vectores rectas y planos y espacios vectoriales

Nolan Jara J. FCE-UNAC

-1-

VECTORES

Definición de puntos en un espacio de n dimensiones. Se define un punto en el espacio

de n dimensiones como la n-upla de números reales 1 2 1 2( , ,......, ); , ,......,n nx x x x x x R ;se

denota con una P a dicha n-upla. Es decir: 1 2 1 2( , ,......, ); , ,......,n nP x x x x x x R ;se

designa a los números reales nxxx ,......,, 21 como las coordenadas del punto P.

Ahora vamos a definir como sumar puntos. Si P y Q son puntos por ejemplo:

),......,,);,......,,( 2121 nn yyyQxxxP se define entonces:

RyxyxyxQP nn ),......,,( 2211

Si c es cualquier número, se define ),......,,( 21 ncxcxcxcP

VECTORES EN EL ESPACIO 3

3( )R o V : Dos puntos: ),,(),,( 11110000 zyxPyzyxP

determinan un segmento de recta que podría ser recorrido en dos sentidos uno de P0 a P1 y

otro de P1 a P0 llamados vectores aya .

0 1

0

a P P

P P1 Definido como 0 1 1 0a P P P P

0 1 1 0 0 1( )a P P P P P P

0 1

0

a P P

P P1

Donde: 0 1 1 0 1 2 3( ) ( , , )a P P P P a a a tal que:

013

012

011

zza

yya

xxa

Los números 321 ,, aaa se llaman, componentes del vector 0 1a P P donde: ),,( 0000 zyxP

es el punto inicial del vector ),,(; 1111 zyxPa es el punto final del vector a .

Cuando el punto inicial es el origen de coordenadas, un vector OP P recibe el nombre de

radio vector.


-2-

IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores 1 2 3( , , )a PQ a a a y 1 2 3( , , )b RS b b b

Son iguales, si y solo si sus respectivas componentes son iguales, es decir:

332211 ,, babababa

OPERACIONES CON VECTORES.- dados los vectores ),,();,,( 321321 bbbbaaaa

Entonces:

1º) ),,( 332211 babababa

2º) )(),,( 332211 bababababa

3º) ),,( 321 rararaar producto de un vector por un escalar r

VECTORES PARALELOS: Dos vectores son paralelos si y solo si uno de ellos es el

múltiplo escalar del otro. Es decir:

; ; ,a b a r b o b t a r t R

MODULO DE UN VECTOR: Si 0 1a P P entonces:

aaaazzyyxxPPd 2

3

2

2

2

1

2

01

2

01

2

0110 )()()(),(

El modulo del vector ),,( 321 aaaa se denota y define como:

2 2 2

1 2 3a a a a

PROPIEDADES:

Sean rbbbbaaaa ),,,();,,( 321321 ; entonces:

i) )0,0,0(0;0 aaa


-3-

ii) r a r a

iii) baba desigualdad triangular

VECTOR UNITARIO: Un vector de moduelo o longitud igual a 1 se llama vector

unitario. Dado un vector a .

El vector unitario

a

au tiene el mismo sentido que el vector a

El vector unitario a

u

a

tiene sentido opuesto que el vector a

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: (o PRODUCTO INTERNO): El

producto escalar de ),,(),,( 321321 bbbbyaaaa se denota y define como:

332211 .... babababa

PROPIEDADES: Sean cba ,, vectores en ry3 entonces:

1º) abba ..

2º) ).().( abrbar

3º) cabacba ..).(

4º) 00. aaa

5º)

2

. aaa


-4-

b

b

baaoy

b2

.Pr

6º) baaaba .2

222

7º) c ) b . a ( ) c . b ( a

Ortogonalidad de vectores: Dos vectores ),,(),,( 321321 bbbbyaaaa

Son ortogonales por definición si: baba o también.

0.baba

222

bababa

Proyección Ortogonal y Componente: se llama proyección ortogonal de a sobre b , al

Vector:

2

.Pr

b

a boy a b

b ; 0b

a

b


-5-

Se llama componente de a sobre b al número real:

0;.

b

b

baaComp

b

Obs. Como b

b

baaoy

b2

.Pr =

b

b

b

ba .

1º Prb b

boy a comp a

b

2º Prb b

oy a comp a

ANGULOS ENTRE VECTORES.

Dado los vectores a y b que forman un ángulo , entonces

a

b

.cos

a b

a b

VECTORES UNITARIOS FUNDAMENTALES.

