por lo que forman una

base de Tp(M).

El fibrado tangente a M es el conjunto TM =⊔b∈M Tb(M), junto con la aplicacion p : TM −→ M dada

por p(v) = b si v ∈ Tb(M).

(1) Trivializaciones locales de TM : Sea (Uα, ϕα) la estructura maximal de M , tenemos el diagrama

p−1(Uα) Uα × Rn

Uα

Φα

πp

Cada ϕα : Uα −→ Rn puede escribirse como ϕα = (x1, . . . , xn). Definimos

Φα(b, (a1, . . . , an)) = a1 ·∂

∂X1

∣∣∣∣b

+ · · ·+ an ·∂

∂Xn

∣∣∣∣b

∈ Tb(M).

(2) Cociclos: (Uα ∩ Uβ)× Rn Φα−→ p−1(Uα ∩ Uβ)Φ−1β−→ (Uβ ∩ Uα)× Rn,

Φ−1β Φα(b, (a1, . . . , an)) = Φ−1

β

(a1 ·

∂

∂X1

∣∣∣∣b

+ · · ·+ an ·∂

∂Xn

∣∣∣∣b

)=

b, J(ϕα ϕ−1β )∣∣∣ϕα(b)

·

a1

...an

,

donde J(ϕα ϕ−1β ) es la matriz de Jacobi de ϕα ϕ−1

β .

Sea f : M −→ N una aplicacion diferenciable. Se define el diferencial de f como la aplicacion linealdf : TM −→ TN dada por

df(v)(g) = v(g f)

48

M

TqMv

q

Tf(q)N

f(q)

dfq(v)

N

R

f g

dfq

Ejercicio 4.3.1. Demuestre que:

(1) df es una aplicacion fibrada.

(2) d(f1 f2) = d(f1) d(f2).

(3) Si df = 0 entonces f es constante.

(4) Sean ϕ = (x1, . . . , xn) cartas de M y ψ = (y1, . . . , ym) cartas de N , entonces

df

(∂

∂Xj

∣∣∣∣p

)=

n∑i=1

∂

∂Xj(yj f) · ∂

∂yi

∣∣∣∣f(p)

Un campo vectorial en M es una seccion diferenciable del fibrado tangente, esto es una aplicacion X :M −→ Tp(M) tal que p X = idM .

M

q

X(q)

4.4 Fibrado de formas sobre una variedad

Sea E un espacio vectorial de dimension n, sea k ∈ N y Bk(E,R) el conjunto de aplicaciones multi-linealesde Ek en R,

α : Ek = E × · · · × E −→ R

es lineal en cada variable y Bk(E,R) es un espacio vectorial real.

49

Una aplicacion α ∈ Bk(E,R) es alterenada si para todo σ ∈ Sk (donde Sk es el grupo de permutaciones deorden k) se tiene

α(a1, . . . , ak) = (−1)|σ|α(aσ(1), . . . , aσ(k)).

Denotaremos por Λk(E) el subespacio vectorial de Bk(E,R) de las formas alternadas. Por convecion, Λ0(E) =R. Notese que Λ1(E) = B1(E,R). Sea

Λ∗(E) = Λ0(E)⊕ Λ1(E)⊕ · · · ⊕ Λn(E).

Daremos a Λ∗(E) una estructura de algebra graduada. Sea ∧ : Λk(E)× Λl(E) −→ Λk+l(E), con k + l ≤ n,el producto definido por

α ∧ β(a1, . . . , ak, . . . , ak+l) =1

(k + l)!·∑

σ∈Sk+l(−1)|σ|α(aσ(1), . . . , aσ(k)) · β(aσ(k+1), . . . , aσ(k+l)),

para todo α ∈ Λk(E) y β ∈ Λl(E).

Proposicion 4.4.1 (Propiedades).

(1) ∧ es asociativo.

(2) α ∧ β = −β ∧ α.

(3) α ∧ α = 0.

Esta construccion es cofuntorial, esto es que si g : E −→ F es una aplicacion lineal, definimos g∗ : Λl(E) −→Λk(F ) de la siguiente forma:

g∗(α) = α(g(a1), . . . , g(ak)),

que satisface:

(1) (g f)∗ = f∗ g∗.

