ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS,

VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES

Métodos Matemáticos I

Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval

Agosto 2013

Estructura algebraica

Conjunto de operaciones binarias Se representan <A, operación>, <{a, b,

c}, operación>, si son sencillas; o bien, se representan <conjunto, 1o. operación, 2o. operación> cuando son dobles

Operación binaria La que ocurre

cuando, entre si, se operan conjuntos y el resultado de esta operación da un tercer conjunto.

Ejemplo

Siendo los conjuntos

A= {1, 2, 3} y

B= {4, 5, 6}

entonces

AxB=

{4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18}

x 4 5 6

1 4 5 6

2 8 10 12

3 12 15 18

Vector

Cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, fuerza y velocidad son ejemplos de vectores.

Se representa por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.

Espacios vectoriales

Conjunto de n-adas ordenadas, también conocido como espacio euclidiano o espacio n-dimensional

Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

Espacios vectoriales Se denota por Rn , éste es una sucesión de n

números reales, donde: R1 = espacio unidimensional, línea recta real. R2 = espacio bidimensional, pares

ordenados. R3 = espacio tridimensional, terna

ordenadas. … Rn = espacio n-dimensional, n-adas

ordenadas.

Espacios vectoriales

Siempre cumplen las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2.

Operaciones Básicas con Vectores en R2 cierre Conmutativa Asociativa elemento neutro e identidad distributiva.

Para suma de vectores X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn). Para multiplicación de un vector por un escalar H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn). Las propiedades que cumplen son las mismas

que vimos en operaciones básicas con vectores en R2.

El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:

0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0,

0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.

Sub espacio vectorial Sub conjunto del espacio vectorial W es un sub espacio vectorial de V si W es

un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

Reales

Vectores

U = (k1,k

2,…

kn)

Rn

Escalares

Números específicos, constantes

Ecuaciones lineales

a1 x

1 + a

2 x

2 + … a

n x

n = b

Incógnitas: x1, x

2, …, x

n

Constantes: a1, a

2, …, a

n, b

ak coeficiente de x

k

b, constante de la ecuación Solución: conjunto de valores de las incógnitas U =

(k1,k

2,…k

n)

x1 = k

1, x

2 = k

2, …, x

n = k

n.

Sustituyendo xi por

k

i

a1 k

1 + a

2 k

2 + … a

n k

n = b

Variables para denotar incógnitas

Suponen orden Siendo tres: x, y, z Siendo cuatro: x, y, z, t Siendo cinco: x, y, z, s, t

Ecuaciones lineales

2x – 5y +3xz = 4 X + 2y – 4z + t = 3

No es una ecuación lineal pues el producto de dos incógnitas la hace de segundo grado

U = (3, 2, 1, 0) U = (1, 2, 3, 4)

(3) + 2(2) – 4(1) + (0) = 3

(1) + 2(2) – 4(3) + (4) = 3

3 + 4 – 4 + 0 = 3 1 + 4 – 12 + 4 = 3

Cierto Falso

Solución

Ecuaciones lineales con una incógnita ax = b

Teorema 1.1:i. Solución única: Si a 0, x = b/a

ii. No tiene solución: si a = 0 pero b 0iii. Soluciones infinitas: Si a = 0 y b = 0,

todo escalar k es solución

Ecuaciones lineales degeneradas

0x1 + 0x

2 + … 0x

n = b

Teorema 1. 2:

i. Si b 0 la ecuación no tiene solución

ii. Si b = 0, todo vector U = (k1,k

2,…k

n)

es una solución

Ecuaciones lineales no degeneradas

a1x

1 + a

2x

2 + … a

nx

n = b

Primera incógnitaCoeficiente no nuloSu posición p, menor valor entero de j

para el cual aj 0

xp es primera incógnita si a

j = 0

para j p pero a 0

Teorema 1.3: Para a

1x

1 + a

2x

2 + … a

nx

n = b

Con primera incógnita xp

i. Cualquier conjunto de valores de las incógnitas x

j con j p dará una

única solución

ii. Toda solución de la ecuación se obtiene en i

Ruta de Solución

2x – 4y + z = 8

Asignamos valores arbitrarios a las variables libres y = a, z = b

Sustituimos dichos parámetros 2x – 4a + b = 8

Despejamos x2x = 8 + 4a – b x = 4 + 2a – ½ b

Obtenemos el conjunto solución

u = (4 + 2a – ½ b, a, b)

Ecuaciones lineales con dos incógnitas ax + by = c

a, b, c a 0 ó b 0, se supone no degenerada

Solución u = (k1, k

2)

u R2

k1, k

2

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

a1x + b

1y = c

1

a2x + b

2y = c

2

a1 y b

1 no son simultáneamente nulos

ni a2 y b

2

Solución simultánea: único par de

números reales u = (k1, k

2) que

satisface ambas ecuaciones

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Solución simultánea: único par de números reales

u = (k1, k

2)

que satisface ambas ecuaciones

Cuando a, b, coeficientes de x e y respectivamente, son proporcionales No tiene solución. Las rectas del

gráfico son paralelasTiene infinitas soluciones dado que

son ecuaciones equivalentes. Las líneas del gráfico son coincidentes.