Son aquellos vectores unitarios que tienen la misma dirección que los ejes de coordenadas

X, Y, Z y son: )1,0,0(;)0,1,0(;)0,0,1( kji

Observacion. todo vector ),,( 321 aaaa puede expresarse como una combinación

lineal de los vectores unitarios kji ,,

Es decir: kajaiaaaaa 321321 ),,(


-6-

i

EJERCICIOS

1) Si ),,( 321 aaaa y )2

5,8,

2

3(2 22 aa

ab hallar bya

2) Sean P = (1, -1, 3) y Q = (2,4,1) probar que: QCPQ , donde C = Q – P

Si A = (4, -2, 5) y B = (5, 3, 3) probar que: ABPQ

3) En cada uno de los siguientes casos determinar que vectores AByPQ son paralelos, si:

iii) P = (1, -1, 5) ; Q = (-2, 3, 4) ; A = (3, 1, 1) ; B = (-3, 9, -17)

iv) P = (2, 3, -4) ; Q = (-1, 3, 5) ; A = (-2, 3, -1) ; B = (-11, 3, -28)

4) Que parejas de vectores son perpendiculares entre si:

i) (1, -1, 1) y (2, 1, 5)

ii) (1, -1, 1) y (2, 3, 1)

iii) (-5, 2, 7) y (3, -1, 2)

iv) ( , 2, 1) y (2, - , 1)

5) Encuentre los vectores ortogonales a: )2,0,0()1,1,1( bya

6) Sean )2,1,1()3,2,1( bya hallar aproyaproyacompbbb 3

;;

7) Determinar el coseno de los ángulos del triángulo cuyos vértices son:

i) (2, -1, 1) ; (1, -3, -5) ; (3, -4, -4)

ii) (3, 1, 1) ; (-1, 2, 1) ; (2, -2, 5).

Hallar el perímetro de dichos triángulos.

8) Si 3,a b R probar que:

Y

a2

X

a 3 k

k

a 1 i

j j

Z


-7-

i) 2222

22 bababa

ii) bababa .4

22

9) Sean cba ,, tres vectores distintos al vector cero. Si caba .. , probar mediante un

ejemplo que no necesariamente se tiene que cb .

10) Expresar el vector a como la suma de un vector paralelo al vector b y un vector

ortogonal a b ; si a = (2, 1, -1) y b = (1, 4, -2)

11) Si las diagonales de un paralelogramo miden 1474 y , respectivamente y uno de

los lados mide 14 ; hallar la medida del otro lado.

12) Hallar los vectores bya ortogonales entre si y ortogonales a )3,1,1(v , tales que

sus primeras componentes sean iguales y sus terceros componentes de igual magnitud; pero

de signo contrario.


-8-

PRODUCTO VECTORIAL.

Dado los vectores 3

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )a a a a y b b b b R se define el vector bxa ,

como:

321

321

bbb

aaa

kji

bxa

21

21

31

31

32

32,,

bb

aa

bb

aa

bb

aabxa

Es el producto vectorial de bya

PROPIEDADES.

3,a b y c R Se tiene:

1) bbxaabxa ;

2) kixjkjxikxkjxjixi ;;0

jjxijixkijxkikxj ;;;

bxa

b

a


-9-

X

3) 0bxaba

4) axbbxa

5) cxabxacbxa )(

6) )()()( brxabxarbxar

7) cbabcacxbxa ).().()(

8) 3;0 aaxa

9) En general: cbxacxbxa )()(

10) 2

222

).( bababxa …Identidad de Lagrange

11) 0;Senbabxa

Interpretación geométrica

a

bxa

bxa b

h

Y

Z

)1,0,0(k

)0,1,0(j

)0,0,1(i

P T


-10-

Senbh

A(P) = bxaSenbaha

A(P) = bxa Area del paralelogramo P determinado por los vectores bya

2)(

bxa

TA Área del triángulo T generado por los vectores bya

Observación. Tres puntos A, B, C en 3R son colíndales si y solo si los vectores ACyAB

Son paralelos.

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR.

Se define el triple producto escalar o producto mixto de los vectores. 3, ,a b y c R Como:

321

321

321

).(

ccc

bbb

aaa

cxbacba

PROPIEDADES

1º) acbbaccba

2º) baxccbxacxba ).().()(.

3º) aCompcxbcxbacbacxb

).(

B

C

A


-11-

INTERPRETACION GEOMETRICA

cxb

cxbaacomphhcxbPpV

cxb

).(;)(

cxb

cxbacxbPpV

).()(

cbacxbaPpV ).()(

Volumen del paralelepípedo generado por los vectores 3,a b y c R

2)(

cba

PtV Volumen del prisma triangular.

6)(

cba

TtV Volumen del tetraedro.