(2) Si f es sobreyectiva entonces f∗ es inyectiva (y viceversa).

(3) Si f es inyectiva entonces f∗ es sobreyectiva (y viceversa).

(4) f∗(α ∧ β) = f∗(α) ∧ f∗(β).

Sea e1, . . . , en una base de E, e∗1, . . . , e∗n es una base de Λ1(E) = E∗. Entonces

e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ik : i1 < i2 < · · · < ik

es una base de Λk(E). Se sigue que dim(Λk(E)

)=(nk

). Notese que Λn(E) = R.

Dada una n-variedad M , q ∈ M , y 0 ≤ k ≤ n, tenemos a Λk(Tq(M)) y consideramos la aplicacionπ : Λk(M) :=

⊔q∈M Λk(Tq(M)) −→M dada por π(α) = q si α ∈ Λk(Tq(M)).

Analicemos la topologıa de Λk(M). Sea (Uα, ϕα) la estructura maximal diferenciable de M . Consideremos

π−1(Uα) = tq∈UαΛk(Tq(M))hα−→ Uα ∧ Λk(Rn) ∼= Uα × R(nk).

50

Consideremos la base de Tq(M) dada por

∂∂x1

∣∣∣q, . . . , ∂

∂xn

∣∣∣q

. Sea dx1|q, . . . , dxn|q la base dual. Defi-

namoshα(dxi1 |q ∧ · · · ∧ dxik |q) = (q, dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)

y extendemos por linealidad. Ası obtenemos una biyeccion y Uα × R(nk) es un espacio topologico, damos aπ−1(Uα) la topologıa inducida por h. Ahora consideremos las inclusiones iα : π−1(Uα) −→ Λk(M). Damosa Λk(M) la topologıa final dada por las iα.

La proyeccion π : Λk(M) −→ M es una funcion continua. Sea A un abierto de M , entonces π−1(A) es unabierto en Λk(M). Luego, π−1(A) ∩ π−1(Uα) = π−1(A ∩ Uα) es abierto en π−1(Uα). Tenemos el siguientediagrama conmutativo

π−1(Uα) Uα × R(nk)

Uα Uα

hα

π π1

=

Ası obtenemos el siguiente resultado:

Proposicion 4.4.2. La funcion π : Λk(M) −→ M es un fibrado vectorial diferenciable con fibraπ−1(q) = Λk(Tq(M)).

Uα × R(nk) = Uα × Λk(Tq(M)) π−1(Uα)

Uα Uα

h−1α

∼=π π

=

Al considerar dos cartas (Uα, ϕα = (x1, . . . , xn)) y (Uβ , ϕβ = (y1, . . . , yn)) tenemos la composicion

(Uα ∩ Uβ)× R(nk) h−1α−→ tq∈Uα∩UβΛk(Tq(M))

hβ−→ (Uα ∩ Uβ)× R(nk)

(q, dxi1 , . . . , dxik) 7→ (dxi1 |q ∧ · · · ∧ dxik |q) 7→ (q,∑

λj1,...,jkyj1 ∧ · · · ∧ yjk),

donde los coeficientes λj1,...,jk vienen dados por la matriz de cambio de base asociada a ϕ−1α ϕβ : Rn −→ Rn.

Como ϕ−1α ϕβ es diferenciable, se tiene que cada λj1,...,jk tambien lo es.

Dada una aplicacion diferenciable f : N −→M , se tiene el siguiente diagrama conmutativo:

Λk(M) λk(N) TM TN

M N M N

f∗

πM πN

f

df

pp

f

51

donde la aplicacion f∗ : Λk(M) −→ Λk(N) viene dada por f∗(α)(v1, . . . , vk) = α(f(v1), . . . , f(vk)). Noteseque

(f g)∗ = g∗ f∗ y (idM )∗ = idΛk(M).