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

a1/a

2= b

1/ b

2

ó = a1b

2 – a

2b

1 = 0

No solución si: a1/a

2= b

1/ b

2 c

1/c

2

Infinitas soluciones si: a

1/a

2= b

1/ b

2 = c

1/c

2

Única solución si el determinante de los coeficientes es diferente de 0

a1 b

1

a2 b

2

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Algoritmo de eliminación

Sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones lineales

L1, L

2, …, L

m son ecuaciones lineales con n

incógnitas x1, x

2, …, x

n

a11

x1 + a

12x

2 + … + a

1nx

n = b

1

a21

x1 + a

22x

2 + … + a

2nx

n = b

2

…………………………………………………….

…………………………………………………….

am1

x1 + a

m2x

2 + … + a

mnx

n = b

m

Donde aij, b

i son constantes

Solución particular. Conjunto de valores de las incógnitas, digamos

x1 = k

1, x

2 = k

2, …, x

n = k

n, o bien,

la n-pla U = (k1,k

2,…k

n) , solución de

cada una de las ecuaciones del sistema.

Solución general: conjunto de todas las soluciones

Sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones lineales

Sistemas equivalentes Operaciones elementales

[E1] Intercambiar las ecuaciones i-ésima y j-ésima:

Li L

j

[E2] Multiplicar la ecuación i-ésima por un escalar no

nulo k: kLi L

i, k 0

[E3] Sustituir la ecuación i-ésima por ella misma más

k veces la j-ésima: (kLj + L

i)

L

i

[E] Sustituir la ecuación i-ésima por k (no nulo) veces ella misma más k’ veces la j-ésima: (k’L

j + kL

i)

L

i ,

k 0

Teorema 1.4:

Si un sistema de ecuaciones lineales (#) se obtiene de otro (*) mediante una sucesión infinita de operaciones elementales, entonces (#) y (*) tienen el mismo conjunto solución

Sistemas equivalentes

Resolución

Paso 1. Usar operaciones elementales para reducir el sistema a uno equivalente más simple (en forma triangular escalonada)

Paso 2. Usar la sustitución hacia atrás para hallar la solución del sistema más simple

Sistemas equivalentes

x + 2y – 4z = – 4

5x + 11y – 21z = – 22

3x – 2y + 3z = 11

(– 5L1 + L

2) L

2 (– 3L

1 + L

3) L

3

x + 2y – 4z = – 4

y – z = – 2

– 8y + 15z = 23

Sistemas equivalentes

x + 2y – 4z = – 4

y – z = – 2

– 8y + 15z = 23

(8L2 + L

3) L

3

x + 2y – 4z = – 4

y – z = – 2

7z = 7

Sistemas equivalentes

Teorema 1.5:

Supongamos un sistema de ecuaciones lineales que contiene la ecuación degenerada

L : 0x1 + 0x

2 + … 0x

n = b

a) Si b = 0, L puede suprimirse del sistema sin alterar la solución (T. 1.2, ii)

b) Si b 0, el sistema no tiene solución dado que la ecuación no la tiene (T. 1.2, i)

Sistemas en forma triangular y escalonada Forma triangular

Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y si x

k es la primera incógnita de la k-

ésima ecuación. Por tanto tiene la forma

a11

x1 + a

12x

2 + … + a

1,n – 1x

n – 1 + a

1nx

n = b

1

a22

x2 + … + a

2,n – 1x

n – 1 + a

2nx

n = b

2

…………………………………………………….

an – 1,n – 1

xn – 1

+ an – 1,n

xn = b

n – 1

ann

xn = b

n

Donde a11

, a22

, …, ann

0 Solución única: procedimiento de

sustitución hacia atrás

Sistemas en forma triangular

Forma escalonada. Variables libresSi ninguna ecuación es degenerada La primera incógnita de cada ecuación está a la

derecha de la primera incógnita de la ecuación anterior

a11

x1 + a

12x

2 + … + a

1,n – 1x

n – 1 + a

1nx

n = b

1

a2j2

xj2 + a

2, j2+1x

j2+1 +… + a

2nx

n = b

2

…………………………………………………….

arjr

xjr + a

r, jr+1x

jr+1+ … + a

r nx

n = b

r

Sistemas en forma triangular y escalonada

Donde 1 < j

2 < … < j

r

a11

, a2j2

, …, arjr

0

r nx

k se denomina variable libre si x

k no es

la primera incógnita de la ecuación, esto es x

k x

1, x

k x

j2, …, x

k x

jr

Sistemas en forma escalonada

Teorema 1.6:

Consideremos el sistema de ecuaciones de forma escalonada (presentado anteriormente) Existen dos casos:

i. r = n Hay tantas ecuaciones como incógnitas. El sistema tiene solución única

Sistemas en forma escalonada

ii. r < n Hay menos ecuaciones que incógnitas.