Practica de vectores en V3

1) Sean a = ( 2,-2,1 ) y b = (3,0,-4) hallar c en V3 tal que sea ortogonal a a y a b

2) Sean a = ( 2,-1,2 ) y b = (-2,2,1) hallar c en V3 tal que sea ortogonal a a y a b y

// c// = 3

3) Sea a = (1,-2,2 ) hallar b en V3 tal que sus componentes satisfagan la ecuación

2x+2y+z=0 y que se verifique // a // = // a + b // = // b //

4) Sean a y b dos vectores que forman entre si un ángulo de 45o ,// a // = 3 hallar // b //

tal que ( a – b ) sea ortogonal a a.

cxb

bxa

aoycxb

Pr

a

b

c

h Paralelepípedo

Pp


-12-

5) Un paralelepípedo tiene un vértice en A=(1,2,3), siendo B,C y D sus vértices

adyacentes. Además se conoce que : AB = (a,0,2) , AC=(3,3,3) y AD=(0,4,4)

¿cual es el vértice opuesto a A?

6) Si las diagonales de un paralelogramo miden 22 86 y , respectivamente, y uno

de los lados mide 22 , hallar la medida del otro lado.

7) Sean a = (-3,4,1 ) y b = (3, 2 ,5) hallar c en V3 tal que sea ortogonal a (0,1,0) ,

a.c=6, compbc =1.

8) Si las diagonales de un paralelogramo son los vectores d = (2,4,6 ) y e = (-2,4,2 )

hallar el area de dicho paralelogramo.

9) Sean a = (3,5,2 ) y b = (-4,0,3) tal que a = u + v , siendo u // b y v ortogonal a b.

Hallar u y v.

10) Sean a,b y c 3 vectores unitarios en V3 tal que a.b = b.c = 0, hallar c.

11) Sea a = (-2,1,-1 ) hallar b en V3 tal que sus componentes satisfagan la ecuación

3x+4y-2z=0 y que se verifique // b // = 1, a.b=0.

12) Sean los vectores a y b tales que // a // = 3 , // b // = 7 y a.b = -4 .Hallar a + b

sabiendo que tiene la misma dirección pero sentido opuesto al vector ( -3/2,-5/2,-2).

13) Sea el cuadrado ABCD con una diagonal AC. Si A=(3,2,1) (4,3,0)AB

proy AC y

la tercera componente de D es 1, hallar los otros vértices del cuadrado.

14) Sean a y b dos vectores de longitudes // a // = 3 , // b // = 5 y que forman un ángulo

de 60o.Hallar proya(2a –b) , a = ( 1,2,2 ).

15) Sean a = (1,-2,3 ) y b =( 3,1,2 )hallar todos los vectores c en V3 tal que c es

ortogonal a b , c = r a + tb,r,t enR // c // = 2 42 .

16) Dos vectores a y b de R3 forman un ángulo de 60

o y tiene longitudes // a // = 2 ,

// b // = 4. Hallar el ángulo formado por los vectores (a+b) y (a-b).

17) Hallar comp2b

a , si a + b + c = 0 y // a // = 3 , // b // =6 , // c // = 7.

18) Dados los vectores a = ( 1,2,3) , b =(2,1,-3) y c = ( 3,-4,2). Hallar los vectores de

modulo 139 paralelos al vector proyac + proybc. Con los vectores a , b y c es

posible formar un paralelepípedo de volumen V. Hallar el volumen del

paralelepípedo que se puede formar con los vectores ( -b+2.a) , ( 2.a+b) , ( a + 3.c).

19) Hallar los vectores a y b = ( -5,15,t) tal que proya(a+b) = (12,2,4) ,

proya(a-b) = ( 24,4,8).

20) Sean a=(-1,2,3) , b=(0,1,2) y c=(2,3,1) hallar : axb, bxc , (axb)xc , ax(bxc) , axc


-13-

LA RECTA

Dado el punto P0 = (x0,y0,z0) y un vector 1 2 3( , , )a a a a cualquiera, entonces definimos el

conjunto siguiente: 3

0( , , ) / a ; RL P x y z R P P t t , al cual llamaremos recta en el

espacio tridimensional R3 .

1) El conjunto de puntos

0 a ;P P t t R

Representa la ecuación vectorial de la recta L que pasa por P0 y sigue la dirección del

vector ; o . . // a a i e L a

2) De la ecuación vectorial de la recta L: P = Po + t a , t R se obtiene que

0 1

0 1 0 2 0 3 0 2

0 3

( , , ) ( , , ) ;

x x ta

x y z x ta y ta z ta y y ta t R

z z ta

0 1

0 2

0 3

;

x x ta

y y ta t R

z z ta

Representan las ecuaciones parametricas de la recta L, con punto de paso P0=(x0, yo, z0) y

vector direccional 1 2 3( , , )a a a a

3) Si a1, a2, a3 0 de las ecuaciones parametricas de la recta de L despejando t se obtiene

que.