Una k-forma diferencial es una seccion diferenciable de π : Λk(M) −→M , es decir una aplicacion diferen-ciable ω : M −→ Λk(M) tal que π ω = idM . Estudiemos la representacion local de ω. Consideremos unacarta (Uα, ϕα) de M . Tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

Uα × R(nk) π−1(Uα) Λk(M)

Uα M

h−1α

∼=p1

π π ω

Tenemos

ω(q) =

(q,

∑i1<···<ik

fi1,...,ik(q)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

)donde fi1,...,ik : Uα −→ R es una funcion diferenciable. Localmente, tenemos

ω =∑

i1<···<ikfi1,...,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

4.5 Cohomologıa de de Rham

Teorema 4.5.1 (Derivada exterior). Existe un unico morfismo (lineal) de fibrado d : Λk(M) −→ Λk+1(M)tal que:

(1) d2 = 0.

(2) d(α ∧ β) = d(α) ∧ β + (−1)|α|α ∧ d(β).

Denotaremos por Λk(M) el espacio de todas las k-formas diferenciales en M . Por el teorema anterior, setiene un complejo

0 −→ Ω0(M)d−→ Ω1(M) −→ · · · −→ Ωk(M)

d−→ Ωk+1(M) −→ · · · −→ Ωn(M) −→ 0.

Tal complejo se conoce como complejo de de Rham.

El k-esimo grupo de cohomologıa de de Rham se define como el k-esimo grupo de cohomologıa delcomplejo anterior:

HkdR(M) :=

Ker(dk)

Im(dk−1).

Dada una k-forma diferencial ω y k campos vectoriales X1, . . . , Xk, definimos ω(X1, . . . , Xk) : M −→ R dela siguiente manera:

ω(X1, . . . , Xk)(q) := ω(q)(X1(q), . . . , Xk(q)).

52

Denotemos por X(M) el conjunto de los campos vectoriales en M . Usando la caracterizacion anterior, pode-mos ver a ω como una aplicacion ω : X(M)k −→ F(M).

Ejercicio 4.5.1. Demuestre que ω es una k-forma diferenciable si, y solo si, para todo X1, . . . , Xk ∈ X(M)se tiene ω(X1, . . . , Xk) ∈ F(M).

Consideremos la representacion local de d para probar que d2 = 0:

d(f · dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ) =

n∑j=1

∂f

∂xj· dxj ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxij

d2(f · dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ) =∑i,j

∂2f

∂xi∂xj· dxi1 ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxij

= 0.

Ejemplo 4.5.1.

(1) Sea M = R. Tenemos el complejo de de Rham

0 −→ Ω0(R)d−→ Ω1(R) −→ 0,

donde d(f) = f ′. Ası,

H0dR(R) = Ker(d) = f : R −→ R / f es constante ∼= R.

H1dR(R) = 0.

(2) Sea M = R2. Tenemos el complejo de de Rham

0 −→ Ω0(R2)d−→ Ω1(R2)

d−→ Ω2(R2) −→ 0.

Como hicimos en el ejemplo anterior, se puede ver que H0dR(R2) ∼= R. Ademas es claro que H2

dR(R2) = 0.Falta calcular H1

dR(R2). Consideremos la representacion local de una 1-forma f · dx+ g · dy. Tenemosque si

d(f · dx+ g · dy) =∂f

∂y· dy · dx+

∂g

∂x· dx · dy = 0

entonces (∂g

∂x− ∂f

∂y

)dx · dy = 0, por el Teorema de Green.

Luego, existe h : R2 −→ R diferenciable tal que ∇h = (f, g). De esto se sigue que H1dR(R2) = 0.

Lema 4.5.1 (Lema de Poincare). HkdR(M × R) = Hk

dR(M). De donde se tiene que

HkdR(Rn) =

R si k = 0,0 si k 6= 0.

53

Teorema 4.5.2 (Sucesion de Mayer-Vietoris). Sea M una variedad y U, V un cubrimiento por abiertosde M . Entonces para todo k se tiene una sucesion exacta

0 −→ Ωk(M)α−→ Ωk(U)⊕ Ωk(V )

β−→ Ωk(U ∩ V ) −→ 0,

donde α es la siguiente aplicacion inducida por las inclusiones iU : U −→M y iV : V −→M :

α(ω) = ((iU )∗(ω), (iV )∗(ω)),

y β es la aplicacion dada porβ(θ1, θ2) = θ2|U∩V − θ1|U∩V .