Entonces podemos asignar arbitrariamente valores a las n – r variables libres y obtener una de infinitas soluciones del sistema

Teorema 1.6

Sistemas en forma escalonada

Siendo:

x + 2y – 4z = – 4

y – z = – 2

– 8y + 15z = 23

Este no es un sistema escalonado

Sistemas en forma escalonada

x + 4y – 3z + 2t = 5

z – 4t = 2 Un sistema escalonado Las primeras incógnitas son x y z Las variables libres son y y t Solución:

Asignar parámetros a variables libresSustitución hacia atrás

Sistemas en forma escalonada

x + 4y – 3z + 2t = 5

z – 4t = 2 y = a t = b En consecuencia z = 2 + 4b x = 11 – 4a + 10b Solución: (11 – 4a + 10b, a, 2 + 4b, b)

Sistemas en forma escalonada

Algoritmo de reducción Paso 1.

Intercambiar las ecuaciones de forma que x1

aparezca con un coeficiente no nulo en la primera ecuación es decir, conseguir a

11 0

Paso 2.

Utilizar a11

como pivote para eliminar x1 de todas las

ecuaciones excepto de la primera. Esto es, para cada i > 1, efectuar la operación

[E3]: (a

i1/ a

11) L

1 + L

i L

i ó [E] a

i1L

1 + a

11L

i L

i

Paso 3.Examinar la nueva ecuación L:

a) Si L tiene la forma 0x1 + 0x

2 + … 0x

n = 0

o si es un múltiplo de otra ecuación, suprimirla del sistema

b) Si L tiene la forma 0x1 + 0x

2 + … 0x

n = b

con b 0, abandonar el algoritmo. El sistema no tiene solución

Algoritmo de reducción

Paso 4.

Repetir los pasos 1, 2, 3 con el subsistema formado por todas las ecuaciones excluyendo la primera

Paso 5

Continuar con el proceso anterior hasta que el sistema esté en forma escalonada, o hasta que se obtenga una ecuación degenerada en el paso 3b

Algoritmo de reducción

x + 2y – 3z = 1

2x + 5y – 8z = 4

3x + 8y – 13z = 7

– 2L1 + L

2 L

2– 3L

1 + L

3 L

3

x + 2y – 3z = 1

y – 2z = 2

2y – 4z = 4

Algoritmo de reducción

O bien

x + 2y – 3z = 1

y – 2z = 2

Forma escalonada

Variable libre: z

Asignamos parámetro: z = a. Luego,

y = 2 + 2a x = – 3 – a z = a

(– 3 – a, 2 + 2a, a)

Algoritmo de reducción

x + 2y – 3z = – 1

3x – y + 2z = 7

5x + 3y – 4z = 2

Algoritmo de reducción

Teorema 1.7

Cualquier sistema de ecuaciones lineales tiene:

i. Una única solución

ii. Ninguna solución

iii. Un número infinito de soluciones

MATRICES

Matriz Sea una tabla ordenada de números como sigue

a11

a12

… a1n

a21

a22

… a2n

………………………………….

am1

am2

… amn

A = (aij)

i = 1, …, m; j = 1, …, n

aij llamado entrada o componente ij, aparece en la fila i-ésima y la columna j-ésima

A =

Entrada principal no nula de R, la primera en una fila.

Fila nula. Cuando toda entrada en R es 0

1 – 3 4

0 5 – 2

A =

Matrices escalonadas

Cuando se cumplen las siguientes condiciones:i. Todas las filas nulas, si las hay, están en

la parte inferior de la matriz

ii. Cada entrada principal no nula está a la derecha de la entrada principal no nula de la fila precedente

Forma escalonada:Esto es, si en A = (aij) existen entradas

distintas de cero

a1j1

, a2j2

, …, arjr

donde j1 < j

2 < … < j

r

con la propiedad de que aij = 0 para i r, j < j

i

para i > r, a1j1

, …, arjr

son las entradas

principales no nulas de A

Matrices escalonadas

Forma canónica por filas: Si

iii. Cada entrada principal no nula es 1, y

iv. Cada entrada principal no nula es la única entrada distinta de cero en su columna

Matrices escalonadas

Se dice que una matriz A es equivalente por filas a otra B, escrito A B, siB puede obtenerse a partir de A

mediante una sucesión finita de las operaciones llamadas elementales entre filas

Equivalencia por filas.

Operaciones elementales E1 intercambiar las filas i-ésima y j-

ésima : Ri Rj. E2 Multiplicar la fila i-ésima por un

escalar no nulo k: kRi Ri, k 0 [E3]Sustituir la fila i-ésima por ella misma

más k veces la j-ésima: kRj + Ri Ri [E] Sustituir la fila i-ésima por k (no nulo)

veces ella misma más k’ veces la j-ésima: k’Rj + kRi Ri, k 0