0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

Representa la ecuación simétrica de la recta L, con punto de paso P0= (x0, y0, z0) y vector

direccional 1 2 3( , , )a a a a


-14-

4) Si 1 2 3( , , )a a a a es el vector direccional de la recta L, entonces a los números a1, a2 y a3

se les llama números directores de la recta L.

5) Un punto Q pertenecerá a la recta L = 0 ; P P t a t R

Si y solo si 0P Q // a es decir

0 a 0P Q x .

6) Dos rectas L1 y L2 son iguales si y solo si L1 L2 y L2 L1

Paralelismo y ortogonalidad de rectas.

Definición. Dos rectas 1 o 2 o: P P r a , r y : Q Q t b , tL R L R son

paralelas si los vectores direccionales a y b lo son. Es decir

1 2// a // bL L .

Observación: Si dos rectas L1 y L2 en el espacio son paralelos; entonces, coincidan (L1 = L2)

o su intersección es nula )( 21 LL .

Observación: Si dos rectas L1 y L2 en el espacio no son paralelas, entonces su intersección es

un punto I o L1 L 2. En este ultimo caso se dice que las rectas L1 y L2 se cruzan en el

espacio una forma de reconocer cuando dos rectas L1 y L2 no paralelas se cruzan o se

interceptan en el espacio tridimensional está basada en lo siguiente.

Dadas las rectas no paralelas 1 0 2 0 a ;t R y b ;r R L P P t L Q Q r ,

construimos el vector 0 P Q c , entonces:

1°) Las rectas L1 y L2 se intersectan si y solo sí a b c 0 y

2°) Las rectas L1 y L2 se cruzan si y solo sí a b c 0 .

Definición. Dos rectas 1 0 2 0 a ;t R y b ;r R L P P t L Q Q r son

ortogonales, se denota por 21 LL , si los vectores direccionales a y b lo son. Es decir

1 2 a bL L


-15-

ANGULO ENTRE RECTAS.

Dadas las rectas 1 0 2 0 a ;t R y b ;r R L P P t L Q Q r el ángulo entre

las rectas L1 y L2 esta dado por el ángulo que forman sus vectores direccionales es decir

1 2

.( , ) ( , ) cos

a bL L a b

a b

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Dado un punto 1 1 1( , , )Q x y z L y una recta 0 a;L P P t t R la distancia del punto

Q a la recta L esta dada por:

0// a //( , )

P Q xd Q L

a

EJERCICIOS

1) Los vértices de un triangulo están dados por los puntos A = (1, 2, 3); B = (0, 2, 1) y

C = (-1, -2, -4). Hallar el área y el perímetro del triángulo.

2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 = (3, 1, -2) e intersecta y es

perpendicular a la recta 1211 zyxL

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 = (1, 4, 0) y es perpendicular a las

rectas:

tz

ty

tx

L

1

4

3

:1

2

1:

3

12

6

4:2 z

yxL

4) Hallar la distancia del punto A = (3, 2, 1) ; a la recta que pasa por los puntos

P0 = (3, 1, -2) y P1 = (-3, -6, -3)

5) Sean L1 : P = (1, 0, -1) + t (1, 1, 0) ; t L2 : Q = (0, 0, 1) + r (1, 0, 0) ; r .

Hallar la ecuación de la recta L que es perpendicular a L1 y L2 y las intersecta.

6) Determine la ecuación de la recta que intersecta a las rectas


-16-

L1 : P = (1, -1, 1) + t (1, 0, -1) ; t L2 : Q = (1, 0, 0) + r (-1, 1, 1) ; r en

los puntos A y B, respectivamente, de tal manera que la longitud del segmento AB

sea mínima.

7) Una recta pasa por el punto A = (1, 1, 1) y forma ángulos de 60º y 30º con los ejes X

y Y respectivamente. Hallar la ecuación vectorial de dicha recta.

8) Hallar la ecuación de una recta para por el punto A = (1, 0, 0) y corta a las rectas

L1 : P = (5, 0, -1) + t (1, 1, 1) ; t L2 : Q = (-1, 2, 2) + s (-2, 1, 0) ; s

9) Una recta pasa por el punto A = (-2, 1, 3), es perpendicular e intersecta a la recta

L1 : P = (2, 2, 1) + t (1, 0, -1) ; t . Hallar la ecuación vectorial de dicha recta.

10) ¿Qué valor debe tener k para que los puntos (2, 1, 1); (4, 2, 3) y (-2, k/2, 3k/2) sean

colineales.

11) Hallar el área del cuadrilátero cuyas vértices son los puntos: (4, 0, 1); (5, 1, 3); (3, 2,

5); (2, 1, 3).