Teorema 4.5.3. Dada una variedad M y U, V un cubrimiento por abiertos de M , existe una aplicacion∆ : Kk

dR(U ∩ V ) −→ Hk+1dR (M) que hace exacta la siguiente sucesion:

· · · −→ HkdR(U)⊕Hk

dR(V )β−→ Hk

dR(U ∩ V )∆−→ Hk+1

dR (M) −→ Hk+1dR (U)⊕Hk+1

dR (V ) −→ · · · .

Ejemplo 4.5.2. Como aplicacion del teorema anterior, podemos probar que la cohomologıa de de Rham dela esfera Sn viene dada por

HkdR(Sn) =

R si k = 0, n,0 en otro caso.

Consideremos los abiertos U = Sn − N ∼= Rn y V = Sn − S ∼= Rn, donde N y S representan los polosNorte y Sur de la esfera, respectivamente. Tenemos que U ∩ V = Sn − N,S ∼= Sn−1 × R.

S2 − N, S

S1 × RS1

∼=∼=

Veamos que ocurre para n = 1. Es claro que H0dR(S1) ∼= R. Supongamos que k = 1. En este caso,

U ∩ V ∼= R t R. Por el teorema anterior, tenemos la siguiente sucesion exacta:

0 −→ H0dR(S1) −→ H0

dR(U)⊕H0dR(V ) −→ H0

dR(U ∩ V ) −→ H1dR(Sn) −→ H1

dR(U)⊕H1dR(V ) −→ · · ·

0 −→ R −→ R⊕ R −→ R⊕ R −→ H1dR(Sn) −→ 0⊕ 0 = 0.

Por uno de los teoremas fundamentales de isomorfismos, y por la exactitud de la sucesion anterior, tenemosque

H1dR(S1) = R⊕ R/Ker(R⊕ R −→ H1

dR(S1)) = R⊕ R/Im(R⊕ R −→ R⊕ R).

De la misma manera, se tiene que

Im(R⊕ R −→ R⊕ R) = R⊕ R/Ker(R⊕ R −→ R⊕ R) = R⊕ R/Im(R −→ R⊕ R) = R⊕ R/R ∼= R.

54

Ası, nos quedaH1

dR(S1) = R⊕ R/R ∼= R.

Supongamos que el resultado se cumple para n − 1. Es claro que H0dR(Sn) = 0. Consideremos la sucesion

exacta

Hk−1dR (U ∩ V ) −→ Hk

dR(Sn) −→ HkdR(U)⊕Hk

dR(V )

Hk−1dR (Sn−1 × R) −→ Hk

dR(Sn) −→ HkdR(Rn)⊕Hk

dR(Rn)

Hk−1dR (Sn−1) −→ Hk

dR(Sn) −→ 0.

Si 0 < k < n, tenemos Hk−1dR (Sn−1) = 0 y por la exactitud de la ultima sucesion nos queda Hk

dR(Sn) = 0.Ahora supongamos que k = n. Tenemos la sucesion exacta

0 −→ Hn−1dR (Sn−1) −→ Hn

dR(Sn) −→ 0.

De donde HndR(Sn) ∼= Hn−1

dR (Sn−1) ∼= R.

Ejercicio 4.5.2. Sea M una variedad conexa, probar que H0dR(M) ∼= R.

55

56

BIBLIOGRAFIA

[1] Raoul Bott & Loring W. Tu. Differential forms in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics.Vol. 82. Springer Verlag. New York. (2010).

[2] Albrecht Dold. Lectures on Algebraic Topology. Classics in Mathematics. Springer Verlag. Berlin. (1995).

[3] William S. Massey. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 127.Springer Verlag. New York. (1991).

[4] Edwin H. Spanier. Algebraic Topology. Springer Verlag. New York. (1966).

[5] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Graduate Texts in Mathe-matics. Vol. 94. Springer Verlag. New York. (2010).

57

58