12) Sean los vectores ).,,1()2,1,1();,1,1( rrcyrrbrra Halar r para

que cyba, sean linealmente independientes.

13) Dados los vectores (2-t, -2, 3); (1, 1-t, 1) y (1, 3, -1-t). ¿Qué valor debe tener t para

que los vectores sean linealmente independientes? ¿ y para que sean linealmente

dependiente?.

14) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, 5, 1) y que es perpendicular e

intersecta a L : P = (1, -1, 1) + t (3, 1, 2) ; t .

15) Los puntos medios de los lados de un triángulo son: M1 = (2, 3, 3); M2 = (4, 4, 4) y

M3 = (3, 3, 2) ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular al lado en que esta M1

y pasa por el vértice opuesto a dicho lado?

16) Una recta L1 pasa por los puntos (2, 1, -1); (5, 1, 3) y otra recta L2 pasa por el punto

(-4, 2, -6) y corta perpendicular a L1. Hallar la ecuación de L2 .

17) Hallar una recta L que intercepte a las rectas: L1 : (2, 1, -1) + s (3, 4, 0) y

L2 : (1, 1, 2) + t (- 4, 3, 0) , formando un ángulo 2TgArc con cada una de

ellos.


-17-

18) Los números directores de dos rectas L1 y L2 son (-1, 6, 7) y (3, 2, - 4),

respectivamente. El ángulo formado por L1 y una recta L es 60º. Hallar los números

directores de L, si se sabe que es perpendicular a L2 .

19) Desde el punto (3, 6, 7) se traza una perpendicular a la recta L : (1, 1, -2) + t (2, -1, 3)

¿ A que distancia del punto (4, 4, 7) se halla dicha perpendicular?

20) Dos rectas tienen vectores direccionales (4, 0, 3) y (-3, 11 , 4), respectivamente.

Su intersección es (3, 2, 1). ¿ Cuál es la recta L3 que pasas por P = 1/5, (31, 10, 17) y

determinan con L1 y L2 un triángulo de área 6u2 ?.


-18-

EL PLANO

Dado dos vectores bya no paralelos en 3R y un punto ),,( 0000 zyxP , se define el plano

P, que pasa por P0 y esta determinado por bya , como el conjunto de puntos:

P 3

0 ( , , ) / ; ,P x y z R P P r a t b r t R

Observaciones:

1) El conjunto P 3

0/ ; ,P R P P r a t b r t R representa la ecuación vectorial de

un plano P que pasa por P0 y es paralelo a los vectores bya ; (P a ; P b ).

2) Sean ),,(;),,( 321321 bbbbaaaa vectores que determinan el plano P ;

),,( 0000 zyxP el punto de paso del plano P y ),,( zyxP un punto cualquiera

del plano P ; de la ecuación vectorial del plano 0 ; ,P P r a t b r t R … P

Se obtiene: ),,(),,(),,(),,( 321321000 bbbtaaarzyxzyx

330

220

110

tbrazz

tbrayy

tbraxx

3) Dado un plano P 3

0 / ; ,P R P P r a t b r t R , el cual es paralelo a los

vectores bya , vemos que existen una infinidad de vectores ortogonales a dicho plano

y en consecuencias ortogonales a los vectores bya . Dichos vectores son paralelos al

vector bxa .

4) Cualquier vector no nulo ortogonal al plano P y en consecuencia ortogonal a los

vectores bya , se llama vector normal al plano P.

Luego, un vector normal al plano será bxa .

representa la ecuación paramétrica del plano P que

pasa por ),,( 0000 zyxP y es paralelo a los

vectores ),,(),,( 321321 bbbbyaaaa .


-19-

5) Si P0 es un punto fijo (conocido) del plano P y P otro punto cualquiera (desconocido)

del plano P, entonces el vector PP0es ortogonal al vector normal bxan // ;

(conocido).

Luego: 0 0( ) 0 .( ) 0...n P P n P P P es la ecuación normal del plano P que pasa

por ),,( 0000 zyxP y con vector normal n .

6) P P 0( ). 0P P n

7) De la ecuación normal del plano P : 0.( ). 0n P P se deduce que

0. .P n P n ……(1)

donde 0 .P n d ; sean ),,();,,(),,,( 0000 zyxPzyxPcban en (1)

dczbyax ….. P

Es llamada ecuación general del plano P con vector normal ),,( cban

PARALELEISMO, ORTOGONALIDAD DE PLANOS: Sean los planos

P1 : 0).( 01 PPn y P2 : 0).( 02 QQn ; entonces:

1) P1 P2 1 2n n

2) P1 P2 21 nn

OBSERVACIONES:

1) P1 P2 P1 = P2 ó P1 P2 =

2) Si P1 no es paralelo a P2 P1 P2 = L (su intersección es una recta).

3) 1 2

1 2

1 2

.( P1 ,P2 )= ( , )

n nn n Cos

n n


-20-

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.

Dado el punto ),,( 111 zyxQ P y el plano P : 0ax by cz d

1 1 1

2 2 2( , )

ax by cz dd Q P

a b c

OBSERVACIONES:

Sean 0 ; ;L P P t a t r P : 0)( 0QQn , entonces:

1) L//P an ;

2) L P an

3) ( L , P ) =

na

naSen

.

EJERCICIOS:

1) Hallar las ecuaciones vectorial, paramétrica general del plano que pasa por los puntos

P0=(3, 1, 2); P1 = (1, -1, 2) y P2 = (2, 0, 3)

2) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P0 = (2, 3, -5); y es ortogonal al

segmento PQ donde P = (3, -2, 1) y Q = (1, 3, 0). Hallar también la ecuación del plano

que pasa por los puntos P0 , P, Q .

3) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L: P = (1, 2, 2) + t(0,3,1); t y el

punto Q0 = (2, -3, 8).

4) Hallar la distancia del punto Q0 = (2, -1, 3) a la recta 032: zyxL ;

012 zyx .

5) Encuentre la distancia entre los planos paralelos P1 : 0522 zyx P2 :

07663 zyx


-21-

6) Hallar la ecuación del plano que pasa por el mundo de intersección de las

rectas )2,1,1()4,5,9(1 tL y )1,1,2()3,2,1(2 rL siendo la distancia del plano al

origen igual a .234u

COMBINACION LINEAL DE VECTORES

Definición.- Dados tres vectores no paralelos cyba, , diferentes del vector 0 se dice

que el vector d es una combinación lineal de cyba, , si existen números reales r,s y t

tales que ctbsard

INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES:

Los vectores cyba, , son linealmente independientes, si:

00 tsrctbsar

En caso contrario, se dice que cyba, , son linealmente dependientes.

Observaciones:

1. Dos vectores ba, son linealmente dependientes si son paralelos es decir: 0)( bxa

2. Tres vectores 3, cyba son linealmente dependientes si y solo si su triple escalar

es cero, (es decir, 0cba )

BASES: Se sabe que el conjunto de vectores )1,0,0();0,1,0();0,0,1( kjiS tiene,

entre otras, las siguientes propiedades:

i) S es un conjunto linealmente independiente, es decir los vectores kyji , son

linealmente independientes entre si.

ii) Cualquier vector 3

321 ),,( aaaa puede ser expresado como una combinación

lineal de vectores de S, (es decir kajaiaa 321)

Definición.- Un conjunto S de tres vectores en 3R , se llama base si posee las propiedades (i)

y (ii)


-22-

Observaciones:

1) Cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes, es una base del espacio

vectorial tridimensional 3

2) La propiedad (ii) de la definición de base nos indica, en general, que cualquier vector

3a R puede expresarse como: 1 1 2 2 3 3 1 2 3; ,a v v v y son las nuevas

componentes del vector a en la nueva base formada por los vectores 321 ,, vyvv


-23-

Espacios Vectoriales

Un conjunto V Provisto de las funciones: + y . es un espacio vectorial donde:

I) + : V x V V

VvuvuVxVvu ,,

II) . : VVxR

VuauaRxVua .,.,

Propiedades. S : Suma

VvuuvvuS , :1

VwvuwvuwvuS , , :2

uuuVVuS 00/0 :3

VuuuuVuVuS 0,0/!:4

P : Producto

VuRbauabubaP ,,:1

uuuRVuP .11./1!:2

D : Distribución

VvuRbavauavuaD ,,,:1

Ejemplos: 1) Sea V = R2 ¿ V es un espacio Vectorial?

Solución. 22 , RyxRV

Sean: Vyxu 11, ; RkVyxv ; , 22

i) 2211 ,, yxyxvu = Vyyxx 2121 ,

ii) k Vku ) ky , kx () y , x( 111 1


-24-

de ( i ) y ( ii ) : V= R2 es un espacio vectorial V

2) ?e ¿02/, 2 vectorialespaciounsVyxRyxV Solución.

:;02,; 02,: 22221111 entoncesRkyxVyxvyxVyxuSean

i) 2211 , yxyxvu = 2121 , yyxx

02 2121 yyxxVvu .Demostración.

00 0

22

222

2211

21212121

yxyx

yyxxyyxx

Vvu

ii)k 1111 ,, ykxkyxku

VukkyxkkykxnDemostracókykxVuk 0022: . 02 111111

V es un espacio vectorial

3) V = ? ¿ vectorialespaciounesVnxmordendematrices

Solución. Sean: A = Vamxnij

; B = Vbmxnij

;

i)A+ B = (aij) + (bij) = (Cij) v

ii) VA ijij a a

V es un espacio vectorial

Subespacios Vectoriales

Un subconjunto de un espacio vectorial V es un subespacio si es un espacio

vectorial con las operaciones restringidas de V (+ , .)

Proposición. Un subconjunto es un subespació vbua

Rbavu ,; ,


-25-

Ejemplo. ¿Las soluciones del sistema homogéneo 0

0

dycx

byax

Constituyen un subespacio de R2?

Solución.

(*): 0

0

dycx

byax

0

0

y

x

dc

ba A = 0

y

xX …solución del sistema (*)

Sean X y Y dos soluciones del sistema (*) AX = 0 ; AY = 0

y si r , t A ( rX + tY ) = r ( AX ) + t ( AY )

= r ( 0 ) + t ( 0 )

=0

Entonces las soluciones del sistema (*) es un espacio vectorial. Por lo tanto las soluciones

del sistema (*) es un subespacio del espacio vectorial R².

Combinación Lineal (CL)

Se llama combinación lineal de Vvvv n,.......,, 21 a toda expresión de la forma

a1v1 + a2v2 + ……+ anvn ; a1 , a2 , …. , an

Observación: si Vvvv n ......., 21 nvvvCL ..........., 21 es un subespacio de V

Definición. Un espacio vectorial V es finitamente generado si un conjunto de vectores

Vvvv n......., 21 tal que nvvvCLV ..........., 21 .

Por ejemplo:

V = R2 es generado por los vectores (1,0) y (0,1)

1,00,1

,00,,

,/,2

yx

yxyx

RyRxyxRV

Esto es R² = CL {(1,0); (0,1)}


-26-

Independencia Lineal Base y Dimensión

Sea V un espacio vectorial, se dice que los vectores 21 ,vv , …….. , nv V son

Linealmente Dependiente (LD) si Raaaescalares nn ....,,, 21 no todos nulos tal que

0....2211 nn vavava .

Definición. Los vectores sintesIndependieeLinealmentsonvvv n , ) LI ( ........, 21

0....2211 nn vavava Implica que: a1 = a2 =………..= an = 0.

Otra forma de expresar el mismo concepto es:

sintesindependieelinealmentsonvvv n ,,,, 21 y solo si. nvvv 0000 21

Definición (Base).Un subconjunto S = nvvv ,,, 21 V se llama base de V si:

i) S genera a V.

ii) S es linealmente independiente.

Definición (Dimensión). Dado el espacio vectorial V, se llama dimensión de V al número

de elementos de una base de V y se denota por dim (V).

Ejercicios:

1) Probar que: )1,2,1,0(),2,1,0,3();1,0,3,2();0,3,2,1(S es una base de 4.

2) Hallar una base de: P = {(x, y, z) 3/-3x+y-2z=0}

Solución. y = 3x + 2z entonces P = (x, y, z) = (x, 3x + 2z, z)

= (x + 0y + 0z, 3x + 0y + 2z, 0x + 0y + z)

(x, y, z)= x (1, 3, 0) + z(0, 2, 1) S = {(1, 3, 0), (0, 2, 1)} genera P

S es una base P si y solo sí (1, 3, 0) y (0, 2, 1) son linealmente independientes

Si y solo si r (1, 3 ,0) + t (0, 2, 1) = 0 r = t = 0

En Efecto : r (1, 3, 0) + t (0, 2, 1) = 0

(r, 3r, 0) + (0, 2t, t) = (0, 0, 0)

r = 0

3r + 2t = 0 r = t = 0

t = 0

(1, 3, 0) y (0, 2, 1) son linealmente Independientes

S es una base de P; P: espacio vectorial, dim (P) = 2


-27-

3) Si L = {(x, y) R2/2x – y = 0} hallar una base de L

4) Probar que S = {(1, 2, 3, 0); (2, 3, 0, -1) ;(3, 0, -1, -2); (0, -1, -2, 1)} es una base de R4

Solución: S es una base de R4 si y solo si:

i) S debe generar a R4 = {(x, y, z, w)/x R, y R, z R, w R}; es decir

(x, y, z, w) = a (1, 2, 3, 0) + b (2, 3, 0, -1) + c (3, 0, -1, -2) + d (0, -1, -2, 1)

ii) )1,2,1,0(y )2,1,0,3(; )1,0,3,2( ; )0,3,2,1( 4321 vvvv

deben ser linealmente

independientes, es decir:

a 1v

+b 2v

+ c 3v

+ d 4v

= 0 a = b = c = d = 0. En efecto

a + 2b + 3c + 0d = 0

2a + 3b + 0c + d = 0

3a + 0b - c – 2d = 0

0a - b – 2c + d = 0

Transformación Lineal

Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales, una transformación lineal de V en W es

una función : verificaque : WVT

a) VvuvTuTvuT ,)()()(

b) .,)( ) ( VvvTvT

Ejemplo. Sea yxyxyxTRRT ,32),(/: 22

Probar que T es una Transformación Lineal. Solución.

Wyx,y3x2Vy,x

WIRVIR:T 22

T es una Transformación Lineal si y solo sí

1. VvuvTuTvuT ,

2. VuIRuTuT ,

En efecto:

222222

1111112211

,32,

y ,32),()( ,y , :

yxyxyxTvT

yxyxyxTuTyxvyxusean

21212211 , ,, .1 yyxxTyxyxTvuT


-28-

vTuTvuT

vTuT

yyTyxT

yyyxyxyx

yxyxyxyx

yyxxyyxx

)(

,,

,32,32

,3232

,32

2211

22221111

22112211

21212121

uT

yxT

yxyy

yxyx

yxT

yxTuT

11

1111

1111

11

11

,

,32

,32

,

, .2

LinealcionTransformaunaesT

yde

uTuT

21

Valores y Vectores Propios:

Dada una matriz A = [ajj]nxn; encontrar todos los números reales tal que la ecuación

matricial AX = X tenga soluciones X diferentes de la trivial (es decir no nulas); donde

X = [xjj]nx1 . Es decir : AX = X AX - IX = 0 (A - I)X = 0;

Luego AX = X (A - I) X = 0… (1)

La ecuación homogénea (1) tiene soluciones distintas de la trivial si solo si

0

a a

a -a

a a -

0

nnn21

2n2221

1n1211

na

a

a

IA

Observación:

1) ...0;... 0

1

10 aaaaPIA n

nn

n polinomio característico

2) ...0nPIA ecuación característica de A.


-29-

3) A los valores de que satisfacen la ecuación característica 0IA se les llama

valores propios o característicos o auto valores de la matriz A.

4) A las soluciones X asociadas a cada valor propio (según (1)) se les llama vectores

propios o característicos o auto vectores correspondientes a dichos valores propios.

5) Asociado con cada valor propio se tiene un “conjunto de vectores propios”, de los cuales

nos interesan aquellos que son linealmente independientes ya que ellos generan un espacio

vectorial, y por lo tanto constituyen una base para dicho espacio vectorial.

PROPIEDADES: Sea A una matriz con valores propios i; entonces:

1) Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes, son linealmente

independientes.

2) La transpuesta de A tiene los mismos valores propios que la matriz A.

3) La matriz KA tiene valores propios K i

4) Si A es una matriz no singular (|A| 0), entonces A-1

tienen los valores propios i-1

.

MATRICES SEMEJANTES: Dos matrices cuadradas A y B de orden n, son semejantes si

existe una matriz no singular P tal que:

B = P-1

AP

PROPIEDADES: Sean A y B matrices cuadradas de orden n, entonces:

1) Si A es semejante a B, entonces traz (A) = traz (B)

2) Si A es semejante a B, entonces |A|=|B|.

3) Si A es semejante a B y B semejante a C, entonces A es semejante a C.

Matriz Diagonalizable

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonizable, si existe una matriz P no singular tal

que: P-1

AP = D; donde D es una matriz diagonal; y decimos que P diagonalaza a A y que A

es semejante a D.

TEOREMA: La matriz A de orden nxn es diagonalizable (y por lo tanto semejante a una

matriz diagonal), si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes.


-30-

Construcción de la Matriz P que Diagonaliza a la Matriz A

1) Calcular los “n” valores propios de la matriz A de orden nxn)

2) Obtener los “n” vectores propios linealmente independientes (para asegurar que

exista P-1

).

3) Construir la matriz P (de orden nxn), teniendo presente que cada vector propio

encontrado en (2) es una matriz columna de P.

4) La matriz diagonal D tendrá sus elementos, (que en realidad son los valores propios,

en el mismo orden en que aparecen los vectores propios).

Ejemplo: Diagonalizar la matriz A, si fuera posible, donde:

1.

111

312

622

A 3,

210

121

012

A .2,

88

412A

4.

111

312

622

A 3,

210

121

012

A .2,

88

412A

7.

301

021

001

A 9,

466

353

331

A .8,

2-66

157

113

A


-31-

10. A =

2 42

422

225

A.11,

3 2 0

222

0 21

vectores rectas y planos y espacios vectoriales

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